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Versão On-line ISBN 978-85-8015-075-9Cadernos PDE
OS DESAFIOS DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSENA PERSPECTIVA DO PROFESSOR PDE
Produções Didático-Pedagógicas
1
FICHA DE IDENTIFICAÇÃO
Título: Estratégias de Ação para o Ensino e a Aprendizagem de Equações do
Segundo Grau no 9º Ano através de Resolução de Problemas.
Autor Lourdes Tereza Rech de Marins
Disciplina/Área (ingresso
no PDE)
Matemática
Escola de Implementação
do Projeto e sua
localização
Colégio Estadual Olinda Truffa de Carvalho, Rua
Três Barras, 741
Município da escola Cascavel
Núcleo Regional de
Educação
Cascavel
Professor Orientador Profº. Dr. Rogério Luis Rizzi
Instituição de Ensino
Superior
Unioeste
Resumo A presente produção didática tem como questão
central o Ensino e a Aprendizagem da Matemática
através da Resolução de Problemas. Mais
especificamente as “Estratégias de Ação para o
Ensino e Aprendizagem de Equações do Segundo
Grau no 9º Ano através de Resolução de
Problemas”. Objetiva elaborar e organizar material
didático consistente com as fundamentações teórica
e metodológica discutida no Projeto, relacionando-
as com as estratégias de ação para sua efetivação.
Nesta Unidade Didática serão detalhados os
aspectos metodológicos para Resolução de
Problemas conforme propostos pelo Grupo de
Trabalho e Estudos sobre Resolução de Problemas
(GTEPR) da Unesp e as Estratégias de Ação
enfocando aspectos da intervenção pedagógica,
especialmente algumas questões históricas, alguns
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proeminentes métodos para resolução de equações
do segundo grau e problemas geradores, bem com
propostas de solução. Destaca-se que as
orientações do GTEPR são rediscutidas visando a
reelaboração de problemas geradores considerando
a realidade da escola de atuação.
Palavras-chave Metodologia de Resolução de Problemas;
Situações-problemas; Equações do segundo grau.
Formato do Material
Didático
Unidade Didática
Público Alvo Alunos do 9º Ano do Ensino Fundamental
3
SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO – SUED
SUPERINTENDENCIA DA EDUCAÇÃO – SUED
DIRETORIA DE POLÍTICAS E PROGRAMAS EDUCACIONAIS – DPPE
PROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL – PDE
PROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL – PDE
UNIDADE DIDÁTICA
LOURDES TEREZA RECH DE MARINS
CASCAVEL
2013
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LOURDES TEREZA RECH DE MARINS
ESTRATÉGIAS DE AÇÃO PARA O ENSINO E APRENDIZAGEM DE EQUAÇÕES
DO SEGUNDO GRAU NO 9º ANO ATRAVÉS DE RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS
Produção Didático-Pedagógica apresentada
como requisito parcial para a certificação do
Programa de Desenvolvimento Educacional –
PDE 2013/2014, Secretaria de Educação –
SEED em parceria com a Universidade
Estadual do Oeste do Paraná – UNIOESTE.
Orientador: Rogério Luis Rizzi
CASCAVEL
2013
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SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO – SEED
SUPERINTENDENCIA DA EDUCAÇÃO – SUED
DIRETORIA DE POLÍTICAS E PROGRAMAS EDUCACIONAIS – DPPE
PROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL – PDE
1. DADOS DE IDENTIFICAÇÃO
1.1 Professores PDE: Lourdes Tereza Rech de Marins
1.2 Áreas do PDE: Matemática
1.3 NRE: Cascavel
1.4 Professor Orientador IES: Rogério Luis Rizzi
1.5 IES Vinculada: UNIOESTE – Universidade Estadual do Oeste do Paraná
1.6 Escola de Implementação: Colégio Estadual Olinda Truffa de Carvalho – EFM
1.7 Público Objeto de Intervenção: Alunos do 9º Ano do Ensino Fundamental
2. INTRODUÇÃO
O Programa de Desenvolvimento Educacional (PDE) é um conjunto de ações
de formação continuada para professores do Ensino Básico da Rede Estadual
Paranaense, que oportuniza a eles um período de estudos sob orientação de
docentes do Ensino Público Superior Paranaense. Objetiva o aperfeiçoamento das
práticas pedagógicas do professor PDE levando-o a refletir sobre sua atuação como
docente no cotidiano escolar.
A Unidade Didática consiste na produção de material didático pelo professor
PDE visando registrar os estudos e as reflexões realizadas para materializar os
objetivos explicitados no Projeto PDE, norteando o trabalho do educador quando da
implementação do Projeto de intervenção pedagógica na escola.
Essa etapa do Programa é relevante aos objetivos do Projeto PDE, pois as
concepções teóricas e metodológicas discutidas na produção didático-pedagógica
toma um formato prático a ser implementada. Ou seja, a ação impregnada das
reflexões teóricas é materializada através do planejamento e organização de
estratégias de ações. O professor PDE precisa ter clareza do que pretende alcançar
e como vai realizar seus trabalhos, de modo a viabilizar a implementação do seu
Projeto no seu contexto e realidade escolar.
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A presente produção didática tem como questão central o Ensino e a
Aprendizagem da Matemática através da Resolução de Problemas. Mais
especificamente as “Estratégias de Ação para o Ensino e Aprendizagem de
Equações do Segundo Grau no 9º Ano através de Resolução de Problemas”.
Objetiva elaborar e organizar material didático consistente com as fundamentações
teórica e metodológica discutida no Projeto, relacionando-as com as estratégias de
ação para sua efetivação.
Nesta Unidade Didática serão detalhados os aspectos metodológicos para
Resolução de Problemas conforme propostos pelo Grupo de Trabalho e Estudos
sobre Resolução de Problemas (GTERP) da Unesp e as Estratégias de Ação
enfocando aspectos da intervenção pedagógica, especialmente algumas questões
históricas, alguns proeminentes métodos para resolução de equações do segundo
grau e problemas geradores, bem com propostas de solução. Destaca-se que as
orientações do GTERP são rediscutidas visando a reelaboração de problemas
geradores considerando a realidade da escola de atuação.
A essas questões acrescenta-se que o conhecimento matemático tem caráter
integrador e interdisciplinar aos diversos setores e áreas da Sociedade, fazendo-se
necessário que o ensino da Matemática promova uma educação pela compreensão
e consecução de competências matemáticas que promovam o desenvolvimento
intelectual dos alunos, a fim de inseri-los social e economicamente na Sociedade.
Essa missão educacional é um desafio, pois é empiricamente constatado na
prática pedagógica na educação básica que os alunos apresentam acentuadas
dificuldades em trabalharem conteúdos matemáticos e têm grande dependência das
atuações e práticas do professor. Ainda, nota-se a falta de interesse dos alunos pelo
ensino regular, que é visto como algo distante de suas necessidades e interesses.
Assim, o sucesso da aprendizagem do educando depende inicialmente da
disposição e motivação dele para aprender. E se esse for o caso o educando
aprenderá um conteúdo se a ele for possível atribuir-lhe significado que deve ser
construído quando da interação entre o saber escolar e os outros que ele traz para a
escola. È imperioso, portanto, para mitigação ou superação dos obstáculos ou
dificuldades identificadas que se promova um ensino pautado na relação entre os
conteúdos matemáticos, seus variados contextos e as diversas idéias matemáticas
neles implícitas (ONUCHIC, 1999).
É, pois, relevante para a metodologia de ensino deste trabalho, conhecer as
7
questões centrais da teoria que embasa a aprendizagem. Este trabalho é regulado
nesse aspecto pela Teoria de Aprendizagem Significativa, proposta por proposta por
David Ausubel (1919–2008). Um conceito central dessa Teoria é que a
aprendizagem ocorre quando uma nova informação se ancora a conceitos já
existentes na estrutura cognitiva. Ou seja, a aprendizagem passa a ser Significativa
quando da interação entre um conteúdo matemático ensinado e um já aprendido.
É possível, portanto, estabelecer uma relação entre a Metodologia de
Resolução de Problemas e a Teoria de Aprendizagem Significativa, visto que se
pode aproveitar dos conhecimentos que sejam potencialmente significativos aos
educandos, para realizar pertinentes atividades pedagógicas.
3. ASPECTOS METODOLOGICOS: RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS
Com o desenvolvimento cientifico e tecnológico verifica-se uma crescente
necessidade de ser matematicamente competente para entender e ser capaz de
aplicar os conhecimentos matemáticos as diversas áreas da atividade humana. Tais
conhecimentos constituem-se numa expressiva herança cultural da humanidade.
Ser matematicamente competente envolve, pois, usar de forma integrada um
conjunto de capacidades e de conhecimentos relativos à Matemática. Assim, um
importante objetivo do educador matemático é desenvolver as competências em
Matemática do educando, que inclui dominar linguagens, compreender fenômenos,
enfrentar situações-problema e construir argumentações.
No tocante ao ensino através da Metodologia de Resolução de Problemas,
espera-se que ela provoque mudanças nas atitudes e ações dos educandos, visto
que no ensino pautado nessa concepção a situação-problema é o ponto de partida
de cada temática, onde o educador formaliza os conceitos matemáticos construídos
pelos educandos durante o processo de resolução do problema gerador.
Dessa postura pedagógica e metodológica possibilita-se que a aprendizagem
seja Significativa ao educando, pois o ensino parte do concreto, que é problema da
materialidade concreta como exemplo do conceito ou da técnica operatória, para o
abstrato, que é a representação simbólica de uma classe de problemas e técnicas
para operar com os símbolos, Van de Walle (apud ONUCHIC e ALLEVATO, 2004).
Para desenvolver e implementar as atividades relacionadas com a Resolução
de Problemas utiliza-se o encaminhamento proposto pelo GTERP, que elaborou um
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roteiro de atividades, sendo este trabalho consistente com ele. O encaminhamento
consiste das seguintes etapas (ONUCHIC; ALLEVATO, 2011, p. 83-85):
1. Preparação do problema: Selecionar um problema gerador para construção de
um novo conceito, princípio ou procedimento, considerando que esse conteúdo
não tenha sido trabalhado previamente em sala de aula.
2. Leitura individual: De posse do Problema, solicita-se aos alunos que façam à
leitura.
3. Leitura em conjunto: Aos grupos de alunos solicita-se uma nova leitura.
Ocorrendo dificuldade na leitura, eles poderão ser auxiliados pelo professor
levando-os a uma adequada interpretação do Problema.
4. Resolução do problema: Em grupos os alunos buscam resolver o Problema
num trabalho cooperativo e colaborativo. Como os alunos são co-construtores do
novo conceito que se quer trabalhar, o problema gerador é aquele que vai
permear a resolução levando-os ao conteúdo planejado pelo professor.
5. Observar e incentivar: O professor não é mais o transmissor do conhecimento,
pois enquanto nos grupos os alunos buscam resolver o Problema, ele analisa as
ações dos alunos e estimula o trabalho cooperativo através de incentivo na troca
de ideias entre eles. O professor incentiva os alunos para façam uso de seus
conhecimentos prévios e técnicas operatórias já conhecidas para a Resolução do
Problema proposto, estimulando-os a escolher caminhos com base nos recursos
que dispõe. Entretanto, o professor deve entender o aluno em suas dificuldades,
sendo o interventor e questionador. É papel de ele acompanhar e ajudar, quando
necessário, para possibilitar a realização do trabalho.
6. Registro das resoluções na lousa: Os representantes dos grupos fazem o
registro no quadro das Resoluções. Estas podem estar certas, erradas ou feitas
por diferentes processos, mas elas objetivam que todos os alunos analisem e
discutam todas as situações.
7. Plenária: Momento rico à aprendizagem, no qual os alunos, em uma discussão,
verificam as diferentes resoluções registradas, e defendem os seus pontos de
vista e esclarecem as dúvidas. O professor é guia e mediador das discussões,
provendo a participação efetiva de todos os alunos.
8. Busca do consenso: Tendo sanadas as dúvidas e analisadas as soluções
obtidas para o Problema, o professor incentiva todos a chegar um consenso
sobre o resultado correto.
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9. Formalização do conteúdo: Momento denominado de “formalização”, onde o
professor registra na lousa uma apresentação organizada e estruturada em
linguagem matemática, padronizando os conceitos os princípios e procedimentos
construídos, destacando as técnicas operatórias sobre o assunto.
Desse modo, fazendo uso do roteiro de atividades elaborado por Onuchic e
colaboradores, e considerando o que os estudantes trazem consigo para a sala de
aula, e não o ponto em que o professor está é esperado que ocorra um ensino por
compreensão e significativo ao educando por meio de situações de investigação. E
nesta abordagem o ensino e aprendizagem devem ocorrer simultaneamente durante
a construção do conhecimento. A avaliação é parte integrante da metodologia sendo
que também deve ser construída durante a resolução do problema, como parte
indissociável do processo de ensino-aprendizagem-avaliação, reorientando a prática
pedagógica quando necessário (ONUCHIC, 2012).
4. ESTRATÉGIAS DE AÇÃO: ASPECTOS DA INTERVENÇÃO PEDAGÓGICA:
Ao desenvolver esta Unidade Didática buscam-se promover mudanças na
pratica pedagógica em sala de aula fazendo uso de referenciais teóricos e
metodológicos consagrados e já integrantes do patrimônio cultural e cognitivo
humano, considerando-se que os conhecimentos matemáticos são historicamente
construídos através da sua compreensão.
Faz-se para um melhor entendimento desse processo uma síntese de
métodos de técnicas de resolução de equações de segundo grau que foram
desenvolvidos ao longo de várias civilizações até atual forma de apresentação e de
resolução dessas equações.
4.1 Aspectos Históricos e Alguns Proeminentes Personagens
Registros encontrados em papiros indicam a existência de equações há cerca
de 4.000 anos. Entretanto, para chegar até a forma de solução de equações de
segundo grau como conhecida atualmente, houve um longo percurso histórico,
envolvendo várias civilizações, sendo que os primeiros registros sobre equações do
segundo grau foram encontrados em tabletes de barro Sumérios de 2200 a. C.
A escrita dos egípcios era restrita aos escribas. Os documentos mais
conhecidos sobre equações de segundo grau são o Papiro de Ahmes, de cerca de
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1650 a. C. e que contém 85 problemas de Aritmética e Geometria. Outro destaque é
o Papiro de Moscou, de cerca de 1850 a. C. e com 25 problemas de Aritmética e
Geometria, e que contém a descrição de como calcular problemas de equações
lineares e equações quadráticas usando o método de completar quadrados.
A Matemática Grega, apesar de ter uma base fundamentada no conhecimento
matemático egípcio e babilônico, também fez suas contribuições. Tales, proeminente
matemático grego visitou o Egito e a Babilônia trazendo para a Grécia o estudo da
Geometria. Também estabeleceu um conceito que revolucionou o pensamento
matemático – a de que as verdades matemáticas precisam ser demonstradas. A
partir daí começaram a se realizar as demonstrações dos teoremas.
Tales provou que os ângulos da base de um triângulo isósceles são iguais,
que o ângulo inscrito num semicírculo é sempre reto e que qualquer diâmetro divide
o círculo em duas partes iguais, entre outros resultados. Pitágoras, outro matemático
grego, demonstrou o teorema dos triângulos retângulos, em que o quadrado do
comprimento da hipotenusa é igual á soma dos quadrados dos comprimentos dos
catetos. Foi por volta de 300 a. C. que Euclides, autor dos Elementos, com seu vasto
conhecimento de geometria desenvolveu um método de aproximação geométrica
que permitia resolver equações quadráticas. Também fez uma ressalva no conceito
formulado por Tales que nem todas as verdades matemáticas podem ser provadas,
sendo as mais elementares devendo ser admitidas sem demonstração. É o
nascimento do método axiomático.
Muito mais tarde, na Arábia, na cidade de Meca, nasceu Maomé, que criou
um império que agitou o mundo desde a França até a Índia. Após sua morte os
califas que sucedem o profeta iniciam uma guerra santa, conseguindo conquistar
territórios, inclusive a Alexandria, no Egito. Com a queda de Alexandria frente aos
muçulmanos, o califado mandou queimar todos os manuscritos encontrados na
biblioteca, sob o argumento que os livros repetiam os ensinamentos do Corão.
Com a destruição da biblioteca de Alexandria acreditava-se que os árabes
não dariam devida atenção para as ciências, porém os califas al-Mansur, Harum al-
Rachid e al-Mamum reconheceram a importância do saber e das artes, inclusive
traduzindo do grego para o árabe algumas relevantes obras como O Almagesto de
Ptolomeu e Os elementos de Euclides. Além disso, al-Mamum fundou Casa da
Sabedoria que foi um centro cientifico parecido com a Biblioteca de Alexandria, onde
matemáticos trabalhavam. Entre eles estava Mohamed ibn-Musa al-Khowarizmi que
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escreveu o livro Ciência da restauração e da redução ou ciência das equações.
Neste livro al-Khowarizmi descreve a equação de 2º grau, sua solução de forma
retórica e, através de considerações geométricas, o método completar quadrados,
distinto ao utilizado pelos gregos. Al-Khowarizmi admitia a existência de duas raízes,
mas nos cálculos só considerava a raiz positiva.
A matemática hindu à época foi representada por Aryabhata, que foi o
primeiro matemático indiano a dar início na resolução de equações completas do
segundo grau, tendo como aluno Brahmagupta, que escreveu sobre equações
indeterminadas. Após Sridhara e Bhaskara contribuíram para resolução de equações
do segundo grau. É importante ressaltar que a formula geral de resolução dessas
equações recebe, no Brasil, o nome de fórmula de Bhaskara. Porém, o matemático
hindu Sridhara num século anterior a Bhaskara já havia determinado a fórmula.
Bhaskara apresenta seus problemas em linguagem verbal, e se utiliza de
linguagem sincopada – abreviatura de palavras – na resolução de equações. As
incógnitas eram diferenciadas sendo representadas por abreviação de palavras
relacionadas a cores, cujo método já tinha sido empregado por Brahmagupta
estudando os métodos babilônicos para resolver equações do segundo grau.
O processo para a elaboração de uma simbologia algébrica, desvinculada de
significados particulares e adequada ao trabalho com equações, foi extenso. Um dos
maiores destaque nesse sentido foi o matemático francês Françóis Viète (1540-
1603), que em seu livro In atrem analyticam isagoges (1591) deu grande
contribuição para sistematização do uso de letras na teoria das equações. É
importante ainda ressaltar o filósofo francês René Descartes (1596-1650), que
realizou grande contribuição à atual simbologia da Matemática. O quadro 01
sistematiza alguns aspectos históricos relacionados.
Quadro 01: Cronograma dos aspectos históricos e principais personagens de
Equações de 2º Grau.
Babilônicos
(4000 anos)
Papiros indicam que já existia a resolução de equações do
segundo grau.
Egípcios
(1650–1850 a.C.)
Foram descobertos Papiros de Ahmes, 1650 a. C. Com 85
problemas de Aritmética e Geometria. O Papiro de Moscou de
cerca de 1850 a.C. com 25 problemas de Aritmética e
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Geometria que contém a descrição verbal de como calcular
equações do segundo grau.
Gregos
(500–200 a. C.)
Tales instituiu o conceito de que as verdades matemáticas
precisam ser demonstradas. Começaram as demonstrações
com Teorema de Tales, Teorema de Pitágoras. Os “Elementos”
de Euclides é um ponto culminante na história da geometria.
Hindus
(476–1185)
Aryabhata, primeiro matemático indiano a iniciar a resolução de
equações completas do segundo grau, era professor de
Brahmagupta, que escreveu equações indeterminadas, para as
quais usava abreviações ao representar incógnitas e admitia
quantidades negativas. Sridhara determinou a fórmula
resolutiva das equações do segundo grau. Bhaskara contribuiu
para resolução de equações do segundo grau e publicou a
fórmula determinada por Sridhara.
Árabes
(790–850)
Al-khwarizmi escreveu em 825, de modo retórico, a forma
geométrica de “completamento de quadrados”. Admitia existir
duas raízes na solução de equações do segundo grau, porém
só considerava a positiva.
Franceses
(1540–1650)
Françóis Viète contribuiu para sistematização do uso de letras
na teoria das equações. Foi uma abordagem que contribuiu
para afirmar o método algébrico e ainda contribuiu com temas
algébricos tratados na época. René Descartes deu grande
contribuição à atual simbologia da Matemática.
4.2 Os Métodos de Resolução de Sridhara, Al-khowarizmi, Bhaskara e Viète
Dessa breve discussão enfocando alguns relevantes personagens ao
desenvolvimento da resolução das equações do segundo grau, realizadas, pode-se
perceber que diferentes civilizações contribuíram para formulação algébrica da
fórmula resolutiva das equações do segundo grau. Assim sendo, apresenta-se
alguns proeminentes métodos de resolução.
O “método hindu” de resolução de equações do segundo grau é o que está na
obra de Bhaskara, em um se seu livro, Vijaganita. Ele atribui à Sridhara o processo
de obtenção das raízes de uma equação do segundo grau, cujo problema em
análise é apresentado em CARVALHO et al, (2001-2002) como:
13
“Multiplique ambos os lados da equação por um número igual a quatro vezes o [coeficiente do] quadrado, e some a ele um número igual ao quadrado [do coeficiente] da quantidade original desconhecida. [então extraia a raiz] (Smith, s/d, p. 446, apud. CARVALHO, 2001-2002, p. 129)”.
Essa formulação verbal é reinterpretada e reescrita em linguagem algébrica,
numa versão moderna, como:
Dada a equação do segundo grau 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 = 𝑐, multiplica-se ambos
os lados da equação por 4𝑎, obtendo 4𝑎²𝑥² + 4𝑎𝑏𝑥 = 4𝑎𝑐. Adicionando 𝑏² em ambos os lados da igualdade obtém-se 4𝑎²𝑥² +4𝑎𝑏𝑥 + 𝑏² = 4𝑎𝑐 + 𝑏². Fatorando o lado esquerdo da igualdade
obtém-se (2𝑎𝑥 + 𝑏)2 = 4𝑎𝑐 + 𝑏2. Extraindo a raiz quadrada na
igualdade obtém-se 2𝑎𝑥 + 𝑏 = √𝑏2 + 4𝑎𝑐., chegando-se ao lado do
quadrado que foi completado.
Como exposto em CARVALHO et al, (2001-2002) Al-khowarizmi resolvia
equações do segundo grau empregando a associação de valores numéricos com
uma representação geométrica, chamada de método de completar quadrados, que
relaciona os termos das equações com as áreas de quadrados ou de retângulos. O
exemplo 01 esclarece essa abordagem.
Exemplo 01: Encontre a solução para 𝑥² + 10𝑥 = 39, cuja interpretação geométrica
é como na figura 01:
Figura 01: Interpretação do problema verbal.
Solução: Primeiro desenhe um quadrado de lado “𝑥” para representar o termo 𝑥².
Depois represente o termo 10𝑥 por dois retângulos de lado e “𝑥”, como mostra a
figura 01. Desta forma 𝑥² + 10𝑥 é a soma da área do quadrado com as áreas dos
dois retângulos da figura. Como se deseja que 𝑥² + 10𝑥 = 39, então a área da figura
01 deve ser 39. Para obter um quadrado, acrescente à figura 01 um quadrado de
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lado , como ilustra a figura 02.
Figura 02: Interpretação do problema apresentado no exemplo 01.
Como a figura 01 tem área 39, a figura 02 tem área 64 que é igual 39 +
a área do quadrado de lado 5 ou seja 39 + 25. Assim, o lado do quadrado formado tem
medida . Logo, 𝑥 + 5 = 8, portanto, 𝑥 = 3.
Existem diferentes versões para o método de completar quadrados. Outra
versão análoga a desenvolvida por Al-khowarizmi é apresentada no exemplo 02.
Exemplo 02: Encontre a solução para 𝑥² + 8𝑥 = 33, cuja interpretação geométrica é
como na figura 03.
Figura 03: Interpretação do problema apresentado no exemplo 02.
Solução: Na figura 03 tem-se que os comprimentos dos lados da figura são tais que
AB = DC = x e que 𝐴𝐻 = 𝐶𝐹 = 4. Conseqüentemente a área do quadrado
ADCB, A q, é determinada por 𝐴𝑞 = 𝑥² e a área do retângulo 𝐻𝐾𝐵𝐴, 𝐴𝑟1, é
determinada por Ar1 = 4x . E a área do retângulo 𝐵𝐺𝐹𝐶, 𝐴𝑟2, também é 𝐴𝑟2 = 4𝑥. A
soma das áreas do quadrado e dos retângulos, 𝐴𝑡, é 𝐴𝑡 = 𝐴𝑞 +𝐴𝑟1 +𝐴𝑟2, isto é,
𝐴𝑡 = 𝑥² + 4𝑥 + 4𝑥 = 𝑥² + 8𝑥. Completa-se o quadrado 𝐻𝐸𝐹𝐷 com o quadrado 𝐾𝐸𝐺𝐵,
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cuja área é dada por 𝐴𝑐𝑞 = 16, de modo que a área do quadrado 𝐻𝐸𝐹𝐷 (𝑥 + 4)² é
determinada pela soma das áreas 𝐴𝑡 = 𝑛² + 𝑥𝑛 = 33 com 𝐴𝑐𝑞 = 16. Ou seja,
(x + 4)² = x² + 8x + 16, onde, 𝑥² + 8𝑥 = 33. Então x² + 8x + 16� = 33 + 16 = 49,
obtendo o resultado de 𝑥 = 3.
É possível notar nos exemplos 01 e 02 que os resultados apresentados para
as incógnitas, 𝑥, somente consideraram os valores positivos, visto que Al-
khowarizmi, admitia a existência das duas raízes na resolução de equações de
segundo grau, mas somente considerava nos cálculos a raiz com valor positivo.
O matemático Al-khowarizmi resolvia equações quadráticas no século IX, com
base na geometria. Entretanto, foi mais tarde que Bhaskara publicou no século XII o
método no qual demonstra algebricamente como completar quadrados e isolar a
incógnita. Através da simbologia algébrica moderna e considerando-se a raiz
negativa, faz-se uma demonstração da solução explícita da equação do segundo
grau. O quadro 02 apresenta o método de Bhaskara passo-a-passo.
Quadro 02: Roteiro da solução explícita da equação do segundo grau,
segundo o método de Bhaskara.
1. Considere a equação do segundo grau com uma incógnita na forma 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 +
𝑐 = 0, com (𝑎, 𝑏, 𝑐 𝑎 0)
2. Subtraindo 𝑐 nos dois lados da equação, e multiplicando a equação por 4𝑎,
tem-se de 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 = −𝑐, que 4𝑎²𝑥² + 4𝑎𝑏𝑥 = −4𝑎𝑐.
3. Adicionando b² em ambos os lados desta equação obtêm-se 4𝑎²𝑥² + 4𝑎𝑏𝑥 +
𝑏² = 𝑏² − 4𝑎𝑐 .
4. Observando que no lado esquerdo desta equação há um trinômio quadrado
perfeito, escreve-se 4𝑎²𝑥² + 4𝑎𝑏𝑥 + 𝑏² = (2𝑎𝑥 + 𝑏)(2𝑎𝑥 + 𝑏) = (2𝑎𝑥 + 𝑏)².
5. Portanto, é possível reescrever a equação como (2𝑎𝑥 + 𝑏)2 = 𝑏² − 4𝑎𝑐.
6. Lembrando que números positivos e negativos elevados ao quadrado são
sempre positivos obtém-se desta última expressão duas soluções, uma com
valor positivo e outra com valor negativo. Logo 2𝑎𝑥 + 𝑏 = √𝑏2 − 4𝑎𝑐
7. Subtraindo b em ambos os lados da igualdade na equação, e dividindo-as por
2a 2𝑎 obtém-se2𝑎𝑥 = − 𝑏 √𝑏2 − 4𝑎𝑐 e, então 𝑥 = −
2
√ 𝑐
2 .
16
8. Essa fórmula resolutiva para as raízes da equação do segundo grau é
tradicionalmente apresentada como:
𝑥 =−𝑏 √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
Apesar do sucesso de Al-khowarizmi, Bhaskara e Sridhara eles não
escreviam seus trabalhos numa notação apropriada, e o processo de construção de
uma simbologia algébrica com equações do segundo grau foi longo. Uma
contribuição para afirmar o método algébrico foi dada pelo matemático francês
Françóis Viète que, além de contribuir à consolidação da simbologia algébrica,
realizou outras contribuições a temas discutidos na época.
Para resolver equações do segundo grau Viète propõe uma substituição de
variáveis implicando na transformação da equação 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 em uma
equação incompleta. Esse método pode ser escrito empregando a atual linguagem
algébrica como apresentado no quadro 03.
Quadro 03: Roteiro do método de Viète, empregando linguagem algébrica numa
versão atual.
1. Dada a equação de segundo grau com uma incógnita 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, com,
𝑎, 𝑏, 𝑐 𝑎 0, tome 𝑥 = 𝑢 + 𝑧 e faça a substituição na equação original
obtendo:
𝑎(𝑢 + 𝑧)² + 𝑏(𝑢 + 𝑧) + 𝑐 = 0.
2. Desenvolvendo o quadrado e o produto nessa equação obtém-se:
𝑎(𝑢2 + 2𝑢𝑧 + 𝑧2) + 𝑏(𝑢 + 𝑧) + 𝑐 = 0
ou seja, evidenciando-se 𝑢 obtém-se:
𝑎𝑢2 + 𝑢(2𝑎𝑧 + 𝑏) + (𝑎𝑧2 + 𝑏𝑧 + 𝑐) = 0.
3. Tomando 2𝑎𝑧 + 𝑏 = 0 ou seja, 𝑧 =−𝑏
2𝑎substitu-se essa expressão em
𝑎𝑢2 + (𝑏2
4𝑎−𝑏2
2𝑎+ 𝑐) = 0
obtendo,
𝑎𝑢2 = 𝑐
isto é, 𝑢 = √
𝑐
17
4. Substituindo as expressões 𝑧 = −𝑏
2𝑎 e 𝑢 = √
𝑏²− 4𝑎𝑐
4𝑎² em 𝑥 = 𝑢 + 𝑧 tem-se:
𝑥 = −
2 +√ 𝑐
2 e 𝑥 = −
2 −√ 𝑐
2
5. Que são as duas soluções explícitas para equação do segundo grau na forma
𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, com 𝑎, 𝑏, 𝑐 𝑎 0.
4.3 Os problemas Geradores e Propostas para Suas Soluções
Alguns problemas geradores são apresentados, com propostas de soluções,
para efetivar a prática pedagógica que tem como referencial os encaminhamentos
metodológicos propostos pelo GTEPR sobre Resolução de Problemas e a Teoria de
Aprendizagem Significativa.
Assim, as etapas do GTERP serão reelaboradas e reapresentadas para que
estejam consistentes com a realidade escolar na qual ocorrerá a implementação,
Como as estratégias de Resolução são comuns a todas as situações-problemas
elaboradas, ela orientarão todas as atividades dessa natureza na Implementação
dessa Unidade Didática.
1. Preparação do problema: O objetivo neste passo é ler, selecionar, desenvolver
ou reinterpretar e readequar situações problemas que estejam de acordo com a
concepção de Aprendizagem Significativa, onde um processo de aprendizagem
se torna mais expressivo à medida que novos conteúdos são incorporados e
interagem com informações ou conhecimento já preexistentes na estrutura
cognitiva do educando. O Problema Gerador para construção do conceito de
equação de segundo grau leva em consideração que tal conteúdo não foi
previamente abordado em sala de aula.
2. Leitura individual: De posse do problema gerador que está adequado a
introdução às equações de segundo grau, será solicitada aos educandos que
façam preliminarmente uma leitura individual, objetivando ler e compreender o
problema posto.
3. Leitura em conjunto: Seguindo a Metodologia, formam-se grupos de trabalho, e
solicita-se uma nova leitura do Problema. O docente verifica se existe dificuldade
na interpretação do significado e do que se pede para realizar no enunciado do
Problema. Ocorrendo algum tipo de dificuldades, os educandos serão auxiliados
pela educadora.
18
4. Resolução do problema: Compreendido o enunciado do Problema, os alunos
em seus grupos tratam da situação posta, a fim de estruturar-lhe uma solução,
orientados pela docente que nesse momento faz o papel de mediador do
conhecimento, observando, orientando e incentivando essa construção.
Considerando que os novos conceitos dos alunos, serão incorporados quando
interagem com informações já preexistentes na estrutura cognitiva do educando,
o problema gerador deve estar elaborado de forma que seja adequadamente e
ancorado aos conhecimentos existentes do educando. Nesse momento o
educando estará elaborando o conteúdo previamente planejado pela professora.
5. Registro das resoluções na lousa e plenária: Objetivando a discussão de
todas as soluções, certas, erradas ou feitas por diferentes métodos, cada grupo
designará um representante para fazer o registro no quadro das Resoluções.
Orientados pela professora, que encaminhará as discussões e a participação de
todos os alunos, serão analisadas as diferentes resoluções, ocorrendo à defesa e
argumentação a respeito do encaminhamento usado e esclarecendo as duvidas
que eventualmente ocorram.
6. Busca do consenso: Não havendo mais duvidas quanto às soluções
apresentadas, a docente encaminhará a discussão para chegar a um acordo de
quais resoluções estão corretas.
7. Formalização do conteúdo: No momento denominado “formalização”, a
professora registra na lousa uma apresentação organizada e estruturada em
linguagem matemática, padronizando os conceitos, os princípios e
procedimentos construídos, destacando as técnicas operatórias e as
demonstrações necessárias sobre o assunto.
A seguir é apresentado um possível encaminhamento à solução de cada um
dos problemas geradores enunciados. Os demais passos da metodologia serão
realizados em sala de aula com os alunos e discutidos oportunamente quando da
implementação das atividades na escola.
Situação-problema 01: Uma festinha dessas que acontecem no final de semana,
neste sábado foi no Clube Comercial onde os amigos se encontraram e todos se
abraçaram. Um dos participantes, João, percebeu que os abraços foram 325.
Quantos eram os amigos que estavam nesta festa?
19
Solução: A situação-problema é resolvida com o uso da Álgebra. A quantidade de
amigos representada por 𝑥 deu um abraço nos demais, ou seja, 𝑥 − 1. Portanto, o
total de abraços deve ser 𝑥(𝑥 − 1). E ainda é preciso perceber que, quando Ana
abraça o Daniel, Daniel abraça Ana, os dois abraços devem ser considerados como
sendo um só. Assim sendo, o número de abraços a ser deve ser a metade de
𝑥(𝑥 − 1). Ai então a equação x(x-1)
2= 325, de um possível encaminhamento para
solução. No quadro 04 é apresentada a solução da equação.
Quadro 04: Solução da equação referente a situação-problema 01.
( 1)
2= 325 ou seja
2= 325
ou seja 𝑥2 − 𝑥 = 650 ou seja 𝑥2 − 𝑥 − 650 = 0
Assim, de 𝑥 = √ 𝑐
2 tem-se
𝑥 =
1 √1 2
2 isto é 𝑥 =
1 √2 1
2
Donde 𝑥 =1 1
2 e então
𝑥1 =
1 1
2= 2
2= 26 isto é
𝑥2 =
1 1
2=
2= −25
E, portanto, = e = −
Como a raiz negativa (−25 pessoas) não faz sentido ela deve ser desprezada
conservando-se apenas a outra. Então, a resposta é que eram 26 os amigos que
estavam na festa.
Situação-problema 02: Uma praça esta representada pelo triangulo ABC com área
de 108m². A Secretaria do meio ambiente quer construir um chafariz quadrado
MNOP, conforme a figura 04, que ilustra essa situação. Sabendo-se que, a medida
BO é igual ao lado quadrado, que CP mede 4 metros e a altura do triângulo MNA
referente a MN é igual a 5 metros, pergunta-se quanto mede o lado do quadrado que
idealiza o chafariz.
Figura 04: Triangulo ABC com área hipotética de 108m².
O quadro 05 apresenta uma solução detalhada para a situação-problema 02.
20
Quadro 05: Solução da situação-problema 02.
Considerando a medida do lado do quadrado MNOP. Então, a base b e a altura h
do triangulo ABC, são tais que:
(𝑏) = (4 + 𝑥 + 𝑥) = (4 + 2𝑥)
( ) = (5 + 𝑥)
Calculando a área do triângulo ABC, tem-se:
𝐴 =𝑏 ×
2 então
(4 + 2𝑥)(5 + 𝑥)
2tem-se
20 + 4𝑥 + 10𝑥 + 2𝑥²
2isto é
2𝑥² + 14𝑥 + 20
2
Sendo a área do triângulo igual a 108m², então:
2𝑥2 + 14𝑥 + 20
2= 108
Simplificando a equação do 2º grau, obtemos:
2𝑥2 + 14𝑥 + 20 = 216 sendo 𝑥² + 𝑥 − 98 = 0
Utilizando a fórmula
𝑥 =−𝑏 √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎 tem-se 𝑥 =
− √49 + 392
2 isto é 𝑥 =
− √441
2
Onde 𝑥 =− 21
2 então 𝑥1 =
− + 21
2=14
2= e 𝑥2 =
− − 21
2=−28
2= −14
E, portanto = = −
A medida (−28 𝑚 𝑡𝑟𝑜𝑠) não faz sentido devendo ser desprezada e conservando
apenas a positiva. Então, o lado do quadrado que idealiza o chafariz é de 7metros.
Situação-problema 03: Em torno de uma quadra de futebol de salão pretende-se
plantar grama, em uma faixa de largura estável. Sabendo que o terreno mede 260m²
e a quadra tem 15 m metros de comprimento e 8 metros de largura. De quanto será
a largura da faixa de grama a ser plantada? A figura 05 ilustra o problema.
Figura 05: Representação para uma hipotética quadra de futebol de salão.
21
O quadro 06 apresenta uma solução detalhada para a situação-problema 03.
Quadro 06: Solução da situação-problema 03.
A quadra com a faixa dimensões de 15 + 2𝑥 e 8 + 2𝑥 metros
Então para determinar a área do retângulo devemos multiplicar o comprimento pela
largura (15 + 2𝑥)(8 + 2𝑥) = 260, resolvendo 2𝑥² + 23𝑥 − 0 = 0
Usando a formula da solução da equação do segundo grau.
𝑥 =−𝑏 √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎 tem-se 𝑥 =
−23 √529 + 560
4 isto é 𝑥 =
−23 √1089
4
Onde 𝑥 =−23 33
4 então 𝑥1 =
−23 + 33
4=10
4 e 𝑥2 =
−23 − 33
4=−56
4= −14
E, portanto 𝑥1 =10
4 𝑥2 = −14
Descarta-se a medida negativa (−14 𝑚 𝑡𝑟𝑜𝑠), pelo fato de não fazer sentido. Assim,
a largura da faixa de grama a ser plantada será de 2,5 metros.
Situação-problema 04: Os alunos do 9º ano do Colégio Estadual Olinda Truffa de
Carvalho que tiveram bom desempenho durante as aulas no primeiro bimestre foram
premiados com um passeio a um bosque. Sabendo que o quadrado do sexto dos
alunos descansa sentada a beira de um riacho, enquanto isso oito alunos caminham
alegres pelas belas trilhas do bosque, aproveitando o ar puro da natureza. Quantos
alunos tiveram bom desempenho nesse bimestre?
Solução: Representando o total de alunos premiados por 𝑥, então escrevendo a
representação da situação-problema na forma algébrica temos (
)2
+ 8 = 𝑥. O
quadro 07 apresenta a solução para esta situação-problema.
Quadro 07: Solução da situação-problema 04.
(𝑥
6)2
+ 8 = 𝑥 ou seja 𝑥2
36+ 8 = 𝑥 ou seja
𝑥2 + 288 = 36𝑥
36ou seja 𝑥2 − 36𝑥 + 288 = 0
Usando a formula:
𝑥 =−𝑏 √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎 tem-se 𝑥 =
36 √1296 − 1152
2 isto é 𝑥 =
36 √144
2
Onde 𝑥 =36 12
2 então 𝑥1 =
36 + 12
2=48
2= 24 e 𝑥2 =
36 − 12
2=24
2= 12
22
E, portanto 𝑥1 = 24 𝑥2 = 12
Nesse caso serve as duas raízes como solução da equação. Portanto, podem ser
24 ou 12 os integrantes desse grupo.
4.4 Estratégias de Ações: Sistematização das Ações a Serem Realizadas
Com a presente unidade didática objetiva-se contribuir com o ensino de
equações do segundo grau. A implementação das ações a atividades propostas é
detalhada passo a passo, considerando que tradicionalmente se aborda esse
conteúdo programático em 15 h/a e se parte da suposição que se conseguirá
implementar esta Unidade Didática, com o enfoque teórico-metodológico proposto,
numa carga horária de 16 h/a.
Sendo assim, vamos analisar e discutir as etapas propostas por Onuchic e
Allevato (2011) e empregadas pelo GTERP para trabalhar com os problemas
geradores do tipo apresentado nesta Unidade Didática. As etapas trabalhadas aqui
irão até a determinação da equação do segundo grau, pois nessa proposta o aluno
trata primeiro dos problemas sem conhecer o conteúdo matemático formal planejado
pelo professor. Para esse passo da implementação serão disponibilizadas 2 h/a.
Tendo tomado conhecimento que estão de posse de equações do segundo
grau para resolver, que é o conteúdo planejado pelo professor, entende-se que será
pertinente fazer uma breve apresentação sobre o contexto histórico para a solução
da referida equação, mencionada no item “Aspectos Históricos e Alguns
Proeminentes Personagens”. Objetiva-se que o educando possa compreender que
os conhecimentos são construídos pelo ser humano, e que para chegar até a atual
apresentação das equações de segundo grau houve um longo tempo com a
participação de várias civilizações. Para essa etapa é necessário 2 h/a de
atividades.
Um destaque nessa fase é enfocar a discussão que diferentes personagens
contribuíram para a sistematização da fórmula resolutiva das equações do segundo
grau, como apresentado no item “Os Métodos de Resolução de Sridhara, Al-
khowarizmi, Bhaskara e Viète”.
Além disso, para deixar mais atrativo ao educando, e buscando consolidar a
metodologia de Al-khowarizmi, de completar quadrados, se fará o uso de material
manipulável. Para tal utiliza-se o Algeplan, um material didático composto por 40
peças na forma de quadrados e retângulos, com unidades de medida x, y e 1,
23
diferentes entre si. As peças do Algeplan têm quantidades e dimensões como:
4 quadrados, cujos lados medem x.
4 quadrados, cujos lados medem y (y<x).
4 retangulos, cujos lados medem x e y.
8 retangulos, cujos lados medem u=1 e x.
8 retangulos, cujos lados medem u=1 e y.
A figura 06 ilustra as peças que compõem o jogo Algeplan.
Figura 06: Peças que compõem o jogo de Algepan.
Na figura 06 as letras latinas indicam as cores das respectivas peças. As
legendas são A, para amarela; V, para verde; R, para Rosa; L, para Lilás; Az, para
azul e Ve, para vermelho. O verso das peças é branco (B), as quais serão usadas
viradas para representar os números negativos.
A metodologia adotada para as atividades em sala de aula será de trabalhar o
jogo do Algeplan em pequenos grupos, onde os educandos possam dialogar com
seus pares e realizarem a construção dos quadrados, cujos lados representam os
fatores das equações. Considera-se a propriedade de que quando os fatores são
iguais a zero, é possível determinar as raízes da equação.
Para realizar esse trabalho não é conveniente usar as mesmas equações
formuladas nos problemas geradores “situações-problemas 01 a 04”, pois os
resultados contêm valores grandes demais para o bom uso do material manipulável.
Portanto são empregadas equações com valores adequados para o método.
Atividade 01: Encontre os fatores e as raízes da equação, 𝑥² + 6𝑥 + 8 = 0
completando o quadrado utilizando o Algeplan.
Solução: Separando o material que representa a equação, tem-se a figura 07 que
24
representa as peças da equação dada.
Figura 07: Peças do Algeplan que representam a equação 𝑥² + 6𝑥 + 8 = 0.
Usando esse material deve-se formar uma figura retangular. A figura 08
representa o estado final no jogo.
Figura 08: Representação da figura final do jogo.
Encontrada a figura composta das peças que representaram a equação,
construímos um retângulo de lados (𝑥 + 4) ∙ (𝑥 + 2). Os quais representam os
fatores da equação (𝑥 + 4) ∙ (𝑥 + 2). = 𝑥² + 6𝑥 + 8.
Lembrando que uma propriedade dos números reais é que cada um dos fatores
seja igual a zero, então se tem:
𝑥 + 4 = 0 𝑥 + 2 = 0
𝑥 + 4 − 4 = 0 − 4 𝑥 + 2 − 2 = 0 − 2
𝑥 = −4 𝑥 = −2
Portanto, as raízes dessa equação são (−4 e − 2).
Para uma melhor compreensão do método, será realizada outra atividade
como descrita a seguir.
Atividade 02: Encontre os fatores e as raízes da equação, 𝑥² + 6𝑥 − = 0
completando o quadrado utilizando o Algeplan.
25
Solução: Separando as peças para essa equação. A figura 09 representa as peças
da referida equação.
Figura 09: Peças do Algeplan que representam a equação 𝑥² + 6𝑥 − .
Vamos novamente construir um retângulo. A figura 10 representa a forma que foi
possível construir com as peças da equação.
Figura 10: Montagem da fatoração da equação 𝑥² + 6𝑥 − .
Ao tentar construir o retângulo, verifica-se que este necessita de duas peças para
que ele seja completo, portanto, vamos usar uma peça 𝑥 e uma – 𝑥 o que não
altera o resultado final. Então, se obtém a representação de um retângulo. A
figura 11 representa o estado final do jogo
Figura 11: Representação da figura final do jogo.
A figura composta das peças que representaram a equação construiu um
retângulo de lados (𝑥 + ). (𝑥 − 1). Os quais representam os fatores da equação
26
(𝑥 + ). (𝑥 − 1) = 𝑥² + 6𝑥 −
Através da propriedade dos números reais, então se tem:
𝑥 + = 0 𝑥 − 1 = 0
𝑥 + − = 0 − 𝑥 − 1 + 1 = 0 + 1
𝑥 = − 𝑥 = 1
Portanto, as raízes dessa equação são (− 1).
Com a utilização de viabiliza-se ao educando realizar descobertas e
estabelecer relações matemáticas tornando a aprendizagem mais Significativa. Na
seqüência são propostas alguns exercícios 01 para que os alunos utilizarem o
Algeplan para resolvê-las.
Exercício 01: Com o uso do Algeplan encontre os fatores e as raízes das equações,
e complete o quadro 08.
Quadro 08: Algumas equações de segundo grau para o aluno resolver utilizando o
Algeplan.
Equações Fatores Raízes da equação ax²+bx+c=0
a) 𝑥² + 3𝑥 + 2 = 0
b) 𝑥² − 9 = 0
c) 𝑥² + 𝑥 + 12 = 0
d) 2𝑥² + 8𝑥 + 6 = 0
e)3𝑥² + 10𝑥 + 8 = 0
f) 𝑥² − 𝑥 − 2 = 0
g) 3𝑥² + 8𝑥 + 6
h) 𝑥² − 2𝑥 + 1
É pertinente lembrar aos educandos que a atividade do “Exercício 01”
possibilita-lhe a revisão da fatoração de polinômios quadráticos, e os conceitos de
área ao construir as figuras regulares com o Algeplan. Para realização do trabalho
com o método de Al-khowarizmi utilizando o Algeplan serão necessárias 4 h/a.
Outra atividade que pode ser realizada é apresenta a resolução de equações
do segundo grau “método hindu”, de Sridhara. Um exemplo reinterpretado e escrito
27
em linguagem algébrica para a equação 𝑥² + 8𝑥 = 33 fornece a solução apresentada
no quadro 09.
Quadro 09: Passos para a solução de 𝑥² + 8𝑥 = 33 segundo o método de Sridhara.
a) Na equação os coeficientes são 𝑎 = 1; 𝑏 = 8; 𝑐 = 33.
b) Multiplicam-se ambos os lados da equação por 4𝑎 obtendo 4𝑥² + 32𝑥 = 132.
c) Adicionando á ambos os lados da igualdade 𝑏² obtem-se 4𝑥² + 32𝑥 + 64 = 132 +
64
d) Observe que no lado esquerdo da equação tem um trinômio quadrado perfeito,
fatorando o trinômio consegue-se (2𝑥 + 8)² = 196.
e) Extraindo a raiz quadrada de ambos os lados da igualdade obtém-se √(2𝑥 + 8) =
√196
f) Ou seja, chega-se ao lado do quadrado que foi completado, 2𝑥 + 8 = 14
g) Portanto a resposta é 𝑥 = 3
O método de Sridhara é semelhante ao que usamos hoje, considerando
também a raiz negativa, quando tem sentido. No exercício 02 são apresentadas
algumas equações para os alunos resolverem através do método de Sridhara.
Exercício 02: Use o método de Sridhara e encontre a raiz das equações:
a) 𝑥² + 12𝑥 = 85
b) 2𝑥² + 4𝑥 − 0 = 0
c) 𝑥² − 5𝑥 + 6 = 0
d) 𝑥² − 2𝑥 − 8 = 0
e) 𝑥² + 12𝑥 = 64
f) 2𝑥² + 13𝑥 + 15 = 0
g) 2𝑥² + 8𝑥 − 64 = 0
h) 𝑥² + 3𝑥 + 2 = 0
Pretende-se realizar as atividades relativas ao método de Sridhara e a
resolução dos exercícios 02 propostos em 3 h/a.
Os métodos até aqui apresentados irão permitir aos alunos realizaram
descobertas e estabelecer relações matemáticas, assim como perceber dificuldades
28
em usar o material manipulável quando as equações são mais elaboradas ou tratam
de valores mais significativos.
Justifica-se nesse momento a necessidade de uma fórmula que auxilie na
resolução de qualquer tipo de equação do segundo grau, inclusive as dos problemas
geradores “situações-problemas 01 a 04”. O método apresentado por Bhaskara
permite resolver tais equações, através do uso da fórmula resolutiva de equações do
segundo grau. Para demonstrar a aplicação da fórmula faremos uso das equações
formuladas nos problemas geradores. Entende-se a necessidade de saber bem a
aplicação da fórmula resolutiva de equações do segundo grau, pelo fato de tal
equação estar inserida em vários tipos de problemas. Propõe-se o exercício 03 para
que os alunos possam resolver as equações fazendo uso da fórmula resolutiva.
Exercício 03: Utilizando a fórmula resolutiva da equação do segundo grau,
determine as raízes das equações.
a) 𝑥² − 3𝑥 − 4 = 0
b) 𝑥² + 9𝑥 + 8 = 0
c) 5𝑥² − 𝑥 = 0
e) – 𝑥2 + 9𝑥 − 20 = 0
f) 𝑥2 + 3𝑥 − 28 = 0
g) 4𝑥2 − 100 = 0
h) 𝑥2 + 𝑥 = 12
i) 2𝑥2 + 8𝑥 + 6 = 0
j) 𝑥2 + 5𝑥 = 0
k) 3𝑥2 − 9 = 0
m) −2𝑥2 + 2𝑥 = −12
Para efetivar a aplicação da fórmula resolutiva para equação do segundo grau
serão necessárias 5 h/a.
5. CONSIDERAÇÕES FINAIS
A elaboração desse material didático para a Produção Didático-Pedagógica
possibilitou sistematizar e organizar encaminhamentos metodológicos para
implementar o Projeto de Intervenção Pedagógica na Escola. Ao construir a
29
estrutura metodológica, compreendemos melhor de como a Resolução de
Problemas pode contribuir para o ensino e aprendizagem dos conteúdos
matemáticos.
No decorrer da implementação poderão surgir dúvidas ou questões que
poderão demandar readequação ou correção nas estratégias de ação aqui
apresentadas. Todavia, com a forma estrutural desse documento teremos êxito na
implementação, pois já dispomos de elementos suficientes para discutir,
implementar e avaliar trabalhos sobre o ensino e a aprendizagem de equações do
segundo grau no 9º ano através de Resolução de Problemas.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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30
PINEDO, C. J. Q. Breve História da Solução de Equações. V Seminário Nacional de História da Matemática. p. 23 - 23, 2003. Disponível em <http://www.yumpu.com/pt/document/view/12959203/historia-das-equacoes->. Acesso em julho de 2013. RODRIGUES, Hélio Oliveira, SILVA, José Roberto da. Fórmula de Baskhara e Resolução de Equações do 2º Grau Inspirados em Procedimentos do Papiro de Moscou e Rhind. In: ENCONTRO NACIONAL DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, VIII, 2004, Recife. Anais... Pernambuco UFPE. p. 1-11.