Oscilações de tirantes de pontes com amortecedores

Nuno Mendes Pereira

Dissertação para a obtenção de Grau de Mestre em

Engenharia Civil

Orientador: Doutor António Manuel Figueiredo Pinto da Costa

JúriPresidente: Doutor José Manuel Matos Noronha da CâmaraOrientador: Doutor António Manuel Figueiredo Pinto da CostaVogal: Doutor José Joaquim Costa Branco de Oliveira Pedro

Novembro, 2014

ii

Agradecimentos

Agradeço ao meu orientador e ex professor de Resistência de Materiais II que sempre mostrouempenho, dedicação e disponibilidade em todas as fases da minha dissertação; estou-lhe reco-nhecido pelo tempo que encontrou para me esclarecer e me encaminhar na direção certa. Desejoagradecer os comentários pertinentes do professor José Oliveira Pedro, que permitiram obteruma versão final melhorada. Quero também deixar aqui um especial agradecimento à Danielaque, em fases decisivas da minha vida, me tem apoiado e esclarecido como nenhuma outra pes-soa. Por último, e não menos importante, agradeço à minha família, sem a qual nunca poderiater enveredado pelo caminho que hoje me abre novos horizontes.

iii

iv

Resumo

Na presente dissertação estuda-se a resposta dinâmica de cabos tensos com e sem amortece-dores viscosos, em regime livre e em regime forçado. Reveem-se as equações não lineares queregem o movimento transversal de cabos com rigidez à flexão e com amortecedores instalados.Identificam-se os parâmetros adimensionais relevantes e calculam-se por via numérica (métododas diferenças finitas), as frequências naturais, os fatores de amortecimento viscoso, a geometriados modos de vibração e evoluções dinâmicas de cabos-viga tensos em torno da configuraçãode equilíbrio estático. Desenvolve-se um programa de diferenças finitas em ambiente MatLab,tendo-se feito a sua validação por comparação com exemplos da literatura. Dedica-se especialatenção aos sistemas seguintes: (a) um cabo com amortecedor, (b) dois cabos de comprimen-tos iguais ligados por um amortecedor, (c) dois cabos de comprimentos diferentes ligados porum amortecedor e (d) dois cabos de comprimentos diferentes ligados por dois amortecedores.Discute-se a importância do posicionamento do(s) amortecedor(es) bem como a sua eficiênciaem termos dos diversos parâmetros adimensionais. Discute-se ainda a dependência das geome-trias dos modos de vibração nos parâmetros adimensionais que caracterizam as propriedadesmecânicas e geométricas do sistema cabo(s), amortecedor(es).

Palavras-chave: cabo(s), amortecimento, parâmetros adimensionais, vibrações livres e força-das.

v

Abstract

In this dissertation the free and forced dynamic responses of small sag cables with viscous dam-pers are studied. The nonlinear governing equations for the transverse vibration of cables withflexural stiffness are reviewed. The relevant nondimensional parameters are identified and thenatural frequencies, the viscous damping factors, the geometry of the vibration modes and dy-namic evolutions of small sag cables around the static equilibrium configuration are numericallycalculated (via the finite difference method). A finite difference computer program was develo-ped in MatLab, its validation being done by comparison with examples taken from the literature.Special attention is dedicated to the following systems: (a) a cable with a damper, (b) two equalcables connected by one damper, (c) two different length cables connected by one damper and(d) two different length cables connected by two dampers. The relevance of the dampers’ po-sitions is discussed as well as its(their) efficiency, in terms of nondimensional parameters. Thedependence of the vibration modes’ geometries on the nondimensional parameters governing themechanical and geometrical properties of the system cable(s), damper(s) is also discussed.

Keywords: cable(s), damping, nondimensional parameters, free and forced vibrations.

vi

Índice

Agradecimentos iii

Resumo v

Abstract vi

Notação ix

1 Introdução 11.1 Considerações gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Breve referência ao contributo de Max Irvine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 Oscilações livres de um cabo 72.1 Teoria e formulação do problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.1.1 Equação diferencial do movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.1.2 Discretização da equação diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.1.3 Equilíbrio estático do cabo-viga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.1.4 Construção de uma solução real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.2 Formulação adimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.3 Conjunto exploratório de ensaios numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.3.1 Primeiro conjunto de ensaios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.3.2 Segundo conjunto de ensaios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.3.3 Terceiro conjunto de ensaios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.3.4 Quarto conjunto de ensaios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.3.5 Quinto conjunto de ensaios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.3.6 Sexto conjunto de ensaios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.3.7 Sétimo conjunto de ensaios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.3.8 Oitavo conjunto de ensaios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.3.9 Nono conjunto de ensaios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.3.10 Décimo conjunto de ensaios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.4 Estudo paramétrico para cabos-viga sem amortecedor . . . . . . . . . . . . . . . 482.5 Estudo paramétrico para cabos-viga com um amortecedor a meio vão . . . . . . . 552.6 Estudo paramétrico para cabos-viga com um amortecedor perto de um apoio . . 59

3 Oscilações livres de um sistema de dois cabos ligados por amortecedores e

vii

molas 733.1 Caso geral: dois cabos com vãos diferentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.1.1 Equações do movimento dos cabos-viga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 733.1.2 Método da separação de variáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 743.1.3 Método das diferenças finitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

3.2 Caso particular: dois cabos com vãos iguais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 783.3 Resultados e comentários . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

3.3.1 Modos de vibração, frequências naturais e fatores de amortecimento paradois cabos de vãos iguais ligados por um amortecedor . . . . . . . . . . . 78

3.3.2 Modos de vibração, frequências naturais e fatores de amortecimento paradois cabos de vãos diferentes ligados por um amortecedor . . . . . . . . . 95

3.3.3 Modos de vibração, frequências naturais e fatores de amortecimento paradois cabos de vãos diferentes ligados por dois amortecedores . . . . . . . . 111

4 Oscilações forçadas de cabos 1174.1 Equações do movimento no domínio do tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1174.2 Configuração de equilíbrio estático do cabo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1194.3 Equações do movimento no domínio da frequência . . . . . . . . . . . . . . . . . 1204.4 Resultados e comentários . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

5 Conclusões e desenvolvimentos futuros 133

Referências 135

viii

Notação

Alfabeto latino

A Área da secção transversal do cabo

a Distância entre nós consecutivos da malha de diferenças finitas

B Matriz unitária (constituída por uns)

C Matriz de amortecimento

c Coeficiente de amortecimento de um amortecedor

c′ Coeficiente de amortecimento por unidade de comprimento

d Flecha

E Módulo de elasticidade

Fx, Fy Componentes horizontal e vertical da excitação harmónica (cargas por unidade de com-primento)

g Aceleração da gravidade

H Impulso (horizontal) estático

h Componente dinâmica do impulso

I Momento central de inércia da secção transversal do cabo-viga

i número imaginário

K Matriz de rigidez total

K′, K′′ Parcelas da matriz de rigidez total

k Coeficiente de rigidez de uma mola

k′ Coeficiente de rigidez por unidade de comprimento

l Comprimento da projeção horizontal do cabo (corda)

ix

L0 Comprimento natural do cabo (sem carregamento)

L Comprimento instantâneo do cabo

Ld Menor comprimento que dista do apoio ao nó onde o amortecedor está instalado

Le Comprimento equivalente do cabo

M Matriz de massa

m Massa do cabo por unidade de comprimento

N Número de segmentos do cabo discretizado

n Número de nós internos do cabo discretizado

p Vetor dos valores próprios complexos

p Frequência angular complexa

s Coordenada ao longo do cabo com origem no apoio esquerdo

T Matriz de transformação

T Força axial estática do cabo (esforço normal)

t Tempo

u Deslocamento horizontal no plano do cabo, contado a partir da configuração estática

v Deslocamento transversal no plano do cabo, contado a partir da configuração estática

V Reação vertical estática no apoio esquerdo

W Peso total do cabo

w Matriz dos vetores próprios complexos

x Abcissa do centro de gravidade de uma secção transversal da configuração de equilíbrioestático

xc Abcissa da localização do amortecedor a partir do apoio esquerdo

y Ordenada do centro de gravidade de uma secção transversal da configuração de equilíbrioestático

Alfabeto grego

Γd Parâmetro adimensional da localização do amortecedor no cabo

ζ Fator de amortecimento

x

θ Ângulo entre o eixo de um elemento infinitesimal de cabo e a horizontal

λ2 Parâmetro de Irvine

ξ Parâmetro adimensional da rigidez de flexão

τ Impulso axial dinâmico instantâneo

χ Matriz adimensional correspondente à parcela K′ da matriz de rigidez

Ψ Parâmetro adimensional do amortecedor

Ω Vetor dos valores próprios complexos adimensionais

Ωj Frequência complexa adimensional

ω Frequência angular não amortecida do cabo

ωad Frequência angular adimensional não amortecida do cabo

ωD Frequência angular amortecida

ω0 Frequência angular não amortecida do primeiro modo de vibração do cabo sem amorte-cedor (cabo não necessariamente muito tenso)

ω1s Frequência angular do primeiro modo de uma corda vibrante

Índices inferiores

a, b Índices que designam os cabos

i, j Índices que designam nós do cabo discretizado

Símbolos

C Conjunto dos números complexos

R Conjunto dos números reais

xi

xii

Capítulo 1

Introdução

1.1 Considerações gerais

A presente dissertação tem como objetivo o estudo das oscilações de cabos com amortecimentointerno ou com amortecedores externos, em regime livre e em regime forçado. Este estudo tratade cabos em algumas aplicações da Engenharia Civil, nomeadamente cabos de pontes de tirantese de pontes suspensas (Figura 1.1). No entanto, as formulações propostas podem igualmente ser

(a) Ponte de tirantes (ponte na Normandia emFrança).

(b) Ponte suspensa (ponte 25 de Abril em Lis-boa).

Figura 1.1: As pontes de tirantes e suspensas utilizam os cabos como elemento estrutural principal.

aplicadas a outros tipos de estruturas que utilizem cabos, visto que os princípios que regem oseu comportamento dinâmico são idênticos. Como exemplos de outras aplicações referem-se oscabos de estruturas tensionadas ou de transporte de energia elétrica (Figura 1.2).

(a) Cobertura do centro Sonyem Berlim.

(b) Cobertura tensionada. (c) Linha de transporte deenergia elétrica.

Figura 1.2: Exemplos da utilização de cabos.

1

É na construção de pontes suspensas e de tirantes que os cabos desempenham uma das funçõesestruturais mais importantes. As primeiras pontes suspensas modernas datam da primeira partedo século XIX, no decorrer da revolução industrial (1760-1840), o que possibilitou a produção euso de ferro, bem como de seus derivados (aço) em grande escala. As pontes de tirantes modernassó surgiram em meados do século XX pela iniciativa de diversos engenheiros. Destaca-se FranzDischinger (1887-1953), que em 1938 concluiu que os fios de aço (para a época, de elevadaresistência) dos cabos teriam que ser muito tensionados para serem suficientemente rígidos, porforma a manterem as deformações do tabuleiro da ponte dentro de determinados limites (Itoet al., 1991). Porém, na segunda metade do século XIX já se construíam pontes que eramhíbridos entre pontes suspensas e pontes de tirantes. É o caso da ponte de Brooklin (1883)nos E.U.A., com um vão principal de 486m, onde se utilizaram tirantes inclinados conjugadoscom pendurais, estes últimos ligados a cabos principais (Gimsing, 1998). Podem-se dar comoexemplos de algumas das primeiras pontes suspensas modernas a Dryburgh Abbey Bridge (1818)com um vão principal de 80m, a Union Bridge (1820) com um vão principal de 110m e aMenai Bridge (1826) com um vão principal de 176m, todas construídas no Reino Unido. Comoexemplos de primeiras pontes de tirantes modernas pode-se referir a ponte Strömsund na Suécia(1956), com um vão principal de 182.6m, e um conjunto de três pontes que se construíram emDüsseldorf na Alemanha (1956-1972) para o atravessamento do rio Reno. A primeira pontesuspensa moderna construída em Portugal, a “Ponte pênsil do Porto” sobre o Douro, com umvão principal de 150m, ainda foi construída na primeira metade do século XIX. A primeira pontede tirantes moderna em Portugal, a ponte da Figueira da Foz, com um vão principal de 225m,foi concluída em 1982 (projeto de Edgar Cardoso).

É sabido que as pontes suspensas permitem vencer vãos superiores aos das pontes de tirantes,embora as pontes de tirantes tenham nos últimos anos vindo a ser construídas com vãos acima dos1000m, o que antes estava reservado apenas para as pontes suspensas; por exemplo, atualmentea maior ponte de tirantes do mundo, a ponte Russky Island na Rússia, tem um vão principal de1104m (Pedro, 2010). Devido ao seu modelo estrutural, pontes suspensas e pontes de tirantespossuem vantagens semelhantes face aos restantes tipos de pontes. Algumas das vantagensdesses tipos de pontes, em que os cabos assumem uma função estrutural de especial destaque,são:

i) Possibilidade de vencer grandes vãos, com um reduzido número de pilares.

ii) Redução da espessura do tabuleiro, devendo-se ao percurso das cargas que não se faz dire-tamente do tabuleiro para os pilares, mas sim do tabuleiro para os cabos e, só depois, doscabos para os pilares.

iii) Face a ações horizontais, como o sismo, tornam-se mais vantajosas por serem estruturasrelativamente mais leves e flexíveis do que os restantes tipos de pontes.

Na evolução das pontes de tirantes modernas foram adotas diversas disposições de cabos en-quanto que nas pontes suspensas a configuração dos cabos envolve sempre um cabo principalcom a configuração muito próxima da de uma parábola e pendurais ligando na vertical o caboprincipal ao tabuleiro. Nas pontes de tirantes existem três configurações principais que se podem

2

adotar para os tirantes: harpa, leque ou semi-leque.

As primeiras pontes de tirantes modernas possuíam vãos relativamente pequenos e tirantescurtos, pelo que a excitação dos cabos por libertação de vórtices era o único fenómeno associadoà aerodinâmica dos cabos (Ito et al., 1991). Com o aumento dos vãos e consequente aumentodo comprimento dos cabos, os fenómenos aerodinâmicos que contribuem para os fenómenosde fadiga têm-se tornado mais importantes e frequentes. Em tirantes os problemas de fadigasão mais relevantes perto das ancoragens pois nessas zonas há oscilações de tensões produzidas(i) pela parcela dinâmica do esforço axial e (ii) pelo momento fletor a que os cordões estãosujeitos devido ao encastramento (pelo menos parcial) entre o tirante e o tabuleiro e à rigidez àflexão que não é nula (Abdel-Ghaffar e Khalifa, 1991). Numa campanha extensa de observaçãode pontes de tirantes (Watson e Stafford, 1988) concluiu-se que os cabos de um grande númerode pontes de tirantes tinham problemas de corrosão e fadiga, acelerados pela ocorrência devibrações de grandes amplitudes. A importância da vibração de tirantes de pontes é realçadapor exemplo em (Hoffmeister et al., 1993), (Caetano, 2007), (Pinto da Costa, 1993) e (Starossek,1994). Os fenómenos aerodinâmicos, que podem causar grandes amplitudes dos cabos são detrês tipos. Um é a excitação por libertação de vórtices: a irregularidade do escoamento de ar emtorno da secção transversal do cabo, causa flutuações de pressão que resultam numa vibraçãodo cabo. Um outro tipo de fenómeno é o galope de interferência (“wake galloping”), que ocorrequando vários cabos se dispõem paralelamente e a pouca distância entre si (Knisely e Kawagoe,1990; Yoshimura et al., 1993). O espaçamento entre cabos é o parâmetro fundamental nestefenómeno; para obviar aos efeitos nefastos deste fenómeno é necessário que os centros de doiscabos vizinhos estejam separados por uma distância superior a cinco vezes os seus diâmetros(Ito et al., 1991). O terceiro fenómeno é a vibração induzida pelo vento em conjunto com achuva (Hikami e Shiraishi, 1988; Flamand, 1995). Para este fenómeno ocorrer é necessário que aintensidade da chuva e a velocidade do vento sejam tais que permitam a formação de um regatode água na parte superior da bainha do tirante. É a oscilação desse regato de água que entra emressonância com um dos modos de vibração transversal do cabo (Yamaguchi, 1990). Existematualmente formas de impedir a formação desse regato de água tais como a introdução de espírasou relevos. As soluções para diminuir os efeitos destas vibrações indesejadas passam obviamentepor melhorar as propriedades de amortecimento dos cabos. Os amortecedores, quando bemdimensionados, são o método mais eficaz para diminuir as vibrações dos cabos. Para além destemétodo existem outros que podem contribuir para o mesmo efeito, como por exemplo a ligaçãode vários cabos através de cabos secundários, permitindo que as vibrações ocorridas num cabosejam minoradas pelos outros (Ito et al., 1991).

A literatura regista vários trabalhos dedicados exclusivamente ao estudo do amortecimento dasvibrações de tirantes e estruturas com cabos, dos quais mencionamos (Yamaguchi e Jayawardena,1992), (Pacheco et al., 1993), (Crémona, 1997), (Krenk, 2000), (Wang et al., 2005), (Wu et al.,2005), (Weber et al., 2009), (Cheng et al., 2010), (Hoang e Fujino, 2007), (Fujino e Hoang, 2008)e (Weber et al., 2005).

Para além dos capítulos de introdução (Capítulo 1) e de conclusões (Capítulo 5), a presentedissertação é composta por três partes. Na primeira parte, Capítulo 2, estuda-se as oscilações

3

livres de um cabo sem e com amortecedor, adotando-se a formulação apresentada em (Mehrabie Tabatabai, 1998) e (Tabatabai e Mehrabi, 2000). O capítulo seguinte foca-se nas oscilaçõeslivres de dois cabos ligados por amortecedores. À semelhança do capítulo anterior, o Capítulo 3apresenta uma formulação para os dois cabos, baseada nos artigos referidos anteriormente, bemcomo uma discussão de resultados. Seguidamente, o Capítulo 4 trata de oscilações forçadas deum cabo sem amortecedor, com base na formulação apresentada em (Xu et al., 1998), contendouma discussão de resultados comparando-os com os do artigo mencionado. Por fim, no Capí-tulo 5, elabora-se uma síntese do trabalho efetuado apresentando-se as conclusões principais,fazendo-se também uma breve referência a alguns aspetos a tratar em futuros trabalhos.

1.2 Breve referência ao contributo de Max Irvine

Apesar de já em 1676 Noble e Pigott (Ito et al., 1991) terem conhecimento de que uma cordapossui múltiplos modos de vibração, foi Irvine (1981) que deu um grande impulso para a com-preensão do comportamento dinâmico de cabos elásticos com apoios articulados; o livro (Irvine,1981) compila os seus estudos de finais da década de 70 do século passado nos domínios daestática e dinâmica de cabos.

Nas equações de equilíbrio estático, ou nas equações que regem a dinâmica de um cabo elásticolinear e infinitamente flexível, surge um parâmetro adimensional de primordial importância: oparâmetro de Irvine, habitualmente designado por λ2, é o parâmetro adimensional que tem emconta os efeitos geométricos e elásticos de um cabo (Irvine, 1981). No estudo (Tabatabai eMehrabi, 2000) concluiu-se que o intervalo de variação deste parâmetro é 0 < λ2 < 2.84, combase em 1400 cabos de 16 pontes de tirantes. Este parâmetro é definido por

λ2 =(mgl

H

)2 EAl

HLe

onde m é a massa por unidade de comprimento do cabo, g é a aceleração da gravidade, l éo comprimento da corda do cabo, H é a força horizontal exercida no cabo, E é o módulo de

elasticidade, A é a área da secção transversal do cabo, Le =∫ l

0(ds/dx)3 dx ' 3L−2l designa-se

de comprimento equivalente do cabo e L é o comprimento do cabo. Certos autores referemque os cabos típicos da maioria das pontes de tirantes têm valores do parâmetro de Irvinecompreendidos no intervalo mais restrito 0 < λ2 ≤ 1, enquanto que os valores de λ2 dos cabosprincipais das pontes suspensas se localizam no intervalo 16π2 ≤ λ2 ≤ 350 (Gimsing, 1998). Ostirantes do estudo (Tabatabai e Mehrabi, 2000) cujo valor de λ2 se situa acima de 1 são já tirantesmuito longos de pontes de vãos excecionalmente elevados (por exemplo os tirantes mais longosda ponte da Normandia representada na Figura 1.1a). Um cabo muito tenso (λ2 baixo) de umtirante de ponte é obrigado a deformar-se elasticamente (a mudar de comprimento) para poderequilibrar o seu peso próprio ou eventuais cargas aplicadas. Para poder equilibrar uma açãoexterior, um cabo pouco tenso (λ2 elevado) como o cabo principal de uma ponte suspensa mudaa sua configuração sem praticamente modificar o seu comprimento (por deformação elástica);essa mudança de configuração dá-se à custa de uma modificação da curvatura.

4

O parâmetro de Irvine condensa toda a informação de que dependem as frequências naturais e osmodos de vibração do cabo infinitamente flexível. A Figura 1.3 permite visualizar a dependênciadas frequências naturais adimensionais (de um cabo de apoios nivelados) no parâmetro de Irvine.As frequências naturais dos modos simétricos são determinadas através da expressão

tan ωad2 = ωad

2 − 4λ2

(ωad2

)3(1.1)

em que ωad = ωl√m/H. As frequências apresentadas nas ordenadas foram obtidas pelo quo-

ciente entre a frequência angular ω e a primeira frequência angular de um cabo muito esticado(corda vibrante) de vão l

((π/l)

√H/m

). Por outro lado as frequências naturais dos modos an-

tissimétricos são independentes do parâmetro de Irvine pois um modo antissimétrico sobrepostoà configuração estática do cabo não envolve, em primeira aproximação, variações de extensõesaxiais.

0.001 0.01 0.1 1 10 100 1000 100000

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

λ2

ωl

π

√

m

H

1S

1A

2S

2A

3S

3A

4S

4A

5S

5A

Figura 1.3: Frequências naturais adimensionais dos primeiros dez modos de vibração de um caboelástico, onde as letras S e A designam os modos simétricos e antissimétricos respetivamente. A letra ωdesigna a frequência angular natural dimensional.

Para determinados valores (elevados) do parâmetro λ2 observam-se coalescências das frequên-cias naturais (“cross-over points”, como são designados em (Irvine, 1981) esses pontos de cruza-mento). Por exemplo, as frequências dos primeiros modos de vibração simétrico e antissimétricocoalescem (isto é, tornam-se iguais) para λ2 = 4π2; para esse valor de λ2 as frequências des-ses modos são iguais, apesar de os correspondentes modos terem configurações diferentes comoadiante se verá. Outros pontos de coalescência ocorrem para λ2 = 16π2, 36π2, 64π2, 100π2,e assim por diante. As geometrias dos modos antissimétricos não dependem do parâmetro deIrvine pelo motivo já aludido acima a propósito das frequências naturais. A Figura 1.4 repre-senta os dois primeiros modos antissimétricos. A Figura 1.5a ilustra a variação da geometriado primeiro modo simétrico com o parâmetro de Irvine em que se observa uma geometria pe-

5

culiar com pequenas rotações perto dos apoios quando λ2 toma o valor de 4π2 correspondenteà coalescência entre as frequências naturais dos primeiros modos simétrico e anitissimétrico; aFigura 1.5b ilustra o mesmo fenómeno para o segundo modo simétrico, em que novamente paraum parâmetro de Irvine de 16π2 se observa uma forte moderação das rotações perto dos apoios.

−1 0 1 −1

0

1

(a) Geometria do 1o modo antissimétrico.−1 0 1

−1

0

1

(b) Geometria do 2o modo antissimétrico.

Figura 1.4: Primeiros dois modos de vibração antissimétricos de um cabo elástico com apoios articula-dos.

−1 0 1 −1

0

1

λ2= 0.01

λ2= 4π

2

λ2= 500

(a) Geometrias do 1o modo simétrico para trêsvalores do parâmetro de Irvine.

−1 0 1 −1

0

1 λ2= 0.01

λ2= 16π

2

λ2= 500

(b) Geometrias do 2o modo simétrico para trêsvalores do parâmetro de Irvine.

Figura 1.5: Primeiros três modos de vibração simétricos de um cabo elástico com apoios articulados.

6

Capítulo 2

Oscilações livres de um cabo

O presente capítulo trata da dinâmica das oscilações livres de um cabo-viga (cabo com rigidez àflexão). De facto, o modelo idealizado do cabo infinitamente flexível não representa fielmente oscabos reais, em particular se as condições de apoio não forem articuladas. Todos os cabos quedesempenham funções estruturais têm alguma rigidez à flexão, que será tomada em consideraçãonesta dissertação. Deduzir-se-á a equação integro-diferencial que rege as oscilações de pequenaamplitude de um cabo-viga em torno da configuração de equilíbrio estático, apresentada emvários estudos como por exemplo (Mehrabi e Tabatabai, 1998), e discretizar-se-á a mesma pelométodo das diferenças finitas com vista (i) à obtenção de aproximações numéricas dos modosde vibração, (ii) ao cálculo das frequências naturais amortecidas e (iii) ao cálculo dos fatores deamortecimento que representam uma medida do decaimento das oscilações livres dos diversosmodos de vibração. Este capítulo basear-se-á no livro (Irvine, 1981) e nos artigos (Mehrabi eTabatabai, 1998) e (Tabatabai e Mehrabi, 2000) para a dedução das equações do movimento e darespetiva discretização pelo método das diferenças finitas e para a obtenção de uma formulaçãoadimensional dependente de um número mínimo de parâmetros adimensionais. A formulaçãotem também em conta dois tipos de condições de fronteira (apoio fixo ou encastramento), permiteque a secção transversal seja variada (embora nesta dissertação apenas consideremos cabos desecção uniforme) e permite a consideração de molas e amortecedores concentrados ou distribuídosao longo do vão. No final, apresentam-se e discutem-se vários resultados numéricos obtidos como programa desenvolvido em ambiente MatLab (The MathWorks, Inc., 2013), com base nestaformulação.

2.1 Teoria e formulação do problema

2.1.1 Equação diferencial do movimento

Considere-se um cabo-viga de apoios nivelados com uma massa por unidade de comprimento m,uma secção transversal de rigidez axial EA e rigidez à flexão EI, sujeito a um impulso H (com-ponente horizontal do esforço normal) e à ação de um campo gravítico uniforme de aceleração g.

7

Os apoios podem ser articulados ou encastrados (na Figura 2.1 está representada a configuraçãoestática de um cabo com os dois apoios encastrados). O modelo incluirá também distribui-ções de amortecedores com um coeficiente de amortecimento por unidade de comprimento c′ edistribuições de molas lineares com uma rigidez por unidade de comprimento designada por k′.

A equação que rege o movimento do cabo pode deduzir-se a partir do teorema de d’Alambert (ou2a lei de Newton) aplicado-o a um elemento infinitesimal de cabo de comprimento ds. Na Figura2.2 representa-se uma configuração dinâmica genérica. Para facilitar a contabilização de todasas forças atuantes num elemento de cabo, esquematiza-se na metade esquerda da Figura 2.3 odiagrama de corpo livre de um elemento genérico de cabo-viga de comprimento infinitesimal.

x, u

y, y , v

c' k'

HH

l

d

t

m, EA, EI

Configuração estática

Figura 2.1: Cabo-viga de vão l e impulso estático H, ligado a um sistema de amortecedores e molasdistribuídos com coeficiente de amortecimento e rigidez por unidade de comprimento iguais a c′ e a k′,respetivamente. As propriedades: m (massa por unidade de comprimente), EA (rigidez axial) e EI(rigidez à flexão) são consideradas uniformes.

x, u

y, y , v

c'

k'

H+hH+h

l

t

Configuração dinâmica

m, EA, EI

Figura 2.2: Cabo-viga de vão l, impulso estático H e impulso dinâmico instantâneo h, ligado a umsistema de amortecedores e molas distribuídos com coeficiente de amortecimento e rigidez por unidade decomprimento iguais a c′ e a k′, respetivamente. As propriedades: m (massa por unidade de comprimente),EA (rigidez axial) e EI (rigidez à flexão) são consideradas uniformes.

O impulso H resulta da ação do pré-esforço instalado e da ação do peso próprio. Quando ocabo é atuado apenas pela ação gravítica surge um impulso estático H, resultado do equilíbrioestático (Irvine, 1981; Krenk, 2001):

∑Fx = 0 ⇔ d

ds

(Tdx

ds

)= 0 ⇔ T

dx

ds= H = uniforme .

Quando o cabo é atuado por uma ação dinâmica, para além do impulso estático, regista-se,em cada instante, um impulso dinâmico h, que é adicionado ao impulso estático. O ponto departida para determinar a equação diferencial do movimento é a aplicação da 2a lei de Newton

8

V

T

1

1

V+dV

T+dT

ɵ

ɵ+dɵ

∂y

∂x

2

2

dx

ds

mgds

c'

k'ydx

∂y

∂t

dx

t

t

t

M

M+dM

x,u

y,y ,v

t

mds

∂y

∂t

2

2

t

∂y

∂x

t

∂y

∂x

t

+

Figura 2.3: Ilustração da segunda lei de Newton para um elemento do cabo-viga atuado pela açãogravítica, amortecedor e mola. O deslocamento transversal yt é a soma de duas parcelas, a parcelaestática y(x) que só depende do espaço e a parcela dinâmica v(x, t) que depende do espaço e do tempo.V é o esforço transverso da teoria de Euler-Bernoulli das vigas (V = dM/dx); V não tem qualquercontribuição da componente vertical do esforço axial do cabo.

ao elemento de cabo de comprimento infinitesimal. A aplicação da 2a lei de Newton na direçãovertical conduz a∑

Fy = (mds)aGy

⇔− T sin θ − V − c′∂yt

∂tdx− k′ytdx+mgds+ V + dV + (T + dT ) sin(θ + dθ) = mds

∂2yt

∂t2

⇔− c′∂yt

∂tdx− k′ytdx+mgds+ dV + T cos θ

(∂2yt

∂x2 ds

)= mds

∂2yt

∂t2,

onde se admite que: (1) dT cos θ dθ ∼ 0, por corresponder a um infinitésimo de ordem superior,(2) dT sin θ ∼ 0, por o cabo-viga ser tenso (θ pequeno), (3) sin(θ + dθ) = sin θ + cos θ dθ e

(4) dθds

= χ ∼ ∂2yt

∂x2 define a curvatura no caso de um cabo tenso. O fator T cos θ é igual à somados impulsos estático e dinâmico: T cos θ = H + h. Para um cabo tenso dx ∼ ds; dividindoambos os membros da equação por dx, a equação do movimento transversal toma a forma

−c′∂yt

∂t− k′yt +mg + dV

dx+ (H + h)∂

2yt

∂x2 = m∂2yt

∂t2. (2.1)

Tendo em atenção que no cabo-viga se considera a rigidez de flexão, o momento fletor M =

−EIχ = −EI ∂2yt

∂x2 e o esforço transverso V = dM

dx= −EI ∂

3yt

∂x3 . O termo de esforço trans-

verso da Equação (2.1) pode ser escrito na forma dV

dx= −EI ∂

4yt

∂x4 e a equação do movimentotransversal fica

− c′∂yt

∂t− k′yt +mg − EI ∂

4yt

∂x4 + (H + h)∂2yt

∂x2 = m∂2yt

∂t2. (2.2)

De forma análoga ao que foi feito para o impulso, também o deslocamento transversal totalyt pode ser decomposto numa parcela estática y(x) independente do tempo e numa parceladinâmica v(x, t) função do tempo: yt = y(x) + v(x, t). Assim sendo as derivadas que aparecem

9

na Equação (2.2) também se simplificam ou se decompõem:

∂yt

∂t= ∂v

∂t,

∂2yt

∂t2= ∂2v

∂t2,

∂2yt

∂x2 = d2y

dx2 + ∂2v

∂x2 ,

∂4yt

∂x4 = d4y

dx4 + ∂4v

∂x4 .

A equação do cabo-viga pode então ser reescrita na forma

mg − k′y − EI d4y

dx4 +Hd2y

dx2 − c′∂v

∂t− k′v − EI ∂

4v

∂x4 + hd2y

dx2 +H∂2v

∂x2 = m∂2v

∂t2, (2.3)

onde se desprezou um termo h∂2v

∂x2 , porque as amplitudes de vibração e a parcela dinâmica doimpulso são pequenas. Os quatro primeiros termos da equação anterior formam a equação deequilíbrio estático, pelo que a sua soma deve ser igual a zero:

mg − k′y − EI d4y

dx4 +Hd2y

dx2 = 0 . (2.4)

Chama-se a atenção para o facto de o termo k′y dever ser ignorado se se admitir que eventuaismolas só são instaladas depois de o cabo atingir a sua configuração de equilíbrio estático. Destemodo, a equação diferencial do movimento transversal de um cabo-viga ligado a amortecedorese molas é dada por:

EI∂4v

∂x4 −H∂2v

∂x2 − hd2y

dx2 + k′v + c′∂v

∂t+m

∂2v

∂t2= 0 , (2.5)

em que, x ∈ [0, l] é a abcissa que localiza as secções, v(x, t) é o deslocamento transversal da secçãode abcissa x no instante t, contabilizado a partir da configuração de equilíbrio estático y(x) e h(t)é a parcela dinâmica do impulso no cabo-viga. A Equação (2.5) rege o movimento de um cabo--viga tenso de apoios nivelados, com secção e massa uniformes por unidade de comprimento. Talcomo em (Mehrabi e Tabatabai, 1998) estamos interessados em calcular as frequências naturaise os modos de vibração de um cabo-viga contendo, eventualmente, amortecedores e molas aolongo do vão. Deste modo, começa-se por aplicar o método clássico da separação de variáveisà equação anterior, exprimindo o campo de deslocamentos v(x, t), variado na coordenada x

e variável no tempo t, como o produto entre uma função apenas dependente da coordenadaespacial e uma função apenas dependente do tempo,

v(x, t) = w(x)q(t) , (2.6)

em que se admite q(t) = exp(pt) sendo p = −ζω± iωD = −ζω± iω√

1− ζ2 a frequência angularcomplexa (com i2 = −1 representando a unidade imaginária). A quantidade ζ representa o fatorde amortecimento do cabo-viga, ω é a frequência angular não amortecida e ωD é a frequência

10

angular amortecida. Assim,

EId4w

dx4 q −Hd2w

dx2 q − hd2y

dx2 + k′wq + c′wpq +mwp2q = 0 . (2.7)

A terceira parcela da equação anterior é a única que não depende explicitamente de q(t), peloque seria conveniente descobrir a dependência de h em q. De modo a podermos eliminar avariável q(t) da Equação (2.7) recorremos à definição da parcela dinâmica da extensão axial eà sua relação com a parcela dinâmica da tensão no centro de gravidade da secção do cabo. Oquadrado do comprimento de um elemento de eixo do cabo-viga antes e depois da deformaçãodinâmica é, respetivamente, igual a (ds)2 = (dx)2 + (dy)2 e (dS)2 = (dx+ du)2 + (dy + dv)2. Aextensão axial é então dada por

dS − dsds

' ∂u

∂s

dx

ds+ ∂v

∂s

dy

ds, (2.8)

em que se desprezou o termo de ordem superior 12 (dv/ds)2 e se usou o desenvolvimento em série

de Taylor√

1 + ε− 1 ' 12ε (|ε| 1). A parcela dinâmica da extensão axial relaciona-se com a

parcela dinâmica do impulso pela lei de Hooke,

dS − dsds

= h

EA

ds

dx. (2.9)

A conjugação de (2.8) e (2.9) conduz a

h

EA

(ds

dx

)3= ∂u

∂x+ ∂v

∂x

dy

dx(2.10)

que, integrada no vão, conduz a (Irvine, 1981; Krenk, 2001)

∫ l

0

h(

dsdx

)3

EAdx =

∫ l

0

∂u

∂xdx+

∫ l

0

dy

dx

∂v

∂xdx . (2.11)

Uma vez que os apoios estão fixos e nivelados∫ l

0

∂u

∂xdx =

∫ l

0du = 0 .

A parcela dinâmica do impulso não depende de x, h = h(t), logo, da Equação (2.11),

h =

∫ l

0dydx

dwdx dx∫ l

0

( dsdx )3

EA dx

q = h′q , (2.12)

em que h′ é constante (não depende do tempo). Substituindo na Equação (2.7) obtém-se

EId4w

dx4 −Hd2w

dx2 − h′ d

2y

dx2 + k′w + c′pw +mp2w = 0 . (2.13)

11

Note-se que no caso de o cabo-viga ser não homogéneo o termo EI d4w

dx4 seria substituído pord2

dx2

(EI

d2w

dx2

). Uma vez que

(ds

dx

)3=[1 +

(dy

dx

)2] 32

,

pode-se escrever

h′ =

∫ l

0dydx

dwdx dx∫ l

01

EA

[1 +

(dydx

)2] 3

2dx

. (2.14)

A integração por partes do numerador resulta em

∫ l

0

dy

dx

dw

dxdx =

[dy

dxw

]l

0−∫ l

0

d2y

dx2wdx

= dy

dx(l)w(l)− dy

dx(0)w(0)−

∫ l

0

d2y

dx2wdx

= −∫ l

0

d2y

dx2wdx

porque w(0) = w(l) = 0. Assim,

h′ =−∫ l

0d2ydx2wdx∫ l

01

EA

[1 +

(dydx

)2] 3

2dx

. (2.15)

A substituição de (2.15) em (2.13) permite obter a seguinte equação integro-diferencial

EId4w

dx4 −Hd2w

dx2 +

∫ l

0d2ydx2wdx∫ l

01

EA

[1 +

(dydx

)2] 3

2dx

d2y

dx2 + k′w + c′pw +mp2w = 0 , (2.16)

que rege os modos de vibração de um cabo-viga tenso em torno da sua configuração de equilíbrio.

2.1.2 Discretização da equação diferencial

Considera-se uma malha uniforme de diferenças finitas, em que o vão l é dividido emN segmentosde comprimento a = l

Ntal como se ilustra na Figura 2.4. O número de nós internos da malha

de diferenças finitas é n = N − 1. O índice i indica a posição de um nó na malha. As condiçõesde fronteira podem ser: apoios encastrados, articulados ou mistos, como se apresentam naFigura 2.5. Exemplificam-se de seguida algumas aproximações por diferenças finitas de algunsoperadores diferenciais envolvendo uma hipotética função z(x):(

dz

dx

)i

= zi+1 − zi−12a ,

12

x, u

y, y , v

c' k'

l

d

t

m, EA, EI

a

i=0i=1

i=2

i=n i=n+1

Figura 2.4: Cabo-viga de vão l discretizado em N segmentos iguais, eventualmente ligado a amortece-dores e molas.

(a) Cabo-viga com ambos os apoios encastrados.

(b) Cabo-viga com ambos os apoios articulados.

(c) Cabo-viga com um dos apoios encastrados e o outro articulado (não considerado nos exemplosnuméricos).

Figura 2.5: Condições de apoio de um cabo-viga.

(d2z

dx2

)i

= zi+1 − 2zi + zi−1a2 ,

(d4z

dx4

)i

=

(d2zdx2

)i+1− 2

(d2zdx2

)i+(

d2zdx2

)i−1

a2

= 1a4 [zi+2 − 4zi+1 + 6zi − 4zi−1 + zi−2] .

As condições de fronteira para um apoio fixo são w = 0 e w′′ = 0, enquanto que para umapoio encastrado são w = 0 e w′ = 0. ()′ e ()′′ designam respetivamente as primeira e segundaderivadas de () em ordem à variável independente. De seguida apresentam-se as discretizaçõesdos dois tipos de condições de fronteira para o apoio do lado esquerdo (i = 0) e o apoio do ladodireito (i = n+1). Uma vez que algumas condições de fronteira envolvem derivadas é necessárioconsiderar um nó i = −1 exterior ao cabo, do lado esquerdo, e um nó i = n+2 exterior ao cabo,do lado direito.

13

i) Apoio fixo em i = 0 (Figura 2.6):w0 = 0(d2w

dx2

)0

= 0⇔

w0 = 0w1 − 2w0 + w−1

a2 = 0⇔

w0 = 0

w1 = −w−1

i=0i=-1 i=1

w

-1

w

1

Figura 2.6: Deslocamentos na vizinhança de um apoio articulado em i = 0 (extremidade esquerda).

ii) Apoio fixo em i = n+ 1 (Figura 2.7):wn+1 = 0(d2w

dx2

)n+1

= 0⇔

wn+1 = 0wn+2 − 2wn+1 + wn

a2 = 0⇔

wn+1 = 0

wn+2 = −wn

i=n+1i=n i=n+2

w

n

w

n+2

Figura 2.7: Deslocamentos na vizinhança de um apoio articulado em i = n+ 1 (extremidade direita).

iii) Apoio encastrado em i = 0 (Figura 2.8):w0 = 0(dw

dx

)0

= 0⇔

w0 = 0w1 − w−1

2a = 0⇔

w0 = 0

w1 = w−1

i=0i=-1 i=1

w

-1

w

1

Figura 2.8: Deslocamentos na vizinhança de um apoio encastrado em i = 0 (extremidade esquerda).

iv) Apoio encastrado em i = n+ 1 (Figura 2.9):wn+1 = 0(dw

dx

)n+1

= 0⇔

wn+1 = 0wn+2 − wn

2a = 0⇔

wn+1 = 0

wn+2 = wn

Utilizando a seguinte aproximação para o integral de uma função ao longo do vão do cabo-viga,

∫ l

0f(x)dx '

n∑i=1

af(xi) ,

14

i=n+1i=n i=n+2

w

n

w

n+2

Figura 2.9: Deslocamentos na vizinhança de um apoio encastrado em i = n+ 1 (extremidade direita).

considerando

f(x) = 1EA

[1 +

(dy

dx

)2] 32

permite-nos deduzir a aproximação por diferenças finitas do denominador de h′ (2.15),

∫ l

0

1EA

[1 +

(dy

dx

)2] 32

dx ∼=1EA

an∑

i=1

[1 +

(yi+1 − yi−1

2a

)2] 3

2

.

Se se considerar agora f(x) = d2y

dx2w, obtemos a aproximação do numerador de h′ (2.15),

−∫ l

0

d2y

dx2wdx∼= −a

n∑i=1

(d2y

dx2

)i

wi = −an∑

i=1

(yi+1 − 2yi + yi−1

a2 wi

),

o que permite finalmente obter a discretização da Equação (2.16) pelo método das diferençasfinitas:

EI1a4 [wi+2 − 4wi+1 + 6wi − 4wi−1 + wi−2]−Hwi+1 − 2wi + wi−1

a2

+ EA

n∑j=1

yj+1−2yj+yj−1a2 wj

n∑k=1

[1 +

(yk+1−yk−1

2a

)2] 3

2

yi+1 − 2yi + yi−1a2 + k′iwi + c′ipwi +mip

2wi = 0 ,

∀ i = 1, · · · , n .

(2.17)

O terceiro termo da equação anterior pode ser escrito de uma forma mais compacta

ri

n∑j=1

sjwj = r sTw =

r1...rn

s1 · · · sn

w1...wn

=

r1s1 · · · r1sn

... . . . ...rns1 · · · rnsn

w1...wn

,

o que permite escrever a versão discreta da Equação (2.16) na forma mais compacta seguinte

EI

a4 wi−2 +(−4EI

a4 −H

a2

)wi−1 +

(6EIa4 + 2H

a2

)wi +

(−4EI

a4 −H

a2

)wi+1 + EI

a4 wi+2

+ ri

n∑j=1

sjwj + k′iwi + c′ipwi +mip2wi = 0 , ∀ i = 1, · · · , n ,

(2.18)

15

em que

ri = EAyi+1−2yi+yi−1

a2

n∑k=1

[1 +

(yk+1−yk−1

2a

)2] 3

2,

sj = yj+1 − 2yj + yj−1a2

e c′i = ci/a, onde ci é o coeficiente de amortecimento de um amortecedor eventualmente colocadono nó i, k′i = ki/a, onde ki é o coeficiente de rigidez de uma mola eventualmente colocada nonó i da discretização e mi = m, onde m é a massa de cabo por unidade de comprimento. Adiscretização da Equação (2.16) pode ainda escrever-se na forma

EI

a4 wi−2 +(−4EI

a4 −H

a2

)wi−1 +

(6EIa4 + 2H

a2 + k′i

)wi +

(−4EI

a4 −H

a2

)wi+1 + EI

a4 wi+2

+ ri

n∑j=1

sjwj + c′ipwi +mip2wi = 0 , ∀ i = 1, · · · , n ,

(2.19)

depois de se agruparem os termos. Com o objetivo de preparar a escrita matricial do problemade valores e vetores próprios que rege a parte espacial das soluções dinâmicas do cabo-viga,escreveu-se seguidamente por extenso, uma a uma, as equações para os nós interiores i = 1,i = 2, i de 3 a n− 2, i = n− 1 e i = n.

i) Equação para i = 1:

EI

a4

∈−w1,+w1︷︸︸︷w−1 +

(−4EI

a4 −H

a2

) =0︷︸︸︷w0 +

(6EIa4 + 2H

a2 + k′1

)w1 +

(−4EI

a4 −H

a2

)w2

+ EI

a4 w3 + r1

n∑j=1

sjwj + c′1pw1 +m1p2w1 = 0

⇔(5EI

a4 ,7EIa4

+ 2H

a2 + k′1

)w1 +

(−4EI

a4 −H

a2

)w2 + EI

a4 w3 + r1

n∑j=1

sjwj + c′1pw1

+m1p2w1 = 0 .

Notar que w−1 ∈ −w1,+w1 consoante a condição de fronteira no apoio esquerdo seja dotipo articulação (−w1) ou encastramento (+w1).

ii) Equação para i = 2:

EI

a4

=0︷︸︸︷w0 +

(−4EI

a4 −H

a2

)w1 +

(6EIa4 + 2H

a2 + k′2

)w2 +

(−4EI

a4 −H

a2

)w3

+ EI

a4 w4 + r2

n∑j=1

sjwj + c′2pw2 +m2p2w2 = 0

⇔(−4EI

a4 −H

a2

)w1 +

(6EIa4 + 2H

a2 + k′2

)w2 +

(−4EI

a4 −H

a2

)w3 + EI

a4 w4

+ r2

n∑j=1

sjwj + c′2pw2 +m2p2w2 = 0 .

16

iii) Equações para i = 3, · · · , n− 2 (são iguais à equação deduzida para o caso geral):

EI

a4 wi−2 +(−4EI

a4 −H

a2

)wi−1 +

(6EIa4 + 2H

a2 + k′i

)wi +

(−4EI

a4 −H

a2

)wi+1

+ EI

a4 wi+2 + ri

n∑j=1

sjwj + c′ipwi +mip2wi = 0 , ∀ i = 1, · · · , n .

iv) Equação para i = n− 1:

EI

a4 wn−3 +(−4EI

a4 −H

a2

)wn−2 +

(6EIa4 + 2H

a2 + k′n−1

)wn−1 +

(−4EI

a4 −H

a2

)wn

+ EI

a4 wn+1︸ ︷︷ ︸=0

+rn−1

n∑j=1

sjwj + c′n−1pwn−1 +mn−1p2wn−1 = 0

⇔ EI

a4 wn−3 +(−4EI

a4 −H

a2

)wn−2 +

(6EIa4 + 2H

a2 + k′n−1

)wn−1 +

(−4EI

a4 −H

a2

)wn

+ rn−1

n∑j=1

sjwj + c′n−1pwn−1 +mn−1p2wn−1 = 0 .

v) Equação para i = n:

EI

a4 wn−2 +(−4EI

a4 −H

a2

)wn−1 +

(6EIa4 + 2H

a2 + k′n

)wn +

(−4EI

a4 −H

a2

) =0︷ ︸︸ ︷wn+1

+ EI

a4

∈−wn,+wn︷ ︸︸ ︷wn+2 +rn

n∑j=1

sjwj + c′npwn +mnp2wn = 0

⇔ EI

a4 wn−2 +(−4EI

a4 −H

a2

)wn−1 +

(5EIa4 ,

7EIa4

+ 2H

a2 + k′n

)wn + rn

n∑j=1

sjwj

+ c′npwn +mnp2wn = 0 .

Notar que wn+2 ∈ −wn,+wn consoante a condição de fronteira no apoio direito seja dotipo articulação (−wn) ou encastramneto (+wn).

17

O sistema de equações anteriores escreve-se matricialmente como se indica seguidamente:p2

m1 · · · 0... . . . ...0 · · · mn

+ p

c′1 · · · 0... . . . ...0 · · · c′n

+

5EIa4 ,

7EIa4

+ 2H

a2 + k′1 −4EIa4 −

H

a2EI

a4 · · ·

−4EIa4 −

H

a26EIa4 + 2H

a2 + k′2 −4EIa4 −

H

a2 · · ·

EI

a4 −4EIa4 −

H

a26EIa4 + 2H

a2 + k′3 · · ·

......

... . . .

0 0 0 · · ·

0 0 0 · · ·

0 0 0 · · ·

· · · 0 0 0

· · · 0 0 0

· · · 0 0 0

. . . · · · · · · · · ·

· · · 6EIa4 + 2H

a2 + k′n−2 −4EIa4 −

H

a2EI

a4

· · · −4EIa4 −

H

a26EIa4 + 2H

a2 + k′n−1 −4EIa4 −

H

a2

· · · EI

a4 −4EIa4 −

H

a2

5EIa4 ,

7EIa4

+ 2H

a2 + k′n

+

r1s1 r1s2 · · · r1sn

r2s1 r2s2 · · · r2sn

...... . . . ...

rns1 rns2 · · · rnsn

w1

w2...wn

=

00...0

.

(2.20)

Note-se que as matrizes de massa e de amortecimento são diagonais, devido à consideraçãoapenas de graus de liberdade de translação (Mehrabi e Tabatabai, 1998). O problema de valorese vetores próprios anterior, a resolver em ordem a p ∈ C e a w = w1 · · ·wnT ∈ Rn com w 6= 0,pode ser escrito na forma compacta,

(K + pC + p2M)w = 0 (2.21)

em que, K = K′ + K′′ com

18

K′ =

Q D V 0 0 0 · · · 0 0 0 0 0 0D S D V 0 0 · · · 0 0 0 0 0 0V D S D V 0 · · · 0 0 0 0 0 00 V D S D V · · · 0 0 0 0 0 0...

......

......

......

......

......

...0 0 0 0 0 0 · · · V D S D V 00 0 0 0 0 0 · · · 0 V D S D V

0 0 0 0 0 0 · · · 0 0 V D S D

0 0 0 0 0 0 · · · 0 0 0 V D Q

, (2.22)

e com K′′ = r sT, C = diag(c′1, · · · , c′n) e M = diag(m1, · · · ,mn). As quantidades Q, S, D e Vpresentes na parcela K′ da matriz de rigidez K, tomam os valores Q ∈

5EIa4 ,

7EIa4

+ 2Ha2 +k′i ,

S = 6EIa4 + 2H

a2 + k′i , D = −4EIa4 −

H

a2 e V = EI

a4 . A notação 0 designa o vetor de zeros dedimensão apropriada. A Equação (2.21) pode ainda ser reescrita na forma canónica,

(K + pM) w = 0 ∈ R2n (2.23)

envolvendo apenas a potência de ordem 1 de p, mas com o dobro do número de incógnitas. Nestaequação

w =

wpw

∈ R2n , K =

[K 00 I

]∈ R2n×2n , M =

[C M−I 0

]∈ R2n×2n . (2.24)

A resolução do problema (2.23) permite determinar os 2n valores próprios p e os modos w, quepermitem calcular w e, sabendo que p = −ζω ± iω

√1− ζ2, por isolamento das partes real e

imaginária de p, pode calcular-se finalmente a frequência natural não amortecida ω e o fator deamortecimento ζ associados ao modo de vibração w.

2.1.3 Equilíbrio estático do cabo-viga

Na Equação (2.16) que rege as pequenas oscilações em torno da configuração de equilíbrio es-tático, o terceiro termo depende da configuração estática do cabo-viga dada pela função y(x).Torna-se pois necessário o cálculo de aproximações numéricas da função y(x). Tal como ante-riormente, utilizar-se-á o método das diferenças finitas. A equação de equilíbrio estático já foiidentificada anteriormente (recordar a Equação (2.4)). Nessa equação ignorar-se-á o termo k′y,porque a instalação de eventuais molas ocorre após o cabo atingir a sua configuração estática.A equação a resolver será então,

EId4y

dx4 −Hd2y

dx2 = mg . (2.25)

Em bom rigor não se pode adotar a simplificação usada em (Irvine, 1981), d2y

dx2 = −mgH

, poisesta apenas é válida para um cabo puro (infinitamente flexível) com apoios articulados, o que

19

corresponde a uma configuração estática do cabo do tipo parabólico; no caso em estudo podem--se variar as condições de fronteira (ou até a secção transversal ao longo do cabo) pelo que aconfiguração estática pode não ser parabólica do 2o grau. Deste modo, para se determinar aconfiguração de equilíbrio estático utiliza-se o método das diferenças finitas aplicado à Equação(2.25). Assumindo o cabo uniforme (mi = m),

EI

a4 yi−2 +(−4EI

a4 −H

a2

)yi−1 +

(6EIa4 + 2H

a2

)yi +

(−4EI

a4 −H

a2

)yi+1 + EI

a4 yi+2 = mg .

As condições de fronteira já foram indicadas atrás. Resumidamente: i) Apoio fixo em i = 0:y0 = 0 e y−1 = −y1 ; ii) Encastramento em i = 0: y0 = 0 e y−1 = y1 ; iii) Apoio fixo emi = n + 1: yn+1 = 0 e yn+2 = −yn ; iv) Encastramento em i = n + 1: yn+1 = 0 e yn+2 = yn.De um modo análogo ao que foi feito para o problema de valores e vetores próprios, o sistemade n equações algébricas a n incógnitas, que permite calcular uma aproximação numérica daconfiguração estática do cabo, pode ser escrito na forma matricial

20

5EIa4 ,

7EIa4

+ 2H

a2 −4EIa4 −

H

a2EI

a4 · · · 0 0 0

−4EIa4 −

H

a26EIa4 + 2H

a2 −4EIa4 −

H

a2 · · · 0 0 0

EI

a4 −4EIa4 −

H

a26EIa4 + 2H

a2 · · · 0 0 0

......

... . . . · · · · · · · · ·

0 0 0 · · · 6EIa4 + 2H

a2 −4EIa4 −

H

a2EI

a4

0 0 0 · · · −4EIa4 −

H

a26EIa4 + 2H

a2 −4EIa4 −

H

a2

0 0 0 · · · EI

a4 −4EIa4 −

H

a2

5EIa4 ,

7EIa4

+ 2H

a2

y1

y2

y3

...

yn−2

yn−1

yn

= mg

1

1

1

...

1

1

1

. (2.26)21

Definindo Q ∈5EIa4 ,

7EIa4

+ 2H

a2 , S = 6EIa4 + 2H

a2 , D = −4EIa4 −

H

a2 e V = EI

a4 , o sistema(2.26) pode escrever-se na forma compacta

Q D V 0 0 0 · · · 0 0 0 0 0 0D S D V 0 0 · · · 0 0 0 0 0 0V D S D V 0 · · · 0 0 0 0 0 00 V D S D V · · · 0 0 0 0 0 0...

......

......

......

......

......

...0 0 0 0 0 0 · · · V D S D V 00 0 0 0 0 0 · · · 0 V D S D V

0 0 0 0 0 0 · · · 0 0 V D S D

0 0 0 0 0 0 · · · 0 0 0 V D Q

y1

y2

y3

y4...

yn−3

yn−2

yn−1

yn

= mg

1111...1111

. (2.27)

A solução y = y1 · · · ynT constitui uma aproximação da configuração estática do cabo-viga que,usada no cálculo dos vetores r e s em (2.20) permite determinar os valores e vetores próprios, p ew, ou seja, as frequências naturais, os fatores de amortecimento modais e os modos de vibração.Veremos mais à frente (Secção 2.2) que se o cabo-viga estiver muito tenso, e independentementede os apoios serem articulados ou encastrados, podemos assumir uma configuração estática dotipo parabólica.

2.1.4 Construção de uma solução real

As soluções p e w do problema de valores e vetores próprios (2.21), são, em geral, complexas,nomeadamente quando a matriz de amortecimento é não nula. Uma vez que as matrizes sãoreais a equação característica de (2.21) é um polinómio de grau 2n em p, tendo 2n raízes reaisou complexas, sendo as raízes complexas conjugadas duas a duas uma vez que os coeficientesda equação caraterística são números reais. A solução geral em função do tempo será umacombinação linear de 2n soluções do tipo W exp(pt) . A equação característica det(K + pC +p2M) = 0 é resolvida por 2n raízes complexas conjugadas

p±k = −ζk ωk ± i√

1− ζ2k ωk , (k = 1, · · · , n) , (2.28)

em que i, recorde-se, é a unidade imaginária (i2 = −1). Quando a matriz de amortecimento Cfor nula os fatores de amortecimento ζk (k = 1, · · · , n) são nulos e as 2n raízes p são imagináriaspuras, uma vez que quer K quer M são matrizes simétricas positivas definidas. Denotando porz o complexo conjugado de z, tem-se p+

k = p−k . Admitindo que as frequências naturais ωi sãodistintas, isto é, ωj 6= ωk (j 6= k), os valores próprios também são distintos, p+

j 6= p+k (j 6= k)

e p−j 6= p−k (j 6= k). A solução geral (função do tempo) do modelo discreto de cabo-viga, em

22

função do tempo é dada por

v(t) =n∑

k=1

(C+

k W+k exp(p+

k t) + C−k W−k exp(p−k t)

)=

n∑k=1

[C+

k W+k exp

((−ζk + i

√1 − ζ2

k

)ωkt

)+ C−k W−

k exp((−ζk − i

√1 − ζ2

k

)ωkt

)]=

n∑k=1

exp(−ζkωkt)C+

k W+k

[cos

(√1− ζ2

k ωkt

)+ i sin

(√1− ζ2

k ωkt

)]+ C−k W−

k

[cos

(√1− ζ2

k ωkt

)− i sin

(√1− ζ2

k ωkt

)].

(2.29)

Os vetores próprios W+k e W−

k são complexos conjugados, isto é, W+k = W−

k , pelo que se podeexplicitar as suas partes reais e imaginárias da forma W±

k = Uk±iVk , em que Uk = Re(W+k ) =

Re(W−k ) , Vk = Im(W+

k ) = − Im(W−k ) . Assim,

v(t) =n∑

k=1exp(−ζkωkt)

C+

k (Uk + iVk)[cos

(√1− ζ2

k ωkt

)+ i sin

(√1− ζ2

k ωkt

)]+ C−k (Uk − iVk)

[cos

(√1− ζ2

k ωkt

)− i sin

(√1− ζ2

k ωkt

)]

=n∑

k=1exp(−ζkωkt)

Ak︷ ︸︸ ︷(

C+k + C−k

)Uk cos

(√1− ζ2

k ωkt

)Bk︷ ︸︸ ︷

−(C+

k + C−k

)Vk sin

(√1− ζ2

k ωkt

)+

Ck︷ ︸︸ ︷i(C+

k − C−k

)Uk sin

(√1− ζ2

k ωkt

)

+

Dk︷ ︸︸ ︷i(C+

k − C−k

)Vk cos

(√1− ζ2

k ωkt

) .

(2.30)

Para se obter uma solução real, isto é, v(t) ∈ Rn, as constantes Ak, Bk, Ck e Dk indicadas pelaschavetas horizontais da equação anterior têm de ser obrigatoriamente reais, o que pode sempreser conseguido se C

+k + C−k ∈ R

i(C+

k − C−k

)∈ R

, ∀ k = 1, · · · , n ,

ou seja, se C+k = C−k (quer dizer, se C+

k e C−k forem números complexos conjugados). Seja entãoC+

k = C−k , o que implica C+k + C−k = 2 Re

(C+

k

)i(C+

k − C−k

)= −2 Im

(C+

k

) .

23

Então

v(t) =n∑

k=1exp(−ζkωkt)

2 Re

(C+

k

)Uk cos

(√1− ζ2

k ωkt

)− 2 Re

(C+

k

)Vk sin

(√1− ζ2

k ωkt

)− 2 Im

(C+

k

)Uk sin

(√1− ζ2

k ωkt

)− 2 Im

(C+

k

)Vk cos

(√1− ζ2

k ωkt

),

o que equivale a

v(t) =n∑

k=1exp(−ζkωkt)

2[Re(C+

k

)Uk − Im

(C+

k

)Vk

]cos

(√1− ζ2

k ωkt

)− 2

[Im(C+

k

)Uk + Re

(C+

k

)Vk

]sin(√

1− ζ2k ωkt

)∈ Rn .

(2.31)

Uma vez calculadas as frequências complexas p±k = Re(pk)± i Im(pk), a partir de p±k = −ζk ωk±i√

1− ζ2k ωk, pode-se calcular os valores dos fatores de amortecimento ζk e as frequências não

amortecidas ωk, no caso de o amortecimento ser subcrítico (ζk < 1), resolvendo o sistema deequações

−ζk ωk = Re(p±k )√1− ζ2

k ωk = Im(p±k ),

o que conduz à solução

ωk =√

Im(p±k

)2+ Re

(p±k

)2= |p±k |

ζk = −Re(p±k

)√

Im(p±k

)2+ Re

(p±k

)2= −

Re(p±k

)|p±k |

.

Os n pares de constantes

Re(C+k ), Im(C+

k )determinam-se pelas 2n condições iniciais v(0) =

v0 e v(0) = v0. Vamos seguidamente deduzir o sistema de equações algébricas que permitemcalcular as constantes Re

(C+

k

)e Im

(C+

k

)a partir da configuração e velocidade iniciais do cabo

avaliadas nos n nós da malha de diferenças finitas, respetivamente v0 e v0. Para o instanteinicial t = 0,

v0 =n∑

k=1

2[Re(C+

k )Uk − Im(C+k )Vk

].

A expressão geral das velocidades obtém-se por derivação de (2.31) em ordem ao tempo

v(t) =n∑

k=1−ζk ωk exp(−ζkωkt)

2[Re(C+

k )Uk − Im(C+k )Vk

]cos

(√1− ζ2 ωkt

)− 2

[Im(C+

k )Uk + Re(C+k )Vk

]sin(√

1− ζ2 ωkt

)+

n∑k=1

exp(−ζkωkt)−2[Re(C+

k )Uk − Im(C+k )Vk

]√1− ζ2

k ωk sin(√

1− ζ2 ωkt

)− 2

[Im(C+

k )Uk + Re(C+k )Vk

]√1− ζ2

k ωk cos(√

1− ζ2 ωkt

),

24

pelo que as condições iniciais na velocidade são

v(0) =n∑

k=1

−2ωk

(ζk Uk +

√1− ζ2

k Vk

)Re(C+

k )− 2ωk

(√1− ζ2

k Uk − ζk Vk

)Im(C+

k ).

O sistema de 2n equações algébricas a formar para a determinação dos n pares de constantesRe(C+

k ), Im(C+k )é

n∑k=1

2 Uk Re(C+

k )− 2 Vk Im(C+k )

= v0

n∑k=1

−2ωk

(ζk Uk +

√1− ζ2

k Vk

)Re(C+

k )− 2ωk

(√1− ζ2

k Uk − ζk Vk

)Im(C+

k )

= v0

O sistema anterior pode ser escrito na seguinte forma matricial 2U1 −2V1 · · ·

−2ω1

(ζ1 U1 +

√1− ζ2

1 V1

)−2ω1

(√1− ζ2

1 U1 − ζ1 V1

)· · ·

· · · 2Un −2Vn

· · · −2ωn

(ζn Un +

√1− ζ2

n Vn

)−2ωn

(√1− ζ2

n Un − ζn Vn

)

Re(C+1 )

Im(C+1 )

...Re(C+

n )Im(C+

n )

=

v0

v0

.

(2.32)

(i) O cálculo dos valores e vetores próprios de (2.21), (ii) a decomposição dos vetores pró-prios w em parte real U e parte imaginária V, (iii) o cálculo dos fatores de amortecimento ζe das frequências naturais não amortecidas ω e (iv) a resolução do sistema de equações (2.32)para um conjunto específico de condições iniciais, permitem calcular os n pares de constantesRe

(C+

k

), Im

(C+

k

) necessários para se definir univocamente a evolução do sistema. Determi-

nados estes valores e substituindo-os na expressão (2.31) de v(t) obtém-se a expressão analíticapara o movimento livre (isto é, não forçado) da aproximação do cabo-viga pelo método dasdiferenças finitas para todos os instantes t ≥ 0.

2.2 Formulação adimensional

Uma formulação adimensional função apenas do número mínimo de parâmetros (adimensionais)de que depende o comportamento de um sistema mecânico (no nosso caso o cabo-viga) racionalizae otimiza o estudo desse sistema mecânico porque, por exemplo, os gráficos obtidos com taisformulações adimensionais representam não apenas um cabo-viga específico mas sim toda umafamília de cabos-viga. Assumindo que a flecha d é pequena (cabo tenso) e que a rigidez de flexãodo cabo também é pequena (o que acontece na maioria dos cabos usados em Engenharia Civil),

25

então pode assumir-se que o perfil do cabo se assemelha a uma parábola do 2o grau (Mehrabie Tabatabai, 1998). Logo, para o terceiro termo da Equação (2.16) do movimento do cabo-vigapodemos assumir (Mehrabi e Tabatabai, 1998) que

d2y

dx2 = −mgH

. (2.33)

Consequentemente

∫ l

0

[1 +

(dy

dx

)2] 32

dx = Le ' l[1 + 1

8

(mgl

H

)2].

O parâmetro adimensional (Irvine, 1981)

λ2 =(mgl

H

)2 EA

H

l

Le(2.34)

desempenha um papel muito importante na estática e na dinâmica de cabos e chama-se “parâ-metro de Irvine”. As hipóteses e definições anteriores permitem escrever h′ (2.15) na forma

h′ = EA

H

mg

Le

∫ l

0w(x)dx , (2.35)

e também o terceiro termo das Equações (2.13) ou (2.16) na forma

−h′ d2y

dx2 =(mg

H

)2 EA

Le

∫ l

0w(x′)dx′ = λ2H

l3

∫ l

0w(x′)dx′ .

Substituindo a expressão acima na equação do movimento do cabo-viga (2.16) e desprezando otermo das molas (nesta dissertação estaremos mais interessados na colocação de amortecedores),obtém-se a equação integro-diferencial

EId4w

dx4 −Hd2w

dx2 + λ2H

l3

∫ l

0w(x′)dx′ + c′pw +mp2w = 0 . (2.36)

O passo seguinte consiste em discretizar a Equação (2.36) pelo método das diferenças finitas.Tal como nas Secções 2.1.2 e 2.1.3 considera-se uma malha uniforme de diferenças finitas porsubdivisão do vão l em N segmentos, todos de comprimento a = l

N. Assume-se que existe um

amortecedor viscoso ligado à secção do cabo-viga correspondente ao m-ésimo nó da malha dediferenças finitas.

Recorde-se que é prática corrente na construção de pontes atirantadas a colocação de amorte-cedores viscosos, relativamente perto das ancoragens inferiores dos tirantes, com o objetivo deaumentar os fatores de amortecimento do mesmo (Figura 2.11). A aproximação pelo métododas diferenças finitas da Equação (2.36) em qualquer nó interior que não coincida com o nó onde

26

x, u

y, y , v

c

l

t

m, EA, EI

a

i=0i=1

i=2

i=n i=n+1

d

l

d

Figura 2.10: Cabo-viga de vão l discretizado em N = n + 1 segmentos iguais, com um amortecedororientado transversalmente e aplicado no m-ésimo nó.

Figura 2.11: Amortecedores aplicados perto da ancoragem inferior de tirantes da ponte Arthur RavenelJr. nos E.U.A.

se supõe aplicado o amortecedor (i 6= m) é dada por

EI1a4 [wi+2 − 4wi+1 + 6wi − 4wi−1 + wi−2]−H 1

a2 [wi+1 − 2wi + wi−1]

+mp2wi + λ2H

l3a(w1 + · · ·+ wn) = 0 , ∀i ∈ 1, · · · , n \ m .

(2.37)

Já a aproximação de (2.36) no nó i = m onde está colocado o amortecedor é

EI1a4 [wi+2 − 4wi+1 + 6wi − 4wi−1 + wi−2]−H 1

a2 [wi+1 − 2wi + wi−1]

+mp2wi + λ2H

l3a(w1 + · · ·+ wn) + c′pwi = 0, para i = m.

(2.38)

Usando o símbolo de Kronecker pode-se representar de uma forma compacta as Equações (2.37)e (2.38), sem e com amortecedor viscoso,

EI

a4 wi−2 +(−4EI

a4 −H

a2

)wi−1 +

(6EIa4 + 2H

a2

)wi +

(−4EI

a4 −H

a2

)wi+1 + EI

a4 wi+2 +mp2wi

+ λ2Ha

l3(w1 + · · ·+ wn) + c′pwiδim = 0 , ∀i = 1, · · · , n ,

(2.39)

com δim = 1 se i = m e δim = 0 se i 6= m. A Equação (2.39) pode então escrever-se na formamatricial (

K′ + λ2Ha

l3B + pC′ +mp2I

)w = 0 . (2.40)

27

A matriz K′ ∈ Rn×n encontra-se definida em (2.26) e contempla já os dois tipos de condiçõesde fronteira (articulação ou encastramento), B ∈ Rn×n é uma matriz de elementos unitários,I é a matriz identidade de dimensão n e C′ = diag(0, · · · , 0, c′, 0, · · · , 0) ∈ Rn×n é uma matrizdiagonal contendo apenas como único elemento significativo c′ = c

ana m-ésima posição da

diagonal principal, sendo c o coeficiente de amortecimento do amortecedor. O sistema (2.40)corresponde a um problema de valores e vetores próprios clássico, em que

K′ = H

a2

a2

HQ

a2

HD

a2

HV 0 0 · · ·

a2

HD

a2

HS

a2

HD

a2

HV 0 · · ·

a2

HV

a2

HD

a2

HS

a2

HD

a2

HV · · ·

0 a2

HV

a2

HD

a2

HS

a2

HD · · ·

0 0 a2

HV

a2

HD

a2

HS · · ·

......

......

... . . .

, (2.41)

onde a2

HQ = 5, 7 EI

Ha2 + 2 (5 no caso “articulado”, 7 no caso “encastrado”), a2

HS = 6EI

Ha2 + 2 ,a2

HD = −4EI

Ha2 − 1 e a2

HV = EI

Ha2 . Definindo um novo parâmetro adimensional

ξ = l

√H

EI(2.42)

que tem em conta a rigidez à flexão do cabo-viga, pode-se exprimir os termos EI

Ha2 na formaEI

Ha2 = l2

ξ2a2 = l2

ξ2 l2

N2

= N2

ξ2 , com N = n+ 1. Pelo que, a2

HQ = 5, 7 N

2

ξ2 + 2 , a2

HS = 6N

2

ξ2 + 2 ,

a2

HD = −4N

2

ξ2 − 1 e a2

HV = N2

ξ2 . A matriz de rigidez K′ pode escrever-se na forma K′ = H

a2 χ

em que a matriz χ é função apenas da constante adimensional ξ e do número N de segmentosda malha de diferenças finitas:

28

χ = 1ξ2

5, 7N2 + 2ξ2 −(4N2 + ξ2

)N2 0 · · · 0 0 0 0

−(4N2 + ξ2

)6N2 + 2ξ2 −

(4N2 + ξ2

)N2 · · · 0 0 0 0

N2 −(4N2 + ξ2

)6N2 + 2ξ2 −

(4N2 + ξ2

)· · · 0 0 0 0

0 N2 −(4N2 + ξ2

)6N2 + 2ξ2 · · · 0 0 0 0

......

...... . . . ...

......

...

0 0 0 0 · · · 6N2 + 2ξ2 −(4N2 + ξ2

)N2 0

0 0 0 0 · · · −(4N2 + ξ2

)6N2 + 2ξ2 −

(4N2 + ξ2

)N2

0 0 0 0 · · · N2 −(4N2 + ξ2

)6N2 + 2ξ2 −

(4N2 + ξ2

)0 0 0 0 · · · 0 N2 −

(4N2 + ξ2

)5, 7N2 + 2ξ2

(2.43)

29

A Equação (2.40) pode agora ser reescrita na forma equivalente(χ + λ2a3

l3B + p

a

HC′′ + ma2

Hp2I)

w = 0 , (2.44)

onde C′′ = aC′ = diag(0, · · · , 0, ac′, 0, · · · , 0) = diag(0, · · · , 0, c, 0, · · · , 0) . Defina-se a frequênciaadimensional

Ω = πp

ω1s, (2.45)

em que ω1s = (π/l)√H/m representa a primeira frequência natural de um cabo muito tenso (o

índice inferior “s” alude à palavra inglesa “string”). Obtém-se então p2 = Ω2

l2H

m. Uma vez que

a

l= 1N

, o problema de valores e vetores próprios (2.44) escreve-se na forma

(N2χ + λ2

NB +NΩC + Ω2I

)w = 0 , (2.46)

em que C = 1√mH

C′′ = diag (0, · · · , 0,Ψ, 0, · · · , 0) e

Ψ = c√mH

(2.47)

é um novo parâmetro adimensional associado ao amortecedor. O problema de valores e vetorespróprios (2.46) depende apenas do grau de refinamento (N) e dos quatro parâmetros adimensi-

onais, λ2 =

(mglH

)2lEA

HLe, ξ = l

√H

EI, Ψ = c√

mHe Γd = ld

l.

2.3 Conjunto exploratório de ensaios numéricos

Nesta secção apresenta-se um estudo mais detalhado da dinâmica de cabos-viga em que, tomandocomo base as propriedades do cabo-viga do exemplo 1 de (Mehrabi e Tabatabai, 1998), se realizaum conjunto de ensaios numéricos em que se estuda a sensibilidade de algumas propriedadesdinâmicas a parâmetros tais como o vão, o impulso ou as condições de fronteira. Com o objetivode aferirmos a sensibilidade de certos aspetos do comportamento do cabo a certos parâmetros,procede-se à modificação de algumas das propriedades no decorrer da análise de resultados. Paraalém destas, também o coeficiente de amortecimento do amortecedor pode variar consoante ocaso, bem como as condições de fronteira que podem ser ambas apoios encastrados ou ambasapoios rotulados. Não se considerou cabos com ambas as condições de fronteira (articulaçãonum apoio e encastramento noutro), visto que na prática tal raramente ocorre.

O programa emMatLab (The MathWorks, Inc., 2013) construído resolve os problemas de valorese vetores próprios (2.21), determinando as frequências naturais, os fatores de amortecimento eas formas dos modos de vibração do cabo-viga. Da análise dos resultados verifica-se que quandoamortecedores não estão ligados ao cabo-viga (portanto, com uma matriz de amortecimento

30

nula), a resolução do problema de valores e vetores próprios fornece valores imaginários purosconjugados dois a dois que constituem o vetor p, e vetores reais w (na forma de colunas)iguais aos pares. Sendo que estes últimos vetores representam as formas dos vários modos devibração. Quando se ligam amortecedores ao cabo-viga os valores próprios tornam-se complexosconjugados dois a dois com parte real estritamente negativa e os vetores próprios tornam-secomplexos conjugados dois a dois.

De seguida realiza-se um breve estudo do comportamento estático do cabo acima referido semamortecedores ou molas, de modo a avaliar a influência da rigidez de flexão e das diferentescondições de apoio. Discretiza-se o cabo em N = 300 segmentos e as figuras que a seguir seapresentam são o resultado das variações indicadas. O grau de refinamento adotado resulta denão se observarem melhorias significativas para graus de refinamento mais elevados.

0 20 40 60 80

−0.05

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

x (m)

y(m

)

EI=1305.8×103 Nm2

EI=1305.8×104 Nm2

EI=1305.8×105 Nm2

EI=1305.8×106 Nm2

(a) Cabo-viga com apoios rotulados.

0 20 40 60 80

−0.05

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

x (m)

y(m

)

EI=1305.8×103 Nm2

EI=1305.8×104 Nm2

EI=1305.8×105 Nm2

EI=1305.8×106 Nm2

(b) Cabo-viga com apoios encastrados.

Figura 2.12: Configuração estática do cabo-viga em função da sua rigidez de flexão. Outros dados:m = 113.748 Kg/m, H = 5017000 N, EA = 1458408000 N, l = 93 m.

Na Figura 2.12 representam-se várias configurações de equilíbrio estático do cabo descrito ante-riormente para quatro valores da rigidez à flexão EI, obtidas pela resolução numérica do sistemade equações (2.26); na Figura 2.12a representam-se as configurações de equilíbrio corresponden-tes a apoios do tipo articulação, enquanto que a Figura 2.12b corresponde a apoios encastrados.Para valores baixos da rigidez à flexão a influência do tipo de condições de fronteira (articulaçãoou encastramento) na configuração de equilíbrio estático é pequena; os pontos de inflexão onde acurvatura do cabo-viga muda de “concavidade para baixo” para “concavidade para cima” estãomuito perto dos apoios quando a rigidez à flexão é pequena.

No início da Secção 2.2 (formulação adimensional) faz-se a hipótese simplificativa de que aconfiguração de equilíbrio estático y(x) é de curvatura uniforme (y′′(x) = −mg/H), Equação(2.33)), no caso de a rigidez à flexão e a flecha serem suficientemente pequenas; este conjuntode configurações estáticas para um cabo específico ilustra o domínio de validade dessa hipótese.Nas configurações estáticas da Figura 2.12b (apoios encastrados) apenas as correspondentesa rigidezes de flexão elevadas se afastam da configuração parabólica. Num cabo com rigidezà flexão nula, o tipo de condição de apoio (articulação ou encastramento) não tem qualquerinfluência nos comportamentos estático ou dinâmico. Quanto maior for a rigidez de flexão mais

31

o cabo-viga se assemelha a uma viga; quando os apoios são encastrados (Figura 2.12b), quantomaior for a rigidez de flexão mais acentuada é a influência dos encastramentos na configuraçãodo cabo-viga. Nota-se que para EI = 1305.8 × 103 Nm2 (uma baixa rigidez à flexão), o caboassemelha-se a uma parábola, independentemente das condições de apoio. Deste modo, para umestudo em que a rigidez à flexão seja baixa, caso do exemplo acima com EI = 1305.8× 103 Nm2

(exemplo 1 de (Mehrabi e Tabatabai, 1998)), é legítimo assumir que d2y

dx2 = −mgH

, o que simplificabastante a formulação.

Seguidamente faz-se um breve estudo do comportamento dinâmico do cabo, mostrando-se adependência (i) das frequências amortecida (ωD) e não amortecida (ω), (ii) do fator de amor-tecimento do cabo-viga (ζ) e (iii) das partes real e imaginária do valor próprio p, no coeficientede amortecimento c para o primeiro e segundo modos de vibração. Para o efeito utilizou-se ocabo-viga definido anteriormente, discretizado em N = 300 segmentos, com os apoios rotuladose um amortecedor viscoso colocado a meio vão.

Modo (k) ζk ωk (rad/s) ωDk (rad/s) Re(pk) Im(pk)

1 0 7.1306 7.1306 0 7.13062 0 14.1886 14.1886 0 14.1886

Tabela 2.1: Algumas propriedades dinâmicas do cabo quando c = 0 e EI = 0. Estes valores foramvalidados pela formulação analítica apresentada em (Irvine, 1981) para um cabo infinitamente flexível esem amortecimento.

Modo (k) ζk ωk (rad/s) ωDk (rad/s) Re(pk) Im(pk)

1 0 7.1317 7.1317 0 7.13172 0 14.1970 14.1970 0 14.1970

Tabela 2.2: Algumas propriedades dinâmicas do cabo-viga quando c = 0 e EI = 1305.8× 103 Nm2.

Modo (k) ζk ωk (rad/s) ωDk (rad/s) Re(pk) Im(pk)

1 0.1334 7.1932 7.1289 -0.9597 7.12892 0 14.1970 14.1970 0 14.1970

Tabela 2.3: Algumas propriedades dinâmicas do cabo-viga quando c = 10× 103 Ns/m e EI = 1305.8×103 Nm2.

As Tabelas 2.1 e 2.2 ilustram o efeito da passagem da situação de rigidez à flexão nula à situaçãode rigidez à flexão não nula, na ausência de amortecedor (c = 0, ζ = 0). Verifica-se que nãoexiste parte real de p e que ω = ωD. Nota-se que o aumento de rigidez à flexão de 0 para1305.8 × 103 Nm2 produziu apenas um ligeiro aumento das frequências, o que constitui mais

32

Modo (k) ζk ωk (rad/s) ωDk (rad/s) Re(pk) Im(pk)

1 0.2719 7.3976 7.1190 -2.0111 7.11902 0 14.1970 14.1970 0 14.1970

Tabela 2.4: Algumas propriedades dinâmicas do cabo-viga quando c = 20 × 103 Ns/m e EI =1305.8× 103 Nm2.

Modo (k) ζk ωk (rad/s) ωDk (rad/s) Re(pk) Im(pk)

1 0.4230 7.8281 7.0931 -3.3116 7.09312 0 14.1970 14.1970 0 14.1970

Tabela 2.5: Algumas propriedades dinâmicas do cabo-viga quando c = 30× 103 Ns/m e EI = 1305.8×103 Nm2.

Modo (k) ζk ωk (rad/s) ωDk (rad/s) Re(pk) Im(pk)

1 0.6067 8.8051 6.9996 -5.3419 6.99962 0 14.1970 14.1970 0 14.1970

Tabela 2.6: Algumas propriedades dinâmicas do cabo-viga quando c = 40× 103 Ns/m e EI = 1305.8×103 Nm2.

Modo (k) ζk ωk (rad/s) ωDk (rad/s) Re(pk) Im(pk)

1 0.7357 10.0004 6.7732 -7.3574 6.77322 0 14.1970 14.1970 0 14.1970

Tabela 2.7: Algumas propriedades dinâmicas do cabo-viga quando c = 45× 103 Ns/m e EI = 1305.8×103 Nm2.

Modo (k) ζk ωk (rad/s) ωDk (rad/s) Re(pk) Im(pk)

1 0.9418 12.9535 4.3546 -12.1997 4.35462 0 14.1970 14.1970 0 14.1970

Tabela 2.8: Algumas propriedades dinâmicas do cabo-viga quando c = 49× 103 Ns/m e EI = 1305.8×103 Nm2.

33

uma evidência de que o valor 1305.8× 103 Nm2 é uma pequena rigidez à flexão para o cabo emestudo. As Tabelas 2.3 a 2.8 ilustram o efeito do aumento do coeficiente de amortecimento parauma rigidez à flexão fixa: observa-se um aumento do fator de amortecimento ζ1, um aumento dafrequência não amortecida ω1, e uma diminuição da frequência amortecida ωD1. A formulaçãoadotada não permite modelar casos em que ζ ≥ 1, nem tais amortecimentos supercríticos têminteresse prático em Engenharia Civil. Já no que respeita ao segundo modo de vibração, observa--se que ζ2 = 0 e ω2 = ωD2. Pelo facto de o segundo modo ser antissimétrico e o amortecedorse encontrar a meio vão o amortecedor não tem qualquer efeito no segundo modo, pois estácolocado precisamente no ponto nodal que permanece imóvel, não havendo lugar à mobilizaçãode qualquer força dissipativa por parte do amortecedor. Observa-se também um aumento dafrequência não amortecida do primeiro modo (ω1), à medida que se aumenta o amortecimento, nosentido de se aproximar da frequência não amortecida do segundo modo (ω2). Se o amortecedortivesse um coeficiente de amortecimento infinito (c→∞), o ponto de meio vão não se deslocaria,o que seria equivalente a colocar um apoio fixo no ponto de meio vão, o que faria quase duplicara primeira frequência para o valor do segundo modo ω2 = ωD2 = 14.1970 rad/s (considerandoEI = 1305.8× 103 Nm2).

2.3.1 Primeiro conjunto de ensaios

O primeiro ensaio numérico consiste em introduzir no cabo-viga (l = 93 m; EA = 1458408 ×103 N; EI = 1305.8 × 103 Nm2; m = 113.748 Kg/m; g = 9.81 m/s2; H = 5017 × 103 N;Le = 93.005 m; λ2 = 0.1244) um campo de deslocamentos iniciais na forma do primeiro modode vibração (com velocidade inicial nula), deixando-o em seguida vibrar livremente. Este ensaio érealizado para um cabo-viga com apoios articulados ou com apoios encastrados, sem amortecedorou molas. A Figura 2.13 apresenta os seis primeiros modos de vibração e a Tabela 2.9 apresentaas propriedades dinâmicas mais importantes para o cabo-viga com apoios articulados.

1 2

3 4

5 6

Figura 2.13: Primeiro conjunto de ensaios. Seis primeiros modos de vibração do cabo-viga de apoiosnivelados e articulados com as propriedades l = 93 m, EA = 1458408× 103 N, EI = 1305.8× 103 Nm2,m = 113.748 Kg/m, g = 9.81 m/s2, H = 5017× 103 N, Le = 93.005 m e λ2 = 0.1244.

Na Figura 2.14 apresentam-se sequências de configurações ocupadas pelo cabo-viga (descontandoo equilíbrio estático) no movimento ascendente (a) e no movimento descendente (b) do primeiroperíodo de oscilação. Junto de cada configuração encontra-se o tempo decorrido desde o instante

34

Modo (k) 1 2 3 4 5 6

ωk (rad/s) 7.1317 14.1970 21.3122 28.4430 35.5998 42.7864Tk (s) 0.8810 0.4426 0.2948 0.2209 0.1765 0.1469

Tabela 2.9: Primeiro conjunto de ensaios. Frequências naturais e períodos dos seis primeiros modos devibração. Apoios articulados.

Modo (k) 1 2 3 4 5 6

ωk (rad/s) 7.2052 14.3476 21.5379 28.7448 35.9774 43.2405Tk (s) 0.8720 0.4379 0.2917 0.2186 0.1746 0.1453

Tabela 2.10: Primeiro conjunto de ensaios. Frequências naturais e períodos dos seis primeiros modosde vibração. Apoios encastrados.

inicial. As configurações dinâmicas da Figura 2.14 resultam da expressão analítica (2.31) daSecção 2.1.4.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

−1.0

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x (m)

v(m

)

t = 0.00 s

t = 0.10 s

t = 0.15 s

t = 0.20 s

t = 0.25 s

t = 0.30 s

t = 0.35 s

t = 0.44 s

(a) Primeiro modo de vibração (movimento ascen-dente).

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

−1.0

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x (m)

v(m

)

t = 0.88 s

t = 0.80 s

t = 0.75 s

t = 0.70 s

t = 0.65 s

t = 0.60 s

t = 0.55 s

t = 0.44 s

(b) Primeiro modo de vibração (movimento descen-dente).

Figura 2.14: Primeiro conjunto de ensaios. Parcela dinâmica do campo de deslocamentos do cabo-viga.Apoios articulados. Para se obter o campo de deslocamentos total há que adicionar a configuração deequilíbrio estático.

Para o mesmo cabo-viga mas com os apoios encastrados a Figura 2.15 e a Tabela 2.10 mostramrespetivamente os seis primeiros modos de vibração e as correspondentes frequências naturais eperíodos de oscilação.

A Figura 2.16 representa os movimentos ascendente (a) e descendente (b) do cabo-viga para umperíodo de oscilação, não se notando qualquer diferença significativa quando a comparamos coma Figura 2.14. Na Figura 2.16 nota-se que, muito perto dos encastramentos por a rigidez à flexãoser pequena, o cabo inflete por forma a chegar com tangente horizontal aos encastramentos; esteefeito ficaria mais visível se se ampliasse a deformada do cabo na vizinhança dos encastramentos.

Da comparação das Tabelas 2.9 e 2.10 concluímos que as frequências naturais da Tabela 2.10 são

35

1 2

3 4

5 6

Figura 2.15: Primeiro conjunto de ensaios. Seis primeiros modos de vibração. Apoios encastrados.

superiores às suas homólogas da Tabela 2.9 porque o encastramento dos apoios tem um efeitorigidificador do sistema; a diferença entre frequências é pequena pois, como já vimos, a ordem degrandeza da rigidez à flexão é também pequena. Em muitos dos casos dos próximos conjuntosde ensaios adota-se apenas a condição de fronteira do tipo encastramento, que é a condição defronteira que mais frequentemente existe nos cabos reais, nomeadamente em tirantes de pontes.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

−1.0

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x (m)

v(m

)

t = 0.00 s

t = 0.10 s

t = 0.15 s

t = 0.20 s

t = 0.25 s

t = 0.30 s

t = 0.35 s

t = 0.44 s

(a) Primeiro modo de vibração (movimento ascen-dente).

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

−1.0

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x (m)

v(m

)

t = 0.87 s

t = 0.80 s

t = 0.75 s

t = 0.70 s

t = 0.65 s

t = 0.60 s

t = 0.55 s

t = 0.44 s

(b) Primeiro modo de vibração (movimento descen-dente).

Figura 2.16: Primeiro conjunto de ensaios. Parcela dinâmica do campo de deslocamentos do cabo-viga.Apoios encastrados. Para se obter o campo de deslocamentos total há que adicionar a configuração deequilíbrio estático.

2.3.2 Segundo conjunto de ensaios

No próximo ensaio coloca-se um amortecedor a meio vão e dá-se um deslocamento inicial coma forma do primeiro modo de vibração de um cabo com amortecedor deixando-o vibrar livre-mente. O amortecedor tem um coeficiente de amortecimento c = 20× 103 Ns/m. A Figura 2.17apresenta os modos de vibração e a Tabela 2.11 os parâmetros mais importantes relativos aocomportamento dinâmico do cabo-viga com apoios encastrados. Recorde-se que os modos de

36

vibração são complexos devido à presença do amortecedor: a parte real designa-se por U e aparte imaginária por V .

U1 V1

U2 V2

U3 V3

U4 V4

U5 V5

U6 V6

Figura 2.17: Segundo conjunto de ensaios. Partes reais (U) e imaginárias (V ) dos seis primeiros modosde vibração de um cabo-viga com um amortecedor a meio vão. Apoios encastrados.

Modo (k) 1 2 3 4 5 6

ωk (rad/s) 7.4737 14.3476 21.5859 28.7448 35.9574 43.2405ωDk (rad/s) 7.1921 14.3476 21.4905 28.7448 35.9004 43.2405TDk (s) 0.8736 0.4379 0.2924 0.2186 0.1750 0.1453ζk 0.2719 0 0.0939 0 0.0563 0

Tabela 2.11: Segundo conjunto de ensaios. Propriedades da dinâmica dos seis primeiros modos devibração. Amortecedor a meio vão. Apoios encastrados.

A Figura 2.18 representa os movimentos ascendente (a) e descendente (b) do cabo-viga para umintervalo de tempo aproximadamente igual a um período de oscilação; o movimento representadocorresponde a um campo de deslocamentos inicial com a forma do primeiro modo de vibração esem velocidade inicial. Em geral, entre quaisquer duas configurações consecutivas medeiam 0.05segundos.

Tanto neste caso como no caso anterior a resposta do cabo-viga corresponde à do primeiromodo de vibração, uma vez que as condições iniciais correspondem às do primeiro modo, masneste caso a forma de vibração muda ao longo do tempo. Esta mudança deve-se à naturezacomplexa do problema de valores e vetores próprios que o amortecedor introduz. Como seria deesperar, e como já se observou atrás, a introdução do amortecedor implicou um ligeiro aumentoda frequência não amortecida. O amortecimento do cabo-viga é bem explicito na Figura 2.18:existe um notório decaimento da amplitude em cada semi-período. Na realidade, após umintervalo de tempo suficientemente longo o cabo adquirirá a configuração de equilíbrio estáticosob a ação do peso próprio como se não existisse amortecedor; é que sob a ação do amortecedoras amplitudes (e as velocidades) vão decaindo à medida que o tempo passa, e como tal, a açãodo amortecedor sobre a secção de meio vão vai também decaindo exponencialmente até que,para tempos suficientemente longos as velocidades do cabo (e portanto da sua secção de meiovão) tornam-se tão pequenas que a secção de meio vão praticamente deixa de sofrer a ação doamortecedor. Note-se também que na vizinhança de meio vão se regista uma concentração de

37

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

−0.4

−0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x (m)

v(m

)

t = 0.00 s

t = 0.10 s

t = 0.15 s

t = 0.20 s

t = 0.25 s

t = 0.30 s

t = 0.35 s

t = 0.44 s

(a) Primeiro modo de vibração (movimento ascen-dente).

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

−0.4

−0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x (m)

v(m

)

t = 0.44 s

t = 0.55 s

t = 0.60 s

t = 0.65 s

t = 0.70 s

t = 0.75 s

t = 0.80 s

t = 0.88 s

(b) Primeiro modo de vibração (movimento descen-dente).

Figura 2.18: Segundo conjunto de ensaios. Parcela dinâmica do campo de deslocamentos do cabo-viga.Amortecedor a meio vão. Apoios encastrados. Para se obter o campo de deslocamentos total há queadicionar a configuração de equilíbrio estático.

curvaturas devido à ação da força concentrada introduzida pelo amortecedor. Essa concentraçãode curvaturas é elevada uma vez que a rigidez à flexão do cabo-viga é baixa. Se se tratasse deum cabo infinitamente flexível (com EI = 0) então a concentração de curvaturas degenerarianum verdadeiro ponto anguloso. Chama-se também a atenção para o facto de a concavidadeda pequena região de concentração de curvaturas a meio vão estar sempre virada no sentido davelocidade, isto é, no sentido oposto ao da força do amortecedor sobre o cabo, o que está deacordo com as leis da dinâmica.

2.3.3 Terceiro conjunto de ensaios

Este conjunto de ensaios consiste num cabo-viga com um amortecedor viscoso a meio vão, comcondições iniciais correspondentes a um deslocamento inicial na forma do segundo modo devibração. Na Figura 2.19 apresenta-se uma sequência de configurações correspondentes a meioperíodo de oscilação. O cabo-viga oscila no segundo modo de vibração que tem um ponto nodala meio vão, secção onde está ligado o amortecedor. Consequentemente a força do amortecedornunca é mobilizada não havendo lugar a amortecimento do movimento. A Tabela 2.11 mostraclaramente que os modos de vibração pares (com um ponto nodal a meio vão) têm amortecimentonulo. Notar que o ponto nodal localiza-se a meio vão porque as condições de apoio em ambosos apoios são as mesmas (neste caso encastramentos).

2.3.4 Quarto conjunto de ensaios

Neste ensaio numérico o cabo-viga tem um amortecedor a 1/4 de vão com um coeficiente deamortecimento c = 20 × 103 Ns/m e um deslocamento inicial na forma do primeiro modo de

38

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

−1.0

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x (m)

v(m

)

t = 0.00 s

t = 0.06 s

t = 0.09 s

t = 0.10 s

(a) Segundo modo de vibração (movimento ascen-dente do lado esquerdo).

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

−1.0

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x (m)

v(m

)

t = 0.22 s

t = 0.16 s

t = 0.13 s

t = 0.12 s

(b) Segundo modo de vibração (movimento descen-dente do lado esquerdo).

Figura 2.19: Terceiro conjunto de ensaios. Parcela dinâmica do campo de deslocamentos do cabo-viga.Apoios encastrados. Para se obter o campo de deslocamentos total há que adicionar a configuração deequilíbrio estático.

vibração. A Figura 2.20 ilustra os primeiros modos de vibração e a Tabela 2.12 contém aspropriedades dinâmicas mais importantes.

U1 V1

U2 V2

U3 V3

U4 V4

U5 V5

U6 V6

Figura 2.20: Quarto conjunto de ensaios. Partes reais (U) e imaginárias (V ) dos seis primeiros modosde vibração de um cabo-viga com um amortecedor a 1/4 de vão a partir do apoio esquerdo. Apoiosencastrados.

Modo (k) 1 2 3 4 5 6

ωk (rad/s) 7.4823 14.4861 21.3038 28.7447 36.1589 43.2361ωDk (rad/s) 7.4220 14.3275 21.2802 28.7447 36.1479 43.1840TDk (s) 0.8466 0.4385 0.2953 0.2186 0.1738 0.1455ζk 0.1267 0.1476 0.0471 0 0.0247 0.0491

Tabela 2.12: Quarto conjunto de ensaios. Propriedades da dinâmica dos seis primeiros modos devibração. Apoios encastrados.

À semelhança dos casos anteriores, a Figura 2.21 representa os movimentos ascendente (a) edescendente (b) do cabo-viga para um período de oscilação. Como seria de esperar o amorteci-mento do cabo-viga deste caso face ao amortecimento do cabo-viga com amortecedor a meio vão

39

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x (m)

v(m

)

t = 0.00 s

t = 0.10 s

t = 0.15 s

t = 0.20 s

t = 0.25 s

t = 0.30 s

t = 0.35 s

t = 0.43 s

(a) Primeiro modo de vibração (movimento ascen-dente).

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x (m)

v(m

)

t = 0.43 s

t = 0.55 s

t = 0.60 s

t = 0.65 s

t = 0.70 s

t = 0.75 s

t = 0.85 s

(b) Primeiro modo de vibração (movimento descen-dente).

Figura 2.21: Quarto conjunto de ensaios. Parcela dinâmica do campo de deslocamentos do cabo-viga.Apoios encastrados. Para se obter o campo de deslocamentos total há que adicionar a configuração deequilíbrio estático.

é menor porque no primeiro modo de vibração (o cabo é posto em movimento com a forma doprimeiro modo) a secção de meio vão possui velocidade superior à secção de 1/4 de vão. Observa--se na Tabela 2.12 que, dos modos representados, o único modo que não possui amortecimentoé o quarto modo de vibração porque possui um ponto nodal a 1/4 de vão. Pela mesma razão ooitavo modo também terá um fator de amortecimento nulo.

2.3.5 Quinto conjunto de ensaios

Neste ensaio o cabo-viga está ligado a uma mola a meio vão com um fator de rigidez k =500× 103 N/m. O cabo é submetido a um deslocamento inicial na forma do primeiro modo devibração, oscilando livremente a partir do instante inicial. A mola a meio vão é instalada antesda configuração estática estar estabelecida e, como nos casos anteriores, ambos os apoios são dotipo encastramento. Sendo a mola instalada antes do estabelecimento do equilíbrio estático, oseu comprimento natural será tal que a extremidade da mola que será ligada à secção de meiovão está ao nível da corda que une os dois apoios, antes dessa ligação ser feita. Os seis primeirosmodos de vibração estão ilustrados na Figura 2.22 e as correspondentes frequências e períodosnão amortecidos estão listados na Tabela 2.13. Uma vez que o cabo não tem qualquer tipo deamortecimento os modos são reais (Figura 2.22).

Modo (k) 1 2 3 4 5 6

ωk (rad/s) 10.7606 14.3476 23.4963 28.7448 37.2569 43.2405Tk (s) 0.5839 0.4379 0.2674 0.2186 0.1686 0.1453

Tabela 2.13: Quinto conjunto de ensaios. Propriedades da dinâmica dos seis primeiros modos devibração. Apoios encastrados.

40

1 2

3 4

5 6

Figura 2.22: Quinto conjunto de ensaios. Seis primeiros modos de vibração de um cabo-viga com umamola elástica linear instalada a meio vão antes de a configuração estática estar estabelecida. Apoiosencastrados.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

−1.0

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x (m)

v(m

)

t = 0.00 s

t = 0.10 s

t = 0.15 s

t = 0.20 s

t = 0.29 s

(a) Primeiro modo de vibração (movimento ascen-dente).

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

−1.0

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x (m)

v(m

)

t = 0.59 s

t = 0.50 s

t = 0.45 s

t = 0.40 s

t = 0.29 s

(b) Primeiro modo de vibração (movimento descen-dente).

Figura 2.23: Quinto conjunto de ensaios. Parcela dinâmica do campo de deslocamentos do cabo-viga.Apoios encastrados. Para se obter o campo de deslocamentos total há que adicionar a configuração deequilíbrio estático.

Por comparação entre as Tabelas 2.10 e 2.13 concluímos que a introdução da mola a meio vãoconduz a um aumento das frequências naturais não amortecidas dos modos ímpares, pois essesmodos envolvem o movimento da secção de meio vão onde a mola está ligada. Este aumentodecresce com o grau do modo; a contribuição da mola para rigidificar os modos simétricos dilui-se à medida que a ordem do modo é mais elevada, uma vez que os modos de maior ordem (commaior número de pontos de inflexão) são mais rígidos. Os modos pares, com pontos nodais ameio vão, não implicam a deformação da mola, pelo que as suas frequências naturais são iguaisàs dos modos pares do primeiro ensaio numérico (Tabela 2.10).

Na Figura 2.23 representam-se os movimentos ascendente (a) e descendente (b) do cabo-viga paraum período de oscilação em primeiro modo (descontando a configuração de equilíbrio estática).

Realizaram-se também outros dois ensaios semelhantes, mas para uma perturbação inicial naforma de uma função sinusoidal (num cabo com apoios articulados) para os casos em que se colocaa mola antes ou depois do estabelecimento da configuração de equilíbrio. Nota-se apenas um

41

período ligeiramente superior no caso em que se coloca a mola antes da configuração estática estarestabelecida, em comparação com o do caso em que a mola é colocada depois da configuraçãoestática estar estabelecida.

2.3.6 Sexto conjunto de ensaios

Este caso obtém-se do anterior por substituição do deslocamento inicial, que agora toma a formado segundo modo de vibração. Na Figura 2.24 apresentam-se algumas configurações para umperíodo de oscilação do segundo modo. De forma análoga ao que se observou no ensaio da Secção

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

−1.0

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x (m)

v(m

)

t = 0.00 s

t = 0.05 s

t = 0.10 s

t = 0.15 s

t = 0.22 s

(a) Segundo modo de vibração (movimento ascen-dente da metade esquerda).

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

−1.0

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x (m)

v(m

)

t = 0.44 s

t = 0.40 s

t = 0.35 s

t = 0.30 s

t = 0.22 s

(b) Segundo modo de vibração (movimento descen-dente da metade esquerda).

Figura 2.24: Sexto conjunto de ensaios. Parcela dinâmica do campo de deslocamentos do cabo-viga.Apoios encastrados. Para se obter o campo de deslocamentos total há que adicionar a configuração deequilíbrio estático.

2.3.3 (cabo com amortecedor a meio vão), neste caso também o movimento do cabo-viga comas condições iniciais dadas não é afetada pela presença da mola.

2.3.7 Sétimo conjunto de ensaios

Neste ensaio aumentou-se o vão do cabo para l = 1650 m (o vão original é 93 m) mantendo-seas outras propriedades mecânicas. Dá-se ao cabo-viga um deslocamento inicial na forma doprimeiro modo de vibração, deixando-o em seguida vibrar livremente. Este ensaio numéricoé realizado para um cabo-viga com apoios articulados e com apoios encastrados, de modo aquantificar-se a influência das condições de fronteira. O cabo não está ligado a qualquer tipo deamortecedor ou molas. A Figura 2.25 ilustra os seis primeiros modos de vibração (reais, poisnão há amortecimento) e a Tabela 2.14 contém as propriedades dinâmicas, ambas para o casodos apoios articulados. Uma vez que o parâmetro de Irvine do cabo-viga é elevado (λ2 ' 4π2) oprimeiro modo apresenta uma configuração com inclinações muito pequenas nos apoios, mesmosendo os apoios do tipo articulado. A Figura 2.26 mostra os movimentos ascendente (a)e descendente (b) do cabo-viga para um intervalo de tempo correspondente a um período de

42

1 2

3 4

5 6

Figura 2.25: Sétimo conjunto de ensaios. Seis primeiros modos de vibração. Apoios articulados.

Modo (k) 1 2 3 4 5 6

ωk (rad/s) 0.7940 0.7997 1.2357 1.5994 2.0051 2.3989Tk (s) 7.9136 7.8567 5.0846 3.9285 3.1336 2.6192

Tabela 2.14: Sétimo conjunto de ensaios. Propriedades da dinâmica dos seis primeiros modos devibração. Apoios articulados.

oscilação. A tangente horizontal junto aos apoios deve-se não à rigidez à flexão do cabo (queé quase nula) nem aos apoios (que são articulados) mas sim ao elevado valor do parâmetro deIrvine que faz com que as frequências do primeiro e segundo modos tenham quase coalescido.

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600

−1.0

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

x (m)

v(m

)

t = 0.00 s

t = 1.00 s

t = 1.50 s

t = 2.00 s

t = 2.50 s

t = 3.00 s

t = 4.00 s

(a) Primeiro modo de vibração (movimento ascen-dente).

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600

−1.0

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

x (m)

v(m

)

t = 7.90 s

t = 7.00 s

t = 6.50 s

t = 6.00 s

t = 5.50 s

t = 5.00 s

t = 4.00 s

(b) Primeiro modo de vibração (movimento descen-dente).

Figura 2.26: Sétimo conjunto de ensaios. Parcela dinâmica do campo de deslocamentos do cabo-viga.Apoios articulados. Para se obter o campo de deslocamentos total há que adicionar a configuração deequilíbrio estático.

As Figuras 2.27 e 2.28 e a Tabela 2.15 correspondem ao mesmo cabo mas com os apoios encas-trados. Não se nota qualquer diferença apreciável em relação ao caso dos apoios articulados,apenas se observando uma ligeira diferença nas frequências naturais dos modos de ordem maiselevada (4o, 5o e 6o), uma vez que a rigidez à flexão do cabo é baixa. Só se nota diferença entre oscasos “articulado” e “encastrado” nos modos mais elevados pois, para uma mesma amplitude de

43

oscilação, os modos mais elevados têm curvaturas mais acentuados junto aos apoios encastrados.

1 2

3 4

5 6

Figura 2.27: Sétimo conjunto de ensaios. Seis primeiros modos de vibração. Apoios encastrados.

Modo (k) 1 2 3 4 5 6

ωk (rad/s) 0.7940 0.7998 1.2357 1.5995 2.0052 2.3991Tk (s) 7.9137 7.8558 5.0848 3.9281 3.1334 2.6190

Tabela 2.15: Sétimo conjunto de ensaios. Propriedades da dinâmica dos seis primeiros modos devibração. Apoios encastrados.

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600

−1.0

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

x (m)

v(m

)

t = 0.00 s

t = 1.00 s

t = 1.50 s

t = 2.00 s

t = 2.50 s

t = 3.00 s

t = 4.00 s

(a) Primeiro modo de vibração (movimento ascen-dente).

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600

−1.0

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

x (m)

v(m

)

t = 7.90 s

t = 7.00 s

t = 6.50 s

t = 6.00 s

t = 5.50 s

t = 5.00 s

t = 4.00 s

(b) Primeiro modo de vibração (movimento descen-dente).

Figura 2.28: Sétimo conjunto de ensaios. Parcela dinâmica do campo de deslocamentos do cabo-viga.Apoios encastrados. Para se obter o campo de deslocamentos total há que adicionar a configuração deequilíbrio estático.

Neste ensaio pretende-se mostrar que independentemente das condições de fronteira, as frequên-cias para um e para o outro caso são muito semelhantes para um cabo-viga cujo primeiro modode vibração não envolva rotações nos apoios. Isto resulta de se ter escolhido um comprimentodo cabo-viga que implica λ2 ' 4π2, correspondente ao primeiro ponto de coalescência entre asfrequências do primeiro e do segundo modos de vibração. A configuração do primeiro modode vibração neste ponto tem como caraterística perto dos apoios ter tangente horizontal, o queesbate uma potencial diferença entre os casos “articulado” e “encastrado”; uma outra razãopara, nos apoios, não se notar a diferença entre os casos articulado e encastrado como se notava

44

noutros exemplos é o facto de o comprimento do cabo ser quase 18 vezes o comprimento do cabonesses outros exemplos. Outro aspeto que merece realce é a redução drástica dos valores dasfrequências (Tabelas 2.14 e 2.15) face às suas homólogas do primeiro ensaio (Tabelas 2.9 e 2.10respetivamente). Tal deve-se ao aumento do comprimento do cabo que tem o efeito de aumentara massa e de diminuir a rigidez.

2.3.8 Oitavo conjunto de ensaios

Vamos agora considerar o mesmo cabo-viga do ensaio anterior (com 1650 m de comprimento),mas com uma perturbação inicial de deslocamentos na forma de y = A sin

(πx

1650

)(no exemplo

anterior perturbou-se com a forma do primeiro modo). A forma sinusoidal da perturbaçãoapenas permite simular apoios articulados porque não tem derivadas nulas nos apoios, tendono entanto curvaturas nulas nos apoios (x = 0 e x = 1650m). Os modos de vibração e aspropriedades dinâmicas neste ensaio são iguais aos do ensaio anterior para o caso dos apoiosarticulados (Figura 2.25 e Tabela 2.14) uma vez que só se mudou a perturbação inicial, peloque só se apresenta o movimento do cabo devido à condição inicial indicada (Figura 2.29). Esteensaio numérico permite concluir que, dando-se uma perturbação inicial em forma de seno,o cabo-viga terá propensão para oscilar com uma geometria próxima do primeiro modo devibração (apresentado na Figura 2.25(1)). Da observação das Figuras 2.29a e 2.29b nota-seque, à medida que o tempo progride, a geometria do cabo evolui no sentido da formação deregiões junto aos apoios com curvatura oposta à da curvatura da região central. Como não seconsideram amortecedores ou amortecimento interno, o movimento do cabo-viga não tenderáassintoticamente para um estado de equilíbrio mantendo-se em vibração permanente uma vezque não há dissipação de energia.

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600

−1.0

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x (m)

v(m

)

t = 0.00 s

t = 1.00 s

t = 1.50 s

t = 2.00 s

t = 2.50 s

t = 3.00 s

t = 3.50 s

t = 4.30 s

(a) Primeiro modo de vibração (movimento ascen-dente).

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600

−1.0

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x (m)

v(m

)

t = 7.90 s

t = 7.00 s

t = 6.50 s

t = 6.00 s

t = 5.50 s

t = 5.00 s

t = 4.30 s

(b) Primeiro modo de vibração (movimento descen-dente).

Figura 2.29: Oitavo conjunto de ensaios. Parcela dinâmica do campo de deslocamentos do cabo-viga.Apoios articulados. Para se obter o campo de deslocamentos total há que adicionar a configuração deequilíbrio estático.

45

2.3.9 Nono conjunto de ensaios

Relativamente ao cabo anterior a única alteração que se fez foi adicionar um amortecedor a meiovão com um coeficiente de amortecimento c = 20 × 103 Ns/m. Na Figura 2.30 representam- -se os seis primeiros modos de vibração e na Tabela 2.16 apresentam-se as propriedades maisimportantes.

U1 V1

U2 V2

U3 V3

U4 V4

U5 V5

U6 V6

Figura 2.30: Nono conjunto de ensaios. Partes reais (U) e imaginárias (V ) dos seis primeiros modos devibração. Apoios articulados.

Modo (k) 1 2 3 4 5 6

ωk (rad/s) 0.7997 0.8369 1.2246 1.5994 2.0082 2.3989ωDk (rad/s) 0.7997 0.8232 1.2224 1.5994 2.0047 2.3989TD (s) 7.8567 7.6326 5.1400 3.9285 3.1343 2.6192ζk 0 0.18 0.0601 0 0.0588 0

Tabela 2.16: Nono conjunto de ensaios. Propriedades dinâmicas dos seis primeiros modos de vibração.Apoios articulados.

A comparação entre as Figuras 2.30 e 2.25 e entre as Tabelas 2.16 e 2.14 permite concluir que aadição do amortecedor a meio vão trocou a posição relativa entre os primeiro e segundo modos.Sem o amortecedor o primeiro modo é simétrico com uma frequência natural de 0.7940 rad/s eo segundo modo é um modo antissimétrico com uma frequência natural de 0.7997 rad/s (muitopróxima da do primeiro modo). A introdução do amortecedor a meio vão veio principalmenteintroduzir coeficientes de amortecimento diferentes de zero nos modos simétricos (modos 2, 3 e5; ver a Figura 2.30 e a Tabela 2.16), mas veio também alterar as frequências naturais por formaa que, com amortecedor, a frequência natural do primeiro modo simétrico passasse a ser superiorà do primeiro modo antissimétrico. A introdução do amortecedor a meio vão não modificou ofator de amortecimento (nulo) dos modos antissimétricos por a secção de meio vão ser um pontonodal (com velocidade identicamente nula) dos modos antissimétricos. A Figura 2.31 representaos movimentos ascendente (a) e descendente (b) do cabo-viga para aproximadamente um períodode oscilação do primeiro modo simétrico. Dos dois conjuntos de campos de deslocamentos daFigura 2.31 observamos uma ausência de concentração de curvaturas na vizinhança da secçãode meio vão nos instantes 0 s, 4.4 s e 8 s em que a velocidade da secção de meio vão é nula e,portanto, em que a ação da força do amortecedor viscoso não se faz sentir.

46

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600

−1.0

−0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

x (m)

v(m

)

t = 0.00 s

t = 1.50 s

t = 2.50 s

t = 3.50 s

t = 4.40 s

(a) Movimento ascendente.

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600

−1.0

−0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

x (m)

v(m

)

t = 8.00 s

t = 6.50 s

t = 5.50 s

t = 4.40 s

(b) Movimento descendente.

Figura 2.31: Nono conjunto de ensaios. Parcela dinâmica do campo de deslocamentos do cabo-viga.Apoios articulados. Para se obter o campo de deslocamentos total há que adicionar a configuração deequilíbrio estático.

2.3.10 Décimo conjunto de ensaios

Consideramos agora o cabo-viga ainda com um vão l = 1650m, sem amortecedor mas com ovalor do impulso diminuído para H = 3114480.83N (recorde-se que o valor anterior do impulsoera de H = 5017×103 N). A perturbação inicial continua a ser da forma y = A sin

(πx

1650

), pelo

que os apoios são articulados. Os modos de vibração e as principais características dinâmicasapresentam-se respetivamente na Figura 2.32 e na Tabela 2.17.

1 2

3 4

5 6

Figura 2.32: Décimo conjunto de ensaios. Seis primeiros modos de vibração. Apoios articulados.

A redução do impulso H provoca uma diminuição na rigidez do cabo, o que leva à diminuiçãodas frequências não amortecidas em relação às suas homólogas do sétimo conjunto de ensaios.Neste ensaio numérico o valor do parâmetro de Irvine é λ2 = 156.8, próximo do valor 16π2 ' 158correspondente ao segundo ponto de coalescência (entre o segundo modo simétrico e o segundomodo antissimétrico - recordar a Figura 1.3), pelo que o modo de frequência mais baixa é oprimeiro modo antissimétrico. O modo com a segunda frequência mais baixa é o primeiro modosimétrico que, como λ2 excede o primeiro ponto de coalescência entre frequências, apresenta ageometria indicada no segundo esquema da Figura 2.32 (com três extremos locais sendo o central

47

Modo (k) 1 2 3 4 5 6

ωk (rad/s) 0.6301 0.8622 1.2585 1.2601 1.6133 1.8901Tk (s) 9.9717 7.2874 4.9925 4.9861 3.8947 3.3243

Tabela 2.17: Décimo conjunto de ensaios. Propriedades dinâmicas dos seis primeiros modos de vibração.Apoios articulados.

o mais pronunciado). Não ocorre portanto nenhum modo apenas com uma semi-onda de senocom deslocamentos apenas para um dos lados da corda como no caso da Figura 2.25. Caboscom elevados valores do parâmetro de Irvine respondem a ações dinâmicas principalmente commudança de curvatura ao longo do vão em vez de responderem com variações de comprimento(que é uma característica dos cabos muito tensos).

A Figura 2.33 representa os movimentos ascendente (a) e descendente (b) do cabo-viga para umintervalo de tempo aproximadamente igual ao período de 9.9717 s (primeiro modo antissimé-trico).

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600

−1.0

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x (m)

v(m

)

t = 0.00 st = 1.50 s

t = 2.50 st = 3.50 s

t = 5.00 s

(a) Movimento ascendente.

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600

−1.0

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x (m)

v(m

)

t = 5.00 s

t = 6.50 s

t = 7.50 s

t = 9.00 s

t = 10.00 s

(b) Movimento descendente.

Figura 2.33: Décimo conjunto de ensaios. Parcela dinâmica do campo de deslocamentos do cabo-viga.Apoios articulados. Para se obter o campo de deslocamentos total deve adicionar-se a configuração deequilíbrio estático.

2.4 Estudo paramétrico para cabos-viga sem amortecedor

As leis da mecânica não dependem de sistemas de unidades específicos pelo que é possívelescrevê- -las em termos de quantidades adimensionais. A escrita adimensional das leis da mecâ-nica proporciona a possibilidade de estudar a interdependência funcional entre as quantidadesenvolvidas numa lei mecânica a partir de um número mais reduzido de variáveis adimensionais.Iniciamos as análises paramétricas adimensionais pelo caso mais simples dos cabos-viga semamortecedor (nem amortecimento interno). Como se viu atrás, na ausência de amortecedor, osparâmetros adimensionais que regem o comportamento dinâmico de um cabo-viga são o λ2 e

48

o ξ. Nesta secção estuda-se a dependência das primeiras frequências naturais e da geometriados modos de vibração nos parâmetros λ2 e ξ; para tal resolve-se o problema de valores pró-prios (2.46) (versão adimensional de (2.21)) para muitos pares (λ2, ξ). No artigo (Mehrabi eTabatabai, 1998) utilizaram-se 100 segmentos na discretização do cabo-viga, mas no presenteestudo utilizam-se pelo menos 200. A Figura 2.34 ilustra a dependência da primeira frequêncianatural

(adimensionalizada por ω1s = (π/l)

√H/m

)em λ2 e em ξ; a Figura 2.34a contém a

superfície que mostra a dependência de ω1/ω1s no par (λ2, ξ) para apoios articulados e a Figura2.34b mostra o caso dos apoios encastrados. A quantidade ω1s representa a primeira frequênciaangular de um cabo muito tenso (com λ2 → 0), também designado de “corda vibrante”.

10

100

200

300

400 0.001 0.01 0.1 1 10 100 1000 10000

0

1

2

3

4

5

λ2

ξ

ω1

ω1s

(a) Apoios articulados.

10

100

200

300

400 0.001 0.01 0.1 1 10 100 1000 10000

0

1

2

3

4

5

λ2

ξ

ω1

ω1s

(b) Apoios encastrados.

Figura 2.34: Frequência natural adimensional do primeiro modo simétrico.

A Figura 2.35 mostra a dependência da frequência natural adimensional ω2/ω1s do primeiromodo antissimétrico nos parâmetros λ2 e ξ. Observa-se que para valores elevados da rigidez

10

100

200

300

400 0.0010.01

0.11

10100

100010000

1.5

2.0

2.5

3.0

λ2

ξ

ω2

ω1s

(a) Apoios articulados.

10

100

200

300

400 0.0010.01

0.11

10100

100010000

1.5

2.0

2.5

3.0

λ2

ξ

ω2

ω1s

(b) Apoios encastrados.

Figura 2.35: Frequência natural adimensional do primeiro modo antissimétrico.

de flexão, isto é, para valores relativamente baixos do parâmetro ξ (ξ < 100) as frequênciasnaturais são mais elevadas devido à contribuição da rigidez à flexão. A comparação de cadapar de superfícies das Figuras 2.34 e 2.35 permite também concluir que o efeito do aumentodas frequências naturais para rigidezes de flexão maiores é mais pronunciado no caso dos apoiosencastrados do que no caso dos apoios articulados. Tal deve-se ao facto de os apoios encastradosimporem um nível mais elevado de constrangimento ao movimento que os apoios articulados; osapoios encastrados podem ser concebidos como apoios articulados dotados de molas de rigidez de

49

rotação cujo valor tende para infinito. Um outro aspeto a salientar é que enquanto a frequêncianatural do primeiro modo simétrico (Figura 2.34) depende do parâmetro λ2, a frequência doprimeiro modo antissimétrico já não tem essa dependência. A não dependência das frequênciasdos modos antissimétricos no parâmetro de Irvine (recordar também a Figura 1.3, válida apenasquando ξ → ∞) deve-se ao facto de os modos antissimétricos não envolverem, em primeiraaproximação, variações de comprimento do cabo. Com efeito, em tais modos os alongamentosocorridos nos segmentos em que o movimento do modo desloca o cabo para o lado convexoda configuração de equilíbrio são compensados exatamente pelos encurtamentos ocorridos nossegmentos em que o movimento do modo desloca o cabo para o lado côncavo da configuraçãode equilíbrio. A Figura 2.36 ilustra o efeito descrito anteriormente para o caso mais simplesdo primeiro modo antissimétrico. A Figura 2.36a mostra o primeiro modo antissimétrico e aFigura 2.36b mostra a configuração que o cabo toma quando oscila com a forma desse modo(a Figura 2.36b obtém-se da sobreposição do modo com a configuração de equilíbrio estático,representada a traço interrompido). No troço AC o movimento ocorre para o lado côncavo

A

BC

l

2

l

2

(a) Primeiro modo antissimétrico relativo à configuração de equilíbrioestático.

A

B

C

Lado côncavo

Lado convexo

(b) Representação instantânea do movimento de um cabo de acordo como primeiro modo antissimétrico.

Figura 2.36: Os modos antissimétricos não envolvem, em primeira aproximação, variações de compri-mento do cabo.

tendo o efeito de aliviar o impulso estático, enquanto que no troço CB o movimento ocorrepara o lado convexo tendo o efeito de aumentar o impulso estático. Em primeira aproximação,estes dois efeitos compensam-se por forma a não haver variação do impulso (e consequentementevariação do comprimento) quando o cabo oscila exclusivamente de acordo com o primeiro modoantissimétrico. O mesmo fenómeno ocorre em qualquer modo antissimétrico.

Nas Figuras 2.37 e 2.38 representam-se as curvas que se obtêm da interseção das superfícies das

50

Figuras 2.34 e 2.35 com os planos ξ = 10, ξ = 20 e ξ = 200. Nestas curvas apercebemo-nostambém do efeito flexibilizador do aumento do parâmetro ξ e dos apoios articulados no sentidode redução das duas primeiras frequências naturais. Verifica-se também que ao diminuir o

10−2

10−1

100

101

102

103

1040

1

2

3

4

λ2

ω

ω1s

(a) ξ = 10.

10−2

10−1

100

101

102

103

1040

1

2

3

4

λ2

ω

ω1s

(b) ξ = 20.

10−2

10−1

100

101

102

103

1040

1

2

3

4

λ2

ω

ω1s

(c) ξ = 200.

Figura 2.37: Frequências naturais adimensionais dos primeiros modos simétrico e antissimétrico. Apoiosarticulados.

10−2

10−1

100

101

102

103

1040

1

2

3

4

5

λ2

ω

ω1s

(a) ξ = 10.

10−2

10−1

100

101

102

103

1040

1

2

3

4

5

λ2

ω

ω1s

(b) ξ = 20.

10−2

10−1

100

101

102

103

1040

1

2

3

4

5

λ2

ω

ω1s

(c) ξ = 200.

Figura 2.38: Frequências naturais adimensionais dos primeiros modos simétrico e antissimétrico. Apoiosencastrados.

valor de ξ aumenta um pouco o valor de λ2 para o qual se dá o “cross-over point” (coalescência).Pode-se concluir que quanto mais rígido à flexão for o cabo-viga, a coalescência entre as duasprimeiras frequências naturais ocorre para um valor de λ2 maior (correspondente a uma menorcapacidade de deformação axial). Nota-se também que para valores de ξ > 100 o “cross-overpoint” ocorre sempre com o mesmo valor de λ2 e para o mesmo valor adimensional da frequência.Neste intervalo de valores de ξ as condições de fronteira passam a ser irrelevantes (comparem-seas Figuras 2.38c e 2.37c que, a menos da diferença da escala vertical, são idênticas). Como intuito de se mostrar as configurações dos modos e a forma como dependem dos parâmetrosadimensionais λ2 e ξ, realizaram-se as Tabelas 2.18 e 2.19. Numa primeira observação da Tabela2.18 (apoios articulados) podemos concluir que a coalescência de frequências ocorre sempre paravalores de λ2 entre 4π2 e 8π2, para a gama de valores de ξ representada. Nota-se também aevolução do primeiro modo simétrico que, para valores de λ2 baixos se assemelha a uma semiondade seno e para valores mais elevados do parâmetro de Irvine já apresenta dois pontos de inflexão(três máximos locais); o aparecimento desses pontos de inflexão ocorre para valores de λ2 maiselevados quando o cabo-viga possui maior rigidez à flexão (Tabela 2.19). Na Tabela 2.19 (apoiosencastrados) observa-se que a coalescência entre as duas primeiras frequências naturais ocorrepara λ2 entre 8π2 e 16π2 quando ξ = 10, significando que as condições de fronteira mais rígidas“atrasam” a coalescência para valores mais elevados de λ2.

51

Sabe-se que para um cabo sem rigidez de flexão (isto é, quando ξ → ∞), o ponto de co-alescência entre as frequências dos primeiros modos simétrico e antissimétrico ocorre paraλ2 = 4π2 ' 39.478. Uma observação quantitativa das Figuras 2.37 e 2.38 permite afirmarque, independentemente do tipo de apoio, para ξ = 200 já se pode afirmar que a primeiracoalescência ocorre para um valor de λ2 muito próximo de 4π2.

52

λ2ξ 10 20 200

1omodo 2omodo 1omodo 2omodo 1omodo 2omodo

1

4π2

8π2

16π2

32π2

Tabela 2.18: Configurações dos dois primeiros modos de vibração para diversos valores de λ2 e ξ.Apoios articulados.

53

λ2ξ 10 20 200

1omodo 2omodo 1omodo 2omodo 1omodo 2omodo

1

4π2

8π2

16π2

32π2

Tabela 2.19: Configurações dos dois primeiros modos de vibração para diversos valores de λ2 e ξ.Apoios encastrados.

54

2.5 Estudo paramétrico para cabos-viga com um amortecedora meio vão

Pretende-se agora avaliar os efeitos da adição de um amortecedor nas frequências naturais, nasconfigurações dos modos de vibração e nos fatores de amortecimento desses modos. As condiçõesde fronteira adotadas nesta secção são do tipo encastramento, porque na prática os tirantes depontes são encastrados nas suas ligações ao tabuleiro e às torres. O amortecimento interno docabo-viga é ignorado, pelo que o amortecimento provocado no cabo é exclusivamente devido aoamortecedor.

c

l - l

EA, EI

H H

l

dd

Figura 2.39: Configuração de equilíbrio de um cabo-viga com um amortecedor viscoso instalado a umadistância ld de uma das ancoragens.

A Figura 2.39 representa esquematicamente um cabo-viga com um amortecedor do tipo viscosoinstalado a uma distância ld de um dos apoios. O parâmetro adimensional

Γd = ldl, (2.48)

define a distância do amortecedor ao apoio mais próximo em termos de uma percentagem do vãol. Um outro parâmetro adimensional relevante, para além de λ2 e de ξ é o parâmetro adimensi-onal Ψ = c/

√mH (2.47) (Secção 2.2) associado à capacidade de amortecimento do amortecedor

viscoso. Em (Tabatabai e Mehrabi, 2000) apresentam-se vários intervalos onde se encontramos parâmetros adimensionais dos tirantes incluídos numa base de dados com 1600 tirantes: osvalores do parâmetro de Irvine estão na gama 0 ≤ λ2 ≤ 2.84, os valores do parâmetro da rigidezde flexão pertencem ao intervalo 10 ≤ ξ ≤ 600 e os valores do parâmetro de amortecimentoadimensional estão no intervalo 0 ≤ Ψ ≤ 70.

Começamos por apresentar na Figura 2.40 a superfície que dá o amortecimento do modo defrequência mais baixa para o caso de um cabo-viga com amortecedor a meio vão (Γd = 0.5);obviamente, nos tirantes reais o valor de Γd é muito inferior, situando-se normalmente entre0.01 e 0.04. Para este caso considera-se um fator de amortecimento adimensional Ψ = 2 que,como referido em (Tabatabai e Mehrabi, 2000), corresponde a um valor do coeficiente de amor-tecimento c baixo. Apesar de o coeficiente de amortecimento ser baixo o amortecedor viscosoconsegue, para certos valores de (λ2, ξ), produzir fatores de amortecimento do primeiro modopróximo dos 90%, tal como a Figura 2.40 documenta, porque o amortecedor está colocado a meiovão, local que otimiza a sua eficiência de amortecimento do primeiro modo simétrico. De formaanáloga ao que foi feito para a Figura 2.40, as Figuras 2.41 e 2.42 representam os fatores de

55

1100

200300

4000.001

0.010.1

110

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

ξλ2

ζ1

A

B

C

D

E

F

Figura 2.40: Fator de amortecimento do modo de vibração de frequência mais baixa em função de λ2 ede ξ. Dados: Ψ = 2, Γd = 0.50.

amortecimento dos modos com a segunda e terceira mais baixas frequências naturais, tambémem função de λ2 e ξ, para Ψ = 2 e Γd = 0.5. Para uma melhor compreensão das Figuras 2.40,

1100

200300

4000.001

0.010.1

110

0.0

0.1

0.2

0.3

ξλ2

ζ2

Figura 2.41: Fator de amortecimento do modo de vibração com a segunda frequência mais baixa, emfunção de λ2 e de ξ. Dados: Ψ = 2, Γd = 0.50.

2.41 e 2.42 escolheram-se seis pontos no plano (λ2, ξ) com as coordenadas (λ2A, ξA) = (0.002, 15),

(λ2B, ξB) = (0.002, 351), (λ2

C , ξC) = (3, 15), (λ2D, ξD) = (0.8, 351), (λ2

E , ξE) = (8, 175) e (λ2F ,

ξF ) = (8, 351), identificando-se na Figura 2.40 os seus correspondentes na superfície ζ1. Paracada um desses pontos, nas Figuras 2.44, 2.45 e 2.46 efetuou-se o traçado das configurações dostrês modos de vibração com frequências mais baixas.

Para a superfície de ζ1, representada na Figura 2.40, o que mais se destaca, para além doacentuado decréscimo de ζ1 para valores de ξ baixos, é a descontinuidade que existe na superfície.

56

1100

200300

4000.001

0.010.1

110

0.00

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

ξλ2

ζ3

Figura 2.42: Fator de amortecimento do modo de vibração com a terceira frequência mais baixa, emfunção de λ2 e de ξ. Dados: Ψ = 2, Γd = 0.50.

0.001 0.01 0.1 1 101

100

200

300

400

ξ

λ2

A

A

B

B

Figura 2.43: AA e BB representam as linhas de descontinuidade das superfícies de ζ1 e ζ2, respetiva-mente representadas nas Figuras 2.40, 2.41 e 2.42.

UA1

V A1

UB1

V B1

UC1

V C1

UD1

VD1

UE1

VE1

UF1

VF1

Figura 2.44: Parte real (U) e imaginária (V ) da configuração do modo de vibração de frequência maisbaixa nos pontos identificados na Figura 2.40.

57

UA2

V A2

UB2

V B2

UC2

V C2

UD2

VD2

UE2

VE2

UF2

VF2

Figura 2.45: Parte real (U) e imaginária (V ) da configuração do modo de vibração com a segundafrequência mais baixa, cujos fatores de amortecimento estão representados na Figura 2.41.

UA3

V A3

UB3

V B3

UC3

V C3

UD3

VD3

UE3

VE3

UF3

VF3

Figura 2.46: Parte real (U) e imaginária (V ) da configuração do modo de vibração com a terceirafrequência mais baixa, cujos fatores de amortecimento estão representados na Figura 2.42.

Esta linha de descontinuidade separa os primeiros modos de vibração, simétrico e antissimétrico:para o lado dessa linha que corresponde a valores mais baixos de λ2 o modo de frequência maisbaixa é simétrico (pontos A, B, C e D e correspondentes modos da Figura 2.44) enquanto quepara o lado dessa linha que corresponde a valores mais elevados de λ2 o modo de frequência maisbaixa é antissimétrico (pontos E e F e correspondentes modos da Figura 2.44). A zona da Figura2.40 onde os pontos E e F se encontram corresponde a um fator de amortecimento nulo para oprimeiro modo, porque o amortecedor está a meio do cabo e, para valores de λ2 e ξ desses doispontos, o modo de frequência mais baixa é antissimétrico estando o amortecedor aplicado noponto nodal desse modo (dois últimos pares de gráficos da Figura 2.44). O decréscimo acentuadode ζ1 que se verifica para baixos valores de ξ, ou seja, para elevados valores de rigidez de flexão,é devido à elevada rigidez da estrutura (comportando-se mais como viga do que como cabo) oque diminui a eficiência do amortecedor. À medida que se vai aumentando o parâmetro ξ, ocabo-viga vai perdendo o comportamento de viga e vai-se aproximando do comportamento deum cabo puro (infinitamente flexível, apenas com a rigidez axial) o que faz com que, para umamesma ação externa, a velocidade do ponto onde o amortecedor se liga ao cabo-viga seja emgeral maior quando ξ é alto do que quando é baixo.

Na superfície de ζ2 (Figura 2.41) observa-se que existe uma grande parte onde o fator de amorte-cimento é nulo, devido ao facto de, nessa região, o modo de frequência mais baixa ser o primeiro

58

modo antissimétrico; as figuras A, B, C e D da Figura 2.45 ilustram este facto. Para os pontosE e F o segundo modo é amortecido uma vez que se trata de um modo simétrico (gráficos E eF da Figura 2.45).

A Figura 2.42 apresenta o fator de amortecimento para o modo de vibração com a terceirafrequência mais baixa. Esse modo encontra-se representado na Figura 2.46 para cada um dos seispontos representados A a F definidos anteriormente. Trata-se de um modo simétrico envolvendoo movimento da secção de meio vão onde está colocado o amortecedor, razão pela qual a superfícieζ3 apresenta sempre valores não nulos (Figura 2.42).

Observa-se que para modos de vibração associados a frequências mais elevadas os valores dosfatores de amortecimento são mais baixos (comparar as ordens de grandeza dos valores nos eixosdas ordenadas das Figuras 2.40, 2.41 e 2.42). A Figura 2.43 localiza as linhas de descontinuidadeobservadas nas superfícies de ζ1, ζ2 e ζ3 representadas nas Figuras 2.40, 2.41 e 2.42; o eixo dasabcissas onde se marcam os valores de λ2 está em escala logarítmica.

Seguidamente dedicaremos atenção ao caso de cabos com amortecedores localizados perto dazona de apoio, caso muito mais interessante do ponto de vista prático, nomeadamente em tirantesde pontes.

2.6 Estudo paramétrico para cabos-viga com um amortecedorperto de um apoio

A Tabela 2.20 mostra um conjunto de superfícies do fator de amortecimento do modo de frequên-cia natural mais baixa em função dos parâmetros λ2 e ξ; as entradas dessa tabela são outrosdois parâmetros adimensionais relevantes, o Γd que define a posição do amortecedor e o Ψ quedefine a capacidade de amortecimento do amortecedor. Para a obtenção dos valores aí apre-sentados usou-se uma malha de diferenças finitas com 200 nós internos. Podemos concluir quepara uma dimensão de amortecedor fixa (Ψ fixo) o afastamento do amortecedor em relação aoapoio (aumento de Γd) tem, em geral, o efeito de aumentar o fator de amortecimento uma vezque, quanto mais distante dos apoios um amortecedor estiver, mais eficiente será pois estaráligado a secções do cabo que terão maiores velocidades em média. De modo análogo tambémse pode concluir que para uma posição dada do amortecedor (Γd fixo) o aumento da dimensãodo amortecedor (aumento de Ψ) conduz a um aumento do fator de amortecimento do primeiromodo. Da linha da Tabela 2.20 correspondente aos amortecedores com maior capacidade deamortecimento concluímos que o fator de amortecimento do primeiro modo não depende mono-tonamente do parâmetro ξ, para λ2 fixo. Enquanto que para valores de Ψ baixos ou moderadosa capacidade do amortecedor em amortecer o primeiro modo aumenta monotonamente com adiminuição da rigidez à flexão do cabo-viga (aumento de ξ), para amortecedores “mais fortes”há um valor de ξ que otimiza a eficiência do amortecedor a partir do qual há um decréscimodo fator de amortecimento. Quanto mais afastado o amortecedor estiver do apoio, maior é ovalor da rigidez à flexão para o qual o fator de amortecimento do primeiro modo atinge o valormáximo.

59

ΨΓd 0.02 0.04 0.06

1

5100

200300

4000.001

0.010.1

110

0.0000

0.0002

0.0004

0.0006

0.0008

0.0010

0.0012

ξλ2

ζ1

5100

200300

4000.001

0.010.1

110

0.000

0.001

0.002

0.003

0.004

0.005

ξλ2

ζ1

5100

200300

4000.001

0.010.1

110

0.000

0.002

0.004

0.006

0.008

0.010

0.012

ξλ2

ζ1

8

5100

200300

4000.001

0.010.1

110

0.0000

0.0015

0.0030

0.0045

0.0060

0.0075

ξλ2

ζ1

5100

200300

4000.001

0.010.1

110

0.000

0.005

0.010

0.015

0.020

0.025

ξλ2

ζ1

5100

200300

4000.001

0.010.1

110

0.000

0.005

0.010

0.015

0.020

0.025

0.030

ξλ2

ζ1

64

5100

200300

4000.001

0.010.1

110

0.000

0.002

0.004

0.006

0.008

0.010

ξλ2

ζ1

5100

200300

4000.001

0.010.1

110

0.000

0.004

0.008

0.012

0.016

0.020

ξλ2

ζ1

5100

200300

4000.001

0.010.1

110

0.000

0.005

0.010

0.015

0.020

0.025

0.030

0.035

ξλ2

ζ1

Tabela 2.20: Fator de amortecimento ζ1 do modo de vibração com a frequência mais baixa, em funçãodo parâmetro de Irvine λ2 e do parâmetro ξ, para vários valores de Ψ e de Γd. Apoios encastrados.

60

ΨΓd 0.02 0.04 0.06

1

5100

200300

4000.001

0.010.1

110

1.00000

1.00001

1.00002

1.00003

1.00004

1.00005

1.00006

ξλ2

ω

ω0

5100

200300

4000.001

0.010.1

110

1.0000

1.0000

1.0001

1.0002

1.0003

1.0004

ξλ2

ω

ω0

5100

200300

4000.001

0.010.1

110

1.0000

1.0005

1.0010

1.0015

1.0020

ξλ2

ω

ω0

8

5100

200300

4000.001

0.010.1

110

1.0000

1.0005

1.0010

1.0015

1.0020

1.0025

1.0030

1.0035

ξλ2

ω

ω0

5100

200300

4000.001

0.010.1

110

1.000

1.005

1.010

1.015

1.020

ξλ2

ω

ω0

5100

200300

4000.001

0.010.1

110

1.0001.0051.0101.0151.0201.0251.0301.0351.0401.045

ξλ2

ω

ω0

64

5100

200300

4000.001

0.010.1

110

1.000

1.005

1.010

1.015

1.020

ξλ2

ω

ω0

5100

200300

4000.001

0.010.1

110

1.00

1.01

1.02

1.03

1.04

ξλ2

ω

ω0

5100

200300

4000.001

0.010.1

110

1.00

1.01

1.02

1.03

1.04

1.05

1.06

1.07

ξλ2

ω

ω0

Tabela 2.21: Frequência natural não amortecida do modo de frequência mais baixo (normalizada emrelação a ω0), em função do parâmetro de Irvine λ2 e do parâmetro ξ, para vários valores de Ψ e de Γd. ω0é a frequência angular não amortecida do primeiro modo do cabo sem amortecedor. Apoios encastrados.

61

Os andamentos das superfícies representadas na Tabela 2.21 que dão a frequência natural nãoamortecida em função dos parâmetros adimensionais λ2 e ξ são mais regulares. Nos gráficosdesta tabela as ordenadas ω estão normalizadas em relação a ω0 que representa a frequênciaangular não amortecida do primeiro modo do cabo sem amortecedor. Em quase toda a gama devalores (Ψ, Γd) há um crescimento monótono da primeira frequência natural adimensional comξ e um decréscimo dessa frequência adimensional com λ2; a única exceção é nos valores maiselevados de Γd e Ψ para os quais a regra geral do crescimento monótono da frequência naturalcom ξ não se verifica.

Uma caraterística que se pode observar nas Tabelas 2.20 e 2.21 é que o amortecimento ζ1 e afrequência adimensional ω/ω0 do primeiro modo não são muito sensíveis à variação de λ2 para ointervalo de valores dos tirantes de pontes. Não nos podemos esquecer que os tirantes de pontessão cabos inclinados, isto é, cuja corda não é perpendicular à aceleração da gravidade, ou seja,têm uma configuração de equilíbrio estático que em bom rigor não é simétrica. No entanto,devido ao facto de os tirantes serem cabos extremamente tensos (com parâmetros de Irvinemuito baixos), a sua configuração de equilíbrio estático não se afasta muito de uma configuraçãosimétrica próxima da corda; o impulso é frequentemente várias ordens de grandeza superiorao seu peso próprio. Portanto é compreensível que para cabos muito tensos as propriedadesdinâmicas (por exemplo ζ1 e ω/ω0) sejam quase independentes da inclinação da corda. Assuperfícies anteriores permitem ter uma ideia do comportamento do amortecimento do cabo-viga ζ1 e da frequência adimensional do primeiro modo de vibração ω/ω0 para vários valores deΓd, Ψ, ξ e λ2. Para uma análise mais detalhada possibilitando uma análise quantitativa mostra-se de seguida um conjunto de curvas que resultam da interseção das superfícies das Tabelas2.20 e 2.21 com planos verticais. Nas Tabelas 2.22 e 2.23 apresentam-se ábacos que resultam darestrição das superfícies de amortecimento e de frequência natural não amortecida adimensional,respetivamente, para valores constantes de λ2 (considerando agora um maior número de valoresde Ψ). A malha de diferenças finitas utilizada para a sua construção continha 300 nós internos.

62

λ2Γd 0.02 0.04 0.06

0.01

1 100 200 300 400 500 6000.000

0.002

0.004

0.006

0.008

0.010

ξ

ζ1

Ψ = 1

Ψ = 2

Ψ = 4

Ψ = 8

Ψ = 16

Ψ = 32

Ψ = 64

1 100 200 300 400 500 6000.000

0.005

0.010

0.015

0.020

0.025

ξ

ζ1

Ψ = 1

Ψ = 2

Ψ = 4

Ψ = 8

Ψ = 16

Ψ = 32

Ψ = 64

1 100 200 300 400 500 6000.000

0.005

0.010

0.015

0.020

0.025

0.030

0.035

ξ

ζ1

Ψ = 1

Ψ = 2

Ψ = 4Ψ = 8

Ψ = 16

Ψ = 32

Ψ = 64

2

1 100 200 300 400 500 6000.000

0.002

0.004

0.006

0.008

ξ

ζ1

Ψ = 1

Ψ = 2

Ψ = 4

Ψ = 8

Ψ = 16

Ψ = 32

Ψ = 64

1 100 200 300 400 500 6000.000

0.005

0.010

0.015

0.020

ξ

ζ1

Ψ = 1

Ψ = 2

Ψ = 4

Ψ = 8

Ψ = 16

Ψ = 32

Ψ = 64

1 100 200 300 400 500 6000.000

0.005

0.010

0.015

0.020

0.025

0.030

0.035

ξ

ζ1

Ψ = 1

Ψ = 2

Ψ = 4

Ψ = 8

Ψ = 16

Ψ = 32

Ψ = 64

10

1 100 200 300 400 500 6000.000

0.001

0.002

0.003

0.004

ξ

ζ1

Ψ = 1

Ψ = 2

Ψ = 4

Ψ = 8

Ψ = 16

Ψ = 32

Ψ = 64

1 100 200 300 400 500 6000.000

0.002

0.004

0.006

0.008

0.010

0.012

ξ

ζ1

Ψ = 1

Ψ = 2

Ψ = 4Ψ = 8

Ψ = 16

Ψ = 32

Ψ = 64

1 100 200 300 400 500 6000.000

0.005

0.010

0.015

0.020

0.025

0.030

ξ

ζ1

Ψ = 1

Ψ = 2

Ψ = 4

Ψ = 8

Ψ = 16Ψ = 32Ψ = 64

Tabela 2.22: Fator de amortecimento do primeiro modo em função de ξ, para diferentes valores de Ψ,Γd e λ2. Apoios encastrados.

63

λ2Γd 0.02 0.04 0.06

0.01

1 100 200 300 400 500 6001.000

1.005

1.010

1.015

1.020

ξ

ω1

ω0

Ψ = 1Ψ = 2Ψ = 4Ψ = 8

Ψ = 16

Ψ = 32

Ψ = 64

1 100 200 300 400 500 6001.000

1.005

1.010

1.015

1.020

1.025

1.030

1.035

1.040

1.045

ξ

ω1

ω0

Ψ = 1Ψ = 2

Ψ = 4

Ψ = 8

Ψ = 16

Ψ = 32Ψ = 64

1 100 200 300 400 500 6001.000

1.010

1.020

1.030

1.040

1.050

1.060

1.070

ξ

ω1

ω0

Ψ = 1

Ψ = 2

Ψ = 4

Ψ = 8

Ψ = 16

Ψ = 32Ψ = 64

2

1 100 200 300 400 500 6001.000

1.005

1.010

1.015

ξ

ω1

ω0

Ψ = 1Ψ = 2Ψ = 4

Ψ = 8

Ψ = 16

Ψ = 32

Ψ = 64

1 100 200 300 400 500 6001.000

1.005

1.010

1.015

1.020

1.025

1.030

1.035

ξ

ω1

ω0

Ψ = 1Ψ = 2

Ψ = 4

Ψ = 8

Ψ = 16

Ψ = 32Ψ = 64

1 100 200 300 400 500 6001.000

1.010

1.020

1.030

1.040

1.050

1.060

ξ

ω1

ω0

Ψ = 1

Ψ = 2

Ψ = 4

Ψ = 8

Ψ = 16Ψ = 32Ψ = 64

10

1 100 200 300 400 500 6001.000

1.002

1.004

1.006

1.008

ξ

ω1

ω0

Ψ = 1Ψ = 2Ψ = 4

Ψ = 8

Ψ = 16

Ψ = 32

Ψ = 64

1 100 200 300 400 500 6001.000

1.005

1.010

1.015

ξ

ω1

ω0

Ψ = 1

Ψ = 2

Ψ = 4

Ψ = 8

Ψ = 16

Ψ = 32Ψ = 64

1 100 200 300 400 500 6001.000

1.005

1.010

1.015

1.020

1.025

1.030

ξ

ω1

ω0

Ψ = 1

Ψ = 2

Ψ = 4

Ψ = 8

Ψ = 16Ψ = 32Ψ = 64

Tabela 2.23: Frequência natural não amortecida do modo de frequência mais baixa (normalizada emrelação a ω0, em função de ξ, para diferentes valores de Ψ, Γd e λ2. Apoios encastrados.

64

Optou-se por considerar a maioria dos valores de λ2 num intervalo que não se afastasse muito dosvalores típicos de tirantes de pontes (sendo o valor 10 já exagerado para um tirante). Adotou-seidêntico critério para os valores de Ψ que se encontram no intervalo 0 < Ψ < 70. O parâmetro ξtambém segue o mesmo critério, onde a maioria dos seus valores estão no intervalo 10 < ξ < 600.Observamos em todos os casos que o fator de amortecimento tende para zero quando a rigidezà flexão tende para infinito (ξ tende para zero) e que tende para um valor constante à medidaque a rigidez à flexão é menos importante (ξ maior). Em cada figura da Tabela 2.22 ocorre umvalor de Ψ para o qual o fator de amortecimento se mantém sensivelmente constante numa gamalarga de valores de ξ e igual ao máximo atingido logo após crescimento para valores de ξ baixos.Para valores fixos de λ2 observamos que esses patamares de ζ1 constante ocorrem para valoresmenores do amortecimento adimensional Ψ à medida que o amortecimento se afasta do apoio (Γd

crescente). Sabe-se (Tabatabai e Mehrabi, 2000) que, para cabos tensos infinitamente flexíveis,o valor ótimo do amortecimento adimensional do amortecedor, que conduz ao máximo fator deamortecimento no primeiro modo do sistema cabo-amortecedor possível é Ψ = π c

mlω1s= c√

mH;

esse fator de amortecimento ótimo vale ζ1 = 0.5Γd. Os fatores de amortecimento ótimos para asposições do amortecedor Γd = 0.02, 0.04 e 0.06 são respetivamente 0.01, 0.02 e 0.03, valores queestão de acordo com os resultados constantes na linha λ2 = 0.01 da Tabela 2.22 (para valoreselevados de ξ).

A Tabela 2.23 apresenta um conjunto de ábacos que fornecem a frequência adimensionalizada domodo de frequência mais baixa em função do parâmetro ξ para diferentes dimensões do amor-tecedor (diferentes valores de Ψ). As frequências adimensionalizadas ω1/ω0 representadas nasordenadas foram obtidas por divisão das frequências naturais não amortecidas pela frequêncianatural ω0 do cabo sem amortecedor. Cada ábaco da Tabela 2.23 corresponde a um conjunto desecções da superfície homóloga da Tabela 2.21 segundo planos paralelos ao eixo ξ. Cada ábacofoi obtido para um par de valores (λ2,Γd). Observa-se que o aumento de λ2 conduz à diminuiçãoda frequência adimensional. Também se observa que a frequência adimensional aumenta comΓd e com Ψ.

Nas figuras da Tabela 2.24, em relação à Tabela 2.22, invertem-se os papéis de ξ e Ψ. ATabela 2.24 permite concluir que para elevados valores de ξ (cabos-viga com comportamentoidêntico a cabos puros) o máximo amortecimento do cabo ocorre para valores baixos de Ψ,enquanto que para baixos valores de ξ (cabos-viga com comportamento idêntico a vigas) omáximo amortecimento do cabo ocorre para valores elevados de Ψ. Nota-se também que para ummesmo valor de Γd, quando o valor de λ2 aumenta (cabos menos tensos) o fator de amortecimentodo primeiro modo diminui. Na Tabela 2.24, para valores relativamente baixos da rigidez àflexão (valores suficientemente elevados do parâmetro ξ) as curvas apresentam um máximo dofator de amortecimento seguido de um decréscimo para valores crescentes da capacidade deamortecimento do amortecedor. Tal deve-se ao facto de, para valores elevados do coeficiente deamortecimento c (e portanto de Ψ) o amortecedor praticamente impedir o movimento da secçãodo cabo-viga onde está ligado, conduzindo à redução da sua capacidade de dissipação de energia,uma vez que esta depende do produto de c pela velocidade da secção onde o amortecedor seencontra ligado.

65

λ2Γd 0.02 0.04 0.06

0.01

0 10 20 30 40 50 60 700.000

0.002

0.004

0.006

0.008

0.010

Ψ

ζ1

ξ = 1

ξ = 5

ξ = 10

ξ = 50

ξ = 100

ξ = 500

0 10 20 30 40 50 60 700.000

0.005

0.010

0.015

0.020

0.025

Ψ

ζ1

ξ = 1

ξ = 5

ξ = 10

ξ = 50

ξ = 100

ξ = 500

0 10 20 30 40 50 60 700.000

0.005

0.010

0.015

0.020

0.025

0.030

0.035

Ψ

ζ1

ξ = 1

ξ = 5

ξ = 10

ξ = 50

ξ = 100

ξ = 500

2

0 10 20 30 40 50 60 700.000

0.002

0.004

0.006

0.008

Ψ

ζ1

ξ = 1

ξ = 5

ξ = 10

ξ = 50

ξ = 100

ξ = 500

0 10 20 30 40 50 60 700.000

0.005

0.010

0.015

0.020

Ψ

ζ1

ξ = 1

ξ = 5

ξ = 10

ξ = 50

ξ = 100

ξ = 500

0 10 20 30 40 50 60 700.000

0.005

0.010

0.015

0.020

0.025

0.030

0.035

Ψ

ζ1

ξ = 1

ξ = 5

ξ = 10

ξ = 50

ξ = 100

ξ = 500

10

0 10 20 30 40 50 60 700.000

0.001

0.002

0.003

0.004

Ψ

ζ1

ξ = 1

ξ = 5

ξ = 10

ξ = 50

ξ = 100

ξ = 500

0 10 20 30 40 50 60 700.000

0.002

0.004

0.006

0.008

0.010

0.012

Ψ

ζ1

ξ = 1

ξ = 5

ξ = 10

ξ = 50

ξ = 100

ξ = 500

0 10 20 30 40 50 60 700.000

0.005

0.010

0.015

0.020

0.025

0.030

Ψ

ζ1

ξ = 1

ξ = 5

ξ = 10

ξ = 50

ξ = 100

ξ = 500

Tabela 2.24: Fator de amortecimento do primeiro modo em função do parâmetro adimensional doamortecedor Ψ, para diferentes valores de ξ, Γd e λ2. Apoios encastrados.

66

ξΓd 0.02 0.04 0.06

10

0.001 0.01 0.1 1 10 100 1000 100000.00

0.02

0.04

0.06

0.08

λ2

ζ

ζ1

ζ2

× 10−3

0.001 0.01 0.1 1 10 100 1000 100000.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

λ2

ζ

ζ1

ζ2

× 10−3

0.001 0.01 0.1 1 10 100 1000 100000

1

2

3

4

λ2

ζζ1

ζ2

× 10−3

100

0.001 0.01 0.1 1 10 100 1000 100000.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

λ2

ζ ζ1

ζ2

× 10−3

0.001 0.01 0.1 1 10 100 1000 100000

2

4

6

8

λ2

ζ ζ1

ζ2

× 10−3

0.001 0.01 0.1 1 10 100 1000 10000 0

5

10

15

20

λ2

ζ ζ1

ζ2

× 10−3

Tabela 2.25: Fatores de amortecimento ζ dos primeiro e segundo modos de um cabo com amortecedor,em função do parâmetro de Irvine λ2, para Ψ = 1 e vários valores de Γd e ξ. Apoios encastrados.

67

ξΓd 0.02 0.04 0.06

10

0.001 0.01 0.1 1 10 100 1000 100000.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

λ2

ζ

ζ1

ζ2

× 10−3

0.001 0.01 0.1 1 10 100 1000 100000

2

4

6

8

λ2

ζ

ζ1

ζ2

× 10−3

0.001 0.01 0.1 1 10 100 1000 10000 0

5

10

15

20

25

30

λ2

ζζ1

ζ2

× 10−3

100

0.001 0.01 0.1 1 10 100 1000 100000

2

4

6

8

λ2

ζζ1

ζ2

× 10−3

0.001 0.01 0.1 1 10 100 1000 10000 0

5

10

15

20

λ2

ζ

ζ1ζ2

× 10−3

0.001 0.01 0.1 1 10 100 1000 10000 0

5

10

15

20

25

30

λ2

ζ

ζ2ζ1

× 10−3

Tabela 2.26: Fatores de amortecimento ζ dos primeiro e segundo modos de um cabo com amortecedor,em função do parâmetro de Irvine λ2, para Ψ = 8 e vários valores de Γd e ξ. Apoios encastrados.

68

ξΓd 0.02 0.04 0.06

10

0.001 0.01 0.1 1 10 100 1000 100000

1

2

3

4

5

λ2

ζ

ζ1

ζ2

× 10−3

0.001 0.01 0.1 1 10 100 1000 10000 0

5

10

15

20

25

30

λ2

ζ

ζ1

ζ2

× 10−3

0.001 0.01 0.1 1 10 100 1000 10000 0

10

20

30

40

λ2

ζ

ζ2

ζ1

× 10−3

100

0.001 0.01 0.1 1 10 100 1000 100000

2

4

6

8

λ2

ζ

ζ2ζ1

× 10−3

0.001 0.01 0.1 1 10 100 1000 100000

1

2

3

4

5

6

7

λ2

ζ

ζ2ζ1

× 10−3

0.001 0.01 0.1 1 10 100 1000 100000

1

2

3

4

5

6

7

λ2

ζζ2ζ1

× 10−3

Tabela 2.27: Fatores de amortecimento ζ dos primeiro e segundo modos de um cabo com amortecedor,em função do parâmetro de Irvine λ2, para Ψ = 64 e vários valores de Γd e ξ. Apoios encastrados.

69

As Tabelas 2.25, 2.26 e 2.27, construídas a partir de uma malha de diferenças finitas uniformecom 300 nós internos, apresentam a variação dos fatores de amortecimento dos dois modosde frequências naturais mais baixas, em função do parâmetro de Irvine para três valores doparâmetro adimensional Ψ que define a dimensão do amortecedor (apresenta-se agora uma gamade valores de λ2 bastante maior do que a usada para se obterem as superfícies das Tabelas 2.20ou 2.21). As entradas das Tabelas 2.25 (Ψ = 1), 2.26 (Ψ = 8) e 2.27 (Ψ = 64) são o parâmetroξ que, como já se disse, define a importância da rigidez à flexão do cabo e o parâmetro Γd quedefine a posição do amortecedor em relação ao apoio mais próximo. As figuras destas três tabelascolocam em evidência dois fenómenos importantes. O primeiro é o quase anulamento da eficiênciado amortecedor para amortecer vibrações que ocorram de acordo com o modo que correspondeao primeiro modo simétrico de um cabo sem amortecedor, para o parâmetro de Irvine na regiãode aproximação de frequências naturais dos dois primeiros modos (visto existir amortecimento,não vai existir um ponto de coalescência). Tal deve-se ao facto de, para λ2 perto da região deaproximação das duas primeiras frequências naturais, a configuração do primeiro modo exibirzonas mais ou menos extensas perto dos apoios (mesmo que articulados), com declives muitopouco acentuados, o que reduz consideravelmente a eficiência de um amortecedor que se situenessas zonas. Um outro fenómeno é a não dependência do fator de amortecimento correspondenteao primeiro modo antissimétrico em relação ao parâmetro de Irvine. Tal não dependência deve--se ao facto de a forma do modo correspondente ao primeiro modo antissimétrico do cabo serindependente do parâmetro de Irvine, parâmetro este que, como já foi referido, quantifica aimportância da extensibilidade no comportamento do cabo.

O conjunto de ábacos presente na Tabela 2.28 permite ver qual a influência dos parâmetros ξ,Γd e Ψ no gráfico frequência versus λ2 como o apresentado pela primeira vez por (Irvine, 1981)(ver também a Figura 1.3). Em cada um dos ábacos quantifica-se a influência da dimensão doamortecedor (i.e., de Ψ) na localização da região de aproximação de frequências não amortecidasdos dois primeiros modos: conclui-se que um aumento de Ψ implica uma migração dessa regiãode aproximação de frequências para valores de λ2 superiores. No conjunto de gráficos da mesmatabela nota-se que esse efeito se amplia com o afastamento do amortecedor em relação ao apoio(aumento de Γd) e com a diminuição da rigidez à flexão do cabo (aumento de ξ).

70

ξΓd 0.02 0.04 0.06

10

0.001 0.01 0.1 1 10 100 1000 100001.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

4.5

5.0

λ2

ω

ω1s

1o modo para Ψ= 1

1o modo para Ψ= 64

2o modo para Ψ= 1

2o modo para Ψ= 64

0.001 0.01 0.1 1 10 100 1000 100001.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

4.5

5.0

λ2

ω

ω1s

1o modo para Ψ = 1

1o modo para Ψ = 64

2o modo para Ψ = 1

2o modo para Ψ = 64

0.001 0.01 0.1 1 10 100 1000 100001.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

4.5

5.0

λ2

ω

ω1s

1o modo para Ψ = 1

1o modo para Ψ = 64

2o modo para Ψ = 1

2o modo para Ψ = 64

100

0.001 0.01 0.1 1 10 100 1000 100001.0

1.5

2.0

2.5

3.0

λ2

ω

ω1s

1o modo para Ψ = 1

1o modo para Ψ = 64

2o modo para Ψ = 1

2o modo para Ψ = 64

0.001 0.01 0.1 1 10 100 1000 100001.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

λ2

ω

ω1s

1o modo para Ψ = 1

1o modo para Ψ = 64

2o modo para Ψ = 1

2o modo para Ψ = 64

0.001 0.01 0.1 1 10 100 1000 100001.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

λ2

ω

ω1s

1o modo para Ψ = 1

1o modo para Ψ = 64

2o modo para Ψ = 1

2o modo para Ψ = 64

Tabela 2.28: Quocientes de frequências ω1/ω1s e ω2/ω1s em função do parâmetro de Irvine λ2, paravários valores de ξ, de Γd e de Ψ. ω1 (ω2): frequência natural não amortecida do primeiro (segundo)modo do cabo com amortecedor. ω1s: frequência natural do primeiro modo de um cabo muito tenso semrigidez à flexão. Apoios encastrados.

71

72

Capítulo 3

Oscilações livres de um sistema dedois cabos ligados por amortecedorese molas

3.1 Caso geral: dois cabos com vãos diferentes

3.1.1 Equações do movimento dos cabos-viga

Neste capítulo generaliza-se o estudo realizado no capítulo anterior. Pretendemos agora estu-dar as propriedades dinâmicas de dois cabos (em geral cabos-viga, pois podem ter rigidez deflexão) interligados por um sistema de amortecedores viscosos e de molas, como representadona Figura 3.1. Assume-se que cada cabo tem propriedades uniformes ao longo do vão respe-tivo; uma propriedade relativa ao cabo superior (inferior) será indicada pelo índice inferior “a”(“b”). A massa por unidade de comprimento e as rigidezes axial e de flexão são designadas,respetivamente, por m, EA e EI. O coeficiente de amortecimento por unidade de comprimentodo sistema de amortecedores e a rigidez por unidade de comprimento do sistema de molas sãodesignados respetivamente por c′ e k′. O vão é designado por l.

Tomando como base a Equação (2.1) que rege o movimento de um cabo-viga isolado, mstra-seque o sistema de equações diferenciais que regem o movimento dos dois cabos esquematicamenterepresentados na Figura 3.1, acoplados por um sistema de amortecedores e molas, é dado por

(EI)a

∂4va

∂x4a

−Ha∂2va

∂x2a

− had2y

dx2a

+ k′ (va − vb) + c′(∂va

∂t− ∂vb

∂t

)+ma

∂2va

∂t2= 0

(EI)b

∂4vb

∂x4b

−Hb∂2vb

∂x2b

− hbd2y

dx2b

+ k′ (vb − va) + c′(∂vb

∂t− ∂va

∂t

)+mb

∂2vb

∂t2= 0

(3.1)

em que ha e hb designam os impulsos dinâmicos, respetivamente do cabo superior e do caboinferior. Na dedução das Equações (3.1) foi preciso considerar os termos de acoplamento pro-porcionados pelas molas e pelos amortecedores tendo em conta o princípio da ação-reação e a

73

x

y

c'

k'

l

m , (EA) , (EI)

a

m , (EA) , (EI)

l

a a

b b b

a

b

x

y

b

b

a

a

Figura 3.1: Dois cabos-viga ligados por um sistema de amortecedores e molas respetivamente comcoeficiente de amortecimento e rigidez por unidade de comprimento iguais a c′ e a k′. Os cabos-vigasão homogéneos com as propriedades: m (massa por unidade de comprimento), EA (rigidez axial) e EI(rigidez de flexão).

lei constitutiva de cada um desses dispositivos. Notar que os cabos podem ter vãos diferentese podem não ter os apoios do lado esquerdo e/ou do lado direito na mesma vertical pelo que énecessário considerar duas variáveis espaciais independentes, xa ∈ [0, la] e xb ∈ [0, lb]. Os termosde acoplamento ±k′ (va − vb) e ±c′

(∂va

∂t− ∂vb

∂t

)presentes no sistema (3.1) aplicam-se apenas

nas regiões dos vãos onde houver molas e/ou amortecedores.

3.1.2 Método da separação de variáveis

De uma forma análoga ao que foi feito no Capítulo 2 para um cabo isolado, as Equações (3.1)serão resolvidas recorrendo ao método da separação de variáveis pressupondo que

va(xa, t) = wa(xa) exp(pt)

vb(xb, t) = wb(xb) exp(pt)(3.2)

em que p desempenha o papel de frequência angular complexa. Da formulação adimensionalrealizada na Secção 2.2 sabe-se que o produto entre a parcela dinâmica do impulso e a curvaturaestática obedece a

hd2y

dx2 = mg

Hh = Hλ2

l3exp(pt)

∫ l

0w(x)dx ,

em que x = xa ou x = xb consoante se trate do cabo superior ou do cabo inferior. Considerandoque há apenas amortecedores (k′ ≡ 0), substituindo (3.2) em (3.1) e colocando exp(pt) emevidência nas equações do movimento obtém-se

(EI)a

d4wa

dx4a

−Had2wa

dx2a

+ λ2a

l3aHa

∫ la

0wa(x′a)dx′a + c′p (wa − wb) +map

2wa = 0 ,

(EI)b

d4wb

dx4b

−Hbd2wb

dx2b

+ λ2b

l3bHb

∫ lb

0wb(x′b)dx′b + c′p (wb − wa) +mbp

2wb = 0 ,(3.3)

74

em que surgem dois parâmetros de Irvine

λ2a =

(maglaHa

) (EA)a

Ha

laLea

,

λ2b =

(mbglbHb

) (EA)b

Hb

lbLeb

,

um para cada cabo.

3.1.3 Método das diferenças finitas

O caso prático que interessa está representado esquematicamente na Figura 3.2. Trata-se de umpar de cabos paralelos ligados apenas por um amortecedor de coeficiente de amortecimento c,disposto perpendicularmente a ambas as cordas. É para esse caso que procederemos à discreti-zação da parte espacial (3.3) das equações do movimento.

c

i=0 i=1 i=2 i=n i=n +1

Cabo a

Cabo b

i=k

a

j=k

b

j=0 j=1j=2

aa

j=n j=n +1

b b

Figura 3.2: Dois cabos paralelos (designados pelas letras a e b) acoplados por um amortecedor viscosoligando o ka-ésimo nó interior do cabo a ao kb-ésimo nó interior do cabo b.

Para obtermos a versão discreta das Equações (3.3) baseamo-nos no caso de um cabo isolado(Secção 2.2) tendo o cuidado de adicionar os termos de acoplamento que se devem às forçasiguais em módulo e de sentidos contrários que atuam no ka-ésimo nó interno do cabo a e nokb-ésimo nó interno do cabo b e são diretamente proporcionais à velocidade relativa desses nós,

[K′a 00 K′b

]wa

wb

+

λ2

aHaaa

l3aBa 0

0 λ2bHbab

l3bBb

wa

wb

+ p2

[maIa 0

0 mbIb

]wa

wb

+ p

[C′aa C′ab

C′ba C′bb

]wa

wb

=

00

,

(3.4)

em que K′a = Ha

a2a

χa , K′b = Hb

a2b

χb , C′aa e C′bb são matrizes diagonais cujos elementos não

nulos são, respetivamente, o ka-ésimo e o kb-ésimo elemento da diagonal principal e iguais a c′

enquanto C′ab e C′ba são matrizes cujos únicos elementos não nulos são, respetivamente, o (ka, kb)e o (kb, ka) e iguais a −c′. Recorde-se que c′ é um coeficiente de amortecimento por unidade decomprimento. As matrizes Ia e Ib são matrizes identidade de dimensões iguais ao número denós interiores respetivamente do cabo a (na) e do cabo b (nb) enquanto as matrizes Ba e Bb sãomatrizes unitárias (todos os seus elementos são iguais a 1) de dimensões na e nb. As matrizes χa

75

e χb dependem de ξa = la

√Ha/ (EI)a e ξb = lb

√Hb/ (EI)b que são inversamente proporcionais

à importância da rigidez à flexão de cada cabo-viga, de acordo com (2.42). Na expressão (2.43)o número inteiro N deve ser tomado como sendo igual a Na ou Nb consoante se trate do númerode segmentos da discretização do cabo a ou do cabo b, respetivamente. Podemos ainda escrevero sistema (3.4) na forma equivalente

(χa + λ2

aa3a

l3aBa + p

aa

Ha

(aa C′aa

)+ p2maa

2a

HaIa

)wa − p

aa

Ha

(aa C′ab

)wb = 0(

χb + λ2ba

3b

l3bBb + p

ab

Hb

(ab C′bb

)+ p2mba

2b

HbIb

)wb − p

ab

Hb

(ab C′ba

)wa = 0

. (3.5)

Definindo C′′aa = aaC′aa, C′′ab = aaC′ab, C′′ba = abC′ba e C′′bb = abC′bb com (ac′)a = (ac′)b = c, ocoeficiente de amortecimento do amortecedor que liga os dois cabos. Com o objetivo de chegara uma formulação adimensional definimos agora a frequência complexa adimensional

Ω = πp

ω1sa

, (3.6)

em que ω1sa = (π/la)√Ha/ma seria a primeira frequência angular de um cabo muito tenso

(λ2a → 0) de vão la. Assim p = Ωω1sa

π= Ωla

√Ha

mae p2 = Ω2

l2a

Ha

ma. Note-se que poderíamos definir

Ω à custa de ω1sa ou de ω1sb; escolhemos ω1sa (correspondente ao cabo a). Substituindo p e as

matrizes C′′ nas equações anteriores, e admitindo que o número de segmentos Na = Nb = N ,obtemos aa

la= ab

lb= 1N

o que conduz a Ba = Bb = B, Ia = Ib = I e por conseguinte

(χa + λ2

a

N3 B + ΩN

1√maHa

C′′aa + Ω2

N2 I)

wa −ΩN

1√maHa

C′′abwb = 0[Hb

Ha

(χb + λ2

b

N3 B)

+ Ωab

La

1√maHa

C′′ba + Ω2a2b

L2a

mb

maI]

wb −Ωab

La

1√maHa

C′′bbwa = 0. (3.7)

Designando Caa = 1√maHa

C′′aa , Cab = 1√maHa

C′′ab , Cba = 1√mbHb

C′′ba , Cbb = 1√mbHb

C′′bb e

multiplicando ambas as equações vetoriais (3.7) por N2 obtemos a seguinte escrita matricial

N2χa + λ2

a

NB 0

0 qH

(N2χb + λ2

b

NB)+

NΩCaa −NΩCab

−N Ωlbla

Cba NΩlbla

Cbb

+

Ω2I 0

0 Ω2l2bl2a

qmI

wa

wb

=

00

em queqH = Hb

Ha(3.8)

76

é o parâmetro adimensional que quantifica a importância relativa dos impulsos dos dois cabos e

qm = mb

ma(3.9)

é o parâmetro adimensional que quantifica a importância relativa das massas por unidade decomprimento dos dois cabos. A divisão da segunda equação por

ql = lbla

(3.10)

permite-nos obter o sistema simétricoN2χa + λ2

a

NB 0

0 qH

ql

(N2χb + λ2

b

NB)+

NΩCaa −NΩCab

−NΩCba NΩCbb

+

Ω2I 0

0 Ω2qlqmI

wa

wb

=

00

(3.11)

No sistema anterior os elementos não nulos das matrizes Caa e Cbb são Ψ = c/√maHa e os

elementos não nulos das matrizes Cab e Cba são −Ψ, elementos esses que estão nas posiçõesindicadas atrás para as matrizes C′aa, C′ab, C′ba e C′bb. Em resumo, os parâmetros adimensionaisda formulação adimensional de dois cabos diferentes acoplados por um amortecedor viscoso sãodez:

λ2a =

(maglaHa

)2 la(EA)a

HaLea

,

λ2b =

(mbglbHb

)2 lb(EA)b

HbLeb

,

ξa = la

√Ha

(EI)a,

ξb = lb

√Hb

(EI)b,

Ψ = c√maHa

,

Γda = lda

la,

Γdb= ldb

lb,

qH = Hb

Ha,

qm = mb

ma,

ql = lbla.

(3.12)

77

3.2 Caso particular: dois cabos com vãos iguais

No caso de os cabos terem vãos iguais: la = lb = l, então ql = 1, pelo queN2χa + λ2

a

NB 0

0 qH

(N2χb + λ2

b

NB)+

NΩCaa −NΩCab

−NΩCba NΩCbb

+

Ω2I 0

0 Ω2qmI

wa

wb

=

00

.

(3.13)

No caso de os dois cabos terem as mesmas propriedades volta a haver somente quatro parâmetrosadimensionais: λ2, ξ, Ψ e Γd.

3.3 Resultados e comentários

As duas secções seguintes apresentam resultados numéricos e conclusões para duas situaçõesdistintas: dois cabos com o mesmo vão e dois cabos de vãos distintos.

3.3.1 Modos de vibração, frequências naturais e fatores de amortecimentopara dois cabos de vãos iguais ligados por um amortecedor

Nesta secção começamos por abordar o caso de dois cabos homogéneos com as mesmas proprie-dades (ql = 1, qH = 1, qm = 1, λ2

a = λ2b , ξa = ξb) ligados por um amortecedor cuja configuração

de equilíbrio estático está esquematicamente representada na Figura 3.3.

c

Cabo b

Cabo a

Figura 3.3: Dois cabos homogéneos iguais ligados por um amortecedor viscoso ligando secções homólo-gas.

Para tal construiram-se as Tabelas 3.1 a 3.4 contendo os modos de vibração dos quatro modosde frequências mais baixas. As entradas dessas tabelas são os parâmetros adimensionais quedefinem o grau de rigidez à flexão (ξ) e a percentagem do vão a que o amortecedor se encontraa partir do apoio mais próximo (Γd). Todas as tabelas foram construídas para Ψ = 8, λ2 = 0.01e apoios encastrados. Em cada entrada das tabelas há quatro desenhos: os dois desenhos de

78

cima respeitam ao cabo superior (a) e os dois desenhos de baixo respeitam ao cabo inferior(b). Os desenhos do lado esquerdo em cada entrada são a parte real do modo enquanto queos desenhos do lado direito são a parte imaginária do modo. Observa-se que nos primeiro eterceiro modos (respetivamente Tabelas 3.1 e 3.3) os cabos movimentam-se no mesmo sentidoe com a mesma amplitude. Já nos modos segundo e quarto (respetivamente Tabelas 3.2 e 3.4)os cabos movimentam-se em sentidos opostos. Compreende-se assim que nos modos 1 e 3 oscabos vibrem de forma desacoplada, não havendo lugar à dissipação de energia por parte doamortecedor uma vez que as suas extremidades estão ligadas a duas secções que se movimentamsincronizadamente com a mesma velocidade; nas configurações dos modos 1 e 3 não se nota poisnenhuma concentração de curvaturas nas vizinhanças das secções onde se encontram ligadas asextremidades do amortecedor. Nos modos 2 e 4, com particular destaque para os casos de baixarigidez à flexão (elevado ξ) e maior afastamento do amortecedor em relação ao apoio (maiorΓd), já se nota claramente o efeito da força do amortecedor pela concentração de curvaturasque as configurações desses modos exibem. As Tabelas 3.1 a 3.4 devem ser interpretadas com oauxílio das Tabelas 3.5 e 3.6. A Tabela 3.5 contém os valores próprios Ω (3.6) do sistema (3.13)correspondentes aos modos apresentados nas Tabelas 3.1 a 3.4. Com base nos valores própriosda Tabela 3.5 construíu-se a Tabela 3.6 com as frequências amortecidas (partes imagináriasdos Ω da Tabela 3.5) e os fatores de amortecimento dos quatro primeiros modos. Tal como sehavia previsto nos comentários sobre as configurações dos modos, os modos 1 e 3 têm fatoresde amortecimento nulos. Observa-se que as frequências amortecidas diminuem à medida que arigidez à flexão diminui (ξ aumenta). Os resultados das Tabelas 3.1 a 3.6 dizem respeito a cabosmuito tensos (λ2 = 0.01). Os valores a negrito da Tabela 3.6 pretendem realçar os casos commaior fator de amortecimento (em percentagem do amortecimento crítico).

79

ξΓd 0.02 0.04 0.06

10 U1 V1 U1 V1 U1 V1

100 U1 V1 U1 V1 U1 V1

600 U1 V1 U1 V1 U1 V1

Tabela 3.1: Configurações das partes real (U) e imaginária (V ) do primeiro modo para Ψ = 8, λ2 = 0.01e para vários valores de ξ e da posição do amortecedor (Γd). Cabos de vãos iguais. Apoios encastrados.

80

ξΓd 0.02 0.04 0.06

10 U2 V2 U2 V2 U2 V2

100 U2 V2 U2 V2 U2 V2

600 U2 V2 U2 V2 U2 V2

Tabela 3.2: Configurações das partes real (U) e imaginária (V ) do segundo modo para Ψ = 8, λ2 = 0.01e para vários valores de ξ e da posição do amortecedor (Γd). Cabos de vãos iguais. Apoios encastrados.

81

ξΓd 0.02 0.04 0.06

10 U3 V3 U3 V3 U3 V3

100 U3 V3 U3 V3 U3 V3

600 U3 V3 U3 V3 U3 V3

Tabela 3.3: Configurações das partes real (U) e imaginária (V ) do terceiro modo para Ψ = 8, λ2 = 0.01e para vários valores de ξ e da posição do amortecedor (Γd). Cabos de vãos iguais. Apoios encastrados.

82

ξΓd 0.02 0.04 0.06

10 U4 V4 U4 V4 U4 V4

100 U4 V4 U4 V4 U4 V4

600 U4 V4 U4 V4 U4 V4

Tabela 3.4: Configurações das partes real (U) e imaginária (V ) do quarto modo para Ψ = 8, λ2 = 0.01e para vários valores de ξ e da posição do amortecedor (Γd). Cabos de vãos iguais. Apoios encastrados.

83

ξ ModoΓd

0.02 0.04 0.06

10

1 4.1000i 4.1000i 4.1000i2 −0.0012 + 4.1000i −0.0170 + 4.1016i −0.0714 + 4.1187i3 9.1256i 9.1256i 9.1256i4 −0.0066 + 9.1258i −0.0866 + 9.1425i −0.3067 + 9.2886i

100

1 3.2076i 3.2076i 3.2076i2 −0.0194 + 3.21510i −0.0603 + 3.2843i −0.0719 + 3.3711i3 6.4222i 6.4222i 6.4222i4 −0.0556 + 6.4656i −0.0831 + 6.6374i −0.0806− 6.7943i

600

1 3.1503i 3.1503i 3.1503i2 −0.0314 + 3.1786i −0.0540 + 3.2525i −0.0620 + 3.3297i3 6.2983i 6.2983i 6.2983i4 −0.0532 + 6.3948i −0.0636 + 6.5418i −0.0666 + 6.6870i

Tabela 3.5: Frequências próprias adimensionais Ω dos quatro primeiros modos, para Ψ = 8, λ2 = 0.01e variando o parâmetro ξ e a posição do amortecedor (Γd). Cabos de vãos iguais. Apoios encastrados.

ξ ModoΓd

0.02 0.04 0.06

ωD ζ(%) ωD ζ(%) ωD ζ(%)

10

1 4.1000 0 4.1000 0 4.1000 02 4.1000 0.0301 4.1016 0.4153 4.1187 1.73293 9.1256 0 9.1256 0 9.1256 04 9.1258 0.0727 9.1425 0.9473 9.2886 3.2995

100

1 3.2076 0 3.2076 0 3.2076 02 3.2151 0.5993 3.2843 1.8354 3.3711 2.13083 6.4222 0 6.4222 0 6.4222 04 6.4656 0.8594 6.6374 1.2520 6.7943 1.1863

600

1 3.1503 0 3.1503 0 3.1503 02 3.1786 0.9889 3.2525 1.6610 3.3297 1.86183 6.2983 0 6.2983 0 6.2983 04 6.3948 0.8311 6.5418 0.9728 6.6870 0.9955

Tabela 3.6: Frequências amortecidas e fator de amortecimento dos quatro primeiros modos, para Ψ = 8,λ2 = 0.01 e variando o parâmetro ξ e a posição do amortecedor (Γd). Cabos de vãos iguais. Apoiosencastrados.

84

λ2Γd 0.02 0.04 0.06

0.01

1 100 200 300 400 500 6000.000

0.002

0.004

0.006

0.008

0.010

ξ

ζ2

Ψ = 1

Ψ = 2

Ψ = 4

Ψ = 8

Ψ = 16

Ψ = 32

Ψ = 64

1 100 200 300 400 500 6000.000

0.005

0.010

0.015

0.020

0.025

ξ

ζ2

Ψ = 1

Ψ = 2

Ψ = 4

Ψ = 8

Ψ = 16

Ψ = 32

Ψ = 64

1 100 200 300 400 500 6000.000

0.005

0.010

0.015

0.020

0.025

0.030

0.035

0.040

ξ

ζ2 Ψ = 1

Ψ = 2Ψ = 4

Ψ = 8

Ψ = 16

Ψ = 32

Ψ = 64

2

1 100 200 300 400 500 6000.000

0.002

0.004

0.006

0.008

ξ

ζ2

Ψ = 1

Ψ = 2

Ψ = 4

Ψ = 8

Ψ = 16

Ψ = 32

Ψ = 64

1 100 200 300 400 500 6000.000

0.005

0.010

0.015

0.020

ξ

ζ2

Ψ = 1

Ψ = 2

Ψ = 4

Ψ = 8

Ψ = 16

Ψ = 32

Ψ = 64

1 100 200 300 400 500 6000.000

0.005

0.010

0.015

0.020

0.025

0.030

0.035

ξ

ζ2Ψ = 1

Ψ = 2

Ψ = 4

Ψ = 8

Ψ = 16

Ψ = 32Ψ = 64

10

1 100 200 300 400 500 6000.000

0.001

0.002

0.003

0.004

ξ

ζ2

Ψ = 1

Ψ = 2

Ψ = 4

Ψ = 8

Ψ = 16

Ψ = 32

Ψ = 64

1 100 200 300 400 500 6000.000

0.002

0.004

0.006

0.008

0.010

0.012

0.014

ξ

ζ2

Ψ = 1

Ψ = 2Ψ = 4

Ψ = 8

Ψ = 16

Ψ = 32Ψ = 64

1 100 200 300 400 500 6000.000

0.005

0.010

0.015

0.020

0.025

0.030

ξ

ζ2

Ψ = 1

Ψ = 2

Ψ = 4

Ψ = 8Ψ = 16Ψ = 32Ψ = 64

Tabela 3.7: Fator de amortecimento ζ2 do segundo modo, de dois cabos iguais ligados por um amorte-cedor, em função do parâmetro ξ para diferentes valores de Ψ, Γd e λ2. Apoios encastrados.

85

Para vários pares (λ2,Γd) a Tabela 3.7 mostra vários ábacos do fator de amortecimento dosegundo modo (o modo mais baixo a ser amortecido) em função do parâmetro ξ, para váriosvalores de Ψ. Observa-se o mesmo tipo de andamento no caso de um cabo com um amortecedor(Capítulo 2, Tabela 2.22). Acima de uma determinada dimensão Ψ do amortecedor o fatorde amortecimento do segundo modo não depende monotonamente de ξ, atingindo um máximo.Quando ξ →∞ (cabo sem rigidez à flexão) o fator de amortecimento converge para um limite.O aumento da distância do amortecedor em relação ao apoio mais próximo diminui o valor deξ (aumenta o valor de EI) para o qual o valor ótimo do fator de amortecimento é atingido. Osvalores de Ψ que garantem um fator de amortecimento ótimo numa maior gama de valores deξ são Ψ ' 8, 4 e 2, respetivamente para Γd = 0.02, 0.04 e 0.06, independentemente do valor doparâmetro de Irvine.

A Tabela 3.8 apresenta uma outra perspetiva: a do fator de amortecimento em função dadimensão do amortecedor Ψ. O andamento das curvas presentes nesta tabela é semelhante aodas suas homólogas do cabo com um amortecedor (Tabela 2.24). Nota-se que para cabos-viga demuito elevada rigidez à flexão (ξ pequeno) o fator de amortecimento depende, com uma muitoboa aproximação, de forma linear do coeficiente de amortecimento Ψ. Ocorrem também valoresótimos (máximos) do fator de amortecimento para rigidezes à flexão suficientemente baixas (ξsuficientemente elevado).

86

λ2Γd 0.02 0.04 0.06

0.01

0 10 20 30 40 50 60 700.000

0.002

0.004

0.006

0.008

0.010

Ψ

ζ2

ξ = 1

ξ = 5

ξ = 10

ξ = 50

ξ = 100

ξ = 500

0 10 20 30 40 50 60 700.000

0.005

0.010

0.015

0.020

0.025

Ψ

ζ2

ξ = 1

ξ = 5

ξ = 10

ξ = 50

ξ = 100

ξ = 500

0 10 20 30 40 50 60 700.000

0.005

0.010

0.015

0.020

0.025

0.030

0.035

0.040

0.045

Ψ

ζ2

ξ = 1

ξ = 5

ξ = 10

ξ = 50

ξ = 100

ξ = 500

2

0 10 20 30 40 50 60 700.000

0.002

0.004

0.006

0.008

Ψ

ζ2

ξ = 1

ξ = 5

ξ = 10

ξ = 50

ξ = 100

ξ = 500

0 10 20 30 40 50 60 700.000

0.005

0.010

0.015

0.020

Ψ

ζ2

ξ = 1

ξ = 5

ξ = 10

ξ = 50

ξ = 100

ξ = 500

0 10 20 30 40 50 60 700.000

0.005

0.010

0.015

0.020

0.025

0.030

0.035

0.040

Ψ

ζ2

ξ = 1

ξ = 5

ξ = 10

ξ = 50

ξ = 100

ξ = 500

10

0 10 20 30 40 50 60 700.000

0.001

0.002

0.003

0.004

Ψ

ζ2

ξ = 1

ξ = 5

ξ = 10

ξ = 50

ξ = 100

ξ = 500

0 10 20 30 40 50 60 700.000

0.005

0.010

0.015

Ψ

ζ2

ξ = 1

ξ = 5

ξ = 10

ξ = 50

ξ = 100

ξ = 500

0 10 20 30 40 50 60 700.000

0.005

0.010

0.015

0.020

0.025

0.030

0.035

Ψ

ζ2ξ = 1

ξ = 5

ξ = 10

ξ = 50

ξ = 100

ξ = 500

Tabela 3.8: Fator de amortecimento ζ2 do segundo modo de vibração, de dois cabos iguais ligados porum amortecedor, em função do parâmetro adimensional do amortecedor (Ψ) variando os valores de ξ, Γe λ2. Apoios encastrados.

87

λ2Γd 0.02 0.04 0.06

0.01

1 100 200 300 400 500 6001.000

1.005

1.010

1.015

1.020

ξ

ω2

ω0

Ψ = 1Ψ = 2

Ψ = 4

Ψ = 8

Ψ = 16

Ψ = 32Ψ = 64

1 100 200 300 400 500 6001.000

1.005

1.010

1.015

1.020

1.025

1.030

1.035

1.040

1.045

ξ

ω2

ω0

Ψ = 1

Ψ = 2

Ψ = 4

Ψ = 8

Ψ = 16Ψ = 32Ψ = 64

1 100 200 300 400 500 6001.000

1.010

1.020

1.030

1.040

1.050

1.060

1.070

ξ

ω2

ω0

Ψ = 1

Ψ = 2

Ψ = 4

Ψ = 8Ψ = 16Ψ = 32Ψ = 64

2

1 100 200 300 400 500 6001.000

1.005

1.010

1.015

1.020

ξ

ω2

ω0

Ψ = 1Ψ = 2

Ψ = 4

Ψ = 8

Ψ = 16

Ψ = 32Ψ = 64

1 100 200 300 400 500 6001.000

1.005

1.010

1.015

1.020

1.025

1.030

1.035

ξ

ω2

ω0

Ψ = 1

Ψ = 2

Ψ = 4

Ψ = 8

Ψ = 16Ψ = 32Ψ = 64

1 100 200 300 400 500 6001.000

1.010

1.020

1.030

1.040

1.050

1.060

ξ

ω2

ω0

Ψ = 1

Ψ = 2

Ψ = 4

Ψ = 8Ψ = 16Ψ = 32Ψ = 64

10

1 100 200 300 400 500 6001.000

1.002

1.004

1.006

1.008

ξ

ω2

ω0

Ψ = 1Ψ = 2

Ψ = 4

Ψ = 8

Ψ = 16

Ψ = 32Ψ = 64

1 100 200 300 400 500 6001.000

1.005

1.010

1.015

1.020

ξ

ω2

ω0

Ψ = 1

Ψ = 2

Ψ = 4

Ψ = 8Ψ = 16Ψ = 32Ψ = 64

1 100 200 300 400 500 6001.000

1.005

1.010

1.015

1.020

1.025

1.030

1.035

1.040

ξ

ω2

ω0

Ψ = 1

Ψ = 2

Ψ = 4Ψ = 8Ψ = 16Ψ = 32Ψ = 64

Tabela 3.9: Quociente de frequências, ω2/ω0 , onde ω2 representa a frequência não amortecida dosegundo modo de dois cabos iguais ligados por um amortecedor e ω0 representa a frequência do primeiromodo no cabo sem amortecedor, em função de ξ, para diferentes valores de Ψ, Γ e λ2. Apoios encastrados.

88

A Tabela 3.9 mostra que o aumento da capacidade do amortecedor (aumento de Ψ) tem o efeitode aumentar a frequência adimensional ω2/ω0, obtida como o quociente entre a frequência nãoamortecida do segundo modo e a frequência natural do primeiro modo sem amortecedor; esseefeito acentua-se com o afastamento do amortecedor em relação ao apoio e com a diminuiçãodo parâmetro de Irvine. Notar que ω2/ω0 & 1 e não 2, apesar de se tratar do quociente entrea frequência do segundo modo e a frequência do primeiro modo, devido ao facto de, quer oprimeiro quer o segundo modos envolverem a oscilação de ambos os cabos com a forma de umasemionda: o primeiro modo tem a forma de uma semionda perfeita porque ambos os cabos osci-lam sincronizadamente em fase, enquanto que no segundo modo a semionda tem uma pequena“imperfeição” devido à presença do amortecedor, por os cabos oscilarem sincronizadamente emoposição de fase.

As Tabelas 3.10, 3.11 e 3.12 apresentam gráficos que ilustram a dependência dos fatores deamortecimento dos segundo e quarto modos no parâmetro de Irvine, respetivamente para amor-tecedores com uma dimensão relativa dada por Ψ = 1, 8 e 64. Tal como no caso de um cabocom um amortecedor (ver a Secção 2.6) há certos valores do parâmetro de Irvine para os quaisa forma do modo de vibração é tal que a eficiência do amortecedor se aproxima de zero. Paraamortecedores de maior dimensão (maior Ψ) e mais afastados do apoio (maior Γd) observa-seque o modo com maior fator de amortecimento, para a frequência amortecida mais baixa, é omodo com duas semiondas em cada cabo-viga. Os valores do parâmetro de Irvine para os quaisos gráficos dos fatores de amortecimento têm uma descontinuidade são λ2 ' 40 para ξ = 100(rigidez à flexão baixa) e λ2 ' 100 para ξ = 10 (rigidez à flexão elevada).

89

ξΓd 0.02 0.04 0.06

10

0.001 0.01 0.1 1 10 100 1000 100000.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12

0.14

0.16

λ2

ζ

ζ2

ζ4

× 10−3

0.001 0.01 0.1 1 10 100 1000 100000.0

0.5

1.0

1.5

2.0

λ2

ζ

ζ2

ζ4

× 10−3

0.001 0.01 0.1 1 10 100 1000 100000

1

2

3

4

5

6

7

8

λ2

ζζ2

ζ4

× 10−3

100

0.001 0.01 0.1 1 10 100 1000 100000.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

λ2

ζζ2

ζ4

× 10−3

0.001 0.01 0.1 1 10 100 1000 10000 0

2

4

6

8

10

12

14

λ2

ζ ζ2

ζ4

× 10−3

0.001 0.01 0.1 1 10 100 1000 10000 0

5

10

15

20

25

30

λ2

ζ

ζ2ζ4

× 10−3

Tabela 3.10: Fatores de amortecimento ζ para o segundo e quarto modos, de dois cabos iguais ligadospor um amortecedor, em função do parâmetro de Irvine (λ2), para vários valores de Γd e ξ e para Ψ = 1.Apoios encastrados.

90

ξΓd 0.02 0.04 0.06

10

0.001 0.01 0.1 1 10 100 1000 100000.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

λ2

ζ

ζ2

ζ4

× 10−3

0.001 0.01 0.1 1 10 100 1000 10000 0

2

4

6

8

10

12

14

λ2

ζζ2

ζ4

× 10−3

0.001 0.01 0.1 1 10 100 1000 10000 0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

λ2

ζ ζ2

ζ4

× 10−3

100

0.001 0.01 0.1 1 10 100 1000 100000

1

2

3

4

5

6

7

8

9

λ2

ζ

ζ2ζ4

× 10−3

0.001 0.01 0.1 1 10 100 1000 10000 0

5

10

15

20

λ2

ζ

ζ4ζ2

× 10−3

0.001 0.01 0.1 1 10 100 1000 10000 0

5

10

15

20

25

λ2

ζζ4ζ2

× 10−3

Tabela 3.11: Fatores de amortecimento ζ para o segundo e quarto modos, de dois cabos iguais ligadospor um amortecedor, em função do parâmetro de Irvine (λ2), para vários valores de Γd e ξ e para Ψ = 8.Apoios encastrados.

91

ξΓd 0.02 0.04 0.06

10

0.001 0.01 0.1 1 10 100 1000 10000 0

2

4

6

8

10

λ2

ζ

ζ2

ζ4

× 10−3

0.001 0.01 0.1 1 10 100 1000 10000 0

5

10

15

20

25

λ2

ζ

ζ4 ζ2

× 10−3

0.001 0.01 0.1 1 10 100 1000 10000 0

5

10

15

20

25

λ2

ζ

ζ4 ζ2

× 10−3

100

0.001 0.01 0.1 1 10 100 1000 100000

1

2

3

4

5

λ2

ζ

ζ4

ζ2

× 10−3

0.001 0.01 0.1 1 10 100 1000 100000.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

λ2

ζ

ζ4ζ2

× 10−3

0.001 0.01 0.1 1 10 100 1000 100000.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

λ2

ζζ4ζ2

× 10−3

Tabela 3.12: Fatores de amortecimento ζ para o segundo e quarto modos, de dois cabos iguais ligadospor um amortecedor, em função do parâmetro de Irvine (λ2), para vários valores de Γd e ξ e para Ψ = 64.Apoios encastrados.

92

ξΓd 0.02 0.04 0.06

10

0.001 0.01 0.1 1 10 100 1000 100001.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

4.5

5.0

λ2

ω

ω1s

1o modo para Ψ = 1

1o modo para Ψ = 64

3o modo para Ψ = 1

3o modo para Ψ = 64

0.001 0.01 0.1 1 10 100 1000 100001.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

4.5

5.0

λ2

ω

ω1s

1o modo para Ψ = 1

1o modo para Ψ = 64

3o modo para Ψ = 1

3o modo para Ψ = 64

0.001 0.01 0.1 1 10 100 1000 100001.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

4.5

5.0

λ2

ω

ω1s

1o modo para Ψ = 1

1o modo para Ψ = 64

3o modo para Ψ = 1

3o modo para Ψ = 64

100

0.001 0.01 0.1 1 10 100 1000 100001.0

1.5

2.0

2.5

3.0

λ2

ω

ω1s

1o modo para Ψ= 1

1o modo para Ψ= 64

3o modo para Ψ= 1

3o modo para Ψ= 64

0.001 0.01 0.1 1 10 100 1000 100001.0

1.5

2.0

2.5

3.0

λ2

ω

ω1s

1o modo para Ψ = 1

1o modo para Ψ = 64

3o modo para Ψ = 1

3o modo para Ψ = 64

0.001 0.01 0.1 1 10 100 1000 100001.0

1.5

2.0

2.5

3.0

λ2

ω

ω1s

1o modo para Ψ= 1

1o modo para Ψ= 64

3o modo para Ψ= 1

3o modo para Ψ= 64

Tabela 3.13: Frequências adimensionais ω/ω1s em função do parâmetro de Irvine λ2, para vários valoresde Ψ, Γd e ξ. ω representa as frequências não amortecidas do primeiro e terceiro modos de vibração dedois cabos iguais ligados por um amortecedor, e ω1s representa a frequência natural do primeiro modode um cabo muito tenso sem amortecedor. Apoios encastrados.

93

ξΓd 0.02 0.04 0.06

10

0.001 0.01 0.1 1 10 100 1000 100001.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

4.5

5.0

λ2

ω

ω1s

2o modo para Ψ = 1

2o modo para Ψ = 64

4o modo para Ψ = 1

4o modo para Ψ = 64

0.001 0.01 0.1 1 10 100 1000 100001.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

4.5

5.0

λ2

ω

ω1s

2o modo para Ψ = 1

2o modo para Ψ = 64

4o modo para Ψ = 1

4o modo para Ψ = 64

0.001 0.01 0.1 1 10 100 1000 100001.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

4.5

5.0

5.5

λ2

ω

ω1s

2o modo para Ψ= 1

2o modo para Ψ= 64

4o modo para Ψ= 1

4o modo para Ψ= 64

100

0.001 0.01 0.1 1 10 100 1000 100001.0

1.5

2.0

2.5

3.0

λ2

ω

ω1s

2o modo para Ψ= 1

2o modo para Ψ= 64

4o modo para Ψ= 1

4o modo para Ψ= 64

0.001 0.01 0.1 1 10 100 1000 100001.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

λ2

ω

ω1s

2o modo para Ψ = 1

2o modo para Ψ = 64

4o modo para Ψ = 1

4o modo para Ψ = 64

0.001 0.01 0.1 1 10 100 1000 100001.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

λ2

ω

ω1s

2o modo para Ψ = 1

2o modo para Ψ = 64

4o modo para Ψ = 1

4o modo para Ψ = 64

Tabela 3.14: Frequências adimensionais ω/ω1s em função do parâmetro de Irvine λ2, para vários valoresde Ψ, Γd e ξ. ω representa as frequências não amortecidas do segundo e quarto modos de vibração dedois cabos iguais ligados por um amortecedor, e ω1s representa a frequência natural do primeiro modode um cabo muito tenso sem amortecedor. Apoios encastrados.

94

A dependência das frequências naturais dos quatro primeiros modos em relação ao parâmetrode Irvine está representada nas Tabelas 3.13 (modos 1 e 3) e 3.14 (modos 2 e 4). Optou-sepor fazer uma adimensionalização do tipo da usada por (Irvine, 1981) para obter o gráfico daFigura 1.3, dividindo as frequências naturais pela frequência ω1s = (π/l)

√H/m do primeiro

modo de um cabo elástico muito tenso (λ2 → 0). As entradas das Tabelas 3.13 e 3.14 respeitamaos valores ξ ∈ 10, 100 e Γd ∈ 0.02, 0.04, 0.06. Para quantificar o efeito do amortecedor nosgráficos das frequências usaram-se apenas dois valores do parâmetro adimensional Ψ (1 e 64)por forma a não prejudicar a legibilidade dos gráficos. Usaram-se 300 pontos na construção decada curva. O padrão para o segundo e quarto modos é o mesmo que se observa num cabocom um amortecedor: as frequências dos modos antissimétricos não dependem do parâmetrode Irvine não havendo lugar a uma coalescência de frequência com o modo simétrico anterior.Já nos modos que não possuem amortecimento (primeiro e terceiro modos), existe coalescênciaentre modos simétricos e antissimétricos. Também se conclui imediatamente da Tabela 3.13que as frequências dos primeiro e terceiro modos não são afetadas pelo amortecedor porque,como foi explicado anteriormente, esses modos não mobilizam o amortecedor: repare-se que emcada gráfico as curvas correspondentes a Ψ = 1 e a Ψ = 64 coincidem e, para cada valor de ξ,os gráficos também são independentes da posição do amortecedor, Γd. Os gráficos da Tabela3.14 mostram que a influência do amortecedor se acentua com o afastamento deste em relaçãoao apoio e com o afastamento do parâmetro λ2 em relação ao valor para o qual ocorriam ascoalescências de frequências naturais, se o segundo e o terceiro modos não fossem amortecidos.

3.3.2 Modos de vibração, frequências naturais e fatores de amortecimentopara dois cabos de vãos diferentes ligados por um amortecedor

Nesta secção mostram-se os resultados numéricos do efeito da diferença de vãos dos cabos.Adota- -se para tal uma relação de vãos ql = lb/la = 3/4 (Figura 3.4), uma relação de impulsosqH = Hb/Ha = 1 e uma relação de massas qm = mb/ma = 1. Começamos por tentar ver comosão os modos de vibração e como dependem dos parâmetros adimensionais mais importantes.As Tabelas 3.15 a 3.18 mostram as configurações do primeiro ao quarto modos de vibração (cadatabela é dedicada a um modo diferente). Em cada tabela apresentam-se as partes reais (U) eimaginárias (V ) dos cabos superior (desenhos de cima de cada célula) e inferior (desenhos debaixo). As entradas dessas tabelas são o parâmetro adimensional de flexão ξ e o parâmetroadimensional Γd, que quantifica para cada cabo a percentagem do vão a que a secção onde oamortecedor está ligado fica do apoio mais próximo. Uma vez que há dois cabos, as colunas estãoreferenciadas pelos pares de valores de Γd 0.03/0.04, 0.06/0.08 e 0.09/0.12 em que o primeironúmero se refere ao Γd do cabo superior e o segundo número se refere ao Γd do cabo inferior.Visto que o vão do cabo inferior é 3/4 do vão do cabo superior e o amortecedor está orientadoperpendicularmente às cordas, compreende-se que o valor de Γd do cabo inferior seja 4/3 dodo cabo superior. As quatro Tabelas 3.15 a 3.18 dizem respeito a λ2 = 0.01 (cabo muitotenso) e a Ψ = 8. É visível na geometria dos modos o efeito do encastramento nos apoiosespecialmente nos casos com maior rigidez à flexão (menor ξ). Também é notório a maiorconcentração de curvaturas nas secções de ligação ao amortecedor no caso de menor rigidez à

95

flexão (ξ = 600) e essas concentrações de curvaturas serem em sentidos opostos (devido à terceiralei de Newton). As configurações mostradas evidenciam que existe uma quebra da simetria (queexistia na secção anterior) por os cabos deixarem de ter o mesmo vão, o que faz com que já nãohaja modos em que ambos os cabos se movimentem sincronizadamente em fase (ausência demobilização do amortecedor) ou em oposição de fase. O primeiro modo envolve principalmenteo movimento do cabo superior com a geometria de uma semionda aproximada e o segundo modoenvolve principalmente o cabo inferior (também em forma de uma semionda). Recordar que asgeometrias destes modos se alterariam se nos aproximássemos da região de aproximação dasduas primeiras frequências naturais. Nos terceiro e quarto modos os cabos movimentam-se comuma geometria aproximadamente de duas semiondas: o cabo superior tendo maior protagonismono terceiro modo e o cabo inferior desempenhando um papel de maior relevo no movimento doquarto modo. Para complementar a informação fornecida pelas Tabelas 3.15 a 3.18 construiram--se as Tabelas 3.19 e 3.20. A primeira contém os valores próprios associados aos quatro primeirosmodos extraídos da resolução do problema (3.11). A Tabela 3.20 foi construída a partir da 3.19;apresenta os valores das frequências amortecidas ωD e dos fatores de amortecimento ζ. Tal comose previra deixou de haver modos não amortecidos por já não haver simetria na estrutura. Daobservação da Tabela 3.20 conclui-se que, em geral, é o segundo modo aquele que tem maiorfator de amortecimento.

Os ábacos das Tabelas 3.21 e 3.22 voltam a mostrar que o fator de amortecimento (neste caso,do primeiro modo) nem sempre cresce monotonamente com a dimensão do amortecedor (comΨ), uma vez que amortecedores demasiadamente viscosos opõem uma força demasiado elevadaao movimento da secção onde estão ligados levando à quase imobilização dessa secção e conse-quentemente perda de eficácia do dispositivo de amortecimento. Tal como nos casos precedenteso afastamento do amortecedor do apoio mais próximo promove o aumento dos fatores de amor-tecimento. O andamento dos gráficos da frequência não amortecida adimensional do modo em

Cabo b

Cabo a

l

l

3

4

c

l

d

Figura 3.4: Dois cabos homogéneos de vãos diferentes ligados por um amortecedor viscoso equidistantedos apoios esquerdos, que estão na mesma prumada.

função de ξ para vários valores de Ψ, λ2 e Γd (representado nos gráficos da Tabela 3.23) é seme-lhante a outros já apresentados atrás (por exemplo os da Tabela 3.9): para valores baixos de λ2,de Γd e de Ψ (cabos muito tensos com amortecedores de baixa capacidade e perto dos apoios),a frequência adimensional ω1/ω0 cresce monotonamente com ξ (embora esse crescimento nuncarepresente mais de 4%).

96

ξΓd 0.03/0.04 0.06/0.08 0.09/0.12

10 U1 V1 U1 V1 U1 V1

100 U1 V1 U1 V1 U1 V1

600 U1 V1 U1 V1 U1 V1

Tabela 3.15: Configurações do primeiro modo para Ψ = 8 e λ2 = 0.01, para vários valores de ξ e daposição do amortecedor Γd. Cabos de vãos diferentes: lb = 0.75la. Apoios encastrados.

97

ξΓd 0.03/0.04 0.06/0.08 0.09/0.12

10 U2 V2 U2 V2 U2 V2

100 U2 V2 U2 V2 U2 V2

600 U2 V2 U2 V2 U2 V2

Tabela 3.16: Configurações do segundo modo para Ψ = 8 e λ2 = 0.01, para vários valores de ξ e daposição do amortecedor Γd. Cabos de vãos diferentes: lb = 0.75la. Apoios encastrados.

98

ξΓd 0.03/0.04 0.06/0.08 0.09/0.12

10 U3 V3 U3 V3 U3 V3

100 U3 V3 U3 V3 U3 V3

600 U3 V3 U3 V3 U3 V3

Tabela 3.17: Configurações do terceiro modo para Ψ = 8 e λ2 = 0.01, para vários valores de ξ e daposição do amortecedor Γd. Cabos de vãos diferentes: lb = 0.75la. Apoios encastrados.

99

ξΓd 0.03/0.04 0.06/0.08 0.09/0.12

10 U4 V4 U4 V4 U4 V4

100 U4 V4 U4 V4 U4 V4

600 U4 V4 U4 V4 U4 V4

Tabela 3.18: Configurações do quarto modo para Ψ = 8 e λ2 = 0.01, para vários valores de ξ e daposição do amortecedor Γd. Cabos de vãos diferentes: lb = 0.75la. Apoios encastrados.

100

ξ ModoΓd

0.03/0.04 0.06/0.08 0.09/0.12

10

1 −0.0029 + 4.1002i −0.0326 + 4.1134i −0.0685 + 4.1806i2 −0.0114 + 5.4675i −0.1207 + 5.5173i −0.2667 + 5.7644i3 −0.0152 + 9.1276i −0.1216 + 9.2206i −0.1530− 9.4449i4 −0.0583 + 12.1769i −0.3909 + 12.5303i −0.3686− 13.1703i

100

1 −0.0191 + 3.2255i −0.0271− 3.2793i −0.0256− 3.3251i2 −0.0447 + 4.3284i −0.0567− 4.4487i −0.0589− 4.5664i3 −0.0344 + 6.4837i −0.0370− 6.5973i −0.0380− 6.7108i4 −0.0552 + 8.7056i −0.0371− 8.8603i −0.0266− 8.9733i

600

1 −0.0207 + 3.1812i −0.0247 + 3.2302i −0.0236 + 3.2728i2 −0.0373 + 4.2688i −0.0474 + 4.3752i −0.0520 + 4.4871i3 −0.0294 + 6.3819i −0.0328 + 6.4874i −0.0350 + 6.5963i4 −0.0356 + 8.5467i −0.0289 + 8.6846i −0.0225 + 8.7916i

Tabela 3.19: Frequências próprias adimensionais Ω dos quatro primeiros modos, para Ψ = 8 e λ2 = 0.01,variando ξ e a posição do amortecedor Γd. Cabos de vãos diferentes (lb = 0.75la). Apoios encastrados.

ξ ModoΓd

0.03/0.04 0.06/0.08 0.09/0.12

ωD ζ(%) ωD ζ(%) ωD ζ(%)

10

1 4.1002 0.0708 4.1134 0.7927 4.1806 1.63812 5.4675 0.2083 5.5173 2.1865 5.7644 4.62203 9.1276 0.1663 9.2206 1.3186 9.4449 1.61934 12.1769 0.4791 12.5303 3.1185 13.1703 2.7976

100

1 3.2255 0.5930 3.2793 0.8267 3.3251 0.77012 4.3284 1.0333 4.4487 1.2751 4.5664 1.29073 6.4837 0.5298 6.5973 0.5608 6.7108 0.56644 8.7056 0.6336 8.8603 0.4191 8.9733 0.2961

600

1 3.1812 0.6517 3.2302 0.7643 3.2728 0.72252 4.2688 0.8748 4.3752 1.0830 4.4871 1.15803 6.3819 0.4614 6.4874 0.5061 6.5963 0.53064 8.5467 0.4167 8.6846 0.3332 8.7916 0.2559

Tabela 3.20: Frequências naturais amortecidas e fatores de amortecimento dos quatro primeiros modos,para Ψ = 8 e λ2 = 0.01, variando ξ e a posição do amortecedor Γd. Cabos de vãos diferentes (lb = 0.75la).Apoios encastrados.

101

λ2Γd 0.03/0.04 0.06/0.08 0.09/0.12

0.01

1 100 200 300 400 500 6000

1

2

3

4

5

6

7

8

ξ

ζ1

Ψ = 1

Ψ = 2

Ψ = 4

Ψ = 8

Ψ = 16

Ψ = 32

Ψ = 64

× 10−3

1 100 200 300 0

5

10

15

ξ

ζ1Ψ = 1

Ψ = 2

Ψ = 4

Ψ = 8

Ψ = 16

Ψ = 32Ψ = 64

× 10−3

1 100 200 300 0

5

10

15

20

ξ

ζ1

Ψ = 1

Ψ = 2

Ψ = 4

Ψ = 8

Ψ = 16

Ψ = 32

Ψ = 64

× 10−3

2

1 100 200 300 400 500 6000

1

2

3

4

5

6

ξ

ζ1

Ψ = 1

Ψ = 2

Ψ = 4

Ψ = 8

Ψ = 16

Ψ = 32

Ψ = 64

× 10−3

1 100 200 300 0

5

10

15

ξ

ζ1 Ψ = 1

Ψ = 2

Ψ = 4

Ψ = 8

Ψ = 16

Ψ = 32

Ψ = 64

× 10−3

1 100 200 300 0

5

10

15

20

ξ

ζ1

Ψ = 1Ψ = 2

Ψ = 4

Ψ = 8

Ψ = 16

Ψ = 32Ψ = 64

× 10−3

10

1 100 200 300 400 500 6000.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

ξ

ζ1

Ψ = 1

Ψ = 2

Ψ = 4

Ψ = 8

Ψ = 16

Ψ = 32

Ψ = 64

× 10−3

1 100 200 300 0

5

10

ξ

ζ1Ψ = 1

Ψ = 2

Ψ = 4

Ψ = 8

Ψ = 16Ψ = 32Ψ = 64

× 10−3

1 100 200 300 0

5

10

15

20

ξ

ζ1Ψ = 1Ψ = 2

Ψ = 4

Ψ = 8Ψ = 16Ψ = 32Ψ = 64

× 10−3

Tabela 3.21: Fator de amortecimento ζ1 do primeiro modo, de dois cabos de vãos diferentes (lb = 0.75la)ligados por um amortecedor, em função de ξ, para diferentes valores de Ψ, Γd e λ2. Apoios encastrados.

102

λ2Γd 0.03/0.04 0.06/0.08 0.09/0.12

0.01

0 10 20 30 40 50 60 700.000

0.002

0.004

0.006

0.008

Ψ

ζ1

ξ = 1

ξ = 5

ξ = 10

ξ = 50

ξ = 100

ξ = 500

0 10 20 30 40 50 60 700.000

0.005

0.010

0.015

Ψ

ζ1 ξ = 1

ξ = 5

ξ = 10

ξ = 50

ξ = 100

ξ = 500

0 10 20 30 40 50 60 700.000

0.005

0.010

0.015

0.020

0.025

Ψ

ζ1

ξ = 1

ξ = 5

ξ = 10

ξ = 50

ξ = 100

ξ = 500

2

0 10 20 30 40 50 60 700.000

0.001

0.002

0.003

0.004

0.005

0.006

Ψ

ζ1

ξ = 1

ξ = 5

ξ = 10

ξ = 50

ξ = 100

ξ = 500

0 10 20 30 40 50 60 700.000

0.002

0.004

0.006

0.008

0.010

0.012

Ψ

ζ1

ξ = 1

ξ = 5

ξ = 10

ξ = 50

ξ = 100

ξ = 500

0 10 20 30 40 50 60 700.000

0.005

0.010

0.015

0.020

0.025

Ψ

ζ1

ξ = 1

ξ = 5

ξ = 10

ξ = 50

ξ = 100

ξ = 500

10

0 10 20 30 40 50 60 700.000

0.001

0.002

0.003

0.004

Ψ

ζ1

ξ = 1

ξ = 5

ξ = 10

ξ = 50

ξ = 100

ξ = 5000 10 20 30 40 50 60 70

0.000

0.002

0.004

0.005

0.008

0.010

0.012

Ψ

ζ1

ξ = 1

ξ = 5

ξ = 10

ξ = 50

ξ = 100

ξ = 500

0 10 20 30 40 50 60 700.000

0.005

0.010

0.015

0.020

0.025

Ψ

ζ1

ξ = 1

ξ = 5

ξ = 10

ξ = 50

ξ = 100

ξ = 500

Tabela 3.22: Fator de amortecimento ζ1 do primeiro modo, de dois cabos de vãos diferentes (lb = 0.75la)ligados por um amortecedor, em função do parâmetro Ψ, para diferentes valores de ξ, Γd e λ2. Apoiosencastrados.

103

λ2Γd 0.03/0.04 0.06/0.08 0.09/0.12

0.01

1 100 200 300 400 500 6001.000

1.005

1.010

1.015

ξ

ω1

ω0

Ψ = 1

Ψ = 2

Ψ = 4

Ψ = 8

Ψ = 16Ψ = 32Ψ = 64

1 100 200 300 400 500 6001.000

1.005

1.010

1.015

1.020

1.025

1.030

ξ

ω1

ω0

Ψ = 1

Ψ = 2

Ψ = 4

Ψ = 8Ψ = 16Ψ = 32Ψ = 64

1 100 200 300 400 500 6001.000

1.005

1.010

1.015

1.020

1.025

1.030

1.035

1.040

1.045

ξ

ω1

ω0

Ψ = 1

Ψ = 2

Ψ = 4Ψ = 8Ψ = 16Ψ = 32Ψ = 64

2

1 100 200 300 400 500 6001.000

1.002

1.004

1.006

1.008

1.010

1.012

ξ

ω1

ω0

Ψ = 1

Ψ = 2

Ψ = 4

Ψ = 8

Ψ = 16Ψ = 32Ψ = 64

1 100 200 300 400 500 6001.000

1.005

1.010

1.015

1.020

1.025

ξ

ω1

ω0

Ψ = 1

Ψ = 2

Ψ = 4

Ψ = 8Ψ = 16Ψ = 32Ψ = 64

1 100 200 300 400 500 6001.000

1.005

1.010

1.015

1.020

1.025

1.030

1.035

ξ

ω1

ω0

Ψ = 1

Ψ = 2

Ψ = 4Ψ = 8Ψ = 16Ψ = 32Ψ = 64

10

1 100 200 300 400 500 6001.000

1.001

1.002

1.003

1.004

1.005

1.006

ξ

ω1

ω0

Ψ = 1

Ψ = 2

Ψ = 4

Ψ = 8

Ψ = 16Ψ = 32Ψ = 64

1 100 200 300 400 500 6001.000

1.005

1.010

1.015

ξ

ω1

ω0

Ψ = 1

Ψ = 2

Ψ = 4Ψ = 8Ψ = 16Ψ = 32Ψ = 64

1 100 200 300 400 500 6001.000

1.005

1.010

1.015

1.020

1.025

1.030

ξ

ω1

ω0

Ψ = 1

Ψ = 2Ψ = 4Ψ = 8Ψ = 16Ψ = 32Ψ = 64

Tabela 3.23: Quociente de frequências, ω1/ω0, onde ω1 representa a frequência não amortecida doprimeiro modo de dois cabos com vãos diferentes ligados por um amortecedor e ω0 representa a frequênciado primeiro modo no cabo sem amortecedor, em função de ξ para diferentes valores de Ψ, Γd e λ2. Apoiosencastrados.

104

ξΓd 0.03/0.04 0.06/0.08 0.09/0.12

10

0.001 0.01 0.1 1 10 100 1000 100000.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

λ2

ζ

ζ1

ζ2

× 10−3

0.001 0.01 0.1 1 10 100 1000 100000

1

2

3

4

5

6

7

8

λ2

ζ

ζ1

ζ2

× 10−3

0.001 0.01 0.1 1 10 100 1000 10000 0

5

10

15

20

25

30

λ2

ζ

ζ1

ζ2

× 10−3

100

0.001 0.01 0.1 1 10 100 1000 100000

1

2

3

4

5

6

λ2

ζ

ζ1

ζ2

× 10−3

0.001 0.01 0.1 1 10 100 1000 10000 0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

λ2

ζ ζ1

ζ2

× 10−3

0.001 0.01 0.1 1 10 100 1000 10000 0

5

10

15

20

25

30

35

λ2

ζζ1

ζ2

× 10−3

Tabela 3.24: Fatores de amortecimento ζ para o primeiro e segundo modos, de dois cabos de vãosdiferentes (lb = 0.75la) ligados por um amortecedor, em função do parâmetro de Irvine (λ2), para váriosvalores de Γd e ξ e para Ψ = 1. Apoios encastrados.

105

ξΓd 0.03/0.04 0.06/0.08 0.09/0.12

10

0.001 0.01 0.1 1 10 100 1000 100000

1

2

3

4

5

λ2

ζ

ζ1

ζ2

× 10−3

0.001 0.01 0.1 1 10 100 1000 10000 0

5

10

15

20

25

30

35

λ2

ζ

ζ1

ζ2

× 10−3

0.001 0.01 0.1 1 10 100 1000 10000 0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

λ2

ζζ1

ζ2

× 10−3

100

0.001 0.01 0.1 1 10 100 1000 10000 0

2

4

6

8

10

12

λ2

ζζ1

ζ2

× 10−3

0.001 0.01 0.1 1 10 100 1000 10000 0

2

4

6

8

10

12

14

λ2

ζ

ζ1 ζ2

× 10−3

0.001 0.01 0.1 1 10 100 1000 10000 0

2

4

6

8

10

12

14

λ2

ζ

ζ1ζ2

× 10−3

Tabela 3.25: Fatores de amortecimento ζ para o primeiro e segundo modos, de dois cabos de vãosdiferentes (lb = 0.75la) ligados por um amortecedor, em função do parâmetro de Irvine (λ2), para váriosvalores de Γd e ξ e para Ψ = 8. Apoios encastrados.

106

ξΓd 0.03/0.04 0.06/0.08 0.09/0.12

10

0.001 0.01 0.1 1 10 100 1000 10000 0

2

4

6

8

10

12

14

λ2

ζζ1

ζ2

× 10−3

0.001 0.01 0.1 1 10 100 1000 10000 0

2

4

6

8

10

12

14

λ2

ζ ζ1

ζ2

× 10−3

0.001 0.01 0.1 1 10 100 1000 10000 0

2

4

6

8

10

λ2

ζζ1

ζ2

× 10−3

100

0.001 0.01 0.1 1 10 100 1000 100000.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

λ2

ζ

ζ1 ζ2

× 10−3

0.001 0.01 0.1 1 10 100 1000 100000.0

0.5

1.0

1.5

2.0

λ2

ζ

ζ1 ζ2

× 10−3

0.001 0.01 0.1 1 10 100 1000 100000.0

0.5

1.0

1.5

2.0

λ2

ζ

ζ1ζ2

× 10−3

Tabela 3.26: Fatores de amortecimento ζ para o primeiro e segundo modos, de dois cabos de vãosdiferentes (lb = 0.75la) ligados por um amortecedor, em função do parâmetro de Irvine (λ2), para váriosvalores de Γd e ξ e para Ψ = 64. Apoios encastrados.

107

As Tabelas 3.24, 3.25 e 3.26 (para dois cabos-viga de vãos diferentes) mostram gráficos daevolução dos fatores de amortecimento mais complexos que os das Tabelas 3.10, 3.11 e 3.12(para o caso de dois cabos de vãos iguais). O fator de amortecimento do primeiro modo doscabos de vão diferente (movimento mais expressivo do cabo maior) representado pelas linhasazuis das Tabelas 3.24 a 3.26 tem um andamento mais simples, tipicamente de decréscimomonótono até quase se anular em determinado valor de λ2 para, subitamente, adquirir umvalor constante para valores de λ2 superiores. O segundo modo (envolvendo um movimentomais expressivo do cabo de menor vão) apresenta uma dependência mais complexa do seu fatorde amortecimento no parâmetro λ2. Tipicamente, ζ2 tem um maior número de regiões onde aeficiência do amortecedor é diminuta ou quase se anula. Tal como no caso de dois cabos iguais, ovalor de λ2 para o qual ζ1 subitamente adquire um valor finito após uma progressiva diminuiçãoé o valor para o qual o ζ2 subitamente se anula. Nas Tabelas 3.27 e 3.28 apresentam-se osgráficos das frequências naturais não amortecidas adimensionais dos quatro primeiros modos devibração. Assim como as Tabelas 3.24, 3.25 e 3.26 comparadas com as Tabelas 3.10, 3.11 e3.12, nas Tabelas 3.27 e 3.28 também se visualizam evoluções mais complexas, nestes casos dafrequência não amortecida adimensional, comparativamente com as Tabelas 3.13 e 3.14. Comoexiste amortecimento de todos os modos de vibração então existe uma região de aproximação defrequências (e não coalescência). Este fenómeno pode melhor ser observado nas últimas figurasda Tabela 3.28. Nota-se, como noutros casos já apresentados nesta dissertação, que quando Γd

aumenta, aumenta também a diferença entre as frequências naturais do mesmo modo quando oamortecedor é de pequenas dimensões (Ψ = 1) e quando tem grande capacidade de dissipação(Ψ = 64). O aumento da rigidez à flexão (diminuição de ξ) contribui para o aumento dasfrequências naturais.

108

ξΓd 0.03/0.04 0.06/0.08 0.09/0.12

10

0.001 0.01 0.1 1 10 100 1000 100001.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

λ2

ω

ω1s

1o modo para Ψ = 64

1o modo para Ψ = 1

2o modo para Ψ = 1

2o modo para Ψ = 64

0.001 0.01 0.1 1 10 100 1000 100001.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

4.5

λ2

ω

ω1s

1o modo para Ψ = 1

1o modo para Ψ = 64

2o modo para Ψ = 1

2o modo para Ψ = 64

0.001 0.01 0.1 1 10 100 1000 100001.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

4.5

λ2

ω

ω1s

1o modo para Ψ = 1

1o modo para Ψ = 64

2o modo para Ψ = 1

2o modo para Ψ = 64

100

0.001 0.01 0.1 1 10 100 1000 100001.0

1.5

2.0

2.5

3.0

λ2

ω

ω1s

1o modo para Ψ = 64

1o modo para Ψ = 1

2o modo para Ψ = 1

2o modo para Ψ = 64

0.001 0.01 0.1 1 10 100 1000 100001.0

1.5

2.0

2.5

3.0

λ2

ω

ω1s

1o modo para Ψ = 64

1o modo para Ψ = 1

2o modo para Ψ = 1

2o modo para Ψ = 64

0.001 0.01 0.1 1 10 100 1000 100001.0

1.5

2.0

2.5

3.0

λ2

ω

ω1s

1o modo para Ψ = 64

1o modo para Ψ = 1

2o modo para Ψ = 1

2o modo para Ψ = 64

Tabela 3.27: Frequências adimensionais ω/ω1s em função do parâmetro de Irvine λ2 para vários valoresde Ψ, Γd e ξ. ω representa as frequências não amortecidas do primeiro e segundo modos de vibraçãode dois cabos com vãos diferentes ligados por um amortecedor e ω1s representa a frequência natural doprimeiro modo de um cabo muito tenso sem amortecedor. Apoios encastrados.

109

ξΓd 0.03/0.04 0.06/0.08 0.09/0.12

10

0.001 0.01 0.1 1 10 100 1000 100002.0

2.5

3.0

3.5

4.0

4.5

5.0

5.5

6.0

6.5

λ2

ω

ω1s

3o modo para Ψ = 1

3o modo para Ψ = 64

4o modo para Ψ = 1

4o modo para Ψ = 64

0.001 0.01 0.1 1 10 100 1000 100002.0

2.5

3.0

3.5

4.0

4.5

5.0

5.5

6.0

6.5

7.0

λ2

ω

ω1s

3o modo para Ψ = 1

3o modo para Ψ = 64

4o modo para Ψ = 1

4o modo para Ψ = 64

0.001 0.01 0.1 1 10 100 1000 100002.0

2.5

3.0

3.5

4.0

4.5

5.0

5.5

6.0

6.5

7.0

λ2

ω

ω1s

3o modo para Ψ = 1

3o modo para Ψ = 64

4o modo para Ψ = 1

4o modo para Ψ = 64

100

0.001 0.01 0.1 1 10 100 1000 100002.0

2.5

3.0

3.5

4.0

λ2

ω

ω1s

3o modo para Ψ = 1

3o modo para Ψ = 64

4o modo para Ψ = 1

4o modo para Ψ = 64

0.001 0.01 0.1 1 10 100 1000 100002.0

2.5

3.0

3.5

4.0

λ2

ω

ω1s

3o modo para Ψ = 1

3o modo para Ψ = 64

4o modo para Ψ = 1

4o modo para Ψ = 64

0.001 0.01 0.1 1 10 100 1000 100002.0

2.5

3.0

3.5

4.0

λ2

ω

ω1s

3o modo para Ψ = 1

3o modo para Ψ = 64

4o modo para Ψ = 1

4o modo para Ψ = 64

Tabela 3.28: Frequências adimensionais ω/ω1s em função do parâmetro de Irvine λ2 para vários valoresde Ψ, Γd e ξ. ω representa as frequências não amortecidas do terceiro e quarto modos de vibração de doiscabos com vãos diferentes ligados por um amortecedor e ω1s representa a frequência natural do primeiromodo de um cabo muito tenso sem amortecedor. Apoios encastrados.

110

3.3.3 Modos de vibração, frequências naturais e fatores de amortecimentopara dois cabos de vãos diferentes ligados por dois amortecedores

Vamos nesta secção tornar o modelo da secção anterior mais complexo por introdução de umnovo amortecedor viscoso cujo ponto de ligação ao cabo-viga inferior dista do apoio da direitaa mesma distância ld que o outro amortecedor dista dos apoios da esquerda dos dois cabos, talcomo a Figura 3.5 ilustra. Assim sendo as colunas das Tabelas 3.29 a 3.32 são referenciadaspor dois pares de valores de Γd: o par da esquerda relativo ao amortecedor da esquerda e opar da direita relativo ao amortecedor da direita. No par da direita os valores indicados são apercentagem do vão a que o amortecedor da direita está do apoio do lado esquerdo: por exemplo,na primeira coluna da Tabela 3.29 o par 0.72/0.96 indica que o amortecedor do lado direito estáa uma distância do apoio esquerdo do cabo superior (inferior) igual a 72% (96%) do vão do cabosuperior (inferior). As Tabelas 3.29 a 3.32 documentam as configurações dos quatro primeirosmodos de vibração para λ2 = 0.01, Ψ = 1 (ambos os amortecedores com o mesmo coeficientede amortecimento), ql = 3/4, qH = qm = 1. Observa-se que no primeiro modo é o movimentodo cabo mais flexível (cabo superior) que está em destaque com a forma aproximada de umasemionda. O segundo modo (Tabela 3.30) envolve um maior movimento por parte do cabo maisrígido (cabo inferior). Os modos 3 e 4 (respetivamente Tabelas 3.31 e 3.32) têm configuraçõesmais complexas envolvendo em geral duas semiondas. Os valores próprios que se obtêm daresolução do problema de valores próprios (3.11) relativos aos modos representados nas Tabelas3.29 a 3.32 estão registados na Tabela 3.33 tendo todos parte real estritamente negativa, o queindica que esses modos têm todos amortecimento não nulo. A Tabela 3.34 mostra a frequêncianatural amortecida e o fator de amortecimento. Os modos com fator de amortecimento maiselevado estão indicados a negrito. Por comparação entre as Tabelas 3.20 e 3.34 concluímos quedois amortecedores com uma capacidade de amortecimento Ψ = 1 são muito mais eficientes doque um único amortecedor com uma capacidade oito vezes superior: na Tabela 3.20 os valoresde ζ rondam o 1% e excecionalmente atingem os 4.6% enquanto que na Tabela 3.34 os fatoresde amortecimento situam-se em geral na vizinhança dos 20%.

Cabo b

Cabo a

l

c

c

l

d

l

d

l

3

4

Figura 3.5: Dois cabos homogéneos de vãos diferentes ligados por dois amortecedores viscosos ortogonaisàs cordas e dispostos simetricamente em relação aos apoios do cabo inferior. Os apoios esquerdos estãona mesma prumada.

111

ξΓd 0.03/0.04 e 0.72/0.96 0.06/0.08 e 0.69/0.92 0.09/0.12 e 0.66/0.88

10 U1 V1 U1 V1 U1 V1

100 U1 V1 U1 V1 U1 V1

600 U1 V1 U1 V1 U1 V1

Tabela 3.29: Configurações do primeiro modo para Ψ = 1 e λ2 = 0.01, para vários valores de ξ e dasposições dos amortecedores Γd. Cabos de vãos diferentes: lb = 0.75la. Apoios encastrados.

112

ξΓd 0.03/0.04 e 0.72/0.96 0.06/0.08 e 0.69/0.92 0.09/0.12 e 0.66/0.88

10 U2 V2 U2 V2 U2 V2

100 U2 V2 U2 V2 U2 V2

600 U2 V2 U2 V2 U2 V2

Tabela 3.30: Configurações do segundo modo para Ψ = 1 e λ2 = 0.01, para vários valores de ξ e dasposições dos amortecedores Γd. Cabos de vãos diferentes: lb = 0.75la. Apoios encastrados.

113

ξΓd 0.03/0.04 e 0.72/0.96 0.06/0.08 e 0.69/0.92 0.09/0.12 e 0.66/0.88

10 U3 V3 U3 V3 U3 V3

100 U3 V3 U3 V3 U3 V3

600 U3 V3 U3 V3 U3 V3

Tabela 3.31: Configurações do terceiro modo para Ψ = 1 e λ2 = 0.01, para vários valores de ξ e dasposições dos amortecedores Γd. Cabos de vãos diferentes: lb = 0.75la. Apoios encastrados.

114

ξΓd 0.03/0.04 e 0.72/0.96 0.06/0.08 e 0.69/0.92 0.09/0.12 e 0.66/0.88

10 U4 V4 U4 V4 U4 V4

100 U4 V4 U4 V4 U4 V4

600 U4 V4 U4 V4 U4 V4

Tabela 3.32: Configurações do quarto modo para Ψ = 1 e λ2 = 0.01, para vários valores de ξ e dasposições dos amortecedores Γd. Cabos de vãos diferentes: lb = 0.75la. Apoios encastrados.

115

ξ ModoΓd

0.03/0.04 e 0.72/0.96 0.06/0.08 e 0.69/0.92 0.09/0.12 e 0.66/0.88

10

1 −0.5599 + 4.1632i −0.7101 + 4.1788i −0.8913 + 4.2147i2 −0.0028 + 5.4664i −0.0330 + 5.4603i −0.1196 + 5.4267i3 −1.1626 + 8.9828i −1.1555 + 8.9785i −1.1291 + 9.1079i4 −0.0141 + 12.1650i −0.1552 + 12.1327i −0.5639 + 12.0266i

100

1 −0.6084 + 3.4055i −0.7442 + 3.5337i −1.0178 + 3.8071i2 −0.0256 + 4.2752i −0.1350 + 4.2481i −0.2742 + 4.0921i3 −1.2208 + 6.4736i −1.1898 + 6.8235i −0.6504 + 7.0688i4 −0.1004 + 8.5559i −0.5525 + 8.5374i −1.8288 + 9.3136i

600

1 −0.6021 + 3.3798i −0.7352 + 3.5292i −0.2847 + 3.9711i2 −0.0399 + 4.1985i −0.1647 + 4.1629i −1.0407 + 3.8632i3 −1.2123 + 6.4956i −1.0521 + 6.8769i −0.5348 + 6.9225i4 −0.1565 + 8.3958i −0.7000 + 8.4468i −0.2648 + 9.4041i

Tabela 3.33: Frequências próprias adimensionais Ω dos quatro primeiros modos, para Ψ = 1 e λ2 =0.01, variando ξ, e as posições dos amortecedores, Γd. Cabos de vãos diferentes (lb = 0.75la). Apoiosencastrados.

ξ ModoΓd

0.03/0.04 e 0.72/0.96 0.06/0.08 e 0.69/0.92 0.09/0.12 e 0.66/0.88

ωD ζ(%) ωD ζ(%) ωD ζ(%)

10

1 4.1632 13.3296 4.1788 16.7521 4.2147 20.68932 5.4664 0.0514 5.4603 0.6051 5.4267 2.20383 8.9828 12.8358 8.9785 12.7643 9.1079 12.30244 12.1650 0.1156 12.1327 1.2787 12.0266 4.6834

100

1 3.4055 17.5875 3.5337 20.6081 3.8071 25.82592 4.2752 0.5978 4.2481 3.1763 4.0921 6.68593 6.4736 18.5322 6.8235 17.1773 7.0688 9.16184 8.5559 1.1728 8.5374 6.4584 9.3136 19.2676

600

1 3.3798 17.5376 3.5292 20.3926 3.9711 7.15072 4.1985 0.9503 4.1629 3.9543 3.8632 26.01153 6.4956 18.3461 6.8769 15.1233 6.9225 7.70254 8.3958 1.8637 8.4468 8.2591 9.4041 2.8144

Tabela 3.34: Frequências naturais amortecidas e fatores de amortecimento dos quatro primeiros modos,para Ψ = 1 e λ2 = 0.01, variando ξ, e as posições dos amortecedores, Γd. Cabos de vãos diferentes(lb = 0.75la). Apoios encastrados.

116

Capítulo 4

Oscilações forçadas de cabos

Nos capítulos precedentes preocupámo-nos principalmente com os efeitos da colocação de amor-tecedores na capacidade de amortecimento das amplitudes de cabos, um tema de grande im-portância no dimensionamento de pontes de tirantes e pontes suspensas. Neste capítulo vamosdedicar alguma atenção ao cálculo de amplitudes de oscilações forçadas de cabos. Considera--se apenas um amortecimento interno do tipo viscoso, não se considerando no presente capítuloqualquer tipo de amortecedor. Também nos limitaremos a cabos sem qualquer tipo de rigidez àflexão, de apoios nivelados, relativamente tensos

(flechavão ≤ 1

8

)e a pequenas oscilações.

4.1 Equações do movimento no domínio do tempo

Na página 90 do livro (Irvine, 1981) apresentam-se as equações do movimento de um cabo tensode apoios nivelados. As vibrações livres de um cabo não amortecido são regidas por

∂

∂s

[(T + τ)

(dx

ds+ ∂u

∂s

)]= m

∂2u

∂t2,

∂

∂s

[(T + τ)

(dy

ds+ ∂v

∂s

)]= m

∂2v

∂t2−mg .

(4.1)

No sistema precedente u e v contabilizam respetivamente os deslocamentos horizontal e vertical

y, v

Configuração de equilíbrio estático

x, u

Configuração instantânea

em regime dinâmico

y

s

u

v

x

Figura 4.1: Configurações estática e dinâmica de um cabo elástico com apoios nivelados rotulados.

117

em regime dinâmico contados a partir da configuração de equilíbrio estático, como indicadoesquematicamente na Figura 4.1. O comprimento de arco ao longo da configuração de equilíbrioestático do cabo designa-se por s, (x, y) designam as coordenadas cartesianas do centro degravidade de uma secção genérica da configuração de equilíbrio estático, (u, v) designam ascomponentes de deslocamento relativamente à configuração de equilíbrio estático nas direçõeshorizontal e vertical, m é a massa por unidade de comprimento de cabo e a aceleração dagravidade g atua na direção vertical. A letra T designa a parcela estática da força (esforçonormal) numa secção genérica e τ designa a correspondente parcela dinâmica. A particularizaçãodas equações anteriores para o caso estático (τ = u = v ≡ 0) é

∂

∂s

(Tdx

ds

)= 0 ,

∂

∂s

(Tdy

ds

)= −mg .

(4.2)

Desenvolvendo as Equações (4.1) e tendo em conta as equações de equilíbrio estático, (4.2), épossível escrever

∂

∂s

(T∂u

∂s+ τ

dx

ds+ τ

∂u

∂s

)= m

∂2u

∂t2,

∂

∂s

(T∂v

∂s+ τ

dy

ds+ τ

∂v

∂s

)= m

∂2v

∂t2.

De seguida despreza-se os termos não lineares (produto de quantidades pequenas), τ ∂u∂s

e τ ∂v∂s

,presentes nos primeiros membros,

∂

∂s

(T∂u

∂s+ τ

dx

ds

)= m

∂2u

∂t2,

∂

∂s

(T∂v

∂s+ τ

dy

ds

)= m

∂2v

∂t2.

Observando queds

dx=√

1 + y2x

em que yx = dy/dx oudx

ds= 1√

1 + y2x

= cos θ ,

as derivadas parciais de qualquer quantidade em ordem a x e a s relacionam-se por

∂

∂s= ∂

∂x

dx

ds= 1√

1 + y2x

∂

∂x. (4.3)

As equações do movimento ficam então,

1√1 + y2

x

∂

∂x

(T

1√1 + y2

x

∂u

∂x+ τ

1√1 + y2

x

dx

dx

)= m

∂2u

∂t2,

1√1 + y2

x

∂

∂x

(T

1√1 + y2

x

∂v

∂x+ τ

1√1 + y2

x

dy

dx

)= m

∂2v

∂t2.

118

As equações anteriores podem ser simplificadas se se tiver em conta que T 1√1 + y2

x

= T cos θ = H

(impulso estático) e τ 1√1 + y2

x

= τ cos θ = h (parcela dinâmica do impulso total), resultandoem

1√1 + y2

x

∂

∂x

(H∂u

∂x+ h

)= m

∂2u

∂t2,

1√1 + y2

x

∂

∂x

(H∂v

∂x+ hyx

)= m

∂2v

∂t2.

Recordar que a notação yx designa a primeira derivada total de y em ordem a x. No caso deo cabo estar sujeito a forças por unidade de comprimento Fx e Fy (Figura 4.1) as equações domovimento ficam,

1√1 + y2

x

∂

∂x

(H∂u

∂x+ h

)+ Fx(x, t) = m

∂2u

∂t2+ c′

∂u

∂t, (4.4)

1√1 + y2

x

∂

∂x

(H∂v

∂x+ hyx

)+ Fy(x, t) = m

∂2v

∂t2+ c′

∂v

∂t, (4.5)

a que se tem que se juntar as condições de fronteira

u(0, t) = u(L, t) = 0 , (4.6)

v(0, t) = v(L, t) = 0 . (4.7)

Nas Equações (4.4) e (4.5) considerou-se também um amortecimento estrutural interno segundox e y modelado pelos termos c′∂u

∂te c′∂v

∂t, respetivamente. Neste capítulo não se consideram

amortecedores viscosos. Da Equação (2.10) e de (4.3) obtemos

h = EA

(1 + y2x)3/2 [ux + yxvx] (4.8)

onde EA representa a rigidez axial do cabo e h representa a parcela dinâmica do impulso.

4.2 Configuração de equilíbrio estático do cabo

A configuração estática de um cabo elástico linear sem rigidez à flexão é descrita por (ver (Irvine,1981), p.18):

x(s) = H

EAs+ HL0

W

[arcsinh

(V

H

)− arcsinh

(V −W s

L0

H

)](4.9)

y(s) = W

EAs

(V

W− s

2L0

)+ HL0

W

(1 +(V

H

)2) 1

2

−

1 +(V −W s

L0

H

)2 1

2 , (4.10)

para s ∈ [0, L0], em que L0 é o comprimento natural do cabo (sem esforço normal), W = mgL0

é o peso próprio do cabo, H designa o impulso estático e V designa a componente vertical dareação em equilíbrio estático no apoio esquerdo. Os valores de V e H a usar em (4.9) e (4.10)

119

calculam-se a partir das equações x(L0) = l e y(L0) = 0 (cabo de apoios nivelados). O valor deyx requerido para as equações da dinâmica (4.4) e (4.5) obtém-se das expressões (4.9) e (4.10),atendendo a que

yx = dy

dx=

(dyds

)(

dxds

) . (4.11)

4.3 Equações do movimento no domínio da frequência

As transformadas de Fourier em ordem à variável tempo (t) das Equações (4.4) e (4.5) e dascondições de fronteira (4.6) e (4.7) conduzem a (Xu et al., 1998)

1√1 + y2

x

∂

∂x

(H∂u

∂x+ h

)+ Fx(x, ω) = (−ω2m+ iωc′)u , (4.12)

1√1 + y2

x

∂

∂x

(H∂v

∂x+ hyx

)+ Fy(x, ω) = (−ω2m+ iωc′)v , (4.13)

u(0, ω) = u(L, ω) = 0 , (4.14)

v(0, ω) = v(L, ω) = 0 , (4.15)

em que, i2 = −1 , u(x, ω), v(x, ω), h(ω), Fx(x, ω), Fy(x, ω) são as transformadas de Fourier respe-tivamente de u(x, t), v(x, t), h(t), Fx(x, t), Fy(x, t). Usou-se a propriedade f (n)(t) = (iω)nf(ω).A transformada de Fourier da parcela dinâmica do impulso é

h(ω) = EA

(1 + y2x)

32

(ux + yxvx) . (4.16)

A substituição de (4.16) nas Equações (4.12) e (4.13) resulta em,

1√1 + y2

x

∂

∂x

[H∂u

∂x+ EA

(1 + y2x)3/2 (ux + yxvx)

]+ Fx = (−ω2m+ iωc′)u , (4.17)

1√1 + y2

x

∂

∂x

[H∂v

∂x+ EAyx

(1 + y2x)3/2 (ux + yxvx)

]+ Fy = (−ω2m+ iωc′)v . (4.18)

No desenvolvimento das derivadas ∂

∂x[...] deve ter-se em conta que os termos contendo yx devem

ser considerados como constantes, pois são quantidades avaliadas na configuração de equilíbrioestático obtendo-se então sucessivamente,

1√1 + y2

x

[Huxx + EA

(1 + y2x)3/2 (uxx + yxvxx)

]+ Fx = (−ω2m+ iωc′)u , (4.19)

1√1 + y2

x

[Hvxx + EAyx

(1 + y2x)3/2 (uxx + yxvxx)

]+ Fy = (−ω2m+ iωc′)v . (4.20)

O uso das definiçõesH = H√

1 + y2x

(4.21)

120

ek = EA

1 + y2x

(4.22)

permite obter as equações do movimento numa forma mais simplificada:(H + k

1 + y2x

)uxx + kyx

1 + y2x

vxx + Fx = (−ω2m+ iωc′)u , (4.23)

(H + ky2

x

1 + y2x

)vxx + kyx

1 + y2x

uxx + Fy = (−ω2m+ iωc′)v . (4.24)

A resolução numérica do problema das oscilações forçadas passa pela consideração da discreti-

y

Segmento s

x

1

2

3

s

s+1

F

F

x

y

N

N+1

Segmento s-1

Figura 4.2: Cabo elástico discretizado em segmentos e no qual estão aplicadas forças por unidade decomprimento verticais (Fy) e horizontais (Fx).

zação do cabo em N segmentos conforme indicado esquematicamente na Figura 4.2. A aplicaçãodas Equações (4.23) e (4.24) ao s-ésimo segmento permite obter (na forma matricial)

Hs + ks

1 + y2s,x

ksys,x

1 + y2s,x

ksys,x

1 + y2s,x

Hs +ksy

2s,x

1 + y2s,x

us,xx

vs,xx

+Fx

Fy

=[−mω2 + iωc′ 0

0 −mω2 + iωc′

]us

vs

,

(4.25)

em que se adota a aproximação

ys,x = yx(xs) + yx(xs+1)2 . (4.26)

Certas condições têm que ser satisfeitas entre dois segmentos consecutivos. As condições decontinuidade cinemática

us−1(xs, ω) = us(xs, ω) , (4.27)

vs−1(xs, ω) = vs(xs, ω) (4.28)

121

e as condições de continuidade estática num nó s que se obtêm por integração no intervalo demedida nula [x−s , x+

s ] de ambos os membros das Equações (4.17) e (4.18),

∫ x+s

x−s

[1√

1 + y2x

∂

∂x

(H∂u

∂x+ EA

(1 + y2x)

32

(ux + yxvx))

+ Fx

]dx

= (−ω2m+ iωc′)∫ x+

s

x−s

udx ,

(4.29)

∫ x+s

x−s

[1√

1 + y2x

∂

∂x

(H∂v

∂x+ EAyx

(1 + y2x)

32

(ux + yxvx))

+ Fy

]dx

= (−ω2m+ iωc′)∫ x+

s

x−s

vdx ,

(4.30)

em que x−s e x+s representam abcissas arbitrariamente próximas da secção s, respetivamente

antes e depois. Há várias parcelas das duas equações anteriores que são nulas:∫ x+

s

x−s

Fxdx = 0,

porque Fx é uma carga por unidade de comprimento e o intervalo de integração é de medida

nula e∫ x+

s

x−s

udx = 0, porque o intervalo é de medida nula e u não tem densidade infinita em

x = xs. De um modo análogo,∫ x+

s

x−s

Fydx = 0 e∫ x+

s

x−s

vdx = 0. O sistema (4.29), (4.30) fica então

1√1 + y2

s,x

Hsus,x (xs, ω) + EA(1 + y2

s,x

) 32

(us,x (xs, ω) + ys,xvs,x (xs, ω))

− 1√1 + y2

s−1,x

Hs−1us−1,x (xs, ω) + EA(1 + y2

s−1,x

) 32

(us−1,x (xs, ω) + ys−1,xvs−1,x (xs, ω))

= 0 ,

(4.31)

1√1 + y2

s,x

Hsvs,x (xs, ω) + EAys,x(1 + y2

s,x

) 32

(us,x (xs, ω) + ys,xvs,x (xs, ω))

− 1√1 + y2

s−1,x

Hs−1vs−1,x (xs, ω) + EAys−1,x(1 + y2

s−1,x

) 32

(us−1,x (xs, ω) + ys−1,xvs−1,x (xs, ω))

= 0 .

(4.32)

122

Usando as definições (4.21) e (4.22) obtém-se ainda(Hs + ks

1 + y2s,x

)us,x (xs, ω) + ksys,x

1 + y2s,x

vs,x (xs, ω)

=(Hs−1 + ks−1

1 + y2s−1,x

)us−1,x (xs, ω) + ks−1ys−1,x

1 + y2s−1,x

vs−1,x (xs, ω) ,(4.33)

(Hs +

ksy2s,x

1 + y2s,x

)vs,x (xs, ω) + ksys,x

1 + y2s,x

us,x (xs, ω)

=(Hs−1 +

ks−1y2s−1,x

1 + y2s−1,x

)vs−1,x (xs, ω) + ks−1ys−1,x

1 + y2s−1,x

us−1,x (xs, ω) ,(4.34)

cujas condições de fronteira correspondentes são

u1 (x1, ω) = uN (xN+1, ω) = 0 , (4.35)

v1 (x1, ω) = vN (xN+1, ω) = 0 . (4.36)

Vamos agora proceder à transformação de variáveisus

vs

=[

1 ys,x

ys,x −1

]us

vs

(4.37)

por forma a simplificar as Equações (4.25) (com o sentido de as desacoplar). O passo seguinteserá fazer-se a substituição (4.37) e projectar-se as Equações (4.25) o que conduz sucessivamentea

[1 ys,x

ys,x −1

]Hs + ks

1 + y2s,x

ksys,x

1 + y2s,x

ksys,x

1 + y2s,x

Hs +ksy

2s,x

1 + y2s,x

[

1 ys,x

ys,x −1

]us,xx

vs,xx

+[

1 ys,x

ys,x −1

]Fx

Fy

=[

1 ys,x

ys,x −1

] [1 00 1

] (−mω2 + iωc′

) [ 1 ys,x

ys,x −1

]us

vs

e a

[Hs + ks 0

0 Hs

]us,xx

vs,xx

+(mω2 − iωc′

) us

vs

+

Fx + ys,xFy

1 + y2s,x

ys,xFx − Fy

1 + y2s,x

=

00

. (4.38)

O sistema de equações anteriores é desacoplado no sentido de que a primeira equação só envolveus e a segunda só envolve vs. Trata-se de um sistema de duas equações diferenciais ordináriasnão homogéneas de segunda ordem cuja solução geral é a soma de uma solução particular coma solução geral do sistema de equações homogéneas:

us(x, ω)vs(x, ω)

=up

s(x, ω)vp

s(x, ω)

+uh

s (x, ω)vh

s (x, ω)

.

123

Uma solução particular é

up

s(x, ω)vp

s(x, ω)

= − 1

mω2 − iωc′

Fx + ys,xFy

1 + y2s,x

ys,xFx − Fy

1 + y2s,x

.

A solução geral do sistema homogéneo[Hs + ks 0

0 Hs

]uh

s,xx(x, ω)vh

s,xx(x, ω)

+ (mω2 − iωc′)

uh

s (x, ω)vh

s (x, ω)

=

00

é procurada como sendo da formauh

s (x, ω)vh

s (x, ω)

=U

V

exp(λx) ,

o que conduz ao problema de valores e vetores próprios seguinte (Hs + ks

)λ2 +mω2 − iωc′ 0

0 Hsλ2 +mω2 − iωc′

U

V

=

00

.

Para se obter uma solução não trivial (U, V ) 6= (0, 0) há que impor que a matriz dos coeficientestenha determinante nulo, isto é,

Hs

(Hs + ks

)λ4 + (mω2 − iωc′)

(2Hs + ks

)λ2 + (mω2 − iωc′)2 = 0

que é uma equação biquadrática cujas soluções se obtêm pela fórmula resolvente clássica.

λ2 =−(mω2 − iωc′)

(2Hs + ks

)±√

(mω2 − iωc′)2ks

2Hs

(Hs + ks

) .

Há que esclarecer como simplificar o termo√

(mω2 − iωc′)2. Este termo é do tipo√z2 com

z = a+ib ∈ C. Exprimindo z na forma z = ρ(cos θ+i sin θ) tem-se que z2 = ρ2(cos 2θ+i sin 2θ).Calculando

√z2, obtemos duas soluções:

√z2 = ρ (cos(θ + kπ) + i sin(θ + kπ)) , k ∈ 0, 1 .

Quer dizer,

para k = 0 :√z2 =

√ρ(cos θ + i sin θ) ≡ z ,

para k = 1 :√z2 =

√ρ(cos(θ + π) + i sin(θ + π)) ≡ −z .

124

Portanto, o conjunto de soluções ±√z2 = ±−z,+z ≡ −z,+z, pelo que o termo

±√

(mω2 − iωc′)2 pode ser substituído por ±(mω2 − iωc′), e, deste modo,

λ2 = (mω2 − iωc′)

− 1Hs + ks

− 1Hs

que é equivalente a

λ = ±√−mω

2 − iωc′

Hs + ks

∨ λ = ±√−mω

2 − iωc′

Hs

Neste momento pretende-se exprimir números complexos do tipo ±√a+ ib na forma A + iB,

isto é, saber A ∈ R e B ∈ R em função de a e b > 0 por forma a que ±√a+ ib = A+ iB. Após

cálculos simples conclui-se que

A =√a

2 + 12√a2 + b2

eB =

√−a2 + 1

2√a2 + b2 .

Tem-se então

λ = ±

√√√√√√− mω2

Hs + ks︸ ︷︷ ︸a

+i c′ω

Hs + ks︸ ︷︷ ︸b

= ±

√√√√√−mω2 +

√m2ω4 + c′2ω2

2(Hs + ks

)︸ ︷︷ ︸

r1s

+i

√√√√√mω2 +√m2ω4 + c′2ω2

2(Hs + ks

)︸ ︷︷ ︸

r2s

e

λ = ±

√√√√√√−mω2

Hs︸ ︷︷ ︸a

+i c′ω

Hs︸︷︷︸b

= ±

√√√√√−mω2 +

√m2ω4 + c′2ω2

2(Hs

)︸ ︷︷ ︸

r3s

+i

√√√√√mω2 +√m2ω4 + c′2ω2

2(Hs

)︸ ︷︷ ︸

r4s

.

(4.39)

A solução geral do sistema (4.38) é pois

us(x,w) = D1se(r1s+ir2s)x +D2se−(r1s+ir2s)x − 1mw2 − iwc′

Fx + ys,xFy

1 + y2s,x

vs(x,w) = D3se(r3s+ir4s)x +D4se−(r3s+ir4s)x − 1mw2 − iwc′

ys,xFx + Fy

1 + y2s,x

,

(4.40)

125

r1s =

√√√√−mw2 +√m2w4 + c′2w2

2(Hs + Ks),

r2s =

√√√√mw2 +√m2w4 + c′2w2

2(Hs + Ks),

r3s =

√−mw2 +

√m2w4 + c′2w2

2Hs,

r4s =

√mw2 +

√m2w4 + c′2w2

2Hs.

Fazendo a substituição do sistema (4.40) na transformação (4.37), obtemos

us

vs

=[

e(r1s+ir2s)x e−(r1s+ir2s)x ys,xe(r3s+ir4s)x ys,xe−(r3s+ir4s)x

ys,xe(r1s+ir2s)x ys,xe−(r1s+ir2s)x −e(r3s+ir4s)x −e−(r3s+ir4s)x

]D1s

D2s

D3s

D4s

− 1mω2 − iωc′

Fx

Fy

.

A derivada em ordem a x do sistema anterior conduz aus,x

vs,x

=[

(r1s + ir2s)e(r1s+ir2s)x −(r1s + ir2s)e−(r1s+ir2s)x

ys,x(r1s + ir2s)e(r1s+ir2s)x −ys,x(r1s + ir2s)e−(r1s+ir2s)x

ys,x(r3s + ir4s)e(r3s+ir4s)x −ys,x(r3s + ir4s)e−(r3s+ir4s)x

−(r3s + ir4s)e(r3s+ir4s)x (r3s + ir4s)e−(r3s+ir4s)x

]D1s

D2s

D3s

D4s

Não esquecendo que yx é constante e introduzindo os sistemas de equações anteriores nas con-dições de continuidade estática (4.33) e (4.34) e de fronteira (4.35) e (4.36) para o nó s obtemos

D1s

D2s

D3s

D4s

= Ts(xs)

D1s−1

D2s−1

D3s−1

D4s−1

(4.41)

em que Ts(xs) = (Rs(xs))−1Rs−1(xs). As matrizes Rs(xs) e Rs−1(xs) envolvidas na definição

126

de Ts(xs) são

Rs(xs) =

e(r1s+ir2s)xs e−(r1s+ir2s)xs

ys,xe(r1s+ir2s)xs ys,xe−(r1s+ir2s)xs(Hs + ks

)(r1s + ir2s)e(r1s+ir2s)xs −

(Hs + ks

)(r1s + ir2s)e−(r1s+ir2s)xs(

Hs + ks

)ys,x(r1s + ir2s)e(r1s+ir2s)xs −

(Hs + ks

)ys,x(r1s + ir2s)e−(r1s+ir2s)xs

ys,xe(r3s+ir4s)xs ys,xe−(r3s+ir4s)xs

−e(r3s+ir4s)xs −e−(r3s+ir4s)xs

Hsys,x(r3s + ir4s)e(r3s+ir4s)xs −Hsys,x(r3s + ir4s)e−(r3s+ir4s)xs

−Hs(r3s + ir4s)e(r3s+ir4s)xs Hs(r3s + ir4s)e−(r3s+ir4s)xs

e

Rs−1(xs) =

e(r1s−1+ir2s−1)xs

ys−1,xe(r1s−1+ir2s−1)xs(Hs−1 + ks−1

)(r1s−1 + ir2s−1)e(r1s−1+ir2s−1)xs(

Hs−1 + ks−1)ys−1,x(r1s−1 + ir2s−1)e(r1s−1+ir2s−1)xs

e−(r1s−1+ir2s−1)xs

ys−1,xe−(r1s−1+ir2s−1)xs

−(Hs−1 + ks−1

)(r1s−1 + ir2s−1)e−(r1s−1+ir2s−1)xs

−(Hs−1 + ks−1

)ys−1,x(r1s−1 + ir2s−1)e−(r1s−1+ir2s−1)xs

ys−1,xe(r3s−1+ir4s−1)xs

−e(r3s−1+ir4s−1)xs

Hs−1ys−1,x(r3s−1 + ir4s−1)e(r3s−1+ir4s−1)xs

−Hs−1(r3s−1 + ir4s−1)e(r3s−1+ir4s−1)xs

ys−1,xe−(r3s−1+ir4s−1)xs

−e−(r3s−1+ir4s−1)xs

−Hs−1ys−1,x(r3s−1 + ir4s−1)e−(r3s−1+ir4s−1)xs

Hs−1(r3s−1 + ir4s−1)e−(r3s−1+ir4s−1)xs

.

A matriz T desempenha o papel de uma matriz de transferência. A matriz Ts(xs) transfereas quatro constantes complexas do segmento s − 1 para as do segmento s. Note que a matriz(Rs(xs))−1 é a matriz inversa da Rs(xs), e que a coordenada x das equações de continuidaderefere-se ao nó s, entre os segmentos s − 1 e s (recordar a Figura 4.2). Veja-se também que amatriz T no nó 1 e no nó final não existe. Utilizando apenas o sistema de equações (4.41) erepetindo-o para todos os segmentos verifica-se que:

Nó 2: D12

D22

D32

D42

= T2(x2)

D11

D21

D31

D41

⇔ D2 = T2D1

127

Nó 3:D3 = T3D2 = T3T2D1

...

Nó N:DN = TNDN−1

Deste modo pode escrever-se

DN = TNTN−1 · · ·T3T2D1 .

Note que o vetor das quatro constantes complexas, D, está associado ao segmento, enquantoque as matrizes R e T estão associadas aos nós. Multiplicando por RN (xN+1) os dois membrosda equação anterior obtém-se

RN (xN+1)DN = BD1

ondeB = RN (xN+1)TN (xN )TN−1(xN−1) · · ·T2(x2) .

A verificação das condições de fronteira cinemáticas do cabo, resulta no seguinte sistema deequações para a solução global,

u1(x1, ω)v1(x1, ω)

uN (xN+1, ω)vN (xN+1, ω)

=

0000

,

o que equivale a

128

e(r11 +ir21 )x1D11 + e−(r11 +ir21 )x1D21 + y1,xe(r31 +ir41 )x1D31 + y1,xe−(r31 +ir41 )x1D41

y1,xe(r11 +ir21 )x1D11 + y1,xe−(r11 +ir21 )x1D21 − e(r31 +ir41 )x1D31 − e−(r31 +ir41 )x1D41

e(r1N+1 +ir2N+1 )xN+1D1N + e−(r1N+1 +ir2N+1 )xN+1D2N + yN+1,xe(r3N+1 +ir4N+1 )xN+1D3N + yN+1,xe−(r3N+1 +ir4N+1 )xN+1D4N

yN+1,xe(r1N+1 +ir2N+1 )xN+1D1N + yN+1,xe−(r1N+1 +ir2N+1 )xN+1D2N − e(r3N+1 +ir4N+1 )xN+1D3N − e−(r3N+1 +ir4N+1 )xN+1D4N

− 1mω2 − iωc′

Fx

Fy

Fx

Fy

=

0000

(4.42)

129

Colocando o vetor DN em ordem a D1, recorrendo à matriz de transferência, é possível através dosistema anterior determinar o vetor D1. Determinado o vetor D1 podem facilmente determinar--se os outros vetores todos das quatro constantes complexas recorrendo à relação com a matrizde transferência. Consequentemente, a resposta dinâmica do cabo com amortecedor é finalmentedeterminada recorrendo às Equações (4.40) e (4.37).

4.4 Resultados e comentários

O cabo usado neste estudo é um cabo de apoios nivelados com as seguintes propriedades: E =2 × 1011 N/m2, A = 0.759 m2, H = 1, 226 × 108 N, m = 5832.0 kg/m e l = 1369.56 m.Despreza- -se pois a rigidez à flexão (ξ → ∞) e admite-se que Le ' l. Trata-se de um cabomuito longo para o qual o parâmetro de Irvine é λ2 ' 505.75 ∈ [36π2 64π2], ou seja, um valorque se encontra entre os terceiro e quarto pontos de coalescência das frequências. Com vistaà determinação das amplitudes do cabo em função da frequência de excitação realizou-se umprograma no ambiente MatLab com o qual se estudam quatro casos. Nos primeiros dois casoso objetivo consiste em determinar a amplitude da secção a meio do cabo para um intervalo defrequências, com e sem amortecimento interno. Nos dois últimos casos pretende-se determinaras amplitudes máximas (e já não apenas da secção de meio vão) do cabo para um intervalo defrequências, também com e sem amortecimento interno. O coeficiente de amortecimento internopor unidade de comprimento que se considera no segundo e quarto casos é de c′ = 10.8 Ns/m.A excitação consiste numa força harmónica por unidade de comprimento ao longo de todo ocomprimento do cabo, vertical, com uma amplitude de 1 N/m e frequência angular ω. Como aexcitação e a configuração estática do cabo são simétricas, então o cabo só vai oscilar segundomodos simétricos.

A Figura 4.3 representa as amplitudes de oscilação da secção de meio vão para os casos (a)sem amortecimento interno e (b) com amortecimento interno. Os cinco picos correspondentes aamplitudes máximas das Figuras 4.3a e 4.3b ocorrem para ω = 0.9300, 1.5967, 2.1667, 2.4333e 2.9867 rad/s. Estes valores são próximos das cinco primeiras frequências angulares naturaisde modos simétricos 0.9426, 1.6125, 2.2032, 2.4871 e 3.0177 rad/s, calculadas pela expressãoanalítica (1.1). Os picos de amplitude referidos representam zonas de ressonância (coincidênciaentre a frequência de excitação e uma frequência natural). Tal como seria de esperar, a existênciade amortecimento (neste caso, interno) atenua os valores máximos das amplitudes: as amplitudesdo gráfico da Figura 4.3b são menores que as do gráfico da Figura 4.3a.

A Figura 4.4 contém gráficos de amplitudes máximas ao longo do cabo para o mesmo carre-gamento harmónico descrito anteriormente: cada ponto dos gráficos da Figura 4.4 contém omáximo do conjunto de amplitudes máximas das secções dos nós da discretização (tudo, paradeterminada frequência de excitação). As amplitudes dos gráficos das Figuras 4.4a e 4.4b são,para frequências homólogas, superiores às amplitudes respetivamente dos gráficos das Figuras4.3a e 4.3b. Também na Figura 4.4b se nota uma atenuação das amplitudes máximas de des-locamento em relação às suas homólogas da Figura 4.4a por efeito do amortecimento interno.

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Frequencia de excitacao ω (rad/s)

Amplitudederesposta

(m)

(a) c′ = 0.

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Frequencia de excitacao ω (rad/s)

Amplitudederesposta

(m)

(b) c′ = 10.8 Ns/m.

Figura 4.3: Amplitudes de resposta da secção de meio vão do cabo. Parâmetro de Irvine λ2 = 505.75.

0.5 0.8 1.1 1.4 1.7 2.0 2.3 2.6 2.9 3.210

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Frequencia de excitacao ω (rad/s)

Amplitudederesposta

(m)

(a) c′ = 0.

0.5 0.8 1.1 1.4 1.7 2.0 2.3 2.6 2.9 3.210

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Frequencia de excitacao ω (rad/s)

Amplitudederesposta

(m)

(b) c′ = 10.8 Ns/m.

Figura 4.4: Amplitudes de resposta máxima ao longo do cabo. Parâmetro de Irvine λ2 = 505.75.

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Capítulo 5

Conclusões e desenvolvimentosfuturos

Nesta dissertação procedeu-se ao estudo da oscilação de cabos tensos (em que a razão entrea flecha e o vão não excede 1/8) com amortecedores, em regime livre e em regime forçado,incluindo a rigidez à flexão. O estudo de formas eficientes e económicas de amortecimento deestruturas é duplamente importante porque a presença de amortecimento numa estrutura reduzsignificativamente a amplitude em situações de ressonância e, mesmo quando a frequência deexcitação está afastada das frequências naturais, a redução da amplitude de oscilação diminui orisco de colapso por fadiga. Esta dissertação focou-se principalmente em três estudos: (Mehrabi eTabatabai, 1998), (Tabatabai e Mehrabi, 2000) e (Xu et al., 1998). Os dois primeiros tratam dasoscilações livres amortecidas de cabos-viga (cabos com rigidez à flexão) com amortecedor(es)viscoso(s). O terceiro artigo debruça-se sobre oscilações forçadas de cabos puros (cabos semrigidez à flexão) em que o amortecimento é do tipo interno e não conferido por amortecedores.

Antes de se apresentarem os estudos paramétricos, de caráter mais exaustivo, optou-se porapresentar um primeiro conjunto de ensaios numéricos ilustrativos do comportamento de ca-bos estruturais por forma a, por via de exemplos numéricos concretos, ilustrar as principaiscaracterísticas do comportamento dos cabos.

As “ferramentas” básicas de toda a dissertação foram as equações que regem o movimento decabos elásticos, deduzidas por Irvine (1981) (nos casos dos Capítulos 2 e 3 acrescentadas dostermos da rigidez à flexão), utilizadas também nos três artigos em que se baseou este trabalho.Partindo- -se da equação diferencial parcial do modelo contínuo, pelo método da separação dasvariáveis deduziu-se a equação diferencial ordinária que rege os modos de vibração que, discre-tizada pelo método das diferenças finitas, conduziu ao problema de valores próprios permitindocalcular as frequências naturais e os fatores de amortecimento de um sistema de dois cabosligados por amortecedores. Com a informação espetral e modal completa foi possível construira solução (real) que representa o movimento em regime livre para diversas condições iniciais.Identificou- -se o conjunto mínimo de parâmetros adimensionais que definem o comportamentodinâmico de cabos com rigidez à flexão. Estudou-se o caso de um cabo ligado a um amortecedor

133

e de dois cabos ligados por um ou dois amortecedores. Efetuou-se um estudo exaustivo dosmodos de oscilação de cabos com rigidez à flexão, sem e com amortecedores e quantificou-se ainfluência de cada parâmetro adimensional. Representaram-se sequências de configurações decasos de evolução em regime livre. Traçaram-se gráficos e ábacos de frequências naturais e fato-res de amortecimento em função dos principais parâmetros adimensionais. Por forma a permitira comparação com cálculos independentes forneceu-se um número considerável de tabelas comvalores numéricos.

O estudo que conduziu à elaboração desta dissertação permitiu extrair as seguintes conclusões:

• A posição do(s) amortecedor(es) desempenha um papel primordial na sua eficiência; porexemplo, num cabo cujo parâmetro de Irvine se situe na vizinhança do valor correspondenteà região de aproximação de frequências, a eficiência de um amortecedor localizado pertode um dos apoios em amortecer o primeiro modo simétrico é quase nula.

• Só existe coalescência entre frequências naturais se não houver amortecimento. Quandoexiste amortecimento, as curvas das frequências naturais aproximam-se mas não se cruzamna região de valores de λ2 onde, no caso sem amortecimento, ocorre coalescência. O graude aproximação é tanto maior quanto menor for o amortecimento.

• Tal como outros autores já concluíram para o caso de um cabo isolado, verificou-se que,para sistemas de dois cabos ligados por um amortecedor, os fatores de amortecimento nãodependem monotonamente do coeficiente de amortecimento. Existe um valor ótimo docoeficiente de amortecimento do amortecedor acima do qual o fator de amortecimento docabo decresce.

• Observou-se que as curvas das frequências naturais de um sistema de dois cabos ligadospor amortecedor(es) são mais complexas que as curvas de apenas um cabo.

• Os fatores de amortecimento de modos antissimétricos (portanto, sem extensões axiais deprimeira ordem) são insensíveis ao parâmetro de Irvine λ2 (que, na resposta dinâmica doscabos, quantifica a importância dos efeitos associados às extensões axiais face aos efeitosassociados às mudanças de curvatura).

O estudo do amortecimento em cabos está longe de estar esgotado. Nesta dissertação abordou--se apenas associações de dois cabos de propriedades mecânicas iguais, eventualmente de com-primentos diferentes. Referem-se, por fim, algumas questões não estudadas nesta dissertação,constituindo pontos de possível arranque para estudos posteriores:

• A consideração de um maior número de cabos interligados por molas e amortecedores e oestudo de formas eficientes de amortecer as suas oscilações; tal estudo pode revelar-se útilpara o dimensionamento de pontes de tirantes.

• O estudo do amortecimento de grandes amplitudes resultantes de oscilações forçadas, queinclui a necessidade de introduzir amortecedores exteriores próximo das ancoragens.

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Referências

A.M. Abdel-Ghaffar e M.A. Khalifa. Importance of cable vibration in dynamics of cable-stayedbridges. Journal of Engineering Mechanics (ASCE), 117(11):2571–2589, 1991.

E. Caetano. Cable vibrations in cable-stayed bridges. IABSE, 2007.

S. Cheng, N. Darivandi, e F. Ghrib. The design of an optimal viscous damper for a bridge staycable using energy-based approach. Journal of Sound and Vibrations, 329:4689–4704, 2010.

Ch. Crémona. Courbe universelle pour le dimensionement d’amortisseurs en pied de haubans.Revue Française de Génie Civil, 1(1):137–159, 1997.

O. Flamand. Rain-wind induced vibration of cables. Journal of Wind Engineering and IndustrialAerodynamics, 57:353–362, 1995.

Y. Fujino e N. Hoang. Design formulas for damping of a stay cable with a damper. Journal ofStructural Engineering (ASCE), 134(2):269–278, 2008.

N. Gimsing. Cable Supported Bridges. John Wiley and Sons, 1998.

Y. Hikami e N. Shiraishi. Rain-wind induced vibrations of cables in cable stayed bridges. Journalof Wind Engineering and Industrial Aerodynamics, 29:409–418, 1988.

N. Hoang e Y. Fujino. Analytical study on bending effects in a stay cable with a damper. Journalof Engineering Mechanics (ASCE), 133(11):1241–1246, 2007.

B. Hoffmeister, J. Lopetegui, e G. Sedlacek. Investigation of the dynamic behaviour of cablestayed bridges under traffic. Structural Dynamics - EURODYN’93. Balkema, 1993.

H.M. Irvine. Cable Structures. MIT Press, 1981.

M. Ito, Y. Fujino, T. Myata, e N. Narita. Cable-Stayed Bridges. Recent Developments and theirFuture. Elsevier, 1991.

C.W. Knisely e M. Kawagoe. Force-displacement measurements on closely spaced tandem cy-linders. International Colloquium on Bluff Body Aerodynamics and its Applications, pages81–90, 17-20 October, Japan 1990.

S. Krenk. Vibrations of a taut cable with an external damper. Transactions of the ASME, 67:772–776, 2000.

S. Krenk. Mechanics and Analysis of Beams, Columns and Cables. Springer, 2001.

A.B. Mehrabi e H. Tabatabai. Unified finite difference formulation for free vibration of cables.Journal of Structural Engineering, 124(11):1313–1322, November 1998.

135

B.M. Pacheco, Y. Fujino, e A. Sulekh. Estimation curve for modal damping in stay cables withviscous damper. Journal of Structural Engineering (ASCE), 119(6):1961–1979, 1993.

J. Pedro. Pontes de Tirantes - Concepção, Dimensionamento e Construção. Instituto SuperiorTécnico, 2010.

A. Pinto da Costa. Excitação Paramétrica de Tirantes de Pontes. 1993. Dissertação para aobtenção do grau de mestre em Engenharia de Estruturas, Instituto Superior Técnico, Lisboa.

U. Starossek. Cable dynamics - a review. Structural Engineering International, 4(3):171–176,1994.

H. Tabatabai e A.B. Mehrabi. Design of mechanical viscous dampers of stay cables. Journal ofBridge Engineering, 5(2):114–123, May 2000.

The MathWorks, Inc. MatLab. URL:http://www.mathworks.com/products/matlab, 2013.

X.Y. Wang, Y.Q. Ni, J.M. Ko, e Z.Q. Chen. Optimal design of viscous dampers for multi-modevibration control of bridge cables. Engineering Structures, 27:792–800, 2005.

S.C. Watson e D. Stafford. Cables in trouble. Civil Engineering (ASCE), 58(4):38–41, 1988.

F. Weber, G. Feltrin, e M. Motavalli. Passive damping of cables with MR dampers. Materialsand Structures, 38:568–577, 2005.

F. Weber, G. Feltrin, M. Maślanka, W. Fobo, e H. Distl. Design of viscous dampers targetingmultiple cable modes. Engineering Structures, 31:2797–2800, 2009.

Q. Wu, K. Takahashi, e S. Nakamura. Formulae for frequencies and modes of in-plane vibrationsof small-sag inclined cables. Journal of Sound and Vibration, 279:1155–1169, 2005.

Y.L. Xu, Z. Yu, e J.M. Ko. Forced vibration studies of sagged cables with oil damper using ahybrid method. Engineering Structures, 20(8):692–705, 1998.

H. Yamaguchi. Analytical study on growth mechanism of rain vibration of cables. InternationalColloquium on Bluff Body Aerodynamics and its Applications, pages 73–80, 17-20 October,Japan 1990.

H. Yamaguchi e L. Jayawardena. Analytical estimation of structural damping in cable structures.Journal of Wind Engineering and Industrial Aerodynamics, 41-44, 1992.

T. Yoshimura, M.G. Savage, H. Tanaka, e T. Wakasa. A device for suppressing wake gallopingof stay-cables for cable-stayed bridges. Journal of Wind Engineering and Industrial Aerody-namics, 49:497–506, 1993.

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