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OS DESAFIOS DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSENA PERSPECTIVA DO PROFESSOR PDE

Produções Didático-Pedagógicas

Versão Online ISBN 978-85-8015-079-7Cadernos PDE

II

SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO SUPERINTENDENCIA DE EDUCAÇÃO

PROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL – PDE / SEED

IDALCI DE AZEREDO COUTINHO

SOFTWARE GEOGEBRA: RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS

NO TRIÂNGULO RETÂNGULO

CURITIBA

2014

SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO SUPERINTENDENCIA DE EDUCAÇÃO

PROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL – PDE / SEED

IDALCI DE AZEREDO COUTINHO

UNIDADE DIDÁTICA

SOFTWARE GEOGEBRA: RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS

NO TRIÂNGULO RETÂNGULO

Produção didático-pedagógica apresentada a SEED/SUED – PR, como requisito para o cumprimento das atividades previstas dentro do Programa de Desenvolvimento Educacional – PDE do Estado do Paraná, orientado pela Professora Ma. Violeta Maria Estephan da Universidade Tecnológica Federal do Paraná/Campus Curitiba/PR.

CURITIBA

2014

Autor Idalci de Azeredo Coutinho

Disciplina/Área Matemática

Escola de Implementação do Projeto e sua localização

Colégio Estadual Avelino Antonio

Vieira – Ensino Fundamental e Médio

Município da escola Curitiba/PR

Núcleo Regional de Educação Curitiba

Professor Orientador Professora Ma. Violeta Maria Estephan

Instituição de Ensino Superior UTFPR – Universidade Tecnológica Federal do Paraná do Paraná

Resumo Esta proposta busca promover o aprimoramento no processo de ensino da Matemática. Será desenvolvido com alunos do 9º ano do Ensino Fundamental do Colégio Estadual Avelino Antonio Vieira, em Curitiba no Estado do Paraná, uma unidade didática que aborda conceitos de Geometria e Trigonometria utilizando o software de geometria dinâmica Geogebra, como forma de auxiliar o professor de matemática na construção do conhecimento. Este software favorece uma postura investigativa, possibilitando uma concepção da matemática diferente da normalmente vista no dia a dia escolar, sem o uso dessa tecnologia.

Palavras-chave Razões Trigonométricas; Triângulo Retângulo; Tecnologia; Geogebra

Formato do Material Didático Unidade didática

Público Alvo Alunos do 9º ano do Ensino

Fundamental

1. APRESENTAÇÃO

Sabemos que a Matemática está presente em todas as situações do nosso

dia a dia, por isso atualmente se faz necessário que as atividades

desenvolvidas e os conteúdos trabalhados em sala de aula estejam inseridos

no contexto do educando, como forma de tornar o conteúdo melhor associado

às necessidades dos alunos.

Para Skovsmose (2008) “[...] a essência da matemática encontra-se em

suas aplicações e, portanto, de certo modo, fora da matemática. No processo

de educação, é, então, extremamente importante ilustrar as várias maneiras de

a matemática ser útil” (p.21).

O mesmo autor conclui que o ensino da matemática está em toda parte e

que ela vai além de uma ciência exata, portanto é fundamental que se

desenvolva uma educação matemática crítica voltada à inserção de nossos

educandos na sociedade a qual pertencem e não de exclusão.

(...) Se desejamos uma educação matemática que facilite as reflexões sobre a matemática em ação, então devemos trabalhar na direção de estabelecer ambientes de aprendizagem nos quais as reflexões possam ser estimuladas por meio de diálogos. Tal estímulo é influenciado pela forma como o processo de ensino e aprendizagem é organizado e contextualizado (SKOVSMOSE, 2008, p.63).

É fundamental que a educação matemática forme cidadãos que sejam

capazes de dialogar, agir, refletir e interagir em sua realidade, como sujeitos de

transformação. Assim, desenvolvendo questionamentos, trazendo respostas e

buscando desafios, os quais produzem diferentes significados por meio da

reflexão e atividades propostas como forma de um entendimento da

matemática escolar e sua relação com o mundo.

Segundo Cavalcante (2002) “[...] a matemática traz grandes contribuições

para o desenvolvimento do aluno, pois ela tem relações estreitas com diversas

áreas do conhecimento e da atividade humana”(p.84). Inclusive para a

realização das atividades de cidadão no seu dia a dia se faz necessário

compreender a matemática contextualizada e pautada na realidade sócio

cultural. Esta tem o intuito de buscar significados, desenvolver uma consciência

crítica direcionando os conhecimentos do educando para um exercício pleno de

cidadania.

A Matemática é componente importante na construção da cidadania, na medida em que a sociedade se utiliza, cada vez mais, de conhecimentos e recursos tecnológicos, dos quais os cidadãos devem se apropriar. (BRASIL, 1998, p. 19)

Vivenciamos uma época de profundas transformações sociais, culturais e

econômicas o que impõe a necessidade de novas metodologias de ensino

como forma de auxílio na construção do conhecimento e na absorção e

inserção de conceitos matemáticos pelo aluno. Portanto, de acordo com as

tendências metodológicas, os recursos tecnológicos contribuirão como

ferramentas pedagógicas, auxiliando no processo de ensino e aprendizagem.

Para Penteado e Skovsmose (2008), a introdução das novas tecnologias no

ambiente escolar pode contribuir para a melhoria das condições de acesso à

informação. Pode ser expresso pela necessidade do uso da tecnologia em

aulas, especificamente nas aulas de matemática, visto que, é direito do aluno

ter acesso, por exemplo, ao computador “que pode proporcionar [...] a abertura

de novas oportunidades de participação na vida democrática da sociedade.” (p.

47).

O ensino da matemática pode capacitar e formar cidadãos para viver,

conviver e interagir com os diferentes recursos tecnológicos presentes em

nossas escolas. A utilização de diferentes mídias no processo ensino e

aprendizagem favorece a construção do conhecimento e motiva o aprendizado

como um todo, exigindo formação continuada constante do professor.

O contato com diferentes tipos de tecnologias e a utilização dessas TICs

auxilia no processo de construção do conhecimento, tornando o aprendizado

mais dinâmico, atraente e prazeroso. Desta forma a relação aluno/professor e

as práticas para a construção do conhecimento tem um novo significado.

Este faz com que seja necessário à utilização de softwares para o

desenvolvimento e aplicação dos conteúdos estudados em sala de aula. Por

exemplo, o Geogebra no ensino das razões trigonométricas no triângulo

retângulo. Este software possibilita ao aluno o conhecimento e a compreensão

das relações e propriedades da trigonometria. E será utilizado neste trabalho

por ser um software acessível e de fácil compreensão, bem como pelo fato do

mesmo já estar instalado no Laboratório de Informática da escola em que esta

proposta será implantada.

De acordo com os Parâmetros Curriculares Nacionais (BRASIL, 1999)

Aulas e livros, contudo, em nenhuma hipótese resumem a enorme diversidade de recursos didáticos, meios e estratégias que podem ser utilizados no ensino de Ciências e da Matemática. O uso dessa diversidade é de fundamental importância para o aprendizado porque tabelas, gráficos, desenhos, fotos, vídeos, câmaras, computadores e outros e outros equipamentos não são só meios. Dominar seu manuseio é também um dos objetivos do próprio ensino das Ciências, Matemática e suas Tecnologias [… ] (p.107).

Vários pesquisadores concordam que fazer uso de tecnologias e

encontrar formas de utilizar informações, resolver problemas, desenvolver

competências é fundamental para o ensino da matemática (BORBA e

PENTEADO, 2012; KALINKE, 2003; PAIS, 2008). Assim como esses autores

julgamos o computador como um excelente recurso didático.

O uso de alternativas diferenciadas de ensinar matemática contribui para

que os alunos gostem dela, porque a forma tradicional já não tem mais espaço

para a época que vivemos, é preciso inovar diferenciar, ousar. Neste trabalho

desenvolveremos atividades utilizando software educacional para o ensino da

matemática, o que favorece a inserção do aluno no contexto social, desenvolve

a criticidade, insere o aluno no meio digital e o conecta com o mundo

contribuindo para a formação do cidadão crítico (SKOVSMOSE, 2008).

O software escolhido para a ação pedagógica foi o software Geogebra,

porque os recursos disponíveis nele propiciam oportunidades para que o

professor os utilize como forma de incrementar e dinamizar suas aulas. A

apresentação do estudo de razões trigonométricas no triângulo retângulo de

forma dinâmica, contextualizada e diferenciada proporcionará ao aluno um

entendimento e aprendizado de forma significativa.

Segundo as Diretrizes Curriculares da Educação Básica do Estado do

Paraná (PARANÁ, 2006) na disciplina de Matemática:

A contribuição da geometria para a formação do indivíduo não pode se restringir somente ao desenvolvimento da percepção espacial. O ensino de geometria deve permitir que o estudante leia com percepção, senso de linguagem e raciocínio geométricos, fatores que influenciam diretamente para construir e apropriar-se de conceitos

abstratos, sobretudo daqueles que se referem ao objeto geométrico (p. 37).

O trabalho será desenvolvido com uma turma do 9º ano do Ensino

Fundamental do Colégio Estadual Avelino Antonio Vieira no 1º semestre de

2015, com o uso do software Geogebra. Todas as atividades serão

desenvolvidas em etapas, num total de 32 aulas de 50 minutos cada.

Está Unidade Didática explora o conteúdo razões trigonométricas no

triângulo retângulo em três aspectos:

Primeira etapa: explora os conceitos de geometria e apresenta o manual

com orientações para o uso do software Geogebra.

Segunda etapa: apresenta uma revisão, com uso do software Geogebra,

dos conteúdos de geometria, e apresenta uma introdução do conteúdo razões

trigonométricas no triângulo retângulo.

Terceira etapa: realiza atividades contextualizadas envolvendo o

conteúdo estudado para serem desenvolvidas com o uso do software

Geogebra.

2. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

Vivenciamos a era das inovações e das transformações tecnológicas que

tem impactado constantemente a vida das pessoas em seu contexto social e

em todos os segmentos do qual fazem parte (KALINKE, 2003) Esse dinamismo

tecnológico faz parte da cultura dos jovens e, portanto é fundamental que o

profissional da educação repense sua prática buscando integrar esses

recursos, como softwares, para auxiliar a construção do conhecimento em suas

aulas, como afirma Pais (2008):

A inserção dos recursos tecnológicos da informática na educação escolar pode contribuir para a melhoria das condições de acesso à informação, minimiza restrições relacionadas ao tempo e ao espaço e permite agilizar a comunicação entre professores, alunos e instituições [...] (p. 29).

Assim, concordamos com esse autor e acreditamos que a utilização de

recursos tecnológicos em sala de aula proporcionará uma enorme contribuição

na assimilação do conhecimento e na aprendizagem, melhorando a prática do

professor. Além de estimular atitudes positivas em relação à Matemática, pois

com o auxilio da tecnologia práticas relacionadas às tendências em educação

matemática (modelagem matemática, resolução de problemas, investigação

matemática) podem ser desenvolvidas com base em dados relacionados ao

cotidiano, contribuindo para a formação do cidadão crítico (SKOWSMOSE,

2008).

Neste contexto de utilização de recursos tecnológicos o professor pode

mediar o processo do conhecimento estimulando o aluno a analisar as

informações recebidas, interpretar, processar e decodificar de forma crítica

essas informações, facilitando a prática e a aquisição do conhecimento

(PARANÁ, 2008).

De acordo com as mídias tecnológicas, as Diretrizes Curriculares de

matemática (PARANÁ, 2006) relatam que “o trabalho com as mídias

tecnológicas insere diversas formas de ensinar e aprender e valoriza o

processo de produção de conhecimentos” (p. 44). Portanto, essas mídias

devem ser utilizadas pelo professor como suporte metodológico na

aprendizagem do aluno.

Nas Diretrizes para o uso de Tecnologias Educacionais, (PARANÁ,

2010) a utilização dessas proporcionam um novo olhar do mundo através da

utilização de uma simples ferramenta que tem por finalidade animar e/ou

ilustrar conteúdos apresentados e desenvolvidos em sala de aula. A utilização

de ferramentas tecnológicas faz com que os professores procurem uma

formação continuada como forma de aquisição de conhecimentos e

enriquecimento de sua prática pedagógica.

Segundo Kalinke (2003)

A incorporação desses recursos no processo educacional trará benefícios a todos os atores envolvidos, além de preparar os alunos para a utilização de tecnologias com as quais eles terão contato permanente durante toda a sua vida profissional futura (p.29).

Portanto, o desenvolvimento científico tecnológico deve fazer parte do

processo educacional como forma de inserir o aluno na sociedade da

informação e do conhecimento. O uso do computador como uma ferramenta

nesse contexto e a utilização de um software educacional direcionado ao

aprendizado pretendido possibilitará uma dinâmica diferenciada na forma de

ensinar e assimilar conhecimento.

O ensino da Matemática com uso de um software adequado ao

conteúdo proposto é um importante recurso como forma de estímulo do

raciocínio lógico, da organização do pensamento, da capacidade de resolver

problemas, da concentração e atenção, bem como uma alternativa de

motivação para a aprendizagem.

Segundo as Diretrizes Curriculares do Estado do Paraná (PARANÁ,

2008) entende-se por educador matemático

[...] um professor interessado em desenvolver-se intelectual e profissionalmente e em refletir sobre sua pratica para torna-se um educador matemático e um pesquisador em continua formação. Interessa-lhe, portanto, analisar criticamente os pressupostos e as ideias centrais que articulam a pesquisa do currículo, a fim de potencializar meios para superar desafios pedagógicos (p15).

Despertar o interesse do aluno e o gosto pelo aprendizado matemático é

um dos desafios pedagógicos. Desafio este que está centrado na construção

do conhecimento e no despertar para o aprendizado, para a autonomia, para a

instigação, a reflexão, a investigação e a descoberta.

De acordo com Bicudo e Borba (2012): “O aprendizado deve ser um

processo ativo, em que os aprendizes “colocam a mão na massa” (hands-on)

no desenvolvimento de projetos, em vez de ficarem sentados atentos à fala do

professor” (p.288).

A utilização do computador e de softwares específicos estimulam a

curiosidade, a observação, a investigação e a troca de experiências, bem como

relaciona o conhecimento escolar com a vida, levando o aluno a interagir com

uma diversidade maior de recursos proporcionando uma relação de

aprendizado mais eficiente em relação ao conteúdo a ser aprendido.

Para Borba e Penteado (2012)

O acesso à informática deve ser visto como um direito e, portanto, nas escolas públicas e particulares o estudante deve poder usufruir de uma educação que no momento atual inclua, no mínimo, uma “alfabetização tecnológica”. [...] o computador deve estar inserido em atividades essenciais, tais como aprender a ler, escrever, compreender textos, entender gráficos, contar, desenvolver noções espaciais etc. (p. 17).

Em uma era de informatização e conhecimento os alunos devem se

familiarizar com o computador e com programas específicos que podem

proporcionar o aprofundamento do aprendizado matemático. Podem-se citar

alguns softwares que auxiliam o ensino da Geometria e desenvolvem

habilidades matemáticas, como: Geogebra, Dr.Geo, Régua e Compasso, Cabri

Geometri, Curve Expert, Eukid, Shapari, Geoplan, Inderella, Great Stelha, entre

outros.

Nas Diretrizes Curriculares Estaduais do Paraná (PARANÁ, 2008) está

estabelecido que o estudo da Trigonometria faz parte do conteúdo estruturante

“Grandezas e Medidas” o que impõe a articulação e a utilização das tendências

metodológicas da Educação Matemática, que são citadas nesta diretriz.

Muitas vezes o conteúdo de trigonometria é abordado de forma

desarticulado e sem estar inserido dentro de um contexto impedindo que o

aluno estabeleça relações do conteúdo com situações do dia a dia.

2.1 SOFTWARE DE GEOMETRIA DINÂMICA: GEOGEBRA

O software Geogebra foi desenvolvido por Markus Hohenwarter,

professor da Universidade de Salzburg, com o objetivo de proporcionar um

estudo da Matemática mais dinâmico e atraente. Encontra-se esse software

com facilidade em sites de busca, como: http://www.geogebra.org/c.

Segundo Colpo (2009)

Por um lado, o Geogebra possui todas as ferramentas tradicionais de um software de geometria dinâmica: pontos, segmentos, retas e seções cônicas. Por outro lado, equações e coordenadas podem ser inseridas diretamente. Assim, o Geogebra tem a vantagem didática de apresentar, ao mesmo tempo, duas representações diferentes de um mesmo objeto que interagem entre si: sua representação

geométrica e sua representação algébrica (p. 2).

Com o software Geogebra pode-se representar um mesmo objeto de

formas diferentes: a construção geométrica e a construção algébrica. Este

software também permite a experimentação e a ênfase no processo de

visualização, o que favorece as investigações, descobertas, confirmação de

resultados e possibilita a realização de simulações.

Uma das vantagens deste software em relação aos outros é que

podemos acessar as funções deste programa, tanto pelos botões na Barra de

Ferramenta, como também pelo Campo de Entrada. Também podemos alterar

as propriedades dos objetos construídos utilizando a janela de Álgebra e

algumas ferramentas do Botão Direito do Mouse.

A figura a seguir mostra a tela inicial do software Geogebra.

http://www.geogebra.org/c

FIGURA 1: Tela inicial do software Geogebra. Disponível em http://www.geogebra.org/c

O software Geogebra apresenta uma barra de ferramentas que está

dividida em 11 janelas conforme se apresenta abaixo:

FIGURA 2: Barra de Ferramentas do Geogebra.

Cada uma dessas janelas apresenta várias ferramentas que podem ser

visualizadas clicando na parte inferior do ícone, onde se tem outras opções

referentes à janela que foi clicada.

JANELA DE

ÁLGEBRA

↑ BARRA DE

COMANDOS

↑ AJUDA DOS

COMANDOS

JANELA GEOMÉTRICA/ÁREA

GRÁFICA

http://www.geogebra.org/c

A figura a seguir representa as Opções referentes à Barra de

Ferramenta.

FIGURA 3: Ícones que representam as Opções referentes à Barra de Ferramentas

O software Geogebra através de suas ferramentas nos fornece algumas

possibilidades. A seguir apresentam-se algumas dessas funções da Barra de

Ferramentas

Opções da Janela 1

MOVER

Seleciona, move e manipula objetos.

GIRAR EM TORNO DE UM PONTO

Através desta ferramenta giramos objetos em torno de um ponto.

GRAVAR PARA A PLANILHA DE CÁLCULO

Ao selecionarmos diversos objetos na Janela de Visualização podemos

transportá-los para a planilha de cálculo.

Opções da janela 2

NOVO PONTO

Cria um ponto em um espaço livre, em um objeto ou em uma interseção.

Ao criar o ponto ele receberá automaticamente um nome ou rótulo. Essa

denominação se dará através da utilização de letras maiúsculas do alfabeto (A,

B, C...).

INTERSEÇÃO DE DOIS OBJETOS

Podemos explicitar através desta opção os pontos de interseção entre

dois objetos.

PONTO MÉDIO OU CENTRO

Cria o ponto médio entre dois pontos, bem como o centro de uma

circunferência ou cônica (elipse e hipérbole).


RETA DEFINIDA POR DOIS PONTOS

Cria uma reta que passa por dois pontos. Caso os pontos já existam na

área gráfica, basta dar dois cliques sobre eles.

SEGMENTO DEFINIDO POR DOIS PONTOS

Cria o segmento de reta que une dois pontos. Caso os pontos já existam

na área gráfica, basta dar dois cliques sobre eles.

SEGMENTO COM COMPRIMENTO FIXO

Cria o segmento de reta com comprimento definido. Cria-se o extremo

inicial. Feito isso aparecerá uma caixa na tela solicitando a medida do

comprimento do segmento, digita-se a medida e aperta o ENTER.

SEMIRRETA DEFINIDA POR DOIS PONTOS.

Cria uma semirreta a partir de dois pontos. Caso os pontos já existam na

área gráfica, basta dar dois cliques sobre eles.

VETOR DEFINIDO POR DOIS PONTOS

Cria um vetor a partir de dois pontos. Caso os pontos já existam na área

gráfica, basta dar dois cliques sobre eles.

VETOR A PARTIR DE UM PONTO

Cria um vetor paralelo a outro vetor. Para que isso ocorra é necessário

clicar num vetor e depois num ponto.


RETA PERPENDICULAR

Podemos construir uma reta perpendicular a uma reta, semirreta,

segmento, vetor, eixo ou lado de um polígono. Para que a perpendicular seja

criada clica-se sobre um ponto e sobre uma direção que pode ser representada

por qualquer semirreta, segmento, vetor, eixo ou lado de um polígono.

RETA PARALELA

Podemos construir uma reta paralela a uma reta, semirreta, segmento,

vetor, eixo ou lado de um polígono. Para que a paralela seja criada clica-se

sobre um ponto e sobre uma direção que pode ser representada por qualquer

semirreta, segmento, vetor, eixo ou lado de um polígono.

MEDIATRIZ

Constrói a reta perpendicular que passa pelo ponto médio de um

segmento. Caso os pontos já existam na área gráfica, podemos criar a

mediatriz clicando sobre o segmento ou sobre os dois pontos que o determina.

BISSETRIZ

Com esta ferramenta construímos a bissetriz de um ângulo clicando nos

três pontos que determinam o ângulo. O segundo ponto que deve ser clicado é

o vértice do ângulo, construindo assim a bissetriz do menor ângulo definido por

três pontos.

TANGENTES

Constrói as retas tangentes a uma circunferência, cônicas ou função, a

partir de um ponto. Para criar a tangente clicamos em um ponto e depois na

circunferência.

RETA POLAR OU DIAMETRAL

Constrói a reta diametral relativa a uma circunferência ou qualquer uma

das curvas cônicas.

RETA DE REGRESSÃO LINEAR

Encontra a reta que melhor se ajusta a um conjunto de pontos.

LUGAR GEOMÉTRICO

Constrói automaticamente o lugar geométrico descrito pelo movimento

de um objeto (ponto, reta etc.) ao longo de uma trajetória.


POLÍGONO

Constrói um polígono de n lados.

POLÍGONO REGULAR

Constrói um polígono regular a partir de um lado e a quantidade de

vértices (ou lados) que deverá ser digitado na caixa que aparecerá.


CÍRCULO DEFINIDO PELO CENTRO E UM DOS SEUS

PONTOS

Constrói um círculo a partir de dois pontos. Podemos traçar uma

circunferência com centro em A, passando por B. Para que isso ocorra é

preciso apontar o cursor para o ponto A, clicar, direcionar o cursor até o ponto

B e clicar.

CÍRCULO DADOS CENTRO E RAIO

Constrói um círculo a partir do centro e com comprimento do raio

definido. Basta clicar na tela ou em um ponto criando o centro do círculo.

Aparecerá uma caixa na tela solicitando a medida do comprimento do raio.

Digita-se o comprimento e dá um ENTER.

COMPASSO

Permite fazer o transporte de medidas. Basta clicar em dois pontos e

depois em um terceiro ponto para onde se pretende transportar a medida.

CÍRCULO DEFINIDO POR TRÊS PONTOS

Constrói um círculo a partir de três pontos. Basta clicar nos três pontos

que podem estar ou não na área gráfica.

SEMICÍRCULO DEFINIDO POR DOIS PONTOS

Constrói um semicírculo a partir de dois pontos. Basta clicar nos dois

pontos que podem já estar na área gráfica, caso não estejam é só criá-los com

a ferramenta ativada. O semicírculo deverá ser traçado no sentido horário.

ARCO CIRCULAR DADOS O CENTRO E DOIS PONTOS

Constrói um arco circular a partir de centro e dois pontos. È

preciso inicialmente clicar sobre o centro. Se o sentido dos cliques for anti-

horário o Geogebra construirá o menor arco definido pelos três pontos. Se for

horário, será construído o maior arco.

ARCO CIRCUNCIRCULAR DADOS TRÊS PONTOS

Constrói um arco a partir de três pontos. Basta clicar nos três pontos que

podem estar já na área gráfica, caso contrário ativa-se a ferramenta.

SETOR CIRCULAR: DADOS O CENTRO E DOIS PONTOS

Constrói um setor circular a partir do centro e dois pontos. É preciso que

o primeiro clique seja dado sobre o centro. Se o sentido dos cliques for anti-

horário, o Geogebra construirá o menor setor definido pelos três pontos. Se for

horário, será construído o maior setor.

SETOR CIRCUNCIRCULAR DADOS TRÊS PONTOS

Constrói um setor a partir de três pontos da circunferência. Basta clicar

nos três pontos que podem já estar na área gráfica. Caso contrário basta ativar

a ferramenta.


ELIPSE

Constrói uma elipse usando três pontos: dois focos e um terceiro ponto

na curva

HIPÉRBOLE

Constrói uma hipérbole usando três pontos: dois focos e um terceiro

ponto na curva.

PARÁBOLA

Constrói uma parábola usando um ponto e uma reta diretriz.

CÔNICA DEFINIDA POR CINCO PONTOS

Constrói uma cônica (parábola, elipse ou hipérbole) a partir de cinco

pontos. Basta clicar nos cincos pontos que podem estar já na área gráfica,

caso contrário ativa-se a ferramenta.


ÂNGULO

Com esta ferramenta podemos marcar e medir um ângulo definido por

três pontos, onde o segundo ponto clicado é o vértice dele. Sentido anti-horário

dos cliques o Geogebra marcará o maior ângulo definido pelos três pontos.

Sentido horário será construído o menor ângulo.

ÂNGULO COM AMPLITUDE FIXA

A partir de dois pontos construímos um ângulo com amplitude fixa.

Clicando nos dois pontos iniciais. Abrirá uma janela onde deverá ser digitado a

medida e o sentido (horário ou anti-horário) do ângulo que será criado.

DISTÂNCIA, COMPRIMENTO OU PERÍMETRO

Mostra na janela de visualização o comprimento de um segmento ou

distância entre dois pontos, bem como o perímetro de um polígono,(círculo ou

cônicas). Para que isso ocorra devemos clicar no segmento, polígono ou

círculo.

ÁREA

Mostra a área de uma região limitada por uma poligonal, circunferência

ou elipse.

INCLINAÇÃO

Mostra a inclinação de uma reta. Se a reta for construída a partir de dois

pontos, o comando exibirá um triângulo retângulo com hipotenusa sobre a reta

e com vértice em um dos pontos. Se a reta foi obtida de uma equação,

colocará esse triângulo com vértice na interseção com o Eixo X ou com o Eixo

Y.


REFLEXÃO COM RELAÇÃO DE UMA RETA

Constrói o reflexo (simetria axial) de um objeto (Ponto, círculo, reta,

polígono etc.) em relação a uma reta.

REFLEXÃO COM RELAÇÃO A UM PONTO

Constrói o reflexo ( simetria central ) de um objeto ( ponto, círculo, reta,

polígono etc. ) em relação a um ponto.

INVERSÃO

Constrói o reflexo de um ponto sobre uma circunferência. Se

considerarmos uma circunferência com centro O, então a reflexão de um ponto

P é um ponto Q que está na semirreta QP e onde |OQ|= 1

√𝐼𝑂𝑃𝐼.

GIRAR EM TORNO DE UM PONTO POR UM ÂNGULO

Constrói o reflexo (simetria rotacional) de um objeto (ponto, círculo, reta,

polígono, etc. )ao redor de um ponto, por um ângulo determinado.

TRANSLADAR OBJETO POR UM VETOR

Constrói o reflexo (simetria translacional) de um objeto (ponto, círculo,

reta, polígono etc.) a partir de um vetor.

AMPLIAR OU REDUZIR OBJETOS DADOS CENTRO E FATOR

DE HOMOTETIA

Constrói o homotético de um objeto (ponto, círculo, reta, polígono, etc.) a

partir de um ponto e um fator (número que é a razão de semelhança).


SELETOR

É um pequeno segmento com um ponto que se movimenta sobre ele.

Podemos modificar de forma dinâmica o valor de algum parâmetro através

desta ferramenta.

CAIXA PARA EXIBIR/ESCONDER OBJETOS

Permite a escolha dos objetos que serão mostrados quando está

ativada. Caso os objetos sejam desmarcados desaparecem da janela de

Visualização.

INSERIR TEXTO

Através desta ferramenta podemos inserir qualquer texto na área gráfica.

INCLUIR IMAGEM

Através desta ferramenta podemos inserir figuras na área gráfica. Ao

selecioná-la, e ao clicar na área gráfica abrirá uma caixa onde você poderá

procurar a figura que deseja inserir na tela. Estas figuras devem estar no

formato jpg, gif, png e tif.

RELAÇÃO ENTRE DOIS OBJETOS

Identifica algumas relações entre dois objetos: se um objeto pertence a

outro, se são paralelos, se são iguais, etc.


DESLOCAR EIXOS

Com esta ferramenta podemos mover o sistema de eixos e todos os

objetos contidos nele.

AMPLIAR

Podemos ampliar as figuras que estão na área gráfica, como se

estivesse aumentando o zoom.

REDUZIR

As figuras que estão na área gráfica com a utilização desta ferramenta

podem ser reduzidas como se estivesse diminuído o zoom.

EXIBIR/ESCONDER OBJETO

Com a utilização desta ferramenta podemos ocultar objetos. Basta

selecionar a ferramenta e clicar sobre o objeto que deverá ser ocultado.

Podemos também exibir os objetos que estão ocultos.

EXIBIR/ESCONDER RÓTULO

Podemos ocultar os rótulos dos objetos através desta ferramenta, bem

como exibir os rótulos que estão ocultos.

COPIAR ESTILO VISUAL

Com a utilização desta ferramenta podemos copiar um estilo visual de

um objeto para outro: pontilhado, cor, tamanho, etc.

APAGAR OBJETO

Os objetos podem ser apagados, tanto na área gráfica quanto na Janela

de Álgebra através da utilização desta ferramenta.

No software Geogebra o botão direito de mouse também possui algumas

funções. Quando se clica com o botão direito em uma área em branco da

Janela de Visualização aparece uma janela conforme a figura abaixo.

FIGURA 4: Janela de Visualização

Ao visualizar esta janela tem-se as seguintes opções:

EIXO: Exibe ou esconde os eixos coordenados.

MALHA: Exibe ou esconde uma grade no sistema de eixos.

ZOOM: A partir de um percentual fixo, aumenta ou diminui o zoom da

tela.

EIXO X e EIXO Y: Permite mudar a escala dos eixos. Se a

ferramenta DESLOCAR EIXOS (Janela 11) for ativado e se for

clicado sobre um dos eixos e arrastado, também teremos o efeito de

mudança de escala.

EXIBIR TODOS OS OBJETOS: Tornam visíveis todos os objetos que

estão escondidos.

VISUALIZAÇÃO PADRÃO: Retorna o sistema de eixos e a escala à

posição inicial.

PROPRIEDADES: Permite modificar as propriedades da Janela de

Visualização como: cor de fundo, cor dos eixos, marcadores,

distância entre uma marca e outra, unidades, etc.

Quando se clica com o botão direito do mouse sobre um determinado

objeto visualizaremos uma janela com diversas opções para o objeto

selecionado. A figura a seguir mostra o que ocorre ao clicar com o botão direito

do mouse sobre um ponto.

FIGURA 5: Janela com diversas opções para o objeto selecionado

Têm-se as seguintes opções:

EXIBIR OBJETO: Esconde ou exibe objetos.

EXIBIR RÓTULO: O rótulo é o nome do objeto. Esta opção permite

esconder ou exibir rótulos.

HABILITAR RASTRO: Deixa um rastro do objeto ao ser

movimentado.

COPIAR PARA A LINHA DE COMANDOS: Escreve no CAMPO DE

ENTRADA o comando que gera aquele objeto.

RENOMEAR: Permite dar um novo nome (Rótulo) ao objeto.

APAGAR: Permite apagar o objeto.

PROPRIEDADES: Permite acessar um ambiente de edição de

propriedades diversas do objeto tais como: cores, espessura,

intensidade de preenchimento, condição para o objeto aparecer, tipos

de coordenadas, etc.

Existe no Geogebra uma ferramenta, que permite operar comandos

escritos, denominada Campo de Entrada. Através do comando escrito podem-

se acessar praticamente todas as ferramentas da Barra de ferramentas. A

seguir a figura que representa o Campo de Entrada.

FIGURA 6: Campo de Entrada

Este software possui operadores que são ativados de forma bem

simples. Estes operadores possuem as seguintes funções:

OPERADOR O QUE FAZ

+ Operador Adição: adiciona o que está

à esquerda com o que está à direita.

- Operador Subtração: subtrai o que

está à esquerda do que está à direita.

* Operador Multiplicação: multiplica o

que está à esquerda com o que está à

direita.

Obs.: O espaço também é entendido

como multiplicação. Assim, escrever

2*x e 2 x, obtém-se o mesmo

resultado.

/ Operador Divisão: divide o que está à

esquerda com o que está à direita.

^ Operador Potência: o que está à

esquerda é considerado base e o que

está à direita o expoente. Por

exemplo: x^2 é o mesmo que x2.

Alternativamente, pode-se usar as

combinações Alt Gr+2 e Alt Gr+3 (do

teclado) para gerar 2 e 3 . Escrevendo

x2 e x3, o Geogebra também aceita.

sqrt(…) Operador Raiz Quadrada: extrai a raiz

quadrada de “...”.

cbrt(…) Operador Raiz Cúbica: extrai a raiz

cúbica de “...”.

log(...) Operador Logaritmo Natural: calcula o

logaritmo natural de “...”.

ln(...) Operador Logaritmo Natural: assim

como o anterior, calcula o logaritmo

natural de “...”.

Obs.: os dois símbolos log( ) e In( )

são usados para cálculo de logaritmo

natural.

ld(…) Operador Logaritmo Binário: calcula o

logaritmo binário de “...”, ou seja,

calcula o logaritmo de “...”, mas na

base 2.

lg(…) Operador Logaritmo Decimal: calcula

o logaritmo decimal de “...”, ou seja,

calcula o logaritmo de “...”, mas na

base 10.

sin(...) Operador Seno: calcula o seno de

“...”.

Obs.: medida em radianos.

cos(...) Operador Cosseno: calcula o cosseno

de “...”.


tan(...) Operador Tangente: calcula a

tangente de “...”.


abs(...) Operador Valor Absoluto: calcula o

valor absoluto de “...”. Lembre-se que

|x|= valor absoluto de x.

Geralmente o Geogebra inicia com a Janela de Álgebra que é mostrada

na tela. Uma das funções da Janela de Álgebra é exibir as informações

algébricas dos objetos que estão na Janela de Visualização.

Na atividade que está representada na Janela de Álgebra é possível

observar quatro pontos (A, B, C, D) na janela de Visualização. Na Janela de

Álgebra, ficam representadas as coordenadas desses pontos. Podem-se editar

as propriedades de qualquer objeto na Janela de Álgebra, clicando com o

botão direito do mouse sobre a informação algébrica do objeto e escolher a

opção “Propriedades”. Também se pode fazer essa edição com um duplo

clique sobre a informação algébrica.

Na Janela de Álgebra existe uma informação importante referente aos

“Objetos Livres” e aos “Objetos Dependentes”. Os Objetos Livres são aqueles

que se podem movimentar sem que eles dependam de outros objetos, já os

Objetos Dependentes são objetos que foram criados a partir de outros objetos.

Existem objetos na Janela de Álgebra que são identificados na cor azul claro,

estes objetos são livres para se moverem sobre outro objeto. Os objetos que

aparecem na cor azul escuro são totalmente livres, enquanto que os objetos

que estão na cor preta são objetos dependentes.

FIGURA 7: Janela de Álgebra

A Janela de Álgebra pode ser ocultada, existem comandos para isto.

Pode-se ocultar a Janela de Álgebra (ou exibir) de três formas:

2.1.1 Usando uma combinação de teclas: Ctrl+Shift+A.

2.1.2 No Menu Principal, clicar em EXIBIR e depois selecionar a

opção Janela de Álgebra ( observe a figura a seguir ).

FIGURA 8: Comandos para ocultar a Janela de Álgebra

2.1.3 Clicando no Fechar representado pela letra X na parte superior

à direita da Janela de Álgebra.

FIGURA 9: Janela de Álgebra

←

FECHAR ↑

Todos os objetos construídos na janela de Visualização são

automaticamente nomeados quando a Janela de Álgebra está visível, caso

contrário os objetos não são nomeados automaticamente.

De acordo com Lorenzato (2006):

A experimentação facilita que o aluno levante hipóteses, procure alternativas, tome novos caminhos, tire dúvidas e constate o que é verdadeiro, válido, correto ou solução. Experimentar é valorizar o processo de construção do saber em vez do resultado dele, pois na formação do aluno, mais importante que conhecer é saber como encontrá-la. Enfim, experimentar é investigar (p.72).

O software Geogebra apresenta algumas potencialidades no ensino e

aprendizagem das razões trigonométricas, por ser um software de Geometria

Dinâmica que permite que o aluno arraste os objetos construídos através da

tela do computador, possibilitando o levantamento de hipóteses, a observação

de regularidades e a elaboração de testes com os resultados obtidos.

Segundo Skovsmose (2001) “o conhecimento tecnológico é incapaz de

predizer e analisar os resultados de sua própria produção. Reflexões são

necessárias” (p. 118).

Atividades em que os alunos fazem parte do processo de construção do

conhecimento são de fundamental importância na atual sociedade do

conhecimento, devido a isso devem ser práticas constantes em sala de aula.

Skovsmose (2008)

Considero que as reflexões pressupõem o diálogo. Se desejamos uma educação matemática que facilite as reflexões sobre a matemática em ação, então devemos trabalhar na direção de estabelecer ambientes de aprendizagem nos quais as reflexões possam ser estimuladas por meio de diálogos. Tal estímulo é influenciado pela forma como o processo de ensino e aprendizagem é organizado e contextualizado (p. 63).

A utilização do software Geogebra incentiva os alunos a formação de

conjecturas e auxilia na autoavaliação. Também possibilita uma postura

investigativa possibilitando uma concepção diferente da matemática

normalmente vista no dia a dia escolar.

3. ATIVIDADES

Durante a Execução do Projeto Pedagógico serão desenvolvidas as

seguintes atividades:

3.1 Etapa 1: APRESENTAÇÃO DO PROJETO

Explora os conceitos de Geometria e apresenta o manual com

orientações para o uso do software Geogebra.

CONTEÚDO:

- Apresentação do software Geogebra

- Revisão - Geometria

OBJETIVOS:

- Conhecer o Geogebra, promovendo a socialização dos alunos e a troca

de informações no Laboratório de Informática.

- Distinguir figuras geométricas planas e sólidos geométricos.

- Identificar e conceituar Pontos e Retas.

RECURSOS:

- Quadro Negro

- Giz

- Sólidos Geométricos

- Figuras Planas

- Laboratório de Informática

- Projetor multimídia

- Computador

- Roteiro impresso com as atividades para a ambientação com o

software Geogebra.

TEMPO PREVISTO: 04 aulas

DESENVOLVIMENTO METODOLÓGICO:

A atividade proposta será iniciada com uma aula expositiva dialogada e

apresentação do projeto a ser desenvolvido por meio de slides. Após, os

alunos serão encaminhados para o Laboratório de Informática onde trabalharão

em duplas para receber informações sobre o funcionamento do software

Geogebra, como: conhecer os menus, abrir as janelas manuseando-as fazendo

contato com o software. Durante a apresentação serão aproveitados os ícones

que se referem à construção de figuras geométricas para relembrar conceitos e

características das mesmas, reforçando as diferenças entre figuras planas e

sólidos geométricos. As atividades desenvolvidas pelos alunos serão entregues

em folhas impressas.

O texto a seguir (ANEXO 1) será entregue impresso aos alunos:

Conhecendo o Geogebra

Acesse o software Geogebra clicando: Aplicativos – Educação –

Matemática – Geogebra.

O Software Geogebra foi desenvolvido por Markus Hohenwarter,

professor da Universidade de Salzburg, com o objetivo de diferenciar o estudo

da Matemática de forma mais dinâmica e atraente. É encontrado com facilidade

em sites de busca ou no endereço: http://www.geogebra.org/c.

Usando o Geogebra pode-se representar um mesmo objeto de formas

diferentes, a construção geométrica e a construção algébrica. Ele também

permite a experimentação e a ênfase no processo de visualização,

proporcionando investigações, descobertas, confirmação de resultados e

possibilitando a realização de simulações.



Ferramenta, como pelo Campo de entrada. Também podemos alterar as

propriedades dos objetos construídos utilizando a janela de Álgebra e algumas

ferramentas do Botão Direito do Mouse.

Quando iniciamos o programa há uma interface do Geogebra, na qual

estão: uma barra de ferramentas, uma Janela de Álgebra e uma Janela

Geométrica.

Observe a figura a seguir:

Funções da Barra de Ferramentas

As opções de cada item da barra de ferramentas são acessadas por um

clique no canto inferior direito de cada ícone. Estas funções estão descritas no

desenho dos mesmos.

Estes ícones são as ferramentas mais utilizadas. Elas têm a função de

selecionar e arrastar objetos.

MENU

BOTÕE

S

JANELA

ALGÉBRICA

JANELA

GEOMÉTRIC

ÁREA DE

TRABALHO

CAMPO DE

ENTRADA

Esta ferramenta permite criar um ponto em um espaço livre, explicitar os

pontos de interseção entre dois objetos e criar o ponto médio entre dois

objetos.

Ao ativarmos estes ícones podemos criar uma reta definida por dois

pontos, um segmento de reta que une dois pontos, um segmento de reta com

comprimento definido, uma semirreta a partir de dois pontos, um vetor a partir

de dois pontos ou um vetor paralelo a outro vetor.

Utilizando janela podemos construir: uma reta perpendicular a uma reta;

uma reta paralela a uma reta; uma reta perpendicular que passa pelo ponto

médio de um segmento; a bissetriz de um ângulo; retas tangentes a uma

cônica; uma reta diametral relativa a uma cônica; uma reta que melhor se

ajusta a um conjunto de pontos; o lugar geométrico descrito pelo movimento de

um objeto (ponto, reta etc.) ao longo de uma trajetória.

Utilizando estes outros ícones podemos construir: um polígono de N

lados ou um polígono regular a partir de um lado.

Com esta ferramenta podemos construir: um círculo a partir de dois

pontos; um círculo a partir do centro e com comprimento do raio definido; um

transporte de medidas; um círculo a partir de três pontos; um semicírculo a

partir de dois pontos; um arco circular a partir do centro e dois pontos; um arco

a parir de três pontos; um setor circular a partir do centro e dois pontos; um

setor a partir de três pontos da circunferência.

Este ícone constrói: uma elipse usando três pontos, dois focos e um

terceiro ponto na curva; uma hipérbole usando três pontos, dois focos e um

terceiro ponto na curva; uma parábola usando um ponto e uma reta diretriz;

uma cônica (parábola, elipse ou hipérbole) a partir de cinco pontos.

Através desta janela é possível medir um ângulo definido por três

pontos. A partir de dois pontos é possível construir um ângulo com amplitude

fixa. Visualizar o comprimento de um segmento ou distância entre dois pontos

bem como o perímetro de um polígono ou cônica. Mostra a área da região

limitada por uma poligonal, circunferência ou elipse, assim como a inclinação

de uma reta.

Podemos construir através desta: o reflexo (simetria axial) de um objeto

em relação a um ponto; o reflexo (simetria central) de um objeto em relação ao

um ponto; o reflexo de um ponto sobre uma circunferência; o reflexo (simetria

rotacional) de um objeto ao redor de um ponto, por um ângulo determinado; o

reflexo (simetria translacional) de um objeto a partir de um vetor; o homotético

de um objeto a partir de um ponto e um fator.

Com esta ferramenta podemos modificar o valor de algum parâmetro. O

seletor é um pequeno segmento com um ponto que se movimenta sobre ele.

Temos o ícone que permite a escolha dos objetos que queremos mostrar ou

esconder. Também podemos inserir qualquer texto ou imagem na área gráfica,

bem como identificar algumas relações entre dois objetos.

Com este ícone podemos: mover o sistema de eixos e todos os objetos

contidos nele; ampliar, reduzir, apagar ou ocultar as figuras que estão na área

gráfica. Podemos copiar um estilo visual de um objeto para outro: pontilhado,

cor, tamanho etc.

Criando pontos e retas

Criaremos alguns pontos na Janela de Visualização de duas formas

diferentes:

Ative a ferramenta NOVO PONTO (Janela 2) e clique em dois

lugares distintos da Janela de Visualização. O Geogebra criou (e já nomeou)

dois pontos A e B.

Para o terceiro ponto, vamos usar o CAMPO DE ENTRADA. Suponha

Dica: Para que se possa construir a Geometria

Euclidiana e utilizar o Geogebra é fundamental

que o aluno possua noções de ponto, reta,

plano. Portanto após a apresentação do

Geogebra realizaremos algumas ações para que

o aluno se familiarize com o software.

que se queira criar um ponto cujas coordenadas são (3,5). Para tal, no CAMPO

DE ENTRADA, digite apenas (3,5). O Geogebra criará o terceiro ponto e o

nomeará com a letra C. Dessa forma, temos agora, três pontos na tela.

Criando retas de duas maneiras

Vamos aproveitar o que foi feito na seção anterior. Em sua tela há três

pontos.

Ative o ícone RETA DEFINIDA POR DOIS PONTOS (Janela 3).

Clique sobre o ponto A e sobre o ponto B. O programa cria, então, uma reta

que passa pelos pontos A e B.

Ao posicionar o mouse sobre o ponto A, o mesmo fica destacado na

Janela de Álgebra e na Janela de Visualização, junto ao cursor do mouse, é

mostrada uma barra com a descrição do objeto.

Observação:

No CAMPO DE ENTRADA escreva Reta [A, C].

Note que todo objeto que o Geogebra cria é automaticamente nomeado

(rotulado). Se tudo correu bem na tarefa acima, os nomes dados às retas

criadas foram a e b.

(3,5)

Um erro comum é clicar no ponto A e manter o

botão do mouse pressionado. Você deve clicar

sobre o ponto A e soltar. A reta criada, além de

nomeada automaticamente tem sua equação

escrita na Janela de Álgebra.

Reta[A,C]

Alterando a posição dos objetos de duas maneiras

(Via Botão) Ative MOVER (Janela 1) e arraste os pontos A, B e

C. Observe na Janela de Álgebra as coordenadas dos pontos e equações das

retas.

(Via Janela de Álgebra) Na Janela de Álgebra aparecem as

coordenadas dos pontos A, B e C. Dê um duplo clique em uma dessas

coordenadas. Altere-as, aperte ENTER e observe sua nova posição na Área

Gráfica.

Objetos Livres A= (2,4) C= (3,5) Objetos Dependentes Apagando Objetos Há três formas de apagar objetos:

Ativando (Janela 1), selecione o objeto e pressione a tecla DEL ou DELETE.

Selecione APAGAR OBJETO (Janela11). Clique no objeto que

deseja apagar na Janela de Visualização ou na Janela de Álgebra. Assim, se

apagam os objetos e todos os que dele dependem.

Na JANELA DE ÁLGEBRA OU VISUALIZAÇÃO, clique com o botão do

lado direito do mouse sobre o objeto e selecione a opção APAGAR.

B= (4,5)

Dica:

A ferramenta MOVER pode ser ativada simplesmente

apertando a tecla ESC.

Atividade: Construir uma casa Preparação: - Abra uma nova janela. Para tal, no Menu Principal, clique em Janela e

após isto, em NOVA JANELA.

- No Menu Exibir, desmarque as opções EIXOS e JANELA DE

ÁLGEBRA. Marque a opção MALHA.

Construção:

Tente reproduzir o desenho seguinte usando as ferramentas

SEGMENTO DEFINIDO POR DOIS PONTOS (Janela 3) e POLÍGONO (Janela

5):

Após fazer a atividade clique no menu ARQUIVO e selecione GRAVAR

COMO. Digite o nome do Arquivo. Salve o arquivo na pasta ATIVIDADES

GEOGEBRA. Em seguida selecione a ferramenta INSERIR TEXTO e clique

sobre a área de trabalho, onde deseja que o texto apareça. Digite seu NOME

COMPLETO, dê um ENTER no teclado. Digite a data de hoje e clique em

APLICAR. Observe como ficam organizados estes dados na figura.

AVALIAÇÃO

- Observar o interesse e a participação da turma no desenvolvimento e

execução das atividades propostas.

- Solicitação de um relato escrito e individual sobre a atividade

desenvolvida (facilidades e dificuldades) comentando no final o que acharam

do software Geogebra.

3.2 Etapa 2: REVISÃO

Nesta etapa se apresenta:

- Revisão participativa com uso do Geogebra dos conteúdos propostos

de Geometria.

- Introdução do Conteúdo razões trigonométricas no triângulo retângulo

CONTEÚDO:

Geometria Plana: Ângulos e Bissetriz, Quadriláteros e Triângulos.

OBJETIVOS:

- Utilizar o software Geogebra na verificação de resultados, correção de

erros, realização de atividades de exploração e investigação.

- Perceber em objetos do cotidiano ou em figuras geométricas, os

conceitos primitivos da Geometria: ponto, reta e plano.

- Desenhar figuras geométricas e descobrir suas propriedades, medindo

lados ou ângulos.

- Compreender o que são ângulos por meio das ideias de giro, abertura,

inclinação e região.

- Comparar ângulos empregando a classificação em reto, agudo ou

obtuso.

- Classificar quadriláteros quanto ao paralelismo de seus lados.

- Classificar triângulos quanto às medidas de seus lados ou ângulos.

- Explorar noções de área e perímetro de figuras geométricas planas.

- Produzir e analisar transformações e ampliações/reduções de figuras

geométricas planas, identificando seus elementos variantes e invariantes

evoluindo para o conceito de semelhança.

- Aplicar o conceito de semelhança de triângulos para estabelecer

relações métricas e trigonométricas em triângulos retângulos.

- Aplicar o Teorema de Pitágoras em situações diversas,

- Calcular as razões trigonométricas dos ângulos notáveis a partir de

polígonos regulares.

RECURSOS:

- Quadro Negro

- Giz

- Figuras Planas


- Data show

- Computador



3.2.1 ATIVIDADE – ÂNGULOS e BISSETRIZ

Iniciaremos a atividade com exposição oral e dialogada sobre algumas

situações que estão presentes em nosso dia a dia e que nos apresentam a

ideia de ângulos.

Podemos citar como ideia de ângulos os exemplos a seguir:

- A inclinação da rampa em relação à horizontal.

- A abertura de uma tesoura.

- O giro do ponteiro de um relógio.

- O cruzamento de duas ruas.

Conceitos a serem apresentados aos alunos nessa etapa:

- Ângulo: união de duas semirretas de mesma origem em um plano com

uma das regiões determinadas por elas.

- Ângulo reto: Um ângulo é reto quando sua medida é igual a 90º. Um

ângulo de 1

4 de volta é um ângulo reto.

- Ângulo agudo: É chamado agudo o ângulo de medida maior que 0º e

menor que 90º.

- Ângulo obtuso: É chamado obtuso o ângulo de medida maior que 90º

e menor que 180º.

- Ângulo raso: Possui medida igual a 180º.

- Bissetriz de um ângulo: semirreta de origem no vértice, que divide

esse ângulo em dois ângulos congruentes.

A seguir inicie as atividades com o Geogebra.

Selecione ARQUIVO e abra uma nova janela. Para desmarcar a opção

EIXOS, dê um clique com o botão direito do mouse na Janela de Visualização.

Para iniciar o processo de construção:

Clique na ferramenta SEMIRRETA DEFINIDA POR DOIS

PONTOS (Janela três). Clique em um lugar e depois em outro criando duas

semirretas de origem A. Observe que você acabou de criar o segmento AB.

Em seguida crie à semirreta AC, para isto clique em A e depois em outro lugar

na tela.

Clique na ferramenta ÂNGULO (Janela 8) para ativá-la, após

sobre a semirreta AC e na semirreta AB. O Geogebra irá criar a marca de

ângulo denominado BÂC. Esse ângulo é formado pelas semirretas AB e AC.

Foi criado no sentido anti-horário.

Observe a figura:

FIGURA 10: Marca de ângulo denominado BÂC.

Selecione o ícone MOVER e arraste o ponto B. Ao arrastar o

ponto B a medida do ângulo se modifica. Faça a mesma coisa com o ponto C e

verificará que a abertura do ângulo modifica conforme você movimenta o ponto.

Para a construção da bissetriz do ângulo selecione a ferramenta

BISSETRIZ (Janela 4). Clique sobre os três pontos que determinam o ângulo, o

segundo será o vértice. Em seguida ative a ferramenta NOVO PONTO

(Janela 2) e crie um ponto denominado D sobre a bissetriz.

FIGURA 11: Ponto denominado D sobre a bissetriz.

O próximo passo será medir os ângulos BÂD e DÂC.

Selecione o ícone ÂNGULO (Janela 8) em seguida clique nos

pontos D, A e B, nessa ordem. O programa irá marcar o ângulo. Na sequência

clique sobre os pontos C, A e D.

FIGURA 12: Marca os ângulos.

Observe a figura e responda:

a) O que aconteceu com o ângulo?

b) Qual a função da bissetriz?

c) Salve a atividade realizada na pasta ATIVIDADES

GEOGEBRA.

3.2.2 ATIVIDADE: QUADRILÁTEROS

Para dar início a esta atividade faça uma exposição oral e dialogada

incentivando a participação dos alunos.

Os polígonos que têm quatro lados são chamados de quadriláteros.

Os quadriláteros podem ser classificados de várias maneiras. Uma delas

é pelo paralelismo dos lados. Eles podem ter dois pares de lados paralelos,

apenas um par de lados paralelos ou nenhum par de lados paralelos.

Os Paralelogramos são quadriláteros que têm dois pares de lados

paralelos.

Alguns paralelogramos têm características específicas e, por isso,

recebem nomes especiais. São eles:

Retângulos: são Paralelogramos que têm quatro ângulos retos.

Losangos: Paralelogramos cujos lados têm mesma medida.

Quadrados: Paralelogramos cujos lados têm mesma medida e os quatro

ângulos retos.

Os Trapézios são quadriláteros que têm apenas um par de lados

paralelos.

Faça algumas construções:

3.2.2.1 QUADRADO

Inicie esta atividade com a construção de um quadrado.

Abra o software Geogebra clicando em Aplicativos – Educação –


Selecione Arquivo, depois Nova Janela, clique na Janela de

Visualização e desmarque a opção Eixos.

A seguir ative o ícone Polígono Regular (Janela 4) e clique na área de

trabalho em dois pontos distintos, irá aparecer uma caixa de diálogo

“aplicar4”, clique em aplicar. Você acabou de criar o quadrado ABCD.

FIGURA 13: Quadrado ABCD.

Para calcular a medida dos lados do quadrado e o perímetro do mesmo,

basta acionar o ícone DISTÂNCIA, COMPRIMENTO OU PERÍMETRO

e clicar em cada um dos lados do quadrado.

FIGURA 14: Medida dos segmentos do Quadrado ABCD.

Acione o ícone MOVER e responda.

a) Ao movimentar o quadrado o que aconteceu com o perímetro?

b) Se você movimentar somente um dos vértices deste quadrado o que

acontece com a figura?

c) Você consegue movimentar todos os pontos deste quadrado

simultaneamente? Justifique.

d) Salve a atividade realizada na pasta ATIVIDADES GEOGEBRA.

3.2.2.2 TRAPÉZIOS



Para dar início clique no ícone RETA DEFINIDA POR DOIS

PONTOS (Janela 3) e em seguida clique em dois lugares distintos na área de

trabalho ou Janela de Visualização. Você visualizará dois pontos A e B e uma

reta de rótulo a. Após ative o ícone NOVO PONTO (Janela 2) e clique

em qualquer lugar da tela fora da reta AB. Será criado um ponto C. Ative o

ícone RETA PARALELA (Janela 4), depois clique sobre a reta a e

depois no ponto C. Agora a reta b foi criada. Em seguida clique em

NOVO PONTO (Janela 2) e crie os pontos D e E sobre a reta b. Para terminar

ative o ícone POLÍGONO (Janela 5) e dê um clique sobre os pontos

que serão os vértices do trapézio.

FIGURA 15: Vértices do Trapézio.

Agora é a sua vez:

Movimente os vértices do Trapézio.

a) O que você observa? Explique porque isto acontece.

b) Salve a atividade realizada na pasta ATIVIDADES GEOGEBRA.

3.2.2.3 Paralelogramos

Dica:

Para criar o trapézio você deverá clicar nos pontos A, B, D, E. O

segmento DE são as bases do trapézio.



Clique no ícone RETA DEFINIDA POR DOIS PONTOS (Janela

3), depois dê um clique em dois lugares diferentes da área de trabalho.

Aparecerá a reta com o rótulo de a. Em seguida acione a ferramenta

NOVO PONTO (Janela 2), clique em qualquer lugar fora da reta já criada.

Aparecerá na tela o ponto C. Depois ative o ícone RETA PARALELA e

trace uma reta b paralela a reta a, passando pelo ponto C. Acione

RETA DEFINIDA POR DOIS PONTOS(Janela 3) e clique em cima dos pontos

A e C. Novamente ative o ícone RETA PARALELA (Janela 4) e clique

na reta c e sobre o ponto B. Agora acione INTERSEÇÃO DE DOIS

OBJETOS (Janela 2) e dê um clique nas retas d e b. Teremos na tela o ponto

D sobre a interseção. Todos os pontos criados são livres exceto o ponto D,

portando se você acionar o ícone MOVER poderemos movimentar todos

os pontos com exceção do ponto D.

FIGURA 16: Retas Paralelas e interseção de dois objetos.

Acionando o ícone EXIBIR/ESCONDER OBJETO (Janela 11)

você pode esconder as quatro retas, deixando apenas os quatro pontos,

clicando em cada uma das retas e após apertando a tecla ESC. Dando

continuidade ative POLÍGONO (Janela 5) e clique nos pontos A, B, D,

C, A para que ele seja formado.

FIGURA 17: Paralelogramo ABCD em construção.

Após ative EXIBER/ESCONDER RÓTULO (Janela 11) e clique

em cada um dos quatro lados do paralelogramo.

FIGURA 18: Paralelogramo ABCD.

Para calcular a medida dos lados da figura e o perímetro acione

DISTÂNCIA, COMPRIMENTO OU PERÍMETRO e clique em cada um dos

lados do paralelogramo. Para movimentá-lo ative o ícone MOVER depois

aperte ESC e arraste qualquer um dos pontos A, B ou C.

FIGURA 19: Medida dos segmentos do Paralelogramo ABCD.

a) Ao movimentar a figura o que você observa?

b) O que acontece com as medidas dos lados opostos?

c) Salve a atividade realizada na pasta ATIVIDADES GEOGEBRA.

3.2.3.3 ATIVIDADE: TRIÂNGULOS

Você já conheceu várias figuras geométricas planas que chamamos de

polígonos. Os triângulos são polígonos que possui três lados.

Eles podem ser classificados conforme a medida de seus lados em:

equilátero, isósceles ou escaleno. O triângulo equilátero possui três lados com

medidas iguais. Quando o triângulo tem dois lados com medidas iguais chama-

Dica:

Um retângulo é um paralelogramo que possui os quatro ângulos

internos medindo 90º e o losango é um paralelogramo no qual todos

os lados têm a mesma medida, portanto o processo de construção

dos mesmos é semelhante ao do paralelogramo.

se isósceles. Se todos os lados tem medidas diferentes o triângulo é dito

escaleno.

Também se classifica os triângulos quando a medida de seus ângulos.

Neste caso eles podem ser:

- Triângulo Retângulo: possui um ângulo reto (90º).

- Triângulo Acutângulo: possui três ângulos internos agudos (menores

que 90º).

- Triângulo Obtusângulo: tem um ângulo obtuso (maior que 90º).

3.2.3.1 TRIÂNGULO EQUILÁTERO



Ative o ícone SEGMENTO DEFINIDO POR DOIS PONTOS

(Janela 3), e clique na área de trabalho em dois lugares distintos. Aparecerá o

segmento AB que é um dos lados do triângulo. Para dar continuidade a

construção, acione a ferramenta CÍRCULO DEFINIDO PELO CENTRO

E UM DE SEUS PONTOS (janela 6) e clique no ponto A e depois no ponto B.

Repita a operação só que desta vez você deverá clicar primeiro no ponto B e

depois no ponto A. Você criou duas circunferências c e d. As circunferências

criadas se interceptam em dois pontos, ative o ícone INTERSEÇÃO DE

DOIS OBJETOS (Janela 2) e dê um clique nas circunferências c e d, você terá

agora os pontos C e D. A partir de agora, você já pode esconder as

circunferências, acione o ícone EXIBIR/ESCONDER OBJETO e clique

nas circunferências c e d e também sobre o ponto D. Em seguida aperte ESC.

Clique na ferramenta SEGMENTO DEFINIDO POR DOIS

PONTOS (Janela 3) e crie o segmento AC e logo após o segmento BC.

Ative DISTÂNCIA, COMPRIMENTO OU PERÍMETRO (Janela 8)

e clique sobre cada um dos lados do triângulo.

Para movimentar o triângulo, acione MOVER (Janela 1) e clique

sobre os vértices do triângulo e arraste.

FIGURA 20: Medida dos segmentos do Triângulo Equilátero.

a) O que você observa na medida dos lados do triângulo quando

arrasta um vértice?

b) A classificação com relação à medida dos lados do triângulo

permanece a mesma? Justifique.

c) Todos os vértices do triângulo podem ser arrastados? Explique.

d) Qual a medida dos ângulos internos desse triângulo?

Classifique-o quanto a medida dos ângulos. Não esqueça que você

deverá usar a ferramenta ÂNGULOS.

Salve a atividade realizada na pasta ATIVIDADES GEOGEBRA.

3.2.3.2 TRIÂNGULO ESCALENO



Pelo fato do triângulo em construção ser Escaleno não levaremos em

conta suas dimensões. Ative o ícone POLÍGONO (Janela 5) e clique

em três lugares diferentes da área de trabalho, após clique novamente no

1º ponto criado.

Ative DISTÂNCIA, COMPRIMENTO OU PERÍMETRO (Janela

8) e clique sobre cada um dos lados do triângulo.

Selecione o ícone ÂNGULO (Janela 8) em seguida clique nos

pontos C, A e B, nessa ordem. Na sequência clique sobre os pontos A, B e

C, e B, C, A. O programa irá marcar os ângulos internos deste triângulo.

FIGURA 21: Medidas dos segmentos e dos ângulos internos do Triângulo Escaleno.

Agora responda:

a) Podemos construir um triângulo com quaisquer três segmentos?

Justifique.

b) Qual a relação que deve existir entre esses segmentos? Justifique.

c) Os lados do triângulo criado têm as mesmas dimensões?

d) O que acontece quando você movimenta um dos vértices do

triângulo?

e) Qual a classificação deste triângulo quanto aos ângulos?

f) Construa um triângulo cujas dimensões sejam: 4 cm, 6 cm, 9 cm.

Depois o classifique quando a medida dos lados e ângulos.

g) Salve a atividade realizada na pasta ATIVIDADES GEOGEBRA.

3.2.3.3 TEOREMA DE PITÁGORAS

Inicie o assunto falando sobre a origem do Teorema de Pitágoras.

O filósofo e matemático grego Pitágoras nasceu em Samos, ilha que

pertencia à Grécia, por volta de 572 a.C. Fundou a famosa Escola Pitagórica,

em Crotona, que serviu de centro de estudos de Filosofia, Ciências Naturais e

Matemática. Várias descobertas foram atribuídas a Pitágoras, embora não se

saiba ao certo se foram descobertas por ele ou por outros estudiosos da

época.

Pitágoras é lembrado até hoje, principalmente pelo teorema que leva

seu nome e estabelece uma relação entre as medidas dos lados de um

triângulo retângulo.

Segundo o enunciado do Teorema de Pitágoras em um triângulo

retângulo, a soma dos quadrados das medidas dos catetos é igual ao quadrado

da medida da hipotenusa.

Demonstraremos este Teorema com a ajuda do software Geogebra.



Ative o ícone RETA DEFINIDA POR DOIS PONTOS (Janela 3) e

clique na área de trabalho em dois lugares distintos. Em seguida selecione

RETA PERPENDICULAR (Janela 4) e dê um clique na reta e depois

outro clique no ponto A.

Após, acione NOVO PONTO (Janela 1) clicando na reta

perpendicular que você acabou de criar. Deverá surgir um ponto C azul claro.

Para dar continuidade ative EXIBIR/ESCONDER OBJETO

(Janela 5) e dê um clique sobre as duas retas, em seguida aperta ESC. As

retas desaparecerão.

Ative o ícone POLÍGONO (Janela 5) e clique nos pontos A, B , C

e depois volte no ponto A. Você acabou de criar um retângulo ABC cujos lados

medem a_1, b_1, c . Renomearemos os lados que estão indicados por a_1 e

b_1 da seguinte maneira: Dê um clique com o botão direito do mouse na letra

a_1, irá abrir uma nova janela, escreva dentro dela a letra a e dê um OK.

Observe a figura:

FIGURA 22: Triângulo Retângulo.

FIGURA 23: Janela Renomear.

FIGURA 24: Triângulo Retângulo renomeado.

Ative o ícone POLÍGONO REGULAR (Janela 5) e clique nos

pontos B e A abrirá uma caixa, digite o número 4 e dê um Ok, surgirá um

quadrado cujo lado é igual ao cateto AB. Acione novamente e clique

nos pontos C e B, abrirá uma caixa, digite o número 4 e OK, surgirá um

quadrado cujo lado é igual à hipotenusa. Em seguida clique no ícone

POLÍGONO REGULAR e nos pontos B e A, abrirá uma caixa, digite o número

4 e OK, aparecerá um quadrado cujo lado é igual ao cateto AB.

Para calcular a área dos quadrados acione o ícone ÁREA (Janela

8) e clique dentro dos quadrados. Para calcular a medida dos lados das figuras

clique em DISTÂNCIA/COMPRIMENTO OU PERÍMETRO, após dê um

clique nos lados das figuras criadas.

Você visualizará a seguinte figura:

FIGURA 25: Representação do Teorema de Pitágoras.

Agora movimente os vértices da figura.

a) O que acontece? Justifique.

b) Salve a construção realizada na pasta ATIVIDADES GEOGEBRA.

3.2.3.4 TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO

Para dar início às atividades, um breve comentário sobre a História da

trigonometria.

Não existem provas concretas de como surgiu a Trigonometria, mas

algumas pesquisas apontam o seu surgimento por problemas criados pela

Astronomia, Agrimensura e Navegações, por volta do século IV ou V a.C.

A palavra trigonometria tem origem grega: trigono significa triângulo e

metria significa medida; isso se deve ao fato de que, para a determinação de

posições e de distâncias inacessíveis, é preciso fazer medidas e cálculos em

triângulos.

A trigonometria continua sendo útil para astrônomos, navegantes,

engenheiros, projetistas de máquinas, agrimensores, topógrafos e outros.

Para dar início às atividades selecione Arquivo, depois Nova Janela,

clique na Janela de Visualização e desmarque a opção Eixos.

Clique no ícone SEMIRRETA DEFINIDA POR DOIS PONTOS

(Janela 3) , crie duas semirretas com origem em A. Após acione

EXIBIR/ESCONDER OBJETO (Janela 11) e dê um clique no B e aperte ESC (o

ponto B desaparecerá). Em seguida ative NOVO PONTO (Janela 2) e

clique na semirreta de origem A criando os pontos D e E. Observe o desenho:

FIGURA 26: Duas semirretas com origem em A.

Na sequência acione RETA PERPENDICULAR (Janela 4) e crie

duas semirretas: uma passando por D e outra por E. Clique no ícone

INTERSEÇÃO DE DOIS OBJETOS (Janela 2) e crie as interseções F( reta c e

semirreta b) e G (reta d e semirreta b). Ativando EXIBIR/ESCONDER

OBJETO (Janela 11) dê um clique sobre as perpendiculares e aperte ESC.

Ative SEGMENTO DEFINIDO POR DOIS PONTOS (Janela 3) e faça os

segmentos DF e EG. Através da ferramenta EXIBIR/ESCONDER

RÓTULO (Janela 11) esconda o rótulo desses segmentos dando um clique em

cima da letra “e” e em cima da letra “f”.

FIGURA 27: Construção do Triângulo Retângulo ADF e AEG.

Para marcar o ângulo acione ÂNGULO (Janela 8) e dê um clique

nos pontos E, A, G.

FIGURA 28: Construção do ângulo do Triângulo Retângulo ADF e AEG.

Para medir a distância entre os segmentos DF, EG, Ad, AG, AE ative o

ícone DISTÂNCIA, COMPRIMENTO OU PERÍMETRO (Janela 8) e

clique sobre cada um dos pontos destes segmentos para obter as medidas

desejadas.

FIGURA 29: Medida dos segmentos do Triângulo Retângulo ADF e AEG.

Para finalizar acione INSERIR TEXTO (Janela 10) e clique na área

de trabalho onde quer que o texto apareça. Digite:

Repita a operação, clique no lugar da área de trabalho que você quer

que o texto apareça, selecione o ícone e digite o seguinte texto:

“\ frac {DF} {AF} =“ + (distânciaDF / distânciaAF)

Opção FÓRMULA LÁTEX e dê um OK.

“\ frac {EG} {AG} = “+ (distância EG / distânciaAG)

Opção FÓRMULA LÁTEX e dê um OK.

FIGURA 30: Razão entre os segmentos do Triângulo Retângulo ADF e AEG.

Observe a figura que você criou e responda:

a) Qual é a relação entre essas duas razões que aparecem na figura?

b) Mova o ponto A. O que acontece com os triângulos? Justifique.

c) Salve a construção realizada na pasta ATIVIDADES GEOGEBRA.

Quando estudamos a semelhança entre triângulos retângulos, podemos

observar razões entre os lados dos triângulos que resultam em propriedades

de ângulos. Essas propriedades determinam as relações trigonométricas.

Em um triângulo retângulo, cada um dos ângulos é formado pela

hipotenusa e por um cateto. Esse cateto é chamado de cateto adjacente a esse

ângulo agudo. O cateto que não forma o ângulo em questão é chamado de

cateto oposto a esse ângulo.


DICA:

O aluno deverá observar que os triângulos AFD e AEG são semelhantes,

pois tem os mesmos ângulos.

FIGURA 31: Relações trigonométricas de um Triângulo Retângulo.

3.2.3.5 Seno, Cosseno e tangente de um ângulo agudo (30º e 60º).

Em um triângulo retângulo qualquer, o seno de um ângulo agudo é a

razão entre a medida do cateto oposto a ele e a medida da hipotenusa.

Definimos o cosseno de um ângulo agudo em um triângulo retângulo

qualquer como a razão entre a medida do cateto adjacente a ele e a medida da

hipotenusa.

Temos a tangente de um ângulo agudo em um triângulo retângulo

qualquer definida como a razão entre a medida do cateto oposto ao ângulo e a

medida do cateto adjacente.

A seguir construiremos um triângulo equilátero e demonstraremos os

valores de seno, cosseno e tangente de 30º e 60º.



Ative o ícone POLÍGONO REGULAR (Janela 5) e dê um clique

em dois lugares da área de trabalho, você visualizará os pontos A e B e abrirá

uma caixa, digite o número 3 e OK. Então aparecerá o triângulo equilátero

ABC.

Observe a figura.

Hipotenusa

Cateto Oposto

Cateto Adjacente

FIGURA 32: Polígono Regular (Triângulo Equilátero).

Em seguida selecione a ferramenta PONTO MÉDIO OU

CENTRO (Janela 2), dê um clique em B e C, surgirá o ponto médio designado

por D.

Observe:

FIGURA 33: Ponto médio de um Polígono Regular (Triângulo Equilátero) designado por D.

Após, ative o ícone SEGMENTO DEFINIDO POR DOIS

PONTOS (Janela 3) clique em A e D e construa a altura AD.

Veja:

FIGURA 34: Triângulo Retângulo ABD.

Em seguida construiremos os ângulos do triângulo ABD, onde B=60º, A=

30º e D=90º. Para isso ative a ferramenta ÂNGULO (Janela 8) e dê um

clique em B, A e D, depois em A, D e B e por último em D, B e A nessa ordem.

Observe a construção.

FIGURA 35: Ângulos internos do Triângulo Retângulo ABD.

Na sequência ative a ferramenta DISTÂNCIA, COMPRIMENTO

OU PERÍMETRO (Janela 8) e calcule as distâncias AB, AD e BD.

FIGURA 36: Medidas dos segmentos e dos ângulos internos do Triângulo Retângulo ABD.

A seguir vamos calcular sen β = 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑎 𝛽

ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 para isto digite na caixa

de entrada:

Você visualizará q1 = 0,5.

FIGURA 37: Razão entre as distâncias BD e AB.

Ative a ferramenta INSERIR TEXTO (Janela 10) e dê um clique

na área de trabalho, aparecerá uma caixa digite:

Aparecerá na tela a figura:

q1=distânciaBD/distânciaAB

q1= 0,5

“senβ = sen 30° =“ + q1

FIGURA 38: Cálculo do sen β = 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑎 𝛽

ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎.

Após, dê um OK e você visualizará a seguinte figura:

FIGURA 39: Seno de um ângulo agudo de 30°.

Podemos calcular cos β = 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎 𝛽

ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 basta digitar na caixa de

entrada:

q2 = distância AD/distânciaAB

Você visualizará q2 = 0,87.

FIGURA 40: Razão entre as distâncias AD e AB.



Após, dê um OK e você visualizará a seguinte figura:

q2=0,87

“cosβ = cos 30° =“ + q2

FIGURA 41: Cosseno de um ângulo agudo de 30°.

Para calcular a tgβ = 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑎 𝛽

𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎 𝛽 basta digitar na caixa de entrada:

Teremos q3 = 0,58

FIGURA 42: Razão entre as distâncias BD e AD.

q3= distância BD/distância AD

q3 = 0,58



Em seguida dê um OK e você visualizará:

FIGURA 43: Tangente de um ângulo agudo de 30°.

Para calcular o seno o cosseno e a tangente de um ângulo de 60º

podemos proceder da mesma maneira apenas substituindo as relações por q4,

q5 e q6.

Ao realizar todos os passos da construção obteremos a seguinte figura:

“tgβ = tg 30° =“ + q3

FIGURA 44: Seno, Cosseno e Tangente de um ângulo agudo de 60°.

Agora responda:

a) O que você observou em relação ao seno e cosseno de 30º e 60º

e o cosseno de 30º e de 60º?Justifique.

b) Quando os ângulos somarem 90° o que podemos dizer em

relação às Imagens?


3.2.3.6 Seno, cosseno e tangente de 45º.



Ative o ícone POLÍGONO REGULAR (Janela 5), clique em dois

lugares na área de trabalho. Você visualizará uma caixa e os pontos A e B, na

caixa digite o número 4 e dê um OK. Aparecerá na tela um quadrado

denominado ABCD.

Observe:

FIGURA 45: Polígono Regular (Quadrado).

Em seguida acione a ferramenta SEGMENTO DEFINIDO POR

DOIS PONTOS (Janela 3) e construa a diagonal dando um clique em A e C.

Você obterá a seguinte figura:

FIGURA 46: Triângulo Retângulo ABC.

Temos então o triângulo ABC que é isósceles. Ative o ícone

ÃNGULO (Janela 8) e dê um clique em BAC, ACB e CBA aparecerão os

ângulos de 45º e 90º.

Veja:

FIGURA 47: Ângulos internos do Triângulo Retângulo ABC.

Na sequência acione o ícone DISTÂNCIA, COMPRIMENTO OU

PERÍMETRO (Janela 8) e dê um clique no segmento AB, AC e BC.

Obteremos:

FIGURA 48: Medida dos segmentos e dos ângulos internos do Triângulo Retângulo ABC.

Para calcular sen β = 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑎 𝛽

ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 para isto digite na caixa de entrada:

Aparecerá q1=0,71.


FIGURA 49: Razão entre as distâncias BC e AC.

Ative o ícone INSERIR TEXTO (Janela 10) e dê um clique na

área de trabalho onde aparecerá uma caixa, então digite:

Você obterá a seguinte figura:

q1= distância BC/distância AC

q1=0,7

1

“senβ = sen45°=”+q1

FIGURA 50: Seno de um ângulo agudo de 45°.

Em seguida podemos calcular cosβ= 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎 𝛽

ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 denomine por q2 e

tg= 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑎 𝛽

𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎 𝛽 denomine por q3.

Iremos visualizar:

FIGURA 51: Cosseno e Tangente de um ângulo agudo de 45°.

Agora responda:

a) O que você observa em relação ao seno e ao cosseno de 45º?

b) E em relação a tangente de 45º? Justifique.


q 2=0,71

q3=1

Avaliação

- Observar o interesse e a participação da turma no desenvolvimento e

execução das atividades propostas.

- Solicitação de um relato escrito e individual sobre as atividades

desenvolvidas (facilidades e dificuldades) comentando no final o que acharam

do software Geogebra.

3.3 Etapa 3 : EXERCÍCIOS E PROBLEMAS

Realiza atividades contextualizadas envolvendo o conteúdo estudado

para serem desenvolvidas com o uso do Geogebra.

CONTEÚDO:

- Razões trigonométricas no triângulo retângulo.

OBJETIVOS:

- Aplicar razões trigonométricas em triângulos retângulos.

- Identificar as propriedades de triângulos congruentes.

- Resolver problemas utilizando os conceitos de seno, cosseno e

tangente de um triângulo retângulo.

RECURSOS:

- Quadro Negro

- Giz

- Figuras Planas


- Data show

- Computador



Será apresentada uma sequência de atividades que os alunos deverão

resolver utilizando o software Geogebra.

1. (Mori et al, 2012 p.294) Uma escada está apoiada no topo de um

muro, formando com este um ângulo de 30º. Se o muro tem 2,5 m de altura,

qual é o comprimento dessa escada?

a) 4 √3

3

b) 5 √3

3

c) 3 √3

3

d) 2 √3

3

2. (Andrini et al, 2012, p.215) Um avião levanta voo sob um ângulo de

30º em relação à pista. Qual será a altura do avião quando este percorrer 4000

m em linha reta?

a) 1000m

b) 1500m

c) 2000m

d) 200m

3. (Andrini et al, 2012, p.215) Uma escada de 8m é encostada em uma

parede, formando com ela um ângulo de 60º. A que altura da parede a escada

se apoia?

a) 2m

b) 3m

c) 5m

d) 4m

4. (Andrini et al, 2012, p.215) Para permitir o acesso a um monumento

que está em um pedestal de 1,5m de altura, será construída uma rampa com

inclinação de 30º com o solo.

Qual será o comprimento da rampa?

a) 3m

b) 2m

c) 4m

d) 6m

5. (Andrini et al, 2012, p.219) Um prédio projeta uma sombra de 40m

quando os raios solares formam um ângulo de 45º com o solo. Qual é a altura

desse prédio?

a) 80m

b) 56m

c) 40m

d) 28m

6. Alexandre quer atravessar um rio cujas margens são paralelas. Ele

está em um barco que parte do ponto A, e a direção de seu deslocamento

forma um ângulo de medidas “α” com uma das margens, conforme o esquema

abaixo.

Sabendo que sen(α) = 0,866, determine a distância AB, em metro, percorrida

pelo Alexandre em seu barco.

a) Aproximadamente 66,36m.

b) Aproximadamente 69,28m.

c) Aproximadamente 68m.

d) Aproximadamente 67m.

7. Faça um esquema representando a situação a seguir e calcule.

Um edifício projeta uma sombra de 8m de comprimento quando os raios

de sol formam um ângulo de medida “β” com um terreno plano. Sabendo que

tg(β) = 1,4, determine a altura da árvore.

a) 11m

b) 11,1m

c) 11,5m

d) 11,2m

60m

A

B

Ângulo

“α”

8. (Prova Brasil, 2009) Observe os triângulos apresentados na sequência:

Indique uma característica presente em todas as figuras apresentadas.

a) Os triângulos possuem um ângulo maior que 90 graus.

b) Os triângulos possuem um ângulo reto.

c) Os ângulos são menores que 90 graus.

d) Não apresentam características comuns. 9. (OBMEP, 2013) A figura abaixo contém um quadrado e dois

retângulos congruentes.

Com esses polígonos formamos um retângulo e um trapézio como

mostra a figura seguinte:

Sabendo que o perímetro do retângulo é 58 cm, e que o perímetro do

trapézio é 60 cm, calcule o lado do quadrado.

a) Lado = 10 cm

b) Lado = 8 cm

c) Lado = 6 cm

d) Lado = 12 cm

10. (Iezzi et al, 2005, p. 157) Jorginho estava empinando pipa. Quando

ele soltou os 50 m de linha, o vento estava tão forte que a linha ficou inclinada

60º em relação ao chão.

Nesse momento, qual era a altura da pipa?

a) 41,25 m.

b) 42,25 m.

c) 43,25 m.

d) 44,25 m.

11. (Iezzi et al, 2005, p. 157) Qual é o comprimento da sombra de uma

árvore de 5 m de altura quando o sol está 30º acima do horizonte?

a) 8,67 m

b) 7,37 m

c) 8,37 m

d) 7, 67 m

12. (Iezzi et al, 2005, p.158Um triângulo retângulo ABC, com Â = 90º,

tem AB = 6 cm, AC = 6√3 cm, BC = 12 cm.

Determine os valores do ângulo B e do Ângulo C.

a) 30º e 45º

b) 60º e 30º

c) 60º e 45º

d) 45º e 30º

13. (Iezzi et al, 2005, p.159) Um avião está a 7000m de altura e inicia a

aterrissagem, em aeroporto ao nível do mar. O ângulo de descida é 6º. A que

distância da pista está o avião? Qual é a distância que o avião vai percorrer?

Dados: sen 6º = 0,10453; cos 6º = 0,99452 e tg 6º = 0,10510.

a) 65,6 Km e 65,97 Km

b) 66,6 Km e 66,97 Km

c) 67,6 Km e 67,97 Km

d) 68,6 Km e 68,97 Km

14.(Iezzi et al, 2005, p.160) Uma escada de bombeiro pode ser

estendida até um comprimento máximo de 25m, formando um ângulo de 70º

com a base, que está apoiada sobre um caminhão, a 2m do solo. Qual é a

altura máxima que a escada atinge?

Dados: sen 70º = 0,940, cos 70º = 0,342 e tg 70º = 2,47.

a) 35,5 m

b) 15,5 m

c) 18,5 m

d) 25,5 m

15. (Iezzi et al, 2005, p. 159) A sombra de um poste vertical, projetada

pelo sol sobre um chão, mede 12m. Nesse mesmo instante, a sombra de um

bastão vertical de 1m de altura mede 0,6m. Qual é a altura do poste?

a) 16m

b) 18m

c) 20m

d) 22m

AVALIAÇÃO: Espera-se que os alunos:

- Reconheçam e identifiquem as razões trigonométricas em um triângulo

retângulo.

- Identifiquem e resolvam situações-problema que envolva a aplicação

de seno, cosseno e tangente de ângulos agudos de um triângulo retângulo.

- Apliquem conceitos e utilizem procedimentos adquiridos para a

resolução de problemas que envolvam figuras planas.

- Participem de forma efetiva, respeitem as opiniões dos colegas de sala

de aula durante o desenvolvimento das atividades propostas.

- Produzam um relatório referente às atividades realizadas.

Respostas:

1. B

2. C

3. D

4. A

5. C

6. B

7. D

8. B

9. D

10. C

11. A

12. B

13. B

14. D

15. C

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

ANDRINI A. e M. J. VASCONCELLOS. Praticando Matemática, 9º ano, 3 ed.

São Paulo: Editora do Brasil, 2012.

ARAÚJO, L. C. L. de e NÓBRIGA J. C. C. Aprendendo Matemática com o

Geogebra, São Paulo: Editora Exato, 2010.

BICUDO, M. A. V. e BORBA, M. de C.(org.) Educação Matemática: pesquisa

em movimento. 4 ed., São Paulo: Cortez, 2012.

BORBA, M. C. PENTEADO, M. G. Informática e Educação Matemática. 5 ed.

Belo Horizonte: Editora Autêntica, 2012.

BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Mídia e Tecnologia.

Parâmetros Curriculares Nacionais: Ensino Médio. Ciências da Natureza,

Matemática e Suas Tecnologias. Brasília: 1999, p.107.

BRASIL. Ministério da Educação Secretaria de Educação Fundamental.

Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática. 2 ed. Brasília: DP & A, 1998.

p.19.

CAVALCANTE, L. G. Para Saber Matemática. 2 ed. Editora Saraiva, 2002.

COLPO, A. G. et al. Contribuições do Geogebra no Ensino – Aprendizagem da

Geometria Analítica. Artigo, Ijuí, 2009. Disponível em

www.projetos.unijui.edu.br/matemática.../RE_11pdf. Acesso em 20 de agosto

de 2014.

GEOGEBRA. Disponível em: http://pt.scribd.com/doc/101756302/Apostila-de-

Geogebra. Acesso em: 15 de agosto de 2014.

IEZZI, G. DOLCE, O. MACHADO, A. Matemática e Realidade, 9º ano, 5 ed.

São Paulo: Atual 2005.

KALINKE, M. A.. Internet na Educação. Curitiba: Chain, 2003.

MORI, I. e ONAGA, D. S. Matemática: Ideias e Desafios, 9º ano, 7 ed. São

Paulo: Saraiva. 2012.

PAIS, L. C.. Educação Escolar e as Tecnologias da informática. Belo Horizonte:

Autêntica, 2008, p.29.

OBMEP – Banco de Questões 2013, nível 2. www.obmep.org.br. Acesso em 05

de agosto de 2014.

PARANÁ. Secretaria de Estado da Educação – SEED. Diretrizes Curriculares

da Rede Pública da Educação Básica do Estado do Paraná (DCE):

Matemática, Curitiba, 2006.

http://www.projetos.unijui.edu.br/matemática.../RE_11pdf

http://pt.scribd.com/doc/101756302/Apostila-de-Geogebra

http://pt.scribd.com/doc/101756302/Apostila-de-Geogebra

http://www.obmep.org.br/

PARANÁ. Secretaria de Educação do Estado do Paraná. Diretrizes

Curriculares da Educação Básica – Matemática. Curitiba: SEED- PR, 2008.

PARANÁ. Secretaria de Estado da Educação. Superintendência da Educação.

Diretoria de Tecnologias Educacionais. Diretrizes para o uso de tecnologias

educacionais. Curitiba: SEED- PR, 2010. (Cadernos Temáticos).

PENTEADO, M. G. e BICUDO, M. A. V. Novos atores, novos cenários:

discutindo a inserção dos computadores na profissão docente. (Org.). Pesquisa

em educação matemática: concepções & perspectivas. São Paulo: Editora

UNESP, 1999, p.309. (Seminários & Debates).

SEED/PR- Prova Brasil. Caderno de Atividades, 2009 p.17.

SKOVSMOSE, O. Educação Matemática Crítica (a questão da democracia).

São Paulo: Papirus, 2008.

ANEXO 1

Conhecendo o Geogebra

Acesse o software Geogebra clicando: Aplicativos – Educação –


O Software Geogebra foi desenvolvido por Markus Hohenwarter,

professor da Universidade de Salzburg, com o objetivo de diferenciar o estudo

da Matemática de forma mais dinâmica e atraente. É encontrado com facilidade

em sites de busca ou no endereço: http://www.geogebra.org/c.

Usando o Geogebra pode-se representar um mesmo objeto de formas

diferentes, a construção geométrica e a construção algébrica. Ele também

permite a experimentação e a ênfase no processo de visualização,

proporcionando investigações, descobertas, confirmação de resultados e

possibilitando a realização de simulações.



Ferramenta, como pelo Campo de entrada. Também podemos alterar as

propriedades dos objetos construídos utilizando a janela de Álgebra e algumas

ferramentas do Botão Direito do Mouse.

Quando iniciamos o programa há uma interface do Geogebra, na qual

estão: uma barra de ferramentas, uma Janela de Álgebra e uma Janela

Geométrica.


Funções da Barra de Ferramentas

As opções de cada item da barra de ferramentas são acessadas por um

clique no canto inferior direito de cada ícone. Estas funções estão descritas no

desenho dos mesmos.

Estes ícones são as ferramentas mais utilizadas. Elas têm a função de

selecionar e arrastar objetos.

MENU

BOTÕES

JANELA

ALGÉBRICA

JANELA

GEOMÉTRICA

ÁREA DE

TRABALHO CAMPO DE

ENTRADA

Esta ferramenta permite criar um ponto em um espaço livre, explicitar os

pontos de interseção entre dois objetos e criar o ponto médio entre dois

objetos.

Ao ativarmos estes ícones podemos criar uma reta definida por dois

pontos, um segmento de reta que une dois pontos, um segmento de reta com

comprimento definido, uma semirreta a partir de dois pontos, um vetor a partir

de dois pontos ou um vetor paralelo a outro vetor.

Utilizando janela podemos construir: uma reta perpendicular a uma reta;

uma reta paralela a uma reta; uma reta perpendicular que passa pelo ponto

médio de um segmento; a bissetriz de um ângulo; retas tangentes a uma

cônica; uma reta diametral relativa a uma cônica; uma reta que melhor se

ajusta a um conjunto de pontos; o lugar geométrico descrito pelo movimento de

um objeto (ponto, reta etc.) ao longo de uma trajetória.

Utilizando estes outros ícones podemos construir: um polígono de N

lados ou um polígono regular a partir de um lado.

Com esta ferramenta podemos construir: um círculo a partir de dois

pontos; um círculo a partir do centro e com comprimento do raio definido; um

transporte de medidas; um círculo a partir de três pontos; um semicírculo a

partir de dois pontos; um arco circular a partir do centro e dois pontos; um arco

a parir de três pontos; um setor circular a partir do centro e dois pontos; um

setor a partir de três pontos da circunferência.

Este ícone constrói: uma elipse usando três pontos, dois focos e um

terceiro ponto na curva; uma hipérbole usando três pontos, dois focos e um

terceiro ponto na curva; uma parábola usando um ponto e uma reta diretriz;

uma cônica (parábola, elipse ou hipérbole) a partir de cinco pontos.

Através desta janela é possível medir um ângulo definido por três

pontos. A partir de dois pontos é possível construir um ângulo com amplitude

fixa. Visualizar o comprimento de um segmento ou distância entre dois pontos

bem como o perímetro de um polígono ou cônica. Mostra a área da região

limitada por uma poligonal, circunferência ou elipse, assim como a inclinação

de uma reta.

Podemos construir através desta: o reflexo (simetria axial) de um objeto

em relação a um ponto; o reflexo (simetria central) de um objeto em relação ao

um ponto; o reflexo de um ponto sobre uma circunferência; o reflexo (simetria

rotacional) de um objeto ao redor de um ponto, por um ângulo determinado; o

reflexo (simetria translacional) de um objeto a partir de um vetor; o homotético

de um objeto a partir de um ponto e um fator.

Com esta ferramenta podemos modificar o valor de algum parâmetro. O

seletor é um pequeno segmento com um ponto que se movimenta sobre ele.

Temos o ícone que permite a escolha dos objetos que queremos mostrar ou

esconder. Também podemos inserir qualquer texto ou imagem na área gráfica,

bem como identificar algumas relações entre dois objetos.

Com este ícone podemos: mover o sistema de eixos e todos os objetos

contidos nele; ampliar, reduzir, apagar ou ocultar as figuras que estão na área

gráfica. Podemos copiar um estilo visual de um objeto para outro: pontilhado,

cor, tamanho etc.

Criando pontos e retas

Criaremos alguns pontos na Janela de Visualização de duas formas

diferentes:

Ative a ferramenta NOVO PONTO (Janela 2) e clique em dois

lugares distintos da Janela de Visualização. O Geogebra criou (e já nomeou)

dois pontos A e B.

Para o terceiro ponto, vamos usar o CAMPO DE ENTRADA. Suponha

que se queira criar um ponto cujas coordenadas são (3,5). Para tal, no CAMPO

DE ENTRADA, digite apenas (3,5). O Geogebra criará o terceiro ponto e o

nomeará com a letra C. Dessa forma, temos agora, três pontos na tela.

Criando retas de duas maneiras

Vamos aproveitar o que foi feito na seção anterior. Em sua tela há três

pontos.

Ative o ícone RETA DEFINIDA POR DOIS PONTOS (Janela 3).

Clique sobre o ponto A e sobre o ponto B. O programa cria, então, uma reta

que passa pelos pontos A e B.

Ao posicionar o mouse sobre o ponto A, o mesmo fica destacado na

Janela de Álgebra e na Janela de Visualização, junto ao cursor do mouse, é

mostrada uma barra com a descrição do objeto.

(3,5)

Observação:

No CAMPO DE ENTRADA escreva Reta [A, C].

Note que todo objeto que o Geogebra cria é automaticamente nomeado

(rotulado). Se tudo correu bem na tarefa acima, os nomes dados às retas

criadas foram a e b.

Alterando a posição dos objetos de duas maneiras

(Via Botão) Ative MOVER (Janela 1) e arraste os pontos A, B e

C. Observe na Janela de Álgebra as coordenadas dos pontos e equações das

retas.

(Via Janela de Álgebra) Na Janela de Álgebra aparecem as

coordenadas dos pontos A, B e C. Dê um duplo clique em uma dessas

coordenadas. Altere-as, aperte ENTER e observe sua nova posição na Área

Gráfica.

Reta[A,C]

Um erro comum é clicar no ponto A e manter o

botão do mouse pressionado. Você deve clicar

sobre o ponto A e soltar. A reta criada, além de

nomeada automaticamente tem sua equação

escrita na Janela de Álgebra.

Objetos Livres

A= (2,4)

Objetos Dependentes

Apagando Objetos

Há três formas de apagar objetos:

Ativando (Janela 1), selecione o objeto e pressione a tecla DEL

ou DELETE.

Selecione APAGAR OBJETO (Janela11). Clique no objeto que

deseja apagar na Janela de Visualização ou na Janela de Álgebra. Assim, se

apagam os objetos e todos os que dele dependem.

Na JANELA DE ÁLGEBRA OU VISUALIZAÇÃO, clique com o botão do

lado direito do mouse sobre o objeto e selecione a opção APAGAR.

B= (4,5)

C= (3,5)

Atividade: Construir uma casa

Preparação:

- Abra uma nova janela. Para tal, no Menu Principal, clique em Janela e

após isto, em NOVA JANELA.

- No Menu Exibir, desmarque as opções EIXOS e JANELA DE

ÁLGEBRA. Marque a opção MALHA.

Construção:

Tente reproduzir o desenho seguinte usando as ferramentas

SEGMENTO DEFINIDO POR DOIS PONTOS (Janela 3) e POLÍGONO (Janela

5):

Após fazer a atividade clique no menu ARQUIVO e selecione GRAVAR

COMO. Digite o nome do Arquivo. Salve o arquivo na pasta ATIVIDADES

GEOGEBRA. Em seguida selecione a ferramenta INSERIR TEXTO e clique

sobre a área de trabalho, onde deseja que o texto apareça. Digite seu NOME

COMPLETO, dê um ENTER no teclado. Digite a data de hoje e clique em

APLICAR. Observe como ficam organizados estes dados na figura.

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