P3_2_ANO_O_Matemática_Micael_Medeiros

1. Na Copa das Confederações de 2013, no Brasil, onde a seleção brasileira foi

campeã, o técnico Luiz Felipe Scolari tinha à sua disposição 23 jogadores de várias

posições, sendo: 3 goleiros, 8 defensores, 6 meio-campistas e 6 atacantes. Para

formar seu time, com 11 jogadores, o técnico utiliza 1 goleiro , 4 defensores , 3 meio-

campistas e 3 atacantes. Tendo sempre Júlio César como goleiro e Fred como

atacante, o número de times distintos que o técnico poderá formar é

a) 14.000.

b) 480.

c) 8! + 4!

d) 72.000.

e) 7.200

2. Sejam r e s duas retas distintas e paralelas.

Se fixarmos 10 pontos em r e 6 pontos em s, todos distintos, ao unirmos, com

segmentos de reta, três quaisquer destes pontos não colineares, formam-se

triângulos. Assinale a opção correspondente ao número de triângulos que podem ser

formados.

a) 360

b) 380

c) 400

d) 420

e) 520

3. Desde o dia da partida inaugural até o dia da final de um torneio de futebol, terão

sido transcorridos 32 dias. Considerando que serão disputados, ao todo, 64 jogos

nesse torneio, pode-se concluir que, necessariamente,

a) ocorrerão duas partidas por dia no período de disputa do torneio.

b) haverá um único jogo no dia em que for disputada a final.

c) o número médio de jogos disputados por equipe será, no máximo, 2.

d) ocorrerá pelo menos um dia sem jogos no período de disputa do torneio.

e) haverá duas partidas do torneio que ocorrerão no mesmo dia.

4. A seguir, temos o fatorial de alguns números.

! ! ! !1 1 2 2 1 3 3 2 1 4 4 3 2 1

Considere o astronômico resultado de 2013! Quanto vale a soma dos seus três últimos

algarismos?

a) 0

b) 6

c) 13

d) 20

e) 21

5. A figura a seguir apresenta uma planificação do cubo que deverá ser pintada de

acordo com as regras abaixo:

Os quadrados que possuem um lado em comum, nessa planificação, deverão ser

pintados com cores diferentes. Além disso, ao se montar o cubo, as faces opostas

deverão ter cores diferentes. De acordo com essas regras, qual o MENOR número de

cores necessárias para se pintar o cubo, a partir da planificação apresentada?

a) 2.

b) 3.

c) 4.

d) 5.

e) 6.

6. O gamão é um jogo de tabuleiro muito antigo, para dois oponentes, que combina a

sorte, em lances de dados, com estratégia, no movimento das peças. Pelas regras

adotadas, atualmente, no Brasil, o número total de casas que as peças de um jogador

podem avançar, numa dada jogada, é determinado pelo resultado do lançamento de

dois dados. Esse número é igual à soma dos valores obtidos nos dois dados, se esses

valores forem diferentes entre si; e é igual ao dobro da soma, se os valores obtidos

nos dois dados forem iguais. Supondo que os dados não sejam viciados, a

probabilidade de um jogador poder fazer suas peças andarem pelo menos oito casas

em uma jogada é

a) 1

3

b) 5

12

c) 17

36

d) 1

2

e) 19

36

7. Dois atiradores, André e Bruno, disparam simultaneamente sobre um alvo.

- A probabilidade de André acertar no alvo é de 80%.

- A probabilidade de Bruno acertar no alvo é de 60%.

Se os eventos “André acerta no alvo” e “Bruno acerta no alvo”, são independentes,

qual é a probabilidade de o alvo não ser atingido?

a) 8%

b) 16%

c) 18%

d) 30%

e) 92%

8. O sangue humano é classificado em quatro tipos: A, B, AB e O. Além disso, também

pode ser classificado pelo fator Rh em: Rh+ ou Rh–. As pessoas do tipo O com Rh–

são consideradas doadoras universais e as do tipo AB com Rh+ são receptoras

universais. Feita uma pesquisa sobre o tipo sanguíneo com 200 funcionários de uma

clínica de estética, o resultado foi exposto na tabela a seguir.

A B AB O

Rh+ 27 24 23 55

Rh– 15 13 13 30

Um desses 200 funcionários será sorteado para um tratamento de pele gratuito. A

probabilidade de que o sorteado seja doador universal é

a) 7,5%.

b) 10%.

c) 15%.

d) 17,5%.

e) 20%.

TEXTO PARA AS QUESTÕES 9 e 10:

Em um curso de computação, uma das atividades consiste em criar um jogo da

memória com as seis cartas mostradas a seguir.

Inicialmente, o programa embaralha as cartas e apresenta-as viradas para baixo. Em

seguida, o primeiro jogador vira duas cartas e tenta formar um par.

9. A probabilidade de que o primeiro jogador forme um par em sua primeira tentativa é

a) 1

.2

b) 1

.3

c) 1

.4

d) 1

.5

e) 1

.6

10. Suponha que o primeiro jogador tenha virado as duas cartas mostradas abaixo.

Como não foi feito par, o programa desvira as duas cartas e é a vez do segundo

jogador, que utiliza a seguinte estratégia: ele vira uma das quatro cartas que não foi

virada pelo primeiro jogador. Se a carta virada for um quadrado ou um triângulo, ele

certamente forma um par, pois sabe onde está a carta correspondente. Caso contrário,

ele vira uma das outras três cartas que ainda não foram viradas. A probabilidade de

que o segundo jogador forme um par usando a estratégia descrita é

a) 1

.2

b) 5

.8

c) 2

.3

d) 3

.4

e) 5

.6

11. Dispõe-se de cinco cores para colorir o retângulo que está dividido em quatro

outros retângulos menores, R1, R2, R3 e R4, de maneira que retângulos com um lado

comum não devem ser coloridos com a mesma cor. O número de modos diferentes de

colorir os quatro retângulos com apenas duas cores é

R1 R2

R3 R4

a) 8.

b) 12.

c) 15.

d) 18.

e) 20.

12. Em uma sorveteria há sorvetes nos sabores morango, chocolate, creme e flocos.

De quantas maneiras podemos montar uma casquinha com duas bolas nessa

sorveteria?

a) 10 maneiras

b) 9 maneiras

c) 8 maneiras

d) 7 maneiras

e) 6 maneiras

13. Um artesão de joias tem a sua disposição pedras brasileiras de três cores:

vermelhas, azuis e verdes.

Ele pretende produzir joias constituídas por uma liga metálica, a partir de um molde no

formato de um losango não quadrado com pedras nos seus vértices, de modo que

dois vértices consecutivos tenham sempre pedras de cores diferentes.

A figura ilustra uma joia, produzida por esse artesão, cujos vértices A, B, C e D

correspondem às posições ocupadas pelas pedras.

Com base nas informações fornecidas, quantas joias diferentes, nesse formato, o

artesão poderá obter?

a) 6

b) 12

c) 18

d) 24

e) 36

14. Uma loja acompanhou o número de compradores de dois produtos, A e B, durante

os meses de janeiro, fevereiro e março de 2012. Com isso, obteve este gráfico:

A loja sorteará um brinde entre os compradores do produto A e outro brinde entre os

compradores do produto B.

Qual a probabilidade de que os dois sorteados tenham feito suas compras em

fevereiro de 2012?

a) 1

20

b) 3

242

c) 5

22

d) 6

25

e) 7

15

15. Observe a figura abaixo.

Na figura, um triângulo equilátero está inscrito em um círculo, e um hexágono regular

está circunscrito ao mesmo círculo. Quando se lança um dardo aleatoriamente, ele

atinge o desenho.

A probabilidade de que o dardo não tenha atingido a região triangular é

a) 32,5%.

b) 40%.

c) 62,5%.

d) 75%.

e) 82,5%.

16. Em um blog de variedades, músicas, mantras e informações diversas, foram

postados “Contos de Halloween”. Após a leitura, os visitantes poderiam opinar,

assinalando suas reações em “Divertido”, “Assustador” ou “Chato”. Ao final de uma

semana, o blog registrou que 500 visitantes distintos acessaram esta postagem.

O gráfico a seguir apresenta o resultado da enquete.

O administrador do blog irá sortear um livro entre os visitantes que opinaram na

postagem “Contos de Halloween”.

Sabendo que nenhum visitante votou mais de uma vez, a probabilidade de uma

pessoa escolhida ao acaso entre as que opinaram ter assinalado que o conto “Contos

de Halloween” é “Chato” é mais aproximada por

a) 0,09.

b) 0,12.

c) 0,14.

d) 0,15.

e) 0,18.

17. Suponha que a distribuição das idades dos cadetes do 1º ano da Academia da

Força Aérea no ano de 2011 esteja representada pelo gráfico seguinte.

Com base nos dados registrados nesse gráfico, é correto afirmar que, escolhido um

aluno ao acaso, a probabilidade de ele ter 20 anos ou 21 anos é igual a

a) 20%

b) 25%

c) 30%

d) 35%

e) 40%

18.

O diagrama dado representa a cadeia alimentar simplificada de um determinado

ecossistema. As setas indicam a espécie de que a outra espécie se alimenta.

Atribuindo valor 1 quando uma espécie se alimenta de outra e zero, quando ocorre o

contrário, tem-se a seguinte tabela:

Urso Esquilo Inseto Planta

Urso 0 1 1 1

Esquilo 0 0 1 1

Inseto 0 0 0 1

Planta 0 0 0 0

A matriz ij 4x4A (a ) , associada à tabela, possui a seguinte lei de formação:

a) ij

0, se i ja

1, se i j

b) ij

0, se i ja

1, se i j

c) ij

0, se i ja

1, se i j

d) ij

0, se i ja

1, se i j

e) ij

0, se i ja

1, se i j

19. Uma indústria utiliza borracha, couro e tecido para fazer três modelos de sapatos.

A matriz Q fornece a quantidade de cada componente na fabricação dos modelos de

sapatos, enquanto a matriz C fornece o custo unitário, em reais, destes componentes.

A matriz V que fornece o custo final, em reais, dos três modelos de sapatos é dada

por:

a)

110

V 120

80

b)

90

V 100

60

c)

80

V 110

80

d)

120

V 110

100

e)

100

V 110

80

20. Dado um número real a, com a 1 , define-se a seguinte sequência de matrizes

quadradas:

3 22

3 22 4

1 2 3 3 22

3

a a a 1a a 1

a 1 0 a a aA 1 , A , A 0 a a , A , ...

0 a 0 0 a a0 0 a

0 0 0 a

Representando o determinante de uma matriz quadrada M por det(M), considere agora

a sequência numérica

1 2 3 4(det(A ), det(A ), det(A ), det(A ), ...) .

Essa sequência numérica

a) é uma progressão aritmética de razão 2.

b) é uma progressão aritmética de razão 2a .

c) é uma progressão geométrica de razão a.

d) é uma progressão geométrica de razão 2a .

e) não é uma progressão aritmética nem uma progressão geométrica.

21. Um aluno registrou as notas bimestrais de algumas de suas disciplinas numa

tabela. Ele observou que as entradas numéricas da tabela formavam uma matriz 4x4,

e que poderia calcular as medias anuais dessas disciplinas usando produto de

matrizes. Todas as provas possuíam o mesmo peso, e a tabela que ele conseguiu é

mostrada a seguir.

1º bimestre 2º bimestre 3º bimestre 4º bimestre

Matemática 5,9 6,2 4,5 5,5

Português 6,6 7,1 6,5 8,4

Geografia 8,6 6,8 7,8 9,0

História 6,2 5,6 5,9 7,7

Para obter essas médias, ele multiplicou a matriz obtida a partir da tabela por

a) 1 1 1 1

2 2 2 2

b) 1 1 1 1

4 4 4 4

c)

1

1

1

1

d)

1

2

1

2

1

2

1

2

e)

1

4

1

4

1

4

1

4

22. Uma metalúrgica produz parafusos para móveis de madeira em três tipos,

denominados soft, escareado e sextavado, que são vendidos em caixas grandes, com

2000 parafusos e pequenas, com 900, cada caixa contendo parafusos dos três tipos. A

tabela 1, a seguir, fornece a quantidade de parafusos de cada tipo contida em cada

caixa, grande ou pequena. A tabela 2 fornece a quantidade de caixas de cada tipo

produzida em cada mês do primeiro trimestre de um ano.

TABELA 1

Parafusos/caixa Pequena Grande

Soft 200 500

Escareado 400 800

Sextavado 300 700

TABELA 2

Caixas/mês JAN FEV MAR

Pequena 1500 2200 1300

Grande 1200 1500 1800

Associando as matrizes

200 5001500 2200 1300

A 400 800 e B1200 1500 1800

300 700

às tabelas 1 e 2, respectivamente, o produto AxB fornece

a) o número de caixas fabricadas no trimestre.

b) a produção do trimestre de um tipo de parafuso, em cada coluna.

c) a produção mensal de cada tipo de parafuso.

d) a produção total de parafusos por caixa.

e) a produção média de parafusos por caixa.

23. Uma das formas de se enviar uma mensagem secreta é por meio de códigos

matemáticos, seguindo os passos:

1) Tanto o destinatário quanto o remetente possuem uma matriz chave C;

2) O destinatário recebe do remetente uma matriz P, tal que MC = P, onde M é a

matriz mensagem a ser decodificada;

3) Cada número da matriz M corresponde a uma letra do alfabeto: 1 = a, 2 = b, 3 =

c,..., 23 = z;

4) Consideremos o alfabeto com 23 letras, excluindo as letras k, w e y;

5) O número zero corresponde ao ponto de exclamação;

6) A mensagem é lida, encontrando a matriz M, fazendo a correspondência

número/letra e ordenando as letras por linhas da matriz conforme segue:

m11m12m13m21m22m23m31m32m33

Considere as matrizes:

Com base nos conhecimentos e nas informações descritas, assinale a alternativa que

apresenta a mensagem que foi enviada por meio da matriz M.

a) Boasorte!

b) Boaprova!

c) Boatarde!

d) Ajudeme!

e) Socorro!

24. Nos processos de digitalização, imagens podem ser representadas por matrizes

cujos elementos são os algarismos 0 e 1.

Considere que a matriz linha L = (1 0 1 0 0 1) representa a figura P, onde 1 representa

"quadrinho" escuro e 0 representa "quadrinho" branco.

Seja X a matriz linha dada por X = LM, onde M é a matriz M = (mij) com

ij

1, se i j 7                                   

m

0, se i j 7, 1 i 6, 1 j 6

Dessa forma, a matriz X representa a figura da opção:

25. Uma pessoa cujos olhos estão a 1,80 m de altura em relação ao chão avista o topo

de um edifício segundo um ângulo de 30° com a horizontal. Percorrendo 80 m no

sentido de aproximação do edifício, esse ângulo passa a medir 60°. Usando o valor

1,73 para a raiz quadrada de 3, podemos concluir que a altura desse edifício é de

aproximadamente:

a) 59 m

b) 62 m

c) 65 m

d) 69 m

e) 71 m

26. Para colocar um objeto em movimento e deslocá-lo sobre uma trajetória retilínea

por x metros, é necessário aplicar uma força de 2 1 sen x0 0 newtons sobre ele.

Em qual dos gráficos abaixo, no intervalo 0,3 , está representada a relação entre a

força aplicada e a distância, quando o objeto é deslocado até 3 metros?

a)

b)

c)

d)

e)

27. Uma maneira muito útil de se criar belas figuras decorativas utilizando a

matemática é pelo processo de autossemelhança, uma forma de se criar fractais.

Informalmente, dizemos que uma figura é autossemelhante se partes dessa figura são

semelhantes à figura vista como um todo. Um exemplo clássico é o Carpete de

Sierpinski, criado por um processo recursivo, descrito a seguir:

- Passo 1: Considere um quadrado dividido em nove quadrados idênticos (Figura 1).

Inicia-se o processo removendo o quadrado central, restando 8 quadrados pretos

(Figura 2).

- Passo 2: Repete-se o processo com cada um dos quadrados restantes, ou seja,

divide-se cada um deles em 9 quadrados idênticos e remove-se o quadrado central de

cada um, restando apenas os quadrados pretos (Figura 3).

- Passo 3: Repete-se o passo 2.

Admita que esse processo seja executado 3 vezes, ou seja, divide-se cada um dos

quadrados pretos da Figura 3 em 9 quadrados idênticos e remove-se o quadrado

central de cada um deles.

O número de quadrados pretos restantes nesse momento é

a) 64.

b) 512.

c) 568.

d) 576.

e) 648.

28. Sobre uma superfície plana são dispostos palitos formando figuras, como

mostrado abaixo.

Contando os palitos de cada uma dessas figuras e denotando por an o número de

palitos da n-ésima figura, encontra-se: a1 = 3, a2 = 9, a3 = 18, ...

Então, a100 é igual a

a) 15150.

b) 15300.

c) 15430.

d) 15480.

e) 15510.

29. Fractal (do latim fractus, fração, quebrado) - objeto que pode ser dividido em

partes que possuem semelhança com o objeto inicial. A geometria fractal, criada no

século XX, estuda as propriedades e o comportamento dos fractais - objetos

geométricos formados por repetições de padrões similares.

O triângulo de Sierpinski, uma das formas elementares da geometria fractal, pode ser

obtido por meio dos seguintes passos:

1. comece com um triângulo equilátero (figura 1);

2. construa um triângulo em que cada lado tenha a metade do tamanho do lado do

triângulo anterior e faça três cópias;

3. posicione essas cópias de maneira que cada triângulo tenha um vértice comum com

um dos vértices de cada um dos outros dois triângulos, conforme ilustra a figura 2;

4. repita sucessivamente os passos 2 e 3 para cada cópia dos triângulos obtidos no

passo 3 (figura 3).

De acordo com o procedimento descrito, a figura 4 da sequência apresentada acima é

a)

b)

c)

d)

e)

30. Em um surto epidêmico ocorrido em certa cidade com cerca de 10.000 habitantes,

cada indivíduo infectado contaminava 10 outros indivíduos no período de uma

semana. Supondo-se que a epidemia tenha prosseguido nesse ritmo, a partir da

contaminação do primeiro indivíduo, pode-se estimar que toda a população dessa

cidade ficou contaminada em, aproximadamente:

a) 28 dias

b) 35 dias

c) 42 dias

d) 49 dias

e) 56 dias

31. Uma indústria tem um reservatório de água com capacidade para 900 m3. Quando

há necessidade de limpeza do reservatório, toda a água precisa ser escoada. O

escoamento da água é feito por seis ralos, e dura 6 horas quando o reservatório está

cheio. Esta indústria construirá um novo reservatório, com capacidade de 500 m3, cujo

escoamento da água deverá ser realizado em 4 horas, quando o reservatório estiver

cheio. Os ralos utilizados no novo reservatório deverão ser idênticos aos do já

existente.

A quantidade de ralos do novo reservatório deverá ser igual a

a) 2.

b) 4.

c) 5.

d) 8.

e) 9.

32. Estudos revelam que, independentemente de etnia, idade e condição social, as

pessoas têm padrões estéticos comuns de beleza facial e que as faces consideradas

bonitas apresentam-se em proporção áurea. A proporção áurea é a constante

1,618...Φ Uma agência de modelos reconhece a informação citada e utiliza-a como

critério de beleza facial de suas contratadas. Para entrevistar uma nova candidata a

modelo, a referida agência pede uma fotografia de rosto no ato da inscrição e, com

ela, determina as medidas mostradas na figura.

M M

M M

1 3

3 5Φ

CONTADOR, P. R. M. A matemática na arte e na vida. São Paulo: Livraria da Física, 2007 (adaptado).

IV e V, para a seleção de uma única garota, foram constatadas estas medidas:

- Candidata I: M1 = 11 cm; M2 = 5,5 cm e M3 = 7 cm.

- Candidata II: M1 = 10,5 cm; M2 = 4,5 cm e M3 = 6,5 cm.

- Candidata III: M1 = 11,5 cm; M2 = 3,5 cm e M3 = 6,5 cm.

- Candidata IV: M1 = 10 cm; M2 = 4 cm e M3 = 6,5 cm.

- Candidata V: M1 = 10,5 cm; M2 = 4 cm e M3 = 6,5 cm.

A candidata selecionada pela agência de modelos, segundo os critérios da proporção

áurea, foi

a) I.

b) II.

c) III.

d) IV.

e) V.