Versão On-line ISBN 978-85-8015-075-9Cadernos PDE

OS DESAFIOS DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSENA PERSPECTIVA DO PROFESSOR PDE

Produções Didático-Pedagógicas

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FICHA PARA IDENTIFICAÇÃO PRODUÇÃO DIDÁTICO-PEDAGÓGICA

TURMA - PDE/2013

Título: Ensino-aprendizagem das operações com números inteiros por meio de resolução de problemas, de jogos e de mídias tecnológicas.

Autor Luciana Santelli

Disciplina/Área Matemática

Escola de Implementação do Projeto e sua localização

Colégio Estadual Guilherme de Almeida – E.F.M.N.

Rua Florianópolis nº 555

Município da escola Loanda

Núcleo Regional de Educação Loanda

Professor Orientador Prof.ª Dr.ª Nelma Sgarbosa Roman de Araújo

Instituição de Ensino Superior Universidade Estadual do Paraná - UNESPAR – Campus de Paranavaí

Relação Interdisciplinar

Este item não será contemplado no trabalho.

Resumo

Esta unidade didática apresenta uma proposta metodológica para o ensino das operações com números

inteiros, a ser implementada no 1º semestre de 2014,

com alunos do 7º ano do Ensino Fundamental, do

Colégio Estadual Guilherme de Almeida, município de Loanda - PR. Teve como ponto de partida as dificuldades apresentadas no processo ensino-aprendizagem dos números inteiros, principalmente no que se refere às operações de multiplicação e divisão. Em busca de respostas que auxiliem a superação dos problemas detectados, considera-se imprescindível a reflexão tanto em relação às dificuldades apresentadas pelos alunos, quanto em relação às intenções educativas e metodologias utilizadas pelos professores. Sendo assim este trabalho tem por objetivo contribuir para o aprendizado efetivo das operações com números inteiros, priorizando a abordagem desse conteúdo, por meio de diferentes tendências metodológicas em educação matemática. Por meio da metodologia da resolução de problemas, articulada ao uso de jogos e mídias tecnológicas espera-se romper com o enfoque que prioriza esquemas clássicos como memorizar fórmulas e executar listas de exercícios.

Palavras-chave Educação matemática; Números inteiros; Tendências metodológicas.

Formato do Material Didático Unidade Didática

Público Alvo Alunos do 7.º ano do Ensino Fundamental

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PRODUÇÃO DIDÁTICO-PEDAGÓGICA

Apresentação

A presente produção didático-pedagógica foi desenvolvida para o Programa

de Desenvolvimento Educacional – PDE e está articulada ao Projeto de Intervenção

Pedagógica na escola. Este material elaborado em formato de Unidade Didática,

destina-se a alunos do 7.º ano do Ensino Fundamental, do Colégio Estadual

Guilherme de Almeida – E.F.M.N., município de Loanda, estado do Paraná.

Esta proposta teve como ponto de partida as dificuldades apresentadas no

processo ensino-aprendizagem dos números inteiros, principalmente no que se

refere às operações de multiplicação e divisão. Também é fruto da reflexão acerca

do papel do professor no ensino-aprendizagem de Matemática, com o propósito de

romper com o enfoque que prioriza esquemas clássicos, como memorizar fórmulas e

executar listas de exercícios sem compreensão efetiva, colaborando para o

insucesso dos alunos em sala de aula.

Utilizando como referência as Diretrizes Curriculares da Educação Básica de

Matemática (documento orientador do estado do Paraná), que está alicerçada no

campo de estudo da Educação Matemática e as dificuldades apresentadas pelos

alunos em sala de aula, esta produção tem como objetivo contribuir para o

aprendizado efetivo das Operações com Números Inteiros, priorizando a abordagem

desse conteúdo por meio de jogos, de resolução de problemas e de mídias

tecnológicas. Nesse contexto, buscam-se alternativas e recursos possíveis de

aplicação em sala de aula, vislumbrando uma possibilidade para aprimorar a prática

pedagógica dos educadores matemáticos e contribuir para a construção do

conhecimento dos alunos de forma mais dinâmica e atrativa.

Este material prevê um tempo de 32 horas/aulas para implementação. Está

organizado em quatro etapas, nas quais serão exploradas situações problemas e

jogos envolvendo números inteiros e suas operações.

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1.ª Etapa: Conhecendo os números negativos.

2.ª Etapa: Construção dos conceitos orientação/sentido (positivo ou negativo), ponto

de origem (zero) e de distância entre dois pontos, comparação e ordenação dos

números inteiros.

3.ª Etapa: Representação e operações com números inteiros.

4.ª Etapa: Uso de jogos e mídias tecnológicas nas operações com números inteiros.

Observe, professor, que após as tarefas sugeridas para serem trabalhadas

com os alunos, encontram-se as Orientações Metodológicas do material destinadas

aos educadores, com os detalhamentos e outras sugestões pertinentes.

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UNIDADE DIDÁTICA

ENSINO-APRENDIZAGEM DAS OPERAÇÕES COM NÚMEROS INTEIROS POR MEIO DE

RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS, DE JOGOS E DE MÍDIAS TECNOLÓGICAS.

1.ª Etapa: Conhecendo os números negativos.

Tarefa 1 - Quem ganhou o campeonato? 1

Em um campeonato da escola, quatro times foram formados: De primeira, Tiro

de meta, Bate um bolão e Gol de placa, respectivamente pelas turmas do 6.º, 7.º, 8.º

e 9.º anos. Todos os times iniciam o campeonato com zero ponto. Para classificação

dos times observa-se o seguinte: Em cada jogo, o time vencedor ganha 3 pontos e o

time derrotado não ganha ponto. Em caso de empate, cada um ganha 1 ponto. As

partidas foram disputadas em três rodadas, conforme indica quadro de resultados:

1.ª rodada 2.ª rodada 3.ª rodada

De primeira 2 x 2 Tiro de Meta

Tiro de meta 2 x 3 Bate um bolão

Bate um bolão 1 x 3 De primeira

Bate um bolão 4 x 3 Gol de placa

De primeira 1 x 4 Gol de placa

Gol de placa 2 x 6 Tiro de meta

a) Com base nos resultados indicados no quadro anterior, preencha a tabela a

seguir:

Times Pontos ganhos Gols pró (GP) Gols contra (GC) Saldo de gols (GP – GC)

De primeira

Tiro de meta

Bate um bolão

Gol de placa

b) Como você representou o saldo de gols de cada time?

c) Qual a classificação por pontos ganhos?

d) Qual time foi o vencedor do campeonato? (Em caso de empate no número de

pontos, vence quem tem maior saldo de gols).

1 Tarefa adaptada de Souza e Pataro (2009, p. 81-122).

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Tarefa 2 – Uso dos números negativos.

Como podemos perceber, nem sempre é possível expressar todas as

situações problemas que encontramos no nosso cotidiano utilizando apenas

números naturais, ou seja, os números maiores ou iguais a zero. Dessa forma, para

resolver algumas situações é necessário recorrer ao uso de números menores que

zero, chamados de números negativos.

Os números naturais são utilizados para expressar resultados de contagens e

de medidas. Exemplos:

a) Ganhei 1 tablet de presente de aniversário.

b) Loanda fica a aproximadamente 80 quilômetros de Paranavaí.

c) Demorei duas horas para terminar a tarefa de Matemática.

d) Meu computador possui 8 GB de memória.

E os números negativos, para que servem afinal? Em que situações são

utilizados? Pesquise jornais e revistas nos quais esses números aparecem. Discuta

com seus colegas e indique diferentes situações que os utilizam.

Tarefa 3 – Leitura e discussão do livro “Números Negativos”.

Agora que já discutimos um pouco mais sobre o uso dos números negativos,

que tal fazer uma leitura bem interessante a respeito desses números, para

aprofundar um pouco mais nossos conhecimentos sobre eles? Em duplas, realizem

a leitura de um trecho do livro “Números negativos” da série “Pra que serve a

matemática?” e reflitam sobre as seguintes questões:

a) O que vocês entenderam do trecho lido no livro?

b) Vocês consideram os números negativos importantes? Por quê?

c) Agora, com a ajuda de seu professor, socializem com seus colegas o trecho

do livro que realizaram a leitura.

2.ª Etapa - Construção de conceitos: orientação/sentido (positivo ou negativo),

ponto de origem (zero) e de distância entre dois pontos, comparação e

ordenação dos números inteiros.

Tarefa 4 – Temperatura.

O mapa abaixo nos mostra a previsão da temperatura para todo o estado do

Paraná no dia 23 de julho de 2013. Para cada cidade indicada no mapa temos a

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previsão da temperatura máxima (em vermelho) e mínima (em azul) que pode ser

atingida nesse dia.

Figura 1: Previsão de temperatura Fonte: <http://catve.tv/noticia/6/64331/neve-volta-ao-parana-e-baixas-temperaturas-vao-continuar>.

Acesso em: 18 ago. 2013.

Observando o mapa da Figura 1, responda:

1 - Quais cidades do Paraná registraram temperaturas positivas no dia 23 de julho

de 2013? Quais tiveram temperaturas negativas?

2 - Qual a menor temperatura registrada no Paraná nesse dia e onde foi registrada?

Qual a maior temperatura? Foi registrada para que cidade do estado?

3 - Faça o desenho de dois termômetros no seu caderno e represente a temperatura

mais baixa e a mais alta prevista para o estado nesse dia.

Tarefa 5 – Linha do tempo2.

Fatos históricos ocorridos em diferentes épocas podem ser representados por

meio de uma linha do tempo. O marco zero para essa representação é o nascimento

de Cristo. Fatos ocorridos antes do nascimento de Cristo são indicados pelo ano

seguido da sigla a.C. (antes de Cristo). Fatos ocorridos após o nascimento de Cristo,

são indicados pelo ano seguido da sigla d.C. (depois de Cristo). Na sequência estão

listados alguns acontecimentos que fizeram parte da história da humanidade:

A construção do coliseu romano (anfiteatro reservado para combates entre

gladiadores) teve início em 70 a.C.

2 Tarefa adaptada de Souza e Pataro (2009, p. 98).

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Alexandre, o Grande, em 330 a.C. após a conquista do Egito, fundou a

cidade de Alexandria.

No ano 532 d.C., Dionysius Exiguus criou o calendário que deu origem ao

que utilizamos atualmente.

Os primeiros jogos olímpicos aconteceram no ano 776 a.C.

Em 45 a.C. César tornou-se ditador de Roma.

a) Como você faria para representar na linha do tempo os acontecimentos acima

descritos? Demonstre utilizando a reta seguinte.

b) Qual fato histórico ocorreu mais próximo do nascimento de Cristo?

c) Quais os dois fatos que aconteceram mais distantes um do outro?

d) Se utilizarmos o sinal – (menos) para os fatos históricos a.C. e o sinal + (mais)

para os fatos históricos d.C., com podemos representar as datas apresentadas na

linha do tempo acima?

Tarefa 6 – Distância entre dois pontos.

Dois carros partem do mesmo ponto de origem (zero), porém em sentidos

opostos. Após andarem alguns quilômetros, fazem uma parada nos pontos indicados

na Figura 2.

Figura 2: Distância entre dois pontos.

Fonte: <http://bionarede.com.br/wp-content/ uploads/2012/04/MAT071201.pdf> com adap-tações realizadas pela autora. Acesso em: 18

ago. 2013.

a) Sabendo que cada intervalo entre um

ponto e outro representado na Figura

2 corresponde à distância de um

quilômetro, após pararem, qual a

distância entre os dois carros?

b) Qual dos dois carros ficou mais

distante do ponto de origem?

Explique seu raciocínio.

Tarefa 7 – Ordenação de números inteiros.

A Figura 3 mostra um labirinto de números inteiros. Vamos supor que você se

encontra na entrada do labirinto. Encontre a saída percorrendo o caminho em que os

números estejam em ordem crescente.

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Qual o caminho

percorrido?

Figura 3: Labirinto dos inteiros Fonte: <http://matematicainformaticauepr.pbworks.com/w/page/44011246/Oficina%203%3A%20N%

C3%BAmeros%20Inteiros%20%20(6%C2%AA%20s%C3%A9rie>. Acesso em: 18 ago. 2013.

Tarefa 8 – Representação geométrica dos números inteiros.

Os números inteiros podem ser representados em uma reta numérica. Vamos

representá-la? Você receberá de seu professor uma tira de papel medindo 15

centímetros de comprimento e também um número variando de –30 a 30. Com a

faixa e o número sorteado em mãos, aguarde o comando de seu professor para que

possa iniciar a construção da reta numérica.

3.ª Etapa: Representação e operações com números inteiros.

Agora que já conhecemos um pouco mais sobre os números inteiros, que tal

aprender a operar com esses números? Com eles podemos realizar operações que

com os números naturais não eram possíveis. Para realizar as operações, usaremos

um modelo que utiliza peças coloridas (contadores).

Tarefa 9 – Representação dos números inteiros com contadores coloridos3.

Nessa atividade utilizaremos peças coloridas para representar números

inteiros. As peças positivas serão indicadas pela cor azul e as negativas pela cor

vermelha. Duas peças, uma de cada cor se anulam.

a) Como você faria para representar o número zero utilizando essas peças? E o

número +8?

b) Represente um número negativo e justifique o procedimento que utilizou.

3 Tarefa adaptada de Experimentoteca da USP (s.d. p.1).

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Tarefa 10 - Adição de números inteiros com contadores coloridos.

Como vimos anteriormente, uma peça azul anula uma vermelha e vice versa.

Utilizando essas peças (azuis e vermelhas), resolva as situações propostas:

a) Adicione seis peças azuis com quatro peças azuis. No total, com quantas

peças ficará?

b) Agora faça o mesmo, juntando seis peças vermelhas com quatro peças

vermelhas. Qual o resultado encontrado?

c) Adicione sete peças azuis com nove peças vermelhas. Qual será o resultado

dessa adição? Existe outra forma de representar essa operação?

d) Agora, efetuará uma operação com mais parcelas. Adicione seis peças azuis

com quatro vermelhas e mais duas vermelhas. Qual o resultado obtido?

e) E se quiséssemos representar uma adição em que temos nove peças azuis e

nenhuma vermelha, como faríamos?

f) Como posso representar matematicamente as situações apresentadas?

Tarefa 11 – Subtração de números inteiros com contadores coloridos.

Será que as situações que envolvem subtração de números inteiros também

podem ser representadas pelas peças coloridas? Vamos tentar? Analise as questões

seguintes e responda-as utilizando os contadores quando possível:

a) Qual o significado da palavra subtração?

b) Represente a seguinte operação: (+5) – (+2). Qual o total de peças ao final da

operação?

c) É possível representar a subtração a seguir: (+3) – (–4)? Como posso retirar

peças vermelhas (– 4) se só tenho peças azuis (+ 3)? Existe alguma maneira

de conseguir peças vermelhas? Qual o resultado final dessa operação?

d) E se fosse o contrário? Se tivesse a operação: (–3) – (+4)? Note que precisa

retirar peças azuis (+4) de peças vermelhas (–3). Ao final da operação com

quantas peças ficará?

e) E se tivermos apenas peças negativas? Será que é fácil de resolver? Vamos

tentar? Represente a operação: (–5) – (–3). Qual o resultado obtido?

f) Agora faça o mesmo com (–4) – (–6)? Como você faria para representar essa

operação?

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Tarefa 12 – Jogo “Matix”4 no tabuleiro.

O matix é um jogo de estratégia em que o objetivo é conseguir o maior

número de pontos. Sendo assim, ao realizar a jogada, você deve pensar em

estratégias para realizar a melhor opção de movimento, de modo que seu adversário

fique com as peças de menor valor.

Vamos às regras do jogo: - Após receber do professor um jogo para cada dupla, os participantes devem

distribuir as 36 peças (inclusive o curinga) aleatoriamente sobre o tabuleiro, com as

faces voltadas para cima.

- Em seguida devem decidir no par ou ímpar, quem dará início a partida. O

participante ganhador terá o direito também de escolher a posição (vertical ou

horizontal) que prefere jogar. Essa posição deverá ser mantida até o final do jogo.

- O primeiro participante inicia retirando o curinga do tabuleiro e, em seguida, de

acordo com a posição escolhida, retira uma peça numerada da mesma linha (se

optou por jogar na horizontal) ou coluna (se optou por jogar na vertical), recolocando

o curinga no local da peça retirada.

- O segundo participante deve proceder da mesma forma, retirando uma peça

numerada, no entanto, só poderá escolher uma peça da linha ou coluna da qual a

última peça foi retirada.

- O jogo segue dessa forma até que todas as peças sejam retiradas do tabuleiro ou

quando não restarem mais peças na linha ou coluna da jogada.

- Ao final, cada jogador deve somar os valores obtidos em cada partida (peças

retiradas do jogo). Será considerado vencedor o participante que tiver mais pontos.

Conhecidas as regras, inicia-se o jogo:

Durante a partida, registre na tabela abaixo as pontuações obtidas em cada

jogada:

4 Este jogo foi extraído do trabalho de Mangili (2007, p.15).

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Nome do participante 1: Nome do participante 2:

Jogada Pontuação de cada peça Jogada Pontuação de cada peça

1.ª 1.ª

2.ª 2.ª

3.ª 3.ª

4.ª 4.ª

5.ª 5.ª

Somatória

das jogadas

Somatória

das jogadas

Total Total

Com base na tabela, responda:

a) Quem ganhou o jogo?

b) Quantos pontos o vencedor obteve?

c) Qual a diferença de pontos entre os dois jogadores ao final da partida?

Tarefa 13 – Multiplicação de números inteiros com contadores coloridos.

Quando você estudou a multiplicação dos números naturais aprendeu que

multiplicar é adicionar parcelas iguais. Dessa forma, quando temos 3 x 5 podemos

representar três grupos de cinco unidades cada. Na multiplicação de números

inteiros, em que o primeiro fator é positivo, essa definição se mantém. Já para a

multiplicação envolvendo números negativos, nos remetemos a uma outra definição.

Se o primeiro fator é negativo, devemos ter “subtração repetida de parcelas iguais”,

ou seja, quantas vezes esse conjunto é subtraído de zero.

Dessa forma, utilizando o raciocínio acima e as peças coloridas, vamos

calcular as seguintes operações:

a) Qual o resultado de +3 multiplicado por +4? Utilize as peças coloridas para

demonstrar essa situação e, na sequência, faça o registro da representação

matemática dessa operação.

b) E se na multiplicação anterior, no lugar do +4, tivéssemos –4? Como seria a

representação dessa operação por meio das peças coloridas?

c) Nas duas situações anteriores utilizamos, no 1.º fator, números inteiros

positivos. Mas e com os números inteiros negativos? Como você

representaria a multiplicação (–4) x (+3), utilizando as peças coloridas?

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Lembre-se que nesse caso você deve fazer uma “subtração repetida de

parcelas iguais”. Explique seu raciocínio.

d) E agora, será que você consegue realizar a operação –4 multiplicado por –3?

Tarefa 14 – Divisão de números inteiros com contadores coloridos.

A divisão exata é a operação inversa da multiplicação. Observe uma divisão

envolvendo números naturais: (40) : (2) = 20, pois (20) x (2) = 40. Isso quer dizer

que, em uma divisão exata, o quociente (20) é o número que, multiplicado pelo

divisor (2), resulta o dividendo (40). Sendo assim, quando realizamos uma divisão

(exemplo (40) : (2)), podemos pensar na seguinte situação: Quantos conjuntos de 2

eu preciso para formar o 40?

Com a divisão de números inteiros acontece a mesma coisa, a única

diferença é que você tem que prestar atenção aos sinais dos números. Sendo assim,

pense nas situações abaixo e tente representá-las por meio das peças coloridas.

a) Quantos conjuntos de +2 formam um conjunto de + 6?

b) Quantos conjuntos de – 2 formam um conjunto de – 6?

c) Quantos conjuntos de +2 formam um conjunto de – 6?

d) Quantos conjuntos de – 2 formam um conjunto de + 6?

Tarefa 15 - Jogo “Eu sei”5.

Este é um jogo para três participantes, no qual vocês utilizarão as operações

de multiplicação e divisão de números inteiros. Uma maneira divertida de colocar em

prática tudo aquilo que aprenderam.

Regras do jogo:

- Decidir entre os participantes quem será o juiz da partida. Dos três participantes,

um é o juiz e os outros dois jogadores.

- Cada participante recebe 11 cartas (numeradas de -5 a +5) e as embaralha.

- Os dois jogadores sentam-se um de frente para o outro, colocando as cartas

recebidas em um monte ao lado, com as faces voltadas para baixo.

- O juiz deve se posicionar próximo aos jogadores, de modo que consiga observar a

partida.

5 Jogo extraído de Barbosa e Carvalho (2008, p. 26).

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- Para dar início ao jogo, o juiz dá um sinal para que os jogadores virem

simultaneamente uma carta de seu respectivo monte. Esta carta deve ser levantada

próxima ao rosto, com a face virada para o oponente, de modo que somente este

possa ver o número da carta.

- O juiz, que consegue ver os números das duas cartas, deve anunciar em voz alta o

produto entre eles.

- Cada um dos jogadores, a partir do produto anunciado, tenta deduzir o número

contido em sua carta.

- Aquele que primeiro gritar “eu sei” e acertar o número correto da sua carta, fica

com as duas cartas da partida.

- O jogo termina quando acabarem todas as cartas, sendo vencedor o participante

que tiver o maior número delas.

4.ª Etapa: Uso de jogos eletrônicos nas operações com números inteiros:

Number Factory .

Tarefa 16 - Jogo Number Factory.

1) Organizados em duplas, acessar o endereço eletrônico: <http:www.fi.uu.nl/

wisweb/en>.

2) Clicar em “Applets” (aplicativos).

3) Entre os diversos aplicativos disponíveis, escolha “Number Factory”, clicando

sobre o nome do aplicativo.

4) Uma nova tela será aberta. Aguarde o carregamento completo do aplicativo para

jogar.

Figura 4: Janela do aplicativo Number Factory Fonte: <http://www.fisme.uu.nl/toepassingen/00013/toepassing_wisweb.en.html>. Acesso em: 18

ago. 2013.

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Modo de jogar:

- O objetivo do jogo é construir operações para se chegar ao resultado indicado

utilizando quatro algarismos, os sinais das quatro operações (+, -, x , :), parênteses e

o sinal da igualdade.

- Para jogar, basta clicar sobre o item desejado, que o mesmo é selecionado,

montando-se dessa forma as expressões aritméticas e/ou numéricas.

- Para finalizar, sempre clicar no sinal da igualdade. O jogo mostra o resultado

obtido, seja este correto ou não.

- Caso o resultado obtido pelo jogador seja diferente do indicado no início da partida,

pode-se utilizar o botão “cancel”, que significa cancelar e reiniciar a jogada,

preservando os algarismos disponibilizados.

- A cada jogada é exibido um novo resultado e também novos algarismos.

Utilize a tabela seguinte para registro das jogadas:

Jogada Expressão numérica utilizada Resultado obtido

1.ª

2.ª

3.ª

4.ª

5.ª

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ORIENTAÇÕES METODOLÓGICAS

Ao final de cada etapa e/ou tarefa, havendo necessidade, o professor poderá

trabalhar com atividades complementares dos livros didáticos ou de outras fontes

que considerar interessantes para complementar o conteúdo aqui explorado.

1.ª Etapa – Conhecendo os números negativos.

Tarefa 1 - Quem ganhou o campeonato?

Considerando a metodologia de Resolução de problemas discutida por

Onuchic (1999; 2005), adotada nesse trabalho, para dar início a essa produção

didática pedagógica, na Tarefa 1, será apresentado aos alunos um problema, por

meio da TV Multimídia, que tenha como resultado um número negativo. Será

realizada a leitura, juntamente com os alunos, para verificar a compreensão do

enunciado e esclarecimentos de dúvidas e termos, caso necessário. Feito isso, os

alunos terão um tempo para refletir sobre o problema, tentando resolvê-lo, enquanto

o professor auxilia os grupos, incentivando a resolução e verificando as estratégias

utilizadas. Esses procedimentos de leitura dos problemas e auxílio aos grupos serão

utilizados em todas as tarefas propostas nesta unidade didática. Essa tarefa visa

mostrar aos alunos que os números naturais não são suficientes para resolver todas

as situações que permeiam o dia a dia das pessoas. Portanto, contribuirá para o

entendimento da necessidade da ampliação do conjunto dos números naturais e da

utilização de números menores que zero, sendo esses conceitos abordados de

forma intuitiva.

Tarefa 2 - Uso dos números negativos.

Essa tarefa consiste em uma pesquisa, para que os alunos possam perceber

como é comum o emprego dos números negativos em diferentes situações do

cotidiano (temperaturas, saldo bancário, painéis de elevadores, indicação de

períodos históricos, indicação de altitudes e profundidades em relação ao nível do

mar, saldos de gol, banco de horas, etc.). O professor deve providenciar materiais

diversos (jornais atuais, revistas, anúncios de produtos, tesoura, cola) para sua

realização. Sugere-se que essa tarefa seja realizada em trios e os alunos registrem

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no caderno por meio de colagem as situações identificadas. Após a pesquisa e

discussão entre o grupo, solicitar aos alunos que compartilhem as informações

encontradas e, por meio de registro no quadro, discutir com os alunos os dados

coletados. Nesse momento, é importante valorizar o que eles já sabem a respeito

dos números negativos e de sua utilização, pois convém destacar que muitos alunos

já possuem conhecimento informal acerca desse conteúdo.

Tarefa 3 - Leitura e discussão do livro “Números Negativos”.

Os livros paradidáticos podem ser uma boa alternativa para introdução,

pesquisa e/ou aprofundamento dos conteúdos trabalhados em sala de aula. Com

intuito de facilitar a compreensão da noção de números negativos, o livro indicado

apresenta diferentes exemplos práticos, que mostram a aplicação desses números

em diversas situações, tais como: nos termômetros, saldos bancários, balancetes,

cambagem (quando se faz o alinhamento das rodas do carro), entre outros. Traz

também jogos e atividades que tornam a leitura bastante agradável e desafiam os

estudantes.

Para essa tarefa, os alunos são organizados em duplas e entrega-se a eles

uma cópia do livro, porém seleciona-se apenas um trecho para que cada dupla leia.

Após a leitura, realiza-se uma roda de discussão e, com a ajuda do professor, os

alunos farão a exposição das principais ideias do texto e o que compreenderam

dele. Sugere-se ainda a realização de algumas atividades, contidas nesse livro (p. 7-

9), com o uso da calculadora. Tais atividades podem ser exploradas para

observação de algumas situações envolvendo números negativos, pois a

calculadora fornece resultados corretos e imediatos das operações efetuadas.

Embora esse instrumento não forneça explicações para os resultados obtidos (como

por exemplo: 5 – 9 = –4), os alunos podem comprovar que operações impossíveis

de serem realizadas com os naturais, podem ser realizadas no conjunto dos

números inteiros. Esses exemplos podem ajudá-los a pensar intuitivamente sobre as

quantidades e operações envolvendo números menores que zero.

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2.ª Etapa - Construção de conceitos: orientação/sentido (positivo ou negativo),

ponto de origem (zero) e de distância entre dois pontos, comparação e

ordenação dos números inteiros.

Tarefa 4 – Temperatura.

Antes de realizar a atividade, o professor deve levar para sala dois tipos de

termômetros, utilizados para medir temperatura corporal e temperatura ambiente,

para que os alunos possam manuseá-los. Importante discutir com os alunos como

as temperaturas abaixo e acima de zero são registradas e o porquê da necessidade

de uma escala de maior amplitude no segundo tipo de termômetro. Aproveitando o

conhecimento prévio dos alunos, pode-se levantar questões relacionadas ao tema

como mudanças bruscas de temperatura, refrigeração dos alimentos, temperatura

do corpo humano, entre outras que possam ser exploradas. É possível ainda

explicar que existem outras unidades de medida de temperatura (Kelvin e

Fahrenheit), mas que no Brasil a temperatura é medida na escala Celsius. A partir

daí, será demonstrado como se faz a leitura, por exemplo, de -2 ºC (lê-se menos

dois graus Celsius).

Após essa introdução e discussão, os alunos recebem a tarefa em uma folha

impressa. Propõe-se que, pela leitura da previsão do tempo indicada no mapa, os

alunos respondam algumas questões. Espera-se que, com essa atividade, os alunos

identifiquem o 0 ºC como ponto de origem da temperatura e que acima dele são

registradas temperaturas positivas e abaixo negativas.

Tarefa 5 – Linha do tempo.

Para a realização dessa tarefa os alunos recebem o problema impresso.

Fazem a leitura e tentam responder a questão proposta. O objetivo dessa atividade é

bem parecido com o da anterior, porém os alunos identificarão o zero como ponto de

referência (origem), a sua direita os números positivos e a sua esquerda os números

negativos.

Na sequência, o professor deve fazer a sistematização das duas atividades

(tarefas 4 e 5), apresentando aos alunos um novo conjunto (Z), como uma ampliação

dos números naturais e mostrando a representação geométrica dos números inteiros

(horizontal e vertical). Com a construção da reta numérica, os alunos têm a

oportunidade de perceber o zero não somente como ausência de quantidade, mas

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também como ponto de origem, a partir do qual se estabelecem dois sentidos

(positivo ou negativo).

Tarefa 6 – Distância entre dois pontos.

O professor apresenta o problema aos alunos, que individualmente realizam a

tarefa. Com esta, espera-se que os alunos percebam que a distância entre os dois

carros é a mesma, porém em direções opostas. A partir daí, compreendam a

necessidade do estabelecimento de uma unidade de medida para construção da

reta, bem como os conceitos de módulo ou valor absoluto (distância de um ponto na

reta numérica até a origem) e números opostos. Utilizando-se de slides

apresentados na TV Multimídia ou projetor, o professor trabalha a definição de

módulo, mostrando sua representação e outros exemplos, se necessário.

Tarefa 7 – Ordenação de números inteiros.

A tarefa 7 é entregue aos alunos em folha impressa para que resolvam

individualmente. Após a conclusão da atividade, o professor solicita a alguns alunos

que façam no quadro negro o registro das soluções encontradas.

Seguem abaixo algumas soluções possíveis:

(- 30) → (- 15) → (- 6) → (0) → (14) → (29) → (30)

(- 30) → (3) → (5) → (15) → (17) → (21) → (28)

(- 30) → (- 15) → (- 5) → (-2) → (14) → (29) → (30)

Na sequência, abre espaço para discussão dos resultados, valorizando as

diferentes respostas obtidas. Caso os alunos não encontrem soluções diferentes, o

professor deve instigá-los, perguntando a eles se não há a possibilidade de outras

respostas. Em seguida, por meio de novos questionamentos, o professor estabelece

comparações entre os números inteiros: primeiro apenas entre números positivos,

depois apenas entre números negativos e, finalmente, entre ambos. A seguir, por

meio da TV Multimídia ou projetor, apresenta algumas definições sobre comparação

de números inteiros.

Tarefa 8 – Representação geométrica dos números inteiros.

Para finalizar essa etapa e dar continuidade à tarefa anterior, o professor

distribuirá a cada aluno uma tira de papel medindo 15 centímetros de comprimento e

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um número variando entre -30 e +30. Com esse material construirão uma reta

numérica para transpor uma das soluções encontradas na tarefa 7. Os alunos

fixarão, com a ajuda de uma fita adesiva, a tira de papel recebida formando uma reta

no quadro negro. Logo após, o professor dirá os números encontrados na resposta

da tarefa 7 (labirinto) alternadamente para que o aluno, com o número

correspondente, encontre o lugar correto para fixá-lo. Durante a construção, o

professor questionará a localização de cada ponto, estabelecendo as comparações

necessárias. Espera-se que ao final dessa atividade e dessa etapa os alunos

consigam representar os números inteiros na reta, saibam identificar números

opostos ou simétricos, ordenar e comparar números positivos e negativos.

3.ª Etapa: Representação e operações com números inteiros.

Nas tarefas envolvendo representação e operações com números inteiros,

utilizaremos um modelo, que visa contribuir para a compreensão das quatro

operações (adição, subtração, multiplicação e divisão), além de algumas

propriedades operatórias e conceito de oposto. O trabalho com esse modelo, de

contadores coloridos (peças azuis para representar os positivos e peças vermelhas

para representar os negativos), teve como aporte teórico o livro “Matemática no

ensino fundamental: formação de professores e aplicação em sala de aula” do autor

John A. Van de Walle (2009, p. 532-539). No livro o autor apresenta um outro

modelo, o da reta numérica. Embora pareçam modelos diferentes, matematicamente

são semelhantes, pois trabalham com dois conceitos que envolvem os números

inteiros: quantidades (números de contadores ou distâncias orientadas) e opostos

(cores diferentes ou sentidos diferentes). Segundo o autor, é importante trabalhar

com esses dois modelos para que os alunos possam construir os diferentes

conceitos de inteiros. No entanto, devido à delimitação desse trabalho, utilizaremos

apenas o modelo dos contadores. Sugere-se que todas as tarefas, a partir de agora,

sejam realizadas em duplas, para que ocorra troca de ideias e discussão entre os

alunos. É desejável que ao final dessa etapa os alunos consigam elaborar as regras

das operações e, principalmente, deduzir as regras de sinais sem a necessidade de

recorrer apenas à memorização.

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Tarefa 9 – Representação dos números inteiros com contadores coloridos.

Essa tarefa tem o intuito de propiciar a familiarização dos alunos com as

peças coloridas que serão utilizadas nas operações e que também aprendam a

representar números inteiros por meio deste material. O professor deve providenciar

peças coloridas (azuis e vermelhas) em número suficiente para que os alunos

consigam operar com elas de acordo com as tarefas propostas (aproximadamente

20 peças de cada para cada aluno).

Após entregar as peças, o professor solicita que os alunos resolvam a

situação problema proposta e aguarda até que todos tenham feito suas

representações. Em seguida, discute com os alunos as diferentes possibilidades de

representação apresentadas por eles. Importante enfatizar que as peças iguais se

anulam, enfocando nesse momento o assunto do número oposto. O que deve ficar

claro para o aluno, após essa tarefa, é que sempre é possível adicionar ou remover

de uma coleção qualquer número de pares numéricos (uma peça positiva e outra

negativa) sem alterar o valor dessa coleção, ou seja, seria o mesmo que adicionar

zeros.

Por exemplo: O número zero pode ser representado utilizando duas peças de

cores diferentes quantas vezes desejar. Já o número +8 pode ser obtido com oito

peças azuis ou dez azuis e duas vermelhas. Ou ainda, doze azuis e quatro

vermelhas e assim por diante. O mesmo raciocínio serve para a representação do

número negativo.

Representação do zero Representação do +8 Representação do -3

Tarefa 10 - Adição de números inteiros com contadores coloridos

Nas operações de adição com números inteiros, as ações possuem o mesmo

significado que para os naturais, ou seja, adição é juntar, adicionar. Dessa forma, o

professor, inicialmente, faz uma retomada desse conjunto numérico. Em seguida,

por meio do quadro negro, realiza uma explicação rápida de como esse modelo

funciona para que, a partir daí, os alunos possam utilizá-lo na resolução dos

problemas propostos. Apresenta a tarefa aos alunos, um item de cada vez, dando

tempo para resolução. Nessa tarefa, os alunos tentam, por meio das peças

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coloridas, representar a resolução do problema. Na sequência faz-se o registro no

quadro negro e a discussão do raciocínio utilizado pelos alunos.

Exemplos de operação de adição:

+6 + (+4) = +10

– 6 + (– 4) = – 10

+7 + (– 9) = – 2

Tarefa 11 – Subtração de números inteiros com contadores coloridos.

Para a operação de subtração o professor procede da mesma forma que na

adição, fazendo uma retomada do significado da palavra subtração que é “retirar” ou

“remover”. Apresenta as situações problemas aos alunos, uma por vez, dando tempo

para resolução e auxiliando as duplas na utilização das peças coloridas. Nessa

operação, em alguns casos, será necessário “adicionar zeros” para que a operação

possa ser realizada. Dessa forma, é importante que o professor esteja sempre

atento ao raciocínio utilizado pelos alunos, questionando-os de modo que percebam

essa necessidade. Na sequência de cada tarefa também realiza o registro no

quadro negro e faz a discussão das representações utilizadas pelos alunos e dos

resultados obtidos.

Exemplos de operações:

a) – 5 – (+2)

Começo com –5. Quero tirar +2. Para conseguir realizar a operação necessito

acrescentar zeros. Após obter peças azuis (dois zeros acrescentados), consigo

retirar os +2. Logo, o resultado da operação é –7.

– 5

– 5 + 0 = – 5

Remova +2

Resultado= –7

b) –4 – (–6)

Começo com –4. Quero tirar –6. Para conseguir realizar a operação necessito

acrescentar zeros. Após obter mais peças vermelhas (dois zeros acrescentados),

consigo retirar os –6. Logo, o resultado da operação é +2.

– 4

– 4 + 0 = – 4

Remova – 6

Resultado= +2

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Tarefa 12 – Jogo “Matix” no tabuleiro

Nesta tarefa o professor pode optar em levar o jogo Matix já confeccionado,

ou confeccioná-lo com os alunos em sala de aula. Nesse caso, durante a construção

do tabuleiro podem ser explorados alguns conceitos de geometria plana.

Tempo estimado: 2 aulas.

Recursos necessários: 01 tabela para registro das jogadas, 01 tabuleiro quadrado

de cartolina grossa com 36 centímetros de lado, dividido em 36 quadrados e 36

peças.

Peças do jogo: 36 tampinhas de garrafas PET

com as seguintes numerações: duas tampinhas

com o número -10, duas com o -5, duas com o -

4, duas com o -3, duas com o -2, duas com o -1,

três com o 0, duas com o +1, duas com o +2,

duas com o +3, duas com o +4, quatro com o +5,

uma com o +6, duas com o +7, duas com o +8,

duas com o +10, uma com o +15 e uma com a

palavra “curinga”, feita com as letras adesivas.

Figura 5: Tabuleiro do jogo Matix. Fonte: A autora

Objetivos do jogo: Desenvolver o cálculo mental e explorar o cálculo com

expressões numéricas que envolvam adição e subtração de números inteiros.

Organização dos alunos: Em duplas.

Procedimentos: Para essa tarefa, o professor apresenta o jogo (previamente

confeccionado) à turma e explica suas regras. Deixa que os alunos realizem uma

partida livremente para conhecerem o jogo e se familiarizarem com as regras. Após

essa fase de reconhecimento, solicita que utilizem a tabela para registro das

jogadas. Durante a partida o professor acompanha as jogadas, verificando se estão

jogando corretamente, observando as estratégias utilizadas pelos alunos e registros

das jogadas, intervindo quando necessário. É importante, também, que os alunos

joguem mais de uma vez, para que consigam analisar as possibilidades do jogo e

elaborar novas estratégias.

Após o término das jogadas, o professor faz o registro de algumas jogadas no

quadro negro, discutindo com os alunos as estratégias usadas pelo grupo e os

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resultados obtidos. Analisa juntamente com os alunos os procedimentos utilizados,

demonstrando os diferentes caminhos para chegar ao resultado.

Uma outra opção para o trabalho com o Matix, mas que não será realizada

nessa unidade, é fornecer resultados e/ou pontuação de determinada jogada e

solicitar que os alunos analisem os procedimentos utilizados para obtenção dos

pontos.

Tarefa 13 – Multiplicação de números inteiros com contadores coloridos

A multiplicação deve ser vista como uma extensão da multiplicação com

números naturais, portanto, sugere-se que o professor inicialmente resgate a

definição de multiplicação como “adição repetida de parcelas iguais”. Ao trabalhar

com as questões iniciais (a e b) essa definição é válida (quando o primeiro fator é

positivo, não importando o segundo), e facilmente os alunos conseguem

compreender que nessas multiplicações o primeiro fator nos indica quantos

conjuntos existem ou quantos são adicionados ao todo, começando com o zero.

Exemplos:

a) (+ 3) x (+ 4)

Indica que temos três conjuntos de + 4.

Resultado = +12

b) (+3) x (– 4)

Indica que temos três conjuntos de – 4.

Resultado = –12

Para trabalhar questões em que o primeiro número é negativo, nos

remetemos a outra definição. Se o primeiro fator é negativo, devemos ter “subtração

repetida de parcelas iguais”, ou seja, quantas vezes esse conjunto é subtraído de

zero. Dessa forma, podemos dizer que na operação (–4) x (+3) (questão c) deve-se

subtrair quatro conjuntos de +3 do zero. Da mesma forma, em (–4) x (–3) (questão

d) indica que se deve subtrair quatro conjuntos de –3 do zero, como mostra os

exemplos abaixo:

c) (–4) x (+3)

0

(zero) 0 (zero construído)

Remova 4 grupos de +3

Resultado = –12

d) (–4) x (–3)

0

(zero) 0 (zero

construído) Remova 4 grupos de –3

Resultado= +12

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Portanto, antes de apresentar as situações problemas aos alunos, é

necessário discutir essas duas definições com eles. Após essas explicações,

apresentam-se as situações problemas aos alunos, uma por vez, dando tempo para

resolução, sempre auxiliando as duplas e verificando como os alunos tentam

resolver a questão. Na sequência, realiza-se os mesmos procedimentos anteriores

para correção e verificação da atividade (registro no quadro negro e discussão dos

procedimentos).

É importante ainda explorar a questão da propriedade comutativa, mostrando

que em uma multiplicação envolvendo números positivos e negativos, pode-se trocar

a ordem dos fatores que o resultado não se altera. Para isso, o professor

questionará aos alunos o resultado da operação (–4) x (+3) (questão c) e de (+3) x

(– 4) (questão b), indicando que o resultado é o mesmo para as duas operações.

Tarefa 14 – Divisão de números inteiros com contadores coloridos.

Nessa tarefa, o professor explora o significado da divisão com números

naturais, lembrando os alunos que essa operação é inversa da multiplicação. Dessa

forma, ao propor a situação problema, parte da ideia de divisão como formação de

grupos (quantos conjuntos de 2 são necessários para formar o 40?, ou ainda, qual é

o número que multiplicado por 2 tem como resultado 40?). Como a mesma ideia se

estende aos números inteiros, espera-se que os alunos consigam representar as

situações propostas, como mostram os exemplos seguintes:

a) (+6) : (+2) Quantos conjuntos de +2 eu preciso para formar o +6?

Comece com

o zero.

Acrescente

um conjunto

de +2.

Acrescente um

segundo

conjunto de +2.

Acrescente um

terceiro

conjunto de +2.

Resultado.

É necessário 3

conjuntos de +2

para formar +6

b) (–6) : (–2) Quantos conjuntos de –2 eu preciso para formar o –6?

No item b utilizar os mesmos procedimentos do item a, porém com contadores

negativos.

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c) (–6) : (+2) Quantos conjuntos de +2 eu preciso para formar o –6?

Comece

com o

zero.

É necessário

retirar

conjuntos de

+2 para formar

–6. Mude a

representação

do zero.

Adicione dois

pares neutros.

Retire

um par

de +2.

Adicione

mais dois

pares

neutros.

Retire um

segundo

conjunto.

Repita.

Retire um

terceiro

conjunto.

Resultado

É necessário retirar 3 vezes o conjunto +2 para obter o

–6, ou seja, (–3) x (+2) = –6.

d) (+6) : (–2) Quantos conjuntos de –2 eu preciso para formar o +6?

Comece

com o

zero.

É necessário

retirar conjuntos

de –2 para

formar +6. Mude

a representação

do zero.

Adicione dois

pares neutros.

Retire

um par

de –2.

Adicione

mais dois

pares

neutros.

Retire um

segundo

conjunto.

Repita.

Retire um

terceiro

conjunto.

Resultado:

É necessário retirar 3 vezes o conjunto –2

para obter o +6, ou seja, (–3) x (–2) = +6.

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Tarefa 15 - Jogo “Eu sei”

Jogo de cartas de fácil confecção e aplicação. Pode ser adaptado para

trabalhar outros conteúdos.

Tempo estimado: 1 aula.

Recursos necessários: Onze cartas numeradas de – 5 a +5, inclusive o zero, para

cada jogador.

Objetivos do jogo: Efetuar cálculos de multiplicação e divisão de números inteiros e

desenvolver o cálculo mental.

Organização dos alunos: Em trios.

Procedimentos: Inicialmente o professor deve organizar os alunos em trios e

explicar as regras do jogo, lendo atentamente as orientações e sanando possíveis

dúvidas. Em seguida, distribuir as cartas para dois deles. Iniciado o jogo, o professor

deve estar atento às jogadas, verificando se os procedimentos utilizados estão

corretos. Observar se o juiz anuncia o produto corretamente e como os alunos

descobrem o valor esperado. Ao ser anunciado o produto entre o valor das duas

cartas, os alunos podem dividir mentalmente o produto pelo número de seu

oponente, para descobrir o valor da sua carta. Ou ainda, pode pensar na operação

inversa, ou seja, qual número que multiplicado pela carta do oponente resulta o

produto anunciado. Ex: O juiz anuncia –20 e um dos jogadores vê que seu oponente

possui a carta +5, logo, deve deduzir que sua carta é –4, pois (–20) : (+5) = –4, ou

ainda que, (+5) x (–4) = –20. É importante que os alunos realizem os registros das

jogadas para discussão posterior, uma vez que, com vários grupos, o professor não

conseguirá acompanhar todas as jogadas. Assim, por meio dos registros, é possível

discutir os procedimentos após o término das partidas.

4.ª Etapa: Uso de jogos eletrônicos nas operações com números inteiros:

Number Factory

Tarefa 16 – Jogo “Number Factory”

O jogo eletrônico sugerido (Number Factory), além de atuar como um

elemento motivador da aprendizagem tem o intuito de possibilitar novas formas de

exploração dos conceitos matemáticos. É um jogo que exige raciocínio e elaboração

de estratégias para resolver os problemas apresentados.

Tempo estimado: 2 aulas.

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Recursos necessários: computadores com acesso a internet.

Objetivo do jogo: Construir expressões numéricas envolvendo as quatro operações

com números inteiros.

Organização dos alunos: Individual ou em duplas. Nesse trabalho será proposto

que os alunos trabalhem em duplas considerando a demanda do número de

computadores disponível no laboratório.

Passo a passo para acessar os jogos:

1.º - Acessar o endereço eletrônico: <http://www.fi.uu.nl/wisweb/en>.

2.º - Clicar no ícone “Applets”, indicado na figura abaixo pela seta vermelha.

Figura 6: Tela inicial do Instituto Freudenthal. Fonte: <http://www.fisme.science.uu.nl/toepassingen/00008/toepassing_wisweb.en.html>. Acesso em:

18 ago. 2013.

3.º - Na tela seguinte aparecerá vários jogos disponibilizados na página do instituto.

Utilize a barra de rolagem vertical e deslize para baixo até encontrar o jogo. Para

jogar, basta clicar sobre o ícone do jogo escolhido. Na figura abaixo está indicado

pela seta vermelha.

Figura 7: Página dos aplicativos. Fonte: <http://www.fisme.science.uu.nl/toepassingen/00013/toepassing_wisweb.en.html>. Acesso

em: 18 ago. 2013.

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Inicialmente o professor explica as regras do jogo, esclarecendo as dúvidas

que surgirem. Em seguida solicita que registrem o passo a passo das jogadas,

inclusive as que resultarem em números diferentes dos esperados. Registrar no

quadro a jogada de alguns alunos discutindo com a classe os procedimentos e

resultados obtidos.

Espera-se, com essa tarefa, que os alunos consigam montar a sequência de

operações necessárias e corretas para obtenção do resultado solicitado no jogo. É

importante que antes dos jogos o professor enfatize a necessidade do uso dos

parênteses nas operações, mostrando a ordem em que as operações devem ser

realizadas.

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PROPOSTA DE AVALIAÇÃO DA APRENDIZAGEM

A metodologia adotada destaca o papel do processo ensino-aprendizagem.

Sendo assim, a avaliação será realizada no decorrer da implementação do projeto,

centrada nas estratégias utilizadas pelos alunos para a resolução dos problemas.

Todas as atividades desenvolvidas (situações problemas e jogos) serão registradas

pelos alunos no caderno ou em tabelas. Dessa forma, o acompanhamento destas e

dos procedimentos utilizados pelos alunos servirão de parâmetro para verificação do

desenvolvimento destes com relação ao conteúdo proposto e de sua aprendizagem

ao longo do trabalho.

Entre os aspectos que serão analisados estão a clareza nas ideias

apresentadas, a compreensão das regras e dos conceitos envolvidos e a linguagem

matemática utilizada (escrita e oral).

Na perspectiva de trabalhar uma oficina com professores, além da

implementação da unidade didática com a inserção de metodologias diferenciadas,

pretende-se realizar uma discussão acerca dos registros feitos pelos alunos, que

mostram os procedimentos e estratégias utilizadas por eles durante a prática do

trabalho. Tais registros servirão para obtenção de informações e análise a respeito

de como os estudantes pensam, as causas dos erros mais comuns, contribuindo

assim, para o (re)planejamento da prática pedagógica.

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REFERÊNCIAS

ANGELOTTI, Edna Maria de Souza. O uso de jogos educativos eletrônicos no ensino dos números negativos. 2007. Disponível em: <http://www.diaadia

educacao.pr.gov.br/portals/cadernospde/pdebusca/producoes_pde/2007_uem_mat_md_edna_maria_de_souza_angelotti.pdf>. Acesso em: 20 jul. 2013.

BARBOSA, Sandra Lucia Piola. CARVALHO, Túlio Oliveira de. Jogos Matemáticos como metodologia de ensino aprendizagem das operações com números inteiros. 2008. Disponível em: <http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/portals/ pde/arquivos/1948-6.pdf >. Acesso em: 15 mai. 2013.

Experimentoteca da Universidade de São Paulo – CDCC-USP6. Operações com números inteiros. s.d. Disponível em: <http://www.cdcc.usp.br/exper/medio/

matematica/matematica_fundamental/1f_numeros_inteiros_p.pdf>. Acesso em: 20 ago. 2013.

LELLIS, Marcelo Cestari; JAKUBOVIC, José; IMENES, Luiz Márcio Pereira. Números negativos. São Paulo: Atual, 1992. (Coleção Pra que serve a matemática).

MANGILI, Leonardo Milioli. Os jogos e os números inteiros. 2007. Monografia

(Especialização). Diretoria de Pós-graduação. Universidade do Extremo Sul Catarinense - UNESC. Criciúma. Disponível em: <http://www.bib.unesc.net/ biblioteca/sumario/000031/00003194.pdf>. Acesso em: 20 abr. 2013.

ONUCHIC, Lourdes de La Rosa. Ensino–aprendizagem de Matemática através da resolução de problemas. In: BICUDO, Maria Aparecida Viggiani (Org.). Pesquisa em Educação Matemática: concepções e perspectivas. São Paulo: UNESP, 1999. p. 199-218.

ONUCHIC, Lourdes de La Rosa ; ALLEVATO, Norma Suely Gomes. Novas reflexões sobre o ensino–aprendizagem de Matemática através da Resolução de Problemas. In: BICUDO, Maria Aparecida Viggiani; BORBA, Marcelo de Carvalho (Org.). Educação Matemática: pesquisa em movimento. São Paulo: Cortez, 2005. p. 213-231.

PARANÁ. Secretaria Estadual de Educação. Diretrizes Curriculares da Educação Básica - Matemática. Curitiba: SEED, 2008.

Site do Instituto Freudenthal para a Ciência e Educação Matemática. Jogo Number Factory. Disponível em: <http://www.fisme.uu.nl/toepassingen/00013/toepassing_ wisweb.en.html>. Acesso em: 18 ago. 2013.

6 A Experimentoteca, desenvolvida pela equipe do Prof. Dietrich Schiel no CDCC, é um Laboratório de

Ciências [...]. Fonte: <http://www.cdcc.usp.br/exper/itensexpfm.html>. Acesso em: 20 ago. 2013.

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SOUZA, Joamir Roberto de; PATARO, Patrícia Rosana Moreno. Números positivos e negativos. In: SOUZA, Joamir Roberto de; PATARO, Patrícia Rosana Moreno. Vontade de saber matemática: 7º ano. São Paulo: FTD, 2009. p. 81-122. (Coleção vontade de saber).

VAN DE WALLE, John A. Matemática no ensino fundamental: formação de professores e aplicação em sala de aula. Trad. Paulo Henrique Colonese. Porto Alegre: Artmed, 2009.