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Introdução Bijecções Funções geradoras Identidades de Rogers-Ramanujan Bibliografia

Partições de inteirosEncontro de Novos Talentos em Matemática

João Guerreiro

6 de Setembro de 2008

João Guerreiro Partições de inteiros


O que é uma partição em inteiros?

Dado um inteiro n ≥ 0 uma partição em inteiros de n é umarepresentação de n como uma soma (não ordenada) de inteirospositivos.

Partições de 5:

54 + 13 + 23 + 1 + 12 + 2 + 12 + 1 + 1 + 11 + 1 + 1 + 1 + 1



Função partição

DefiniçãoPara n ≥ 0,

p(n) representa o número de partições de n.

Do exemplo anterior conclui-se que p(5) = 7.

Será que há uma fórmula para p(n)?

1, 2, 3, 5, 7, 11, 15, 22, 30, 42



Fórmula

p(n) =1

π√

2

∞∑k=1

Ak(n)√

k

[ddx

sinh(πk (2

3(x − 124))1/2)

(x − 124)1/2

]x=n

onde,

Ak(n) =∑

0≤h<k, (h,k)=1

exp

πik−1∑j=1

jk

(hjk−

⌊hjk

⌋− 1

2

)− 2πihn

k



Grafos de Ferrers

Os grafos de Ferrers são uma forma de representar partições.

• • • • • • • •• • • • •• • • • •• • • •••

representa a partição 7 + 5 + 5 + 4 + 1 + 1.



Exemplo

Teoremap(n| ≤ m partes) = p(n|todas as partes ≤ m)



Demonstração

Fazendo corresponder a cada partição o seu conjugado prova-sefacilmente o teorema.

• • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • •• • • • • 7−→ • • • •• • • • • • • •• • • •• •

•



Teorema de Euler

Teoremap(n|partes distintas) = p(n|partes impares)



Demonstração

Juntando e separando as partes podemos relacionar as partições deambos os conjuntos,

8 + 5 + 2 → (4 + 4) + 5 + (1 + 1)→ (2 + 2) + (2 + 2) + 5 + 1 + 1→ 5 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1



Demonstração

Para n = 7 obtemos a seguinte bijecção,

5 + 1 + 1 7−→ 5 + 23 + 3 + 1 7−→ 6 + 13 + 1 + 1 + 1 + 1 7−→ 4 + 31 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 7−→ 4 + 2 + 1



Funções geradoras

Para que servem as funções geradoras?

Se quisermos calcular todas as partições com exactamente duaspartes ímpares < 6 basta fazer a seguinte multiplicação,

(q + q3 + q5)(q + q3 + q5) =

= q1+1 +q1+3 +q1+5 +q3+1 +q3+3 +q3+5 +q5+1 +q5+3 +q5+5 =

= q2 + 2q4 + 3q6 + 2q8 + q10



Um resultado de Euler

(1+q1+q2+...)(1+q2+q4+...)(1+q3+q6+...)...(1+qk+q2k+...) =

=∑n≥0

p(n)qn

11− q

.1

1− q2 .1

1− q3 ...1

1− qk ... =∑n≥0

p(n)qn

∞∏k=1

11− qk =

∑n≥0

p(n)qn



Partições de um conjunto S

Podemos generalizar o resultado anterior para um conjunto S denaturais (finito ou infinito).

∑∞n=0 p(n|partes de S)qn =

∏i∈S(1 + qi + q2i + q3i + ...)

=∏

i∈S1

1−qi

O polinómio acima desgina-se por função geradora das partiçõesem partes de S.



Partições de um conjunto S

Outro tipo de partições cuja função geradora pode ser obtida sãoas partições em partes distintas.

∑∞n=0 p(n|partes distintas de S)qn =

∏i∈S(1 + qi )



Teorema de Euler

Após a introdução das funções geradoras podemos reescrever oteorema de Euler:

Teorema∑∞n=0 p(n|partes distintas)qn =

∑∞n=0 p(n|partes impares)qn

Escolhendo o conjunto S como o conjunto dos naturais e dosímpares, respectivamente:∑∞

n=0 p(n|partes distintas)qn =∏∞

n=1(1 + qn)∑∞n=0 p(n|partes impares)qn =

∏∞n=1

11−q2n−1



Demonstração

∞∏n=1

(1 + qn) = (1 + q)(1 + q2)(1 + q3)...

=

(1− q2

1− q

) (1− q4

1− q2

) (1− q6

1− q3

) (1− q8

1− q4

)...

=1

(1− q)(1− q3)(1− q5)...

=∞∏

n=1

11− q2n−1



Identidades de Rogers-Ramanujan

Teoremap(n|partes 2− distintas) = p(n|partes ≡ ±1 mod5)

p(n|partes 2− distintas > 1) = p(n|partes ≡ ±2 mod5)



p(n|partes 2− distintas)

Note-se que a função geradora das partições de m partes 2-distintaspode ser escrita da forma seguinte:∑

0≤a1≤a2≤...≤amq(1+a1)+(3+a2)+...+(2m−1+am) =

= qm2 ∑0≤a1≤a2≤...≤am

qa1+a2+...+am =

= qm2 ∑0≤a1≤a2≤...≤am−1

qa1+a2+...+2am−1

1−q =

= qm2 1(1−q)(1−q2)...(1−qm)



p(n|partes 2− distintas)

Somando sobre a variável m obtém-se a função geradora destaspartições, ∑∞

m=0 qm2 1(1−q)(1−q2)...(1−qm)



p(n|partes ≡ ±1 mod5)

Para o termo do lado direito da equação também podemos obteruma função geradora:

=∏∞

n=1(1 + q5n−1 + q2(5n−1) + ...)(1 + q5n−4 + q2(5n−4) + ...) =

=∏∞

n=11

(1−q5n−1)(1−q5n−4)



2a Identidade de Rogers-Ramanujan

Analogamente, as funções geradoras que ocorrem na 2a Id. deRogers-Ramanujan são,∑∞

m=0 qm2+m 1(1−q)(1−q2)...(1−qm)∏∞

n=11

(1−q5n−2)(1−q5n−3)



As identidades

Teorema

∞∑m=0

qm2 1(1− q)...(1− qm)

=∞∏

n=1

1(1− q5n−1)(1− q5n−4)

∞∑m=0

qm2+m 1(1− q)...(1− qm)

=∞∏

n=1

1(1− q5n−2)(1− q5n−3)



Outras identidades ’à Ramanujan’

∞∑m=−∞

(−1)mqm(3m−1)/2 =∞∏

n=1

(1− qn)

∞∑m=0

(−1)mqm(m+1)/2(2m + 1) =∞∏

n=1

(1− qn)3

∞∑m=0

p(5n + 4)qm =∞∏

n=1

5(1− q5n)5

(1− q)6



Outros problemas

Será que p(n) é primo para infinitos valores de n?

Será que a razão entre valores pares e ímpares de p(n) tendepara 1?

Será que, dados inteiros m e r , existem infinitas soluções daequação p(n) ≡ r (mod m)?



Bibliografia

Andrews, G.E., Eriksson,K. (2004). Integer Partitions. CambridgeUniversity Press

Andrews, G.E. (1971). On a partition problem of H. L. Alder.Pac.J.Math. Vol. 36, No.2, 1971.

Berndt, B.C. (2006). Number Theory in the Spirit of Ramanujan.American Mathematical Society

Berndt, B.C., Ono, K. (1999) Ramanujan’s unpublished manuscripton the partition and tau functions with proofs and commentarySém. Lothar. Combin.


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