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Sistemas estrati�cantes sobre álgebras

hereditárias

Paula Andrea Cadavid Salazar

TESE APRESENTADA

AO

INSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA

DA

UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO

PARA

OBTENÇÃO DO TÍTULO

DE

DOUTOR EM CIÊNCIAS

Programa: Matemática

Orientador: Prof. Dr. Eduardo do Nascimento Marcos

Durante o desenvolvimento deste trabalho o autor recebeu auxílio �nanceiro da

CAPES e do CNPq

São Paulo, 5 de agosto de 2013


hereditárias

Esta versão da tese contém as correções e alterações sugeridas

pela Comissão Julgadora durante a defesa da versão original do

trabalho, realizada em 14/11/2012. Uma cópia da versão original

está disponível no Instituto de Matemática e Estatística da

Universidade de São Paulo.

Comissão Julgadora:

• Prof. Dr. Eduardo do Nascimento Marcos (orientador) - IME-USP

• Profa. Dra. Maria Izabel Ramalho Martins - IME-USP

• Prof. Dr. Edson Ribeiro Alvares - UFPR

• Prof. Dr. Marcelo Americo Lanzilotta Mernies - Universidad de la República

• Prof. Dr. Viktor Vekkert - UFMG

A Luisa y a Pablo

Agradecimentos

Ao meu orientador Eduardo do Nascimento Marcos pela con�ança e apoio durante esses

anos. Sem ele este trabalho não teria sido possível.

À professora Maria Izabel Ramalho Martins por todo o tempo dedicado a me escutar, ler e

corregir este trabalho.

Muito especialmente ao professor Marcelo Lanzilotta pela hospitalidade e atenção dispensada

durante minhas visitas à Universidad de la República.

Ao professor Flavio Ulhoa Coelho pelas suas sugestões que ajudaram a melhorar este traba-

lho.

Ao meu colega Franciso Medeiros pelas discussões que esclareceram algumas das minhas

dúvidas.

A minha família: Pablo e Luisa.

A meus queridos amigos Natalia, Sandro, Sandra, Cristian, Luana, Alejandra R., Javier e

Alejanndra A.

Ao CNPq e a Capes, pelo apoio �nanceiro.

i

Resumo

O principal tema deste trabalho é o estudo dos sistemas estrati�cantes sobre álgebras he-

reditárias. Um dos principais problemas é a construção de sistemas estrati�cantes completos

cujos elementos sejam todos módulos regulares, sendo este problema resolvido para álgebras

hereditárias do tipo mansa e as álgebras de Kronecker generalizadas.

Para as álgebras hereditárias de tipo mansa exibimos um limitante para o tamanho dos

sistemas estrati�cantes formados só de módulos regulares e, usando tal limitante, concluímos que

não é possível que tais sistemas estrati�cantes sejam completos. Para as álgebras de Kronecker e

as álgebras de Kronecker generalizadas concluimos que nenhum sistema estrati�cante sobre esta

álgebra pode ter elementos regulares e construímos todos os possíveis sistemas estrati�cantes

completos sobre esta álgebra.

De�nimos o conceito de sequência especial de um módulo inclinante, estabelecemos que todo

módulo inclinante tem uma sequência especial e estudamos quando uma sequência, de dois e

três somandos diretos de um módulo inclinante, é uma sequência especial.

Palavras-chave: Sistema estrati�cante, álgebra hereditária, módulo inclinante, sequência

excepcional.

iii

Abstract

The main topic of this work is the study of stratifying systems over hereditary algebras. One

of the main questions to be considered is the construction of complete stratifying systems whose

elements are regular modules. We solve this problem for tame hereditary algebras and for the

Kronecker generalized algebras.

In the case of tame hereditary algebras, we obtain a bound for the size of the stratifying

systems composed only by regular modules and, by using this bound, we conclude that such

stratifying systems can not be complete. For the Kronecker and for Kronecker the generalized

algebras we conclude that no strati�ng system over this algebra can have regular elements. Next

we construct all possible complete stratifying systems over this algebra.

Furthermore, we de�ne the notion of special sequence of a tilting module and we establish

that all tilting modules have an special ordenation. Also we study when an sequence of two and

three direct summands of an tilting module, is a special ordenation.

Keywords: stratifying systems, hereditary algebra, tilting module, exceptional sequence.

v

Sumário

1 Preliminares 1

1.1 Carcases e álgebras de caminho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Representações e módulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3 Sequências de Auslander-Reiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.4 Os funtores de translação τ e τ−1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.5 Sobre o grupo de Grothendieck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.6 Sobre álgebras hereditárias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.7 Sobre tubos estáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2 Sistemas estrati�cantes sobre álgebras hereditárias 23

2.1 Sistemas estrati�cantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.2 Módulos estândares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.3 Sequências excepcionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3 Sistemas estrati�cantes de módulos regulares sobre álgebras hereditárias eu-

clidianas 43

3.1 Sistemas estrati�cantes de módulos regulares sobre álgebras hereditárias euclidianas 43

3.2 Sistemas estrati�cantes sobre álgebras de tipo ∆(Ap,q) . . . . . . . . . . . . . . . 49

4 Sistemas estrati�cantes via módulos inclinantes em álgebras hereditárias 75

Referências Bibliográ�cas 89

Referências Bibliográ�cas 89

Índice Remissivo 91

vii

Introdução

Os sistemas estrati�cantes foram introduzidos, em [7], por K. Erdmann e C. Sáenz, como

uma generalização dos módulos estândares. Em [7], os autores mostram que para um sistema es-

trati�cante θ a categoria F(θ), dos módulos �ltrados por θ, é equivalente à categoria dos módulos

�ltrados pelos módulos estândares sobre uma álgebra estandarmente estrati�cada apropriada.

Além disso, mostram que a categoria F(θ) gera um módulo tal que seu anel de endomor�smos

é uma álgebra estandarmente estrati�cada.

Em [10, 11], E. Marcos, O. Mendoza e C. Sáenz, introduzem os sistemas estrati�cantes via

módulos relativamente projetivos e os sistemas estrati�cantes via módulos relativamente simples,

respectivamente, e mostram que as três noções de sistema estrati�cante são equivalentes. Em

[12], os mesmos autores, encontraram um limitante para a dimensão �nitística de uma álgebra

estandarmente estrati�cada usando a teoria dos sistemas estrati�cantes.

Por outro lado, em [13], E. Marcos, O. Mendoza, C. Sáenz e R. Zuazua, introduzem a

forma quadrática qθ, que depende de um sistema estrati�cante θ, usando-a para estabelecer uma

condição, su�ciente e necessária, para que a categoria F(θ) seja �nita.

Nosso objetivo é estudar sistemas estrati�cantes sobre álgebras hereditárias. Neste traba-

lho, mostramos que existe uma relação estreita entre os sistemas estrati�cantes e os módulos

inclinantes. Usando esta relação obtemos um limitante para o tamanho destes, e deste modo

introduzimos a noção de sistemas estrati�cantes completos.

Uma questão de interesse é a existência de um sistema estrati�cante completo formado

somente de módulos regulares. Se A = KQ, onde Q é um carcás acíclico e conexo, então se Q

for um diagrama de Dynkin ou um diagrama euclidiano, a resposta é não. Mesma resposta vale

se A for uma álgebra de Kronecker ou uma álgebra de Kronecker generalizada.

Por outro lado, o conceito de sequência exepcional foi introduzido por Gordentsev e Rudakov,

em [9], com o intuito de estudar �brados vetoriais sobre P2. Tais sequências tem sido usadas por

vários autores no estudo das categorias derivadas de variedades algebraicas (ver por exemplo

[4, 16]). Crawely-Boevey considerou a noção correspondente no contexto das representações de

um carcás e, em [6], demonstrou que se K é um corpo algebricamente fechado e A é uma K-

álgebra hereditária, existe uma ação transitiva do grupo de tranças gerado por s− 1 elementos

sobre o conjunto de sequências excepcionais completas de tamanho s. Depois Ringel, em [14],

mostrou que o mesmo resultado vale se A for uma álgebra de Artin qualquer.

Usando o fato de que, sobre uma álgebra hereditária, as noções de sistema estrati�cante e

sequência excepcional são equivalentes e os resultados de [6], calculamos explicitamente todos os

sistemas estrati�cantes completos sobre uma álgebra de Kronecker (ou Kronecker generalizada)

e construímos uma família de sistemas estrati�cantes completos com um número maximal de

ix

elementos regulares sobre a álgebra canônica 4(Ap,q).A tese está organizada da seguinte forma: o Capítulo 1, destina-se à revisão de conceitos,

de�nições, teoremas e notações usadas na teoria de representações de álgebras. Também tratamos

das álgebras hereditárias e algumas das suas propriedades. Finalmente, de�nimos alguns tipos

de componentes no carcás de Auslander-Reiten que serão usadas no Capítulo 3.

No Capítulo 2, de�nimos os sistemas estrati�cantes e descrevemos algumas das suas pro-

priedades. De�nimos também o conjunto dos módulos estândares, as álgebras estandarmente

estrati�cadas e uma classe particular delas: as álgebras quase-hereditárias. Além disso, usando

o grupo de Grothendieck para um sistema estrati�cante, fazemos uma demonstração simples de

que uma álgebra estandarmente estrati�cada é quase-hereditária se, e somente se, tem dimensão

global �nita. Estabelecemos uma relação entre os sistemas estrati�cantes sobre álgebras heredi-

tárias e os módulos inclinantes e, usando tal relação, encontramos um limitante para o tamanho

destes. Introduzimos o conceito de sequência especial para um módulo. Também, usamos resul-

tados em [6], para calcular especi�camente todos os sistemas estrati�cantes completos sobre a

álgebra de Kronecker e sobre as álgebras de Kronecker generalizadas.

No Capítulo 3, demonstramos que não é possível construir um sistema estrati�cante com-

pleto cujos elementos sejam módulos regulares e encontramos um limitante para o tamanho de

um sistema estrati�cante com tais características. Mais ainda, mostramos que não é possível

construir tal sistema estrati�cante em um tipo mais geral de álgebras: as álgebras disfarçadas de

tipo euclideano. Construímos uma família de sistemas estrati�cantes completos com um número

maximal de elementos regulares sobre a álgebra canônica 4(Ap,q).Finalmente, no Capítulo 4, mostramos que dado um módulo inclinante parcial básico sobre

uma álgebra hereditária existe uma sequência especial de seus somandos diretos. Depois, encon-

tramos condições su�cientes e necessárias para que uma sequência de dois módulos seja uma

sequência especial. Por último, tratamos o caso de uma sequência de três módulos.

x

Capítulo 1

Preliminares

Vale enfatizar que ao longo deste texto a palavra álgebra signi�ca álgebra associativa, com 1

e de dimensão �nita sobre um corpo algebricamente fechado. Alguns dos resultados mencionados

neste trabalho valem num contexto mais geral, mas por simplicidade vamos nos restringir a este.

Faremos aqui uma breve descrição das noções de álgebras associativas de dimensão �nita que

utilizaremos ao longo desta tese. Para consultar detalhes citamos aos Capítulos I, II, III, VII,

VIII e o Apêndice A de [2] assim como o Cap. XIII em [17].

Se A é uma K-álgebra de dimensão �nita, então o módulo AA admite uma decomposição da

forma

A = P1 ⊕ P2 ⊕ . . .⊕ Pn,

onde cada Pi = eiA é um A-módulo projetivo indecomponível e e1, e2, . . . , en são idempotentes

primitivos, dois a dois ortogonais, e tais que 1 = e1 + e2 + · · ·+ en. O conjunto {e1, e2, · · · , en}é chamado de um conjunto completo de idempotentes primitivos ortogonais.

Dizemos que A é uma álgebra básica se eiA � ejA, quando i 6= j, para todo i, j = 1, . . . , n.

Além disso dizemos que A é conexa (ou indecomponível) se não pode ser decomposta como

soma direta de duas álgebras, ou equivalentemente, se 0 e 1 são seus únicos idempotentes centrais.

Denotamos por Mod A a categoria cujos objetos são os A-módulos à direita e cujos mor�smos

são os homomor�smos de A-módulos e por modA a subcategoria plena de ModA cujos objetos

são os A-módulos �nitamente gerados.

O principal objetivo na teoria de representações de álgebras é o estudo das categorias de

módulos. Mas, sem perda de generalidade, podemos estudar as categorias de módulos sobre

álgebras básicas. Isto devido a que, como consequência dos Teoremas de Morita, se uma K-

álgebra A é de dimensão �nita então existe uma K-álgebra B básica tal que mod A e mod B

são equivalentes.

1

Preliminares

1.1 Carcases e álgebras de caminho

Seja A uma álgebra de dimensão �nita e básica sobre um corpo algebricamente fechado.

Nesta seção daremos uma caracterização de A em termos de estruturas chamadas carcases.

Para isto, começaremos de�nindo carcases, veremos como se podem construir álgebras a par-

tir deles e para �nalizar enunciaremos o Teorema de Gabriel, que proporciona a caracterização

mencionada acima. A prova de tal teorema pode ser vista no Capítulo II de [2].

Um carcás é uma quádruplaQ = (Q0, Q1, c, f) formada de dois conjuntosQ0 (cujos elementos

chamamos vértices) e Q1 (cujos elementos chamamos �echas), e duas funções c : Q1 → Q0 e

f : Q1 → Q0.

Dada uma �echa α ∈ Q1, se c(α) = a e f(α) = b dizemos que o começo de α é a e que o

�nal de α é b. Denotamos esta situação por α : a → b. O carcás Q = (Q0, Q1, c, f) pode ser

denotado por Q = (Q0, Q1) ou simplesmente por Q.

Dizemos que Q = (Q0, Q1) é �nito se os conjuntos Q0 e Q1 são �nitos. Todos os carcases

que consideraremos aqui serão �nitos, exceto o carcás de Auslander-Reiten que de�niremos na

seção 1.4.

O grafo subjacente Q do carcás Q é um grafo obtido de Q sem considerar a orientação

das �echas, isto é, Q é um grafo com os mesmos vértices de Q e tal que existe uma aresta entre

os vértices a e b em Q se existe uma �echa α : a → b ou uma �echa β : b → a. Dizemos que o

carcás Q é conexo se o grafo subjacente Q é conexo. Sejam Q = (Q0, Q1, c, f) e a, b ∈ Q0. Um

caminho de comprimento ` ≥ 1 com começo em a e �nal em b (ou simplesmente de a para b)

é uma sequência

(a|α1, α2, . . . , α`|b)

onde αk ∈ Q1, para 1 ≤ k ≤ `, c(α1) = a, f(αk) = c(αk+1), para cada 1 ≤ k ≤ ` − 1, e

f(α`) = b. Denotamos tal caminho por α1α2 . . . α`. Além disso, a cada vértice a ∈ Q0 associamos

um caminho de comprimento ` = 0 que chamamos caminho trivial e que denotamos por εa ou

por (a||a).

Um caminho de comprimento ` ≥ 1 é chamado ciclo quando seu começo e seu �nal coincidem.

Um carcás que não contém ciclos é chamado de acíclico.

Dados um carcás Q e um corpo K uma álgebra de caminhos KQ é uma K-álgebra cujo

K-espaço vetorial subjacente tem como base o conjunto de todos os caminhos de comprimento

` ≥ 0 em Q.

A seguir de�nimos o produto em KQ nos elementos da sua base. Se γ1 = (a|α1, α2, . . . , α`|b)e γ2 = (c|β1, β2, . . . , βk|d), então

γ1γ2 =

{(a|α1, α2, . . . , α`, β1, β2, . . . , βk|d), se b = c

0, caso contrário.

2

Representações e módulos

Tal produto é estendido por linearidade para qualquer elemento de KQ.

Uma relação em Q é uma combinação K-linear de caminhos, de comprimento maior do que

um, que tem o mesmo início e o mesmo �nal. Isto é, uma relação ρ é um elemento de KQ da

forma

ρ =m∑i=1

λiωi,

onde λi ∈ K (não todos nulos), `(ωi) > 1 para i = 1, . . . ,m, e existem a, b ∈ Q0 tais que

c(ωi) = a e f(ωi) = b para i = 1, . . . ,m.

Sejam Q um carcás �nito e R o ideal de KQ gerado pelas �echas de Q. Dizemos que um

ideal bilateral I de KQ é admissível se existe um inteiro m ≥ 2, tal que

Rm ⊆ I ⊆ R2.

É conhecido que se Q é �nito e I é um ideal admissível de KQ, então existe um conjunto �nito

de relações {ρ1, ρ2, . . . , ρs} tais que I = 〈ρ1, ρ2, . . . , ρs〉. O par (Q, I) é chamado carcás com

relações ou carcás limitado e a álgebra quociente KQ/I associada ao par (Q, I) é chamada de

álgebra de caminhos do carcás com relações (Q, I).

Até aqui dado um carcás Q de�nimos a álgebra KQ a partir de Q. Agora, assumindo que

A é uma K-álgebra de dimensão �nita, básica e K um corpo algebricamente fechado vamos

construir o carcás QA a partir de A e veremos de que forma A e KQA estão relacionadas.

Sejam K um corpo algebricamente fechado, A uma K-álgebra básica com dimK A < ∞, e

{e1, e2, . . . , en} um conjunto completo de idempotentes ortogonais primitivos. O carcás ordi-

nário de A, que denotaremos por QA, é de�nido da seguinte forma:

1. Os vértices de QA são v1, v2, . . . , vn que estão em correspondência bijetora com os idem-

potentes e1, e2, . . . , en.

2. Dados dois vértices vi e vj em (QA)0, �xamos uma base para o K-espaço vetorial

ei(radA/rad2A)ej .

As �echas α : vi → vj estão em correspondência bijetora com os vetores de tal base.

A seguir enunciamos o Teorema de Gabriel que estabelece uma relação entre álgebras e seus

carcases.

Teorema de Gabriel I 1.1.1. Seja A uma K-álgebra básica e conexa de dimensão �nita,

onde K é um corpo algebricamente fechado. Então existe um ideal admissível I de KQA tal que

A ∼= KQA/I. Além disso, se ψ : KQ→ A é um epimor�smo de K-álgebras tal que Nucψ é um

ideal admissível de KQA então Q = QA. �

Um epimor�smo como no teorema acima se chama uma apresentação de A.

3

Preliminares

1.2 Representações e módulos

Na seção anterior, vimos como algumas álgebras podem ser descritas em termos de carcases

com relações. Agora vamos visualizar as representações de uma álgebra, isto é, os seus módulos,

através do correspondente carcás com relações. Todos os conceitos aqui apresentados podem ser

encontrados no Capítulo III de [2].

Ao longo desta seção assumimos que A é uma K-álgebra de dimensão �nita, básica e K um

corpo algebricamente fechado e consideraremos em todos os casos carcases �nitos.

Seja Q um carcás �nito. De�nimos uma representação K-linear ou, simplesmente, uma

representação M do carcás Q da seguinte forma:

1. Para cada vértice a ∈ Q0 associamos um K-espaço vetorial Ma.

2. Para cada �echa α : a→ b em Q1 associamos uma aplicação K-linear ϕα : Ma→Mb.

Denotamos tal representação como M = (Ma, ϕα)a∈Q0,α∈Q1 , ou simplesmente como M =

(Ma, ϕα); e dizemos que é de dimensão �nita se cada espaço vetorial Ma é de dimensão �nita.

Sejam M = (Ma, ϕα) e M ′ = (M ′a, ϕ′α) duas representações K-lineares de Q. Um mor�smo

(de representações) f : M→M ′ é uma família f = (fa)a∈Q0 de K-aplicações lineares fa :

Ma→M ′a, as quais são compatíveis com as aplicações ϕα. Isto é, para cada �echa α : a→ b, vale

que

ϕ′αfa = fbϕα

ou, equivalentemente, cada um dos seguintes quadrados comutam:

Maϕα //

fa��

Mb

fb��

M ′aϕ′α //M ′b.

Sejam f : M→M ′ e g : M ′→M ′′ dois mor�smos de representações de Q, onde f = (fa)a∈Q0

e g = (ga)a∈Q0 . De�nimos a composição gf : M −→M ′′ como sendo a família gf = (gafa)a∈Q0 .

Desse modo, temos de�nido a categoria Rep(Q) de representações K-lineares de Q. Denota-

mos por rep(Q) a subcategoria plena de Rep(Q), que consiste das representações de dimensão

�nita.

Seja M = (Ma, ϕα) uma representação de Q. Para um caminho não trivial

ω = (a|α1, α2, . . . , α`|b)

4

Representações e módulos

em Q, a avaliação de M em ω é a função K-linear ϕω : Ma →Mb de�nida por

ϕω = ϕα1ϕα2 . . . ϕα` .

Estendemos esta de�nição para combinações lineares de caminhos. Isto é, se ρ =∑m

i=1 λiωi é

uma relação, então a avaliação de M em ρ é ϕρ =∑m

i=1 λiϕωi .

Exemplo 1.2.1. Seja A = KQ, onde Q é o carcás

2

α1

%%

α2

99 1.

A é conhecida como a álgebra de Kronecker. Uma representação M de Q é dada por

K

(1

0

)''

(0

1

) 88K2.

Outra representação M ′ esta dada por

K2

(1 0

0 1

)''

(0 0

1 0

) 88K2.

Temos um mor�smo M −→M ′ de�nido por

K

(1

0

)��

(1

0

)//(

0

1

) 33 K2

(1 0

0 1

)��

K2

(1 0

0 1

)//(

0 0

1 0

) 33 K2

Pois temos que (1 0

0 1

)(1

0

)=

(1 0

0 1

)(1

0

)e

(1 0

0 1

)(0

1

)=

(0 0

1 0

)(1

0

)Seja I um ideal admissível deKQ. Dizemos que a representaçãoM = (Ma, ϕα) de Q satisfaz

5

Preliminares

as relações em I quando ϕρ = 0, para todo elemento ρ ∈ I. Notemos que se I é gerado pelo

conjunto de relações {ρ1, ρ2, . . . , ρs}, a representação M satisfaz as relações de I se, e somente

se, ϕρi = 0, para todo 1 ≤ i ≤ s.Uma representação de (Q, I) é uma representação de Q que satisfaz as relações de I. Deno-

tamos por RepK(Q, I) a subcategoria de RepK(Q) cujos objetos são as representações de (Q, I)

e por repK(Q, I) a subcategoria de repK(Q) cujos objetos são as representações de dimensão

�nita de (Q, I).

Se A é uma K-álgebra básica de dimensão �nita sobre o corpo K algebricamente fechado

então, pelo Teorema de Gabriel, A é isomorfa a uma álgebra de caminhos dada por um carcás

com relações (Q, I), isto é, A ∼= KQ/I. A seguinte proposição diz que o estudo da categoria

Mod A é equivalente ao da categoria Rep(Q, I).

Teorema 1.2.2. Seja A = KQ/I, onde Q é um carcás �nito e conexo e I é um ideal admissível

de KQ. Então existe uma equivalência F de categorias

F : Mod A'−→ RepK(Q, I)

cuja restrição é uma equivalência entre as categorias

F : mod A'−→ repK(Q, I).

Demonstração. Descreveremos o funtor F : Mod A−→ RepK(Q, I). Para isto diremos como

age nos objetos e nos mor�smos de Mod A.

Sejam a ∈ Q0 e α ∈ Q1. Denotaremos por ea e por α as classes de εa e de α em KQ/I,

respectivamente.

Se M é um A-módulo, de�nimos F (M) = (Ma, ϕα), onde Ma = Mea e para α : a−→ b, seja

ϕα : Ma−→Mb dada por ϕα(x) = xα, para todo x ∈Ma.

Se f : M→M ′ é um homomor�smo de A-módulos, então de�nimos F (f) = (fa)a∈Q0 , onde

fa é a restrição de f a Ma = Mea. É fácil veri�car que F é uma equivalência de categorias.

�

Notemos que na demonstração do teorema anterior é construido o funtor que faz com que

as duas categorias sejam equivalentes. Tal teorema permite a identi�cação os A-módulos com

as representações K-lineares de (Q, I) e vice-versa. Diante disto, abusaremos da linguagem não

distinguindo, muitas vezes, os KQ/I- módulos das representações de (Q, I).

O último teorema tem muitas consequências interessantes; em particular permite conhecer

de forma explícita os módulos simples, os módulos projetivos indecomponíveis e os módulos

injetivos indecomponíveis.

6

Sequências de Auslander-Reiten

1.3 Sequências de Auslander-Reiten

Nesta seção vamos enunciar um resultado que surgiu na década dos 70 e que in�uenciou

de�nitivamente o desenvolvimento da teoria de representações de álgebras. Trabalhando basica-

mente com álgebras de Artin (uma generalização das álgebras de dimensão �nita) M. Auslander

e I. Reiten introduziram a noção de sequências quase-cindidas (também chamadas sequências

de Auslander-Reiten).

Posteriormente os mor�smos que aparecem nas mencionadas sequências foram usados por C.

M. Ringel para de�nir um carcás, conhecido como o carcás de Auslander-Reiten, que proporciona

muita informação sobre a categoria mod A.

Detalhes dos conceitos e resultados aqui mencionados podem ser achados no Capítulo IV de

[2].

Começaremos de�nindo os conceitos relacionados tais como mor�smo irredutível, sequência

quase-cindida, entre outros.

Sejam K um corpo algebricamente fechado, A uma K-álgebra de dimensão �nita sobre K e

M,N,L A-módulos em modA. Então:

1. Seja h : M → N um homomor�smo de A-módulos. Dizemos que h é uma seção (ou um

monomor�smo que cinde) se existe um homomor�smo de A-módulos s : N −→M tal

que sh = 1M . De outro lado, dizemos que h é uma retração (ou um epimor�smo que

cinde) se existe um homomor�smo de A-módulos r : N −→M tal que hr = 1N .

2. Um homomor�smo h : M −→N de A-módulos é irredutível se h não é seção, nem retração

e se h = h1h2 implica que h1 é retração ou que h2 é seção.

Notemos que um mor�smo irredutível em modA é um monomor�smo próprio ou um epimor�smo

próprio. Isto é, um mor�smo irredutível é um monomor�smo não isomor�smo ou um epimor�smo

não isomor�smo. De fato, suponhamos que f : X −→Y é irredutível, não é um epimor�smo

próprio e que f = jp é a sua fatoração canônica. Então j não é um epimor�smo que cinde e

portanto p é um monomor�smo que cinde. Logo f é um monomor�smo próprio.

Dizemos que uma sequência exata curta

0−→Lf−→M

g−→N −→ 0, em mod A

é uma sequência quase-cindida ou uma sequência de Auslander-Reiten se L e N são

A-módulos indecomponíveis e f e g são mor�smos irredutíveis.

Terorema de Auslander-Reiten 1.3.1. 1. SejaM um A-módulo indecomponível não pro-

jetivo. Então existe uma sequência quase-cindida, única a menos de equivalências de sequên-

cias exatas, da forma

0−→M ′−→E−→M −→ 0, em mod A.

7

Preliminares

2. Seja L um A-módulo indecomponível não injetivo. Então existe uma sequência quase-

cindida, única a menos de equivalências de sequências exatas, da forma

0−→L−→F −→L′−→ 0, em mod A.

�

Sejam X e Y A-módulos indecomponíveis. O K-espaço vetorial

Irr(X,Y ) = radA(X,Y )/rad2A(X,Y )

onde radA(X,Y ) é o K-espaço vetorial dos homomor�smos não invertíveis de X em Y e

rad2A(X,Y ) é o K-espaço vetorial dos homomor�smos da forma gf com f ∈ radA(X,Z) e

g ∈ radA(Z, Y ), para algum A-módulo Z, é denominado espaço dos mor�smos irredutíveis

de X em Y . Como X e Y são A-módulos indecomponíveis, então a dimensão de Irr(X,Y ) é

igual ao número máximo de homomor�smos irredutíveis de X em Y , que são linearmente inde-

pendentes. O carcás de Auslander-Reiten da categoria mod A, denotado por Γ(modA), é

de�nido da seguinte forma:

1. Os vértices de Γ(modA) são as classes de isomor�smos [M ] de A-módulos indecomponíveis

M .

2. Se [M ] e [N ] são dois vértices de Γ(modA), correspondentes aos A-módulos indecompo-

níveis M e N , o número de �echas de [M ] para [N ] é igual à dimensão do espaço vetorial

Irr(M,N).


Q : 1 2 //oo 3.

A seguinte é uma lista completa dos A-módulos indecomponíveis:

S1 = (K←− 0−→ 0) = P1

S2 = (0←−K −→ 0) = I2

S3 = (0←− 0−→K) = P3

P2 = (KIdK←−K IdK−→K)

I1 = (KIdK←−K −→ 0)

I3 = (0←−K IdK−→K).

Onde Si, Pi e Ii para i = 1, 2, 3, denotam os A-módulos simples indecomponíveis, os A-

módulos projetivos indecomponíveis e os A-módulos injetivos indecomponíveis, respectivamente.

As sequências de Auslander-Reiten sobre A são as sequências abaixo

8

Os funtores de translação τ e τ−1

0 // S3// P2

// I1// 0

0 // P2// I1 ⊕ I3

// S2// 0

0 // S1// P2

// I3// 0 .

E, �nalmente, o carcás de Auslander-Reiten de A é o carcás

[S3]

!!

[I1]oo

!![P2]

==

!!

[S2]oo

[S1]

==

[I3]

==

oo

�

1.4 Os funtores de translação τ e τ−1

Nesta seção vamos de�nir a translação de Auslander-Reiten. Os detalhes da construção e

resultados aqui mencionados podem ser encontrados no Capítulo IV em [2].

Sejam K um corpo e A uma K-álgebra de dimensão �nita sobre K. Consideremos as ca-

tegorias modA e modAop e indicamos resumidamente a construção das suas categorias pro-

jetivamente e injetivamente estáveis. Para cada par (M,N) de objetos em modA denotamos

por P(M,N) (respectivamente por I(M,N)) o subconjunto de HomA(M,N) formado pelos

mor�smos que se fatoram através de algum A-módulo projetivo (respectivamente, injetivo). É

conhecido que a classe P = {P(M,N)/M,N ∈ modA} é um ideal da categoria modA. Analo-

gamente para a classe I = {I(M,N)/M,N ∈ modA}.Com o ideal P é construída a categoria quociente modA = modA/P, denominada categoria

projetivamente estável.

Para recordar, os objetos em modA são os objetos de modA e dados dois A-módulos M e

N os mor�smos de M para N em modA são os elementos do quociente de K-espaços vetoriais

HomA(M,N) = HomA(M,N)/P(M,N).

Analogamente, através do ideal I, é de�nida a categoria quociente modA = modA/I, de-nominada categoria injetivamente estável. É conhecido que o funtor D = HomK( ,K) é

uma dualidade entre as categorias modA e modAop. Porém, D induz uma dualidade, também

denotada por D, de modA−→modAop.

O objetivo agora é de�nir uma outra dualidade entre as categorias modA e modAop. Para

tal, consideremos M em modA e seja

P1d1 // P0

d0 //M // 0

9

Preliminares

uma apresentação projetiva minimal de M . Isto é, uma sequência exata tal que d0 : P0−→M e

d1 : P1−→ Nuc d0 são coberturas projetivas de M e de Nuc d0, respectivamente.

O funtor HomA( , A), permite construir o Aop-módulo à direita HomA(Conuc d1, A),

que é de�nido como o transposto de M que é denotado por TrM (que é único a menos de

isomor�smo). Com essa construção pode-se de�nir um funtor dualidade, denotado por Tr,

Tr : modA−→modAop, que a cada M em modA associa TrM ∈ modAop.

Com os funtores D : modAop−→mod(Aop)op = modA e Tr : modA−→modAop, são de�ni-

dos, por composição, os funtores de translação de Auslander-Reiten

τ : modA−→modA e seu inverso τ−1 : modA−→modA

da seguinte forma

τ = DTr e τ−1 = TrD.

Por último observamos que o Teorema 1.3.1 garante a existência de uma sequência exata quase-

cindida 0−→M ′−→E−→M −→ 0, sendo M um A-módulo indecomponível não projetivo. O

módulo M ′ é construído de forma que M ′ = τM = DTrM . No caso da existência da sequência

quase-cindida 0−→L−→F −→L′−→ 0, com L indecomponível não injetivo, o módulo L′ =

τ−1L = TrDL.

Para �nalizar esta seção vamos enunciar um teorema muito conhecido, e que usaremos ao

longo deste trabalho: as Fórmulas de Auslander.

Teorema 1.4.1. Sejam K um corpo algebricamente fechado, A uma K-álgebra de dimensão

�nita e M e N objetos em modA. Então, temos os seguintes isomor�smos

Ext1A(M,N) ∼= DHomA(τ−1N,M) ∼= DHomA(N, τM),

que são funtoriais nas duas variáveis.

�

Corolário 1.4.2. Sejam K um corpo algebricamente fechado, A uma K-álgebra de dimensão

�nita e M e N objetos em modA. Então:

1. Se pdM ≤ 1, então existe um isomor�smo K-linear

Ext1A(M,N) ∼= DHomA(τ−1N,M).

2. Se pdN ≤ 1, então existe um isomor�smo K-linear

Ext1A(M,N) ∼= DHomA(N, τM).

�

10

Sobre o grupo de Grothendieck

1.5 Sobre o grupo de Grothendieck

Sejam K um corpo algebricamente fechado, A uma K-álgebra de dimensão �nita sobre K

e {e1, e2, ..., en} um conjunto completo de idempotentes primitivos ortogonais de A. Se A =

⊕ni=1eiA, então os A-módulos Pi = eiA e Ii = D(Aei), i = 1, . . . , n, são respectivamente os A-

módulos projetivos indecomponíveis e os A-módulos injetivos indecomponíveis que, além disso

são, respectivamente, a cobertura projetiva e a envolvente injetiva do simples Si ∼= top Pi ∼=Soc Ii.

Lembramos que, dado M ∈ mod A e um elemento idempotente e ∈ A, vale que

HomA(eA,M) ∼= Me.

Em particular, EndA(Si) ∼= ei(topA)ei.

Seja e = (e1, e2, ..., en) um conjunto completo e ordenado de idempotentes primitivos orto-

gonais de A. A ordem �xada e determina uma ordenação no conjunto dos A-módulos simples

Si, bem como dos A-módulos projetivos indecomponíveis Pi e dos A-módulos injetivos indecom-

poníveis Ii. Com tal ordem podemos de�nir o vector dimensão de um A-módulo como segue.

De�nição 1.5.1. Sejam e = (e1, e2, ..., en) um conjunto completo e ordenado de idempotentes

primitivos ortogonais de A e M ∈ modA. De�nimos o vetor dimensão de M como o vetor de

Zn, denotado por dimM , dado por

dimM =

dimKMe1

...

dimKMen

.Assim o vetor dimSi, de cada simples Si, é o i-ésimo vetor da base canônica de Zn. De outro

lado, como temos que HomA(Pi,M) ∼= Mei e que

DHomA(M, Ii) ∼= DHomAop(Aei,M) ∼= D(eiDM) ∼= D(DM)ei ∼= Mei,

podemos reescrever o vetor dimM das seguintes formas:

dimM =

dimK HomA(P1,M)

...

dimK HomA(Pn,M)

=

dimK HomA(M, I1)

...

dimK HomA(M, In)

.Observação 1.5.2. Se 0−→L−→M −→N −→ 0 é uma sequência exata em modA, então

dimM = dimL+ dimN.

�

11

Preliminares

De�nição 1.5.3. Sejam K um corpo algebricamente fechado e A uma K-álgebra, básica e

de dimensão �nita sobre K. Chama-se grupo de Grothendieck de mod A o grupo abeliano

K0(A) = F/F ′, onde F é o grupo abeliano livre cuja base é o conjunto de classes de isomor�smos

M dos módulos M em modA e F ′ é o subgrupo de F gerado pelos elementos M − L − N

correspondentes às sequências exatas 0−→L−→M −→N −→ 0 em modA.

Denotaremos por [M ] a imagem da classe de isomor�smo M do móduloM pelo epimor�smo

canônico de grupos F −→F/F ′ e por [M : Si] o número de fatores de composição deM isomorfos

a Si.

A proposição abaixo fornece uma caracterização do grupo K0(A), cuja demonstração pode

ser encontrada em [17].

Proposição 1.5.4. Sejam A uma K-álgebra, básica, de dimensão �nita sobre K, e = (e1, ..., en)

um conjunto completo e ordenado de idempotentes primitivos ortogonais de A e {S1, . . . , Sn} umconjunto completo de classes de isomor�smo de A-módulos simples à direita. Então, o grupo de

Grothendieck K0(A) de modA é um grupo abeliano livre com uma base dada por {[S1], . . . , [Sn]}e existe um único isomor�smo de grupos dado por

dim : K0(A) −→ Zn

tal que, dim([M ]) = dimM para todo A-módulo M .

�

Usando esta base para K0(A) obtemos o seguinte corolário que usaremos com frequência.

Corolário 1.5.5. Seja M um A-módulo. Então, para cada j = 1, . . . , n, vale que

[M : Sj ] = dimK HomA(Pj ,M) = dimK HomA(M, Ij).

�

Em particular, usando os vetores dimensão dos A-módulos projetivos (ou injetivos) indecom-

poníveis obtemos uma matriz de coe�cientes inteiros, que é conhecida como matriz de Cartan

de A.

De�nição 1.5.6. Sejam A uma K-álgebra, básica de dimensão �nita sobre K e e = (e1, ..., en)

um conjunto completo e ordenado de idempotentes primitivos ortogonais de A. A matriz de

Cartan de A é a matriz n× n

CA =

c11 · · · c1n

.... . .

...

c1n · · · cnn

,

12

Sobre álgebras hereditárias

onde cij = dimK ejAei para i, j = 1, . . . , n.

Observemos que, como ejAei ∼= HomA(Pi, Pj) ∼= HomA(Ii, Ij), cada entrada cji de CAcorresponde ao número de homomor�smos linearmente independentes de Pi a Pj e ao número

de homomor�smos linearmente independentes de Ii a Ij .

1.6 Sobre álgebras hereditárias

Nesta seção vamos mencionar várias caracterizações das álgebras hereditárias e algumas

das suas propriedades. Mais detalhes dos assuntos aqui abordados podem ser encontrados nos

Capítulos VII e VIII de [2].

Proposição 1.6.1. Sejam K um corpo algebricamente fechado e A uma K-álgebra de dimensão

�nita sobre K. Então são equivalentes as seguintes condições:

1. A é uma álgebra hereditária.

2. Todo A-módulo tem dimensão projetiva menor ou igual a 1.

3. Para cada par de A-módulos M e N ,

ExtiA(M,N) = 0, para todo i ≥ 2.

4. Todo submódulo de um A-módulo projetivo é projetivo.

5. Todo quociente de um A-módulo injetivo é injetivo.

6. Para cada par de A-módulos M e N , Ext2A(M,N) = 0.

�

Vamos observar agora que uma álgebra hereditária também pode ser caracterizada em termos

do seu carcás ordinário. É o que conta o teorema abaixo.

Teorema 1.6.2. (1.7 Cap.VII em [2]) Sejam K um corpo algebricamente fechado e A uma

K-álgebra de dimensão �nita sobre K. Então A é hereditária se, e somente se, A ∼= KQ, onde

Q é um carcás �nito e acíclico.

�

Vamos adotar para o carcás de Auslander-Reiten a seguinte convenção: os vértices corres-

pondentes a os A-módulos projetivos indecomponíveis serão chamados vértices projetivos e a os

vértices correspondentes a os A-módulos injetivos indecomponíveis vértices injetivos.

Usamos esta convenção para descrever como as álgebras hereditárias podem ser caracteriza-

das em termos de seu carcás de Auslander-Reiten na proposição abaixo.

13

Preliminares

Proposição 1.6.3. (1.10 Cap. VII em [2]) Sejam K um corpo algebricamente fechado e A uma

K-álgebra de dimensão �nita sobre K. Então as seguintes condições são equivalentes:

1. A é hereditária.

2. Em Γ(mod A) os predecessores dos vértices projetivos são vértices projetivos.

3. Em Γ(mod A) os sucessores dos vértices injetivos são vértices injetivos.

�

Um A módulo indecomponível M (com A uma álgebra não necessariamente hereditária) é

dito pós-projetivo se é da forma τ−kPi, onde Pi é um projetivo indecomponível e k ≥ 0. Por

outro lado, M é dito pré-injetivo se é da forma τ lIj , onde Ij é um injetivo indecomponível e

l ≥ 0. O móduloM é dito regular se não for pós-projetivo ou pré-injetivo. É importante ressaltar

que, se M é um módulo pós-projetivo ou pré-injetivo, então EndA(M) ∼= K e Ext1A(M,M) = 0.

Se A é uma álgebra hereditária de tipo de representação in�nito então o seu carcás de

Auslander-Reinten é a união disjunta

Γ(modA) = P(A) ∪R(A) ∪ I(A),

onde P(A) é uma componente conexa formada pelos módulos pós-projetivos (conhecida como a

componente pós-projetiva), R(A) é uma família de componentes conexas formadas por módulos

regulares (conhecidas como componentes regulares) e I(A) é uma componente conexa formada

por módulos pré-injetivos (conhecida como componente pré-injetiva). Além disso, valem as se-

guintes igualdades:

HomA(R(A),P(A)) = 0, HomA(Q(A),P(A)) = 0, HomA(Q(A),R(A)) = 0.

Se A for uma álgebra hereditária conexa de tipo de representação �nito Γ(modA) contém

só uma componente conexa e não existem A-módulos regulares.

Uma classi�cação completa de todas as álgebras que são de tipo de representação �nito

(isto é, as que têm um número �nito de classes de isomor�smo de módulos indecomponíveis) é

conhecida e é tratada no importante Teorema de Gabriel II que está estreitamente relacionado

com os diagramas de Dynkin que listaremos a seguir.

Diagramas de Dynkin

An : • • · · · • • , n ≥ 1

14


•

Dn : • • • · · · • • , n ≥ 4

•

E6 : • • • • •

•

E7 : • • • • • •

•

E8 : • • • • • • •

Conhecendo a lista de tais diagramas enunciamos o Teorema de Gabriel.

Teorema de Gabriel II 1.6.4. (5.10 Cap. VII em [2]) Sejam K um corpo algebricamente

fechado e A ∼= KQ uma K-álgebra básica e conexa. Então A é de tipo de representação �nita

se, e somente se, Q é um diagrama de Dynkin.

�

Na teoria de representações de álgebras joga um papel muito importante a classe das álgebras

hereditárias que são de tipo de representação in�nito e minimais com respeito a esta propriedade.

Estas são justamente as álgebras de tipo euclidiano, isto é as álgebras de caminho KQ, onde

Q é um carcás conexo e acíclico cujo grafo subjacente Q é um dos grafos na seguinte lista:

Diagramas euclidianos

•

An : • • · · · • • (n+ 1 vértices, n ≥ 1).

• •

Dn : • • • · · · • • • (n+ 1 vértices, n ≥ 4).

15

Preliminares

•

E6 : •

• • • • •

•

E7 : • • • • • • •

•

E8 : • • • • • • • •

A seguinte lista de carcases é particularmente importante no estudo das álgebras euclidianas.

Diagramas euclidianos canonicamente orientados

•1

yy

•2oo · · ·oo •p−1oo

4(Ap,q) : 0• •p+q−1

ee

yy•p

ee

•p+1oo · · ·oo •p+q−2

oo

•1 •m

{{4(Dn) : •3

__

��

•4oo · · ·oo •m−1oo m ≥ 4

•2 •m+1

dd

•5

��4(E6) : •4

��•3 // •2 // •1 •6oo •7oo

16


•5

��4(E7) : •4 // •3 // •2 // •1 •6oo oo •7oo •8oo

•4

��4(E8) : •3 // •2 // •1 •5oo •6oo

A importância de tais carcases esta dada pelo seguinte teorema.

Teorema 1.6.5. (2.1 (a) Cap. XIII em [2]) Sejam Q um carcás cujo grafo subjacente é euclidi-

ano e A = KQ a álgebra de caminhos de Q. Então existe um carcás euclidiano canonicamente

orientado ∆ tal que Q é obtido de ∆ por sequência �nita de re�exões e A é uma álgebra inclinada

de tipo ∆.

�

De�nição 1.6.6. Sejam A uma K-álgebra de dimensão global �nita e CA a matriz de Cartan

de A com respeito ao conjunto completo de idempotentes ortogonais e primitivos {e1, . . . , en} deA. A a matriz de Coxeter de A é a matriz

ΦA = −CAC−1A ∈Mn(Z).

O homomor�smo de grupos ΦA : Zn−→Zn, de�nido pela fórmula ΦA(x) = ΦA · x, para todo

x = (x1, . . . , xn)t ∈ Zn, é chamada a transformação de Coxeter de A.

Proposição 1.6.7. Sejam Q um carcás acíclico, A = KQ sua álgebra de caminhos e ΦA :

Zn−→Zn a transformação de Coxeter de A. Então:

dim τmM = ΦmA (dimM), para m ≥ 0.

�

17

Preliminares

1.7 Sobre tubos estáveis

No Capítulo 3 estudaremos acerca de sistemas estrati�cantes em componentes do carcás

de Auslander-Reiten conhecidas como tubos estáveis, por isso, nesta seção, de�niremos tais

componentes e enunciamos propriedades que iremos usar.

Mais detalhes sobre os tópicos desta seção podem ser encontrados no Cap. VIII de [2] e no

Cap. X de [17].

Sejam Q = (Q0, Q1) um carcás e x ∈ Q0. Denotaremos por x+ o conjunto dos sucessores

imediatos de x, ou seja, x+ = {y ∈ Q0/∃α ∈ Q1, α : x−→ y}. Por outro lado, denotaremos por

x− o conjunto dos predecessores imediatos de x, ou seja, x− = {y ∈ Q0/∃α ∈ Q1, α : y−→x}.Diremos que Q é localmente �nito quando para todo x ∈ Q0 os conjuntos x+ e x− são �nitos.

De�nição 1.7.1. Sejam Γ um carcás localmente �nito e sem ciclos orientados e τ : Γ′0−→Γ

′′0 ,

com Γ′0 ⊆ Γ0 e Γ

′′0 ⊆ Γ0, uma função bijetora. O par (Γ, τ) é chamado de carcás com trans-

lação se (τx)+ = x−, para cada x ∈ Γ′0.

A seguir de�nimos (ZΣ, τ) que é um caso especial de carcás com translação.

De�nição 1.7.2. Seja Σ = (Σ0,Σ1) uma carcás conexo e acíclico. De�nimos o carcás de trans-

lação in�nito (ZΣ, τ) como segue. O conjunto dos vértices de ZΣ é ZΣ0 = Z×Σ0 = {(n, x)|n ∈Z, x ∈ Σ0} e para cada �echa α : x→ y em Σ1 existem duas �echas

(n, α) : (n, x)→ (n, y) e (n, α′) : (n+ 1, y)→ (n, x)

em ZΣ1, e estas são todas as �echas em ZΣ.

A translação τ em ZΣ está dada por τ(n, x) = (n + 1, x) para todo (n, x) ∈ ZΣ0. Para

cada (n, x) ∈ ZΣ0 de�nimos uma bijeção entre o conjunto de �echas com �nal (n, x) e começo

(n+ 1, x) pela fórmula

σ(n, α) = (n, α′) e σ(n, α′) = (n+ 1, α)

Exemplo 1.7.3. Para o carcás

A∞ : •1 // •2 // •3 · · · •m // •m+1 // • · · ·

o carcás de translação ZA∞ é da forma

(1, 1)%%

(0, 1)%%

(−1, 1)''

(−2, 1)''

(−3, 1)

%%. . .

;;

##(1, 2)

99

%%(0, 2)

88

&&(−1, 2)

77

''(−2, 2)

77

''. . .

(2, 3)

99

$$

(1, 3)

99

$$

(0, 3)

77

&&

(−1, 3)

77

&&

(−2, 3)

99

##<<

...

::...

99...

88...

88

onde τ(n, i) = (n+ 1, i), para n ∈ Z e i ≥ 1. Logo, por de�nição, τ é um automor�smo de ZA∞,assim como suas potências τ r, com r ∈ Z. Seja r um inteiro positivo �xo e (τ r) o grupo cíclico

18

Sobre tubos estáveis

in�nito dos automor�smos de ZA∞ gerado por τ r. Denotemos por ZA∞/(τ r) o espaço orbital

de ZA∞ sob a ação de (τ r). Assim, ZA∞/(τ r) é um carcás de translação, identi�cando cada

ponto (n, i) de ZA∞ com o ponto τ r(n, i) = (n + r, i), e cada �echa α : x → y em ZA∞ com a

�echa τ r : τ rx→ τ ry. Esta construção motiva a seguinte de�nição.

De�nição 1.7.4. Seja (T , τ) um carcás com translação.

1. (T , τ) é denominado um tubo estável de posto r se T ∼= ZA∞/(τ r), como carcases de

translação.

2. Um tubo estável T de posto r = 1 é chamado um tubo homogêneo.

3. Seja (T , τ) um tubo estável de posto r ≥ 1. Uma sequência (x1, x2, . . . , xr) de pontos em

T é um τ-ciclo se

τx1 = xr, τx2 = x1, . . . , τxr = xr−1.

4. Seja (T , τ) um tubo estável. O conjunto de pontos em T que tem exatamente um predecessor

imediato (ou equivalentemente, exatamente um sucessor imediato) é chamado a boca de

T .

Exemplo 1.7.5. Um tubo estável de posto 3 é obtido do seguinte carcás

•τ3x1%%

•τ2x1&&

•τx1&&

•x1

•x299

%%•τ2x2

88

&&•τx2

88

&&•τx3

99

%%•x3

88

&&•τ2x3

88

&&•τ3x3

•τx499

''•x4

88

''•τ2x4

88

''•77

•77

•77

•...

......

...

por identi�cação dos pontos na mesma τ -órbita que estão sobre as linhas pontelhadas.

De�nição 1.7.6. Seja C uma componente do carcás de Auslander-Reiten Γ(mod A) de uma

álgebra A, e suponhamos, por simplicidade, que C não tem �echas múltiplas.

1. A categoria de caminhos KC é a categoria de�nida como segue: os objetos em KC são

os vértices em C, e os mor�smos de x ∈ C0 para y ∈ C0 são combinações K-lineares de

caminhos em C de x a y.

2. De�nimos o ideal MC na categoria KC como segue: cada ponto não projetivo x ∈ C0

19

Preliminares

corresponde com um mesh em C da forma

y1

α1

��

y2

α2 τx

α′1

FF

α′2

==

α′t

��

x

...

yt

α′t

HH

e para cada mesh associamos um elemento mx de HomKC(τx, x), chamado elemento

mesh de�nido pela fórmula

mx =t∑i=1

α′iαi.

Denotamos por MC o ideal de KC gerado por todos os elementos mesh mx, ou seja

MC = 〈mx : x não é um vértice projetivo de C〉 .

3. A categoria mesh é a categoria quociente KC/MC .

De�nição 1.7.7. Sejam A uma álgebra e C uma componente do carcás Γ(modA).

1. A componente C é chamada componente estândar de Γ(modA) se existir uma equiva-

lência de K-categorias

KC = KC/MC ,

onde Ind C é a K-subcategoria plena de modA cujos objetos são representantes das classes

de isomor�smos de módulos indecomponíveis em C.

2. C é uma componente auto hereditária de Γ(modA) se, para cada par de A-módulos

indecomponíveis X e Y em C tivermos que Ext2A(X,Y ) = 0.

De�nição 1.7.8. Sejam A uma álgebra e T um tubo estável do carcás de Auslander-Reiten

Γ(modA). Então:

1. O tubo T é chamado hereditário se para cada módulo indecomponível X em T vale que

pdX ≤ 1 e idX ≤ 1.

2. O tubo T é chamado auto-hereditário se para cada par de módulos indecomponíveis X

e Y em T vale que Ext2A(X,Y ) = 0.

20

Sobre tubos estáveis

Seja A uma álgebra. Um tijolo E em modA é um módulo (necessariamente indecomponível)

tal que EndA(E) ∼= K. Dois tijolos E e E′ em modA são ortogonais se HomA(E,E′) = 0 e

HomA(E′, E) = 0.

Seja E1, . . . , Er uma família de tijolos dois a dois ortogonais em modA. Vamos denotar por

E = EA = EXT A(E1, . . . , Er),

a subcategoria plena de modA cujos objetos não nulos são todos os A-módulos tais que existe

uma cadeia de submódulos

0 M1 M2 . . .Mm−1 Mm = M,

com m ≥ 1 e Mi/Mi−1∼= Ej , para algum 1 ≤ j ≤ r.

Um objeto S de EA é chamado objeto simples se os únicos subobjetos de S em EA são o

objeto nulo e o próprio S.

Observamos que EXT A(E1, . . . , Er) é a menor subcategoria aditiva contendo os A-módulos

E1, . . . , Er e que é fechada por extensões.

Teorema 1.7.9. Sejam A uma álgebra e {E1, . . . , Er} uma família �nita de tijolos dois a dois

ortogonais. Então:

1. (2.1 Cap X em [17]) EA = EXT A(E1, . . . , Er) é uma subcategoria abeliana, exata e fechada

por extensões de modA e {E1, . . . , Er} é um conjunto completo de objetos dois a dois não

isomorfos e simples de EA.

2. (2.6 Cap. X em [17]) Se {E1, . . . , Er} é uma família auto-hereditária de modA, então

(a) Todos os objetos indecomponíveis na categoria EXT A(E1, . . . , Er) formam uma com-

ponente auto-hereditária TE de Γ(modA).

(b) A componente TE é um tubo estável de posto r.

(c) Os módulos {E1, . . . , Er} formam um conjunto completo de módulos na boca do tubo

TE .

�

21

Preliminares

22

Capítulo 2


hereditárias

Os sistemas estrati�cantes foram introduzidos, em [7], por K. Erdmann e C. Sáenz, como

uma generalização dos módulos estândares.

Em [10, 11], E. Marcos, O. Mendoza e C. Sáenz introduziram os sistemas estrati�cantes via

módulos relativamente projetivos e os sistemas estrati�cantes via módulos relativamente simples,

e mostraram que as três noções de sistema estrati�cante são equivalentes.

Neste capítulo apresentaremos as de�nições de sistema estrati�cante (ou sistema estrati�-

cante via módulos relativamente injetivos) e a de sistema estrati�cante via módulos relativa-

mente simples, que serão as que usaremos ao longo deste texto. Veremos que, quando de�nidos

sobre uma álgebra hereditária, os sistemas estrati�cantes estão estreitamente relacionados com

os módulos inclinantes. Usando tal relação exibimos um limitante para seu tamanho. De�nimos

também o conjunto dos módulos estândares, as álgebras estandarmente estrati�cadas e, uma

classe particular delas, as álgebras quase-hereditárias.

Usando o grupo de Grothendieck para um sistema estrati�cante, faremos uma demonstração

simples de que uma álgebra estandarmente estrati�cada é quase-hereditária se, e somente se,

tem dimensão global �nita.

Veremos que, o conceito de sistema estrati�cante sobre uma álgebra hereditária e o de sequên-

cia excepcional são equivalentes e, usando resultados de [6], obtemos todos os sistemas estrati-

�cantes completos sobre uma álgebra de Kronecker (ou Kronecker generalizada).

Ressaltamos que, sempre que falarmos de A como uma K-álgebra, estamos assumindo que

K é um corpo algebricamente fechado é que A é uma K-álgebra associativa com unidade e de

dimensão �nita sobre K.

23

Sistemas estrati�cantes sobre álgebras hereditárias

2.1 Sistemas estrati�cantes

Sejam A uma K-álgebra e θ = {θ1, . . . , θt} um conjunto �nito de A-módulos. Denotamos

por F(θ) à subcategoria plena de modA que contem o módulo zero e todos os módulos que

são �ltrados por θ. Isto é, um módulo não nulo M está em F(θ) se existir uma cadeia �nita de

submódulos de M da forma

0 = M0 ⊆M1 ⊆ . . . ⊆Mn = M, (∗)

e tal que o quociente Mi/Mi−1 é isomorfo a algum dos elementos no conjunto θ, para todo

i = 1, 2, . . . , n. A cadeia (∗) é chamada de θ-�ltração de M .

Com esta notação é possível enunciar a primeira das de�nições de sistema estrati�cante,

que apareceu em [7], e que também é conhecida como sistema estrati�cante via módulos

relativamente injetivos (Ver [11]).

De�nição 2.1.1. [7] Sejam K um corpo algebricamente fechado e A uma K-álgebra de dimensão

�nita sobre K. Sejam θ = {θ1, . . . , θt} um conjunto �xo de A-módulos e Y = {Y1, . . . , Yt} um

conjunto de A-módulos indecomponíveis. Além disso, seja � uma relação de ordem total no

conjunto {1, . . . , t}. Dizemos que (θ, Y ,�) é um sistema estrati�cante de tamanho t se as

seguintes condições são satisfeitas:

1. HomA(θj , θi) = 0, para j � i.

2. Para cada i = 1, . . . , t, existe uma sequência exata

0−→ θiαi−→ Yi−→Zi−→ 0,

onde Zi é �ltrado por {θj}j≺i.

3. Ext1A( , Y )|F(θ) = 0, onde Y = ⊕ti=1Yi.

Da de�nição acima, temos que θ1∼= Y1 e que (para t ≥ 2) existe uma sequência exata da

forma

0−→ θ2α2−→ Y2−→Y m

1 −→ 0, com m ≥ 0.

A seguinte proposição permite uma caracterização dos sistemas estrati�cantes que depende

somente dos elementos no conjunto θ.

Proposição 2.1.2. [7] Sejam K um corpo algebricamente fechado, A uma K-álgebra de dimen-

são �nita sobre K, � uma relação de ordem total no conjunto {1, . . . , t} e θ = {θ1, . . . , θt} umconjunto de A-módulos. Então as condições são equivalentes:

1. Existe um conjunto de A-módulos Y = {Y1, . . . , Yt} tal que (θ, Y ,�) é um sistema estra-

ti�cante de tamanho t.

24

Sistemas estrati�cantes

2. O conjunto θ satisfaz as condições a seguir:

(a) Os elementos de θ são A-módulos indecomponíveis.

(b) HomA(θj , θi) = 0, para j � i.

(c) Ext1A(θj , θi) = 0, para j � i.

Fazendo uso da caracterização acima, em [11], os autores introduziram a seguinte de�nição

de sistema estrati�cante.

De�nição 2.1.3. [11] Sejam K um corpo algebricamente fechado, A uma K-álgebra de dimensão

�nita sobre K, � uma relação de ordem total no conjunto {1, . . . , t} e θ = {θ1, . . . , θt} um

conjunto de A-módulos indecomponíveis. Dizemos que o par (θ,�) é um sistema estrati�cante

de tamanho t se as seguintes condições são satisfeitas:

1. HomA(θj , θi) = 0, para j � i.

2. Ext1A(θj , θi) = 0, para j � i.

Esta de�nição também aparece na literatura como sistema estrati�cante via módulos

relativamente simples (Ver [11]).

Tendo em vista a anterior proposição usaremos indistintamente uma ou outra de�nição de

sistema estrati�cante. Além disso, dado que por simplicidade usaremos a relação de ordem

natural dos números inteiros, não será feita mais referência a tal relação de ordem.

Sejam θ = {θ1, . . . , θt} um sistema estrati�cante, M um A-módulo qualquer e

0 = M0 ⊆M1 ⊆ . . . ⊆Mn = M

uma θ �ltração M . Sabemos que o número de vezes que θi aparece numa θ �ltração de M

independe da θ-�ltração (ver [7]). Tal número é conhecido como a multiplicidade de θi em uma

θ-�ltração de M e o denotamos por [M : θi]. Através da multiplicidade de θi de�nimos o θ-

comprimento de M , que denotamos por `θ(M), que é

`θ(M) =t∑i=1

[M : θi].

Os elementos no conjunto θ são chamados de elementos relativamente simples da cate-

goria F(θ), uma vez que não admitem submódulos próprios na categoria.

Por outro lado se AA ∈ F(θ), ou equivalentemente se todos os projetivos indecomponíveis

estão em F(θ), dizemos que θ é um sistema estrati�cante estândar.

Se θ é um sistema estrati�cante, F(θ) é fechada por extensões e, portanto, por somas diretas.

Mais ainda, F(θ) é fechada por somandos diretos e funtorialmente �nita (Ver [11]) e, portanto,

tem sequências de Auslander-Reiten relativas (Ver [15]). No entanto, em geral, ela não é fechada

por núcleos de epimor�smos como veremos no seguinte exemplo.

25


Exemplo 2.1.4. (em [11]) Seja A ∼= KQ, onde Q é o carcás 1−→ 2. Então o conjunto θ =

{θ1 = I2, θ2 = I1} é um sistema estrati�cante. Consideremos a seguinte sequência exata

0−→S2−→ I2−→ I1−→ 0.

Como P2 = S2 /∈ F(θ) a categoria F(θ) não é fechada por núcleos de epimor�smos e θ não é um

sistema estrati�cante estândar.

�

De�nição 2.1.5. Sejam C uma subcategoria plena de modA e X um objeto em C. Dizemos que

X é relativamente projetivo na categoria C se Ext1A(X, )|C = 0. Dualmente, dizemos que

X é relativamente injetivo em C se vale a igualdade Ext1A( , X)|C = 0.

Dado um sistema estrati�cante (θ, Y ) sobre a K-álgebra A, denotamos por Y(θ) a subcate-

goria plena dos módulos X ∈ modA tais que Ext1A( , X)|F(θ) = 0. Em outras palavras, temos

que

Y(θ) = {X ∈ modA : Ext1A(X, θi) = 0, para todo i = 1, . . . , t}.

Destacamos que os elementos do conjunto F(θ)∩Y(θ) são A-módulos relativamente injetivos

a categoria F(θ). O teorema abaixo fornece uma caracterização de tais módulos.

Teorema 2.1.6. [11] Seja (θ, Y ) um sistema estrati�cante de tamanho t. Então

F(θ) ∩ Y(θ) = addY, onde Y =t⊕i=1

Yi.

�

A seguir de�niremos o grupo de Grothendieck para um sistema estrati�cante e veremos que,

assim como o grupo de Grothendieck de uma álgebra, é um grupo livre gerado por um conjunto

�nito.

De�nição 2.1.7. Seja θ um sistema estrati�cante de tamanho t. O grupo de Grothendieck

de θ é o grupo abeliano K0(θ) = Fθ/F′θ, onde Fθ é o grupo abeliano livre que cuja base é o

conjunto de classes de isomor�smos M de módulos M em F(θ) e F ′θ é o subgrupo de Fθ gerado

pelos elementos da forma M − L− N correspondentes às sequências exatas 0→L→M→N→ 0

em F(θ).

Denotamos por [M ] a imagem da classe de isomor�smo M do módulo M pelo epimor�smo

canônico de grupos π : Fθ −→Fθ/F′θ. De�nimos o homomor�smo de grupos dimθ : K0(θ)−→Zt

da seguinte forma

26

Módulos estândares

dimθ([M ]) =

[M : θ1]

...

[M : θt]

Observação 2.1.8. Se 0−→N −→M −→L−→ 0 é uma sequência exata curta de A-módulos

em F(θ), então

dimθ([M ]) = dimθ([N ]) + dimθ([L]).

Proposição 2.1.9. Seja θ um sistema estrati�cante de tamanho t. Então o grupo de Grothen-

dieck de θ, K0(θ), é um grupo abeliano livre que tem como base o conjunto {[θ1], . . . , [θt]}. Alémdisso, o homomor�smo de grupos dimθ é um isomor�smo de grupos.

Demonstração. Sejam M ∈ F(θ) e 0 = M0 ⊆M1 ⊆M2 ⊆ . . . ⊆M` = M uma θ-�ltração de

M . Pela de�nição de K0(θ), temos que

[M ] = [Mt/Mt−1] + [Mt−1]

=∑`

j=1[Mj/Mj−1]

=∑`

j=1[M : θj ][θj ].

Isto prova que {[θ1], . . . , [θt]} gera o grupo K0(θ). Por outro lado, é claro que M ∼= N implica

que dimθ([M ]) = dimθ([N ]). Desde que a imagem pelo homomor�smo dimθ do conjunto gerado

por {[θ1], . . . , [θt]} é a base canônica do grupo livre Zt, então o conjunto {[θ1], . . . , [θt]} é Z-linearmente independente em K0(θ).

Portanto,K0(θ) é o grupo livre gerado por {[θ1], . . . , [θt]} e o homomor�smo dimθ : K0(θ)→Zt

é um isomor�smo de grupos.

�

2.2 Módulos estândares

De�niremos o conjunto dos módulos estândares, as álgebras estandarmente estrati�cadas

e uma classe particular delas: as álgebras quase-hereditárias. Além disso, usando o grupo de

Grothendieck para um sistema estrati�cante, faremos uma demonstração simples de que uma

álgebra estandarmente estrati�cada é quase-hereditária se, e somente se, tem dimensão global

�nita.

Mais detalhes acerca dos tópicos tratados aqui podem ser encontrados, por exemplo, em

[15, 21, 5].

De�nição 2.2.1. Dados os A-módulos X e Y , de�nimos o traço de Y em X, que denotamos

por τY (X), como o submódulo de X gerado pelas imagens dos homomor�smos de Y em X, isto

é,

τY (X) = 〈Imϕ : ϕ ∈ HomA(Y,X)〉.

27


Seja A uma K-álgebra. Dado um conjunto completo de idempotentes ortogonais e primitivos

{e1, ..., en} de A, para cada i, 1 ≤ i ≤ n, denotamos por εi o idempotente

εi = ei + ei+1 + · · ·+ en

e de�nimos εn+1 = 0. Por �m, usando esta notação, de�nimos os módulos estândares.

De�nição 2.2.2. Seja e = (e1, ..., en) uma ordem �xada de um conjunto ordenado e completo

de idempotentes ortogonais e primitivos {e1, ..., en} de A. A sequência ∆ = (41, . . . ,4n) de

módulos estândares à direita, com respeito à ordem e, é dada por

4i = Pi/τεi+1A(Pi) = Pi/eiAεi+1A.

De forma equivalente, o módulo estândar 4i de�ne-se como o quociente maximal de Pi tal

que se [4i : Sj ] 6= 0 então j ≤ i.

Proposição 2.2.3. (Propriedades dos módulos estândares)

1. HomA(4i,4j) = 0, se j < i .

2. Ext1A(4i,4j) = 0, se j ≤ i.

�

Como os módulos estândares têm topo simples, então eles são indecomponíveis. Em vista

disto o conjunto 4 é um sistema estrati�cante de tamanho o posto de K0(A).

De�nição 2.2.4. Sejam A uma K-álgebra, 4 a sequência dos módulos estândares relativa a uma

ordem e = (e1, ..., en) �xada dos idempotentes. Dizemos que A é uma álgebra estandarmente

estrati�cada se AA ∈ F(4).

De forma equivalente, A é uma álgebra estandarmente estrati�cada se todos os módulos

projetivos indecompiníveis são �ltrados por 4.O próximo exemplo mostra que a propriedade de uma álgebra ser estandarmente estrati�cada

depende da ordem �xada para os idempotentes.

Exemplo 2.2.5. Seja A ∼= kQ/I onde I =⟨αβ, β2

⟩e Q é o carcás

1· α // ·2 βff

Na ordem e1 = (e1, e2) o conjunto dos módulos estândares é 4 = {41 = S1,42 = P2}. Logo,A junto com e1 não é estandarmente estrati�cada, pois a única cadeia de submódulos de P1 é

0 ⊂ radP1 = S2 ⊂ P1,

que não é uma 4-�ltração uma vez que S2/0 ∼= S2 /∈ 4. No entanto, na ordem e2 = (e2, e1)

o conjunto dos módulos estândares é 4 = {41 = P2,42 = P1}. Isto é A junto com e2 é uma

álgebra estandarmente estrati�cada.

28

Módulos estândares

�

As álgebras estandarmente estrati�cadas têm muitas propriedades interessantes das quais

enunciaremos algumas. Mas antes de�niremos módulo inclinante generalizado.

De�nição 2.2.6. Seja A uma K-álgebra. Um A-módulo T é dito módulo inclinante genera-

lizado se satisfaz as condições abaixo:

1. pd T <∞.

2. ExtiA(T, T ) = 0, para todo inteiro i ≥ 1.

3. Existe uma sequência exata do tipo

0−→AA−→T0−→T1−→ · · · −→Ts−→ 0,

com Ti ∈ add T , para i = 0, 1, . . . , s.

Teorema 2.2.7. [21] Seja A uma K-álgebra estandarmente estrati�cada relativa à sequência de

A-módulos (à direita) estândares 4 = (41, . . . ,4n). Então:

1. Os módulos relativamente projetivos em F(4) são justamente os A-módulos projetivos.

2. F(4) é fechada por núcleos de epimor�smos.

3. Existe um A-módulo inclinante generalizado T , único a menos da multiplicidade dos so-

mandos diretos indecomponíveis, tal que

add T = F(4) ∩ Y(4).

4. A álgebra B = EndA(T ) é estandarmente estrati�cada com sequência de B-módulos (à

esquerda) estândares 4′ = (4′1, . . . ,4′n), onde 4′i = HomA(4n−i+1, T ).

�

De�nição 2.2.8. Dizemos que A é uma álgebra quase-hereditária se A é uma álgebra

estandarmente estrati�cada e EndA(4i) é um anel com divisão para i = 1, 2, . . . , n, onde

n = posto K0(A).

Equivalentemente, A é quase-hereditária se, e somente se, A é estandarmente estrati�cada e

[4i : Si] = 1, para i = 1, . . . , n.

Exemplo 2.2.9. 1. Uma álgebra hereditária é quase-hereditária com relação a qualquer or-

dem e de um conjunto completo de idempotentes ortogonais e primitivos. Mais ainda, se A

é uma álgebra quase-hereditária com relação a qualquer ordem e de um conjunto completo

de idempotentes primitivos e ortogonais, então A é uma álgebra hereditária [8].

29


2. Seja A a álgebra de caminhos do seguinte carcás

·1

α1−→ ·2

α2−→ ·3−→ · · · −→ ·

n−1

αn−→ ·n,

limitado pelas relações αiαi−1 = 0, para i = 2, . . . , n. Com relação à ordem e = (e1, . . . , en)

temos que 4i = Si e, portanto, A é uma álgebra quase-hereditária.

�

Observação 2.2.10. Como, pela Proposição 1.5.4, o homomor�smo de grupos dim : K0(A)→Zn,de�nido por

dim([M ]) =

[M : S1]

...

[M : Sn]

é um isomor�smo, pode-se considerar a composta (dim)−1dim4 : K0(4)−→K0(A). Se escreve-

mos a matriz de tal homomor�smo relativo às bases {[4i]}ni=1 e {[Si]}ni=1 para K0(4) e K0(A),

respectivamente, obtemos

D =

[41 : S1] [42 : S1] . . . [4n : S1]

[41 : S2] [42 : S2] . . . [4n : S2]

[41 : S3] [42 : S3] . . . [4n : S3]...

......

[41 : Sn] [42 : Sn] . . . [4n : Sn]

.

Como os fatores de composição do módulo 4i são módulos simples Sj , com j ≤ i, então a matriz

D tem a forma

D =

[41 : S1] [42 : S1] . . . [4n : S1]

0 [42 : S2] . . . [4n : S2]

0 0 . . . [4n : S3]...

......

0 0 . . . [4n : Sn]

.

Portanto det D = [41 : S1][42 : S2] · · · [4n : Sn] > 0.

Como consequência temos o seguinte corolário.

Corolário 2.2.11. Se A é uma K-álgebra estandarmente estrati�cada, então A é uma álgebra

quase-hereditária se, e somente se, detD = 1.

Demonstração. Decorre imediatamente da anterior observação e da de�nição de álgebra quase-

hereditária.

�

30

Sequências excepcionais

Agora suponhamos que A é uma álgebra estandarmente estrati�cada. Neste caso, se X ∈F(4) então pd X ≤ n − 1 (Ver [1]). Isto implica que o conjunto {[Pi]}ni=1 é uma base para

K0(4). Usando esta base para K0(4) podemos escrever a seguinte matriz para o homomor�smo

(dim)−1dim4

C =

[P1 : S1] [P2 : S1] . . . [Pn : S1]

[P1 : S2] [P2 : S2] . . . [Pn : S2]

[P1 : S3] [P2 : S3] . . . [Pn : S3]...

......

[P1 : Sn] [P2 : Sn] . . . [Pn : Sn]

.

Deste modo C eD são matrizes semelhantes e, portanto, det D = det C. Por outro lado, notemos

que C é justamente a matriz de Cartan de A. Portanto temos o seguinte resultado.

Corolário 2.2.12. Seja A uma álgebra estandarmente estrati�cada. Então o determinante da

matriz de Cartan de A é positivo.

�

Proposição 2.2.13. Seja A uma álgebra estandarmente estrati�cada com dimensão global �nita.

Então A é uma álgebra quase-hereditária.

Demonstração. Se a dimensão global de A é �nita então, segundo a Proposição 3.10 do Cap.

III em [2], detC ∈ {−1, 1}. De outro lado, como detC > 0, segundo o corolário acima, então

detC = 1. Portanto, como consequência do Corolário 2.2.11, A é uma álgebra quase-hereditária.

�

Proposição 2.2.14. [8] Se A uma álgebra quase-hereditária então:

1. pd 4i ≤ n− i.

2. pd Si ≤ n+ i− 2.

3. gd A ≤ 2(n− 1).

�

Finalmente, usando a proposição acima e o Corolário 2.2.13, temos o seguinte teorema.

Teorema 2.2.15. Seja A umaK-álgebra estandarmente estrati�cada. Então A é quase-hereditária

se, e somente se, a dimensão global de A é �nita.

�

2.3 Sequências excepcionais

O conceito de sequência excepcional foi introduzido por Gordentsev e Rudakov em [9]. Tais

sequências têm sido usadas para estudar �brados vetoriais sobre P2 e categorias derivadas de

31


variedades algébricas (ver por exemplo [4, 16]). Além disso, Crawely-Boevey considerou a noção

correspondente no contexto das representações de um carcás e, em [6], demonstrou que se K é

um corpo algebricamente fechado e A é uma K-álgebra hereditária, existe uma ação transitiva

do grupo de tranças gerado por s − 1 elementos sobre o conjunto de sequências excepcionais

completas de tamanho s. Depois Ringel, em [14], mostrou que o mesmo resultado vale se A for

uma álgebra de Artin.

Em [20], U. Seidel calculou o número de sequências excepcionais completas sobre as álgebras

hereditárias de tipo Dynkin. Mas a descrição concreta de sequências excepcionais não tem sido

estudada para álgebras hereditárias de tipo de representação in�nito.

Nesta seção mostramos que o conceito de sequência excepcional e o de sistema estrati�cante

sobre uma álgebra hereditária coincidem. Além disso, encontramos um limitante para o tamanho

de um sistema estrati�cante sobre uma álgebra hereditária e vemos como estes sistemas estão

estreitamente relacionados com os módulos inclinantes. Também, usamos resultados de [6], para

calcular todos os sistemas estrati�cantes completos sobre a álgebra de Kronecker e sobre as

álgebras de Kronecker generalizadas.

De�nição 2.3.1. Sejam K um corpo algebricamente fechado e A uma K-álgebra hereditária.

Dizemos que um A-módulo X é excepcional se satisfaz as seguintes condições:

1. EndA(X) ∼= K,

2. Ext1A(X,X) = 0.

Uma sequência excepcional E = (X1, . . . , Xt) de tamanho t é uma sequência de A-módulos

tais que:

1. Xi é um módulo excepcional, para 1 ≤ i ≤ t.

2. HomA(Xi, Xj) = 0, para i > j.

3. Ext1A(Xi, Xj) = 0, para i ≥ j.

Destacamos que a de�nição acima é bem parecida à de sistema estrati�cante. De fato, se os

elementos de uma dada sequência excepcional são módulos indecomponíveis, então tal sequência

é um sistema estrati�cante.

A seguir, no intuito de usar livremente os resultados sobre sequências excepcionais obtidos em

[6], veremos que os conceitos de sequência excepcional e sistema estrati�cante sobre uma álgebra

hereditária coincidem. Para isto, enunciaremos o seguinte lema que será de grande utilidade.

Lema 2.3.2. (em [2], Cap.VIII, 3.3) Sejam K um corpo algebricamente fechado e A uma

K-álgebra hereditária de dimensão �nita. Se T1 e T2 são A-módulos indecomponíveis tais que

Ext1A(T2, T1) = 0, então qualquer homomor�smo não nulo f : T1−→T2 é ou um monomor�smo

32


ou um epimor�smo. Em particular, se T1 é um módulo indecomponível e Ext1A(T1, T1) = 0, então

EndA(T1) ∼= K.

�

Como uma consequência imediata temos o seguinte corolário.

Corolário 2.3.3. Sejam K um corpo algebricamente fechado, A uma K- álgebra de dimensão

�nita e hereditária. Seja M um A-módulo tal que Ext1A(M,M) = 0. Então M é indecomponível

se, e somente se, EndA(M) ∼= K.

Demonstração. Suponhamos que M é indecomponível e Ext1A(M,M) = 0. Então, pelo lema

anterior, resulta que EndA(M) ∼= K. Reciprocamente, se EndA(M) ∼= K, então EndA(M) é um

anel local e, portanto, M é indecomponível.

�

Corolário 2.3.4. Sejam K um corpo algebricamente fechado e A uma K-álgebra de dimensão

�nita. Se A é hereditária, então a sequência de A-módulos (X1, X2, . . . , Xt) é uma sequência

excepcional se, e somente se, o conjunto {X1, X2, . . . , Xt} é um sistema estrati�cante sobre A.

�

Antes de enunciar o próximo resultado vamos lembrar as de�nições de módulo inclinante

parcial e de módulo inclinante.

De�nição 2.3.5. Seja A uma K-álgebra. Um A-módulo T é dito módulo inclinante parcial

se satisfaz as seguintes condições:

(T1) pd T ≤ 1.

(T2) Ext1A(T, T ) = 0.

Além disso, um módulo inclinante parcial é dito módulo inclinante se existir uma sequência

exata da forma

(T3) 0−→AA−→T0−→T1−→ 0, com Ti ∈ add T , para i = 0, 1.

Se T é um módulo inclinante parcial livre de multiplicidade no número de somandos diretos

indecomponíveis dizemos que T é um módulo inclinante parcial básico.

Lema 2.3.6. (3.4 Cap. VI em [2]) Sejam A uma K-álgebra e T um A-módulo inclinante parcial.

Então existe um A-módulo E tal que T ⊕ E é um A-módulo inclinante.

�

A proposição a seguir da um critério para saber quando um módulo inclinante parcial T é

um módulo inclinante em termos do número de somando diretos indecomponíveis não isomorfos

de T .

33


Proposição 2.3.7. (4.4 Cap. VI em [2]) Sejam A uma K-álgebra e T um A-módulo incli-

nante parcial. Então T é um módulo inclinante se, e somente se, o número de somandos diretos

indecomponíveis e dois a dois não isomorfos de T é igual ao posto de K0(A).

�

Do Lema 2.3.6 e proposição acima podemos a�rmar que se T é um A-módulo inclinante

parcial básico então o número de somandos diretos não isomorfos de T é no maximo n = K0(A).

Como consequência temos um limitante para o tamanho de um sistema estrati�cante sobre uma

álgebra hereditária.

Lema 2.3.8. Sejam A = KQ, onde Q é um carcás acíclico com n vértices, e X = (X1, . . . , Xt)

um sistema estrati�cante sobre A. Então

F(X) ∩ Y(X) = addT,

onde T é um A-módulo inclinante parcial básico, e t ≤ n.

Demonstração. Pelo Teorema 2.1.6 sabemos que F(X) ∩ Y(X) = addY , onde Y é um A-

módulo com t somandos diretos indecomponíveis dois a dois não isomorfos e tal que Ext1A(Y, Y ) =

0. Isto é, Y é um módulo inclinante parcial, o que implica que t ≤ n.�

A hipótese de que A seja uma álgebra hereditária no anterior lema é essencial. Para veri�car

isto temos o seguinte exemplo.

Exemplo 2.3.9. [11] Seja A ∼= KQ/I, onde Q é o seguinte carcás

3α−→ 1

β←− 2γ←− 4

e I = 〈γβ〉. Fazendo θ1 = S1 = P1, θ2 = P2, θ3 = P3, θ4 = P4 = I2 e θ5 = S4 temos que o

sistema estrati�cante θ = {θ1, θ2, θ3, θ4, θ5} é estândar e de tamanho 5.

�

O limitante para o tamanho de um sistema estrati�cante sobre uma álgebra hereditária

exibido no Lema 2.3.8 incentiva a seguinte de�nição.

De�nição 2.3.10. Sejam Q um carcás acíclico com n vértices e A = KQ. Dizemos que um

sistema estrati�cante X = (X1, . . . , Xt) sobre A é completo se tem tamanho n.

Observação 2.3.11. A�rmamos que, se θ é um sistema estrati�cante estândar sobre uma ál-

gebra hereditária A = KQ, então θ é completo. De fato, se t é o tamanho de θ então, pelo

Lema 2.3.8, temos que t ≤ |Q0|. De outro lado, em [11], foi demonstrado que se θ é um sistema

estrati�cante estândar então |Q0| ≤ t.

34


Mas a recíproca desta a�rmação não é verdadeira, isto é, nem todo sistema estrati�cante

completo é estândar, como mostra o Exemplo 2.1.4.

De�nição 2.3.12. Sejam (θ, Y ) e (θ′, Y ′) dois sistemas estrati�cantes de tamanho t, αi :

θi−→Yi e α′i : θ′i−→Y ′i , com i = 1, . . . , t, mor�smos como na De�nição 2.1.1. Um mor�smo de

sistemas estrati�cantes, f : (θ, Y )−→ (θ′, Y ′), é um conjunto de mor�smos f = {f1(i), f2(i)}ti=1,

onde f1(i) : θi−→ θ′i e f2(i) : Yi−→Y ′i são homomor�smos tais que

f2(i)αi = α′(i)f1(i), para todo i = 1, . . . , t.

0 mor�smo f = {f1(i), f2(i)}ti=1 é um isomor�smo se f1(i) e f2(i) são isomor�smos para todo

i = 1, . . . , t.

Proposição 2.3.13. [11] Sejam (θ, Y ) e (θ′, Y ) sistemas estrati�cantes de tamanho t. Então

existe um isomor�smo de sistemas estrati�cantes

f : (θ, Y )−→ (θ′, Y ).

�

Proposição 2.3.14. [11] Sejam (θ, Y ) e (θ, Y ′) dois sistemas estrati�cantes de tamanho t.

Então existem A-isomor�smos fi : Y (i)−→Y ′(i), para cada i = 1, . . . , t, tais que

f = {1θ(i), f1(i)}ti=1 : (θ, Y )−→ (θ, Y ′)

é um isomor�smo de sistemas estrati�cantes. �

De�nição 2.3.15. Sejam (T1, . . . , Tt) uma sequência de módulos indecomponíveis não isomorfos

e T = T1 ⊕ · · · ⊕ Tt. Dizemos que a sequência (T1, . . . , Tt) é uma sequência especial para T se

existir um sistema estrati�cante (X1, . . . , Xt) tal que as seguintes duas condições se veri�cam:

1. F(X) ∩ Y(X) = add(T ).

2. Existem sequências exatas da forma

0−→Xi−→Ti→Zi−→ 0,

com Zi ∈ F(X1, . . . , Xi−1), para todo i = 1, . . . , t.

Notemos que, segundo a Proposição 2.3.13, dada uma sequência especial (T1, . . . , Tt) de um

módulo T existe um único sistema estrati�cante associado a esta. Mais ainda, segundo a Pro-

posição 2.3.14, dado um sistema estrati�cante existe uma única sequência especial (T1, . . . , Tt)

de um módulo T associada a este. Como consequência temos que, se A é uma álgebra heredi-

35


tária existe uma bijeção entre as sequências especiais dos A-módulos inclinantes parciais com t

somandos diretos e os sistemas estrati�cantes sobre A de tamanho t.

A seguir vamos enunciar dois resultados que aparecem em [6] (Lemas 1 e 2 respectivamente)

e que usaremos com muita frequência ao longo deste trabalho.

Lema 2.3.16. [6] Sejam K um corpo algebricamente fechado, A uma K-álgebra hereditária e

(X1, . . . , Xa, Z1, . . . , Zc) uma sequência excepcional (não completa) sobre A. Então ela pode ser

estendida a uma sequência excepcional completa na forma

(X1, . . . , Xa, Y1, . . . , Yb, Z1, . . . , Zc).

�

Lema 2.3.17. [6] Sejam K um corpo algebricamente fechado, A uma K-álgebra hereditária e

E = (X1, . . . , Xn) e F = (Y1, . . . , Yn) sequências excepcionais completas sobre A tais que Xi∼= Yi

para todo i 6= j. Então Xj∼= Yj.

�

A seguir usaremos estes dois lemas para construir todas os sistemas estrati�cantes sobre um

tipo muito especial de álgebra.

Teorema 2.3.18. Seja A a K-álgebra de caminhos dada pelo carcás

2

α1

...%%

αm

99 1

com m ≥ 2. Então na seguinte lista estão todos os sistemas estrati�cantes completos sobre A.

1. (P1, P2).

2. (P2, τ−1P2).

3. (τ−iP1, τ−iP2), com i ≥ 1.

4. (τ−iP2, τ−i−1P1), com i ≥ 1.

5. (I1, I2).

6. (I2, P1).

7. (τI2, I1).

8. (τ iI1, τiI2), com i ≥ 1.

9. (τ i+1I2, τiI1), com i ≥ 1.

36


Demonstração. Primeiro vamos observar que os módulos regulares indecomponíveis sobre a

álgebra considerada têm auto-extensões, isto é se M é um A-módulo regular e indecomponível

então Ext1A(M,M) 6= 0. De fato, para m = 2 estes estão sobre um tubo de posto 1 do carcás de

Auslander-Reiten e param > 2 podemos concluir que não tem auto-extensões como consequência

do Corolário 2.16 Cap. XVIII em [18]. Assim qualquer sistema estrati�cante sobre esta álgebra

não pode conter módulos regulares.

Para construir um sistema estrati�cante completo sobre A vamos usar A-módulos pós-

projetivos ou pré-injetivos indecomponíveis uma vez que estes não têm auto-extensões.

Vamos fazer a veri�cação de que os pares em 1 e 3 da lista são sistemas estrati�cantes

completos. As outras veri�cações são análogas.

Para o par (P1, P2) é só notar que P1 é um projetivo simples e, portanto, HomA(P2, P1) = 0.

Para o par (τ−iP1, τ−iP2), com i ≥ 1, pelo Corolário 2.15 (c) em [2], temos que

HomA(τ−iP2, τ−iP1) ∼= HomA(P2, P1)

e então HomA(τ−iP2, τ−iP1) = 0. Por outro lado, usando a fórmula de Auslander, segue que

Ext1A(τ−iP2, τ

−iP1) = DHomA(τ−iP1, τ−i+1P2)

= DHomA(τ−1P1, P2)

= 0.

Assim (τ−iP1, τ−iP2), com i ≥ 1, é um sistema estrati�cante completo sobre A.

Para �nalizar devemos garantir que a lista está completa. Para isto, segundo o Lema 2.3.16,

é su�ciente com que para cada A-módulo pós-projetivo ou pré-injetivo M existam sequências

excepcionais da forma (M,M ′) e (M ′′,M). Isto de fato acontece.

�

Sejam A uma álgebra hereditária e X = (X1, . . . , Xt) um sistema estrati�cante sobre A.

Denotamos por C(X) a menor subcategoria plena de modA que contém X e que é fechada por

extensões.

Lema 2.3.19. Seja X um sistema estrati�cante sobre a K-álgebra A (não necessariamente

hereditária), então F(X) ⊆ C(X).

Demonstração. Seja M ∈ F(X). Faremos a prova por indução no X-comprimento de M . Se

M ∈ X, não temos nada a provar. Seja M tal que `X(M) = m, com 1 ≤ m e suponhamos que

a a�rmação vale para todos os módulos em F(X) tais que seu X-comprimento é menor do que

m. Consideremos a X-�ltração para M dada por

0 ⊆M1 ⊆M2 ⊆ . . .Mm−1 ⊆Mm = M.

Como `X(Mm−1) < m e Mm−1 ∈ F(X), pela hipótese de indução Mm−1 ∈ C(X). Por outro

37


lado, Mm/Mm−1∼= Xj para algum j ∈ {1, . . . , t}. Portanto, usando a sequência exata

0−→Mm−1−→Mm−→Mm/Mm−1−→ 0,

concluímos que M ∈ C(X), pois C(X) é fechada por extensões.

�

Proposição 2.3.20. Sejam A uma álgebra (não necessariamente hereditária) e X = (X1, . . . , Xt)

um sistema estrati�cante tal que todos os seus elementos são A-módulos pós-projetivos. Então

todos os módulos em F(X) são pós-projetivos. Em particular, se T é tal que


então, T é um módulo pós-projetivo.

Demonstração. Desde que F(X) é fechada por somas diretas é su�ciente provar a a�rmação

para os A-módulos indecomponíveis nesta categoria. Suponhamos que M ∈ F(X) é um A-

módulo indecomponível e que tem uma X-�ltração da forma

0 ⊆M1 ⊆M2 ⊆ . . .Ml−1 ⊆Ml = M.

Então existe um epimor�smo f : Ml−→Ml/Ml−1, tal que Ml/Ml−1∼= Xi, para algum i ∈

{1, . . . , t}. Como a categoria dos módulos pós-projetivos é fechada por predecessores concluímos

que M é pós-projetivo. �

De maneira análoga provamos o seguinte resultado quando os elementos de X são módulos

pré-injetivos.

Proposição 2.3.21. Sejam A uma álgebra (não necessariamente hereditária) e X = (X1, . . . , Xt)

um sistema estrati�cante tal que todos os seus elementos são A-módulos pré-injetivos. Então to-

dos os módulos em F(X) são pré-injetivos. Em particular, se T é tal que


então T é um módulo pré-injetivo.

�

De�nição 2.3.22. Seja A uma K-álgebra. Um par (T ,F) de subcategorias plenas de modA é

chamado um par de torção se satisfaz as condições 1, 2 e 3 abaixo:

1. HomA(M,N) = 0, para todo M ∈ T e para todo N ∈ F .

2. HomA(M, )|F = 0 implica que M ∈ T .

38


3. HomA( , N)|T = 0 implica que M ∈ F .

A categoria F é chamada a classe livre de torção e a categoria T é chamada a classe

de torção.

Seja M é um A-módulo. A classe dos A-módulos N tais que existe um inteiro d ≥ 0 e um

epimor�smo de A-módulos Md−→N é denotada por Gen M . Dualmente, a classe Cogen M é

a classe dos A-módulos N tais que existe um inteiro d ≥ 0 e um monomor�smo de A-módulos

N −→Md.

Proposição 2.3.23. Seja T um A-módulo inclinante parcial. Então:

1. (2.3 Cap. VI em [2])

(a) Gen T é uma classe de torção e a sua classe livre de torção correspondente é

F(T ) = {M ∈ modA/HomA(T,M) = 0}.

(b) T (T ) = {M ∈ modA/Ext1A(T,M) = 0} é uma classe de torção e a sua classe livre

de torção correspondente é Cogen τT .

2. (2.5 Cap. VI em [2]) As seguintes condições são equivalentes:

(a) T é um A-módulo inclinante.

(b) Gen T = T (T ).

(c) F(T ) = Cogen τT .

(d) Seja X um A-módulo. Então X ∈ addT se, e somente se, X é relativamente projetivo

em T (T ).

(e) Para cada módulo M ∈ T (T ) existe uma sequência exata

0−→L−→T0−→M −→ 0

com T0 ∈ addT e L ∈ T (T ).

�

Como consequência da anterior proposição, se T é um módulo inclinante o par

(GenT,F(T )) = (T (T ), Cogen τT )

é um par de torção. Tal par é chamado par de torção induzido por T em modA e o denotamos

por (T (T ),F(T )).

Vamos estudar algumas relações deste par de torção com o sistema estrati�cante ao qual T

esta associado.

39


Observação 2.3.24. É importante ressaltar que embora seja usada uma notação parecida para

denotar a classe livre de torção induzida por um módulo inclinante T e a categoria dos módulos

�ltrados por um sistema estrati�cante X o contexto sempre permitirá entender a qual dos dois

objetos estamos nos referindo.

Se X é um sistema estrati�cante sobre uma álgebra hereditária e F(X) ∩ Y(X) = addT ,

então, pelo Lema 2.3.20, X 6⊆ F(T ). De fato, caso contrário como F(T ) é fechada por extensões

teríamos que F(X) ⊆ F(T ) e, em particular, que T ∈ F(T ), o qual é impossível.

Proposição 2.3.25. Sejam A uma álgebra hereditária, X = (X1, . . . , Xn) um sistema estrati�-

cante completo sobre A, T um A-módulo inclinante básico e T = ⊕ni=1Ti sua decomposição em

somandos diretos indecomponíveis. Se (T1, . . . , Tn) é uma sequência especial de T associada a

X, então as condições que seguem são equivalentes:

1. X ⊆ T (T ).

2. F(X) ⊆ T (T ).

3. Ext1A(T, )|F(X) = 0.

4. F(X) = addT .

5. Xi = Ti, para i = 1, 2, . . . , n.

6. F(X) = add (X1 ⊕ . . .⊕Xn).

Demonstração. (1 ⇒ 2) Segue do Lema 2.3.19, pois T (T ) é fechada por extensões.

(2 ⇔ 3) Uma vez que T (T ) = {M ∈ modA/Ext1A(T,M) = 0} esta equivalência é clara.

(2 ⇒ 4) Seja M um A-módulo em F(X). Segundo a Proposição 2.3.23, para provar que

M ∈ addT é su�ciente mostrar que Ext1A(M, )|T (T ) = 0. Se N ∈ T (T ), pela Proposição

2.3.23, existe uma sequência exata da forma

0−→L−→T0−→N −→ 0,

com T0 ∈ add T e L ∈ T (T ). Aplicamos o funtor HomA(M, ) nesta sequência e obtemos

· · · −→ Ext1A(M,L)−→ Ext1

A(M,T0)−→ Ext1A(M,N)−→ 0.

Como Ext1A(M,T0) = 0, pois pela hipótese F(X)∩Y(X) = addT , então Ext1

A(M,N) = 0, deste

modo F(X) ⊆ addT . Por outro lado, como T ∈ F(X) e a categoria F(X) é fechada por somas

diretas e por somandos diretos, então addT ⊆ F(X).

Para (4⇒ 5) suponhamos que F(X) = addT . Como para cada i ∈ {1, 2, . . . , n} o A-módulo

Xi é indecomponível e Xi ∈ F(X), então addT = add(X1 ⊕ . . .⊕Xn).

40


Por outro lado, como (T1, . . . , Tn) é uma sequência especial de T associada ao sistema estra-

ti�cante X, então addT = Y(X) ∩ F(X) e para i ∈ {1, 2, . . . , n}, existe uma sequência exata

da forma

0−→Xi−→Ti−→Zi−→ 0,

onde Zi ∈ F(X1, . . . , Xi−1). Desta maneira, temos as seguintes igualdades

add(X1 ⊕ . . .⊕Xn) = addT = Y(X) ∩ F(X) = F(X).

Portanto, se Zi 6= 0 a sequência exata acima cinde, pois Xi e Zi estão em addT . Mas isto

não é possível pois Ti é um A-módulo indecomponível. Logo Zi = 0 e, portanto, Xi = Ti.

Claramente (5 ⇒ 1).

(5 ⇒ 6) Suponhamos que Xi = Ti, para i = 1, . . . , n. Como F(X) é fechada por somandos

diretos então add(X1 ⊕ . . .⊕Xn) = add(T1 ⊕ . . .⊕ Tn) ⊆ F(X).

Seja M ∈ F(X). Vamos demonstrar que M ∈ add(X1 ⊕ . . . ⊕ Xn) por indução no X-

comprimento de M . Se M ∈ X não temos nada a provar. Seja M tal que `X(M) = m, com

m ≥ 1, e suponhamos que a a�rmação vale para os módulos em F(X) tais que o seu X-

comprimento é menor do que m. Consideramos a X-�ltração para M dada por

0 ⊆M1 ⊆M2 ⊆ . . .Mm−1 ⊆Mm = M,

para construir a sequência exata

0−→Mm−1−→M −→M/Mm−1−→ 0. (∗)

Como `X(Mm−1) < m, pela hipótese de indução, Ml−1 ∈ add(T1 ⊕ . . . ⊕ Tn). Por outro lado,

M/Mm−1∼= Ti, para algum i ∈ {1, . . . , t}. Portanto a sequência (∗) cinde, o que implica que

M ∈ add(X1 ⊕ . . .⊕Xn). Concluímos que

add(X1 ⊕ . . .⊕Xn) = add T = F(X).

(6 ⇒ 5) Suponhamos que F(X) = add(X1 ⊕ . . . ,⊕Xn). Como add T ⊆ F(X), então addT ⊆add(X1 ⊕ . . .⊕Xn). Desde que T tem n somandos diretos não isomorfos F(X) = add T. Uma

vez que a implicação (4 ⇒ 5) é válida concluímos que Xi = Ti, para i = 1, . . . , n.

�


Q : 2

α1

...%%

αm

99 1

41


comm ≥ 2. Usaremos a lista de sistemas estrati�cantes obtida na Proposição 2.3.18 para fornecer

exemplos de sistemas estrati�cantes, satisfazendo as condições da proposição anterior, mas cujos

elementos não são todos módulos injetivos ou projetivos. Notemos que em tal lista todos os

sistemas estrati�cantes, exceto (I2, P1), estão formados por módulos ou somente pós-projetivos

ou somente pré-injetivos. Mais ainda, se X = (X1, X2) é um sistema estrati�cante completo

sobre a álgebra A e X 6= (I2, P1), então F(X) = add(X1 ⊕X2).

Vejamos primeiro que para o sistema estrati�cante (I2, P1) não vale tal igualdade. Para tal

calculemos a matriz de Cartan de A e a sua inversa. Temos, então, que

CA =

[1 m

0 1

]e C−1

A =

[1 −m0 1

].

Portanto, a matriz de Coxeter de A, que esta de�nida por ΦA = −CtAC−1A , é igual a

ΦA =

[−1 m

−m m2 − 1

].

Pela Proposição 1.6.7, temos que

dim τI2 = ΦA(dim I2) =

[−1 m

−m m2 − 1

][1

m

]=

[m2 − 1

m(m2 − 2)

]

e, desde que m2 − 1 6= 0 para m 6= 1, pelo Corolário 1.5.5, temos que

[τI2, S1] = dimK HomA(P1, τI2) = m2 − 1 6= 0.

Por outro lado, usando a fórmula de Auslander, resulta que

Ext1A(I2, P1) ∼= DHomA(P1, τI2) 6= 0.

Isto signi�ca que P1 não é um módulo relativamente injetivo na categoria F(X), e portanto,

F(I2, P1) 6= add(I2 ⊕ P1).

Para o sistema estrati�cante (τ i+1I2, τiI1), temos que τ iI1 é relativamente injetivo em

F(τ iI1, τi+1I2). De fato, pela fórmula de Auslander, temos que

Ext1A(τ i+1I2, τ

iI1) ∼= DHomA(τ iI1, τi+2I2) ∼= DHomA(I1, τ

2I2) = 0.

Portanto F(τ i+1I2, τiI1) = add(τ i+1I2 ⊕ τ iI1). Para os demais sistemas estrati�cantes da lista

vale a mesma a�rmação e a veri�cação é análoga.

42

Capítulo 3

Sistemas estrati�cantes de módulos

regulares sobre álgebras hereditárias

euclidianas

Se A é uma álgebra hereditária existe uma relação estreita entre os sistemas estrati�cantes

sobre A e os A-módulos inclinantes. Uma questão de interesse é analisar a existência de um

sistema estrati�cante completo formado somente de módulos regulares.

Se A é uma álgebra de Kronecker ou uma Kronecker generalizada todos os módulos regulares

têm auto-extensões e, portanto, um sistema estrati�cante sobre A não tem elementos regulares.

Se A = KQ e o grafo subjacente Q de Q é um dos diagramas de Dynkin, então modA

não tem módulos regulares. Assim, neste caso, também não é possível construir um sistema

estrati�cante formado por módulos regulares.

Neste capítulo demonstraremos que, se Q é um diagrama euclidiano, não é possível construir

um sistema estrati�cante com tais características e encontramos uma limitante para o tamanho

de um sistema estrati�cante formado de módulos regulares. Mais ainda, mostramos que não

é possível construir tal sistema estrati�cante em um tipo mais geral de álgebras: as álgebras

disfarçadas de tipo euclideano.

3.1 Sistemas estrati�cantes de módulos regulares sobre álgebras

hereditárias euclidianas

Demostraremos que em um tubo Tλ estândar, hereditário e estável de posto r ≥ 1 em

Γ(modA) pode-se construir um módulo inclinante parcial e básico T com no máximo r − 1

somandos em add Tλ. Como uma consequência concluimos que, sobre uma álgebra hereditária

euclidiana A, um sistema estrati�cante formado de módulos regulares tem no máximo tamanho

n− 2, onde n é o posto de K0(A).

Começaremos enunciando alguns lemas técnicos.

43

Sistemas estrati�cantes de módulos regulares sobre álgebras hereditárias euclidianas

De�nição 3.1.1. Seja (T , τ) um tubo estável. Então

1. O conjunto dos pontos em T que têm exatamente um predecessor imediato (ou equivalen-

temente exatamente um sucessor imediato) é chamado boca de T .

2. Dado um ponto x na boca de T , o raio começando em x é o único caminho seccional

in�nito

x = x[1]→x[2]→x[3]→ · · · →x[m]→ · · ·

Lema 3.1.2. (1.4 Cap. X em [17]) Seja A uma álgebra e Tλ um tubo estável de posto rλ ≥ 1

em Γ(modA). Se (X1, . . . , Xrλ) é um τ -ciclo de A-módulos na boca do tubo Tλ. Então

1. Para cada i ∈ {1, . . . , rλ} existe um único raio

Xi = Xi[1]→Xi[2]→Xi[3]→ · · · →Xi[m]→ · · ·

2. Cada A-módulo indecomponível M em Tλ é da forma M ∼= Xi[m], para algum i ∈{1, . . . , rλ} e m ≥ 1.

�

Para um módulo indecomponível M ∼= Xi[j] num tubo estável Tλ o cone determinado por

M , que denotamos por C(M), consiste dos A-módulos Xs[u], com s ∈ {i, i+ 1, . . . , i+ j − 1} eu ≤ i + j − s. Além disso, o inteiro j é denotado por `λ(M). Gra�camente o cone de M tem a

seguinte forma

Xi[1]

Xi+1[1]

Xi+2[1]

. . . Xi+j−2[1]

Xi+j−1[1]

Xi[2]

>>

Xi+1[2]

>>

. . . . ..

>>

Xi+j−2[2]

>>

Xi[3]

>>

. . .

. ..

. ..

>>

. . .

Xi+1[j − 2]

>>

. ..

Xi[j − 1]

>>

Xi[j − 1]

>>

M ∼= Xi[j]

>>

Lema 3.1.3 (1.7 Cap. XVII em [18]). Sejam A uma álgebra e Tλ um tubo estável, estândar e

hereditário de Γ(modA). Para cada par de A-módulos indecomponíveis M e N em add Tλ tais

que Ext1A(M ⊕N,M ⊕N) = 0, uma das seguintes condições é satisfeita:

44


1. C(M) ⊆ C(N),

2. C(N) ⊆ C(M) ou

3. C(M) ∩ C(N) = ∅, C(M) ∩ τC(N) = ∅ e τC(M) ∩ C(N) = ∅.

�

Corolário 3.1.4. Sejam A uma álgebra e Tλ um tubo estável, estândar e hereditário de Γ(modA)

de posto rλ ≥ 1. Se N1, . . . , Nt são A-módulos indecomponíveis e dois a dois não isomorfos em

add Tλ, tais que Ext1A(N1⊕. . .⊕Nt, N1⊕. . .⊕Nt) = 0 e que C(Ni)∩C(Nj) = ∅, sempre que i 6= j,

então

`λ(N1) + · · ·+ `λ(Nt) ≤ rλ − t.

Demonstração. Seja (X1, . . . , Xrλ) um τ -ciclo na boca do tubo Tλ. Para i = 1, . . . , t vamos

denotar por Ni e τNi os conjuntos

Ni = C(Ni) ∩ {X1, . . . , Xrλ} e τNi = τC(Ni) ∩ {X1, . . . , Xrλ}.

Segundo o Lema 3.1.2 existem inteiros li e ti tais que Ni∼= Xli [ti], para cada i ∈ {1, . . . , t}.

Então Ni = {Xli [1], . . . , Xli+ti−1[1]} e τNi = {Xli−1[1], . . . , Xli+ti−2[1]}. Portanto

|Ni ∪ τNi| = ti + 1 = `λ(Ni) + 1.

Como Ext1A(Ni ⊕ Nj , Ni ⊕ Nj) = 0 e C(Ni) ∩ C(Nj) = ∅, sempre que i 6= j, pelo Lema 3.1.3,

temos que C(Ni) ∩ τC(Nj) = ∅ e que τC(Ni) ∩ C(Nj) = ∅. Portanto∣∣∣∣∣t⋃i=1

(Ni ∪ τNi)

∣∣∣∣∣ =

(t∑i=1

`λ(Ni)

)+ t.

Mas por outro lado,t⋃i=1

(Ni ∪ τNi) ⊆ {X1, . . . , Xrλ}.

Logot∑i=1

`λ(Ni) ≤ rλ − t.

�

Lema 3.1.5. (1.8 Cap. XVII em [18]) Sejam A uma álgebra, Tλ um tubo estândar, hereditário

e estável de Γ(modA) tal que rλ ≥ 1 e M um A-módulo indecomponível em add Tλ tal que

Ext1A(M,M) = 0. Se {X1, . . . , Xp} é um conjunto não vazio de A-módulos indecomponíveis e

45


dois a dois não isomorfos no cone C(M) determinado por M tal que

Ext1A(X1 ⊕ . . .⊕Xp, X1 ⊕ . . .⊕Xp) = 0.

Então p ≤ `λ(M). �

Proposição 3.1.6. Sejam A uma álgebra, Tλ um tubo estândar, hereditário e estável de Γ(modA)

tal que rλ ≥ 1. Se T é um A-módulo inclinante básico, então T tem no máximo rλ−1 somandos

diretos em add Tλ.

Demonstração. Seja T um A-módulo inclinante. De�nimos as classes X e X0 da seguinte

formaX = {X ∈ indA/X ∈ add Tλ ∩ addT} eX0 = {X ∈ X/∀Y ∈ X , C(Y ) ⊆ C(X) ou C(X) ∩ C(Y ) = ∅}.

Como T é um módulo inclinante básico, então T tem um número �nito de somandos diretos

indecomponíveis não isomorfos e, portanto, a classe X tem �nitos elementos.

Notemos que se X1, X2 ∈ X0 e X1 6= X2, então C(X1)∩C(X2) = ∅. De fato, em caso contrário

teriamos que C(X1) = C(X2) e portanto que X1 = X2.

Assim, se o número de elementos de X0 é l, segundo o Corolário 3.1.4, temos que∑X∈X0

`λ(X) ≤ rλ − l.

Por outro lado, se X ∈ X0 então, pelo Lema 3.1.5, o número de elementos em C(X) ∩ X é no

máximo `λ(X). Portanto

|X | ≤∑X∈X0

|C(X) ∩ X | ≤∑X∈X0

`λ(X) ≤ rλ − l.

Concluímos que se X 6= ∅, então |X | ≤ rλ − 1. �

Proposição 3.1.7. Sejam K um corpo algebricamente fechado e A uma K-álgebra de dimensão

�nita. Seja Tλ um tubo estável, estândar e hereditário em Γ(modA) de posto r ≥ 1. Então existe

um sistema estrati�cante de tamanho r − 1 contido em Tλ. Mais ainda, se X = (X1, . . . , Xt) é

um sistema estrati�cante tal que Xi ∈ Tλ, para todo i = 1, . . . , t, então t ≤ r − 1.

Demonstração. Seja (X1, . . . , Xr) um τ -ciclo na boca do tubo Tλ. Isto é, os módulos Xi estão

ordenados de tal forma que

τX2∼= X1, . . . , τXr

∼= Xr−1 e τX1∼= Xr.

Vejamos que X = (Xr−1, . . . , X1) é um sistema estrati�cante. Como Tλ é uma componente

estândar então os A-módulos X1, . . . , Xr são tijolos dois a dois ortogonais. Por outro lado, para

46


1 < i ≤ j ≤ r − 1, pela fórmula de Auslander, temos que

Ext1A(Xi, Xj) ∼= DHomA(Xj , τXi) ∼= DHomA(Xj , Xi−1).

Como j 6= i− 1, HomA(Xj , Xi−1) = 0. Assim, Ext1A(Xi, Xj) = 0.

Se i = 1 e 1 ≤ j ≤ r − 1, usando de novo a fórmula de Auslander, temos o isomor�smo

Ext1A(X1, Xj) ∼= DHomA(Xj , τX1) ∼= DHomA(Xj , Xr).

Como j 6= r, temos que HomA(Xj , Xr) = 0 e portanto Ext1A(X1, Xj) = 0.

Assim X = (Xr−1, . . . , X1) é um sistema estrati�cante de tamanho r− 1 com elementos em

add Tλ.Suponhamos que Y = (Y1, . . . , Yt) é um sistema estrati�cante tal que cada Yi ∈ Tλ. Pelo

Teorema 1.7.9, temos que add Tλ = EXT A(E1, . . . , Er) e, portanto, que add Tλ é uma subcate-

goria abeliana e fechada por extensões de modA. Assim, usando o Lema 2.3.19, temos a seguinte

cadeia de inclusões

F(Y ) ⊆ C(Y1, . . . , Yt) ⊆ add Tλ.

Por outro lado, do Lema 2.3.8, temos que F(Y )∩Y(Y ) = add T , onde T é um módulo inclinante

parcial básico.

Mas, pela Proposição 3.1.6, o número de somandos diretos não isomorfos de T é no máximo

r − 1. Dado que, pelo Teorema 2.1.6, o número de somandos diretos indecomponíveis de T é

igual ao tamanho de X temos que t ≤ r − 1.

�

Com o intuito de dar uma aplicação da proposição precedente vamos de�nir uma classe de

álgebras conhecidas como álgebras disfarçadas.

De�nição 3.1.8. Sejam Q um carcás �nito, conexo e acíclico tal que Q não é um diagrama

de Dynkin e A = KQ. Uma álgebra B é chamada disfarçada tipo Q se existir um A-módulo

inclinante e pós-projetivo T tal que B = EndA(T ).

Notemos que, como EndA(A) ∼= AA, se A = KQ é Q e um carcás euclidiano então A é uma

álgebra disfarçada de tipo Q.

Teorema 3.1.9. (3.4 Cap. XI em [17]) Sejam Q um carcás euclidiano, A = KQ e TA um

módulo inclinante pós-projetivo e básico. Sejam B = EndA(TA) uma álgebra disfarçada de tipo

Q e addR(B) a subcategoria plena de modB cujos objetos são todos os B-módulos regulares.

Então:

1. A categoria addR(B) é abeliana e fechada por extensões.

2. As componentes de R(B) formam uma família T B = {T Bλ }λ∈Λ de tubos estáveis, estân-

dares e dois a dois ortogonais. Mais ainda, se rBλ denota o posto de T Bλ e n = |Q0|,

47


então ∑λ∈Λ

(rAλ − 1) ≤ n− 2.

3. Em T B existem como máximo n−2 tubos não homogêneos. Isto é, todos exceto um número

�nito de tubos em T B são homogêneos.

4. Para cada λ ∈ Λ, o tubo Tλ está composto por objetos indecomponíveis em uma subcategoria

abeliana de modB da forma

E = EA = EXT A(E1, . . . , Er),

onde E1, . . . , Er são tijolos dois a dois ortogonais em modB tais que existe um isomor�smo

τEi+1∼= Ei, para todo i ∈ {1, . . . , rλ}, e E1 = Erλ .

�

Lema 3.1.10. (3.3 Cap. XI de [17]) Sejam Q um carcás acíclico cujo grafo subjacente é eucli-

diano, A = KQ e B uma álgebra disfarçada de tipo euclidiano Q. Então gdB ≤ 2 e todos os

B-módulos indecomponíveis Z, exceto um conjunto �nito que consiste de módulos pós-projetivos

ou pré-injetivos, são tais que pdZ ≤ 1 e idZ ≤ 1.

�

Como consequência do lema acima temos que tubos em T B são hereditários. Com isto temos

o seguinte teorema.

Teorema 3.1.11. Sejam A uma álgebra disfarçada de tipo euclidiano e n o posto de K0(A).

Então existe um sistema estrati�cante cujos elementos são todos A-módulos regulares de tamanho

n − 2. Além disso, se X é um sistema estrati�cante cujos elementos são A-módulos regulares

então o tamanho de X é no máximo n− 2.

Demonstração. O resultado decorre diretamente da Proposição 3.1.7, do Teorema 3.1.9 e do

Lema 3.1.10.

�

Como um caso particular temos o seguinte resultado.

Corolário 3.1.12. Sejam A uma álgebra hereditária euclidiana e n o posto de K0(A). Então

existe um sistema estrati�cante cujos elementos são todos A-módulos regulares de tamanho n−2.

Além disso, se X é um sistema estrati�cante cujos elementos são A-módulos regulares então o

tamanho de X é no máximo n − 2. Isto é, não existe um sistema estrati�cante completo sobre

A cujos elementos sejam todos regulares.

�

48

Sistemas estrati�cantes sobre álgebras de tipo ∆(Ap,q)

3.2 Sistemas estrati�cantes sobre álgebras de tipo ∆(Ap,q)

Segundo o Teorema 3.1.11, se A = KQ é uma álgebra hereditária de tipo euclideano então

é possível construir um sistema estrati�cante formado só de módulos regulares de tamanho no

máximo n − 2, onde n = |Q0|. No caso particular da álgebra ∆(Ap,q) é possível construir um

sistema estrati�cante formado por módulos regulares de tamanho no máximo p+ q − 2.

Nosso trabalho agora consiste em construir um sistema estrati�cante �regular� de tamanho

maximal sobre ∆(Ap,q), para depois completa-lo de todas as formas possíveis.

Para isto primeiro apresentaremos uma lista dos módulos simples regulares em ∆(Ap,q) e umteorema que descreve a estrutura tubular da parte regular de tal álgebra. Usaremos a notação

do Cap. XII em [17].

Construir o sistema estrati�cante �regular� de tamanho maximal é simples. Basta ordenar

de forma conveniente os elementos nas bocas dos tubos não homogêneos. Completa-los é mais

trabalhoso, pois é preciso encontrar módulos satisfazendo muitas propriedades.

Lista: Módulos simples regulares de ∆(Ap,q)

Sejam p e q inteiros e suponhamos que 1 ≤ p ≤ q. Seja ∆ = ∆(Ap,q) o carcás euclidiano

orientado de forma canônica como segue

•1

zz

•2oo · · ·oo •p−1oo

∆(Ap,q) : 0• •p+q−1

dd

zz•p

dd

•p+1oo · · ·oo •p+q−2

oo

(a) Módulos simples regulares no tubo T Ap,q∞

0

yy

0oo · · ·oo 0oo

E(∞)i = Si, com 1 ≤ i ≤ p− 1, E

(∞)p : K K

ee

1yyK1

ee

K1oo · · ·

1oo K

1oo

com a propriedade

τE(∞)i+1 = E

(∞)i , para 1 ≤ i ≤ p− 1, e τE

(∞)1 = E(∞)

p . (3.1)

(b) Módulos simples regulares no tubo T Ap,q0

K1yy

K1oo · · ·1oo K

1oo

E(0)j = Sp+j−1, para 1 ≤ j ≤ q − 1 E

(0)q : K K,

1ee

yy0

ee

0oo · · ·oo 0oo

49


com a propriedade:

τE0j+1 = E0

j , para 1 ≤ j ≤ q − 1, e τE01 = E0

q . (3.2)

(c) Módulos simples regulares no tubo T Ap,qλ , com λ ∈ K \ {0}

Kλyy

K1oo · · ·1oo K

1oo

E(λ) : K K

1ee

1yy

K

1ee

K1oo · · ·1oo K

1oo

Vamos enunciar agora um teorema que descreve a estrutura tubular de ∆(Ap,q) e que usare-mos para a construção de um sistema estrati�cante �regular"de tamanho máximo.

Teorema 3.2.1. (2.5 Cap. XIII em [17]) Assumamos que A = K∆, onde ∆ é o carcás orientado

em forma canônica ∆(Ap,q), com q ≥ p ≥ 1, como na lista acima.

1. Cada A-módulo simples regular é isomorfo a um dos módulos na lista acima.

2. As componentes regulares de R(A) em Γ(mod A) são descritas na seguinte lista:

(a) O tubo T Ap,q∞ de posto p contendo os A-módulos E

(∞)1 , . . . , E

(∞)p .

(b) O tubo T Ap,q0 de posto q contendo os A-módulos E

(0)1 , . . . , E

(0)q .

(c) O tubo T Ap,qλ de posto 1 contendo o A-módulo E(λ), com λ ∈ K \ {0}.

Onde E(∞)j , E

(0)i e E(λ) são os A-módulos simples regulares na lista acima.

3. O carcás de Auslander-Reiten Γ(mod A) de A consiste de uma componente pós-projetiva

P(A), uma componente pré-injetiva Q(A) e a família

T Q = {T Qλ }λ∈P1(K)

de tubos estáveis separando P(A) de Q(A).

�

A seguir usaremos os módulos simples regulares sobre os tubos de posto p e q para construir

um sistema estrati�cante de tamanho p+ q − 2 sobre ∆(Ap,q).Por conveniência, denotaremos o módulo E(∞)

p−i por Fi, para i = 1, . . . , p−1, e o módulo E(0)q−i

por Gi, para i = 1, . . . , q − 1.

50


Com esta notação temos, para os simples regulares no tubo T Ap,q∞ , que

τFi = τE(∞)p−i = E

(∞)p−i−1 = Fi+1, para 1 ≤ i ≤ p− 2,

τFp−1 = τE(∞)1 = E

(∞)p ,

τEp = F1.

(3.3)

E para os simples regulares no tubo T Ap,q0 temos que

τGi = τE(0)q−i = E

(∞)q−i−1 = Gi+1, para 1 ≤ i ≤ q − 2,

τGq−1 = τE(0)1 = E

(0)q ,

τEq = G1.

(3.4)

Denotaremos as sequências ordenadas

(F1, F2, . . . , Fp−1) = (Sp−1, Sp−2, . . . , S1) = F (3.5)

(G1, G2, . . . , Gq−1) = (Sp+q−2, Sp+q−3, . . . , Sp) = G (3.6)

A�rmamos que F e G são sistemas estrati�cantes. De fato, HomA(Fi, Fj) = 0 para i > j, pois

não existem mor�smos entre módulos simples, e, para i ≥ j,

Ext1A(Fi, Fj) ∼= DHomA(Fj , τFi) ∼= DHomA(Fj , Fi+1) = 0.

De forma análoga obtemos também que G é um sistema estrati�cante.

Vamos denotar por F o conjunto {F1, . . . , Fp−1} e por G o conjunto {G1, . . . , Gq−1}.Adotaremos a seguinte convenção: dado um A-módulo M escrevemos HomA(F ,M) = 0

signi�cando que HomA(X,M) = 0, para todo elemento X ∈ F .Dado um conjunto de A-módulos regulares X denotaremos para cada i ∈ Z, i 6= 0 por τ i(X )

o conjunto τ i(X ) = {τ iX,X ∈ X}, onde τ denota o transladado de Auslander-Reiten.

Usando as notações acima enunciamos o seguinte lema.

Lema 3.2.2. Sejam F e G os conjuntos de�nidos acima. Então:

1. (a) τ i(F) = (F \ {Fi}) ∪ {E(∞)p }, para 1 ≤ i ≤ p− 1.

(b) τ−i(F) = (F \ {Fp−i}) ∪ {E(∞)p }, para 1 ≤ i ≤ p− 1.

(c) τp(F) = τ−p(F) = F .

(d) Para cada n ∈ N, n 6= 0, temos que

τn(F) =

{F , se p|nτ r(F), se n ≡ r (mod p), com 1 ≤ r ≤ p− 1

51


τ−n(F) =

{F , se p|nτ−r(F), se n ≡ r (mod p), com 1 ≤ r ≤ p− 1

2. (a) τ i(G) = (G \ {Gi}) ∪ {E(0)q }, para 1 ≤ i ≤ q − 1.

(b) τ−i(G) = (G \ {Gq−i}) ∪ {E(0)q }, para 1 ≤ i ≤ q − 1.

(c) τ q(G) = τ−q(G) = G.

(d) Para cada n ∈ N, n 6= 0, temos que

τn(G) =

{G, se q|nτ r(G), se n ≡ r (mod q), com 1 ≤ r ≤ q − 1

τ−n(G) =

{G, se q|nτ−r(G), se n ≡ r (mod q), com 1 ≤ r ≤ q − 1

Demonstração. Vamos demonstrar 1(a) por indução. Para i = 1, pela de�nição, temos que

τ(F) = {τF1, . . . , τFp−1}. Mas, por (3.3), temos que

τ(F) = {F2, . . . , Fp−1, E∞p } = (F \ {F1}) ∪ {E(∞)

p }.

Suponhamos que a a�rmação vale para todo j, com 1 < j < p − 1. Isto é, suponhamos que

τ i(F) = (F \ {Fi}) ∪ {E(∞)p }, para 1 < j < p− 1. Vamos calcular τ j+1(F).

τ j+1(F) = τ(τ j(F))

= τ((F \ {Fj}) ∪ {E(∞)p })

= τ(F \ {Fj}) ∪ τ({E(∞)p })

= [(F \ {F1}) ∪ {E(∞)p }) \ {τFj}] ∪ {F1}

= (F \ {Fj+1}) ∪ {E(∞)p }

Isto completa a prova de nossa a�rmação.

A demonstração de 1(b) é análoga. A a�rmação em 1(c) é clara, pois os elementos de F estão

em tubo de posto p.

Vejamos 1(d). Se p|n, então n = kp para algum k ≥ 1. Faremos indução sobre k. Por 1(c)

temos que τpF = F . Suponhamos que τ jpF = F , para todo j tal que 1 ≤ j < k. Logo

τkpF = τp(τ (k−1)pF)

= τp(F) (pela hipótese)

= F (por 1(c)).

Por outro lado, se n ≡ r (mod p), com 1 ≤ r ≤ p − 1, então existe k ≥ 1 tal que n = kp + r.

Portanto τ (kp+r)(F) = τ r(τkp(F)) = τ r(F). �

52


De�nição 3.2.3. Sejam A uma K-álgebra, {S1, . . . , Sn} o conjunto de todos os A-módulos sim-

ples e dois a dois não isomorfos sobre A e M um A-módulo. O suporte de M , que denotaremos

por supp M , é o conjunto

supp M = {i ∈ {1, . . . , n} : [M : Si] 6= 0}.

Dado um conjunto de A-módulos X o suporte de X , que denotaremos por Supp X , é o conjunto

Supp X = {i ∈ {1, . . . , n} : [M : Si] 6= 0,M ∈ X}.

Reescrevendo o Lema 3.2.2 em termos do suporte dos conjuntos F e G temos o seguinte

corolário.

Corolário 3.2.4. Seja n ∈ N, n 6= 0. Então:

1. (a) Se p|n, então Supp τnF = {1, . . . , p− 1} = SuppF .

(b) Se n ≡ r (mod p) e 1 ≤ r ≤ p− 1, então

Supp τnF = τ rF = {0, . . . , p+ q − 1} \ {p− r}Supp τ−nF = τ−rF = {0, . . . , p+ q − 1} \ {r}.

2. (a) Se q|n, então Supp τnG = G = {p, . . . , p+ q − 2}.

(b) Se n ≡ r (mod q) e 1 ≤ r ≤ q − 1, então

Supp τnG = τ rG = {0, . . . , p+ q − 1} \ {p+ q − r − 1}Supp τ−nG = τ−rG = {0, . . . , p+ q − 1} \ {p+ r − 1}.

�

Observação 3.2.5. Como as componentes regulares sobre uma álgebra hereditária euclideana

são duas a duas ortogonais (Ver Teorema 3.1.9) e os sistemas estrati�cantes F e G estão sobre

duas componentes diferentes, então (F,G) e (G,F ) são também sistemas estrati�cantes.

Na sequência, vamos completar (F,G) encontrando todos os possíveis módulos X e Y de

tal forma que (X,F,G, Y ) seja um sistema estrati�cante completo. Para isto, procuramos inici-

almente todos os possíveis módulos pós-projetivos de tal forma que (F,G, Y ) seja um sistema

estrati�cante.

Usando a Proposição 3.1.7 podemos a�rmar que o módulo Y tem que ser ou pós-projetivo

ou pré-injetivo. Vamos procurar primeiro os módulos pós-projetivos tais que (X,F,G, Y ) é um

sistema estrati�cante.

Antes de fazer tal busca, enunciamos alguns resultados básicos que usaremos com frequência.

53


Lema 3.2.6. Seja A uma álgebra hereditária. São válidas as seguintes a�rmações:

1. Se Pj e Pm são A-módulos projetivos indecomponíveis quaisquer, então

Ext1A(τ−tPj , τ

−t−rPm) = 0, para todo t, r ≥ 0.

2. Se Ij e Im são A-módulos injetivos indecomponíveis quaisquer, então

Ext1A(τ tIj , τ

t−rIm) = 0, para todo t ≥ r ≥ 0.

Demonstração. Para demonstrar 1. usamos a fórmula de Auslander e obtemos que

Ext1A(τ−tPj , τ

−t−rPm) ∼= DHomA(τ−t−rPm, τ−t+1Pj)

∼= DHomA(τ−r−1Pm, Pj).

Mas HomA(τ−r−1Pm, Pj) = 0, pois caso contrário Pj teria um predecessor não projetivo em

Γ(mod A), o que não acontece em uma álgebra hereditária. Portanto

Ext1A(τ−tPj , τ

−t−rPm) = 0.

Para a a�rmação 2. usamos de novo a fórmula de Auslander e obtemos que

Ext1A(τ tIj , τ

t−rIm) ∼= DHomA(τ t−rIm, τt+1Ij)

∼= HomA(Im, τr+1Ij)

Mas HomA(Im, τr+1Ij) = 0, pois caso contrário Im teria um sucessor não injetivo em Γ(mod A).

Portanto

Ext1A(τ tIj , τ

t−rIm) = 0.

�

Proposição 3.2.7. Se Y é A-módulo pós-projetivo tal que (F,G, Y ) é um sistema estrati�cante,

então Y é um dos módulos na seguinte lista:

1. P0.

2. Pp+q−1.

3. τ−tP0, com t ≥ 1 tal que p|t e q|t.

4. τ−tPp+q−1,com t ≥ 1 tal que p|t e q|t.

5. τ−tPp−r, com t ≥ 1 tal que q|t, t ≡ r (mod p) e 1 ≤ r ≤ p− 1.

6. τ−tPp+q−r−1, com t ≥ 1 tal que p|t, t ≡ r (mod q) e 1 ≤ r ≤ q − 1.

54


Demonstração. Se M é um A-módulo regular então, pela fórmula de Auslander,

Ext1A(τ−tPj ,M) ∼= DHomA(τ−1M, τ−tPj), para t ≥ 0.

Mas HomA(τ−1M, τ−tPj) = 0 pois, segundo Corolário 2.13 do Cap. VIII em [2], não existem

mor�smos não nulos de módulos regulares a módulos pós-projetivos. Portanto

Ext1A(τ−tPj ,M) = 0, para t ≥ 0.

Assim para veri�car que (F,G, τ−tPj) é um sistema estrati�cante é su�ciente mostrar que

HomA(τ−tPj ,F) = 0 = HomA(τ−tPj ,G).

Por outro lado, pelo Corolário 2.15 Cap. IV em [2], temos que

HomA(τ−tPj ,F) ∼= HomA(Pj , τtF) e que HomA(τ−tPj ,G) ∼= HomA(Pj , τ

tG).

Além disso, pelo Corolário 1.5.5, para um A-módulo M vale que

HomA(Pj ,M) = 0 se, e somente se, j /∈ suppM.

Assim,

HomA(Pj , τtF) = 0 se, e somente se, j /∈ Supp τ tF e

HomA(Pj , τtG) = 0 se, e somente se, j /∈ Supp τ tG.

Portanto, podemos a�rmar que

(F,G, τ−tPj) é um sistema estrati�cante ⇔ j ∈ (Supp τ tG)′ ∩ (Supp τ tF)′,

onde (Supp τ tG)′ denota o complemento de (Supp τ tG) com relação ao conjunto {1, . . . , p+q−1}.Tendo em vista esta última a�rmação vamos encontrar os sistemas estrati�cantes da forma

(F,G, Y ), com Y ∼= τ−tPj , considerando as distintas possibilidades para o inteiro t.

Caso 1. Se t = 0, então Y ∼= Pj e (F,G, Pj) é um sistema estrati�cante se, e somente se,

j ∈ (Supp F)′ ∩ (Supp G)′.

Mas, SuppF = {1, . . . , p− 1} e SuppG = {p, . . . , p+ q − 2}. Então, (F,G, Pj) é um sistema

estrati�cante se, e somente se, j = 0 ou j = p+ q − 1.

Caso 2. Se t é tal que p|t e q|t. Então, pelo Corolário 3.2.4, 1.(a) e 2.(a), temos que

Supp τ tF = Supp F e Supp τ tG = Supp G.

Assim este caso se reduz ao caso anterior. Ou seja (F,G, τ−tPj), onde p|t e q|t, é um sistema

55


estrati�cante se, e somente se, j = 0 ou j = p+ q − 1.

Caso 3. Se t é tal que q|t e t ≡ r (mod p), com 1 ≤ r ≤ p− 1, então pelo Corolário 3.2.4, 1.(b)

e 2.(a), temos que

(Supp τ tF)′ = (Supp τ rF)′ = {p− r} e

(Supp τ tG)′ = (Supp G)′ = {0, . . . , p− 1} ∪ {p+ q − 1}.

Por tanto (F,G, τ−tPj) é um sistema estrati�cante se, e somente se, j = p− r.

Caso 4. Se t é tal que p|t e q 6 |t. De forma análoga ao caso anterior podemos concluir que, sob

estas hipóteses, (F,G, τ−tPj) é um sistema estrati�cante se, e somente se, j = p + q − r − 1,

onde r é tal que t ≡ r (mod q) e 1 ≤ r ≤ q − 1.

Caso 5. Se t ≡ r1 (mod p) e t ≡ r2 (mod q), com 0 < r1 < p e 0 < r2 < q. Então usando

argumentos análogos aos casos anteriores, basta analisar o conjunto (Supp τ r1F)′∩(Supp τ r2G)′.

Mas segundo Lema 3.2.4, temos que

(Supp τ r1F)′ ∩ (Supp τ r2G)′ = {p− r1} ∩ {p+ q − r2 − 1} = φ.

Portanto não existe um sistema estrati�cante neste caso.

Dessa forma Y é um dos módulos da lista apresentada.

�

Analisemos agora o caso em que Y é pré-injetivo, que resulta na seguinte proposição.

Proposição 3.2.8. Se Y é A-módulo pré-injetivo tal que (F,G, Y ) é um sistema estrati�cante.

Então Y está na seguinte lista:

1. τ tIp, com t ≥ 1 tal que t ≡ p− 1 (mod p) e q|t.

2. τ tI1, com t ≥ 1 tal que t ≡ q − 1 (mod q) e p|t.

3. τ tI0, com t ≥ 1 tal que t ≡ p− 1 (mod p) e t ≡ q − 1 (mod q).

4. τ tIp+q−1, com t ≥ 1 tal que t ≡ p− 1 (mod p) e t ≡ q − 1 (mod q).

5. τ tIr+1, com t ≥ 1 tal que t ≡ r (mod p), r 6= p− 1 e t ≡ q − 1 (mod q).

6. τ tIp+r, com t ≥ 1 tal que t ≡ r (mod q), r 6= q − 1 e t ≡ p− 1 (mod p).

Demonstração. Seja Y um A-módulo pré-injetivo. Então Y ∼= τkIj , para algum k ≥ 0 e

algum j ∈ {0, 1, . . . , p, . . . , p + q − 1}. Notemos que, pelo Corolário 2.13 (VIII) em [2], se M é

um A-módulo regular e Y é um A-módulo pré-injetivo, então HomA(Y,M) = 0. Por outro lado,

pela fórmula de Auslander, temos que para k ≥ 1

Ext1A(τkIj ,M) ∼= DHomA(τ−1M, τkIj) ∼= DHomA(τ−(k+1)M, Ij).

56


Além disso, usando o isomor�smo acima e Corolário 1.5.5, temos que

Ext1A(τkIj ,M) = 0 se, e somente se, j /∈ supp τ−(k+1)M.

Das a�rmações anteriores podemos concluir que

(F,G, τkIj) é um sistema estrati�cante ⇔ j /∈ Supp τ−(k+1)F ∪ Supp τ−(k+1)G.

Usaremos esta a�rmação para encontrar todos os sistemas estrati�cantes da forma (F,G, Y )

com Y pré-injetivo.

Caso a. Suponhamos que Y ∼= Ij , para algum j ∈ {0, 1, . . . , p, . . . , p + q − 1}, ou seja, Y é um

injetivo indecomponível. Pelo Lema 3.2.4, temos que

(Supp τ−1F)′ = {1} e que (Supp τ−1G)′ = {p}.

Então Supp τ−1F ∪ Supp τ−1G = {0, . . . , p+ q− 1}. Portanto não existe um j tal que (F,G, Ij)

seja um sistema estrati�cante.

Caso b. Suponhamos que Y ∼= τ tIj , com t ≥ 1 e que p|t e q|t. Logo

Supp τ−(t+1)F = Supp τ−1F e Supp τ−(t+1)G = Supp τ−1G.

Assim este caso se reduz ao anterior e, então não existe um j tal que (F,G, τ tIj) seja um sistema

estrati�cante, nas condições em que p|t e q|t.

Caso c. Suponhamos que Y ∼= τ tIj , com t tal que p 6 |t e q|t. Seja t ≡ r (mod p), 1 ≤ r ≤ p− 1.

Devemos considerar dois casos: quando r = p− 1 e quando r 6= p− 1.

• Se r = p− 1, então

Supp τ−(t+1)F = Supp τ−(r+1)F = Supp τ−pF = SuppF .

Por outro lado, pelo Corolário 3.2.4, 2.b, temos

Supp τ−(t+1)G = Supp τ−1G = {0, . . . , p+ q − 1} \ {p}.

Assim,

Supp τ−(t+1)F ∪ Supp τ−(t+1)G = {0, . . . , p+ q − 1} \ {p}.

Portanto (F,G, τ tIp) é um sistema estrati�cante, é o caso 1 da lista.

• Se r 6= p− 1, temos que

Supp τ−(t+1)F = Supp τ−(r+1)F = {0, . . . , p+ q − 1} \ {r + 1}.

57


Então Supp τ−(t+1) ∪ Supp τ−(t+1)G = {0, . . . , p+ q − 1} e, portanto, não existe um j tal

que (F,G, τ tIj) seja um sistema estrati�cante.

Caso d. Suponhamos que Y ∼= τ tIj , com t ≥ 1 tal que q 6 |t e que p|t. Seja r ≡ t (mod q),

1 ≤ r ≤ q − 1. Devemos considerar aqui também dois casos: quando r = q − 1 e quando

r 6= q − 1.

• Se r = q − 1, então

Supp τ−(t+1)G = Supp τ−(r+1)G = Supp τ−qG = SuppG.

Por outro lado,

Supp τ−(t+1)F = Supp τ−1F = {0, . . . , p+ q − 1} \ {1}.

Assim,

Supp τ−(t+1)F ∪ Supp τ−(t+1)G = {0, . . . , p+ q − 1} \ {1}.

Por tanto (F,G, τ tI1) é um sistema estrati�cante, que é o caso 2 da lista.

• Se r 6= q − 1, então 1 ≤ r ≤ q − 2, temos pois que

Supp τ−(t+1)G = Supp τ−(r+1)G = {0, . . . p+ q − 1} \ {p+ r}.

Então Supp τ−(t+1)F ∪ Supp τ−(t+1)G = {0, . . . , p + q − 1} e, por tanto, não existe um j

tal que (F,G, τ tIj) seja um sistema estrati�cante.

Caso e. Suponhamos que Y ∼= τ tIj , com t tal que q 6 |t e que p 6 |t. Sejam r1 e r2 tais que

t ≡ r1 (mod p), t ≡ r2 (mod q), 1 ≤ r1 ≤ p − 1 e 1 ≤ r2 ≤ q − 1. Vamos considerar varias

situações.

• Sejam r1 = p− 1 e r2 = q − 1. Temos que:

Supp τ−(t+1)F ∪ Supp τ−(t+1)G = SuppF ∪ SuppG = {1, . . . , p+ q − 2}.

Por tanto, neste caso, os possíveis sistemas estrati�cantes são (F,G, τ tI0) e (F,G, τ tIp+q−1),

que constituem os casos 3 e 4 da lista.

• Sejam r2 = q − 1 e r1 6= p− 1. Então temos que

Supp τ−(t+1)G = SuppG e

Supp τ−(t+1)F = Supp τ−(r1+1)F = {0, . . . , p+ q − 1} \ {r1 + 1}.

Logo (F,G, τ tIr1+1) é um sistema estrati�cante originando o caso 5 da lista.

58


• Suponhamos que r1 = p− 1 e que r2 6= q − 1. Neste caso temos que

Supp τ−(t+1)F = SuppF e

Supp τ−(t+1)G = Supp τ−(r2+1)G = {0, . . . p+ q − 1} \ {p+ r2}.

Logo (F,G, τ tIp+r2) é um sistema estrati�cante, dando origem ao caso 6 da lista.

• Se r1 6= p− 1 e r2 6= q − 1, neste caso temos que:

Supp τ−(t+1)G = Supp τ−(r2+1)G = {0, . . . p+ q − 1} \ {p+ r2} e

Supp τ−(t+1)F = Supp τ−(r1+1)F = {0, . . . , p+ q − 1} \ {r1 + 1}.

Portanto não existe j tal que (F,G, τ tIj) seja um sistema estrati�cante.

�

Lema 3.2.9. Sejam A uma K-álgebra e

0−→L(f ′ g′)t−→ X ⊕ Y (f g)−→M −→ 0 (∗)

uma sequência quase-cindida em modA. Então:

1. Se f ′ e g′ são monomor�smos, então f e g são monomor�smos.

2. Se f ′ e g′ são epimor�smos, então f e g são epimor�smos.

Demonstração. Vamos demonstrar 1, pois 2 é análoga. Como (∗) é uma sequência quase-

cindida se f ′ e g′ são mor�smos irredutíveis, então são ou monomor�smos próprios ou epimor�s-

mos próprios. Portanto se f ′ e g′ são monomor�smos, então são monomor�smos próprios. Então

temos que `(L) < `(X) e que `(L) < `(Y ).

Por outro lado, como (∗) é uma sequência exata, temos que `(L) + `(M) = `(X) + `(Y ).

Logo, `(M) = `(X) + (`(Y )− `(L)). Mas `(Y )− `(L) > 0, portanto `(M) > `(X).

O mor�smo f : X −→M também é ou monomor�smo próprio ou epimor�smo próprio, por

ser irredutível. Como `(M) > `(X) então f tem que ser monomor�smo. De forma análoga se

demonstra que g deve ser monomor�smo.

�

Para continuar o trabalho será muito útil conhecer os fatores de composição dos A-módulos

pós-projetivos sobre a álgebra K4(Ap,q), justamente isto o que estudamos na proposição que se

segue.

Proposição 3.2.10. Seja A a álgebraK4(Ap,q). Então a componente pós-projetiva de Γ(modA)

tem as seguintes propriedades:

59


1. Todos os mor�smos na componente pós-projetiva de Γ(mod 4(Ap,q)) são monomor�smos.

2. O módulo Pp+q−1 e todos seus sucessores são módulos sinceros.

3. O minimo inteiro r com a propriedade de que todos os módulos da forma τ−rPi com

i ∈ {0, . . . , p+ q − 1} são sinceros é p.

4. Se 0 ≤ i ≤ p− 1, então

• O menor inteiro r tal que τ−rPi é um módulo sincero é r = p− i. Além disso, todos

os A-módulos da forma τ−kPi, com k > p− i, são A-módulos sinceros.

• Se 0 < k < p− i, então os fatores de composição de τ−kPi são os A-módulos simples

Sj com 0 ≤ j ≤ i+ k e p ≤ j ≤ p+ k − 1.

• Os fatores de composição do projetivo Pi são os simples Sj com 0 ≤ j ≤ i.

5. Se p ≤ i ≤ p+ q − 2, então:

• se i ≤ q − 1, o menor inteiro r tal que τ−rPi é sincero é r = p. Além disso, todos os

A-módulos da forma τ−kPi com k > p são sinceros.

• se q − 1 ≤ i ≤ p+ q − 1, o menor inteiro tal que τ−rPi é sincero é r = p+ q − 1− i.Ademais, todos os A-módulos da forma τ−kPi com k > p+ q − 1− i são sinceros.

• se τ−kPi não é um A-módulo sincero, seus fatores de composição são os A-módulos

simples Sj com p ≤ j ≤ i+ k e 0 ≤ j ≤ k.

6. Se 1 ≤ k ≤ p− 1, então os fatores de composição de τ−kP0 são os A-módulos simples Sj

com 0 ≤ j ≤ k e p ≤ j ≤ p− 1 + k.

Demonstração. Para a demonstração desta proposição usamos a estrutura da componente

pós-projetiva de Γ(modA), que desenhamos abaixo

Pp+q−1%%−−−−−−−−−−−−−−−− −−

Pp−1%%

99

τ−1Pp−1

%%

99

. ..99

τ−1Pp−2

99

%%

. . .%%

P1

99

%%. ..99

. . .%%

τ−(p−1)P1%%

99

P0

99

%%

τ−1P0

99

%%τ−(p−1)Po

%%

99

τ−pPo

99

%%Pp

99

%%

. . .%%

. ..

99

τ−(p−1)Pp

99

%%. . .%%

τ−1Pp+q−3

99

%%. ..99

Pp+q−2

99

%%τ−1Pp+q−2

99

%%Pp+q−1

99

−−−−−−−−−−−−−−−− −−

60


Para provar 1, observemos que na sequência quase-cindida

0−→P0(α′ β′)t−→ P1 ⊕ Pp

(α β)−→ τ−1P0−→ 0

os mor�smos α′ e β′ são monomor�smos, pois são mor�smos irredutíveis entre módulos proje-

tivos. Então, segundo o Lema 3.2.9, α e β também são monomor�smos. De forma análoga, nas

sequências quase-cindidas sobre A começando num projetivo as �echas representam monomor-

�smos. Por isto, de acordo com a forma da componente pós-projetiva de Γ(modA) todos os

mor�smos nesta componente representam monomor�smos.

Para 2, é su�ciente ver que, em Γ(modA), existem os caminhos

P0−→P1−→ · · · −→Pp−1−→Pp+q−1 e P0−→Pp−→ · · · −→Pp+q−1−→Pp+q−1,

onde, segundo 1, as fechas representam monomor�smos. Portanto, segundo o Corolário 1.5.5,

[Pp+q−1 : Si] 6= 0, para i = 0, 1, . . . , p + q − 1, isto é Pp+q−1 é um A-módulo sincero. Uma vez

que Pp+q−1 é sincero segue, de 1, que todos os seus sucessores são também módulos sinceros.

Para a a�rmação 3, observemos que nenhum dos antecessores em Γ(modA) dos módulos que

aparecem nos caminhos abaixo

Pp+q−1−→ τ−1Pp−1−→ τ−2Pp−2−→ · · · −→ τ−(p−1)P0−→ τ−pP0 (3.7)

Pp+q−1−→ τ−1Pp+q−2−→ τ−2Pp+q−3−→ · · · −→ τ−(p−1)Pp−→ τ−pP0 (3.8)

têm Sp+q−1 como fator de composição. Em particular, τ−(p−1)P0 não tem Sp+q−1 como fator

de composição. Portanto, de 1, temos que nenhum dos seus antecessores o têm. Mas, por outro

lado, qualquer sucessor de τ−(p−1)P0, e de qualquer dos módulos em (3.7) e (3.8), é sincero.

Para demonstrar 4, notemos que todos os módulos da forma τ−(p−i)Pi, com 0 ≤ i ≤ p − 1,

estão no caminho (3.7) e, portanto, são módulos sinceros. Além disso, como dito anteriormente,

qualquer predecessor de algum dos módulos que aparecem em (3.7) não tem Sp+q−1 como fator

de composição. Deste modo, se 0 ≤ i ≤ p−1 nenhum dos módulos da forma τ−kPi, com k < p−ié sincero.

Por outro lado, notemos que os predecessores de Pi, com 0 ≤ i ≤ p − 1, são os projetivos

P0, P1, . . . , Pi−1. Portanto, os fatores de composição de Pi, com 0 ≤ i ≤ p− 1, são os simples Sjcom 0 ≤ j ≤ i. De forma análoga, para p ≤ i < p + q − 1, os fatores de composição de Pi são

Sj , com p ≤ j ≤ i e j = 0.

Seja 0 ≤ i ≤ p− 1. Então em Γ(modA) existem os seguintes caminhos

Pi+k−→ τ−1Pi+k−1−→ τ−2Pi+k−2−→ · · · −→ τ−(k−1)Pi+1−→ τ−kPi (3.9)

Pp+k−1−→ τ−1Pp+k−2−→ τ−2Pp+k−3−→ · · · −→ τ−(k−1)Pp−→ τ−kP0−→τ−kP1−→ τ−kP2−→ · · · −→ τ−kPi

(3.10)

61


Além disso, não existem caminhos de Pj , com j ≥ i + k, para τ−kPi. Portanto, os fatores

de composição de τ−kPi, exceto multiplicidades, são os fatores de composição de Pi+k e os de

Pp+k−1. Isto é, os fatores de composição de τ−kPi são Sj com 0 ≤ j ≤ i e p ≤ i < p+ q − 1.

A parte 5 é demonstrada de forma análoga à anterior.

�

Proposição 3.2.11. Seja A = 4(Ap,q). A lista completa dos sistemas estrati�cantes completos

da forma (X,F,G, Y ), onde Y é um A-módulo pós-projetivo é a seguinte:

1. (Sp+q−1, F,G, P0).

2. (X,F,G, Pp+q−1), onde

X ∼=

{τ−p+1P0, se p = q

τ−p+1Pq−1, se p 6= q

3. (X,F,G, τ−tPp+q−1) com t ∈ N tal que p|t e q|t, onde

X ∼=

{τ−t−p+1P0, se p = q

τ−t−p+1Pq−1, se p 6= q

4. (τ−t+1Pp+q−1, F,G, τ−tP0), com t ∈ N tal que p|t e q|t.

5. (τ−t−(p−r−1)Pq+r−1, F,G, τ−tPp−r), com t, r ∈ N tais que q|t, t ≡ r (mod p) e 1 ≤ r ≤

p− 1.

6. (X,F,G, τ−tPp+q−r−1), com t, r ∈ N tais que p|t, t ≡ r (mod q) e 1 ≤ r ≤ q − 1, onde

X ∼=

{τ−t−q+r+1Pp−q+r, se p ≤ q − rτ−t−p+1Pq−r−1, se p > q − r

Demonstração. A Proposição 3.2.7 caracteriza os sistemas estrati�cantes da forma (F,G, Y ),

com Y um A-módulo pós-projetivo. Usando tal caracteização obtemos os sistemas estrati�cantes

do tipó (X,F,G, Y ).

Em virtude dos Lemas 2.3.16 e 2.3.17, como4(Ap,q) tem p+q vértices, o módulo X tal que a

sequência (X,F,G, τ−tPl) é um sistema estrati�cante completo é único. Portanto a demonstração

consistirá em veri�car que o módulo indecomponível X satisfaz as seguintes condições:

• Ext1A(X,X) = 0.

• HomA(F , X) = 0 e HomA(G, X) = 0.

• Ext1A(F , X) = 0 e Ext1

A(G, X) = 0.

62


• HomA(τ−tPl, X) = 0 e Ext1A(τ−tPl, X) = 0.

A primeira observação a se fazer é que todos os módulos X que vamos considerar, exceto

Ip+q−1, são da forma X ∼= τ−kPj , com k ≥ 0, e, portanto, são indecomponíveis e não têm

auto-extensões. Além disso, pelo Corolário 2.13 Cap. VIII em [2], não existem mor�smos não

nulos de um módulo regular a um módulo pós-projetivo, isto é, se R é um módulo regular então

HomA(R, τ−kPj) = 0.

Por outro lado, pela fórmula de Auslander, temos que

Ext1A(R, τ−kPj) ∼= DHomA(τ−kPj , τR)

∼= DHomA(Pj , τk+1R).

Portanto, teremos que

Ext1A(F , τ−kPj) = 0 e Ext1

A(G, τ−kPj) = 0 ⇔ j /∈ Supp τk+1F ∪ Supp τk+1G,⇔ j ∈ (Supp τk+1F)′ ∩ (Supp τk+1G)′.

Tendo em vista tais observações, se (F,G, τ−tPl) é um sistema estrati�cante e X ∼= τ−kPj ,

para mostrar que (X ∼= τ−kPj , F,G, τ−tPl) é um sistema estrati�cante é su�ciente veri�car as

seguintes condições:

• j ∈ (Supp τk+1F)′ ∩ (Supp τk+1G)′.

• HomA(τ−tPl, X) = 0 e Ext1A(τ−tPl, X) = 0.

No que segue veri�camos estas condições para cada uma das sequências no enunciado da propo-

sição.

1. Vamos ver que (Sp+q−1, F,G, P0) é um sistema estrati�cante. Como o vértice p + q − 1 é

uma fonte o módulo simples Sp+q−1 é injetivo e, portanto, claramente

Ext1A(F , Sp+q−1) = 0,Ext1

A(G, Sp+q−1) = 0 e Ext1A(P0, Sp+q−1) = 0.

Por outro lado, usando o Corolário 1.5.5, como p+ q− 1 /∈ (Supp F ∪Supp G) e Sp+q−1∼=

Ip+q−1, temos que

HomA(F , Sp+q−1) = 0,HomA(G, Sp+q−1) = 0 e HomA(P0, Sp+q−1) = 0.

Assim nossa a�rmação, que é o caso 1 da lista, está demonstrada.

2. Vamos encontrar agora um A-módulo X tal que (X,F,G, Pp+q−1) seja um sistema estra-

ti�cante. Para isto vamos considerar duas situações:

63


• Se p = q. Seja X ∼= τ−p+1P0. Conforme observamos anteriormente

(Supp τpF)′ ∩ (Supp τpG)′ = {0, p+ q − 1}.

Além disso, conforme a Proposição 3.2.10 (6), τ−p+1P0 não tem Sp+q−1 como fator

de composição. Portanto

HomA(Pp+q−1, τ−p+1P0) = 0.

Assim, neste caso τ−p+1P0 é o módulo que completa nosso sistema estrati�cante.

• Se p 6= q. Consideremos X = τ−p+1Pq−1. Desde que

(Supp τpF)′ ∩ (Supp τpG)′ = {q − 1}.

e da Proposição 3.2.10 (5), temos que Sp+q−1 não é fator de composição de τ−p+1Pq−1,

concluímos que

HomA(Pp+q−1, τ−p+1Pq−1) = 0.

Assim, (τ−p+1Pq−1, F,G, Pp+q−1) é um sistema estrati�cante completo quando p 6= q.

Em ambos os casos, temos o item 2 da lista.

3. Para completar o sistema estrati�cante (F,G, τ−tPp+q−1) com t ≥ 1 tal que p|t e q|t vamos

considerar dois casos:

• Se p = q. A�rmamos que (τ−t−p+1P0, F,G, τ−tPp+q−1), com t ≥ 1 tal que p|t e q|t é

um sistema estrati�cante. De fato,

(Supp τ t+pF)′ ∩ (Supp τ t+pG)′ = (SuppF)′ ∩ (SuppG)′

= {0, p+ q − 1}.

Por outro lado,

HomA(τ−tPp+q−1, τ−t−p+1P0) ∼= HomA(Pp+q−1, τ

−p+1P0).

Porém, pela Proposição 3.2.10 (6), Sp+q−1 não é um fator de composição de τ−p+1P0,

portanto,

HomA(τ−tPp+q−1, τ−t−p+1P0) = 0.

Além disso, pelo Lema 3.2.6 (1), vale que

Ext1A(τ−tP0, τ

−t−p+1Pq−1) = 0.

Tais condições completam a veri�cação de nossa a�rmação.

64


• Suponhamos que p 6= q. Mostraremos que se t ≥ 1 e tal que p|t e q|t, então(τ−t−p+1Pq−1, F,G, τ

−tPp+q−1) é um sistema estrati�cante completo. De fato,

(Supp τ t+pF)′ ∩ (Supp τ t+pG)′ = (Supp τpF)′ ∩ (Supp τpG)′

= {q − 1}

e, por outro lado,

HomA(τ−tPp+q−1, τ−t−p+1Pq−1) ∼= HomA(Pp+q−1, τ

−p+1Pq−1).

Mas da Proposição 3.2.10, (5), como o módulo τ−p+1Pq−1 não tem o simples Sp+q−1

como fator de composição, temos que

HomA(τ−tPp+q−1, τ−t−p+1Pq−1) = 0.

Também temos, pelo Lema 3.2.6 parte (1), que

Ext1A(τ−tPp+q−1, τ

−t−p+1Pq−1) = 0;

logo a a�rmação está veri�cada e os casos estudados formam o caso 3 da lista.

4. Mostraremos que (τ−t+1Pp+q−1, F,G, τ−tP0), com t ≥ 1 tal que p|t e q|t é um sistema

estrati�cante completo. De fato,

(Supp τ tF)′ ∩ (Supp τ tG)′ = (SuppF)′ ∩ (SuppG) = {0, p+ q − 1}.

Por outro lado,

HomA(τ−tP0, τ−t+1Pp+q−1) ∼= HomA(τ−1P0, Pp+q−1)

∼= DExt1A(Pp+q−1, τ

−1P0)∼= 0.

Usando a fórmula de Auslander, obtemos

Ext1A(τ−tP0, τ

−t+1Pp+q−1) ∼= DHomA(τ−t+1Pp+q−1, τ−t+1P0)

∼= DHomA(Pp+q−1, P0)∼= 0,

pois P0 é um projetivo simples. Logo as condições para o sistema estrati�cante estão

veri�cadas.

5. Provaremos que (τ−t−(p−r−1)Pq+r−1, F,G, τ−tPp−r), com t, r ∈ N tais que q|t, t ≡ r (mod p)

65


é um sistema estrati�cante. Pelas hipóteses, temos que

(Supp τ t+(p−r)F)′ ∩ (Supp τ t+(p−r)G)′ = (SuppF)′ ∩ (Supp τp−rG)′

= {q + r − 1}.

O Lema 3.2.6, (1), nos garante que Ext1A(τ−tPp−r, τ

−t−(p−r−1)Pq+r−1) = 0.

E �nalmente, por termos

HomA(τ−tPp−r, τ−t−(p−r−1)Pq+r−1) ∼= HomA(Pp−r, τ

−(p−r−1)Pq+r−1)

e segundo a Proposição 3.2.10, (7), por Sp−r não ser fator de composição de τ−(p−r−1)Pq+r−1,

resulta que

HomA(τ−tPp−r, τ−t−(p−r−1)Pq+r−1) = 0.

6. Suponhamos que t, r ∈ N são tais que p|t, t ≡ r (mod q) e 1 ≤ r ≤ q−1. Vamos considerar

dois casos:

• Suponhamos que p ≤ q − r. Então, pelas hipóteses sobre t, temos que

(Supp τ t+q−rF)′ ∩ (Supp τ t+q−rG)′ = (Supp τ q−rF)′ ∩ (SuppG)′

= {p− q + r}.

Por outro lado, como q − r − 1 ≥ 0, pelo Lema 3.2.6, (1), garante que

Ext1A(τ−tPp+q−r−1, τ

−t−q+r+1Pp−q+r) = 0

Além disso, de

HomA(τ−tPp+q−r−1, τ−t−q+r+1Pp−q+r) ∼= HomA(Pp+q−r−1, τ

−q+r+1Pp−q+r)

e da Proposição 3.2.10, (4), em que Sp+q−r−1 não é fator de composição de τ−q+r+1Pp−q+r,

resulta que

HomA(τ−tPp+q−r−1, τ−t−q+r+1Pp−q+r) = 0.

Dessa forma a sequência (τ−t−q+r+1Pp−q+r, F,G, τ−tPp+q−r−1), com t ≥ 1 e r tais

que p|t, t ≡ r (mod q), 1 ≤ r ≤ q−1 e q−r ≥ p é um sistema estrati�cante completo.

• Suponhamos agora que q − r > p e seja l tal que p+ l = q − r. Nessas condições,

(Supp τ t+p−1F)′ ∩ (Supp τ t+p−1G)′ = (Supp τ−lF)′ ∩ (SuppG)′

= {p+ l − 1}= {q − r − 1}

66


Agora, pelo Lema 3.2.6, (1), temos que

Ext1A(τ−tPp+q−r−1, τ

−t−p−1Pq−r−1) = 0.

O fato de que

HomA(τ−tPp+q−r−1, τ−t−p+1Pq−r−1) ∼= HomA(Pp+q−r−1, τ

−p+1Pq−r−1).

e da Proposição 3.2.10, (4), que garante que Sp+q−r−1 não é fator de composição de

τ−p+1Pq−r−1), temos que HomA(τ−tPp+q−r−1, τ−t−p+1Pq−r−1) = 0.

Assim (τ−t−p+1Pq−r−1, F,G, τ−tPp+q−r−1) com t ≥ 1, tal que p|t, t ≡ r (mod q), com

1 ≤ r ≤ q − 1 e q − r > p é um sistema estrati�cante completo.

�

Usando o carcás Γ(mod 4(Ap,q)) e o Lema 3.2.9, é possível obter informações sobre os fatores

de composição dos A-módulos pré-injetivos. Reunimos tais informações na seguinte proposição,

cuja prova é análoga à prova da Proposição 3.2.10.

Proposição 3.2.12. Seja A é a K-álgebra K4(Ap,q). Então a componente pré-injetiva de

Γ(modA) satisfaz as condições abaixo:

1. Todos os mor�smos irredutíveis na componente pré-injetiva do carcás Γ(mod4(Ap,q)) são

epimor�smos.

2. O módulo I0 e todos seus antecessores são módulos sinceros.

3. O inteiro r minimal com a propriedade de que todos os módulos da forma τ rIi, com i ∈{0, . . . , p+ q − 1}, são sinceros é r = p.

4. Se 1 ≤ i ≤ p− 1, então:

• o menor inteiro r tal que τ rIi é um módulo sincero é r = i. Ademais, todos os A-

módulos da forma τkIi, com k ≥ i, são A-módulos sinceros.

• se k < i então os fatores de composição de τkIi são os A-módulos simples Sj com

i− k ≤ j ≤ p− 1 e p+ q − k ≤ j ≤ p+ q − 1.

5. Se p ≤ i < p+ q − 1, então:

• se p ≤ i < q − 1, o menor inteiro r tal que τ rIi é um módulo sincero é r = i− p+ 1.

Ademais, todo módulo da forma τ rIi com r ≥ i− p+ 1 é um módulo sincero.

• se q − 1 ≤ i ≤ p + q − 1, então o menor inteiro r tal que τ rIi é sincero é r = p.

Ademais, todo módulo da forma τ rIi, com r ≥ p é sincero.

67


• Se p ≤ i ≤ p + q − 2 e k é tal que τkIi não é um módulo sincero, então os fatores

de composição de τkIi são os A-módulos simples Sj com i − k ≤ j ≤ p + q − 1 e

p− k ≤ j ≤ p− 1.

6. Se k < p, então os fatores de composição de τkIp+q−1 são os simples Sj com p− k ≤ j ≤p− 1 e p+ q − k ≤ j ≤ p+ q − 1.

�

Usando a Proposição 3.2.12 e a Proposição 3.2.8, que caracteriza os sistemas estrati�cantes da

forma (F,G, Y ), onde Y é um A-módulo pré-injetivo, podemos obter os sistemas estrati�cantes

completos sobre A do tipo (X,F,G, Y ).

Notemos que, uma vez que o Lema 2.3.17 garante que o módulo X que completa o sistema

estrati�cante (F,G, Y ) é único, quando encontrado um módulo X satisfazendo todas as condi-

ções necessárias a busca está terminada. Assim, o trabalho consistiu em procurar todos os tais

módulos, que resultaram ser todos módulos pré-injetivos, e a prova consistirá de veri�car que os

módulos encontrados completam o sistema estrati�cante.

Proposição 3.2.13. Seja A = KQ, onde Q = 4(Ap,q). Então a lista de todos os sistemas

estrati�cantes da forma (X,F,G, Y ), onde Y é um A-módulo pré-injetivo, é a seguinte:

1. (τ tIp−1, F,G, τtIp), com t ≥ 1 tal que t ≡ p− 1 (mod p) e q|t.

2. (τ tIp+q−2, F,G, τtI1), com t ≥ 1 tal que t ≡ q − 1 (mod q) e p|t.

3. (τ t+1Ip+q−1, F,G, τtI0), com t ≥ 1 tal que t ≡ p− 1 (mod p) e

t ≡ q − 1 (mod q).

4. (τ t−p+1Iq−1, F,G, τtIp+q−1), com t ≥ 1 tal que t ≡ p− 1 (mod p) e t ≡ q − 1 (mod q).

5. (τ t−rIp+q−r−2, F,G, τtIr+1), com t ≥ 1 tal que t ≡ r (mod p), 0 < r < p − 1 e t ≡

q − 1 (mod q).

6. (X,F,G, τ tIp+r), com t ≥ 1 tal que t ≡ r (mod q), 0 < r < q − 1 e t ≡ p − 1 (mod p),

onde

X ∼=

{τ t−rIp−(r+1), se r < p

τ t−(p−1)Ir, se r ≥ p

Demonstração. Os Lemas 2.3.16 e 2.3.17 garantem que existe um único módulo X tal que

(X,F,G, τmIi) é um sistema estrati�cante. Portanto a demonstração consistirá em veri�car que

o módulo indecomponível X satisfaz as seguintes condições:

• Ext1A(X,X) = 0.

• HomA(F , X) = 0 e HomA(G, X) = 0.

68


• Ext1A(F , X) = 0 e Ext1

A(G, X) = 0.

• HomA(τ tIi, X) = 0 e Ext1A(τ tIi, X) = 0.

Todos os módulos X que vamos considerar são da forma X ∼= τ lIj e, portanto, são indecom-

poníveis e não têm auto-extensões. Além disso, notemos que se X é um A-módulo pré-injetivo

e R é um A-módulo regular então, usando a fórmula de Auslander temos que Ext1A(R,X) ∼=

DHomA(X, τR). Mas, segundo o Corolário 2.13 (VIII) em [2], não existem mor�smos não nulos

de um módulo pré-injetivo a um módulo regular, portanto

Ext1A(R,X) ∼= DHomA(X, τR) = 0.

Por outro lado, para l ≥ 0, temos que HomA(R, τ lIj) ∼= HomA(τ−lR, Ij). Segundo o Corolário

1.5.5, segue que

HomA(R, τ lIj) = 0⇔ j /∈ supp τ−lR.

Portanto, teremos que

HomA(F , τ lIj) = 0 e HomA(G, τ lIj) = 0⇔ j ∈ (Supp τ−lF)′ ∩ (Supp τ−lG)′.

Tendo em vista as anteriores observações, se (F,G, τ tIi) é um sistema estrati�cante e X ∼=τ lIj , para mostrar que (X,F,G, τ tIi) é um sistema estrati�cante é su�ciente veri�car que:

a. j ∈ (Supp τ−lF)′ ∩ (Supp τ−lG)′

b. HomA(τ tIi, X) = 0 e Ext1A(τ tIi, X) = 0.

Consideraremos aqui os vários casos, que dependem da forma de t, de acordo com a lista no

enunciado da Proposição 3.2.8.

1. Seja t ≥ 1 tal que t ≡ p − 1 (mod p) e q|t. Então, pelo Corolário 3.2.4, (1b), seguem as

igualdades

(Supp τ−tF)′ ∩ (Supp τ−tG)′ = (Supp τ−(p−1)F)′ ∩ (Supp τ−tG)′ = {p− 1}.

Observemos que HomA(τ tIp, τtIp−1) ∼= HomA(Ip, Ip−1) e que Ip tem a seguinte represen-

tação

0

yy

0oo · · ·oo 0oo

Ip : 0 K,

ee

1yyK

ee

K1oo · · ·

1oo K

1oo

o que mostra que Sp−1 não é fator de composição Ip. Portanto, HomA(τ tIp, τtIp−1) = 0.

Além disso, o Lema 3.2.6, (2), estabelece que Ext1A(τ tIp, τ

tIp−1) = 0.

69


Assim tomando X ∼= τ tIp−1, temos pelas condições (a) e (b) que (τ tIp−1, F,G, τtIp), com

t ≥ 1 tal que t ≡ p− 1 (mod p) e q|t, é um sistema estrati�cante completo sobre A.

2. Sejam t ≥ 1 tal que t ≡ q − 1 (mod q) e p|t e X ∼= τ tIp+q−2. Pelo Corolário 3.2.4, (2b),

temos que

(Supp τ−tF)′ ∩ (Supp τ−tG)′ = (Supp τ−tF)′ ∩ (Supp τ−(q−1)G)′ = {p+ q − 2}.

Por outro lado, HomA(τ tI1, τtIp+q−2) ∼= HomA(I1, Ip+q−2) e como I1 é o módulo associado

à representação

K

yy

K1oo · · ·1oo K

1oo

I1 : 0 K,

1ee

yy0

ee

0oo · · ·oo 0oo

que não tem Sp+q−2 como fator de composição, então HomA(τ tI1, τtIp+q−2) = 0.

O Lema 3.2.6, (2), garante que Ext1A(τ tI1, τ

tIp+q−2) = 0.

Assim (τ tIp+q−2, F,G, τtI1), com t ≥ 1 tal que t ≡ q − 1 (mod q) e p|t, é um sistema

estrati�cante completo sobre A.

3. Sejam t ≥ 1 tal que t ≡ p − 1 (mod p) e t ≡ q − 1 (mod q) e X ∼= τ t+1Ip+q−1. Pelo

Corolário 3.2.4, temos que

(Supp τ−t−1F)′ ∩ (Supp τ−t−1G)′ = (SuppF)′ ∩ (SuppG)′ = {0, p+ q − 1},

o que mostra que a condição (a) está veri�cada. Por outro lado, pela fórmula de Auslander,

temos que

HomA(τ tI0, τt+1Ip+q−1) ∼= HomA(I0, τIp+q−1) ∼= DExt1

A(Ip+q−1, I0) = 0.

A fórmula de Auslander também mostra que

Ext1A(τ tI0, τ

t+1Ip+q−1) ∼= DHomA(τ t+1Ip+q−1, τt+1I0)

∼= HomA(Ip+q−1, I0)

= 0,

pois Ip+q−1 é um injetivo simples, completando a condição (b).

Assim (τ t+1Ip+q−1, F,G, τtI0), com t ≥ 1 tal que t ≡ q − 1 (mod q) e t ≡ p− 1 (mod p) é

um sistema estrati�cante completo sobre A.

4. Sejam t ≥ 1 tal que t ≡ p−1 (mod p) e t ≡ q−1 (mod q). Vamos mostrar que a sequência

(τ t−p+1Iq−1, F,G, τtIp+q−1) é um sistema estrati�cante completo sobre A. Pelo Corolário

70


3.2.4, temos que

(Supp τ−t+p−1F)′ ∩ (Supp τ−t+p−1G)′ = (SuppF)′ ∩ (Supp τ−(q−p)G)′

= {q − 1},

comprovando (a). Por outro lado

HomA(τ tIp+q−1, τt−(p−1)Iq−1) ∼= HomA(τp−1Ip+q−1, Iq−1) = 0,

pois, pela Proposição 3.2.12, (5), Sq−1 não é um fator de composição de τp−1Ip+q−1.

Além disso, pelo Lema 3.2.6, (2), vale que

Ext1A(τ tIp+q−1, τ

t−(p−1)Iq−1) = 0,

e a condição (b) está veri�cada. Resultando que (τ t−p+1Iq−1, F,G, τtIp+q−1), com t ≥ 1

tal que t ≡ p− 1 (mod p) e t ≡ q − 1 (mod q), é um sistema estrati�cante completo sobre

A.

5. Consideremos t ≥ 1 tal que t ≡ r (mod p), 0 < r < p − 1 e t ≡ q − 1 (mod q). Seja

X ∼= τ t−rIp+q−r−2. Para a condição (a), usando o Corolário 3.2.4, temos que

(Supp τ−(t−r)F)′ ∩ (Supp τ−(t−r)G)′ = (SuppF)′ ∩ (Supp τ−(t−r)G)′

= (Supp τ−(q−1−r)G)′

= {p+ q − r − 2}.

Para a condição (b), temos primeiramente

HomA(τ tIr+1, τt−rIp+q−r−2) ∼= HomA(τ rIr+1, Ip+q−r−2) = 0,

uma vez que pela Proposição 3.2.12 parte (5), τ rIr+1 não tem Sp+q−r−2 como fator de

composição.

Temos também do Lema 3.2.6, (2), que Ext1A(τ tIr+1, τ

t−rIp+q−r−2) = 0. Logo de (a) e

(b) estarem veri�cadas, temos que (τ t−rIp+q−r−2, F,G, τtIr+1) é um sistema estrati�cante

completo sobre A.

6. Seja t ≥ 1 tal que t ≡ r (mod q), 0 < r < q − 1 e t ≡ p − 1 (mod p). Para completar o

sitema estrati�cante (F,G, τ tIp+r) vamos considerar duas situações:

• Suponhamos que r < p. Seja X ∼= τ t−rIp−(r+1). Temos que

Supp τ−(t−r)F)′ ∩ (Supp τ−(t−r)G)′ = (Supp τ−(p−1−r)F)′ ∩ (SuppG)′

= (Supp τ (r+1)F)′

= {p− (r + 1)},

71


com o que a condição (a) está veri�cada.

Também temos, neste caso, que

HomA(τ tIp+r, τt−rIp−(r+1)) ∼= HomA(τ rIp+r, Ip−(r+1)) = 0,

pois, pela Proposição 3.2.12, (5), τ rIp+r não tem Sp−(r+1) como fator de composição.

O Lema 3.2.6, (2), garante por sua vez que

Ext1A(τ tIp+r, τ

t−rIp−(r+1)) = 0,

e então a condição (b) também está veri�cada.

Asim temos que (τ t−rIp−(r+1), F,G, τtIp+r) com t ≡ r (mod q), 0 < r < q − 1,

t ≡ p− 1 (mod p) e r < p é um sistema estrati�cante completo.

• Suponhamos que r ≥ p e seja X ∼= τ t−(p−1)Ir. Sob as hipóteses de t, r e p, temos que

Supp τ−[t−(p−1)]F)′ ∩ (Supp τ−[t−(p−1)]G)′ = (Supp τ−[r−(p−1)]G)′

= {p+ (r − p+ 1)− 1}= {r}, (condição (a)).

Do isomor�smo HomA(τ tIp+r, τt−(p−1)Ir) ∼= HomA(τp−1Ip+r, Ir) e da Proposição

3.2.12, (5), por Sr não ser fator de composição de τ rIp+r temos que

HomA(τ tIp+r, τt−(p−1)Ir) = 0.

Também o Lema 3.2.6, (2.b), diz que

Ext1A(τ tIp+r, τ

t−(p−1)Ir) = 0,

garantindo a validade de (b). Ou seja, (τ t−(p−1)Ir, F,G, τtIp+r) com t ≡ r (mod q),

0 < r < q − 1, t ≡ p− 1 (mod p) e r ≥ p é um sistema estrati�cante completo sobre

A, completando a lista no enunciado da proposição.

�

As Proposições 3.2.11 e 3.2.13 fornecem una lista completa dos sistemas estrati�cantes com-

pletos da forma (X,F,G, Y ) sobre A = KQ, onde Q = 4(Ap,q). Apresentamos tal lista no

seguinte teorema.

Teorema 3.2.14. Sejam A = K4(Ap,q) e F e G sistemas estrati�cantes como de�nidos em 3.5

e 3.6. A lista completa dos sistemas estrati�cantes da forma (X,F,G, Y ) é a seguinte:

1. (Sp+q−1, F,G, P0).

72


2. (X,F,G, Pp+q−1), onde

X ∼=

{τ−p+1P0, se p = q

τ−p+1Pq−1, se p 6= q

3. (X,F,G, τ−tPp+q−1) com t ≥ 1 tal que p|t e q|t, onde

X ∼=

{τ−t−p+1P0, se p = q

τ−t−p+1Pq−1, se p 6= q

4. (τ−t+1Pp+q−1, F,G, τ−tP0), com t ≥ 1 tal que p|t e q|t.

5. (τ−t−(p−r−1)Pq+r−1, F,G, τ−tPp−r), com t ≥ 1 tal que q|t e r tal que t ≡ r (mod p) e

1 ≤ r ≤ p− 1.

6. (X,F,G, τ−tPp+q−r−1), com t ≥ 1 tal que p|t e r tal que t ≡ r (mod q) e 1 ≤ r ≤ q − 1.

X ∼=

{τ−t−q+r+1Pp−q+r, se p ≤ q − rτ−t−p+1Pq−r−1, se p > q − r

7. (τ tIp−1, F,G, τtIp), com t ≥ 1 tal que t ≡ p− 1 (mod p) e q|t.

8. (τ tIp+q−2, F,G, τtI1), com t ≥ 1 tal que t ≡ q − 1 (mod q) e p|t.

9. (τ t+1Ip+q−1, F,G, τtI0), com t ≥ 1 tal que t ≡ p− 1 (mod p) e t ≡ q − 1 (mod q).

10. (τ t−p+1Iq−1, F,G, τtIp+q−1), com t ≥ 1 tal que t ≡ p− 1 (mod p) e t ≡ q − 1 (mod q).

11. (τ t−rIp+q−r−2, F,G, τtIr+1), com t ≥ 1 tal que t ≡ r (mod p), 0 < r < p − 1 e t ≡

q − 1 (mod q).

12. (X,F,G, τ tIp+r), com t ≥ 1 tal que t ≡ r (mod q), 0 < r < q − 1 e t ≡ p − 1 (mod p),

onde

X ∼=

{τ t−rIp−(r+1), se r < p

τ t−(p−1)Ir, se r ≥ p

�

73


74

Capítulo 4

Sistemas estrati�cantes via módulos

inclinantes em álgebras hereditárias

Sejam A uma álgebra hereditária, T é um A-módulo inclinante parcial básico e ⊕ni=1Ti sua

decomposição em somandos diretos indecomponíveis. Surge a seguinte pergunta, se (T1, . . . , Tn)

é sequência dos somandos de T , será que ela é uma sequência especial?

Embora não tenha sido possível responder plenamente a questão, neste capítulo estabelece-

mos que dado um A-módulo inclinante parcial básico T sempre existe uma sequência especial

dos seus somandos diretos. Depois, encontramos condições, su�cientes e necessárias para que

uma sequência da formma (T1, T2), onde T = T1⊕T2 é um módulo incliante parcial básico, seja

uma sequência especial. Finalmente, tratamos o problema análogo para uma sequência de três

módulos.

Começaremos enunciando resultados da teoria de inclinação que usaremos como ferramenta

ao longo deste capítulo.

Lema 4.1.1. (3.2 Cap. VI em [2]) Sejam A uma K-álgebra, T um A-módulo inclinante e

B = EndA(T ). Se M,N ∈ T (T ) = {X ∈ modA/Ext1A(T,X) = 0}, então existem isomor�smos

funtoriais:

1. HomA(M,N) ∼= HomB(HomA(T,M)),HomA(T,N)).

2. Ext1A(M,N) ∼= Ext1

B(HomA(T,M)),HomA(T,N)).

�

Lema 4.1.2. (3.10 Cap. VI em [2]) Sejam A uma K-álgebra, TA um A-módulo inclinante

básico, TA = T1⊕ . . .⊕Tn sua decomposição em somandos diretos indecomponíveis e dois a dois

não isomorfos, e B = EndA(T ). Seja ei ∈ B = EndA(T ) a composição da projeção canônica

pi : T −→Ti com a inclusão canônica ui : Ti−→T . Então o conjunto {e1, . . . , en} é um conjunto

75

Sistemas estrati�cantes via módulos inclinantes em álgebras hereditárias

completo de idempotentes ortogonais e primitivos de B e existe um isomor�smo de B-módulos

eaB ∼= HomA(T, Ta), para todo a ∈ {1, . . . n}.

�

Lema 4.1.3. (3.4 Cap. VIII em [2]) Sejam A = KQ, onde Q é um carcás �nito, conexo e

acíclico e T um A-módulo inclinante. Se B = EndA(T ), então o carcás ordinário QB de B é

acíclico. �

Se A é uma álgebra hereditária, dado um conjunto completo de idempotentes ortogonais

e primitivos {ea1 , . . . , ean} de A existe uma enumeração dos seus elementos de tal forma que

o módulo estândar 4i coincide com o projetivo Pi, para todo i = 1, . . . , n. Tal enumeração é

conhecida como enumeração admissível, cuja de�nição é a seguinte.

De�nição 4.1.4. Seja Q = (Q0, Q1) um carcás tal que |Q0| = n. Uma enumeração admissível

de Q é uma bijeção entre Q0 e o conjunto {1, 2, . . . n} tal que se existir uma �echa vi−→ vj,

então i > j.

Na seguinte observação veremos que, se Q é um carcás �nito e acíclico sempre é possível

construir uma enumeração admissível para Q.

Observação 4.1.5. Seja Q = (Q0, Q1) um carcás �nito, conexo e acíclico tal que |Q0| = n.

Então podemos construir uma enumeração admissível de Q da seguinte forma: seja v1 um poço

em Q. Então consideramos o sub-carcás pleno Q(1) de Q tal que seu conjunto de vértices é

Q0 − {v1}. Seja v2 um poço em Q(1). Continuamos indutivamente.

�

Proposição 4.1.6. Sejam A uma álgebra hereditária e T um A-módulo inclinante básico. Então

existe uma sequência especial de T .

Demonstração. Seja B = EndA(T ). Então, pelo Lema 4.1.3, o carcás ordinário QB de B é ací-

clico e então, pela observação acima, existe uma enumeração admissível de QB. Seja {e1, . . . , en}um conjunto completo de idempotentes ortogonais e primitivos de B enumerados de tal forma

que os vértices correspondentes estão enumerados de forma admissível. Seja e = (e1, . . . , en). No-

temos que, com a ordem e, se j > i então não existem mor�smos não nulos do projetivo Pj para

o projetivo Pi e, portanto, 4i = Pi, para i = 1, . . . , n. Por outro lado, pelo Lema 4.1.2, temos

que Pa ∼= eaB ∼= HomA(T, Ta). Assim, na ordem e a sequência (HomA(T, T1), . . . ,HomA(T, Tn))

é a sequência de B-módulos estândares à esquerda. Portanto, temos que

HomB(HomA(T, Ti),HomA(T, Tj)) = 0, se i > j, e

Ext1B(HomA(T, Ti),HomA(T, Tj)) = 0, se i ≥ j.

76


Mas, por outro lado, pelo Lema 4.1.1, vale que

HomB(HomA(T, Ti),HomA(T, Tj)) ∼= HomA(Ti, Tj),

e que

Ext1B(HomA(T, Ti),HomA(T, Tj)) ∼= Ext1

A(Ti, Tj).

Concluímos que (T1, . . . , Tn) é um sistema estrati�cante sobre A e, portanto, que existe uma

sequência especial de T .

�

Observemos que, se T é um módulo inclinante parcial básico então existe uma sequência

especial de T . Para constuir tal sequência primeiro completamos o módulo T a um módulo

inclinante T ′ básico (o que é possível pelo Lema 2.3.6). Segundo a proposição anterior, existe

uma sequência especial de T ′ da forma (T ′1, . . . , T′n), onde T ′ = ⊕ni=1Ti, é a decomposição de

T ′ em somandos diretos indecomponíveis. Se T = ⊕ki=1T′`i, então (T ′`1 , . . . , T

′`k

) é uma sequência

especial de T se u < v implicar que `u < `v, para u, v ∈ {1, . . . , k}.

Lema 4.1.7. Sejam K um corpo, A uma K-álgebra (não necessariamente hereditária). Se X e

Y são A-módulos tais que HomA(X,Y ) = 0 e existir uma sequência exata da forma

0−→Xi−→L

φ−→Y n−→ 0,

para algum n ∈ N, n 6= 0, então não existe um epimor�smo f : L−→Y n+1.

Demonstração. Suponhamos que existe um epimor�smo f : L−→Y n+1. Então fi = 0, pois

caso contrário existiria um elemento não nulo em HomA(X,Y ) pela de�nição de conúcleo existirá

um homomor�smo h : Y n−→Y n+1 tal que φh = f . Logo, como φ e f são epimor�smos, temos

que h é um epimor�smo o que é uma contradição.

�

Lema 4.1.8. Sejam A uma K-álgebra hereditária e de dimensão �nita sobre um corpo al-

gebricamente fechado K e T = T1 ⊕ T2 um A-módulo inclinante parcial, onde T1 e T2 são

indecomponíveis não isomorfos. Se existir uma sequência exata curta da forma

0−→N −→T2−→Tn1 −→ 0. (4.1)

Então:

1. Ext1A(N,T1) = 0.

2. Ext1A(N,T2) = 0.

3. HomA(N,T1) = 0 se, e somente se, dimK HomA(T2, T1) = n.

77


Demonstração. Para 1 aplicamos o funtor HomA( , T1) em (4.1) e obtemos a seguinte

sequência exata

· · · −→ Ext1A(T2, T1)−→ Ext1

A(N,T1)−→ Ext2A(Tn1 , T1)−→ · · · .

Como, por hipótese, Ext1A(T2, T1) = 0 e Ext2

A(Tn1 , T1) = 0, então temos que Ext1A(N,T1) = 0.

Para a demonstração da parte 2, que é análoga à anterior, aplicamos o funtor HomA( , T2)

em (4.1) e obtemos

· · · −→ Ext1A(T2, T2)−→ Ext1

A(N,T2)−→ Ext2A(Tn1 , T2)−→ · · · .

Das hipóteses de que Ext1A(T2, T2) = 0 = Ext2

A(Tn1 , T2) = 0, resulta que Ext1A(N,T2) = 0.

Para provar 3 aplicamos HomA( , T1) em (4.1) e obtemos

0−→ HomA(Tn1 , T1)−→ HomA(T2, T1)−→ HomA(N,T1)−→ 0.

Logo HomA(N,T1) = 0 se, e somente se, HomA(Tn1 , T1) ∼= HomA(T2, T1). Por outro lado,

dimK HomA(Tn1 , T1) = n dimK EndA(T1).

Além disso, pelo Lema 2.3.2, EndA(T1) ∼= K.

Portanto, HomA(N,T1) = 0 se, e somente se, dimK HomA(T2, T1) = n.

�

Antes de enunciar a próximo lema, notemos que se (T1, . . . , Tn) é uma sequência especial do

A-módulo inclinante T associada a sistema estrati�cante (X1, . . . , X2), então X1 = T1.

Lema 4.1.9. Sejam A uma álgebra hereditária e T = T1 ⊕ T2 um A-módulo inclinante parcial

com T1 e T2 módulos indecomponíveis não isomorfos. Se existe um monomor�smo f : T2→T1,

então (T1, T2) não é uma sequência especial de T .

Demonstração. Suponhamos que (T1, T2) seja uma sequência especial de T e que f : T2→T1

é um monomor�smo. Então, pela de�nição, existe um sistema estrati�cante X = (X1, X2) com

X1 = T1, tal que F(X) ∩ Y(X) = addT e uma sequência exata da forma

0−→X2α−→T2−→Xn

1 −→ 0.

Portanto fα : X2−→X1 é um monomor�smo, logo HomA(X2, X1) 6= 0, o que contraria a

hipótese de que HomA(X2, X1) = 0.

�

Corolário 4.1.10. Sejam A uma K-álgebra hereditária, T = T1 ⊕ T2 um A-módulo inclinante

parcial, com T1 e T2 A-módulos indecomponíveis, e (T1, T2) uma sequência especial de T . Então:

78


1. Todos os mor�smos não nulos em HomA(T2, T1) são epimor�smos.

2. Existe um epimor�smo da forma f : T2→Tn1 , com n = dimK HomA(T2, T1).

3. O máximo inteiro n com a propriedade de que existe um epimor�smo f : T2−→Tn1 é

n = dimK HomA(T2, T1).

Demonstração. O Lema 4.1.9 garante que não existem monomor�smos em HomA(T2, T1).

Então, pelo Lema 2.3.2, qualquer elemento não nulo em HomA(T2, T1) é um epimor�smo. Por

outro lado, desde que (T1, T2) é uma sequência especial de T , existe uma sequência exata da

forma

0−→X2−→T2−→Tm1 −→ 0.

Então, pelo Lema 4.1.8, m = dimK HomA(T2, T1). Se m = 0, não temos mais nada a provar. Se

m 6= 0, pelo Lema 4.1.7, m satisfaz as condições requeridas.

�

Notemos que se T = T1 ⊕ T2 é um A-módulo inclinante parcial, (T1, T2) é uma sequência

especial de T e HomA(T2, T1) = 0, então (T1, T2) é o sistema estrati�cante associado a (T1, T2) .

Lema 4.1.11. Sejam A uma K-álgebra hereditária, T = T1 ⊕ T2 um A- módulo inclinante

parcial e T1 e T2 módulos indecomponíveis não isomorfos. Se existe uma sequência exata curta

da forma

0−→N −→T2−→Tn1 −→ 0, (4.1)

e HomA(N,T1) = 0. Então:

1. Ext1A(N,N) = 0.

2. As seguintes condições são equivalentes:

(a) N é um A-módulo indecomponível.

(b) dimK HomA(N,T2) = 1.

(c) HomA(T1, T2) = 0.

Demonstração. Aplicamos o funtor HomA(N, ) na sequência (4.1) e como, pelo Lema 4.1.8,

Ext1A(N,T1) = 0 obtemos a seguinte sequência exata

0→ EndA(N)→ HomA(N,T2)→ HomA(N,T1)→ Ext1A(N,N)→ 0.

Por hipótese HomA(N,T1) = 0, então, usando a sequência exata acima, temos que Ext1A(N,N) =

0 (que é nossa primeira a�rmação) e que EndA(N) ∼= HomA(N,T2).

Vamos provar que (a⇔ b). Para isto notemos que, o fato de que N não tem auto-extensões

junto com o Lema 2.3.3, implicam que N é indecomponível se, e somente se, EndA(N) ∼= K.

79


Mas, por outro lado EndA(N) ∼= HomA(N,T2), então podemos concluir que, N é indecomponível

se, e somente se, dimK HomA(N,T2) = 1.

Para mostrar (b ⇔ c), aplicamos o funtor HomA( , T2) em (4.1) e obtemos a sequência

exata curta

0−→ HomA(Tn1 , T2)−→ EndA(T2)−→ HomA(N,T2)−→ 0.

Como T2 é um A-módulo indecomponível e sem auto-extensões, pelo Lema 2.3.3, temos que

dimK EndA(T2) = 1. Portanto, usando a sequência exata acima, é possível a�rmar que

dimK HomA(N,T2) = 1 se, e somente se, HomA(T1, T2) = 0.

�

Teorema 4.1.12. Sejam K um corpo algebricamente fechado, A uma K-álgebra hereditária

e T = T1 ⊕ T2 um A-módulo inclinante parcial com T1 e T2 A-módulos indecomponíveis.

Então (T1, T2) é uma sequência especial de T se, e somente se, os mor�smos não nulos em

HomA(T2, T1) são epimor�smos e existe um epimor�smo da forma f : T2−→Tn1 , onde n =

dimK HomA(T2, T1). Neste caso, (T1, T2) é a sequência especial de T associada ao sistema es-

trati�cante (T1,Nuc f).

Demonstração. Se (T1, T2) é uma sequência especial de T a tese segue diretamente do Corolá-

rio 4.1.10. Para a demonstração do recíproco, suponhamos que existe um epimor�smo da forma

f : T2−→Tn1 , onde n = dimK HomA(T2, T1). Se n = 0, não temos nada a provar. Suponhamos

que n 6= 0. Seja N = Nuc f . Então, pelo Lema 4.1.8, HomA(N,T1) = 0 e Ext1A(N,T1) = 0.

Por outro lado, Lema 4.1.3, HomA(T1, T2) = 0. Logo, pelo Lema 4.1.11, N é um A-módulo

indecomponível e Ext1A(N,N) = 0. Assim temos que (T1, N) é um sistema estrati�cante. Por

outro lado temos que Ext1A(T1, T1 ⊕ T2) = 0, pois T é inclinante parcial e, pelo Lema 4.1.8, que

Ext1A(N,T1 ⊕ T2) = 0. Assim podemos a�rmar que F(T1, N) ∩ Y(T1, N) = add T , e portanto

que (T1, N) é o sistema estrati�cante associado à sequência especial (T1, T2) de T .

�

Lema 4.1.13. Sejam A uma K-álgebra hereditária, T = T1⊕T2 um A-módulo inclinante parcial,

com A-módulos T1 e T2 indecomponíveis de forma que (T1, T2) é uma sequência especial de T ,

associada ao sistema estrati�cante (X1, X2). Se HomA(T2, T1) 6= 0, então HomA(X1, X2) =

0 e dimK Ext1A(X1, X2) = dimK HomA(T2, T1).

Demonstração. Como HomA(T2, T1) 6= 0 indiquemos por n1 = dimK HomA(T2, T1) ≥ 1.

A hipótese de (T1, T2) ser uma sequência especial associada ao sistema estrati�cante (X1, X2),

X1 = T1, implica, pelo Teorema 4.1.12, que existe uma sequência exata curta da forma

0−→X2−→T2−→Tn11 −→ 0.

80


Aplicando o funtor HomA(T1, ) à sequência exata acima, obtemos que

0→ HomA(T1, X2)→ HomA(T1, T2)→ HomA(T1, Tn1 )→ Ext1

A(T1, X2)→ 0.

Porém, como consequência do Lema 4.1.3, temos que HomA(T1, T2) = 0. Portanto da úl-

tima sequência resulta que HomA(X1, X2) = HomA(T1, X2) = 0 e que dimK Ext1(X1, X2) =

dimK Hom(T1, T1)n1 = n1.

�

Proposição 4.1.14. Sejam K um corpo algebricamente fechado, A uma K-álgebra hereditária e

T = T1⊕T2⊕T3 um A-módulo inclinante parcial básico tal que T1, T2 e T3 são A-módulos inde-

componíveis. Se (T1, T2) é uma sequência especial de T1⊕ T2 associada ao sistema estrati�cante

(X1, X2), onde X2 6∼= T2, e existem sequências exatas da forma

0−→K1−→T3−→Tn11 −→ 0, (4.2)

0−→K2−→K1−→Xn22 −→ 0, (4.3)

onde n1 = dimK HomA(T3, T1) e n2 = dimK HomA(T3, T2). Então (T1, T2, T3) é uma sequência

especial de T associada ao sistema estrati�cante (X1, X2,K2).

Demonstração. Primeiro vamos aplicar o funtor HomA( , T1) em (4.3) e obtemos

0 −→ HomA(Xn22 , T1) −→ HomA(K1, T1) −→ HomA(K2, T1) −→

Ext1A(Xn2

2 , T1) −→ Ext1A(K1, T1) −→ Ext1

A(K2, T1) −→ 0.

Como (X1, X2) é um sistema estrati�cante associado a sequência especial (T1, T2) de T1 ⊕ T2,

então X1 = T1, HomA(X2, T1) = 0 e Ext1A(X2, T1) = 0. Logo, da sequência acima, podemos

concluir que

HomA(K1, T1) ∼= HomA(K2, T1) e que Ext1A(K1, T1) ∼= Ext1

A(K2, T1). (4.4)

Aplicamos agora o funtor HomA( , T1) em (4.2) e obtemos

0 −→ HomA(Tn11 , T1) −→ HomA(T3, T1) −→ HomA(K1, T1) −→

Ext1A(Tn1

1 , T1) −→ Ext1A(T3, T1) −→ Ext1

A(K1, T1) −→ 0.

Como Ext1A(T3, T1) = 0, então Ext1

A(K1, T1) = 0 e, usando (4.4), temos que

Ext1A(K2, T1) = 0 e HomA(K2, T1) = 0⇔ dimK HomA(T3, T1) = n1. (4.5)

81


Agora aplicamos HomA( , T3) em (4.2) e obtemos

· · · −→ Ext1A(Tn1

1 , T3)−→ Ext1A(T3, T3)−→ Ext1

A(K1, T3)−→ 0.

Como Ext1A(T1, T3) = 0 e Ext1

A(T3, T3) = 0, temos que

Ext1A(K1, T3) = 0. (4.6)

Aplicando HomA( , T3) em (4.3) e obtemos

· · · −→ Ext1A(X2, T3)−→ Ext1

A(K1, T3)−→ Ext1A(K2, T3)−→ 0.

Da sequência exata acima e (4.6) concluímos que

Ext1A(K2, T3) = 0. (4.7)

Aplicamos HomA(K2, ) em (4.2) e temos

0 −→ HomA(K2,K1) −→ HomA(K2, T3) −→ HomA(K2, Tn11 ) −→

Ext1A(K2,K1) −→ Ext1

A(K2, T3) −→ Ext1A(K2, T

n11 ) −→ 0.

(4.8)

Mas, usando (4.7) e (4.6), temos que

Ext1A(K2,K1) = 0 e que HomA(K2,K1) ∼= HomA(K2, T3) (4.9)

Aplicamos HomA(K2, ) em (4.3)

0 −→ HomA(K2,K2) −→ HomA(K2,K1) −→ HomA(K2, Xn22 ) −→

Ext1A(K2,K2) −→ Ext1

A(K2,K1) −→ Ext1A(K2, X

n22 ) −→ 0.

(4.10)

Usando (4.9), na sequência exata acima, temos que

Ext1A(K2, X2) = 0. (4.11)

Aplicamos HomA( , X2) em (4.3)

0 −→ HomA(Xn22 , X2) −→ HomA(K1, X2) −→ HomA(K2, X2) −→

Ext1A(Xn2

2 , X2) −→ Ext1A(K1, X2) −→ Ext1

A(K2, X2) −→ 0.

Como (X1, X2) é um sistema estrati�cante, então X2 não tem auto-extensões e por outro

lado, de (4.11), temos que

Ext1A(K1, X2) = 0 e que HomA(K2, X2) = 0⇔ dimK HomA(K1, X2) = n2. (4.12)

82


Agora aplicamos HomA( , X2) em (4.2) e obtemos

0 −→ HomA(Tn11 , X2) −→ HomA(T3, X2) −→ HomA(K1, X2) −→

Ext1A(Tn1

1 , X2) −→ Ext1A(T3, X2) −→ Ext1

A(K1, X2) −→ 0.

Seja n = dimK HomA(T2, T1). Como, por hipótese X2 6∼= T2, então n 6= 0. Assim, pelo Lema

4.1.13, HomA(T1, X2) = 0 e dimK Ext1A(T1, X2) = n. Por outro lado, de (4.12), temos que

Ext1A(K1, X2) = 0. Portanto, da sequência exata acima temos que

dimK HomA(T3, X2) = dimK HomA(K1, X2)− dimK Ext1A(Tn1

1 , X2) + dimK Ext1A(T3, X2)

= dimK HomA(K1, X2) + dimK Ext1A(T3, X2)− nn1.

(4.13)

Mas, por outro lado, pelo Teorema 4.1.12, existe uma sequência exata da forma

0−→X2−→T2−→Tn1 −→ 0. (4.14)

Se aplicamos o funtor HomA(T3, ), na sequência acima, obtemos

0→ HomA(T3, X2)→ HomA(T3, T2)→ HomA(T3, Tn1 )→ Ext1

A(T3, X2)→ 0.

Assim, em termos de dimensão, temos que

dimK HomA(T3, T2) = dimK HomA(T3, X2) + dimK HomA(T3, Xn1 )− dimK Ext1

A(T3, X2).

(4.15)

Notemos que dimK HomA(T3, Xn1 ) = nn1. Agora, sustituindo (4.13) em (4.15), temos que

dimK HomA(T3, T2) = dimK HomA(K1, X2). (4.16)

Mas, usando (4.12) e (4.16) podemos a�rmar que

HomA(K2, X2) = 0⇔ dimK HomA(T3, T2) = n2. (4.17)

Até agora, temos demonstrado que

HomA(K2, X1) = 0, (4.5)

HomA(K2, X2) = 0, (4.17)

Ext1A(K2, X1) = 0, (4.12)

Ext1A(K2, X2) = 0. (4.11)

Diante disto, para demonstrar que (X1, X2,K2) é um sistema estrati�cante, é su�ciente

veri�car que o módulo K2 não tem auto-extensões e que é um A-módulo indecomponível.

Como HomA(K2, X1) = 0, segundo (4.5), e Ext1A(K2, T3) = 0, por (4.7), então, usando (4.8),

83


podemos a�rmar que

Ext1A(K2,K1) = 0. (4.18)

Usando (4.9), (4.17) e (4.18) na sequência exata em (4.10), podemos dizer que

Ext1A(K2,K2) = 0 e que HomA(K2,K2) ∼= HomA(K2,K1) ∼= HomA(K2, T3). (4.19)

Agora, usando o Corolário 2.3.3 e a cadeia de isomor�smos acima em (4.19), a�rmamos que

K2 é indecomponível ⇔ dimK HomA(K2, T3) = 1. (4.20)

Por outro lado, aplicando HomA( , T3) em (4.14), temos que

0 −→ HomA(Tn1 , T3) −→ HomA(T2, T3) −→ HomA(X2, T3) −→Ext1

A(Tn1 , T3) −→ Ext1A(T2, T3) −→ Ext1

A(X2, T3) −→ 0.(4.21)

Como Ext1A(T2, T3) = 0, então

Ext1A(X2, T3) = 0. (4.22)

Usando as sequências em (4.2) e (4.3) construímos seguinte o diagrama de pust-out

0

��

0

��K2

��

// K3

��0 // K1

��

// T3

��

// Xn11

// 0

0 // Xn22

��

// Z3

��

// Xn11

// 0

0 0,

onde, como consequência do Lema da serpente, a linha pontilhada é um isomor�smo.

Aplicamos em 0−→Xn22 −→Z3−→Xn1

1 −→ 0, que é a segunda sequência horizontal no dia-

grama acima, o funtor HomA( , T3) e obtemos

0 −→ HomA(Xn11 , T3) −→ HomA(Z3, T3) −→ HomA(Xn2

2 , T3) −→Ext1

A(Xn11 , T3) −→ Ext1

A(Z3, T3) −→ Ext1A(Xn2

2 , T3) −→ 0.(4.23)

Como Ext1A(X2, T3) = 0, por (4.22), e Ext1

A(X1, T3) = Ext1A(T1, T3) = 0, então

Ext1A(Z3, T3) = 0. (4.24)

84


Agora aplicando HomA( T3) na segunda sequência vertical do diagrama acima, e usando

(4.24) temos que

0−→ HomA(Z3, T3)−→ HomA(T3, T3)−→ HomA(K2, T3)−→ 0.

Pelo Lema 2.3.2, EndA(T3) ∼= K, logo, usando (4.20) e a sequência acima, a�rmamos que

K2 é indecomponível ⇔ HomA(Z3, T3) = 0. (4.25)

Por outro lado, de (4.23) e (4.22), temos que

HomA(Z3, T3) = 0⇔ (HomA(X2, T3) = 0 e HomA(X1, T3) = 0). (4.26)

Finalmente, de (4.21) e (4.22), temos que

HomA(T2, T3) = 0⇔ (HomA(X2, T3) = 0 e HomA(X1, T3) = 0). (4.27)

Para veri�car que K2 é undecomponível devemos considerar vários casos. Suponhamos que

n2 = 0. Então K2∼= K1. Além disso, se n1 6= 0, então HomA(T1, T3) = 0, pelo Lema 4.1.3, e,

segundo o Lema 4.1.11, K1 seria um A-módulo indecomponível. No caso contrário, se n1 = 0,

então K1∼= T3 e, portanto, é um A-módulo indecomponível.

Suponhamos que n2 6= 0. Então segue do Lema 4.1.3 que HomA(T2, T3) = 0. Logo de (4.27),

(4.26), e (4.25) temos que K2 é um A-módulo indecomponível.

�

Lema 4.1.15. [15] Sejam A uma álgebra de Artin e X = {X1, . . . , Xt} um conjunto �nito de

A-módulos com a propriedade de que Ext1A(Xi, Xj) = 0, sempre que i ≥ j. Então M ∈ F(X)

se, e somente se, M tem uma cadeia de submódulos da forma

0 = Mn+1 ⊆Mn ⊆ . . . ⊆M2 ⊆M1 = M,

com Mi/Mi+1 isomorfo a soma direta de copias de Xi, para todo 1 ≤ i ≤ n.�

Proposição 4.1.16. Sejam K um corpo algebricamente fechado, A uma K-álgebra hereditária,

T =⊕t

j=1 Tj um A-módulo inclinante parcial e X = (X1, . . . , Xt) um sistema estrati�cante tal

que (T1, . . . , Tt) é uma sequência especial de T associada a X. Então, para cada j = 1, . . . , t,

85


existem sequências exatas da forma

(1) 0−→ K1 −→ Tl −→ Xmj,11 −→ 0,

(2) 0−→ K2 −→ K1 −→ Xmj,22 −→ 0,

......

......

(j − 1) 0−→ Xj−1 −→ Kl−2 −→ Xmj,l−1

l−1 −→ 0.

Demonstração. Seja j ∈ {1, . . . , t} �xo. Pelas hipóteses existe uma sequência exata da forma

0−→Xj −→Tj −→Zj −→ 0, onde Zj ∈ F(X1, . . . , Xj−1).

Portanto Tj ∈ F(X1, . . . , Xj) e [Tj : Xj ] = 1. Logo, segundo o Lema anterior, existe uma cadeia

de submódulos de Tj da forma

0 = Mj+1 ⊆Mj ⊆ . . . ⊆M2 ⊆M1 = Tj ,

onde Mi/Mi+1∼= Xαi

i , para todo i = 1, . . . , j. Para i = 1, M1/M2∼= Xα1

1 , ou seja, temos uma

sequência exata da forma

0−→M2−→Ti−→Xα11 −→ 0.

Para i = 2, M2/M3∼= Xα2

2 , portanto é possível construir a sequência exata

0−→M3−→M2−→Xα22 −→ 0.

Continuamos este procedimento até i = j − 1, onde construímos a sequência

0−→Mj −→Mj−1−→Xαj−1

j−1 −→ 0.

Por outro lado, notemos que Mj∼= X

αjj . Mais ainda, o fato de que [Tj : Xj ] = 1 implica que

Mj∼= Xj .

Desta forma, temos construído a família de sequências exatas desejada.

�

No caso particular em que T = T1 ⊕ T2 ⊕ T3 e (T1, T2, T3) é uma sequência especial de T

associada ao sistema estrati�cante X = (X1, X2, X3), a proposição acima garante a existência

das sequências exatas

(1) 0−→ K1 −→ T3 −→ Xm3,1

1 −→ 0,

(2) 0−→ X3 −→ K1 −→ Xm3,2

2 −→ 0.

Além disso, se X2 6∼= T2, então de (4.5) e (4.12) podemos a�rmar que m3,1 = dimK HomA(T3, T1)

e que m3,2 = dimK HomA(T3, T2). Potanto, temos demostrado o seguinte teorema.

86


Teorema 4.1.17. Sejam K um corpo algebricamente fechado, A uma K-álgebra hereditária e

T = T1 ⊕ T2 ⊕ T3 um A-módulo inclinante parcial básico tal que T1, T2 e T3 são A-módulos

indecomponíveis. Se (T1, T2) é uma sequência especial de T1 ⊕ T2 associada ao sistema estrati�-

cante (X1, X2), onde X2 6∼= T2, então (T1, T2, T3) é uma sequência especial de T se, e somente

se, existem sequências exatas da forma

0−→K1−→T3−→Tn11 −→ 0,

0−→K2−→K1−→Xn22 −→ 0,

onde n1 = dimK HomA(T3, T1) e n2 = dimK HomA(T3, T2). Neste caso T está associado ao

sistema estrati�cante (X1, X2,K2).

�

87


88

Referências Bibliográ�cas

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Algebras. 1: Techniques of Representation Theory. Series: London Mathematical Society

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90

Índice Remissivo

classe de torção, 39classe livre de torção, 39fórmulas de Auslander , 10par de torçao, 39

apresentação, 3Auslander-Reiten

carcás de, 8funtor de translação de, 10sequência de, 7teorema de, 7

avaliação, 4

boca, 19

caminho(s), 2categoria de, 19álgebra de, 2

carcás, 2acíclico, 2com relações, 3com translação, 18conexo, 2de Auslander-Reiten, 8grafo subjacente do, 2limitado, 3localmente �nito, 18ordinário, 3representação do, 4

Cartanmatriz de, 12

categoriade caminhos, 19injetivamente estável, 9mesh, 20projetivamente estável, 9

ciclo, 2começo, 2

componenteauto hereditária, 20estândar, 20

conjunto completo deidempotentes primitivos ortogonais, 1

Coxetermatriz de, 17transformação de, 17

diagramasde Dynkin, 14euclidianos, 15canonicamente orientados, 16

Dynkindiagramas de, 14

elemento(s)mesh, 20relativamente simples, 25

epimor�smoque cinde, 7

euclidianosdiagramas, 15

�ltração, 24�nal, 2�echa, 2

começo de uma, 2�nal de uma, 2

funtorde translação de Auslander-Reiten, 10

Gabrielteorema de, 3, 15

grafo subjacente, 2Grothendieck

grupo de, 12, 26grupo

de Grothendieck, 12, 26

91

hereditáriaálgebra, 13, 14

homomor�smoirredutível, 7

ideal admissível, 3idempotentes primitivos ortogonais

conjunto completo de, 1irredutível

homomor�smo, 7momomor�smo, 7

Kroneckerálgebra de, 5

matrizde Cartan, 12de Coxeter, 17

meshcategoria, 20elemento, 20

monomor�smoirredutível, 7espaço de, 8

que cinde, 7módulo

estândar, 28excepcional, 32inclinante, 33generalizado, 29parcial, 33

pré-injetivo, 14pós-projetivo, 14regular, 14

objetorelativamente injetivo, 26relativamente projetivo, 26simples, 21

predecessor imediato, 18

relativamente simpleselementos, 25sistema estrati�cante via módulos, 25

relação, 3representação

do carcás, 4retração, 7

sequênciade Auslander-Reiten, 7excepcional, 32quase-cindida, 7

seção, 7sistema estrati�cante, 24

completo, 34estândar, 25via módulos relativamente injetivos, 24via módulos relativamente simples, 24, 25

sucessor imediato, 18

teoremade Auslander-Reiten, 7de Gabriel, 3, 15

tijolo, 21transformação

de Coxeter, 17traço, 27tubo

auto hereditário, 20estável, 19hereditário, 20homogêneo, 19

vetordimensão, 11

vértice, 2

álgebrabasica, 1conexa, 1de caminhos, 2de Kronecker, 5estandarmente estrati�cada, 28hereditária, 13, 14indecomponivel, 1quase-hereditária, 31

92

paca/tese_paulacadavid.pdf · sistemas estrati cantes sobre álgebras hereditárias esta versão da...

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