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CMNE/CILAMCE 2007 Porto, 13 a 15 de Junho, 2007

© APMTAC, Portugal 2007

SOLUÇÃO TEÓRICA PARA TURBULÊNCIA GERADA POR GRADES OSCILANTES

Karine Cristiane de Oliveira Souza1*, Harry Edmar Schulz1 e Johannes Gerson Janzen1

1: Departamento de Engenharia Hidráulica e Saneamento

Escola de Engenharia de São Carlos Universidade de São Paulo

Av. Trabalhador Sãocarlense, 400, Caixa Postal 359, 13566-590, São Carlos - SP � Brasil. e-mail: [email protected], [email protected] e [email protected], web:

http://www.shs.eesc.usp.br

Keywords: Oscillating grids, K-ε model, Turbulence.

Summary. This work presents a proposal of linear equations for governing equation from the dissipation rate of the energy as function from the turbulent kinetic energy. The problem of the equations of turbulent field generated by oscillating grids is approached from the use of the k-ε model. The Mathematica program was used as a tool in the study of the theoretical solutions. Isotropic turbulence can be generated in the region between two oscillating grids. Turbulence for regions not near to the grids involves the processes of diffusion and dissipation of the turbulent kinetic energy, without advection or production of this energy. This characteristic is utilized in assembly with the k-ε basic equation and with the intention of obtaining forms of evolution for the turbulent kinetic energy and for dissipation rate of the energy in the region between the two grids, also for a general situation, presenting equations that permit ascertain more immediately the form expected for the profiles from the turbulent kinetic energy. This solution overlaps the found experimental data in the literature of the area.

Karine Cristiane de Oliveira Souza, Harry Edmar Schulz e Johannes Gerson Janzen

2

1. INTRODUÇÃO

A turbulência faz parte do dia-a-dia de todo ser humano. Ela está presente na maioria das atividades que executamos ou simplesmente observamos. Têm-se como exemplos simples: a fumaça que sai de uma chaminé ou o movimento de mistura de uma colher em uma xícara com café, nas quais facilmente se percebe a ação de mistura decorrente da turbulência, aumentando a transferência de calor e massa. Assim, a turbulência caracteriza-se como um fenômeno complexo no movimento dos fluidos, mas encontrada na maioria das ocorrências naturais desses fluidos.

A turbulência atua como acelerador dos processos de mistura. Dessa forma, a transferência de oxigênio para corpos de água como rios, lagos ou qualquer outro corpo hídrico, dependem do nível de turbulência presente. Processos industriais de extração de gases nocivos de efluentes também estão relacionados ao nível de agitação turbulenta imposta aos fluidos. Esses são alguns exemplos, vinculados à qualidade do meio ambiente, que nos permitem entender a importância da quantificação da turbulência.

Para esta quantificação é necessário utilizar resoluções teóricas que envolvem o conhecimento prévio de ferramentas de cálculo e uso de tabelas matemáticas extensas. Parte dessas exigências foi muito facilitada com o advento de programas computacionais que armazenam os procedimentos de resolução e as mencionadas tabelas. Desta forma, ao pesquisador/profissional resta bom senso na formulação do problema em estudo e o estabelecimento da equação governante em questão. Um desses programas é o Mathematica. 2. SOLUÇÃO LINEAR PARA ε = ε ( k )

O modelo k-ε é um modelo de viscosidade turbulenta (νt) a qual é obtida a partir da equação de Kolmogoroff-Prandtl:

εν µ

2

tkC= (1)

Cµ é uma constante de proporcionalidade, k é a energia cinética turbulenta e ε é a taxa de dissipação de energia cinética turbulenta.

A equação completa da conservação da energia cinética turbulenta, segundo Rodi [1], é escrita como:

j

i

j

i

j

iji

jii

iii x

uxu

xuuup

2uu

uxx

kutk

∂∂

∂∂−

∂∂−

+

∂∂−=

∂∂+

∂∂ ν

ρ

(2)

j

i

j

i

xu

xu

∂∂

∂∂

=νε

(3)

A equação diferencial para ε no modelo k-ε é, geralmente, expressa por:


3

kC

xu

xu

xu

kC

xxxu

t

2

2j

i

i

j

j

it1

i

t

iii

ενεεσνεε

ε

−∂∂

∂∂

+∂∂

+

∂∂

∂∂−=

∂∂+

∂∂

(4)

Nas equações (2), (3) e (4), C1 e C2 são constantes do modelo, xi é o eixo coordenado, νt é a viscosidade turbulenta, ν é a viscosidade cinemática, p é a pressão estática instantânea, p´ é a flutuação de pressão, iu são as componentes da velocidade média nas três direções coordenadas e u i, as flutuações de velocidade.

Para a situação de escoamento estacionário e fluido em repouso (isto é, sem escoamento médio), Schulz & Chaudhry [2] partiram das eq.`s (2) e (3), para obter a forma de evolução da energia cinética turbulenta em sistemas difusivo-dissipativos unidimensionais. A equação para a energia cinética turbulenta unidimensional é obtida diretamente do caso geral, resultando em:

j

i

j

ijii

i xu

xup

2uu

ux ∂

∂∂∂

−=

+

∂∂ ν

ρ

(5)

O termo entre colchetes, sem equacionamento definitivo, é substituído, no modelo k-ε, pelo produto do coeficiente de Boussinesq (viscosidade turbulenta) com o gradiente da energia cinética turbulenta e uma constante de proporcionalidade (σk ). Obtém-se:

εσν

=

∂∂

∂∂

xk

x k

t

(6)

A equação diferencial para ε pelo modelo k-ε, eq. (4), para o caso difusivo-dissipativo, torna-se:

kC

xx

2

2t εε

σν

ε

=

∂∂

∂∂

(7)

Schulz [3] apresenta uma proposta de equacionamento governante linear para a equação governante da taxa de dissipação de energia como função da energia cinética turbulenta.

Matsunaga et al. [4] definiram:

t

k

dzdF

νσ

=

(8)

Insere-se a eq. (8) na eq. (6), o que resulta em:

2

k

kC

dFdk

dFd

σµ=

(9)

Rearranjando-se as eq.`s (1), (7) e (8), tem-se que:


4

k CC

dFd

dFd

2k

2 εσ

σε µε

=

(10)

σε e σk são constantes empíricas do modelo k-ε. Definem-se as seguintes variáveis:

kC

kkσµ=

(11)

e

k

2Cj

σσ ε=

(12)

Matsunaga et al. [4] demonstraram que:

2

2

2

kdF

kd =

(13)

e

kjdFd

2

2

εε =

(14)

Segundo a abordagem de Schulz & Chaudhry [2] aplicada para F, a primeira integração da eq. (13) produz:

3

1 k32w

dFkd +±=

(15)

Na equação (15), w1 é uma constante de integração. Sugere-se que a taxa de dissipação de energia pode ser expressa como função da energia cinética turbulenta. Em outros termos, impõe-se:

)k( εε = (16)

e

)F( kk = (17)

As proposições das eq.`s (16) e (17) são decorrentes de considerações físicas e exigem comprovação a partir da forma da equação obtida para a taxa de dissipação de energia (ε), a ser expressa em função da energia cinética turbulenta ( k ). Esta comprovação deve ser verificada em nível experimental.

Sendo a dissipação de energia função da energia cinética turbulenta, então:


5

dFkd

kdd

dFd εε =

(18)

e

2

22

2

2

2

2

dFkd

kdd

dFkd

kd

ddFd εεε +

=

(19)

Utilizando-se das eq.`s (13), (14) e (15) na eq. (19), obtém-se:

0kjkd

dkkd

dk32w

2

2

23

1 =−+

+ εεε

(20)

Definindo-se y=ε , xk = e 1w23a = na eq.(20), apenas para simplificação de notação,

tem-se:

( ) 0jxy23

dxdyx

23

dxydxa 22

23 =−++

(21)

Na equação (21), a é uma constante de integração. Esta é a equação governante originalmente proposta por Schulz [3]. Note-se que a vantagem desta equação reside no fato de ser linear e admitir solução segundo as ferramentas tradicionais do cálculo. Em outros termos: �o problema de turbulência isotrópica, considerado do ponto de vista do modelo k-ε, quando tratado no espaço k-ε, admite equacionamento governante linear�.

Através do programa Mathematica, utilizado como ferramenta para auxílio de resoluções de equações complexas, foi possível obter uma solução para a eq. (21). Esta solução assume a forma:

( )]B[tricHypergeome´xCa

1]A[1F2tricHypergeome´Cy 23/11 +=

(22)

]ax,

32,j241

121

121,j241

121

121[]A[

3

−+++−=

(23)

]ax,

34,j241

121

125,j241

121

125[]B[

3

−+++−=

(24)

O valor de j igual a 2,496, determinado pela eq. (12) através das constantes descritas, por exemplo, em Rodi [1], foi inserido nas eq.`s (23) e (24).

Para o estudo do comportamento da eq.(22), devem ser estabelecidas condições de contorno. As seguintes condições foram consideradas adequadas:

00k =→= ε (25)


6

k = 0,0000139534256077076 m2/s2, ε = 0,0000002514897253536 m2/s3 em z = 2,512cm (26)

Para os experimentos considerados nesta análise, foram observados algumas assimetrias. Assim, em z = 2,512cm, a energia cinética e a taxa de dissipação de energia são mínimas e iguais a k0 e ε0, respectivamente. Sabe-se que em situação ideal, a energia cinética e a taxa de dissipação de energia passam por um mínimo em z = 0, para um tanque com duas grades oscilantes (a origem do eixo está localizada no centro do espaçamento entre as grades). Os valores da condição de contorno da eq.(26) foram retirados dos dados experimentais para o tanque com duas grades oscilantes de Janzen [5] para freqüência de oscilação (f) igual a 4Hz e amplitude de oscilação (S) igual a 2cm. Trata-se, portanto, de um caso particular. O deslocamento de 2,512cm da origem decorre da assimetria nas condições de contorno de topo e fundo do tanque (superfície livre e fundo imóvel, além das diferentes distâncias até a superfície e o fundo), em relação às duas grades.

Após a aplicação das condições de contorno das eq.`s (25) e (26) na eq. (22), foram obtidas as seguintes constantes desta equação:

0´C 1 = (27)

−−

=−

a10.98048.1 ,33333.1 ,06701.1 ,233675.01F2tricHypergeome

a 200261.0´C18

333333.0

2

(28)

Com a substituição das eq.`s (27) e (28), a eq. (22) reduz-se a:

−−

−−

=−

a10.98048.1 ,33333.1 ,06701.1 ,233675.01F2tricHypergeome

ax ,33333.1 ,06701.1 ,233675.01F2tricHypergeome x 200261.0

y10

3

(29)

3. COMPARAÇÃO ENTRE A SOLUÇÃO LINEAR PARA ε = ε ( k ) E DADOS

EXPERIMENTAIS DE JANZEN [5]

Diferentes valores de a foram atribuídos à eq. (29) e foi obtida uma família de curvas, fig. (1). O menor valor de a foi de 10-20. A partir desta família de curvas foi obtida a equação (um gráfico) que melhor representa os dados experimentais de Janzen [5] para o tanque de grades oscilantes com freqüência igual a 4Hz e amplitude de oscilação igual a 2cm, com posição de mínimo deslocada. Através da fig. (2), verificou-se haver boa aproximação para esse caso particular dos dados experimentais de Janzen [5]. Trabalhou-se com a alteração dos valores de k para k e a solução linear para )k( εε = . O valor de a para o melhor ajuste foi 10-20.


7

Figura 1 � Família de curvas tendo como parâmetro a.

Figura 2 � Solução linear para )k( εε = e dados experimentais de Janzen [5]. 4. CONCLUSÕES

A partir de proposta de Schulz [3] que sugere uma equação governante linear para )k( εε = , verifica-se haver possibilidade de seguir outro caminho para determinação das

variáveis relevantes aos processos difusivo-dissipativos. Sugere-se que a possibilidade )k( εε = seja utilizada em outras situações. Foi aqui

obtida uma solução na forma de funções hipergeométricas. Verificou-se que o comportamento


8

desta solução produz boa aproximação para o caso particular de dados experimentais de Janzen [5], em uma análise comparativa na qual foi gerada uma família de curvas. Agradecimentos

Este trabalho é parte da dissertação de mestrado que foi realizada junto a Escola de Engenharia de São Carlos da USP e que teve apoio do Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico - CNPq, sob a forma de bolsa de estudo a pesquisadora Karine Cristiane de Oliveira Souza. REFERÊNCIAS

[1] Rodi, W.; 1980. Turbulence models and their application in hydraulics. IAHR, Delft. [2] Schulz, H. E.; Chaudhry, F. H.; 1998. Uma aproximação para turbulência gerada por

grelhas oscilantes. Primeira Escola de Transição e Turbulência, COPPE, Rio de Janeiro, setembro/98.

[3] Schulz, H. E.; 2003. Desenvolvimento de equação governante linear para o problema de turbulência do ponto de vista do espaço k-ε, Texto não publicado, desenvolvida no SHS/EESC/USP.

[4] Matsunaga, N.; Sugihara, Y.: Komatsu, T.; Masuda, A.; 1999. Quantitative properties of oscillating-grid turbulence fluid. Fluid Dynamics Research. v.25, p.147-165.

[5] Janzen, J. G.; 2003. Detalhamento das propriedades turbulentas em água agitada por grades oscilantes. São Carlos. Dissertação (Mestrado) � Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo.

[6] Carmo, J.; Sernadas,A; Sernadas, C; Dionísio, F. M.; Caleiro, C.; 1999. Introdução à programação em Mathematica. Lisboa, Instituto Superior Técnico.

[7] Hopfinger, E. J.; Toly, J. A.; 1976. Spatially decaying turbulence and its relation to mixing across density interfaces. Journal of Fluid Mechanics, v. 78, part 1, p.155-175.

[8] Matsunaga, N.; Sugihara, Y.; Komatsu, T.; 1991. A numerical simulation of oscillating-grid turbulence by using the k-ε model, In: LEE, J. H. W.; Cheung, Y. K., eds. Environmental Hydraulics, The Nethelands, A. A. Balkema. v.1, p.427-432.

[9] Schulz, H. E.; Chaudhry, F. H.; 1999. Resultados teóricos para turbulência gerada por duas grelhas oscilantes. Publicado em CD-ROM, ISBN-85-85769-03-3. XV Congresso Brasileiro de Engenharia Mecânica. Águas de Lindóia, SP.

[10] Schulz, H. E.; 2001. Alternativas em turbulência. São Carlos, EESC-USP. [11] Shy, S. S.; Tang, C. Y.; Fann, S. Y.; 1997. A nearly isotropic turbulence generated by

a pair of vibrating grids. Experimental Thermal and Fluid Science. v.14, p.251-262. [12] Townsend, A. A.; 1976. Homogeneous turbulent flows. In: THE STRUCTURE of

turbulent shear flow. Cambridge, Cambridge University Press. Cap.3, p.45-103.

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