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P U C R S

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL

FACULDADE DE ENGENHARIA

CURSO DE ENGENHARIA CIVIL

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS

(MECÂNICA DOS SÓLIDOS)

Prof. Almir Schäffer

PORTO ALEGRE

JULHO DE 2007

1

PUCRS - FENG Resistência dos Materiais – Prof. Almir Schäffer

Aula 1t – Mar/2007

ISOSTÁTICA

1- Graus de liberdade

Grau de liberdade de um corpo é todo o movimento rígido possível e

independente do corpo.

Rígido, é o movimento que ocorre sem que se alterem as distâncias entre os

pontos do corpo.

Possível, é todo o movimento permitido pelas ligações do corpo.

Independente, é todo o movimento que não depende dos demais

movimentos do corpo.

Exemplos:

Um ponto livre num plano (Fig. 1a) tem dois movimentos possíveis e

independentes: as duas translações, δx e δy. O ponto pode transladar na direção X

sem transladar na direção Y e vice-versa, o que significa que estas duas translações

são independentes. Qualquer outra translação δ do ponto, no plano em questão, é

conseqüência das duas anteriores, isto é, resulta da composição das duas

anteriores.

X

Y

X

Y

Z

a) b)

δ

δX

δY

AA

A'

FIGURA 1

2

Então, um ponto livre num plano, tem dois graus de liberdade:

• 2 translações (δx e δy).

Um ponto livre no espaço (Fig. 1b) tem três graus de liberdade:

• 3 translações (δx, δy e δz).

Uma placa livre num plano (por exemplo, um apagador livre no plano do

quadro) (Fig. 2a) tem três movimentos rígidos, possíveis e independentes: as duas

translações, δx e δy, e uma rotação ϕ.

Então, uma placa livre num plano tem três graus de liberdade:

• 2 translações (δx e δy); e

• 1 rotação (ϕ).

A

A'

X

YX

Y

Z

a) b)

δ

δX

δY

ϕ

r

FIGURA 2

Um corpo livre no espaço tem seis graus de liberdade:

• 3 translações (δx δy e δz); e

• 3 rotações (ϕx, ϕy e ϕz).

Uma reta livre no espaço (Fig. 2b) tem cinco graus de liberdade:

• 3 translações (δx δy e δz); e

• 2 rotações (ϕy e ϕz).

2- Vínculos

Vínculos são dispositivos materiais usados para suprimir (retirar) graus de

liberdade dos corpos.

3

Os vínculos só podem transmitir forças de um corpo para um meio externo

ao corpo nas direções dos movimentos impedidos. Nas direções dos movimentos

permitidos pelo vínculo nenhuma força é transmitida.

Os vínculos podem ser classificados em:

• planos; e

• espaciais.

Os vínculos planos são usados para suprimir graus de liberdade dos corpos

num plano, e os espaciais, no espaço.

Os vínculos planos podem ser classificados de acordo com o número de

graus de liberdade (g. de l.) que suprimem dos corpos, em:

• vínculos de 1ª classe (apoio simples): suprimem 1 g. de l. do corpo

• vínculos de 2ª classe (rótula): suprimem 2 g. de l. do corpo

• vínculos de 3ª classe (engaste): suprimem 3 g. de l. do corpo

Na figura seguinte (Fig. 3) constam os símbolos usados para representar os

vínculos planos bem como as direções das forças que podem ser transmitidas pelos

mesmos.

1 classea 2 classea 3 classea

FIGURA 3

4

Os vínculos espaciais podem ser classificados de acordo com o número de

graus de liberdade (g. de l.) que suprimem dos corpos, em:

• vínculos de 1ª classe: suprimem 1 g. de l. do corpo

• ...

• vínculos de 6ª classe: suprimem 6 g. de l. do corpo

Exemplo:

As dobradiças das portas de uma casa constituem vínculos de 5ª classe.

3- Forças

3.1- Deslizamento de forças

As forças são vetores deslizantes, isto é, podem ser deslocadas livremente

de um ponto para outro de seus suportes, sem alterar os efeitos mecânicos que

produzem (acelerações de um corpo e forças em vínculos, por exemplo).

O deslocamento de uma força ao longo de seu suporte é chamado de

deslizamento da força (Fig. 4).

FA BF s

FIGURA 4

3.2- Translação de forças

O deslocamento de uma força perpendicularmente ao seu suporte é

chamado de translação da força.

Para transladar uma força F de um ponto A para outro B (Fig. 5a), sem

alterar seus efeitos mecânicos, procede-se como segue:

5

a) em B, acrescentam-se duas forças (Fig. 5b): uma igual à F e outra igual e oposta

a F. A inclusão destas duas forças não altera em nada os efeitos mecânicos da

força F aplicada em A porque elas formam um sistema de forças equivalente à

zero;

b) a força F aplicada em A e a –F aplicada em B (Fig. 5b) formam um par de forças,

que pode ser substituído pelo seu momento M=f.b (Fig. 5c), restando a força F

aplicada em B.

a)

A

B

b

F

b)

A

B

F

F F

c)

BF

s

M=F.b

FIGURA 5

Portanto, para transladar uma força de um ponto para outro, translada-se a

força e acrescenta-se o momento (M=F.b) que resulta da translação.

4- Elementos de redução de um sistema de forças

Seja um sistema de forças F1, F2, ... Fn aplicado a um corpo (Fig. 6a).

a) b)

d)c)

F1

F2 ...

Fn

G

F2

Fn

G

F1

M1

M2

Mn

...

G

R

MG R

F1

F2

...

FIGURA 6

6

Para simplificar o estudo dos efeitos mecânicos produzidos por este sistema

de forças, procede-se como segue:

a) escolhe-se um ponto G qualquer e translada-se para o mesmo todas as forças Fi

do sistema (Fig. 6b), não esquecendo de acrescentar os momentos Mi que

resultam das translações;

b) o sistema de forças Fi, concorrentes em G, pode ser substituído pela resultante R

do mesmo e o sistema de momentos Mi pelo seu momento resultante MG

(Fig. 6c).

A resultante R e o momento resultante MG são dados pelas duas seguintes

expressões vetoriais:

∑= iFRrr (1)

∑= iG MMrr (2)

A resultante R e o momento resultante MG são chamados elementos de

redução do sistema de forças no ponto G.

Estes elementos de redução são mecanicamente equivalentes ao sistema

de forças inicial F (Fig. 6a) e, portanto, podem substituir o mesmo.

5- Condições de equilíbrio de um sistema de forças

Um sistema de forças (Fig. 6a) está em equilíbrio quando a resultante R e o

momento resultante MG do sistema, em relação a qualquer pólo G, forem nulos, isto

é, quando:

0FR i ==∑rr

(3)

0MM iG ==∑rr

(4)

As duas expressões anteriores são as expressões vetoriais das condições

de equilíbrio.

7

Chamando de RX, RY e RZ as componentes da resultante R nas direções dos

eixos de referência (Fig. 7a), a equação (3) implica em:

0RX = (5.1)

0RY = (5.2)

0RZ = (5.3)

Chamando de MX, MY e MZ as componentes do momento resultante MG nas

direções dos eixos de referência (Fig.7a), a equação (4) implica em:

0MX = (6.1)

0MY = (6.2)

0MZ = (6.3)

X

Y

Z

a)

X

Yb)

FIGURA 7

As expressões (5) e (6) são as expressões analíticas das condições de

equilíbrio.

São três condições de equilíbrio à translação e três condições de equilíbrio à

rotação. Uma condição de equilíbrio para cada grau de liberdade do corpo.

No caso particular de todas as forças estarem contidas num mesmo plano

(Fig. 7b), das expressões anteriores subsistem as seguintes:

0RX = (5.1)

0RY = (5.2)

0MZ = (6.3)

8


Aula 2t – Mai/2007

6- Centros de gravidade

6.1- Definição

O centro de gravidade de um corpo é um ponto G tal que se o corpo for

suspenso por um fio, preso neste ponto, o corpo permanecerá em equilíbrio na

posição em que se encontrava (Fig. 1).

X

Y

Z

O

G

FioPlaca (deitada

no plano XY)

FIGURA 1

6.2- Propriedades dos centros de gravidade

6.2.1- Eixos de simetria

Considere-se uma placa deitada no plano horizontal XY, com um eixo de

simetria Y’ (Fig. 2)

Se esta placa for apoiada sobre um vínculo disposto ao longo do eixo de

simetria Y’, ela permanecerá em equilíbrio na posição horizontal. Isto significa que o

centro de gravidade G da placa está localizado sobre o eixo de simetria Y’, porque,

se G estivesse à direita de Y’, o peso da placa a faria girar em torno de Y’ no sentido

9

horário e se estivesse à esquerda de Y’, a faria girar no sentido anti-horário. Como a

placa fica em equilíbrio, o ponto G tem que estar sobre Y’.

X

Y

Z

O

Y'

G

Placa no plano XY

FIGURA 2

Conclui-se daí que, “se um corpo tiver um eixo de simetria, seu centro de

gravidade está sobre este eixo”.

6.2.2- Centros de simetria

Considere-se agora uma placa com um centro de simetria (=interseção de

dois eixos de simetria), com as mostradas na figura seguinte (Fig. 3).

X

Y

X

Y

X

Y

G G G

FIGURA 3

Sendo o eixo X um eixo de simetria, o centro de gravidade da placa deve

estar sobre X; sendo o eixo Y também um eixo de simetria, o centro de gravidade

também deve estar sobre Y. Como G deve estar localizado sobre X e sobre Y

10

simultaneamente, só pode estar localizado na intersecção destes dois eixos, isto é,

no centro de simetria.

Conclui-se daí que, “se um corpo tiver um centro de simetria, seu centro de

gravidade está neste ponto”.

Esta propriedade dos centros de gravidade permite localizá-los

imediatamente num grande número de casos simples, como, por exemplo, no caso

do retângulo, no caso do círculo, etc.

6.3- Coordenadas do centro de gravidade

6.3.1- Sólidos

Considere-se uma placa, com um eixo de simetria Y’, deitada no plano

horizontal XY (Fig. 4).

Sendo Y’ um eixo de simetria, o centro de gravidade G da placa está sobre

este eixo. Seja determinar então a ordenada yg deste ponto. Isto pode ser feito

facilmente a partir da consideração de que a placa suspensa por um fio preso em G

permanece em equilíbrio.

X

Y

Z

O

Fio

G

G1

G2

Y'

A1

A2

P1

P2

R

y1yg

y2

FIGURA 4

11

Para analisar o equilíbrio da placa convém dividi-la em duas partes

retangulares de pesos P1 e P2 (Fig. 4). Estes pesos são aplicados nos centros de

gravidade G1 e G2 das partes retangulares respectivas.

Seja R a reação do vínculo que prende o fio.

As forças que atuam sobre a placa são, portanto, R, P1 e P2.

As condições de equilíbrio da estática fornecem:

a) ( )∑ +↑= 0V

0PPR 21 =−−

donde

21 PPR += (1)

b) ( )∑ +→= 0MX

0y.Py.Pyg.R 2211 =−−

donde

R

y.Py.Pyg 2211 +

=

Substituindo R dado pela equação (1) na equação anterior, resulta

21

2211

PP

y.Py.Pyg

+

+=

ou, simplesmente:

∑∑=

i

ii

P

y.Pyg (2)

Esta equação permite calcular a coordenada yg do centro de gravidade da

placa.

A coordenada xg do centro de gravidade da placa é dada por uma equação

semelhante à equação (2), bastando trocar nesta y por x.

12

A equação (2) foi deduzida para o caso da placa (Fig. 4) ser dividida em

duas partes. Esta equação, no entanto, vale para a placa dividida num número

qualquer de partes.

6.3.2- Áreas planas

Em muitos problemas práticos, o corpo do qual se deseja determinar a

posição do centro de gravidade, tem uma medida (a espessura) muito pequena

quando comparada com as demais, como é o caso das placas. Nestes casos, se a

espessura da placa for constante, ela pode ser representada por seu plano médio;

se além disto o material for homogêneo, a densidade superficial µ da placa será

constante. Neste caso, chamando de A1 e A2 as áreas das partes da placa de

pesos P1 e P2 (Fig. 4), tem-se:

11 A.P µ= (3.1)

22 A.P µ= (3.2)

Substituindo P1 e P2 dados pelas equações (3) na equação (2), resulta

∑∑=

i

ii

A

y.Ayg (4)

Esta equação, de aplicação mais simples que a (2), por não exigir o

conhecimento do peso da placa, também permite calcular a coordenada yg do

centro de gravidade da placa.

O centro de gravidade da placa, por extensão, é chamado também de centro

de gravidade da área (correspondente ao plano médio da placa).

6.3.3- Linhas planas

Em outros problemas práticos, o corpo do qual se deseja determinar a

posição do centro de gravidade, tem uma medida (o comprimento) predominando

sobre as demais, como é o caso das barras e dos fios. Nestes casos, se a seção da

barra for constante, ela pode ser representada por uma linha (por seu eixo); se além

disto o material for homogêneo, a densidade linear λ da barra será constante. Neste

13

caso, chamando de L1 e L2 os comprimentos das partes da barra de pesos P1 e P2

(Fig. 5), tem-se:

11 L.P λ= (5.1)

22 L.P λ= (5.2)

X

Y

Z

O

Fio

G

G1

G2

P1

P2

R

L1

L2

FIGURA 4


∑∑=

i

ii

L

y.Lyg (6)


conhecimento do peso da barra, também permite calcular a coordenada yg do centro

de gravidade da barra.

O centro de gravidade da barra, por extensão, é chamado também de centro

de gravidade da linha (correspondente ao eixo da barra).

14

6.3.4- Volumes

Quando não é possível representar um sólido por linhas (eixos de barras) ou

por áreas (superfícies médias de placas) ainda resta a possibilidade de simplificar o

calculo usando volumes. Se o material do sólido for homogêneo, sua densidade γ

será constante. Neste caso, chamando de V1 e V2 os volumes das partes do sólido

de pesos P1 e P2, tem-se:

11 V.P γ= (7.1)

22 V.P γ= (7.2)


∑∑=

i

ii

V

y.Vyg (8)


conhecimento do peso do sólido, também permite calcular a coordenada yg do

centro de gravidade do mesmo.

O centro de gravidade do sólido, por extensão, é chamado também de

centro de gravidade do volume (correspondente ao sólido).

15



7- Barras

As partes resistentes das construções são formadas por barras, placas,

cascas, blocos, etc.

A Resistência dos Materiais estuda as barras.

Barras são peças onde uma das dimensões, o comprimento (l), predomina

sobre as demais (Fig. 1).

la

b

S (seção transversal)

EixoG (c. de g. da seção)

FIGURA 1

Como, nas barras, l >> a e b, pode-se representá-las, de modo simplificado,

apenas pelos seus eixos.

Qualquer corte perpendicular ao eixo da barra é chamado de seção

transversal da barra (Fig. 1).

As seções transversais das barras podem ter as mais diversas formas, como

as mostradas na figura seguinte (Fig. 2) e outras.

Ao longo do comprimento das barras as seções transversais podem ser

constantes ou variáveis. Se forem variáveis, podem variar a área, a forma ou ambas.

16

FIGURA 2

O eixo de uma barra é o lugar geométrico das posições dos centros de

gravidade G das seções transversais das barras (Fig. 1).

Os eixos das barras podem ser retos ou curvos. Se forem curvos, a

curvatura deverá ser pequena.

Barras de eixo reto e seção constante são chamadas barras prismáticas.

As barras, conforme a posição que ocupam nas construções, recebem os

mais diferentes nomes, como, por exemplo: viga, pilar, eixo, biela, tirante, cabo, etc.

8- Esforços solicitantes

Considere-se uma barra carregada com um sistema equilibrado de forças F

(Fig. 3).

Se o sistema de forças F é um sistema equilibrado, então:

0FR i ==∑rr

(1)

0MM iG ==∑rr

(2)

17

F1

F3

F4

F2

G

FIGURA 3

Considere-se em seguida uma seção S qualquer da barra (Fig. 4), dividindo

o sistema de forças F em dois sistemas parciais: O sistema 1, formado pelas forças

aplicadas no pedaço 1 da barra, e o sistema 2, formado pelas forças aplicadas no

pedaço 2.

21

S

F1

F3

F4

F2

G

R1

R2

M1 M2

FIGURA 4

Sejam R1 e M1 os elementos de redução do sistema 1, no centro de

gravidade G da seção S, e R2 e M2 os elementos de redução do sistema 2.

A resultante R do sistema global de forças pode ser obtida efetuando-se a

soma vetorial das forças F de uma só vez, como se mostra na equação (1). Também

é possível somar primeiro a forças do sistema 1 obtendo a resultante R1, depois

18

somar as forças do sistema 2 obtendo a resultante R2 e então somar R1 e R2.

Procedendo assim, a equação (1) fornece

0RRR 21 =+=rrr

donde

21 RRrr

−= (3)

Esta equação nos permite concluir que R1 e R2 são iguais e opostas.

Da mesma forma a equação (2) fornece

0MMM 21G =+=rrr

donde

21 MMrr

−= (4)

Esta equação nos permite concluir que M1 e M2 são iguais e opostos.

As duas forças (R1, R2) iguais e opostas, e os dois momentos (M1, M2)

iguais e opostos, elementos de redução dos sistemas parciais 1 e 2 das forças

externas aplicadas à barra, são chamados de esforços solicitantes na seção S.

Os esforços solicitantes são calculados sempre nos centros de gravidade

das seções.

Para calcular os esforços solicitantes (R1, R2) e (M1, M2) numa seção,

basta calcular uma das forças (ou R1 ou R2) e um dos momentos (ou M1 ou M2),

pelo fato destas forças e destes momentos serem sempre iguais e opostos.

9- Esforços solicitantes simples

Para facilitar o estudo posterior da barra, as forças e os momentos dos

esforços solicitantes (R1, R2) e (M1, M2) são decompostos como se mostra na

figura seguinte (Fig. 5).

19

21

S

F1

F3

F4

F2

G

R1

R2

N1 N2

Q2

Q1

M1 M2

FIGURA 5

Desta decomposição resultam os seguintes esforços solicitantes simples:

a) Esforço normal

As duas forças (N1, N2), iguais e opostas, normais (= perpendiculares) à

seção, constituem um esforço chamado esforço normal (Fig. 6).

21

S

GN1 N2

FIGURA 6

Cada uma das forças do esforço (N1, N2) é chamada força normal.

O esforço normal pode ser de tração (quando as forças N1 e N2 estão

orientadas para fora da seção) ou de compressão (quando estão orientadas de

encontro da seção).

20

O esforço normal de tração é convencionado positivo (+) e o de compressão

negativo (-).

O esforço normal de tração produz um alongamento, numa fatia de barra

junto à seção considerada; o esforço de compressão produz um encurtamento.

b) Esforço cortante

As duas forças (Q1, Q2), iguais e opostas, paralelas à seção, constituem um

esforço chamado esforço cortante (Fig. 7).

21

S

G

Q2

Q1

FIGURA 7

Cada uma das forças do esforço (Q1, Q2) é chamada força cortante.

O esforço cortante é convencionado positivo (+) quando o par de forças

(Q1, Q2) gira no sentido horário; negativo (-) no caso contrário.

O esforço cortante produz uma distorção, numa fatia de barra junto à seção

considerada.

21

c) Esforço de flexão

Os dois momentos (M1, M2), iguais e opostos, que atuam em planos

perpendiculares à seção, constituem um esforço chamado esforço de flexão (Fig. 8).

21

S

G

M1 M2

FIGURA 8

Cada um dos momentos do esforço (M1, M2) é chamado momento fletor ou

momento de flexão.

O esforço de flexão, numa fatia de barra junto à seção considerada, produz

alongamentos no lado de baixo da barra e encurtamentos no lado de cima; logo, o

esforço de flexão, traciona um lado da barra e comprime o outro.

O esforço de flexão é convencionado positivo (+) quando traciona o lado de

baixo da barra e comprime o lado de cima; negativo (-) no caso contrário.

22

d) Esforço de torção

Este esforço só ocorre em estruturas espaciais (Fig. 9).

Os dois momentos (T1, T2), iguais e opostos, que atuam paralelamente à

seção, constituem um esforço chamado esforço de torção.

S

T1 T2

FIGURA 9

Cada um dos momentos do esforço (T1, T2) é chamado momento torsor ou

momento de torção.

O esforço de torção produz uma torção, numa fatia de barra junto à seção

considerada.

O esforço de torção é convencionado positivo (+) quando os vetores T1 e T2

estão orientados para fora da seção (como no caso do esforço normal); negativo (-)

no caso contrário.

23


Aula 4t – Jul/2007

10- Diagramas de esforços solicitantes

24



RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS

I - INTRODUÇÃO

1- Conceito

A Resistência dos Materiais é a ciência que estuda a resistência e as

deformações das partes resistentes das construções, determinando dimensões

seguras para as mesmas.

Por determinar dimensões seguras entende-se determinar dimensões tais

que a possibilidade de ruptura de uma destas partes esteja suficientemente

afastada.

2- Hipóteses sobre os materiais

Para facilitar o tratamento matemático dos problemas da Resistência dos

Materiais, são feitas algumas hipóteses simplificativas sobre os materiais. Os

resultados obtidos com estas hipóteses são suficientemente próximos daqueles

verificados experimentalmente, de modo que estas hipóteses são plenamente

justificáveis. Assim, os materiais são considerados:

a) homogêneos;

b) isótropos;

c) elásticos; e

d) seguindo a lei de Hooke.

Materiais homogêneos são aqueles que apresentam as mesmas

propriedades mecânicas em todos os pontos.

Exemplos de materiais homogêneos: metais em geral, madeira, e até

mesmo o concreto.

Materiais que não apresentam as mesmas propriedades em todos os pontos

são chamados heterogêneos.

25

Materiais isótropos são aqueles que apresentam as mesmas propriedades

mecânicas em todas as direções.

Exemplos de materiais isótropos: metais em geral e concreto.

Materiais que apresentam propriedades diferentes em direções diferentes

são chamados anisótropos.

Exemplo de material anisótropo: madeira.

Materiais elásticos são aqueles que recuperam a forma inicial quando são

retiradas as cargas que os deformaram. Para cargas suficientemente pequenas,

praticamente todos os materiais se comportam como elásticos; para cargas maiores

alguns materiais podem apresentar um comportamento plástico.

A lei de Hooke será apresentada mais adiante. Pode-se adiantar que, para

cargas suficientemente pequenas, praticamente todos os materiais seguem esta lei.

II - TRAÇÃO OU COMPRESSÃO SIMPLES

1- Esforço normal

Seja uma barra prismática, na qual são aplicas forças axiais P como se

mostra na figura seguinte.

l

21

S

N NP P

z

FIGURA 1

O esforço normal, numa seção genérica desta barra, vale:

PN = (1)

26

Este esforço não varia com a abcissa z da seção, e portanto, é constante ao

longo do comprimento da barra.

2- Tensão normal

A força N, citada isoladamente, fornece uma informação pouco precisa sobre

a solicitação do material na seção S, porque, nesta informação, não está incluída a

área A da seção sobre a qual a força N atua. Para se ter uma idéia mais precisa da

solicitação do material na seção S deve-se formar o quociente N/A que é chamado

tensão normal e representado pela letra grega σ (sigma).

A

N=σ (2.1)

No problema em questão, tendo em vista a equação (1), a equação (2.1)

fornece:

A

P=σ (2.2)

As tensões são medidas em unidades de força por unidade de área, isto é:

[ ]22 m

Nou

cm

kgf=σ (3)

A tensão σ representa a ação do material que está de um lado da seção S

sobre o que está do outro lado, por unidade de área (Fig. 2).

21

S

P P

2

P

S

σ

σ σ FIGURA 2

27

A tensão normal pode ser de tração ou de compressão, conforme a força

normal.

As tensões de tração são convencionadas positivas e as de compressão

negativas.

3- Deformações

Ensaiando barras prismáticas de diferentes tipos de materiais, à tração e à

compressão, um cientista inglês chamado Robert Hooke (1635-1703), notou que as

deformações ∆l destas barras eram diretamente proporcionais à carga P aplicada às

barras, diretamente proporcionais ao comprimento l das barras e inversamente

proporcionais à área A da seção transversal e a uma constante E que dependia do

material da barra (Fig. 3), isto é:

A.E

.P ll =∆ (4)

A constante E, que depende do material da barra, é chamada módulo de

elasticidade longitudinal do material.

l

P P

∆ l

FIGURA 3

A deformação ∆l pode ser um alongamento ou um encurtamento da barra,

conforme a força normal.

Os alongamentos são convencionados positivos e os encurtamentos

negativos.

28

A deformação ∆l de uma barra é influenciada pelo comprimento l da

mesma. Pode-se ter uma idéia mais precisa da deformação do material numa barra

formando o quociente ∆l/l que é chamado deformação específica ou deformação

unitária e representado pela letra grega ε (épsilon).

l

l∆=ε (5)

As deformações específicas resultam do quociente de dois comprimentos, e

portanto, não tem unidades; são grandezas adimensionais.

A deformação específica ε representa a deformação de uma barra por

unidade de comprimento da mesma.

4- Lei de Hooke

Dividindo ambos os membros da equação (4) por l, resulta:

A.

P.

E

1=

∆l

l

Substituindo na equação anterior ∆l/l por ε, P/A por σ e reordenando os

fatores, resulta:

ε=σ .E (6)

Esta é a expressão matemática da lei de Hooke, segundo a qual, as tensões

são proporcionais às deformações.

5- Tensão de segurança de um material

No ensaio de tração de um material, uma barra deste material é submetida a

um esforço de tração que cresce gradativamente de zero até a barra se romper. A

tensão no material, no instante da ruptura, é chamada tensão de ruptura do material.

29

Chama-se tensão de segurança de um material, e representa-se por σ , a

uma fração (1/2 ou 1/3, por exemplo) da tensão de ruptura do material. Considera-se

a possibilidade de ruptura do material suficientemente afastada enquanto a tensão

no material não ultrapassar a tensão de segurança do mesmo.

A tensão de segurança de um material é chamada também tensão máxima

admissível do material, e é representada por σmax adm.

Na tabela seguinte são apresentados os valores das tensões de segurança

(à tração e à compressão) de alguns materiais de uso freqüente.

Tabela 1 – Tensões de segurança (kgf/cm2)

Material tσ cσ

Aço comum 1400 1400

Madeira de pinho 50 50

Concreto 10 * 100

*) zero se o concreto estiver fissurado.

6- Condição de segurança de uma barra

Uma barra é considerada em boas condições de segurança enquanto a

tensão máxima na mesma não ultrapassar a tensão de segurança do material da

barra. A condição de segurança é, portanto

matmax σ≤σ (7)

30


Aula 6t – Abr/2007

7- Classificação dos materiais

Os materiais usados nas estruturas, de acordo com a deformação que

apresentam por ocasião da ruptura, são classificados em:

a) frágeis; e

b) dúcteis.

Os materiais frágeis são aqueles que se deformam pouco antes de se

romperem.

Exemplos de materiais frágeis: vidro, concreto, ferro fundido, etc.

Os materiais dúcteis são aqueles que se deformam muito antes de se

romperem.

Exemplos de materiais dúcteis: aço, cobre, alumínio, etc.

O uso de materiais dúcteis nas estruturas é altamente recomendável, porque

estes materiais, pelas grandes deformações que apresentam por ocasião da ruptura,

de certa forma, avisam que a resistência da estrutura está por se esgotar e

propiciam o tempo necessário para tomar as providências cabíveis.

O uso de materiais frágeis, ao contrário, não é recomendável. Estes

materiais dão origem a rupturas bruscas, rupturas traiçoeiras, contra as quais,

geralmente, nada se pode fazer.

8- Ensaio de compressão do concreto.

O concreto é uma mistura de cimento, areia, brita e água. O traço (proporção

dos materiais) de um concreto varia de acordo com a resistência desejada.

Para se ter uma idéia, um traço razoável para um concreto é: 1 volume de

cimento: 2 volumes de areia: 3 volumes de brita: e água de acordo com a

necessidade.

31

Para ensaiar um concreto à compressão, usa-se um corpo de prova

(amostra do concreto) cilíndrico com 15 cm de diâmetro e 30 cm de altura (Fig. 1a).

O ensaio é realizado quando o concreto atinge 28 dias de idade. Nesta

ocasião o corpo de prova é colocado entre os pratos de uma prensa (Fig. 1b) e

comprimido por uma força P que cresce gradativamente de zero até se romper o

corpo de prova. A força P máxima observada neste ensaio é chamada força de

ruptura (P rup) do corpo de prova.

l

∆ l

P

P

30 cm

15 cm

S

Molde

CP CP

Prato

σ=P/A

a) b)

FIGURA 1

As forças P aplicadas ao corpo de prova e os encurtamentos ∆l

correspondentes (Fig. 1b) são obtidos da prensa, a cada instante, durante a

realização do ensaio. Dividindo as forças P pela área A da seção obtém-se as

tensões de compressão σ que atuam na seção, e dividindo os encurtamentos ∆l

pelo comprimento inicial do corpo de prova obtém-se os encurtamentos específicos ε

correspondentes. Com estes valores de σ e ε pode-se traçar um diagrama σ-ε

chamado diagrama tensão-deformação do material. No caso do concreto, este

diagrama apresenta-se como na figura seguinte.

32

O

A

Bσ

σ

σ

ε

p

r

σ =E.ε

FIGURA 2

Neste diagrama observa-se um trecho inicial OA retilíneo, que corresponde à

fase elástica do material. A reta OA representa a lei de Hooke.

A tensão σp até a qual um material segue a lei de Hooke é chamada tensão

limite de proporcionalidade do material.

No trecho seguinte (trecho AB do diagrama) não vale mais a lei de Hooke.

A maior tensão observada no ensaio é chamada tensão de ruptura σr do

material.

No caso de materiais frágeis, como é o caso do concreto, a tensão de

segurança σ do material é obtida dividindo-se a tensão de ruptura do material por

um coeficiente de segurança n, isto é,

nrσ

=σ (1)

Esta tensão de segurança é uma tensão que não deverá ser ultrapassada

em nenhum ponto de uma estrutura.

33

O coeficiente de segurança n é um número sempre maior que a unidade. O

valor deste coeficiente é fixado pelas normas para o cálculo de estruturas. Para o

caso do concreto, n = 3 a 4.

A resistência dos concretos à tração é muito pequena; cerca de 10% do que

resistem à compressão. Em geral as normas não permitem que se conte com esta

resistência à tração dos concretos pelo fato dela ser incerta.

9- Ensaio de tração do aço

Para ensaiar o aço à tração, corta-se, da barra de aço, uma pequena

amostra da mesma. Esta amostra é levada para uma máquina de ensaio onde suas

extremidades são presas por garras da máquina (Fig. 3a), com a qual se aplica ao

corpo de prova uma força P que cresce gradativamente de zero até se romper o

corpo de prova.

P

l

∆l

P

σ=P/A

S

O

A

Dσ

σ

σ

ε

p

r

σ =E.ε

a) b)

σ e B C

FIGURA 3

O diagrama tensão-deformação que se obtém (Fig. 3b) apresenta um trecho

inicial OA retilíneo, correspondente à fase elástica do material, onde o mesmo segue

a lei de Hooke. A tensão σp é a tensão limite de proporcionalidade do material.

Em seguida, no trecho AB, o diagrama encurva-se levemente para a direita.

A tensão σe correspondente ao ponto B é chamada tensão de escoamento do

material.

34

Quando a tensão de escoamento é atingida, o corpo de prova começa a se

alongar sob tensão aproximadamente constante, até se atingir o alongamento

correspondente ao ponto C. O trecho BC do diagrama corresponde à chamada fase

do escoamento do material. As deformações que ocorrem nesta fase são

deformações permanentes, isto é, não desaparecem mais com a retirada da força P.

O trecho CD do diagrama corresponde à fase da ruptura. A maior tensão

atingida nesta fase é chamada tensão de ruptura σr do material.

No caso de materiais dúcteis, como é o caso do aço comum, a tensão de

segurança σ do material é fixada não em função da tensão de ruptura, como se faz

no caso de materiais frágeis, mas sim em função da tensão de escoamento, isto é,

neσ

=σ (2)

No caso do aço, em geral n = 2.

O diagrama tensão deformação dos aços na compressão, para fins práticos,

é considerado simétrico do obtido no ensaio de tração.

35



10- Tubos de paredes finas

São freqüentes, na engenharia, problemas envolvendo tubos contendo um

gás ou líquido sob pressão. Nas paredes destes tubos surgem tensões de tração

que podem produzir a ruptura dos mesmos. No que segue propõem-se estudar estas

tensões de tração.

Problemas de verificação ou de dimensionamento de tubos contendo um gás

ou um líquido sob pressão aparecem, por exemplo, no projeto de canalizações de

água de edifícios, no projeto de tubos de equipamentos hidráulicos e no projeto de

reservatórios cilíndricos para gás.

Na figura seguinte (Fig. 1) representa-se a seção transversal de um destes

tubos.

dm

di de

t

t

p

FIGURA 1

Sejam:

de = diâmetro externo da seção

di = diâmetro interno da seção

dm = diâmetro médio da seção

t = espessura da parede do tubo

p = pressão do gás no interior do tubo

36

Da figura anterior obtém-se:

t.2dd ie += (1)

e

tdd im += (2)

Quando a espessura t da parede do tubo é pequena em relação ao diâmetro

médio do tubo, isto é, quando

10

dt m≤ (3)

o tubo é considerado de parede fina. Neste casos, a equação (2) pode ser

substituída, com precisão suficiente nas aplicações práticas, pela relação

aproximada seguinte:

im dd ≅ (4)

O estudo seguinte é válido para tubos de paredes finas, isto é, para tubos

que satisfazem a condição dada pela equação (3).

Na figura seguinte (Fig. 2) representa-se um corte longitudinal de um tubo,

fechado nas extremidades com calotas semi-esféricas, contendo um gás sob

pressão.

Eixo

S1 S3 S2

Calotap

R N N R

p

σ long

FIGURA 2

37

O gás compreendido entre as seções S1 e S2, que separam as calotas do

trecho cilíndrico, exerce sobre estas seções uma pressão p uniformemente

distribuída sobre áreas de círculos de diâmetro di. Estas áreas são dadas por:

4

d.A

2i

iπ

= (5)

A resultante R das pressões, sobre cada uma destas áreas, é dada por:

iA.pR = (6)

4

d..pR

2iπ

=∴ (7)

O esforço de tração N, numa seção S3 do tubo, compreendida entre as

seções S1 e S2, é, evidentemente, igual à R.

A área Acc tracionada por este esforço é a área de uma coroa circular de

diâmetro dm e espessura t (Fig. 1), dada por:

t.d.A mcc π= (8)

A tensão de tração na seção S3 (Fig. 2) é dada então por

cc

long A

R=σ (9)

Substituindo R e Acc dados pelas equações (7) e (8) na (9), resulta:

t.d.4

d.p

m

2i

long =σ (10)

Se o tubo for de parede fina, isto é, se for verificada a condição dada pela

equação (3), então, usando o resultado aproximado dado pela equação (4), a

equação (10) simplifica-se para

t.4

d.p ilong =σ (11)

Esta equação permite calcular a tensão de tração na direção longitudinal dos

tubos, produzida por um gás ou um líquido sob pressão no interior dos mesmos.

Note-se que esta tensão só existe se o tubo for fechado nas extremidades; se o tubo

38

for aberto, esta tensão não existe. Note-se ainda que o resultado obtido com a

equação (11) é tanto mais preciso quanto menor for a espessura da parede do tubo.

Nas paredes dos tubos, além desta tensão de tração na direção longitudinal

do tubo, aparece outra, na direção perpendicular ao eixo do tubo (Fig. 3). Como esta

tensão tem, em cada ponto da parede do tubo, a direção da circunferência que

passa pelo ponto, ela é chamada tensão circunferencial.

S

R'R'

p

a) b)

di de

t

t

l

A

B

D'

C'

A'

B'

D

C

σ circ

FIGURA 3

Para calcular esta tensão de tração, considere-se uma seção longitudinal S

do tubo (Fig. 3a). Seja l o comprimento do tubo (Fig. 3b).

A resultante R’ das pressões que atuam sobre cada uma das duas metades

do tubo pode ser obtida multiplicando-se a pressão p pela área da seção longitudinal

na qual esta pressão atua (área do retângulo ABCD), isto é:

id..p'R l= (12)

O esforço de tração N’, numa seção longitudinal do tubo, é, evidentemente,

igual à R’.

A área Asl tracionada por este esforço é a área de uma seção longitudinal

do tubo (área dos retângulos ABB’A’ e CDD’C’) (Fig. 3b), dada por:

t..2As ll = (13)

39

A tensão de tração na seção S (Fig. 3a) é dada então por

ls

circ A

'R=σ (14)

Substituindo R’ e Asl dados pelas equações (12) e (13) na (14), resulta:

t.2

d.p icirc =σ (15)

Esta equação permite calcular a tensão de tração circunferencial nos tubos.

Note-se que esta tensão de tração circunferencial é duas vezes maior que a

tensão de tração longitudinal. Isto significa que se a pressão no interior do tubo for

aumentada até o tubo se romper, o tubo deve romper segundo uma seção

longitudinal.

11- Esferas de paredes finas

Problemas de verificação ou de dimensionamento de esferas de paredes

finas contendo um gás sob pressão aparecem, por exemplo, no projeto de

reservatórios esféricos para gás.

Para mostrar como surgem tensões de tração nas paredes de uma esfera

contendo um gás sob pressão considere-se um balão (balão de festa de

aniversário), em cuja superfície foi desenhado um pequeno quadrado (Fig. 4).

À medida que se aumenta a pressão no interior do balão, aumenta o lado do

quadrado desenhado em sua superfície. Se o lado do quadrado aumenta na direção

X, então existem tensões de tração na direção X. Se o lado do quadrado aumenta

na direção Y, então também existem tensões de tração na direção Y (Fig. 4). Devido

à simetria da esfera e à simetria das pressões internas em relação ao centro da

esfera, conclui-se que as tensões σx e σy são iguais entre si. Como o quadrado

desenhado na superfície da esfera pode ser orientado arbitrariamente, conclui-se

ainda que estas tensões de tração são as mesmas em todas as direções do plano

tangente à esfera no ponto considerado.

40

X

Y

σx

σy

FIGURA 4

As tensões de tração σx = σy que surgem nas paredes das esferas - que

serão indicadas simplesmente com σesf - podem ser calculadas facilmente como

segue. Imagine-se, na figura 2, as seções S1 e S2 aproximando-se uma da outra e

arrastando consigo as calotas semi-esféricas adjacentes. No limite, quando estas

seções coincidirem, elas constituirão uma seção central de uma esfera.

Imaginando-se a seção S3 mantida sempre entre S1 e S2, então a tensão de tração

na seção S3, dada pela equação (10), será também a tensão de tração na parede

da esfera. Logo:

t.4

d.p iesf =σ (16)

41



12- Fios

12.1- Generalidades

O estudo dos fios tem várias aplicações práticas importantes, como por

exemplo:

a) no projeto de redes de transmissão de energia elétrica (Figura 1);

f 'f

ll

A B C

g

'

FIGURA 1

b) no projeto de cabos de pontes penseis (Figura 2);

l

CaboPendurais

Viga de rigidezTorre Ancoragem

Ponte pensil

Cabo

l' 'l

FIGURA 2

42

c) no projeto de cabos de teleféricos (Figura 3), etc.

G

Bonde

Cabo de teleférico

FIGURA 3

12.2- Hipóteses

No estudo dos fios são feitas as duas seguintes hipóteses simplificativas:

a) os fios são considerados flexíveis.

Se num pedaço de fio for aplicado um esforço de flexão, este simplesmente

se enrola. Isto significa que a resistência à flexão em qualquer seção transversal do

fio é nula, isto é:

M x( ) = 0 (1)

Como num fio não surgem momentos fletores também não surgem forças

cortantes, dada a relação diferencial existente entre estes dois esforços. Os fios

também não apresentam nenhuma resistência à compressão. O único esforço que

os fios resistem é o esforço de tração. Portanto na seção transversal de um fio só

pode existir um esforço normal de tração.

43

b) os fios são considerados inextensíveis.

O alongamento dos fios, decorrente do esforço de tração que atua nos

mesmos, geralmente é pequeno de modo que é usual considerar os fios

inextensíveis. Se, no entanto, este alongamento influenciar os resultados finais de

maneira considerável, deverá ser considerado no cálculo.

12.3- Cargas

As cargas que atuam sobre os fios podem ser:

a) concentradas (G);

Exemplo: o peso do bonde sobre o cabo de um teleférico (Figura 3).

b) uniformemente distribuídas por unidade de comprimento de fio (g); e

Exemplo: o peso próprio dos fios, a força do vento sobre os fios, etc.

(Figura 1).

c) uniformemente distribuídas por unidade de comprimento projetado de fio (g).

Exemplo: a carga da viga de rigidez sobre o cabo das de pontes penseis

(Figura 2).

44

12.4- Apoios

Os apoios dos fios podem estar:

a) em nível (Figura 4 a)); e

b) em níveis diferentes (Figura 4 b)).

a)

A B

b)

A

B

FIGURA 4

45

12.5- Fios com apoios em nível e carga uniformemente distribuída por unidade

de comprimento de projeção do fio

12.5.1- Cálculo das reações

Considere-se um fio suspenso por suas extremidades A e B, num mesmo

nível, e sujeito à uma carga uniformemente distribuída g por unidade comprimento

de projeção do fio (Figura 5).

A B

C

l/2 l/2

f

Fio vinculado

g

FIGURA 5

Sejam l o vão (distância entre os apoios do fio) e f a flecha (distância do

centro do fio até a corda AB).

Os apoios A e B impedem os deslocamentos das extremidades do fio nas

direções vertical e horizontal. Logo, as reações do fio, em A e B, devem admitir

componentes nestas duas direções.

Sejam (VA, HA) e (VB, HB) as componentes das reações do fio (Figura 6).

Estas reações substituem os apoios e, portanto, tal como os apoios, devem manter o

fio em equilíbrio, isto é, devem satisfazer as condições de equilíbrio da estática.

46

l/2 /2l

f

C

A B

g

g.l

HA

VA VB

HB

Fio livre

FIGURA 6

Neste problema tem-se quatro reações incógnitas (VA, HA, VB e HB) e três

equações de equilíbrio da estática

H =∑ 0 (2.1)

V =∑ 0 (2.2)

MO =∑ 0 (2.3)

para determiná-las; o problema é, portanto, uma vez hiperestático (externamente).

Não bastam as equações de equilíbrio para calcular todas as incógnitas; será

necessária uma equação adicional.

Escolhendo como polo o ponto B, a equação (2.3) fornece:

VAg

=.l

2 (3.1)

A equação (2.2) fornece:

VBg

=.l

2 (3.2)

Portanto

VA VB Vg

= = =.l

2 (3.3)

47

A equação (2.1) fornece:

HA HB H= = (3.4)

12.5.2- Cálculo da componente horizontal das reações

A condição adicional (às equações de equilíbrio da estática) para calcular H

decorre da hipótese do fio flexível, segundo a qual o momento fletor em qualquer

ponto do fio deve ser nulo.

/2l

H A

Vlg.

f

C/2l

HB

V/2 /2lg.

Cálculo de H

M M

FIGURA 7

Anulando o momento fletor no centro do fio (ponto C) resulta (Figura 7)

0f.H4

).2

.g(

2.V =−−

lll

donde

Hg

f=

.

.

l2

8 (4)

Esta equação mostra que H é inversamente proporcional à f.

Convém notar ainda que quando f → 0 , H→ ∞ , o que significa que é

impossível lançar um fio com flecha nula (f=0) porque um fio não tem condições de

suportar uma força H=∞.

48

12.5.3- Equação do fio

Internamente o fio é infinitas vezes hipostático, isto é, tem infinitos graus de

liberdade. A forma que o fio adquire depende da carga que atua sobre o mesmo e

será tal que em todas os pontos do fio o momento fletor resulte nulo (hipótese do fio

flexível).

/2l

H

N

A

Vxg.

f

C/2l

g

H

N

B

V

x y

M

Equação do fio

M

P

FIGURA 8

Anulando o momento fletor num ponto genérico P(x,y) do fio resulta

(Figura 8)

V x g xx

H y. ( . ). .− − =2

0

donde

yH

V xg x

= −

1

2

2

. ..

(5)

Esta equação mostra que a equação do fio, para uma carga uniformemente

distribuída por unidade de comprimento de projeção do fio, é a equação de uma

parábola do segundo grau.

49

12.5.4- Força de tração no fio

A força de tração xN , num ponto genérico P(x,y) do fio, pode ser calculada

como segue (Figura 9).

P

/2l

H

N

A

Vxg.

f

C/2l

g

H

N

B

V

xyV

Força de tração no fio

x

xV

xHHx

Nx

xN

FIGURA 9

A componente vertical xV da força de tração no fio é dada por

x.gVVx −= (6)

e a componente horizontal xH por

.)cte(HHx == (7)

Uma vez conhecidas as componentes xV e xH , a força de tração no fio é

dada por (Figura 9):

2x

2xx VHN += (8)

Os diagramas das forças xV , xH e xN , determinados com as equações (6),

(7) e (8), respectivamente, são dados na figura seguinte.

50

Vx

Nx

xH

V

H

H

Diagramas Vx, Hx e NxVN

H A

V

f

gN

HB

FIGURA 10

A força de tração máxima nos fios ocorre nos apoios e é dada por

(Figura 10):

22 VHN += (9)

12.5.5- Fios com flechas pequenas

Quando a flecha de um fio é menor que 1/10 do vão, isto é, quando

10

1f≤

l (10)

pode-se admitir que:

a) o peso próprio do fio é uma carga uniformemente distribuída por unidade de

comprimento projetado do fio; e

b) a força de tração máxima no fio (N) se confunde com sua componente horizontal

(H), isto é:

HN ≅ (11)

Estas hipóteses são tanto mais precisas quanto menor for a relação ( / )f l .

51



III - CORTE (OU CISALHAMENTO UNIFORME)

1- Generalidades

A solicitação de corte ocorre nas ligações de peças em geral.

No caso de estruturas metálicas ocorre, por exemplo, em:

• ligações soldadas;

• ligações parafusadas;

• ligações rebitadas;

• ligações com cavilhas;

• ligações com pinos; etc.

No caso de estruturas de madeira ocorre, por exemplo, em:

• ligações coladas.

• ligações com tarugos;

• ligações com cavilhas; etc.

2- Esforço cortante


(Fig. 1).

21

S

Q1Q2

F2

F1

F3

F4

FIGURA 1

52

Considere-se em seguida uma seção S qualquer da barra, dividindo o

sistema de forças F em dois sistemas parciais: O sistema 1, formado pelas forças


pedaço 2.

Se a resultante do sistema 1 de forças se reduzir, no centro de gravidade da

seção, a uma força Q1 paralela à seção, então a resultante do sistema 2 terá que se

reduzir a uma força Q2 igual e oposta à Q1, porque o sistema total de forças, por

hipótese, é um sistema equilibrado.

As duas forças, Q1 e Q2, iguais e opostas, que atuam na seção, constituem

um esforço chamado esforço cortante. A força Q1 tende levantar o pedaço 1 em

relação ao pedaço 2 da barra, e a força Q2 tende baixar o pedaço 2 em relação ao

pedaço 1. Portanto, estas forças, tendem cortar a barra segundo a seção S.

3- Tensão de cisalhamento

A força cortante Q (Q1 ou Q2), citada isoladamente, fornece uma informação

pouco precisa sobre a solicitação do material na seção S, porque, nesta informação,

não está incluída a área A da seção sobre a qual a força Q atua. Para se ter uma

idéia mais precisa da solicitação do material na seção S deve-se formar o quociente

Q/A que é chamado tensão de cisalhamento (ou tensão tangencial) e representado

pela letra grega τ (táu).

A

Q=τ (1)

As tensões são medidas em unidades de força por unidade de área, isto é:

[ ]22 m

Nou

cm

kgf=τ (2)

A tensão de cisalhamento τ representa a ação do material que está de um

lado da seção S sobre o que está do outro lado, por unidade de área (Fig. 2). Esta

tensão atua paralelamente à seção S da barra.

53

21

S

2

S

τ τ

Q1

Q1Q2

τ

FIGURA 2

4- Tensão de segurança de um material ao cisalhamento

No ensaio de corte de um material, uma amostra deste material é submetida

a um esforço cortante que cresce gradativamente de zero até a amostra se romper

por cisalhamento. A tensão no material, no instante da ruptura, é chamada tensão

de ruptura do material por cisalhamento.

Chama-se tensão de segurança de um material ao cisalhamento (ou tensão

máxima admissível), e representa-se por τ , a uma fração (1/2 ou 1/3, por exemplo)

da tensão de ruptura do material. Considera-se a possibilidade de ruptura do

material suficientemente afastada enquanto a tensão no material não ultrapassar a

tensão de segurança do mesmo.

5- Condição de segurança ao cisalhamento

Uma seção de uma barra é considerada em boas condições de segurança

ao cisalhamento enquanto a tensão de cisalhamento máxima na mesma não

ultrapassar a tensão de segurança do material ao cisalhamento. A condição de

segurança é, portanto

matmax τ≤τ (3)

54



IV - FLEXÃO SIMPLES

1- Generalidades

Esta solicitação ocorre nas vigas em geral.

2- Esforço de flexão


(Fig. 1).

21

S

F2

F1

F3

F4

M1 M2G

FIGURA 1


sistema de forças F em dois sistemas parciais: o sistema 1, formado pelas forças


pedaço 2.


seção, a um momento M1, perpendicular à seção, então a resultante do sistema 2

terá que se reduzir a um momento M2 igual e oposto à M1, porque o sistema total de

forças, por hipótese, é um sistema equilibrado.

55

Os dois momentos, M1 e M2, iguais e opostos, que atuam na seção S,

constituem um esforço chamado de esforço de flexão.

Cada um dos momentos, separadamente, é chamado momento fletor ou

momento de flexão.

3- Lei de distribuição das tensões na seção

Considere-se uma fatia de viga, junto à seção S, isolada e ampliada na

figura seguinte (Fig. 2a).

S1

M1 M2

S2 S1

M1 M2

S2a) b) S'2

LNLN

S'1

FIGURA 2

Imagine-se ainda que a viga tenha uma organização fibrosa na direção

longitudinal, como uma viga de madeira, e como se mostra na figura.

Analise-se em seguida a deformação produzida nesta fatia pelo esforço de

flexão (Fig. 2b). Os momentos M1 e M2 giram as seções S1 e S2, em torno de eixos

que passam pelos centros de gravidade destas seções, chamados linhas neutras

(LN), para novas posições S’1 e S’2. As seções S1 e S2 afastam-se no lado de baixo

da viga e aproximam-se no lado de cima.

As fibras longitudinais localizadas abaixo do eixo da viga sofreram

alongamentos e portanto estão sendo tracionadas. A fibra que sofreu o maior

alongamento foi a fibra inferior; esta é então a fibra mais tracionada.

56

As fibras longitudinais localizadas acima do eixo da viga sofreram

encurtamentos e portanto estão sendo comprimidas. A fibra que sofreu o maior

encurtamento foi a fibra superior; esta é então a fibra mais comprimida.

As fibras localizadas sobre a linha neutra não sofreram nem alongamentos

nem encurtamentos e portanto não estão sendo nem tracionadas nem comprimidas.

As tensões nestas fibras não são nem positivas (tração) nem negativas

(compressão); são nulas ou neutras. Daí a designação de linha neutra (LN) para os

eixos em torno dos quais as seções giram.

As deformações das fibras longitudinais das vigas (alongamentos e

encurtamentos) se distribuem, na altura da seção de uma viga, segundo uma lei

linear (Fig. 2b). Como, de acordo com a lei de Hooke, as tensões são proporcionais

às deformações, conclui-se que também as tensões se distribuem linearmente na

altura das seções das vigas (Fig. 3).

3- Tensão máxima na seção de uma viga

Em vigas com seções transversais simétricas em relação à linha neutra,

como é o caso das vigas de seção retangular (cheia ou oca) ou circular (cheia ou

oca), as tensões máximas de tração e de compressão (Fig. 3) são numericamente

iguais entre si e dadas por

x

max W

M=σ (1)

21

S

M1 M2

σ σmax max

FIGURA 3

onde, Wx é uma característica geométrica da seção, chamada módulo resistente da

seção à flexão.

57

4- Áreas e módulos resistentes das seções

Na tabela seguinte são fornecidas as fórmulas para o cálculo das áreas e

dos módulos resistentes das seções mais simples e mais freqüentes na prática.

Tabelas mais completas podem ser encontradas nos Manuais de

Engenharia e nos livros de Resistência dos Materiais.

Tabela 1

Áreas e módulos resistentes à flexão das seções

Seção A Wx

b

h X=LN

h.b

6

h.b 2

B, b

H, h X=LN

h.bH.B −

H.6

h.bH.B 33 −

d

X=LN

4

d. 2π

32

d. 3π

D, d

X=LN

4

)dD.( 22 −π

D.32

)dD.( 44 −π

58

5- Condição de segurança à flexão

Uma seção de viga é considerada em boas condições de segurança à flexão

enquanto:

a) a máxima tensão de tração na seção não ultrapassar a tensão de segurança do

material à tração; e

b) a máxima tensão de compressão não ultrapassar a tensão de segurança do

material à compressão.

Quando o material resiste igualmente à tração e à compressão, estas

condições se reduzem simplesmente à

matmax σ≤σ (2)

59


Aula 11t – Jun/2007

V - TORÇÃO

1- Generalidades

Esta solicitação ocorre em eixos de máquinas, molas de torção (retas e

helicoidais), vigas curvas, vigas de marquises, etc.

2- Esforço de torção


(Fig. 1).

21

S

F2

F1

F3

F4

Mt1 Mt2

FIGURA 1


sistema de forças F em dois sistemas parciais: o sistema 1, formado pelas forças


pedaço 2.


seção, a um momento Mt1, paralelo à seção, então a resultante do sistema 2 terá

que se reduzir a um momento Mt2 igual e oposto à Mt1, porque o sistema total de

forças, por hipótese, é um sistema equilibrado.

60

Os dois momentos, Mt1 e Mt2, iguais e opostos, que atuam na seção S,

constituem um esforço chamado de esforço de torção.

Cada um dos momentos, separadamente, é chamado momento de torção ou

momento torsor.

3- Cálculo das tensões

Tanto o esforço de torção como o esforço de corte produzem, nas seções

das barras, tensões de cisalhamento τ (= tensões tangenciais).

a) Solicitação de corte

O esforço cortante (Q1, Q2) tende levantar o pedaço 1 de barra e baixar o

pedaço 2 (Fig. 2), fazendo com que um pedaço deslize sobre o outro na seção S.

Este deslizamento é uma translação no sentido do esforço (Q1, Q2).

21

S

τ τ

F2

F1

F3

F4

Q1Q2

1 2

FIGURA 2

O esforço cortante produz, então, na seção S, tensões de cisalhamento (τ),

que atuam paralelamente à seção e com sentido igual ao do esforço cortante, cuja

intensidade é dada por

A

Q=τ (1)

onde A é a área da seção da barra.

61

b) Solicitação de torção

O esforço de torção (Mt1, Mt2) tende girar o pedaço 1 de barra num sentido

e o pedaço 2 no outro (Fig. 1), fazendo com que um pedaço deslize sobre o outro na

seção S. Este deslizamento é uma rotação no sentido do esforço (Mt1, Mt2).

O esforço de torção produz, então, na seção S, tensões de cisalhamento (τ),

que atuam paralelamente à seção e com sentido de rotação em torno de G igual ao

do esforço de torção, e que crescem linearmente de zero no centro da seção até o

máximo na borda da seção (Fig. 3).

MtMt

τ τmax max

A AG G

FIGURA 3

A tensão de cisalhamento máxima em barras de seção circular (cheia ou

oca) é dada por

t

tmax W

M=τ (2)

onde Wt é uma característica geométrica da seção, chamada módulo resistente da

seção à torção.

4- Deformação produzida por Mt

Seja uma barra de seção constante sujeita a um esforço de torção também

constante (Fig. 4).

Devido ao momento de torção Mt, um raio GA da extremidade livre da barra

gira para uma nova posição GA’, de um ângulo ϑ. Este ângulo ϑ é chamado ângulo

de torção da barra e é dado por

62

G A

A'

Mtυ l

B

FIGURA 4

G

t

J.G

.M l=ϑ (3)

onde:

Mt = momento de torção

l = comprimento da barra

G = módulo de elasticidade transversal do material

JG = momento de inércia polar da seção da barra.

Escrevendo a equação dimensional do ângulo de torção, a partir da equação

(3), obtém-se

[ ] 1=ϑ (4)

o que mostra que o ângulo de torção é uma grandeza adimensional (um número

puro), e que, portanto, é dado em rad (que é a unidade natural de ângulos).

O ângulo de torção unitário (θ) de um eixo é definido com o ângulo de torção

por unidade de comprimento do eixo, isto é:

l

ϑ=θ (5)

Os ângulos de torção unitários são dados em rad/cm ou rad/m.

63

Substituindo ϑ dado pela equação (3) na equação (5), resulta ainda:

G

t

J.G

M=θ (6)

5- Momentos de inércia polares e módulos resistentes das seções à torção

Na tabela seguinte são fornecidas as fórmulas para o cálculo dos momentos

de inércia polares e dos módulos resistentes das seções circulares.

Tabela 1

Momentos de inércia polares (JG) e

módulos resistentes das seções à torção (Wt)

Seção JG Wt

d

G

32

d. 4π

16

d. 3π

D, d

G

32

)dD.( 44 −π

D.16

)dD.( 44 −π

6- Condição de segurança à torção

Uma seção transversal de barra é considerada em boas condições de

segurança à torção quando

matmax τ≤τ (7)

64


Aula 12t – Jun/2007

7- Par de forças

Um par de forças é um sistema formado por duas forças, F e F’ (Fig. 1):

a) de mesma intensidade;

b) direções paralelas (não coincidentes); e

c) sentidos contrários.

F

F'b

O

M=F.b

s

s'

x

Placa

FIGURA 1

A distancia b, medida perpendicularmente aos suportes (s e s’) das forças, é

chamada de braço de alavanca do par.

Um par de forças é um sistema com as seguintes características:

a) a resultante do sistema vale

FFRrrr

−=

0R =r

(1.1)

b) o momento resultante do sistema, em relação à um pólo O distante x de s’

(Fig. 1), vale

x.F)xb.(FM −+=

b.FM = (1.2)

65

Como no segundo membro da equação (1.2) não aparece x, conclui-se que

M independe de x, isto é, independe da posição do pólo. Portanto, qualquer que seja

a posição do pólo, o momento do par é sempre igual à F.b (=constante). O sentido

deste momento é o sentido da rotação produzida, na placa, pelo par das forças F.

8- Representação de momentos com pares de forças

Pares de forças são sistemas equivalentes aos seus momentos (apresentam

a mesma resultante e o mesmo momento em relação à qualquer pólo), e portanto,

eles podem ser usados para representar momentos.

A barra AB da figura seguinte está engastada em A e livre em B. Para

representar um momento aplicado na barra em B, atuando num plano perpendicular

ao eixo da barra, pode-se imaginar uma alavanca soldada à barra em B em cujas

extremidades se aplica um par de forças F como se mostra na figura (Fig. 2),.em

perspectiva e em vista.

Perspectiva

Vista

bA B

F

F

alavanca

XY

Z

bA B

F

F

FIGURA 2

66

9- Representação de momentos com vetores

Outra maneira de representar um momento aplicado na barra em B, atuando

num plano perpendicular ao eixo da barra, consiste em usar um vetor, em B, com

direção coincidindo com o eixo da barra (Fig. 3).

VetorA B

M = F.b

FIGURA 3

Para estabelecer a relação entre os sentidos do momento e do vetor que o

representa será usada a regra da mão direita: com o polegar da mão direita

apontando no sentido do vetor, a palma da mão dá o sentido do momento.

10- Potência

Na Engenharia Mecânica é freqüente o projeto ou a verificação de eixos de

máquinas, a partir da potência que estes eixos devem transmitir. Para facilitar a

solução destes problemas, são recordados, a seguir, alguns conceitos importantes.

A potência desenvolvida por uma máquina se obtém dividindo o trabalho

realizado pela máquina pelo tempo gasto para realizá-lo, isto é:

t

TPot = (2)

Pot = potência

T = trabalho

t = tempo

O trabalho realizado por uma força constante, que desloca seu ponto de

aplicação de uma distância e (Fig. 4) é dado por:

e.FT = (3)

F = força

e = espaço

67

FA B

e

Móvel

FIGURA 4

Substituindo T dado pela equação (3) na equação (2) resulta:

t

e.FPot = (4)

Como

vt

e= (5)

v = velocidade

a equação anterior fica

v.FPot = (6)

Esta equação fornece a potência, em função da força aplicada a um móvel e

a velocidade linear do mesmo.

Considere-se agora um volante (ou um eixo de máquina ou uma roda de

engrenagem) no qual uma força F desloca um ponto A com velocidade linear v,

girando o volante em torno do seu centro (Fig. 5). A potência desenvolvida pelo

sistema é dada pela equação (6). Multiplicando e dividindo o segundo membro desta

equação por r, resulta:

r

v.FrPot = (7)

68

Volante

F A v

O

r

M

FIGURA 5

Como

Mr.F = (8)

M = momento aplicado no eixo

e

ω=r

v (9)

ω = velocidade angular do eixo

a equação anterior fica:

ω= .MPot (10)

Esta equação fornece a potência, em função do momento aplicado a um

eixo e a velocidade angular do mesmo.

Com relação à unidade de potência:

a) no sistema internacional, conforme a equação (4)

[ ] Ws

m.NPot == (11)

b) no sistema técnico (ou prático),conforme equação (4)

[ ]s

kgm

s

m.kgfPot == (12)

c) em outros sistemas: são usados o HP (Horse Power) e o CV (Cavalo Vapor).

69

Para a conversão de unidades de potência pode-se usar as relações da

tabela seguinte.

Tabela 1

Relação de unidades de potência

Símbolo Nome Valor em kgf.m/s

1 HP Horse Power 76,5

1 CV Cavalo Vapor 75

1 kW Quilowatt 102

p u c r s · • vínculos de 1ª classe (apoio simples): suprimem 1 g. de l. do corpo •...

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