os desafios da escola pÚblica paranaense … · posteriormente, à europa. eles estavam...

Versão On-line ISBN 978-85-8015-075-9Cadernos PDE

OS DESAFIOS DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSENA PERSPECTIVA DO PROFESSOR PDE

Produções Didático-Pedagógicas

FICHA PARA IDENTIFICAÇÃO PRODUÇÃO DIDÁTICA – PEDAGÓGICA

TURMA - PDE/2013

Título: O quadrado mágico como processo de ensino/aprendizagem

Autor Marcel Medeiros

Disciplina/Área Matemática

Escola de Implementação do Projeto e sua localização

Colégio Estadual Pedro Viriato Parigot de Souza - Ensino Fundamental e Médio

Município da escola São Miguel do Iguaçu

Núcleo Regional de Educação

Foz do Iguaçu

Professor Orientador Susimeire Vivien Rosotti de Andrade

Instituição de Ensino Superior

Unioeste – Campus Foz do Iguaçu

Relação Interdisciplinar

Resumo

Esta produção Didático-Pedagógica tem por finalidade subsidiar os trabalhos de implementação do Projeto de Intervenção na escola durante o terceiro semestre do PDE, que irá acontecer no 1º semestre letivo de 2014. As atividades enumeradas no projeto serão aplicadas com alunos, professores, agentes educacionais, pedagogos e diretores do colégio, bem como a realização do Grupo de Trabalho em Rede – GTR, com professores de toda a rede que se interessarem pelo estudo da temática da investigação matemática. Assim pretende-se utilizar quadrado mágico aditivo como atividade investigativa relacionando-o com Progressão Aritmética, buscando uma aula que incentive o despertar da curiosidade e da investigação visando à motivação pelo ensino matemático, contribuindo no processo de ensino e aprendizagem dos alunos do 1º ano do ensino médio do Colégio Estadual Pedro Viriato Parigot de Souza, localizado na Rua Afonso Alves Camargo, Centro, Município de São Miguel do Iguaçu, Estado do Paraná.

Palavras-chave Quadrado mágico; investigação; ensino e aprendizagem.

Formato do Material Unidade Didática.

Didático

Público Alvo

Alunos do 1º ano do ensino médio vespertino.

1. APRESENTAÇÃO

Na minha trajetória como docente da educação básica, noto que

muitos dos meus alunos não apresentam interesse no processo ensino

aprendizagem nas aulas de matemática e agora cursando o programa de

desenvolvimento educacional PDE/2013, foi me oportunizado estudar sobre o

tema e contribuir com a aprendizagem dos alunos do 1° ano do ensino médio

realizando a proposta de intervenção no Colégio Estadual Pedro Viriato Parigot

de Souza, localizado na Rua Afonso Alves Camargo n.° 483, Centro, Município

de São Miguel do Iguaçu, Estado do Paraná.

Dessa forma, o presente trabalho visa a contribuir no processo de ensino

e aprendizagem da matemática com o desenvolvimento de tarefas

investigativas realizadas com o quadrado mágico aditivo relacionando-o com

Progressão Aritmética (P.A.), passando por termos centrais e constantes

mágicas. Neste sentido, primeiramente será realizado um estudo teórico sobre

a evolução histórica dos quadrados mágicos, noções geométricas do quadrado,

seqüências numéricas e de Progressões Aritméticas, em que serão analisados

termos gerais de P.A. e soma de termos sendo realizado com alunos do 1° ano

do ensino médio.

O tema quadrado mágico pode ser uma atividade de investigação que

possui certo grau de dificuldade, desafiadora e instigante, pois faz com que

educando se envolva na atividade tentando, superar os obstáculos e nesse

sentido, favorece a construção do conhecimento matemático de maneira

natural, espontânea e divertida, funcionando como um elemento motivador, que

estimula o aluno a desenvolver o gosto pela aprendizagem matemática.

Nesse sentido recorremos à Ponte (2003) que reafirma que a

investigação matemática:

Na minha perspectiva, “investigar” não é mais do que procurar conhecer, procurar compreender, procurar encontrar soluções para os problemas como nos deparamos. Trata-se de uma capacidade de primeira importância para todos os cidadãos e que deveria permear todo o trabalho da escola, tanto dos professores como dos alunos. (PONTE, 2003, p. 02)

Assim, numa resolução de problemas ou numa realização de

investigações matemáticas, destaca-se em dar ao aluno, a responsabilidade de

descobrir e de justificar as suas descobertas, valorizando sua forma de

pensamento, suas reflexões, conseqüentemente aumentando suas

competências matemáticas.

Ponte (2003) reforça:

Investigar não resulta de se conhecer a aplicar umas tantas técnicas de recolha de dados, sejam questionários ou entrevistas, e de fazer uma análise estatística ou de conteúdo. Pelo contrário, investigar pressupõe sobre tudo uma atitude, uma vontade de perceber, uma capacidade para interrogar, uma disponibilidade para ver as coisas de outro modo e para pôr em causa aquilo que parecia certo. (PONTE, 2003, p.21)

Neste sentido, a prática atual nos leva a questionar qual a finalidade da

investigação matemática? Como podemos reconhecer os benefícios do

processo de aprendizagem da resolução de problemas por seqüências

utilizando o quadrado mágico? Como podemos auxiliar os colegas professores,

os alunos e a escola a tirarem proveito desta prática? Que melhorias podem

propor para nossos colegas no sentido de explorar a investigação matemática

tornando-a uma aliada no processo de ensino e aprendizagem?

A opção de material didático será no formato de Unidade Temática,

onde o tema estudado será abordado na forma teórica e serão apresentados

os encaminhamentos metodológicos de cada atividade a ser realizada na

implementação. O mesmo se destinará para professores da disciplina de

matemática, professores pedagogos e direção escolar.

2. MATERIAL DIDÁTICO

A Unidade Didática será composta de atividades que serão

desenvolvidas e apresentadas em ordem cronológica ao seu desenvolvimento,

a saber:

Tarefa 1. Apresentação da unidade didática para professores, agentes

educacionais, pedagogos e direção do colégio.

Período: Aplicação na semana pedagógica em fevereiro de 2014

Carga horária: 02 horas

Objetivo: Apresentar o projeto de intervenção didática a ser desenvolvida no

colégio no ano de 2014 bem como as orientações sobre sua implementação ao

longo do ano letivo, para que cada profissional tenha visão exata sobre o que

vai ser desenvolvido assim como os alunos que participarão.

Público alvo: Agentes educacionais, professores, pedagogos e direção do

colégio

Material utilizado: Projeto de Intervenção Pedagógica, imagens, fotos, slides e

fotos.

Tarefa 2. Apresentação da unidade didática e questionário individual.

Período: Primeira quinzena de Fevereiro de 2014.


Objetivo: Apresentação do projeto de intervenção didática a ser desenvolvido,

texto com menções parciais sobre a história do quadrado mágico e

questionário para diagnóstico do tema referido relacionando-o com

conhecimento acumulado pelo aluno.

Público alvo: Alunos do 1° ano vespertino.

Material utilizado: Slides sobre informações do Projeto de Intervenção

Pedagógica e questionário a seguir:

QUESTIONARIO PARA ALUNOS DO 1° ANO

Nome:______________________________________ Data:____/_____/2014

1) O texto a seguir tem como objetivo contribuir para o embasamento prático

para auxiliá-lo nas perguntas a seguir:

QUADRADO MÁGICO1

Quadrado mágico é considerado um tema fascinante do ponto de vista

da matemática. Ele permite múltiplas explorações e conexões com diversas

áreas da matemática, desde Decomposição Numérica até Análise

Combinatória.

Os quadrados mágicos são arranjos quadrados de numerais cujas

linhas, colunas e diagonais têm a mesma soma. Um Quadrado Mágico é uma

tabela quadrada, cuja soma dos termos de cada linha, coluna e diagonal é

constante. Esse valor é chamado de constante mágica. Este nome provém de

algumas crenças que acreditam que os quadrados mágicos possuem poderes

especiais. Sua origem ainda é pouco conhecida hoje em dia, porém, os

estudiosos dizem que o lugar mais provável seria a China, há cerca de 3000

anos.

1 Texto adaptado: BARICHELLO; 2008; disponível em:

http://m3.ime.unicamp.br/dl/1IMX3TaowNQ_MDA_ff9ae acessado em: 18/09/2013

http://m3.ime.unicamp.br/dl/1IMX3TaowNQ_MDA_ff9ae_

O quadrado mágico com notação numérica moderna é atribuído ao

imperador e engenheiro Yu, o Grande (2200 a.C.). Segundo a tradição, Yu

estava observando o rio Amarelo, quando surgiu uma tartaruga divina, em cujo

dorso estava o símbolo que hoje é conhecido pelo nome de lo shu2. Assim, os

chineses acreditavam que quem possuísse um quadrado mágico teria sorte e

felicidade para toda a vida. Dessa forma, durante o século XV, os quadrados

mágicos foram se propagando, chegando ao Japão, Oriente Médio e

posteriormente, à Europa. Eles estavam relacionados com alquimia e astrologia

e quando gravados em placas de prata, eram usados como amuleto contra a

peste.

Além de todas essas conotações místicas, os quadrados mágicos

também foram seriamente estudados por matemáticos. O estudo de quadrados

mágicos está longe de ser tedioso, além de ser um assunto de fácil abordagem

e que desperta a curiosidade até mesmo daqueles que não são estudantes de

matemática. Podemos dizer também que mesmo usado como passatempo

acabou se tornando uma parte importante da matemática.

Agora, responda:

I) Você já tinha conhecimento sobre alguma atividade envolvendo quadrado

mágico? Caso sua resposta seja sim, comente:

II) O texto acima comenta algumas aparições envolvendo quadrado mágico,

segundo o texto, qual a origem do quadrado mágico?

III) Segundo o texto o que é um quadrado mágico?

IV) Como foi à propagação dos quadrados mágicos após o século XV?

V) Conceitue com suas palavras o que você entende por seqüências

numéricas:

2) Atividade extraclasse (para casa): Pesquise sobre outros conceitos de

aparições sobre o quadrado mágico durante a história. Essa atividade pode ser

elaborada em grupos de três pessoas e deverá ser apresentada pelos alunos

integrantes de cada grupo, na próxima aula para os colegas.

Tarefa 3. Debate sobre evolução dos conceitos históricos envolvendo

quadrado mágico.

Período: Segunda quinzena de Fevereiro de 2014

2 Segundo: BARICHELLO, Lo significa rio e Shu significa livre.


Objetivo: Apresentações da pesquisa da aula anterior, juntamente com

debates. Leitura do texto: Os fascinantes quadrados mágicos para debates e

atividade sobre o tema, conceituando a historia do quadrado mágico.

Atividade para noção de seqüência aritmética e razão aritmética.


Material utilizado: Texto para debates apresentado em multimídia e dicionário

Aurélio.

OS FASCINANTES QUADRADOS MÁGICOS3

Os quadrados mágicos constituem, desde épocas remotas, um desafio

que fascina a todos. Acredita-seque os chineses foram os primeiros a descobrir

as propriedades dos quadrados mágicos e provavelmente foram também seus

inventores a menos de cinco séculos de nossa era. Eles o chamavam de Lo-

Shu. A lenda conta que o imperador da antiga China, chamado Yu (2800 A. C.),

da dinastia Hsia, estava meditando as margens do Rio Lo quando emergiu uma

tartaruga - considera do um animal sagrado - com estranhas marcas no casco.

Figura 1. A tartaruga sagrada e o Lo Shu.

Fonte: artigo: OS FASCINANTES QUADRADO MÁGICOS (p.01)

Yu percebeu que as marcas na forma de nós, feitos num tipo de

barbante, podiam ser transformadas em números e que todos eles somavam

quinze em todas as direções, como se fossem algarismos mágicos como

mostra a tabela abaixo.

3 Texto, figura e tabelas adaptado: SANTINHO; MARTINHAGO; 2006; Os Fascinantes

Quadrados Mágicos. Disponível em http://www.mat.ufg.br/bienal/2006/mini/miriam.rosa.pdf; acessado em: 18/09/2013

http://www.mat.ufg.br/bienal/2006/mini/miriam.rosa.pdf

Tabela 1. Quadrado mágico Lo-Shu


Foi atribuído ao Lo-Shu um caráter místico. Acreditava-se que ele era o

símbolo que reunia os princípios básicos que formavam o universo:

• os números pares simbolizavam o princípio feminino, o Yin;

• os números ímpares simbolizavam o princípio masculino, o Yang;

• o número 5 representava a Terra e ao seu redor estão distribuídos os

quatro elementos principais, a água 1 e 6, o fogo 2 e 7, a madeira 3 e 8, os

metais 4 e 9.

Tabela 2. Representação mística do Lo-Shu.


No século XI foi encontrado um quadrado mágico de ordem 3 pintado no

assoalho em um dos templos de Khajuraho na Índia. Este quadrado era

semelhante ao quadrado de Lo-Shu adicionando-se 19 a cada valor.

Tabela 3. Quadrado mágico derivado de Lo-Shu.


Os quadrados mágicos chegaram ao ocidente através dos árabes, que

os conheceram por influência da cultura hindu. O físico e teologista alemão

Heinrich Cornelius Agrippa (1486-1535) construiu sete quadrados mágicos de

ordens 3 a 9 e lhes atribuiu um significado astronômico. Estes quadrados

representavam simbolicamente os sete planetas conhecidos por ele incluindo o

Sol e a Lua (Mercúrio, Vênus, Marte, Júpiter, Saturno, o Sol e a Lua). Na Idade

Média os quadrados mágicos eram gravados em lâminas de prata como

amuleto da peste negra. Os quadrados mágicos têm grande interesse em

alguns meios. Na China e na Índia, há quem use tais quadrados mágicos

gravados em metal ou pedra, como amuletos ou talismãs.

1) ATIVIDADES:

I) Agora, após as apresentações dos colegas e o debate do texto, comente

como foi à história do surgimento dos quadrados mágicos:

II) A tabela 1 é composta por nove números que estão dispostos numa

seqüência aritmética, sendo: (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9). Nessa seqüência a

diferença entre o primeiro termo e segundo termo é 1, entre o segundo termo e

o terceiro também é 1. Essa coincidência acontece com todos os termos em

seqüência. Essa diferença entre um termo e outro é conhecida

matematicamente como razão aritmética.

Agora análise a tabela 3 e responda, quantos números estão ao todo na

tabela?

III) Qual é a seqüência aritmética disposta na tabela? Obs.: Coloque os

números em ordem crescente.

IV) Você consegue identificar a razão aritmética da seqüência acima? Se sim,

responda qual é essa razão.

V) As seqüências da tabela 1 e tabela 3 são as mesmas?

VI) As razões da tabela 1 e tabela 3 são as mesmas?

2) Atividade extraclasse (para casa): Pesquise sobre Quadrados: Essa

atividade será elaborada individualmente em uma via para próxima aula.

Tarefa 4. Atividade de conceito vértices, linha vertical, horizontal e

diagonais em quadrados em seguida utilizar o quadrado mágico

fundamental.

Período: Primeira quinzena de Março de 2014


Objetivo: Leituras referente à pesquisa da aula anterior debatendo

coletivamente sobre as leituras criando e/ou fixando os conceitos sobre a figura

do quadrado definindo vértices, reta vertical/horizontal e diagonais. Após,

elaborar um quadrado utilizando os conceitos adquiridos.


Material utilizado: Texto para debates apresentado em multimídia e dicionário

Aurélio.

Nome:______________________________________ Data:____/_____/2014

1) Faça sua análise da figura a seguir:

Figura 2: QUADRADO

Fonte: Dia a dia educação PR.

1) ATIVIDADE: Após análise, juntamente com seu professor e colegas

conceitue:

I) O que é vértice? Na figura anterior, quantos vértices ela possui e quais letras

representam os vértices?

II) Diferencie reta vertical e horizontal. Na figura acima, quais segmentos

representam retas vertical? Quais segmentos representam reta vertical?

III) O que é diagonal? Quantas diagonais têm a figura acima? Quais são elas?

IV) Volte na figura e trace uma linha pontilhada unindo suas diagonais.

V) Agora tente fazer um desenho, a punho de um quadrado com cerca de 9 cm

de lado, em seguida, divida-o igualmente em três partes horizontais e três

colunas verticais. Após responda: Quantos quadradinhos obtiveram-se?

Tarefa 5. Atividade envolvendo quadrado mágico aditivo.

Período: Primeira e segunda quinzena de Março de 2014


Objetivo: Conceituar elemento numérico, quadrado mágico aditivo

fundamental, termo central e constante mágica.


Material utilizado: Material impresso.

COMENTÁRIO INICIAL4

Um Quadrado Mágico é uma tabela quadrada de lado n, cuja soma dos

termos de cada linha, coluna e diagonal (principal e secundária) é constante.

Esse valor é chamado de constante mágica.

O quadrado mágico estudado a seguir é conhecido como quadrado

mágico fundamental. Suas principais características são: 3 quadradinhos cada

lado, formando 9 quadradinhos a ser preenchido com valores de 1 a 9 e

constante mágica 15.

1) ATIVIDADES:

I) Quantos elementos (números) possuem o quadrado mágico fundamental?

II) Quais são os elementos (números)?

III) Complete a figura abaixo de acordo com as orientações contidas nelas:

Figura 3: QUADRADO MÁGICO FUNDAMENTAL

4 Texto adaptado: BARICHELLO (2008), disponível em:

http://www.m3.ime.unicamp.br/dl/1IMX3TaowNQ_MDA_ff9ae Acessado em: 18/09/2013

http://www.m3.ime.unicamp.br/dl/1IMX3TaowNQ_MDA_ff9ae

Fonte: Dia a dia educação PR.

IV) O número ocupante da parte central de um quadrado mágico recebe o

nome de termo central. Qual elemento é o termo central do quadrado mágico

acima?

V) No quadrado mágico acima denominado fundamental o resultado da soma

de cada linha, de cada coluna e de cada diagonal é:___________. Esse

resultado é denominado soma mágica ou constante mágica.

VI) Você consegue perceber uma relação entre a constante mágica e o termo

central? Caso você consiga perceber a relação existente, explique com suas

palavras:

CURIOSIDADE: Você sabia que em um quadrado mágico de ordem 3, se

multiplicarmos o termo central por 3, já temos o resultado da soma mágica.

Funciona, pode testar.

2) ATIVIDADE:


Se observarmos o quadrado mágico a seguir poderemos concluir as

5 Texto adaptado do artigo: KOLODZIEISKI e NASCIMENTO 2011, O Quadrado Mágico: O

Lúdico Contribuindo no Processo Ensino Aprendizagem de Matemática; Disponível em:

http://www.pinhais.pr.gov.br/aprefeitura/secretariaseorgaos/educacao/seminario/uploadAddress/

Comunica%C3%A7%C3%A3o_Oral-Josiane_de_F%C3%A1tima_Kolodzieiski[3346].pdf

acessado em 18/09/2013

http://www.pinhais.pr.gov.br/aprefeitura/secretariaseorgaos/educacao/seminario/uploadAddress/Comunica%C3%A7%C3%A3o_Oral-Josiane_de_F%C3%A1tima_Kolodzieiski%5b3346%5d.pdf


seguintes informações: No centro do quadrado esta um número ímpar, nos

cantos temos números pares. Esse padrão observado se repete em outros

quadrados mágicos Assim:

Se no centro do quadrado colocamos um número ímpar, nos cantos

temos que colocar números pares e depois os espaços que sobram

completamos com números ímpares;

No centro o número que ocupa a posição central da seqüência em

ordem crescente;

Se no centro foi utilizado um número par, nos cantos vamos colocar

ímpares;

Pode conferir que funciona.

Figura 4

Fonte: artigo: KOLODZIEISKI e NASCIMENTO 2011: O Quadrado Mágico: O Lúdico

Contribuindo no Processo Ensino Aprendizagem de Matemática. (p.07)

I) Responda: Se utilizarmos uma seqüência com os números de 4 a 12, ou

seja: 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12. A soma mágica é:__________, Logo em todas

as linhas, colunas e diagonais a soma deve ser igual a __________.

II) Dado um conjunto de nove números que preenchem um quadrado mágico,

como saber qual será a constante mágica? Responda essa questão sem

resolver o quadrado mágico.

3) Atividade extraclasse (para casa): Essa atividade vai ser recolhida no inicio

da próxima aula.

O que os quatro conjuntos de números dados têm em comum:

(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9),

(1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17),

(2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18)

e (2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e 10)?

Tarefa 6. Atividade envolvendo quadrado mágico aditivo.

Período: Segunda quinzena de Março de 2014


Objetivo: Debater o conceito de elemento em um conjunto numérico utilizando

a tarefa de casa, conceituar quadrado mágico aditivo, atividade envolvendo

termo central e constante mágica.


Material utilizado: Material impresso.

1) ATIVIDADE:

Debates, comentários e argumentações sobre a tarefa de casa da aula

anterior.

Resposta correta: Todos os conjuntos de números possuem 9 elementos.

2) ATIVIDADE:


Em qualquer quadrado mágico, somando-se todos os elementos de

cada linha vertical, assim como, todos os elementos de cada coluna vertical e

suas diagonais o valor deve ser o mesmo.

I) Preencham o Quadrado Mágico abaixo com os números: (2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,

9, 10)

II) Após finalizar a essa atividade, resolva: Montem dois quadrados mágicos

6 Texto adaptado do artigo: BARICHELLO; 2006; disponível em:



com os seguintes números: (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17) e (2, 4, 6, 8, 10, 12, 4,

16, 18)

3) PENSE E RESPONDA:

I) Qual elemento é o termo central do primeiro quadrado mágico acima?

II) Esse termo é o mesmo encontrado nos outros dois? Por quê?

III) No primeiro quadrado mágico o resultado da soma de cada linha, de cada

coluna e de cada diagonal é:___________. Esse resultado é denominado

constante mágica.

IV) Essa constante é a mesmo encontrado nos outros dois? Por quê?

4) Atividade extraclasse (para casa): Pesquise sobre Seqüências Numéricas e

Progressão Aritmética PA: (Razão e termo geral). Essa atividade será

elaborada individualmente em uma via para próxima aula.

Tarefa 7. Definição de seqüências numéricas relacionando com

progressão aritmética.

Período: Primeira quinzena de Abril de 2014


Objetivo: Conceituar seqüências numéricas através de debates e discussões

referente à pesquisa solicitada na aula anterior, recurso de áudio e vídeo e

apresentação de slides, conceituar também o significado de Razão em uma PA.


Material utilizado: Material pesquisado, material impresso, recursos de áudio e

vídeo.

1) ATIVIDADE

I) Inicialmente faremos debate sobre o tema proposto na aula anterior,

conceituando através dos relatos dos alunos a matéria em evidencia.

II) Áudio Pensando em Progressão Aritmética - Parte 1 e Parte2,

encontrados em

http://www.educadores.diaadia.pr.gov.br/modules/debaser/singlefile.php?id=195

94 acessado em 10/10/13 e


95 acessado em 10/10/13, respectivamente para contribuir o conceito sobre o

tema.

III) Apresentação conceituando seqüências conforme abaixo:

Seqüências numéricas:





É uma seqüência composta por números que estão dispostos em uma

determinada ordem pré estabelecida.

Agora vejamos alguns exemplos de seqüências numéricas:

(2, 4, 6, 8, 10, 12,...) Essa é a seqüência dos números pares positivos;

(0, 1, 2, 3, 4, 5,...) Essa é a seqüência dos números naturais;

(1, 4, 9, 16, 25, 36,...) Essa é a seqüência dos quadrados perfeitos.

Agora vejamos a forma de representação que vale para qualquer

seqüência:

(a1, a2, a3, a4,..., an) Essa é a representação de uma seqüência finita;

(a1, a2, a3, a4,..., an,...) Essa é a representação de uma seqüência infinita,

onde:

a1 significa primeiro termo;

a2 significa segundo termo;

a3 significa terceiro termo;

a4 significa quarto termo e assim sucessivamente para os próximos elementos;

an significa enésimo termo.

Agora, que exemplos de outras seqüências você conhece: Quais são elas?

IV) Existem seqüências numéricas que são denominadas progressão

aritmética (PA) as seqüências em que cada termo, a partir do segundo, é

obtido adicionando-se uma constante ao termo anterior, chamada razão (r)

conforme figura a seguir. Observe:

Observe as seqüências numéricas abaixo:

(2, 4, 6, 8, 10, 12,...) r=2. Razão positiva e P.A.crescente.

( -7, -3, 1, 5, 9, 13,...) r=4. Razão positiva e P.A.crescente.

(90, 80, 70, 60, 50, 40,...) r=-10. Razão negativa e P.A. decrescente.

(2, -3, -8, -13, -18, -23,...) r=-5. Razão negativa e P.A. decrescente.

( 8, 8, 8, 8, 8, 8,...) r=0. Razão nula e P.A. constante.

Note que as seqüências acima obedecem a uma lógica: Cada termo, após o

primeiro, é igual ao anterior somado sempre um mesmo número. Esse número

é chamado de razão (r).

Agora, tente relacionar cada um dos elementos das seqüências acima com os

termos numéricos de uma P.A.

Tarefa 8. . Atividade com aula expositiva sobre formula do termo geral e

soma dos termos de uma P.A.

Período: Segunda quinzena de Abril de 2014


Objetivo: Criar conceitos utilizando de progressão aritmética: Seqüências,

razão formula do termo geral debatendo sobre o assunto em evidencia e utilizar

atividades para a memorização da formula do termo geral e soma dos termos

de uma P.A.


Material utilizado: Aula expositiva, Recursos de áudio e vídeo, slides, material

impresso.

1) ATIVIDADE

I) Agora, faremos uma aula teórica estudando sobre P.A.

Definição

Consideremos a seqüência ( 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16). Observamos que, a

partir do segundo termo, a diferença entre qualquer termo e seu

antecessor é sempre a mesma: 4 – 2 = 6 – 4 = 10 – 8 = 14 – 12 = 16 – 14 =2.

Seqüências como esta são denominadas progressões aritméticas (PA).

A diferença constante é chamada de razão da progressão e costuma

ser representada por r. Na PA dada temos r = 2. Podemos, então, dizer que:

São exemplos de PA:

• (5, 10, 15, 20, 25, 30) é uma PA de razãor= 5

• (12, 9, 6, 3, 0, -3) é uma PA derazão r = -3

• (2, 2, 2, 2, 2,...) é uma PA derazão r = 0

Notação

PA( a1, a2, a3, a4, ...., an) Onde:

a1= primeiro termo

an = último termo, termo geral ou en-ésimo termo

n = número de termos (se for uma PA finita)

r = razão

Exemplo: PA (5, 9, 13, 17, 21, 25)

a1 = 5

an = a6 = 25

n = 6

r = 4

Progressão aritmética é a seqüência numérica onde, a partir do

primeiro termo, todos são obtidos somando uma constante.

Notação

PA ( a1, a2, a3, a4, ...., an) Onde:

a1= primeiro termo

an= último termo, termo geral ou en-ésimo termo

n = número de termos( se for uma PA finita)

r = razão

Exemplo: PA (5, 9, 13, 17, 21, 25)

a1 = 5

an = a6 = 25

n = 6

r = 4

Fórmula do Termo Geral

An = a1 + ( n – 1 ) r

Exercícios propostos:

1. Determine o quarto termo da PA(3, 9, 15,...).

2. Determine o oitavo termo da PA na quala3 = 8 er = -3.

3. Interpole 3 meios aritméticos entre 2 e18, onde devemos formar a P.A. (2,

___, ___, ___, 18).

4. Dada uma representação de P.A. de nove termos sendo: a1, a2, a3, a4, a5,

a6, a7, a8, a9, construa um quadrado mágico.

Soma dos termos de uma PA

Consideremos a seqüência (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20). Trata-se

de uma P.A. de razão 2. Suponhamos que se queira calcular a soma dos

termos dessa seqüência, isto é, a soma dos 10 termos da PA(2, 4, 6, 8,..., 18,

20). Poderíamos obter esta soma manualmente, ou seja,

2+4+6+8+10+12+14+16+18+20=110. Mas se tivéssemos de somar 100, 200,

500 ou 1000 termos? Manualmente seria muito demorado. Por isso

precisamos de um modo mais prático para somar os termos de uma PA. Na PA

(2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20) observe: a1+a10 = 2 + 20 = 22

a2+a9 = 4 + 18 = 22

a3+a8 = 6 + 16 = 22

a4+a7 =8 + 14 = 22

a5+a6= 10 + 12 = 22

Note, que a soma dos termos eqüidistantes é constante (sempre 22) e

apareceu exatamente 5 vezes (metade do número de termos da PA, porque

somamos os termos dois a dois). Logo devemos ao invés de somarmos termo

a termo, fazermos apenas 5 x 22 = 110, e assim, determinamos S10 = 110

(soma dos 10 termos).

E agora se fosse uma progressão de 100 termos como a PA (1, 2, 3,

4,..., 100), Como faríamos? Procederemos do mesmo modo. A soma do a1

com a100 vale 101 e esta soma vai se repetir 50 vezes (metade de100),

portanto S100 = 101x50 = 5050.

Então para calcular a soma dos n termos de uma PA somamos o

primeiro com o último termo e esta soma irá se repetir n/2 vezes.

Assim podemos escrever a seguinte fórmula:

Sn = (a1 + an) n/2, Onde:

Sn= soma

a1= primeiro termo

an= último termo, termo geral ou en-ésimo termo

n = número de termos( sefor uma PA finita)

Exercícios

1. Um ciclista percorre20 km na primeira hora; 17 km na segunda hora,

e assim por diante, em progressão aritmética. Quantos quilômetros

percorrerá em 5 horas?

Para próxima aula: Trazer cartolina, isopor, cola tesoura, régua, tinta, pincel,

canetão.

Tarefa 9. Atividade estabelecendo relação entre o quadrado mágico com

os termos de uma PA.

Período: primeira quinzena de maio de 2014


Objetivo: Criar conceitos da relação existente entre quadrados mágicos e os

elementos de progressão aritmética, através da confecção de quadrados

mágicos utilizando seqüências em forma de PA. Os alunos devem construir

cartazes de quadrados mágicos para fixar no mural da escola com PA

resolvidas por eles.


Material utilizado: Aula expositiva, cartolina, isopor, cola, tesoura, régua, tinta,

pincel, canetão e material impresso.


Toda P.A. de nove termos preenche um quadrado mágico de ordem 3.

Nem todo quadrado mágico de ordem 3 é uma Progressão Aritmética.

1) ATIVIDADE:

I) Dados os elementos abaixo, forme PA com 9 termos em cada alternativa,

utilizando, se necessário, a formula do termo geral: An = a1 + ( n – 1 ) r

a) Primeiro termo (a1) = 3 e razão (r) = 2.

b) Primeiro termo (a1) = 2 e razão (r) = 4.

c) Primeiro termo (a1) = 1 e razão (r) = 3.

d) Primeiro termo (a1) = 5 e razão (r) = 2.

e) Primeiro termo (a1) = 2 e razão (r) = 2.

f) Primeiro termo (a1) = 8 e razão (r) = 2.

II) Agora, em duplas, escolha uma das sequencias acima e em duplas, vamos

confeccionar um cartaz e/ou painel relacionando a sequencia de PA escolhida

com um quadrado magico.

Tarefa 10. Avaliação

Período: primeira quinzena de maio de 2014


Objetivo: Verificar se os conceitos da relação existente entre quadrados

mágicos e os elementos de progressão aritmética foram adquiridos. Verificar

como podemos reconhecer os benefícios do processo de aprendizagem da

resolução de problemas por seqüências utilizando o quadrado mágico? Qual a

avaliação dos alunos referente às tarefas propostas?


Material utilizado: Material impresso prova dissertativa com questões

resolutivas e auto avaliação.

Nome:______________________________________ Data:____/_____/2014

1) Durante as aulas lemos alguns textos que comenta algumas aparições

envolvendo quadrado mágico, segundo os textos, os debates em sala, qual a

origem do quadrado mágico?

7 Texto adaptado do artigo: BARICHELLO, disponível em:



2) Como você descreve um quadrado mágico?

3) Antes das tarefas das aulas anteriores, você sabia da relação existente entre

o quadrado mágico e as progressões aritméticas?

4) E agora, após as tarefas você consegue definir essa relação? Caso

responda sim, Descreva essa relação:

5) Dado o conjunto de números (5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26 e 29), respondam:

a) É possível utilizá-lo para preencher um Quadrado Mágico?

b) Se sim, qual será o termo central?

6) Dada à seqüência de números (5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40 e 45), responda:

a) É possível utilizá-lo para preencher um Quadrado Mágico?

b) Se sim, qual é a constante mágica?

7) Dados os elementos de uma PA de 9 termos, sendo A1 = 1 e r = 3 e se

necessário, utilizando a formula do termo geral: An = a1 + ( n – 1 ) r, complete o

quadrado abaixo:

3. ORIENTAÇÕES METODOLOGICAS

A presente Unidade Didática esta se referindo ao Projeto de Intervenção

Pedagógica que tem como objetivo investigar as contribuições no processo de

ensino e aprendizagem dos conteúdos matemáticos dos alunos do 1º ano do

ensino médio durante o desenvolvimento de conjunto de tarefas investigativas

realizadas com quadrado mágico.

A Unidade Didática foi elaborada visando assumir um caráter investigativo

seguindo as concepções de Ponte (2003, p.12) que enfatiza uma intenção

pretendendo que os alunos desenvolvam suas competências matemáticas e

assumam uma visão ampla desta ciência, então as tarefas de exploração e

investigação têm de ter um papel importante na sala de aula.

Segundo Paraná (2008) para que a realização de atividades de

investigação constitua realmente um momento de aprendizagem para os

alunos, é necessário que o professor tenha bastante empenho na preparação

dessas aulas.

Neste sentido, a presente pesquisa tem caráter qualitativo de acordo

com Esteban (2010)

A pesquisa qualitativa é uma atividade sistemática orientada à compreensão em profundidade de fenômenos educativos e sociais, à transformações de práticas e cenários socioeducativos, à tomada de decisões e também ao descobrimento e desenvolvimento de um corpo organizado de conhecimento (ESTEBAN, 2010, p.127).

Para coleta de dados será realizado observação durante a

implementação da Unidade didática bem como, análise nas soluções das

atividades.

4. CONSIDERAÇÕES FINAIS

A realização dessa unidade didática tem caráter investigativo, e servirá

como experiência fundamental para a aprendizagem matemática do aluno

como para o desenvolvimento profissional do professor, pois constitui um

desafio extremamente aliciante, extremamente importante e muito para toda a

comunidade de educação matemática.

5. REFERENCIAS

BARICHELLO, Leonardo; 2008; O experimento, quadrado mágico aditivo,

números e funções; Unicamp, disponível em:

http://m3.ime.unicamp.br/dl/1IMX3TaowNQ_MDA_ff9ae acessado em

18/09/2013.

Figura 1; A tartaruga sagrada e o Lo Shu; O experimento, quadrado mágico

aditivo; 2008; números e funções; Unicamp disponível em:

http://m3.ime.unicamp.br/dl/1IMX3TaowNQ_MDA_ff9ae acessado em

18/09/2013.

Figura 2; Quadrado; Disponível em:

http://www.matematica.seed.pr.gov.br/modules/galeria/uploads/3/689quadrado.j

pg acessado em 03/10/13.

Figura 3; Quadrado mágico fundamental; Disponível em:

http://www.matematica.seed.pr.gov.br/modules/galeria/uploads/7/691quadrado

magico3x3.jpg acessado em 03/10/13.



http://www.matematica.seed.pr.gov.br/modules/galeria/uploads/3/689quadrado.jpg

http://www.matematica.seed.pr.gov.br/modules/galeria/uploads/3/689quadrado.jpg

http://www.matematica.seed.pr.gov.br/modules/galeria/uploads/7/691quadradomagico3x3.jpg

http://www.matematica.seed.pr.gov.br/modules/galeria/uploads/7/691quadradomagico3x3.jpg

Figura 4; O Quadrado Mágico: O Lúdico Contribuindo no Processo Ensino

Aprendizagem de Matemática; 2011; KOLODZIEISKI, Josiane de Fátima e

NASCIMENTO, Maristela do; 2011; disponível em:

http://www.pinhais.pr.gov.br/aprefeitura/secretariaseorgaos/educacao/seminario

/uploadAddress/Comunica%C3%A7%C3%A3o_Oral-

Josiane_de_F%C3%A1tima_Kolodzieiski[3346].pdf acessado em 18/09/2013.

KOLODZIEISKI, Josiane de Fátima e NASCIMENTO, Maristela do; 2011; O

Quadrado Mágico: O Lúdico Contribuindo no Processo Ensino

Aprendizagem de Matemática; disponível em:

http://www.pinhais.pr.gov.br/aprefeitura/secretariaseorgaos/educacao/seminario

/uploadAddress/Comunica%C3%A7%C3%A3o_Oral-

Josiane_de_F%C3%A1tima_Kolodzieiski[3346].pdf acessado em 18/09/2013.

ESTEBAN, M. S. Paz. Pesquisa qualitativa em educação. Porto Alegre:

Artmed, 2010.

PONTE, João Pedro Mendes da; Investigar, ensinar e aprender; Faculdade

de Ciências, Universidade de Lisboa, 2003.

SANTINHO, Miriam Sampieri e MACHADO Rosa Maria; OS FASCINANTES

QUADRADOS MÁGICOS; Instituto de Matemática, Estatística e Computação

Científica UNICAMP - LEM - IMECC/Cotil-LEM, 2006.

SEED, Diretrizes Curriculares Estaduais de Matemática; Curitiba; Paraná;

2008.

SEED-PR. Áudio; Pensando em Progressão Aritmética - Parte 1, disponível

em:


94 acessado em 10/10/13.

SEED-PR. Áudio; Pensando em Progressão Aritmética - Parte 2, disponível

em:


95 acessado em 10/10/13.











os desafios da escola pÚblica paranaense … · posteriormente, à europa. eles estavam...

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