Otimização Aplicadaao Dimensionamento e

Operação de Reservatórios

Aplicações de Programação Linearpor

Mario Thadeu Leme de Barros

Dimensionamento e Operação de Reservatórios

Reservatório para abastecimento: retirada constante

Notação:

tmesnoafluentenaturalvazãoti

ioreservatórdocapacidadec

tmesnovertimentotw

ntoabastecimedevazãoq

inicialntoarmazenameS

tmesdofinalnontoarmazenametS

críticoperíododotamanhoemesdoíndicenet

0

Dimensionamento (PL com 2n+2 variáveis e 2n+1 restrições):

0,

.....2,10,0

0

....2,1

........3,2,11

qc

nttwS

SnS

ntctS

nttwqtitStS

asujeito

czMinimizar Dorfman, 1965

O problema pode ser equacionado sem as variáveis de armazenamento

(problema com n variáveis a menos) :

0,

....2,1011

....2,1011

0

....2,111

0

qc

nttw

n

ttinq

n

ttw

nkkqk

ttw

k

ttiS

nkckqk

ttw

k

ttiS

asujeito

czMinimizar

Comentários Importantes:

•A somatória maior ou igual a zero na segunda formulação é necessária para garantir a não negatividade (isso não é necessário na primeira formulação)

•as duas formulações apresentadas podem ser empregadas para: conhecido C determinar qual a vazão de abastecimento garantida q; nesse caso, o problema passa a ser maximizar q

•essa vazão q é chamada de vazão garantida (safe yield); é melhor chamá-la de vazão garantida histórica; é necessário empregar a hidrologia sintética para estimar a sua confiabilidade

Levando em conta a evaporação:

gtetwqtitShtetShte

outShtShgtetwqtitStS

ficabalançodeequaçãoaodesse

tShgtetateevaporadovolume

tShgtStShgta

áreaxvolumedalinearoaproximaçã

1)2/1()2/1(

]1)2/()2/([1

:mod

)(.

)2

1(

:

Levando em conta um modelo de equação diferencial para a equação do volume:

tkketkondegtktwtkqtktitktS

ketS

ficaPLdarestriçãoaodesse

ketktbtSketS

períododofinalnoquedoconsideran

htetke

gtetwqtitbondeStktbtd

dSqueescreversepode

tmesnotempooéonde

hStegtetwqtitd

dS

tt

tt

/)1('''''1)(

:mod

)1)(/(1)(

1

)

)

Alteração quando se considera volume para controle de cheias

udeeirou

ntq

twtS

SnS

ttkentcomkvctS

nttitwqtStS

asujeito

qzimizar

kvmescada

acheiasdecontroleparavolumeoconhecidosejaqueondo

int][

....2,10

0,0

]12/)1[(12...2,1

...2,11

max

sup

Abastecimento com vazões variáveis a cada mês

udeeirou

ntq

AQtwtS

SnS

ttkentcomctS

ntAQktitwtStS

asujeito

AQzimizar

kmesnoutilizadaAQdefraçãoakseja

AQntoabastecimedeanualvazãooconhecidosejaqueondo

int][

....2,10

0

0,0

]12/)1[(12...2,1

...2,11

max

sup

Regras de operação e simulação

Um modelo que maximiza mês a mês uma certa vazão de abastecimento, dada uma capacidade C, segue uma regra operativa: uma equação, um gráfico ou uma tabela especificando a quantidade de água a ser descarregada (para vários fins) em função dos estados do sistema e de parâmetros

Múltiplos reservatóriosRegras de locação de volumes para abastecimento

Serão tratados reservatórios em paralelo uma vez que reservatórios em série podem ser tratados como um único reservatório (para abastecimento)

Vamos considerar inicialmente a situação em que as contribuições mensais não variam

Múltiplos reservatórios (três em paralelo)

zeroaiguaisserdevemiáveisastodas

kkqkqkqMq

iiSinS

eiosreservatórosparaidem

ntCtS

ttkntkqtwtitStS

asujeito

MqzMaximizar

anonumntoabastecimepararetiradaserpodequevazãoMq

tmesdofinalnoiosreservatórdosvolumestStStS

tmesnoiosreservatórtresnosvertidasvazõestwtwtw

anodokmes

noiosreservatórtresnosntoabastecimedevazõeskqkqkq

tmesnoosrservatóritrêsosparaafluentesvazõestititi

iosreservatórtrêsdeCapacidadeCCC

var

12...2,1321

3,2,10

32

......2,111

]12/)1[{12.....2,1111111

3,2,1

3,2,1

3,2,1

3,2,1

3,2,1

Múltiplos reservatórios (três em paralelo)

Alguns comentários:

•cada ano tem-se 36 valores de vazões, três para cada mês; num dado mês o total é constante, mas os valores podem variar para cada reservatório mês a mês;

•a solução desse problema é diferente se cada reservatório for operado de forma independente (neste caso o total deve ser menor do que a operação conjunta)

•pode-se evitar mudanças bruscas mês a mês se forem acrescentadas restrições do tipo:

11.....2,11,

11....2,11,

kikqkiq

kkiqikq

Da mesma forma podem ser consideradas vazões mensais totais diferentes

12....2,1321

.

kkqkqkqAQk

AQzMax

Regras de operação quando as vazões afluentes variam mês a mês

tperíododofinalnoiioreservatórnolivrevolumeitv

garantidovolumeestimadoseraáguadeproduçãodavalorT

dadesconhecitmêsnoiioreservatór

dovolumecalculadaãocontribuiçitx

iioreservatóraoalocada

tmêsdodemandadadadesconheciproporçãoit

conhecidoenchimentoredeciclodoteres

noiioreservatórnoprevistavazãoiir

conhecidaiioreservatórnotmêsoparaestimadavazãoitip

notação

)(

)(

)(tan

)(

:

Regras de operação quando as vazões afluentes variam mês a mês

As vazões afluentes podem ser estimadas por correlações com o mês anterior;

A Regra do Espaço de Clark (1962):

repartir a vazão requerida pelos reservatórios de modo que a razão entre o espaço disponível em cada reservatório (depois da retirada) e o total vazio dos reservatórios seja igual, na medida do possível, à razão da vazão prevista em cada reservatório durante o período restante do ciclo de re-enchimento e o total previsto para todos reservatórios

Esta regra foi pensada para minimizar o vertimento no restante do período de re-enchimento, entretanto não garante o mínimo vertimento;

a regra não fornece um valor para a produção conjunta de água, ela apresenta somente uma regra de alocação, considerando as contribuições relativas; além disso, é preciso estimar T (a produção conjunta do três reservatórios)

3,2,11)(

:Re

)()1(

,mod

3

1)1(

:min

3

1])]1([

]]1([

:

3

1

:

3

1

3

1)]1([

]]1([

:

)1(

:

iparaitipitSiCTNititx

Agra

TNititxitipitSiCitxparasistemaocalcularpodemosodesse

iitipitSiCN

adordenonoconhecidostermososagruparpodemos

it

iTitipitSiC

itxitipitSiC

acimarazãonadosubstituin

Ti

itx

quedoconsideran

kkir

iirit

iitxitipitSiC

itxitipitSiC

razãoa

itxitipitSiCitv

iioreservatórnolivrevolumeo

Razão deClark

Outras razões par alocar água dos reservatórios:

3,2,1*]3

11

1[

:Re

iT

iitS

itSitx

Bgra

T

iitipitS

itipitSitx

Cgra

*3

1)]1([

)1(

:Re

T

iiCitipitS

iCitipitSitx

Dgra

*3

1]/)1([

/)1(

:Re

Como calcular T (por tentativas)

Supondo que a regra de alocação de água seja A, pode-se determinar T com as seguintes equações de balanço de água:

01]/[

1

101

itxitiitSpareelinadmissívitS

itxitiitSiCiCitS

iCitxitiitSitxitiitSitS

Essas equações devem ser escritas para cada reservatório i do sistema, para cada mês do registro crítico (pior sequência de vazões)

Operação em Tempo Real e Maximização da Produção

Notação:

i ioreservatór do capacidade -

i ioreservatór no mês num esperado vazio volume-

i ioreservatór no mês o durante o vertiment-

i ioreservatór no prevista vazão- iip

meta a para i ioreservatór do ãocontribuiç -

anterior) período do final no

ento(armazenam intervalo do início no i ioreservatór no ntoarmazename -

iCiw

iw

ix

iS

)(

)(

Vamos adotar como FO a Minimização do vertimento...assim podemos estimar T

3 e 1,2,i com

3 e 1,2i com

z

0,,

321

.321

iwiwix

Txxx

iCiipiSixiwiw

as

wwwMin

Varia-se o valor de T até algum reservatório apresentar volume negativo..........neste caso obtém-se o maior T..

Regra de Clark para o mesmo caso....

denegativida não

3 e 1,2i com

3 e 1,2i com

i ioreservatór no futura afluente vazão-

3

10)(

321

.

3

1

3

1

321

kkwiiw

Txxx

iCiipiSixiwiw

ask

kwzMinim

i

kkw

iw

if

fffif

i

Otimização Mensal, conhecido o estado presente e as previsões para os próximos 12 meses....

Minimizando o vertimento esperado

Regra para o próximo mês somente:

kii

kiV

kii

kiU

ieSioS

kiiadeprobabilidk

ip

kii

Notação

ocorrer se i ioreservatór no livre volume-

ocorrer se i ioreservatór no o vertiment-

randômica variávelmês, do final no i ioreservatór no ntoarmazename -

conhecido prévio, mês do final no i ioreservatór no ntoarmazename -

de

mês o durante i ioreservatór ao afluente vazãoda possível realização késima

:

.afluente.. vazãoa para intervalos de número o é m

1,2...mk 1,2,3;i

Txxx

kiV

kiUiCix

kiiiS

asi

m

k

kiUk

ipzMin

321

0

.

3

1 1. Alternativa:

3

1 1.

i

m

k

kiV

kipz

Minimizar

Dimensionamento de Reservatórios

em Função do Custo

Reservatórios operados de forma independente:

Tqqqq

as

qfqfqfz

iqiSinsiCits

itwiqitiitsitsiCz

Minimizar

321

.

)3(3)2(2)1(1

0

1

Minimizar

:dois fase

da...regulariza vazão versuscusto de curva uma ção...eregulariza de

curva uma ioreservatór cadapar determino q, variando

conhecido com

1,2...nt com

1,2,....nt com

:calcular ioreservatór cada para teInicialmen

Dimensionamento de Reservatórios

em Função do Custo

Reservatórios operados de forma conjunta:

PL mista - inteira - yi é igual a um se o reservatório for construído, zero caso contrário