ANTONIO RODRIGUES FILHO

INTERPOLA9AO DE LAGRANGE: UM METODO PARA DETERMINAR

ISOCURVAS DE VIBRA9AO POR ONDAS SiSMICAS

Monografia apresentada como requisitoparcial a obten~ao do titulo de Especialistaem Educal,tao Matematica, Curso de P6s~Gradua4;ao em Educa~ao Matematica,Universidade Tuiuti do Parana.

Orientador: Prof. Dr. Marco Andre Mazzarotto

CURITIBA

2003

AGRADECIMENTOS

o fim de uma etapa na vida de uma pessoa nao quer dizer que todo 0

caminho tenha side percorrido. Deve servir muito mais como urn momento no tempo

em que muitas e novas perspectivas sejam abertas. Mas para chegar ate este

momenta muitas coisas se passaram. Cabe agora lembrar me apenas dos bans

momentos e dos bans amigos que ao longo deste periodo contribuiram

acrescentando algo mais em minha vida.

Agradeyo primeiramente a DEUS, a luz deste ser maior me da foryas para

viver.

Agradeyo a me us pais Antonio Rodrigues de Freitas e Maria Rodrigues de

Lima pelo dam da vida e par entenderem as muitissimos dias deles afastado para

poder realizar meus projetos de vida.

Agradec;:o aos meus amigos, aos novos da especializac;:ao e aos antigos que

estiveram comigo tambem na graduagc3o, jamais as esquecerei.

Oesejo fazer urn agradecimento especial ao meu orientador Dr. Marcos Andre

Mazzarotto, obrigado pelos conhecimentos transmitidos, desde a tempo da

graduac;ao, pel0 exemplo como profissional, um grande matematico e ser humano.

Quero agradecer de forma muito carinhosa a minha querida esposa Helena

Cristina, pelo apoio dado ao 10ngo de toda minha trajetoria estando sempre comigo.

Este trabalho divido com voce.

jij

SUMARIO

LlSTA DE ILUSTRACOES.

LlSTA DE TABELAS ...

1 RESUMO ..

1 INTRODUCAo ..

11 CONSIDERACOES ...

. v

. vi

. __ __ __ vii

. 01

.... ..01

1.2 TEORIAS DE FRAGMENTA<;;AO DA ROCHA 02

1.3 TIPOS DE ONDAS SISMICAS 04

1.4 MEDICAO DA VELOCIDADE DE PROPAGA<;;AO DAS ONDAS 05

1.5 VIBRA<;;OES TRANSMITIDAS ATRAVES DOS CORPOS ROCHOSOS 06

1.6 DETERMINA<;;Ao DAS CURVAS DE ISOVELOCIDADE VIBRAT6RIA EM

TORNO DOS DESMONTES 10

1.7 LlMITES DE DANOS DE VIBRA<;;AO .... . 11

2 METODOS SEQOENCIAIS DE INTERPOLACAo.. . 12

2.1 INTERPOLA<;;AO POR LAGRANGE 12

2.2 INTERPOLA<;;AO POR GREGORY-NEWTON 14

3 METODOLOGIA DO TRABALHO ... . 15

3.1 COLETA DE DADOS 15

3.2 DETERMINA<;;AO DAS ISOCURVAS DE VIBRA<;;AO POR INTERPOLA<;;AO

MATEMATICA METODO DE LAGRANGE 16

4 CONCLusAo ... . 23

5~~~~~ ~

iv

LlSTA DE ILUSTRA90ES

ANEXO 01 - EFEITOS CAUSADOS POR DETONA<;:OES DE ROC HAS COM

EXPLOSIVO ... .............. 25

ANEXO 02 - PRINCiplOS DE FRAGMENTA<;:AO DA ROCHA POR

EXPLOSIVOS .. .............. 25

ANEXO 03 - SISM6GRAFO ... . 26

ANEXO 04 - SISM6GRAFO COM GEOFONE ..................... 26

ANEXO 05 - RESUMO DE CAPTA<;:Ao SISMOGRAFICA E SISMOGRAMA 26

ANEXO 06 - LEI DE PROPAGA<;:AO AJUSTADA. .. . 26

ANEXO 07 - TELA DO PROGRAMA CALCULO NUMERICO .. . 27

ANEXO 08 - LOCALlZA<;:AO DOS PONTOS ON DE FORAM COLETADAS AS

SISMOGRAFIAS .. . 27

RESUMO

o usa de explosives continua a ser mundialmente justificavel para escavar

rochas duras, em operagoes mineiras e obras elvis, a ceu aberto ou subterraneas,

naD obstante a crescente aplic8g8o de metodos alternativQs. Os impactos

ambientais que esse usc provQca, face a requisitos de protegao ambiental cada vez

mais restritivQs, obrigam as utilizadores a abandonarem as praticas empiricas e a

melhorarem constantemente a qualidade das suas atividades, com 0 objetivo de

minimizar danos e queixas dos proprietfuios de estruturas localizadas nas

proximidades. Par outro lado, hi! necessidade de avaliar a legitimidade desses

protestos atraves da aplic8c;ao de criterios tecnicos de previsao e de analise dos

danos, 0 que ao nivel das empresas executantes pode ser realizado par meio de

auditarias internas especializadas.

Este trabalho apresenta a correla~ao matematica existente entre as ondas

sismicas geradas par detona~6es de rochas em uma sequencia de pontes pelc

metodo de Lagrange e busca prever a intensidade destas ondas em um ponto

qualquer, dentro de um peri metro pre-determinado, gerando uma tabela de dados

interpolados.

Palavras-chave: Interpo/aqao por Lagrange, Vibrayao, Ondas Sismicas

vii

1 INTRODUt;;AO

1.1 CONSIDERAt;;OES

Os des montes de rocha com utilizac;:ao de explosivos originam efeitos

secundarios de varios tipos, que podem ter grande influencia sobre 0 ambiente

vizinho, constituindo muitas vezes fatores limitantes nas operac;oes de explorag8o de

recurSDS minerais, au de dificuldades na execul(ao de obras eivis.

Apesar de freqOentemente S8 admitir que sao fen6menos inevitaveis,

tecnicamente sabe-S8 que tais impactos possuem intensidades que estao

relacionadas com 0 excesso de carga explosiva existente nos pianos de fogo, aeirna

da carga minima necessaria para fragmentar apenas a roch8.

Desses efeitos, os mais importantes sao: vibrac;:oes transmitidas aos terrenos

e estruturas adjacentes, andas de cheque atraves da atmosfera (conhecidas

vulgarmente por ruido), projeyao de blocos de rocha, gerayc30 de poeiras e, ainda,

ultraquebra do maciyo rochoso remanescente, com possibilidade de criar

instabilizay6es futuras (anexo 01).

Cada um desses efeitos secundiuios e susceptivel de ser eliminado, ou pelo

menos reduzido, atraves do estabelecimento criterioso dos parametres dos pianos

de fogo utilizados para a escavayc30 dos maciyos rochosos, seja em trabalhos na

superficie, seja em obras subterraneas.

Muitas vezes, a necessidade de proteger 0 ambiente de determinado efeita

secunda rio (mais critico) sobrep6e-se, para fins de dimensionamento dos

des montes, aos requisitos de proteyao impostos pelos restantes impactos

ambientais.

Quando assim acontece, 0 principal problema a resolver consiste na pesquisa

do processo mais econ6mico de realizar a proteyao ambiental, nao s6 evitando

soluyoes inviaveis, mas tambem analisando, entre as varias alternativas disponiveis

para minimizar a influencia do efeilo secunda rio critico, aquela que originar menores

custos de implantay13o.

A principal conclusao a retirar das correla90es entre a magnitude dos

impactos ambientais e os custos das opera90es de desmontes de rocha com

explosivos revelam que a sua minimiza9c3o e simultanea. Assim, a aplica9ao de

tecnologia adequada it solw;ao dos dais problemas e 0 caminho para a

compatibilizac;ao que devera alcan9ar-se entre a realiza9ao de desmontes de rocha

com explosivos e os seus impactos ambientais.

1.2 TEORIAS DE FRAGMENTACAo DA ROCHA

Existem muitas teorias e modelos que procuram descrever 0 processo que

ocorre durante e depois da detona9ao de uma carga explosiva em um macic;o

rochoso. Em termos gerais, este processo envolve a rapida liberaC;8o de energia

pelo explosivo, a aplicac;ao desta energia na rocha e a res posta subseqOente da

rocha pela aplical'ao da energia. Isto e complicado por latores tais como tipo,

quantidade e velocidade de liberal'ao de energia pelo explosivo, plano de logo e

propriedades do macic;o rochoso. A teo ria mais aceita e da Energia de Choque e

Deslocamento do Gas (Hagan 1967 & 1973 e Mercer, 1980): Quando um explosivo e

detonado, ele e convertido dentro de poucos milissegundos em um gas de alta

temperatura. Quando confinado em um furo de mina, esta reac;ao muito rapida

provoca pressoes muito elevadas sobre suas paredes, normalmente ultrapassando

18.000 atm. Esta energia e transmitida para 0 maci90 rochoso vizinho na forma de

uma onda de compressao, ou onda de choque, que se propaga a uma velocidade de

2.000 a 6.000 metros por segundo.

Os mecanismos de fragmenta.yao da rocha que pod em ser atribuidos ao

componente de choque da energia liberada por um explosivo sao: pulverizac;ao e

quebra, movimento radial relativo, liberac;ao de pressao e lasqueamento. A

pulveriza9ao e a quebra ocorrem ao redor da parede do furo quando a pressao

exercida pela frente da onda de detonacyao excede a resistencia a compressao

dinamica da rocha (Hagan, 1973 e Bauer, 1978). 0 pulso de delormal'ao de partida,

gerado pela frente de detona9ao a alta temperatura se dispersa e perde energia

rapidamente. A pulveriza9ao cessa quando 0 nivel de ten sao no pulso cai abaixo do

limite elastico da rocha. Isto ocorre normalmente muito proximo it parede do furo.

A rocha que forma a parede do furo alem da zona de pulveriza9ao e de

quebra esta sujeita a uma compressao muito repentina devido ao pulsa de tenSElOdispersante. Esta compressao (movimento radial relativo) resulta 8m tens6es

tangenciais que podem causar fissuras radiais que S8 desenvolvem radialmente a

partir do furo. As fissuras S8 desenvolvem inicialmente em todas as direc;6es a partir

da parede do furo de mina e nao sao influenciadas pela face livre local.

o mecanisme de fraturamento causado pela liberac;ao de pressao ocorre

imediatamente ap6s a passagem do pulsa de trac;ao ou de compressao r8sultando

em decrescimo local na densidade com esforgos de trayao subseqOentes. Estesesfor90s de tra9ao produzem fraturas perpendiculares a dire9ao trajeto da onde de

tensao (Clay et aI., 1965).

o lasqueamento ocorre quando uma frente de onda de compressao ou de

traryao e refletida pela superifcie livre. Neste ponto duas ondas sao geradas: uma

onda de traryao e uma onda de cisalhamento. A onda de traryao pode causar

fissuramento e fazer a rocha se lascar na regiao da superiicie livre. Ambas as ondas

de traryao e de cisalhamento podem estender as fissuras pre-existentes ou as novas

fissuras (isto e, farmadas pelo pulso inicial de tensao).

Uma zona de gases a uma pressao e temperatura muito altas ocupa 0 furo de

mina atras da frente de detonaryao. Estes gases penetram a zona fraturada ao redar

do furo e fluem para as fissuras radiais e pre-existentes. A pressao do gas atua

como uma cunha para abrir as fissuras, causando 0 seu alargamento.

A pressao na parede do furo causada pelos gases gerados pelo explosivo e 0

campo de tensao devido as fissuras pressurizadas desloca 0 maciryo rochoso entre 0

furo de mina e a face livre. Par causa da geometria da carga explosiva e do maciryo

rochoso a rocha se dobra (anexo 02) na face causando fraturamento par ruptura

flexural (Mercer, 1980).

1.3 TIPOS DE ONDAS SiSMICAS

o planeta Terra e constituido par diversos setores ou ambientes, alguns dos

quais permitem acesso direto, como a atmosfera, a hidrosfera (incluindo rios, lagos,

aguas subterraneas e geleiras), a biosfera (conjunto dos seres vivos) e a supeliicie

da parte rochosa. Oesta superficie para baixo, 0 acesso e muito limitado.

As escav890es e sondagens mais profundas ja chegaram a cerea de 13 km

de profundidade, enquanto 0 raia da terra e de quase 6.400 km. Par isso, para S8

obter informa90es deste interior inacessivel, existem metodos indiretos de

investigay03o: a sismologia e a compara9ao com meteoritos.

A sismologia e 0 estudo do comportamento das andas sis micas ao atravessar

as diversas partes internas do planeta. Estas ondas elasticas propagam-se gerando

deformac;oes, sendo geradas por explosoes artificiais e, sobretudo, pelos terremotos;

as ondas sismicas mudam de velocidade e de direc;c3o de propagac;c3o com a

variaC;80 das caracteristicas do meio atravessado. A integrac;c3o das observac;oes

das numerosas estac;oes sismograficas espalhadas pelo mundo todo fornece

informac;oes sobre como e 0 interior do planeta, atravessado em todas as direc;oes

por ondas sismicas geradas a cad a terremoto e a cada explos80. As Informac;oes

sobre a velocidade das ondas sismicas no interior da Terra permitiram reconhecer

tres camadas principais (crosta, manto e nuc!eo), que tem suas pr6prias

caracteristicas de densidade, estado fisico, temperatura, pressao e espessura.

A sismologia e, em ultima analise, 0 estudo da propagaC;80 de ondas s61idas

pela Terra. A propagagiio destas ondas depende das propriedades mecanicas dos

materiais que atravessam, pelo que a compreensao dessas propriedades sera

importante para compreender 0 fen6meno sismico.

Existem diversos tipos de ondas elasticas que sao liberadas quando ocorre

um tremor de terra. Os tipos mais importantes S80:

- ondas P (ou prim arias) - movimentam as particulas do solo comprimindo-as e

dilalando-as. A diregiio do movimento das particulas e paralela a diregiio de

propagagiio da onda.

- ondas S (ou secundarias) - movimentam as particulas do solo perpendic:ularmente

a direc;c3o da propagaC;80 da onda.

As ondas P propagam-se pela litosfera terrestre com velocidade tipica de 6 a

8 km/s em rochas consolidadas; a velocidade das andas S e tipicamente pr6xima a

70% da velocidade da cnda P no material.

Apesar da velocidade das andas variar com as propriedades das rochas

(densidade, rigidez, compressibilidade), a razao entre a velocidade das ondas PeS

e praticamente constante. Isto permite que, observando 0 tempo de chegada destas

andas, possamos 85timar a dist€mcia do local cnde ocorreu 0 sismo (basta

multiplicar 0 tempo S-P, em segundos, pela velocidade de 8 km/s para uma

estimativa grosseira da distancia entre a foea e a 8St89:3.0).

As andas sismicas sao registradas per sismografos (anexo 03) eqllipamentos

sensiveis que detectam e registram a movimento das particulas do solo em urna

determinada dire~ao. A diferenga no tempo de chegada das ondas S e P pode

fornecer a localiz89BO do epicentro do terremoto, S8 ele for adequadamente

registrado par no minima tres e5ta90e5.

1.4 MEDlvAO DA VELOCIDADE DE PROPAGA9AO DAS ONDAS

A determinac;:ao das propriedades dinamicas dos macic;:os onde detonam

explosivos possui urna dupla finalidade: a caracteriz8c;:8.0 propriamente dita dos tipos

de rocha presentes e a utilizac;:ao desses dados na previsao dos mecanismos de

propagaC;Elo das vibrac;6es pelo terreno.

No primeiro aspecta, as trabalhos de campo iniciam-se pelo registro de

vibrac;5es provenientes dos desmontes normais das minas au pedreiras, atraves de

sismografos dotados de geofones de multiplos canais, apropriadamente localizados

no terrena em relac;ao a geometria do desmonte.

Tais geofones (anexo 04) transformam a energia mecanica de vibrac;ao que

os atinge em energia eletrica com intensidade proporcional ao movimento oscilat6rio

do solo, sendo instalados sobre uma linha de propagac;ao cuja natureza dinamica se

pretender caracterizar.

Ap6s cada detona,iio, os geolones colocados a superficie do terreno

recebem os impulsos sismicos a diferentes instantes, registrando-os

magneticamente au sobre filme de papel fotografico que se move a velocidade

constante au na memoria de seu processador para analise computacional em

software especifico para este fim.

Nesse registro fiearn assinalados os instantes da detonacao, que constitu; 0

inicio da contagem de tempo e sabre as linhas de tempo, com intervalo geralmente

de 0,01s inscrevem-se os espectros de movimentos verticais gerados em cada

geofone.

As amplitudes dos movimentos sao expressas em termos de deslocamentos,

as quais sao depois convertidos para velocidades vibrat6rias, pela rela98o: V;::. 2n:fd.

Onde f e a freqOencia de vibrayao, diretamente lida no sismograma (em

hertz), e d a amplitude maxima de deslocamento, tambem lida no sismograma

(anexo 05).

Alem deste para metro, a sismograma pode ser utilizado para a determinac;:ao

da velocidade de propagac;:ao das ondas longitudinais atraves da formac;:ao rochosa

onde se instalaram as geofones.

1,5 VIBRA!;OES TRANSMITIDAS ATRAVES DOS CORPOS ROCHOSOS

Cerca de 5 a 15 % da energia liberada pelas detona,oes de explosivos em

rocha sao efetivamente usados na fragmentayao da rocha, constituindo ° fim uti I do

seu emprego. Isto significa que, em geral, 90% da energia contida nos explosivos e

transferida ao ambiente circundante sob a forma de calor, de ruido e de vibrac;:oes

susceptiveis de causar impactos significativos.

As vibrac;:oes constituem a causa mais comum de preocupac;:oes e de

protestos, par parte das pessoas afetadas nas vizinhanyas desses trabalhos e a

metodologia atualmente disponivel para tratar esse problema consiste na previsao

das amplitudes verificadas em pontos afastados da explosao, tendo em

considerac;:ao as propriedades geomecanicas dos macic;:os rochosos e as diversos

tipos de pianos de logo e a quantidade de explosivos detonados.

Investiga90es empreendidas em diversos paises tais como E.U.A., Japao,

Suecia, Inglaterra, etc, sao concordantes em admitir que as danos em estruturas se

correlacionam com a amplitude das andas sismicas que as atingem, e dentre as

grandezas fisicas que as caracterizam: deslocamentos, aceleray6es e velocidades

vibratorias sao as ultimas que melhor se ajustam a reterida correla~ao.

Dos varios criterios existentes, a que tern merecido maior aceitayao e 0 da

velocidade vibratoria de particula (PPV), sendo confirmado per numerosos exemplos

conhecidos.

Com efeito, urn limite inferior de 50 mm/s pareee garantir a seguran<;a de

edificios construidos com resistencia normal, e certos estudos estatisticos revelam

que mais de 97% dos cases de dana real, estao associados a velocidades

vibratorias superiores a 71 mm/s. Ha tambem ev;dencia que uma probabilidade de

50% corresponde a ocorrencia de danos em construc;6es submetidas a velocidades

vibratorias da ordem de 137mm/s (Berger,1971).

Os fen6menos de quebra de rochas sob a aC;80 explosiva exigem velocidades

vibratorias da ordem de 700 a 1000 mm/s, segundo Holinberg (1982).

Convem notar que as faixas de sensibilidade humana S80 muito inferiores aos

niveis de vibraC;8o suportados pelas estruturas correntes. Assim, 0 limite inferior da

percepC;80 humana situa-se em cerca de 10 mm/s, send a a velocidade de 50 mm/s

considerada into Ieravel.

Na pratica, a amplitude das vibra90es, expressa em termos da velocidade de

particula, depende fundamental mente de duas grandezas principais: A quantidade

da carga explosiva que detona e a distancia entre os pontos de detonaC;80 e de

interesse podendo ser estabelecida matemat;camente a partir de dados registrados

em sism6grafos apropriados.

Na sua forma mais geral, e dada por uma rela9ao do tipo: V ~ a ObOC

Em que V e a amplitude maxima da velocidade de particula resultante, a e a

quantidade de explosivo detonado por retardo do plano de fogo e 0 e a citada

distancia. Os coeficientes a, b, c sao constantes dependentes do local, do tipo de

esquema de fogo e da forma das ondas propagadas.

Pode-se comparar esta relaC;ao empirica com a lei de propagaC;ao te6rica,

proveniente da teoria da similitude, que se expressa por: V = a ( Q I D3) b

Varios especialistas indicam que esta relayao e valida para a vizinhanya

imediata das explosoes, aceitando-se que a diminuiyao do expoente de 0 (de 3 para

2) resulta da modifica,ao de caracteristicas de atenua,ao da onda, ao passar de

uma forma instavel para uma forma elastica estavel, it distancias maiores de origem

da explosao.

A experiemcia tambem mostra que a lei empirica de propagayao e

essencialmente baseada em detonayoes de cargas cilindricas, e a considerayclo de

uma simetria cilindrica na propagar;ao implica uma lei quadnitica de atenuayao.

Os dados publicados pelo U.S. Bureau of Mines (Duvall, Fogelson e outros),

na Inglaterra (Attewell e Farmer), na Suecia (Langefors, Person, etc.) e no Canada

(Bauer), revelaram que a lei quadratica e aproximadamente seguida na grande

maioria dos casos, sendo freqGente representar graficamente os pontos

correspondentes aos registros de sismografos, sabre diagramas que relacionam a

velocidade vibratoria com a distancia escalon ada D/Q 112. A regressao linear efetuada

sabre tais pontos reproduz a lei empirica acima mencionada, vista que:

v = a (Q I 0') b= a (Q"').2b

Os referidos diagramas pod em ser obtidas par cada uma das componentes

do vetor velocidade (vertical, radial e transversal), sendo representados em fun,ao

da distancia escalonada e para as cargas explosivas aplicadas.

Tais diagramas podem ser obtidos em fun,ao ou da quantidade total de

explosivo detonado, ou da quantidade detonada por cada retardo do plano de fogo,

dependendo da gama de distancias entre 0 desmonte e as estruturas a proteger.

Com efeito, it medida que esta distancia aumenta, tem lugar uma atenuat;ao seletiva

de freqOemcias (simultanea com dispersao de velocidades) que arigina uma

sobreposiyao dos trens de ondas provenientes dos varios retard os, a qual nao

permite a distinyao entre ondas individuais.

Geralmente, para distancias superiores a 1000 m e farmulada a lei de

propagayao das ondas resultantes da carga explosiva total e, para distancias

inferiares aquela, utiliza-se a equayao das ondas provenientes das cargas

detonadas par retardo.

Em qualquer dos casos, a amplitude da velocidade de particula e expressa

em funyEio da quantidade (em quilos) de explosivo considerado e da distancia,

servindo essa relaC;8o para 0 calculo da amplitude em Qutras condic;oes de trabalho,

mantendo-se constante a tipo de formaC;8o geologica.

Conhecida a amplitude da velocidade de particula pode-se prever as

circunstancias de perigo para a estabilidade de estruturas vizinhas, atraves da

utiliz8yao das relac;oes empiricas entre a grandeza das vibrac;6es e as danos fisicos

que elas pod em prOVDcar.

Tais relac;6es, utilizadas no sentido inverso, sao susceptiveis de fornecer as

cargas maximas que devem detonar nurn desmonte, a fim de proteger instalac;6es

pr6ximas dos prejuizos resultantes de niveis de vibrac;aoexcessivQs para a

respectiva seguranC;8.

A correlac;ao entre amplitudes de vibraC;;ao e os danos causados em edificios

e instalat;:oes vizinhas e usual mente feita per meie de dades experimentais tirades

de numeroses exemplos conhecidos.

Depois de analisadas as circunstancias que provocaram prejuizos, atribui-se

a eles urn grau de importancia (par exemplo, em termos de seguranc;a, precauC;ao,

perigo e colapso) e quantificando as vibrat;:6es por meio de urn parametro

apropriado, estabelecem-se os criterios de dano estrutural.

Todavia, a tendemcia moderna consiste em desenvolver criterios de dana

mais cientificos, tomando em considerat;:ao as verdadeiras propriedades das

edificat;:6es e, par outro lado, quantificando as vibrac;oes em termos de tens6es

dinamicas, que sao conceitos mais face is de tratar do que acelerac;oes, velocidades

ou deslocamentos.

Essas novas abordagens do problema da estabilidade dinamica de estruturas

parecem ser aplicaveis a determinat;:ao das quantidades das cargas explosivas que

podem detonar a diferentes distancias, atribuindo a cada uma delas um fator de

seguranc;a que pode ser utilizado para estabelecimento de decis6es sobre a farma

como devem ser executados os desmontes (Gama, 1978).

Enquanto tais metodologias nao sao implantadas com generalidade,

continuam-se a empregar os criterios empiricos convencionais.

10

1.6 DETERMINACAO DAS CURVAS DE ISOVELOCIDADE VIBRATORIA EM

TORNO DOS DES MONTES

Os equipamentos utilizados nos registros de campo proporcionaram amplas

tabelas de valores de velocidades vibratorias resultantes das detona90es e para

variadas gamas de distancias.o registro dessas grandezas e feito em sismografos de Engenharia com

captayao atraves de urn au mais geofones triortogonais (nas direc;;oes vertical,

longitudinal e transversal). enquanto que as sismografos de Geofisica de multiplos

canais (12. 24, etc.), sao adequados para medi9ao das restantes grandezas

dinamicas embora apenas registrem vibrac;oes na direc;ao vertical.

Os dados registrados nos primeiros sao processados de maneira a calcular 0

valor resultante das velocidades de particulas medidas segundo as tres

componentes do espa90.

Assim, dispondo dos valores das velocidades resultantes de particula obtidasem cad a desmonte, correlacionam-se com as distancias (entre 0 centro do plano de

fogo e 0 local de capta9ao) e com as quantidades de explosivos detonados par

retardo.

Em virtude da dispersao observavel de valores que resultaria da considerayao

dessas tres variilVeis, sem atender as litologias de propagayao das vibrayoes,

podem-se estabelecer leis de propagayao especificas para cad a tipo de rochas

presentes em determinada obra, e ainda, estabelece-Ias para cada direy8.o relevante

do espa90.

Assim, a velocidade de vibrayao em determinado ponto pede ser calculada

pela expressao da lei de propaga9ao ajustada (anexo 06).

Onde:

Q e a carga detonada por espera de retardo em Kilos

d e a distemcia em metros

me 0 coeficiente de impedancia da rocha que no caso do calcario e de - 1,3.

II

K e 0 pan,metro da rocha Jigado a capacidade de dispersao das ondas (em kg/s),

tendo como valores norma is: 400 para granito sao, 200 para rocha branda (que

sera 0 estudo de nosso trabalho) e 100 para rocha decomposta.

Portanto, para calcular a velocidade de particula num ponto situ ado a 500 m

de distancia de uma detonac;;ao onde a carga maxima por espera e de 460 kg.

fazemos:

V= 200 • (600/ sqrt(460)' -1,3) => V = 2.63 mm/s

Este metoda para determinayao da velocidade de particula, embora muito

te6rico podendo gerar erros, e amplamente aC8;to entre as engenheiros e tecnicos

de minas servindo como ferramenta basica para prevenir danos em constrw;:6es

adjacentes as minerac;:6es.

o que vamos mostrar adiante e urn metoda matematico alternativQ e mais

confiavel utilizando interpolac;:oes polinomiais de acordo com uma tabela de

medic;:6es realizadas de velocidade de particula.

1.7 LlMITES DE DANOS DE VIBRA<;fAO

Muito trabalho tern sido feito para se determinar niveis de vibra9aO limite para

danos em diversos tipos de estruturas. Estes niveis de velocidades de particula de

pica (tabela 01), tem side estabelecidos atraves de diversas ebserva90es no campo

e agora sao usados com confian9a na elabora98o de planas de fogo. No entanto, a

variabilidade nas condi90es do local indica que um cuidado deve ser tomado

sempre que as niveis de vibra9ao estiverem pr6ximos aos valores de limite

apresentados. 0 criteria de dana rna is freqGentemente usado em areas urbanas e a

velocidade de particula de pico de 50 mm/s, que e e nivel abaixe do qual as danos

da maiaria das estruturas residenciais e peuco significativo. No entanto, para

edificios men as resistentes, e velhos edificies de interesse hist6rico, as niveis

permitides de vibra90es podem se situar abaixo de 10 mm/s. 0 limite exigido deve

ser determinado atraves das condi90es estruturais do edificio.

\2

2 METODOS SEQOENCIAIS DE INTERPOLACAO

Seja uma tabela com valores de x e y associados. Para se obter 0 valor de y

para urn dado x naD con stante na tabela e necessaria encontrar uma funy80 que

relaciona estas variaveis. As fun90es mais utilizadas para determinar estas rela90es

sao as polinomios. Urn polinomio construido com a intuito de aproximar uma funy80

e denominado polinomio interpolador.

Existem varios metodos para construir urn polinomia interpolador a partir de

urn conjunto de pares de dad os. Serao apresentados a seguir os metodos utilizados

para construir urn polinomio interpolador de Lagrange, e Gregory-Newton.

2.1 INTERPOLACAO POR LAGRANGE

Os polin6mios de Lagrange de grau n sao dados por:

Por exemplo, se temas as pontcs Xc. Xl, Xz e X3, as 4 polin6mios de Lagrange

(de grau 3) sao dados por:

LOC') (x-x\)(x-x2)(x-Xl)(xo-xJl(xo -X2)(xO-'.\)

(, - xo)(x- x \ )(x - X))

L2(X) (X2 -xO)(x2 -X\)(x2 -X3)

L\(x) (x-XO)(X-X2)(x-x3)(X\-xO)(X\-x2)(X\-X\)

(x - xo)(, - 'Il(' - x2)L)(x) ('.\-xo)(X)-X\)(X\-X2)

13

Portanto, 0 polinomio:

~I( X) = Yo L.O( X) + YI L.I (X) + ... +)')) L)) (X) •, constrUido a partir dos

polinomios de Lagrange Lk(x) (k = 0, 1, ... , n) para uma labela de ponlos { (xi, Vi), i =

0, 1, ... , n ) e tal que:

Par exemplo. 5e quisermos determinar 0 polin6mio interpolador de Lagrange

para a seguinte tabela de pontes:

Neste caso, 0 polinomio fix) sera:

(x-2)(x-)Xx-4) _(x-IX,-))(x-4) (,-IXx-2Xx-4) (x-I){x-2)(x-»).(.,) = (, (1-2)(1- ))(1-4) +,. (2- IX2- ))(2-4) +2.(.1-I)(.1-2X)-4) +(-9).(4- 1)(4-2)(4-))

(xl_9.t2+16X_24) (.'(:'_8.'(2+19.'(_12) (x~-ix2+14x-8) (;.:3_6x2+II1._6)o(x}=6. -6 +5. 2: +2. -2 +(-9). 6

ou seja: .p{x) = 11-9x +5x2 _x.l

Evidentemente, para calcular urn valor interpolado nao e necessaria escrever

o polin6mio de Lagrange na forma padrao. Por exemplo, f(2.5) " $1(2.5) pode ser

calculado, diretamente, como:

A(J"))2i-1)(15- J)(LH) i(15-1)(15-J)(1H) 1 (1,i-1)(15-1)(15-4)(_e) (15-1)(2i-l)(15-J)_v".) \\ t.. t , t j.

(1-1)(1-»)(1-4) (1-1)(1-1)(1-4) (1-1)()-1)(J-4) (4-1)(H)(4-J)=4m

14

2.2 INTERPOLA~AO POR GREGORY-NEWTON

Uma Dutra maneira de determinar a polin ami a de interpolac;ao para uma

tabela de pontos e atraves do usa de diferen,as divididas. 0 polinomio assim obtido

denomina-se polinomio de interpola<;ao de Newton. Vamos explanar aqui uma

particularidade do metoda de Newton onde todos as pontos Xi (i = O. 1•...• n) sao

igualmente espac;ados, ja que nossa trabalho adiante estara correlacionado a esta

condic;ao. A este metoda denominou-se Metoda de Interpo1acao par Gregory-

Newton.

Seja a fun,ao y = fIx) definida pelos pontos { (Xi. Yi). i = O•...• n } tais que Xi+1 -

Xi = h. para todo i (i = 0.... n-1). Entao:

!-)11" ...,I1,\r. = ._1_,·1 " I n!hll

Portanto, par este teorema, pade-se escrever 0 polinomio interpolador como:

~ ~h ~$(x) = Yo+(x- xO)-ll + (x-xO)(x-x1)-2112 + ..+(x-xo)(x- xd ..(x- xn-d--..1'Q.n! hll

Par exemplo, se quisermos determinar f(0.5) dada a tabela:

i '" y, A'y, A'y, A'y, A'y,0 0.2 0.40 0.39 -0.02 0.01 -0.04

1 0.4 0.79 0.37 -0.01 -0.03

2 0.6 1.16 0.36 -0.04

3 0.9 1. 52 0.32

4 1.0 1. 94

15

Neste casa, pelo polinomio de interpolaC;8o de Gregory-Newton, temas:

r (0.5) " o(O.j) = 0.40 + (0.5 - 0 .2) ~+ (0.5 - 0.2)( O.j _ 0.4) (-0.02; +0.2 1(0.2)-

+ (0.5 - 0.2)( 0.5 - 0.4)(0.5 - 0.6) ~ +3~(0.2 )

+ (0.5 - 0.2)( 0.; - 0.4)(0.5 - 0.6~ 0.5 _ 0.8) (-0.04~ =4! (0.2)

= 0.91

3 METODOLOGIA DO TRABALHO

3.1 COLETA DE DADOS

o trabalho foi desenvolvido na minerac;ao da Cimento Vateran, no municipio

de Rio Branco do Sui - PR, denominada de Mina Saiva.

Foi utilizado urn sismagrafo com geofone modelo SSU3000LC da Geosonic

Em todos os desmonte de rochas executados durante 0 trabalho fixau-se uma

carga maxima de 460 kg de explosivo par espera de retardo e seguiu-se

rigorosamente este valor para evitar discrepancias entre os valores das medi90es

sismograficas.

Todos os pontos onde foram coletados os dados das velocidades de particula

resultante (PPV) estavam sob uma lente de calcaria de aproximadamente 250 m de

espessura 0 que proporcionou men or distorc;ao dos dados devido a geologia

constante da rocha.

Os pontcs a serem interpolados foram coletados segundo duas orienta96es:

norte e leste, da mina Saiva distanciados 200 m urn do outro (segundo tabelas 02 e

03, e anexo 08), e a 600 m da fonte sismica (desmonte de rocha).

16

3.2 DETERMINA9Ao DAS ISOCURVAS DE VIBRA9Ao POR INTERPOLA9Ao

MATEMATICA METODO DE LAGRANGE

o que sera feite aqui e simplesmente a determina~ao das possiveis

velocidades de particu1atomando se como base as tabelas 02 e 03 nas quais estao

contidas as informac;:6es das localizac;:Oes dos pontcs coletados, as velocidades em

cada componente vetorial e a componente da velocidade de particula resultante, que

e determinada pelo maior valor das demais componentes. Estas tabelas serao

reduzidas a novas tabelas contendo somente as dados pertinentes ao nossa

trabalho com interpolac;ao, ou seja: 85 distancias entre as pontcs de coleta e as

niveis de PPV resultantes.

De acordo com a tabela 02 temos que, para a dire9aOnorte da mina Saiva os

seguintes niveis de PPV sao:

Para efeito de demonstra9ao do metodo de Lagrange, calcularemos a PPV

para intervalos quaisquer da tabela aeirna. Para facilitar as calculos trabalharemos

com as distancias em unidades. Assim, por exemplo, 648m sera equivalente a 6.48.

a que nos da a tabela seguinte

1X 1 6,001 8,001 10,001 12,001 14,001 16,001 18,0011y 1 2,751 2,431 2,29 1 2,01 1 1,85 1 1,50 1 0,51 1

Calcularemos entao a PPV nos pontos 6.48m, 10.87m e 12.23m da fonte

geradora (0 desmonte):

Lembremos que:

(k = 0,1, ... , 11)

17

e

Valor de k: 7

Para 648m (au 6.48), temos:

(6,48-8,00)(6,48-1 0,00)(6,48-12,00)(6,48-14,00)(6,48-16,00)(6,48-18,00)L(O)= ----------------------------------------------------------------------------------------------

(6,00-8,00)(6,00-10,00)(6,00-12,00)(6,00-14,00)(6,00-16,00)(6,00-18,00)

24357,49L(O)=-------------- = 0,53

46080,00

(6,48-6,00)(6,48-1 0,00)(6,48-12,00)(6,48-14,00)(6,48-16,00)(6,48-18,00)L(1)= --------------------------------------------------------------------------------------

(8,00-6,00)(8,00-1 0,00)(8,00-12,00)(8,00-14,00)(8,00-16,00)(8,00-18,00)

-7691,84L(1)= ------------- = 1,00

-7680,00

(6,48-6,00)(6,48-8,00)(6,48-12,00)(6,48-14,00)(6,48-16, 00)(6 ,48-18, 00)L(2)= ---------------------------------------------------------------------------------

(10,00-6,00)(10,00-8,00)(10,00-12,00)(1 0,00-14,00)(1 0,00-16,00)(1 0,00-18,00)

-3321,48L(2)= ---------- = -1,08

3072,00

(6,48-6,00)(6,48-8,00)(6,48-1 0,00)(6,48-14,00)(6,48-16,00)(6,48-18,00)L(3)= -----------------------------------------------------------------------------------

(12,00-6,00)(12,00-8,00)(12,00-1 0,00)(12,00-14,00)(12,00-16,00)(12,00-18,00)

-2118,04L(3)= ------------ = 0,92

-2304,00

18

(6,48-6,00)(6,48-8,00)(6,48-10, 00)(6,48-12,00)(6,48-16, 00)(6,48-18, 00)L(4)= -------------------------------------------------------------------------------------------------------

(14,00-6,00)(14,00-8,00)(14,00-10,00)(14,00-12,00)(14,00-16,00)(14,00-18,00)

-1554,73L(4)= ------------ = -0,51

3072,00

(6,48-6,00)(6,48-8,00)(6,48-10,00)(6,48-12,00)(6,48-14, 00)(6,48-18,00)L(5)= --------------------------------------------------------------------------------------------------------

(16,00-6,00)( 16,00-8, 00)( 16, 00-1 0,00)( 16, 00-12, 00)( 16,00-14,00)( 16, 00-18,00)

-1228,11L(5)= ------------- = 0,16

-7680,00

(6,48-6,00)(6,48-8,00)(6,48-10,00)(6,48-12,00)(6,48-14,00)(6,48-16,00)L(6)= --------------------------------------------------------------------------------------------------------

(18,00-6,00)(18,00-8,00)(18,00-1 0,00)(18,00-12,00)(18,00-14,00)(18,00-16,00)

-1014,90L(6)= ------------ = -0,02

46080,00

Entao temos que:

Lo= 0.53 L,=1.00 L2= -1.08 L3= 0.92 L,=-0.51 Ls= 0.16 L6=-0.02

o prov8vel nivel de vibrac;:ao no ponto 648m afastado da fonte sismica sera

de:

P(6.48)= + (2,75"0,53) + (2,43"1,00) + (2,29"-1,08) + (2,01"0,92) + (1,85"-

0,51) + (1,50"0,16) + (0,51"-0,02) P(6.48)= 2,55 mm/s

Para 1087 m (ou 10.87), lemos:

(10,87-8,00)(10,87-10,00)(10,87-12,00)(10,87-14,00)( 10,87-16,00)(10,87-18,00)L(O)= -----------------------------------------------------------------------------------------

(6,00-8,00)(6,00-10,00)(6,00-12,00)(6,00-14,00)(6,00-16,00)(6,00-18,00)

323,02L(O)= -------------- = 0,01

46080,00

19

(10,87-6,00)(10,87-10,00)(10,87-12,00)(10,87 -14,00)(10,87-16,00)(10,87-18,00)

L(1)= ----------------------------------------------------------------------------------------------(8,00-6,00)(8,00-10,00)(8,00-12,00)(8,00-14,00)(8, 00-16, 00)(8,00-18,00)

548,12L(1)=------------ = -0,07

-7680,00

(10,87-6,00)(10,87-8,00)(10,87-12,00)(10,87 -14,00)(10,87-16,00)(10,87-18,00)

L(2)= -------------------------------------------------------------------------------------------------------(10,00-6,00)(10,00-8,00)(10,00-12,00)(10,00-14,00)(10,00-16,00)(10,00-18,00)

1808,18L(2)= -------------- = 0,59

3072,00

(10,87-6,00)(10,87-8,00)(10,87-10,00)(10,87-14,00)(10,87-16,00)(10,87-18,00)L(3)= ------------------------------------------------------------------------------------------------------

(12,00-6,00)(12,00-8,00)(12,00-10,00)(12,00-14,00)(12,00-16,00)(12,00-18,00)

-1392,13L(3)= ------------ = 0,60

-2304,00

(10,87-6,00)(10,87-8,00)(10,87-10,00)(10,87-12,00)(1 0,87-16,00)(10,87-18,00)L(4)= ---------------------------------------------------------------------------------------------------------

(14,00-6,00)(14,00-8,00)(14,00-1 0,00)(14,00-12,00)(14,00-16,00)(14,00-18,00)

-502,59L(4)= ------------- = -0,16

3072,00

(10,87-6,00)(10,87-8,00)(10,87-10,00)(10,87-12,00)(1 0,87-14,00)(10,87-18,00)L(5)= -------------------------------------------------------------------------------------------------------

(16,00-6,00)(16,00-8,00)(16,00-1 0,00)(16,00-12,00)(16,00-14,00)(16,00-18,00)

-306,65L(5)= ------------- = 0,04

-7680,00

(10,87-6,00)(10,87-8,00)(10,87-10,00)(10,87 -12,00)(10,87-14,00)(10,87-16,00)L(6)=--------------------------------------------------------------------------------------- _

(18,00-6,00)(18,00-8,00)(18,00-1 0,00)(18,00-12,00)(18,00-14,00)(18,00-16,00)

20

-220,63L(6); ---------------; -0,00

46080,00

Entao temos que:

Lo; -0.01 L,;-0.07 L2; 0.59 L,; 0.60 L,;-0.16 L,; 0.04 L,;-O.OO

o provc3vel nivel de vibra980 no ponto 1087m afastado da fonte sismica sera

de:

P(10.87); + (2,75'0,01) + (2,43'-0,07) + (2,29'0,59) + (2,01'0,60) + (1,85'-

0,16) + (1,50'0,04) + (0,51'-0,00).- P(10.87); 2,16 mm/s

Para 1223m(eu 12.23), lemes

(12,23-8,00)( 12,23-10,00)( 12,23-12,00)( 12,23-14,00)( 12,23-16 ,00)( 12 ,23-18,00)L(O); ----------------------------------------------------------------------------------------------

(6,00-8,00)(6,00-1 0,00)(6,00-12,00)(6,00-14,00)(6,00-16,00)(6,00-18,00)

-83,53L(O); ------------; -0,00

46080,00

(12,23-6,00)(12,23-10,00)(12,23-12,00)(12,23-14,00)(12,23-16,00)(12,23-18,00)

L(1); ----------------------------------------------------------------------------------------------------(8,00-6,00)(8,00-10,00)(8,00-12,00)(8,00-14,00)(8,00-16,00)(8,00-18,00)

-123,03L(1); ----------; 0,02

-7680,00

(12,23-6,00)(12,23-8,00)(12,23-12,00)(12,23-14,00)(12,23-16,00)(12,23-18,00)L(2); -----------------------------------------------------------------------------------------------------

(10,00-6,00)(10,00-8,00)(10,00-12,00)(1 0,00-14,00)(1 0,00-16,00)(1 0,00-18,00)

-233,37L(2); ------------; -0,08

3072,00

21

(12,23-6,00)(12,23-8,00)(12,23-10,00)(12,23-14,00)(12,23-16,00)(12,23-18,00)L(3)= ------------------------------------------------------------------------------------------------------

(12,00-6,00)(12,00-8,00)(12,00-1 0,00)(12,00-14,00)(12,00-16,00)(12,00-18,00)

-2262,68L(3)= --------------- = 0,98

-2304,00

(12,23-6,00)(12,23-8,00)(12,23-1 0,00)(12,23-12,00)(12,23-16,00)(12,23-18,00)L(4)= ---------------------------------------------------------------------------------------------------

(14,00-6,00)(14,00-8,00)(14,00-1 0,00)(14,00-12,00)(14,00-16,00)(14,00-18,00)

294,02L(4)= ----------- = 0,10

3072,00

(12,23-6,00)(12,23-8,00)(12,23-1 0,00)(12,23-12,00)(12,23-14,00)(12,23-18,00)L(5)= -------------------------------------------------------------------------------------------

(16,00-6,00)(16,00-8,00)(16,00-1 0,00)(16,00-12,00)(16,00-14,00)(16,00-18,00)

138,04L(5)= ------------- = -0,02

-7680,00

(12,23-6,00)(12,23-8,00)(12,23-1 0,00)(12,23-12,00)(12,23-14,00)(12,23-16,00)

L(6)= ---------------------------------------------------------------------------------------------------------

(18,00-6,00)(18,00-8,00)(18,00-1 0,00)(18,00-12,00)(18,00-14,00)(18,00-16,00)

Entao temos que:

90,19L(6)= ----------- = 0,00

46080,00

L,= -0.00 L,=0.02 L,= -0.08 L3= 0.98 L,=0.10 L5= -0.02 L6=0.00

o prov8vel nivel de vibra9ao no ponto 1223m afastado da (ante sismica sera

de:

P(12.23)= + (2,75"-0,00) + (2,43"0,02) + (2,29"-0,08) + (2,01"0,98) +

(1,85"0,10) + (1,50"-0,02) + (0,51"0,00) P(12.23)= 1,99 mm/s

22

De fata, poderiamos calcular qualquer valor da velocidade de particula

compreendido no intervale de 600 a 1800 m, que e 0 intervalo de interesse neste

estudo.

o metoda de Lagrange e urn metoda muito eficiente para aproximat;5es

polinomiais. Se temas valores de K razoavelmente pequenos e passivel executar as

calculos para determinac;:ao de urn valor qualquer, como no caso aeima. Porem,

para valores de K multo grandes a melhor alternativa e recorrer a metodos

computacionais. Em anexo a este trabalho se encontra urn programa denominado

de "Calculo Numerico" desenvolvido em Iinguagem Delphi com 0 qual foi possivel

determinar as possiveis niveis de vibra980 em intervalos de SOm nas direc;:6es norte

e leste da mina Saiva (Tabela 04).

23

4 CONCLUSAO

Existe uma gama de atividades desenvolvidas pelo homem, cada uma com

seu processo, metodologia e objetivo especifico. Nao obstante a isso, ciemcias como

a rnaternatica e a fisica estao intima mente ligadas de forma intrinseca a essas

atividades. Tais ci€mcias, se analisadas de forma racional e 16gica, podem contribuir

significativamente na melhoria e ate mesma na mudan<;a de procedimentos para a

realiza9ao destas atividades. A rnatematica e uma ciencia viva e dinamica. Par ela

podem-se observar fen6menos naturais que se encaixam perfeitamente em modelos

que vao muito alt~m de nossa imaginagao. Porem, mesmo a matematica sendo

composta de cit leu los e expressoes consideradas muitas vezes de

incompreensiveis, e preciso sensibilidade e paixao para se trabalhar com ela. Epreciso imaginar 0 imaginavel, ver adiante, 0 pronto. Esta sensibilidade junto acapacidade de extra polar nossos pensamentos geraram matematicos como

Pitagoras, Galileu, Newton, Fibonnacci e Lagrange, entre outros grandes.

Porem, face ao avanc;o tecnologico, fundamentado nos principios e teoremas

desenvolvidos por grandes mate maticos, a verdadeira matematica passou a ser urna

ferrarnenta para poucos. Tornou-se facil 0 calculo de operac;:Oes que ate alguns

seculos atras s6 erarn desenvolvidos por pessoas eruditas, estudiosas no assunto.

Hoje basta apenas usar a calculadora e temos as soluc;oes que queremos. A

fundamentac;:ao logica esta sendo esquecida. A matematica real, da vida real, se

baseia em equipamentos sofisticados e descomplicados sem dar muita importancla

a questionamentos tais como: como se chegou a isso, au em que se baseia isso.

Neste trabalho procurou-se unir esta ambigOidade. Aqui foi trabalhada a

utiliza~aoreal de uma ferramentamatematica, Interpola~aode Lagrange, sem

perder sua fundamentac;:ao teorica, porem utilizando-se a informatica como apoio

para resoluc;:ao dos calculos mate maticos mais complexos.

Sugiro que, tanto na graduac;ao como em especializac;:oes, estas ideias de

fundamentac;:6es das ferramentas matematicas nao passem desapercebidas, seja

nas disciplinas filos6ficas, seja nas disciplinas metodol6gicas.

24

5 REFERENCIAS

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