Versão On-line ISBN 978-85-8015-076-6Cadernos PDE

OS DESAFIOS DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSENA PERSPECTIVA DO PROFESSOR PDE

Artigos

O “X” DA QUESTÃO NO ENSINO DA ALGEBRA

Autor: Jovenilde Maria da Silva Leal1 Orientador: Rafael Mestrinheire Hungaro²

RESUMO Este trabalho visa socializar os resultados obtidos com a implementação do Projeto de Intervenção Pedagógica do Programa de Desenvolvimento Educacional (PDE) da Secretaria de Estado da Educação do Paraná (SEED). O projeto, intitulado O “X” da questão no ensino da álgebra”, foi aplicado no Colégio Estadual Guilherme de Almeida – EFMN, na cidade de Loanda - PR, com alunos do 7º ano do Ensino Fundamental, no ano de 2014. A proposta apresenta a importância do emprego da modelagem matemática, como alternativa metodológica para introdução ao ensino da álgebra, visando a construção e o desenvolvimento do pensamento algébrico, e sua relação com a aritmética, através da aplicação de atividades variadas para o emprego da representação algébrica, noção de variáveis e incógnitas, permitindo ao educando estabelecer relações entre o cotidiano e a matemática, em especial no que se refere ao conteúdo da álgebra, favorecendo, assim, a produção de significados. O mesmo visa contribuir com os professores que buscam alternativas para uma aprendizagem mais significativa procurando incentivar e estimular a compreensão dos conceitos algébricos, promovendo a passagem da matemática numérica para matemática algébrica de maneira prudente, simples e compreensiva para ajudar o aluno entender e construir o conceito inicial de álgebra, destacando, ainda, a importância de buscar novas metodologias de ensino que favoreçam a

aprendizagem da álgebra e aritmética. Palavras- Chave: Álgebra, linguagem algébrica, incógnita, modelagem matemática.

1Graduada em Ciências Contábeis, pela Faculdade Estadual de Educação, Ciências e Letras de

Paranavaí – FAFIPA, Habilitada em Matemática, pela Universidade Paranaense- Unipar e Pós-Graduada em Educação matemática pela FAFIPA – Paranavaí,Professora de Matemática da Rede Pública Estadual do Paraná, Colégio Estadual Guilherme de Almeida na Cidade de Loanda Pr.

2

Mestre em Matemática pela Universidade Estadual de Maringá. Professor do Colegiado de Matemática da Universidade Estadual do Paraná – UNESPAR, Campus de Paranavaí/Fafipa.

1. INTRODUÇAO

Ao buscar oferecer contribuições para promover a qualidade do ensino de

matemática, este artigo se ocupa de apresentar um relato sobre da implementação

do Projeto de Intervenção Pedagógica, intitulado “O x da questão no ensino da

álgebra”, contemplando o aprofundamento teórico/metodológico sobre a utilização

da modelagem matemática, implementado no Colégio Estadual Guilherme de

Almeida – EFMN, na cidade de Loanda, no ano de 2014, com alunos do 7º ano do

Ensino Fundamental, do período matutino.

O projeto foi elaborado no âmbito do PDE que é um programa de Formação

Continuada, desenvolvido pela Secretaria da Educação do Estado do Paraná

(SEED) em parceria com a Secretaria da Ciência, Tecnologia e Ensino Superior,

envolvendo professores das Escolas Públicas Estaduais de Educação Básica e as

instituições de Ensino Superior e teve como tema de estudo, “Um encaminhamento

metodológico significativo para compreender e resolver a matemática das letras no

ensino da álgebra”.

A temática surgiu após observar a prática docente que se realiza na

atualidade e sua busca por qualidade, que é preocupação constante dos docentes

da área. Assim é necessário um olhar reflexivo sobre as práticas pedagógicas que

adotamos hoje, reorganizá-las e procurar novos subsídios para atingir um nível de

qualidade em busca de uma educação qualitativa, contribuindo, assim, para a

formação e sucesso escolar do aluno, bem como, para o exercício da cidadania e

neste processo o papel do professor é fundamental, conforme citam os Parâmetros

Curriculares Nacionais (PCN) do 3º e 4º Ciclos do Ensino fundamental de

matemática propõem que na relação professor-aluno, cabe ao professor:

Além de organizador, o professor também é facilitador nesse processo. Não

mais aquele que expõe todo o conteúdo aos alunos, mas aquele que fornece as informações necessárias, que o aluno não tem condições de obter sozinho. Nessa função, faz explanações, oferece materiais, textos etc. (BRASIL, 1998 p.38).

O estudo da matemática é considerado difícil para os educandos, muitos têm

verdadeira aversão a essa disciplina. Quando se inicia o ensino de álgebra, foco de

nossas reflexões neste trabalho, as dificuldades aumentam ainda mais, porque os

alunos estão acostumados com a matemática dos números (aritmética) e toda essa

simbologia (letras) da álgebra deixa-os um tanto confusos. Assim, é necessário

promover a passagem da aritmética para álgebra de maneira prudente, simples,

harmoniosa, articulada, questionando como os conhecimentos da aritmética são

representados na álgebra, ou seja, consideramos que deve existir uma relação

intrínseca entre a álgebra e o pensamento matemático.

As Diretrizes Curriculares Estaduais (DCE) de Matemática, com relação ao

tratamento didático dispensado aos conteúdos, defendem: “uma abordagem

pedagógica que os articule, na qual os conceitos se complementem e tragam

significado aos conteúdos abordados”. (PARANA, 2008 p.52).

Como metodologia norteadora deste trabalho foi utilizada a modelagem

matemática para introduzir o ensino da álgebra, como um elemento facilitador da

aprendizagem, promovendo as discussões, explorando atividades, desenvolvendo e

construindo o pensamento algébrico e relacionando-o com situações do cotidiano,

transformando-os em problemas matemáticos que necessitam de resolução através

da álgebra. Acreditamos, assim, que o ensino-aprendizagem, instrumentalizado pelo

recurso da modelagem matemática, pode contribuir para uma aprendizagem mais

significativa e favorecer a compreensão dos conceitos, não só da matemática em si,

mas também de outras áreas do conhecimento, melhorando, desta forma, a

participação e interesse dos alunos pelo conteúdo trabalhado, bem como sua visão

sobre o estudo da álgebra. Conforme cita (BIEMBENGUT, 2000. p.11). “A

modelagem é a arte de expressar, por intermédio da linguagem matemática,

situações-problema reais”. Ainda neste sentido, BASSANEZI, também destaca a

modelagem como sendo uma nova forma de encarar a Matemática: “consiste na arte

de transformar problemas da realidade em problemas matemáticos e resolvê-los

interpretando suas soluções na linguagem do mundo real” (2002. p. 16).

Esta proposta de uso da modelagem como meio de significação do ensino

da álgebra como uma linguagem matemática, assumida neste projeto de intervenção

pedagógica na escola, ganhou seus primeiros espaços de socialização no 1º

semestre de 2014, por meio do Grupo de Trabalho em Rede (GTR) online, onde se

oportunizou aos professores participantes, a apresentação do Projeto e da Produção

Didático Pedagógica a um grupo de quinze professores de Matemática da Rede

Estadual de Ensino, tendo como objetivo principal a troca de experiências,

favorecendo e promovendo uma oportunidade de melhorar e aprimorar nossa prática

docente.

O GTR constitui uma atividade obrigatória do PDE, que promove a interação

virtual entre os professores da Rede Pública Estadual, mediada pelos textos

contidos no projeto de intervenção pedagógica na escola e na unidade didática,

elaborado e aplicado pelo professor PDE, possibilitando interações e participações

que, no âmbito deste projeto aqui relatado, contribuíram de maneira satisfatória e

valiosa.

Para os professores cursistas do GTR, este trabalho, que foi desenvolvido

por meio de fóruns e diários, assumiu caráter de formação continuada. Nos fóruns,

os participantes interagiam entre si, mediante perguntas propostas pela professora

PDE. Nos Diários, os mesmos postavam suas reflexões a respeito das questões

formuladas pela professora PDE.

Por meio das ações oportunizadas no decorrer do Programa foi possível

promover uma nova abordagem metodológica para o processo de ensinar e

aprender matemática, procurando ajudar o aluno a entender e construir o conceito

inicial da álgebra, visando uma educação matemática de qualidade.

2. ABORDAGEM HISTÓRICA DO CONTEÚDO

Desde a antiguidade a matemática já despertava o interesse de muitos

estudiosos que se dedicavam a sua pesquisa, na busca de novos conhecimentos

que contribuíssem para o desenvolvimento da humanidade. Os primeiros povos, na

Mesopotâmia já faziam seus primeiros registros sobre tabletas, acredita-se que era o

início desta ciência, que foi se desenvolvendo junto com a construção da própria

história da humanidade, contando com a contribuição de várias nações como os

babilônios, egípcios, franceses, árabes, ingleses, dentre outros.

Em seu livro História da Matemática, Carl B Boyer afirma:

A matemática tem sido frequentemente comparada a uma árvore, pois cresce numa estrutura acima da terra que se espalha e ramifica sempre mais, ao passo que ao mesmo tempo suas raízes cada vez mais se aprofundam e alargam, em busca de fundamentos sólidos. (BOYER p.435)

Considera-se que a álgebra é um dos grandes ramos da matemática, alguns

afirmam que seu fundador foi Diofanto (c.200-c.284), que fez o primeiro uso de

símbolos algébricos, mas o termo “álgebra”, só apareceu com o matemático árabe

AL-Khowarizmi (790-870) no livro Al-Jabr-Wa’lmuqabalah, mas foi no século XIX,

um período muito produtivo, conhecido como “Idade Áurea da Matemática”,

marcado por grande qualidade e quantidade de produções algébricas que

contribuíram para o estudo e desenvolvimento deste ramo da matemática, algumas

foram consideradas revolucionárias como as obras de Sir William R Hamilton

(1805-1865) George Boole (1815-1864) outros foram trabalhos produtivos como os

de Arthur Cayley (1821-1895)_ e J.J. Sylvester (1814-1897). Um destaque grande

teve George Peacock (1792-1871), considerado o “Euclides da Álgebra”, contribuiu

para o desenvolvimento da álgebra dando a ela uma estrutura lógica. E

defendendo uma álgebra moderna surgiu Augustus De Morgan (1806-1871), que

considerava os símbolos algébricos abstratos.

2.1 ASPECTOS CONCEITUAIS DO ENSINO DA ÁLGEBRA

O ensino da álgebra percorre vários anos da vida escolar de nossos alunos,

assim temos que analisar toda sua extensão, aplicação e principalmente a maneira

como ela é ensinada nos dias atuais.

Na interpretação de House, no livro As ideias da álgebra (1997 p.1) “Há

muito tempo a álgebra desfruta de um lugar de destaque no currículo de matemática,

representando para muitos alunos tanto na culminação de anos de aritmética como

o início de mais anos de estudo de outros ramos da matemática”.

Sendo assim, o fato de estar assegurado no currículo, não garante um

ensino de qualidade para a álgebra, principalmente se ele for trabalhado de forma

isolada, a álgebra possui conceitos muito abrangentes e necessita de uma

articulação entre os demais saberes matemáticos principalmente o numérico e deve

ser entendida como uma expressão do pensamento matemático. Conforme sugere

as DCE’s:

Na Educação Básica, no contexto da Educação Matemática, é necessário que os números e a álgebra sejam compreendidos de forma ampla, para que se analisem e descrevam as relações em vários contextos onde se situam as abordagens matemáticas, explorando os significados que possam ser produzidos a partir destes conteúdos. PARANÁ (2008, p.53).

Contudo, é necessário desenvolver junto com o aluno uma compreensão

sólida sobre os conceitos de álgebra para que ele possua a capacidade de utilizar

esse conhecimento em situações novas, deixando claro que a álgebra não é apenas

uma aritmética generalizada, o aluno deve diferenciar a abstração da álgebra e o

mundo real da aritmética aplicada a muitas situações do cotidiano, tendo, assim, um

aprendizado mais significativo.

Conforme Klusener (2001) afirma:

É importante ressaltar que a linguagem algébrica é uma linguagem que tem especificidades tanto da linguagem aritmética como da linguagem natural, podendo ser identificada pelo seu próprio código, sua própria simbologia, e é por estes aspectos que se torna compreensível. (KLUSENER, 2001, p. 189).

Nesse sentido, ressaltamos que a linguagem matemática deve ser

desenvolvida em todos os seus aspectos e envolver diferentes expressões como a

oral, escrita, visual e não apenas os códigos escritos, para que seja empregada em

contextos diferentes, assim sendo, nesta perspectiva de ensino da álgebra, o aluno

tende a estar mais preparado para fazer a sua identificação e tradução para a

linguagem algébrica.

2.2 DA REPRESENTAÇÃO NUMÉRICA PARA A REPRESENTAÇÃO

ALGÉBRICA

Uma questão importante a ser tratada é a representação algébrica que

possibilita novas descobertas na Matemática, esse aspecto deve ser tratado com

relevância, pois, até então, os alunos estão acostumados com representação

numérica e experimentam um sistema mais complexo e abstrato, principalmente nas

séries iniciais do ensino fundamental. Então, a passagem da linguagem numérica

para a linguagem algébrica deve acontecer de maneira articulada, pois, enquanto a

aritmética é concreta a álgebra é abstrata. Segundo, Klusener (2001, p.185),

“[...] nesta passagem dos números para as letras, os elementos básicos, a matéria prima da matemática deixam de serem objetos, coisas, números... concretos, e as letras passam a ocupar o seu lugar, sejam como incógnitas, números genéricos, parâmetros ou variáveis. [...]”. (KLUSENER, 2001, p. 185).

Diante deste contexto, cabe ao professor desenvolver atividades de

representações algébricas ligadas a assuntos do cotidiano dos alunos, para que os

mesmo sejam capazes de compreender que a representação está relacionada com

incógnitas e não necessariamente precisa de um valor numérico e resolução, porque

para muitos esta simbologia algébrica é de difícil compreensão e utilização, sendo

necessária uma interiorização desta relação, constituir mentalmente a análise da

situação, seguido de uma abstração e finalmente transformá-las em ideias,

contribuindo, assim para o desenvolvimento do raciocínio algébrico do aluno. Assim

como cita as Diretrizes Curriculares de Matemática,

Pensar algebricamente é produzir significados para situações em termos de números e operações aritméticas (e igualdades ou desigualdades) e, com base nisso, transformar as expressões obtidas. (LINS & GIMENES, 1997 p.151In: PARANÁ, 2008, p.52).

2.3 A EVOLUÇÃO NO ENSINO DA ÁLGEBRA

É importante ressaltar que, a álgebra sempre foi ensinada como uma

linguagem matemática estruturada por regras e fórmulas definidas, que se aprende

na escola e não se aplica na vida, geralmente, não se faz nenhuma menção sobre o

porquê de se estudar esse conteúdo, causando muito desinteresse por parte dos

alunos, a maioria dos livros didáticos não apresentam nenhuma introdução

significativa sobre o ensino da álgebra, geralmente apresentam a definição e

atividades de resolução, muitos ensinam a álgebra sem nenhuma conexão com a

aritmética, o que a torna ainda mais desvinculada dos demais saberes matemáticos,

temos visto várias revisões de currículos e perspectivas educacionais, mas que não

trazem nenhuma novidade de mudança na forma do ensino da álgebra.

Desde o movimento da matemática moderna nos anos 1960 e 1970, e

depois com as reformas ocorridas na década de 80 e 90, com as formulações das

propostas curriculares, houve uma preocupação em dar um sentido ao ensino da

álgebra, sendo até cogitado a sua substituição por outro tópico, o cálculo literal, pois

a álgebra era considerada uma questão aberta. Com a aprovação do PCNs, em

meados da década de 90, que estabeleceu novas regras ao sistema de ensino

nacional, de acordo com a realidade da época, deu-se uma nova abordagem para o

estudo da álgebra, onde cita:

O estudo da Álgebra constitui um espaço bastante significativo para que o aluno desenvolva e exercite sua capacidade de abstração e generalização, além de lhe possibilitar a aquisição de uma poderosa ferramenta para resolver problemas. (BRASIL 1998 p.115).

Nesse particular, é importante ressaltar que as Diretrizes Curriculares de

Matemática têm como expectativa de ensino e de aprendizagem para esse

conteúdo, no Ensino Fundamental, o seguinte:

É necessário que haja articulação entre a álgebra e os números, de modo que o aluno: -Compreenda o conceito de incógnita; -Realize a escrita de uma situação problema na linguagem matemática; -Reconheça e resolva equações numéricas e algébricas, inequações, sistemas de equações; - Diferencie e realize operações com monômios, binômios, trinômios e polinômios, equações quadradas, biquadradas e irracionais. (PARANÁ 2008 p.51).

Nessas perspectivas de ensino e aprendizagem deve-se desenvolver um

trabalho docente para oferecer condições para que os alunos produzam significados

para o desenvolvimento algébrico gradativo, utilizando o conhecimento novo de

modo articulado ao conhecimento prévio que eles trazem, sendo que através desta

relação ele possa estabelecer novas aplicações da álgebra.

3. O USO DA MODELAGEM COMO FACILITADORA DO PROCESSO DE ENSINO

APRENDIZAGEM

Entende-se a educação como algo sempre presente em nossas vidas, todos

os dias aprendemos, e, assim ao longo dela, sempre aprendemos mais e mais

através de situações do cotidiano, nem sempre de maneira estruturada, mas não

deixa de ser um conhecimento, a modelagem matemática é uma alternativa

pedagógica que aborda a matemática através de problemas nem sempre

matemáticos, sendo uma atividade questionadora, investigativa que envolve uma

situação inicial (problema) e de uma situação final (solução do problema), mas que

para isso necessita de um conjunto de procedimentos e conceitos para atingir seu

objetivo final (solução), fazendo uso da matemática, aplicando seus conceitos para a

solução do problema.

Os Parâmetros Curriculares Nacionais, publicados em 1998 pelo Ministério

da Educação, mencionam a modelagem como um ambiente de aprendizagem no

qual os alunos têm a possibilidade de utilizar a Matemática para indagar e/ou

investigar situações oriundas de outras áreas da realidade. (apostila de Tendência

em Educação Matemática).

Sendo assim, a modelagem é um processo pelo qual a matemática e a

realidade vivenciada se interagem obtendo-se um modelo, este, passa pelas etapas

de interação onde se conhece o assunto a ser tratado, seu referencial teórico, bem

como a situação problema, depois temos a etapa da matematização, onde se busca

a representação do problema na linguagem matemática, analisa os fatos envolvidos,

classifica-os, verifica as hipóteses, as variáveis e as relações matemáticas e

finalmente a etapa do modelo matemático onde se faz a interpretação e validação

tornando a sentença verdadeira ou não, sendo muito importante dar um foco nos

encaminhamentos e na condução do processo do início até o final, levando em

consideração todas as especificidades do contexto escolar.

Veja o esquema desta representação, abaixo:

Vale ressaltar que é necessário, na interpretação dos resultados, instigar os

alunos a fazerem uma reflexão avaliativa da atividade bem como da sua

representação matemática, para que os mesmos possam desenvolver capacidades

de avaliação crítica e aplicação tanto em relação à matemática, como em contextos

diferentes.

Também as Diretrizes Curriculares da Educação Básica, do Estado do

Paraná de matemática afirma: “O trabalho pedagógico com a modelagem

matemática possibilita a intervenção do estudante nos problemas reais do meio

social e cultural em que vive, por isso, contribui para sua formação crítica”. (Paraná,

2008 p.65). Trabalhar com a modelagem em sala de aula ainda é um desafio para

muitos professores, gerando certo desconforto, pois para muitos, ainda no estilo

tradicional expositivo, é entrar num terreno desconhecido, com atividades

investigativas que requerem preparo, estudo e dedicação e que poderão encontrar

êxitos ou adversidades, sendo necessário todo um conhecimento sobre esta forma

de ensinar, conduzir e orientar o processo, necessitando de toda uma articulação

entre definição, investigação e resultado, para que assim a atividade possa ter ações

bem definidas em todas as fases e dê um significado de qualidade à aprendizagem.

4. IMPLEMENTAÇÃO

O Projeto de Intervenção Pedagógica “O x da questão no ensino da

álgebra”, que resultou nesse artigo, foi implementado pela professora PDE com

alunos do 7º ano do Ensino Fundamental do Colégio Estadual Guilherme de Almeida

– EFMN. Durante a semana Pedagógica em fevereiro de 2014, o material Didático

Pedagógico foi apresentado à equipe pedagógica, professores, direção e

funcionários da escola, com o intuito de que todos conhecessem a proposta de

trabalho a ser desenvolvida com os alunos.

Diante da dificuldade de ensinar e dar sentido aos conteúdos matemáticos

atualmente, busca-se dinamizar o processo ensino-aprendizagem, dando um

significado real na construção do conhecimento, de modo que os conceitos sejam

apresentados, colocados em discussão, construídos e validados, numa perspectiva

de obter uma melhor compreensão sobre o conteúdo, objetivando, assim, alcançar

um melhor aprendizado nesse processo. Balizada por este objetivo, utilizei a

metodologia da modelagem matemática.

No desenvolvimento inicial trabalho foi trabalhado a tarefa1, que apresentou

um questionamento sobre o que os alunos conheciam a respeito de representação

de uma forma geral e de representação e expressões algébricas. Esta indagação se

deu com o objetivo de levantar informações que permitissem um olhar do professor

sobre como desenvolver o trabalho do conteúdo a ser abordado. Assim, de posse

dos resultados, com uma grande perspectiva de conseguir um bom nível de

aprendizagem e iniciar o estudo da álgebra para os alunos do 7ºano, deu-se início a

aplicação do projeto, com atividades da tarefa 2 (ver anexo1), sobre os diferentes

tipos de representações, tais como, mensagens de msm, carta enigmática.

Para início da representação algébrica, foi aplicada uma dinâmica (ver anexo

2). O que você é? Bala (z), Pirulito (p) ou Bombom (b)?

Com o objetivo de formar uma expressão algébrica, com os símbolos (letras)

referentes aos três objetos, colados em cada um deles, onde (Bala era representada

pela letra z, o pirulito pela letra p e bombom pela letra b),assim os alunos ao

retirarem da caixa o objeto, dizia qual letra ele representava. Ao final efetuou-se a

soma das letras. Desta maneira, formou-se a expressão 8z + 6p + 9b. A partir desta

expressão foram efetuadas várias indagações, como: Esta expressão é numérica ou

algébrica? É possível obter resultado numérico para ela? O que ela está

representando? Assim, os alunos tiveram o primeiro contato com o termo “álgebra”.

Foi apresentado um texto sobre a origem da mesma, o desenvolvimento do estudo

da álgebra e os principais matemáticos que contribuíram com a construção desse

importante conceito, salientando também que este conteúdo faz parte de toda vida

escolar do aluno.

A expressão algébrica representativa de alguns fatos, foi desenvolvida na

tarefa 3 (ver anexo 3), escrevendo simbolicamente e praticando representações

algébricas, estas atividades visaram envolver situações numéricas e algébricas onde

nem sempre foi possível obter-se um resultado. Apesar de algumas dificuldades

iniciais os alunos gostaram deste tipo de atividade, que visa o estabelecido nas

Diretrizes Curriculares Estaduais(DCEs) de Matemática que defende: “uma

abordagem pedagógica que os articule, na qual os conceitos se complementem e

tragam significado aos conteúdos abordados”. (PARANA 2008 p.52).

Utilizando a metodologia da modelagem matemática, foi desenvolvida com

os alunos sobre uma atividade com o título: A cesta básica na cidade de Loanda-PR,

primeiramente os alunos tiveram acesso a um texto sobre a origem e a história da

cesta básica em nosso país, retirada do site do Dieese, disponível em

http://www.dieese.org.br/metodologia/metodologiaCestaBasica. A partir daí, foi

realizada uma pesquisa sobre o comércio da cesta básica em nossa cidade, em que

se organizaram duas tabelas, cesta básica média e cesta básica grande, e foram

apresentados vários questionamentos sobre a mesma. Exemplo: O porquê do nome

cesta básica? Quais diferenças entre a cesta básica criada em 1938 e a atual? Os

itens são suficientes para suprir a necessidade de uma família? Qual o preço médio

da cesta básica em nossa cidade? Quais os itens de produtos que a compõe? (entre

outros).

Com todos esses questionamentos discutidos e respondidos, em sala de

aula, partiu-se para a construção da relação cesta básica, aritmética e álgebra, onde

os alunos puderam manusear os produtos da cesta básica, fazendo as relações e as

representações algébricas dos itens da mesma, construíram uma expressão

algébrica que representou o custo da cesta básica de acordo com os seus itens,

escolheram letras para representar estes itens, depois substituíram essa letra pelo

seu valor, podendo, assim, chegar ao preço final da cesta básica. Também

atribuíram letras para representar a cesta básica grande e média, fazendo cálculos,

simulando a compra de grande quantidade de cestas, calcularam, e ainda, o item de

maior custo, justificando a resposta. Compararam o supermercado que oferecia o

melhor preço pela cesta e, ainda, fizeram a representação de alguns produtos

individuais da cesta escolhendo sempre as letras que iriam representá-los, Exemplo:

Arroz a, simulando a compra de 4a seria a compra de 4 pacotes de arroz, e vice-

versa o que significa a compra de 3f seria a compra de 3 pacotes de feijão. Toda

esta simbologia utilizada representou a utilização da álgebra, de acordo a realidade

dos alunos para que atingisse o objetivo deste estúdio, ou seja, afirmar que a

utilização de letras pela matemática pode ser algo real e concreto para os alunos.

Como já mencionado anteriormente, continuou-se a construção da relação

álgebra e aritmética, pois depois de atribuírem letras aos produtos, esses símbolos

foram substituídos por seus valores e assim eles puderam chegar ao resultado

numérico das expressões, aprofundando um pouco mais e quando compramos

quantidades não conhecidas como podemos representá-las aproveitando este

momento foi apresentado o conceito de variável, exemplo: Quanto irá se gastar na

compra de n pacotes de feijão? C= 4,29. n (o custo dessa compra será de 4,29 por

pacote multiplicado por as “n” quantidades).

Na tentativa de melhor compreensão do conceito de álgebra foram

desenvolvidas outras atividades envolvendo as expressões algébricas sem a

necessidade de encontrar uma resposta numérica. Os alunos acharam um tanto

diferente, pois nunca tinham vivenciado situações em que quantidades podiam ser

letras, mas depois compreenderam o processo representativo. Exemplo: Maria

comprou 3 peras e 4 maçãs. Represente o que Maria comprou? 3p + 4m. Diante

desta pergunta, algumas questões foram levantadas por eles tais como: Quanto ela

gastou? Fica assim mesmo? E o resultado? Para descobrir o valor gasto seria

necessário saber o preço da pera e da maçã, ou seja, para resolver uma expressão

algébrica é necessário que as letras, sejam substituídas por valores numéricos.

Ao finalizar o trabalho com os itens da cesta básica, foi discutido se somente

os produtos da cesta básica seriam possíveis de representações algébricas. Dando

continuidade ao estudo da álgebra, foram propostas outras situações (modelos)

através das quais os alunos puderam utilizar a representação algébrica e encontrar a

solução numérica quando possível, também foi permitido a cada aluno que

apresentasse duas outras situações nas quais fosse possível o emprego das

expressões algébricas independente de ter resultado numérico ou não.

Em face do exposto, percebeu-se a importância do contexto, pois os alunos,

em sua maioria, conseguiram apresentar diversas situações onde empregariam a

representação algébrica e muitos relataram que a matemática com o uso das letras

não era tão difícil assim, portanto esses alunos verificaram que é possível aplicar o

conceito na vida real, em situações concretas.

5. CONSIDERAÇÕES FINAIS

O uso da modelagem matemática como ferramenta pedagógica é uma entre

muitas possibilidades presentes em nossa prática docente atual, pois a cada dia, os

avanços metodológicos se fazem necessários e dinamizam a prática educacional do

professor de matemática que não pode mais ficar indiferente a essa necessária

mudança. Apesar das muitas dificuldades encontradas, quando utilizadas, elas

abrem novos horizontes e possibilidades e o mais importante acredita que seja pela

participação direta do aluno no processo, que ela se torna necessária e fundamental

para a construção do conteúdo. Não que isso determine a garantia de sucesso com

a abrangência de todos, pois outros fatores interferem e invade nosso cotidiano

escolar, como, a questão da falta de incentivos ou compromisso, o envolvimento da

comunidade escolar, conscientização dos alunos para aprender, o número de alunos

por sala e tantas outras peculiaridades presentes no contexto de uma sala de aula

atualmente, mas é mais uma possibilidade que vem para somar e enriquecer o

trabalho do professor na busca por um ensino e aprendizagem de melhor qualidade

na disciplina de matemática.

Durante o GTR (espaço de socialização das produções elaboradas no PDE

com os colegas professores) o projeto recebeu várias interações a distância do

grupo de professores da Rede Pública de Ensino. Neste grupo de trabalho os

professores tiveram a oportunidade de conhecer, analisar, refletir e discutir sobre o

material didático produzido, fizeram sugestões, como por exemplo, implementar

jogos para o ensino da álgebra.

Ao longo das realizações das tarefas, principalmente aquelas em que os

alunos tiveram a oportunidade de manusear os produtos da cesta básica, estas

atividades permitiram uma dinâmica favorável para a compreensão e assimilação

dos conceitos sobreas representações algébricas, pois o fato de conhecer e

visualizar o objeto de estudo é muito importante para internalizar o que se aprende,

principalmente nas séries iniciais. Outro dado importante se refere as

transformações que ocorreram ao fazerem as comparações entre os produtos e as

letras (arroz posso representar por “a” , “z” e macarrão posso representar por “m”,

“c”). Isso trouxe a clareza de que essas representações podem ocorrer com

quaisquer letras, mas é necessário saber que quando comparamos duas grandezas

diferentes não podemos utilizar a mesma letra para representá-las: (2 pacote de

arroz + 3 pacote de macarrão seria 2a +3m e não 2a + 3a). Assim eles recorreram

ao aspecto experimental para as novas situações investigadas.

Segundo os relatos na avaliação da forma de abordagem do conteúdo de

representação algébrica, os alunos afirmaram que o conhecimento construído

através da modelagem deixou este conteúdo da matemática mais dinâmico,

acessível e interessante, sendo possível ter uma boa compreensão sobre o uso de

letras pela matemática, apesar de alguns continuarem afirmando ser difícil, veja a

resposta de um aluno da turma. (ver anexo 4).

Com isso, pode-se afirmar que a busca por superar as práticas antigas,

pressupõe muito estudo, estímulos, ações e reflexões que proporcionem uma prática

pedagógica pautada na busca por um processo de ensino cada vez mais eficaz e

uma alternativa pedagógica para alcançar esse objetivo é o uso da modelagem

matemática, que nos permite um campo amplo de possibilidades.

Sendo assim, a produção didática elaborada buscou esta superação de

práticas de exposição de conteúdo e exercícios de repetição, ela propôs uma

nova abordagem que pressupõe desafios ao educador, ações e reflexões,

propondo uma nova prática pedagógica que foi aplicada como experimento para

dar uma diferente introdução ao ensino da álgebra de maneira compreensiva

para o aluno, promovendo a passagem da matemática numérica para a

matemática algébrica de modo prudente e simples para ajudar o aluno a

entender e construir o conceito inicial de álgebra, na busca de um processo de

ensino aprendizagem cada vez mais produtivo e eficaz que seja capaz de

promover um bom nível de aprendizagem.

Veja o gráfico com os resultados sobre a compreensão do conhecimento

adquirido de representação algébrica e de expressão algébrica.

Portanto, concluo afirmando que o presente artigo relata uma experiência de

uma abordagem metodológica dinâmica, que a modelagem matemática, embora não

seja uma garantia de sucesso total, mas busca a transformação no processo de

ensino aprendizagem onde o aluno seja capaz de agir concretamente na construção

do seu conhecimento, retrata também a busca de uma educadora que se preocupa

com sua prática educacional e acima de tudo prima por uma educação de qualidade.

6. REFERÊNCIAS ALMEIDA, LOURDES WERLE DE, KARINA PESSOA DA SILVA, RODOLFO EDUARDO VERTUAN. Modelagem matemática na educação básica, São Paulo, Contexto 2012.

ANDRINI, ÁLVARO, MARIA JOSE VASCONCELLOS, Praticando Matemática. Editora do Brasil 1ª Edição. São Paulo,2006. APRENDER A APRENDER, Vídeo Educacional, postado por Mauro Cesar encontrado no endereço https://www.youtube.com/watch?v=Pz4vQM_EmzI, visualizado em 28/08/2013.

BASSANEZI, RODNEY CARLOS. Ensino-aprendizagem com modelagem matemática: uma nova estratégia, 3ª. Edição. São Paulo, Contexto, 2010.

BIEMBENGUT, Maria Salett; HEIN, Nelson.Modelagem matemática no ensino. São Paulo:Contexto, 2000. BIGODE, ANTONIO JOSE LOPES, Matemática hoje é feita assim, 6ª. Serie, Editora FTD,2º Edição, São Paulo, 2006.i BOYER, Carl B. A História da Matemática, São Paulo,Blücher, 1974

BRASIL. Parâmetros Curriculares Nacionais: matemática. Secretaria da Educação

Fundamental. Brasília: MEC/SEF, 1998.

BRASIL. Parâmetros Curriculares Nacionais: terceiro e quarto ciclos do ensino

fundamental: introdução aos parâmetros curriculares nacionais. Secretaria da

Educação Fundamental. Brasília: MEC/SEF, 1998.

CARAÇA,B. de J. Conceitos Fundamentais da Matemática.Herdeiros de Bento de Jesus Caraça/gradativa -Publicações, L.da, 6ªed.Lisboa 2005. FIORENTINI, Dario; Maria Ângela Miorin e Antonio Miguel. Artigo: Contribuição para um repensar, a educação algébrica Elementar. HOUSE, PEGGY A. Reformular a álgebra da escola média: por que e como? In: As ideias da álgebra. Org.: COXFORD, Arthur F. e SHULTE, Albert P. (Trad.: DOMINGUES, Hygino) - São Paulo: Atual, 1995.

IMENES, Luiz Márcio Pereira; LELLIS, Marcelo. Matemática. 6ª série. 1ª ed., 5ª impressão. São Paulo: Scipione, 2003 KLÜSENER, RENITA Org. Ler e escrever compromisso de todas as áreas, 4ª edição, Porto Alegre, Editora Universidade/URFGS, 2001. LINS, R. C. e GIMENEZ, J..Perspectivas em aritmética e álgebra para o século XXI. Campinas, SP. Papirus, 1997. PARANÁ, Diretrizes Curriculares da Educação Básica – Matemática. Curitiba: Secretaria deEstado da Educação, 2008

RIBEIRO, JACKSON,Projeto Radix 7 º ANO, editora scipione 1ª Edição, São Paulo 2011 SITE: http://veja.abril.com.br/idade/exclusivo/perguntas_respostas/linguagem-internet-

celular/idioma-escrita-abreviada-jovens-adolescentes.shtml. acesso em 06/09/2013

SITE: http://www.dieese.org.br/metodologia/metodologiaCestaBasica.pdf acesso em 18/09/2013. Texto sobre a história da cesta básica.

ANEXOS

Anexo 1 TAREFA 2

Colégio __________________________________________________________

Aluno ___________________________________________________________

Curso __________________Série_________ turma _______data ____________

Atividade sobre diferentes tipos de Representações

Veja um exemplo do uso das linguagens simplificadas que virou praxe entre quem

usa a internet e costuma mandar mensagens de texto pelo telefone celular.

Confira a tabela abaixo com alguns exemplos dessa ortografia particular e depois

responda as questões abaixo:

Achar Axar louco Loko Saudade sdds

Nossa Nsa Você Vc ou voxe Chegar Xega

Também Tmb,tbem ou Tb Qu assim Axim É eh

Não Naum amigo Miguxo Que q

Tudo Tdu ou td beleza Blz Se c

1)Faça a tradução para linguagem formal da frase abaixo, escrita de maneira simplificada na linguagem da internet e celular

a) Nsa tmb naum da pra t tdu. Ta loko de baum, c tah reclamando a toa.

_______________________________________________________________ b) Miguxo, pq vc naum xega logo, to loko de saudade tmb. _____________________________________________________________ 2) Agora escreva traduza para a linguagem simplificada da internet e celular, as frases abaixo: a) Que beleza, você é tudo de bom meu amigo. _____________________________________________________________ b) Assim que você chegar, me avise estou louco para te ver. _______________________________________________________________

Anexo 2

Dinâmica utilizando a Representação algébrica

Apresentação dos alunos, através da álgebra. O que voce é? Z, P ou B.

Bala Pirulito Bombom

_______________ _______________ _________________

Serão propostas as seguintes indagações: Qual foi a expressão formada? _____________________________________ É uma expressão algébrica ou numérica? Por quê? _____________________ ______________________________________________________________ È possível efetuar uma adição dos termos?____________________________ E obter um resultado numérico para ela? _____________________________ Qual o resultado final da expressão? ________________________________

ÁLGEBRA Os árabes, ao contrário de outras civilizações antigas, costumavam preservar e aprender com os conhecimentos de outros povos. Um califa chamado Al-Mamun, que viveu entre 809 e 833, reuniu em Bagdá vários sábios para traduzir e estudar obras matemáticas dos gregos e dos hindus. Entre eles estava um árabe chamado Al Khowarizmi. Numa de suas obras, esse sábio mostrou os princípios do sistema de numeração hindu. Foi por meio dessa obra que a Europa conheceu esse sistema. Por isso seu nome foi associado aos símbolos que os hindus usavam para representar os números: Al Khowarizmi algarismos. De outra obra desse sábio chamada Al-jabr wal nugãbalah veio o nome Álgebra (AL-jabr), que é o ramo da matemática que trata da utilização das letras para representar números e relacionar grandezas. Fonte texto: Novo Praticando Matemática, Álvaro Andrini e Maria José Vasconcelos, 6ª. Série, 2002, p.181

É agora você irá conhecer e aprender sobre a álgebra!

Anexo 3

TAREFA 3

Colégio __________________________________________________________

Aluno ___________________________________________________________

Curso ________________ Série _________ turma _______ data ____________

Escrevendo simbolicamente 3 + 8 + 0 + X + Y + Z + K + G .......

1)Escreva sob a forma de uma expressão, na forma algébrica ou numérica: a) A soma de 12 e 28 ____________ b) 7 vezes um número mais 3________ c) A diferença de 48 e 32 _________ d) Um número menos 9 _____________ e) O dobro de um número ________ f) O produto de 8 e um número _______ g) A metade de um número_______ h) 13 menos 2 vezes um número______

2) Antônio jogou seis vezes um jogo no videogame. Veja a sequência dos pontos

que ele fez. Ganhou 8 Perdeu 5 Ganhou 4 perdeu 3 ganhou 15

Escreva a expressão numérica desta sequencia e seu resultado? ______________ Agora como ficaria esta expressão se a pontuação fosse da seguinte maneira.

Ganhou 8Z Perdeu 5Z Ganhou 4Y perdeu 3Y ganhou 15X

Escreva a expressão que traduza essa situação. __________________________

É possível obter um resultado? Que tipo de expressão você utilizou?

________________________________________________________________

3) Escreva um expressão para cada pergunta:

a) Matheus tem 23 anos. Que idade ele:

b) Nicole tem 22 kg de peso. Quanto ela pesará

* terá daqui a 9 anos? depois que: Ganhar 6 kg?

* Tinha há 12 anos atrás? * Perder 5 kg?

* terá daqui x anos? * Engordar y kg?

4) Escreva em linguagem algébrica:

a) O sucessor de x ___________ b) O antecessor de n - 3 _______________

c) A raiz quadrada de z __________ d) A diferença entre dois números________

e) A soma de dois números consecutivos_______ f) o quadrado de y __________

(Adaptado) Bigode, Antônio Jose Lopes, 7ª série, S. Paulo, Editora FTD, 2006 e Ensinar e Aprender 2,

Matemática, ficha individual. Praticando Matemática, Álvaro Andrini e Maria J Vasconcellos 6ª. série

Praticando Representações Algébricas

Em um supermercado, o preço do refrigerante custa y reais. Com base no preço do

refrigerante, podemos escrever uma expressão para representar o preço de outros

produtos deste supermercado.

exo 4- Resposta do aluno.

Produto Preço Representação Algébrica

Refrigerante Y reais Y

Ovos dz Custa o preço do refrigerante mais R$1,25

Pão Custa metade do preço do refrigerante

Lasanha Custa o dobro do preço da dúzia de ovos

Melão Custa a 1/3 do preço do refrigerante por kg

Açucar 5kg O triplo do refrigerante mais X reais

Milho verde Custa x reais mais R$.0,75

Feijão Custa o preço da dúzia de ovos mais R$.0,50

Arroz 5 kg Custa 2 vezes o preço Refrigerante mais R$.2,50

Sorvete Custa o quadruplo do preço do pão menos R$.0,50

Macarrão Custa o triplo do preço do milho verde

Biscoito Custa o metade do preço do feijão

Imagens: A autora Adaptada de Ribeiro, Jackson, Projeto Radix, 7º ano, p.149, editora scipione, S. Paulo 2011.

ANEXO 4