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ComputerVision

Outras Transforações de Imagens

Paulo Sérgio RodriguesPEL205

ComputerVision Transformada Discreta de Cosseno

1

0 2

12cos)()()(

:como definda é (DCT) 1D Cosseno de Direta daTransformaA

N

x N

uxxfuauC

u = 0,1,2,...,N-1

Similarmente, a Transformada Inversa DCT é definida como:

1

0 2

12cos)(

N

u N

uxuCuxf

para x = 0,1,2,...,N-1


1

0 2

12cos)()()(

N

x N

uxxfuauC

1

0 2

12cos)(

N

u N

uxuCuxf

N

Nu2

1

se u=0

se u=1,2,...N-1


1

0

1

0 2

12cos

2

12cos),()(),(

N

x

N

y N

vy

N

uxyxfvuvuC

1

0

1

0 2

12cos

2

12cos,),(

N

u

N

v N

vy

N

uxvuCvuyxf

O par correspondente bidimensional da DCT é:

para u=v=0,1,2,...,N-1

para x=y=0,1,2,...,N-1

ComputerVision

Transformação de Hotelling

A Transformação de Hotteling, também conhecida como Autovetor, Análise dos Componentes Principais (PCA) ou Transformação Discreta de Karhumen-Loève, possui váriasPropriedades estatísticas de uma representação vetorialque a tornam importante não somente para Processamentode Imagens mas para diversas outras áreas da ciência.

ComputerVision Transformação de Hotelling

Considere um conjunto de vetores da forma:

nx

x

x

x2

1

xEm

éconjuntodomédiovalorcujo

x

:

onde E{arg} é o valor esperadodo argumento arg


Assim, a matriz de covariância de uma população de vetores é obtida tomando-se o valor esperado decada elemento:

Txxx mxmxEC

onde T indica transposição


Txxx mxmxEC

Uma vez que x é n-dimensional Cx é uma matriz n x n,onde cada elemento cii é a variância de xi e cada elementocij, para i ≠ j é a co-variância entre os elementos xi e xj

A matriz Cx é também uma matriz real e simétrica

Se os elementos xi e xj não são correlacionados cij = cji = 0


Se o número de vetores de uma população for M, o vetor médio e a matriz de co-variância podem seraproximados por:

M

k

Txx

Tkkx

M

kkx

mmxxM

C

e

xM

m

1

1

1

1


Sendo Cx real e simétrica, sempre é possível encontrar um conjunto n autovetores ortonormais.

Então, sejam ei e λi, para i = 1,2,...,n, os respectivos autovetores e correspondentes autovalores de Cx

Seja A a matriz cujas linhas correspondem aos autovetores de Cx

Por conveniência, a primeira linha de A corresponde ao maior autovalor, e as demais em ordem decrescente de autovalorescorrespondentes.


Suponha que A é uma matriz de transformação que mapeiacada elemento de x em um outro espaço denotado aqui por y:

xmxAy

Essa transformação de mapeada por A é chamada Transformaçãode Hotteling, cuja matriz de co-variância pode ser obtida em termosde A e Cx como:

Txy AACC


Uma observação importante é que Cy é uma matriz diagonalcujos elementos dessa diagonal são justamente os autovaloresde Cx, isto é:

n

yC

0

0

2

1


O principal efeito da Transformação de Hotteling é o alinhamento do eixo principal dos dados com o maior autovalor encontrado em um novo sistema de coordenadas cuja origem é o centróide da população.

Essa observação mostra que a Transformação de Hotteling alinha os dados com os autovetores.

x1

x2

y1

y2

x1

x2

e2

e1


Um propriedade importante da Transformada de Hotelling é que o vetor original pode ser reconstruído a partir de A, uma vez que A = AT por ser formado de colunas de vetores ortonormais. Assim:

xmxAy

xT myAx *


No entanto, suponha que ao invés de usar todos os autovetores, usemos somente os k correspondentes aos k maiores autovalores. Chamemos essa matriz de Ak

Isso gera uma tranformação k x n. Y pode então ser k dimensional, e a reconstrução não será mais exata. Os valores originais reconstruídos usando Ak são representados equacionalmente como:

xTk myAx *ˆ


Pode-se mostrar, no entanto, que o erro médio quadrático quese comete ao substituir A por Ak na transformação inversa será:

n

kjj

n

j

k

jjjmse

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