Versão On-line ISBN 978-85-8015-075-9Cadernos PDE

OS DESAFIOS DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSENA PERSPECTIVA DO PROFESSOR PDE

Produções Didático-Pedagógicas

PRODUÇÃO DIDÁTICO – PEDAGÓGICA

TURMA - PDE/2013

A Resolução de Problemas como Estratégia para Interpretar Enunciados e

Cálculos Fundamentais com Números Racionais.

Autor Fernanda Cristina Salamí

Disciplina/Área (ingresso no

PDE)

Matemática

Escola de Implementação do

Projeto e sua localização

Colégio Estadual São Pedro – Ensino Fundamental e

Médio Rua Rio de Janeiro, Nº 700 – Centro

Município da escola São Pedro do Iguaçu

Núcleo Regional de Educação Toledo

Professor Orientadora Susimeire Vivien Rosotti de Andrade

Instituição de Ensino

Superior

UNIOESTE – Universidade do Oeste do Paraná –

Campus de Foz do Iguaçu

Resumo Esta produção didática justifica-se com base na

minha prática de sala de aula, onde observei que a

grande maioria dos educandos apresenta muitas

dificuldades na interpretação de enunciados e na

posterior resolução de situações problema. O

objetivo desde trabalho é aplicar e resolver situações

problema, analisando como podemos melhorar e

motivar o aluno frente a uma questão matemática que

envolve operações fundamentais com números

racionais, através de metodologias que proporcionem

ao aluno a oportunidade de pensar, desenvolver e

traçar estratégias para resolução de uma questão

matemática.

Palavras-chave Resolução de problemas; Interpretação de

enunciados; Números Racionais; Operações

Fundamentais.

Formato do Material

Didático

Unidade Didática

Público Alvo (indicar o grupo

para o qual o material

didático foi desenvolvido:

professores, alunos,

comunidade...)

Alunos do 8º ano do Ensino Fundamental.

1. APRESENTAÇÃO

As aulas de Matemática para a maioria dos indivíduos é considerada como

dissociada do seu cotidiano, gerando assim, dificuldades de compreensão quando da

interpretação e resolução de uma atividade matemática.

Assim, aplicar e resolver situações problema será a proposta didática a ser

desenvolvida com alunos do 8º ano de Ensino Fundamental. Sendo que, a distribuição

dessas atividades contemplam 64 horas, divididas em 32 horas para construção,

pesquisa, elaboração e apresentação do material da produção didática, e as outras 32

horas serão utilizadas na aplicação das questões para os alunos. Posteriormente, será

realizado o Grupo de Trabalho em Rede – GTR, que tem como objetivo trabalhar com

os professores que demonstram interesse na resolução de situações problema como

metodologia de ensino que possa contribuir para o desenvolvimento lógico e

interpretativo no processo ensino aprendizagem de conteúdos matemáticos.

Neste sentido. os resultados obtidos serão apresentados no Artigo Final, que

apresentará as ações desenvolvidas, de forma a demonstrar se as conclusões encontradas

revelam e apontam possíveis metodologias que nos auxiliem em nosso trabalho docente,

que essencialmente deve ir além de fórmulas, conceitos e operações.

Com esta preocupação, propor cálculos de operações fundamentais com

números racionais, utilizando situações problemas, é o objetivo deste trabalho. E dessa

forma, oferecer caminhos que nos levem a trabalhar as dificuldades, explorando cada

etapa de resolução, para que o aluno se sinta valorizado, construa e explore as

possibilidades na aquisição de conteúdos matemáticos.

A concepção a respeito de resolução de problema que permeia este trabalho

Onuchic (1999) e Onuchic e Alevatto (2004), que consideram que a resolução de

problema como uma metodologia de ensino e enfatizam que a maioria dos conceitos e

procedimentos matemáticos pode ser ensinado utilizando a mesma.

Assim, é essencial:

Fundamentar a Resolução de Problemas nessas concepções, e

implementar a Metodologia de Ensino-Aprendizagem-Avaliação de

Matemática através da Resolução de Problemas, exige do professor e

dos alunos novas posturas e atitudes com relação ao trabalho em sala

de aula. O professor precisa preparar, ou escolher, problemas

apropriados ao conteúdo ou ao conceito que pretende construir.

Precisa deixar de ser o centro das atividades, passando para os alunos

a maior responsabilidade pela aprendizagem que pretendem atingir.

Os alunos, por sua vez, devem entender e assumir essa

responsabilidade. Esse ato exige de ambos, portanto, mudanças de

atitude e postura, o que, nem sempre, é fácil conseguir. (ALLEVATO;

ONUCHIC, 2007, p. 82)

O ensino voltado a resolução de problemas cria possibilidades de desenvolver

habilidades de interpretar, compreender e questionar o problema em questão, pois a

metodologia de Resolução de Problemas associa as operações fundamentais ao que está

sendo trabalhado nas aulas de Matemática, tornando interessante a atividade

desenvolvida, o que leva o aluno naquele momento a despertar o gosto pela descoberta,

e principalmente dando sentido e importância a questão matemática.

Assim, a produção didática presente tem a preocupação de através da resolução

de problemas despertar no aluno o interesse em participar das atividades e vivenciar as

experiências de sala de aula. Portanto, o desenvolvimento desse material Didático

Pedagógico tem como objetivo através da aplicação do Projeto de Intervenção que irá

ocorrer no primeiro semestre de 2014, refletir, investigar e oportunizar metodologias

que ao se resolver problemas propicie ao aluno o desenvolvimento lógico, criativo e

investigativo da Matemática.

2 - MATERIAL DIDÁTICO

O professor de matemática tem como constante dificuldade desenvolver o

conhecimento matemático no aluno, de forma interessante para o mesmo, onde o

indivíduo se sinta motivado a resolver operações, elaborando estratégias e conclusões.

Esta Unidade Didática foi sistematizada apoiada em trabalhos desenvolvidos por

Onuchic (1999), no qual a sala de aula deve ser um momento que oportunize uma troca

de saberes entre os alunos, e estes aprendem uns com os outros. Assim o professor deve

contribuir favorecendo que todos os alunos pensem e também acompanhem a evolução

dos mesmos no decorrer da implementação das situações problema, acompanhando

assim sua exploração e a colaboração de todos envolvidos e desta forma, ao

aprendizado a partir dos problemas.

Portanto, a Produção da Unidade Didática que será apresentada, terá como

finalidade resolver problemas através de cálculos fundamentais com números racionais,

cuja linguagem apresentada na questão seja entendida pelo aluno e assim, o auxiliem a

interpretar, resolver e analisar o resultado encontrado, e neste sentido também

identificar as dificuldades dos alunos, traçando métodos que o ajudem a superá-las,

através de atividades onde o indivíduo se sinta envolvido e instigado a participar,

resolvendo e entendendo os cálculos aplicados e a resposta obtida.

2.1. Atividades a serem desenvolvidas na unidade didática

Para o desenvolvimento das atividades através da resolução de situações

problema com números racionais, primeiramente os alunos responderão a um

questionário que terá como objetivo conhecer e possibilitar o atendimento ao aluno no

processo ensino aprendizagem, dependendo das dificuldades individuais de cada um.

Em seguida, os alunos assistirão ao filme “A História dos Números” no intuito

de conhecerem como e porque surgiu o sistema numérico que usamos. Posteriormente,

faremos uma revisão sobre números naturais, números inteiros e números racionais,

através de uma pesquisa e apresentação de cartazes contendo as informações coletadas

pelos alunos com a finalidade de constatar se os mesmos reconhecem esses números e

são capazes de identificá-los. A atividade seguinte será de identificação numérica dos

conjuntos trabalhados e a construção de uma reta numérica.

A próxima atividade a ser desenvolvida será a resolução de problemas de

contagem e de situações problema, oportunizando para o aluno conceber e interpretar o

enunciado de uma questão, procurando dar sentido aos cálculos que está realizando.

A aplicação de jogos também se fará presente em várias atividades da produção

didática, representando o apoio que se faz essencial na construção e no desenvolvimento

de operações fundamentais com números racionais.

2.1.2 Aplicação de questionário e atividade para investigação das dificuldades dos

alunos.

Objetivo: Conhecer, identificar e apontar as estratégias que podem ser

desenvolvidas com os alunos, respeitando e conhecendo as dificuldades de cada um.

Material: Questionário/ Atividade.

Questionário:

Nome:

1- A Matemática está presente no seu dia a dia?

2- Cite três situações do seu dia a dia em que você utiliza a Matemática.

3- Quais são suas principais dificuldades nas aulas de Matemática?

4- Na sua opinião, como o professor poderia desenvolver a matéria de forma a

facilitar a compreensão e a interpretação de conteúdos matemáticos ?

5- O que você entende por operações matemáticas?

6- Responda o que você entende por:

a) Adição:

b) Subtração:

c) Multiplicação:

d) Divisão:

7- O que é um problema, na sua opinião?

8- E o que é um problema matemático para você?

2.1.3 Verificação e reconhecimento de conteúdos matemáticos

Objetivo: Verificar com base no questionário já aplicado, o que o aluno já

conhece, entende e é capaz de resolver em uma questão matemática.

Obs.: antes de aplicar as questões seguintes, se fará uma aula expositiva revendo,

apresentando e exemplificando cálculos fundamentais com números racionais.

1- Calcule a seguinte expressão numérica: 48+36-10

2- Supondo que em uma cidade que tem 20000 domicílios, sendo que em cada um

deles tenha, em média, 5 moradores. Qual é a população dessa cidade?

3- João gasta 3/7 do seu salário para pagar a prestação da casa.Com a metade do

que sobra ele paga a prestação do carro e ainda fica com R$ 276,00. Qual o

salário de João?

4- Em uma determinada papelaria para fazer uma cópia simples o valor é R$0,15 e

a colorida custa R$ 3,60. Maria tinha R$ 12,00 e precisou de duas cópias

coloridas de uma foto. Com o que sobrou quantas cópias simples Maria pode

pagar?

5- Um carro consome 0,12 L de combustível a cada quilômetro rodado. Quantos

litros esse carro vai consumir se percorrer 82,5 Km?

2.1.3.1 Assistir o filme “A história dos Números1”.

O filme A história dos Números mostra toda a trajetória dos números desde o

seu aparecimento, passando por diversos lugares e tempos, demonstrando toda a

evolução numérica da humanidade até os números que utilizamos atualmente.

Assim, ao assistir esse filme o aluno visualizará como surgiram os números, a

sua importância, evolução e principalmente entenderá com mais facilidade a definição

de algarismo, percebendo como classificá-lo conforme a sua representação e valor

posicional do número.

1 Disponível em

<http://www.youtube.com/watch?v=3rijdn6L9sQ> Acessado em: 07/10/2013.

Depois de assistir ao filme será realizado um debate, onde os alunos expressarão

oralmente quais foram às informações que conseguiram aprender e o que isso vem a

acrescentar no seu aprendizado nas aulas de matemática.

Na sequência, trabalharemos atividades de reconhecimento e definição de

números naturais, inteiros, racionais e também sobre a regra de sinais.

2.1.3.2 Pesquisa de vocábulos matemáticos.

Nesta atividade os alunos deverão pesquisar em um dicionário a definição de

Enunciado, Operações, Algarismo, Decimal, Fração, Números Naturais, Números

Inteiros e Números Racionais, anotando em seu caderno cada uma dessas definições.

Posteriormente, eles selecionarão pequenos recortes (revistas, jornais, livros, etc), onde

apareçam números, que deverão ser circulados (destacados) e depois classificados em

naturais, inteiros ou racionais. Esses recortes serão colocados em cartolinas e expostos

no mural da sala de aula. No final será discutido com os alunos o que conseguiram

aprender com essas atividades.

Objetivo: Reconhecer o conjunto dos números Naturais, Inteiros e Racionais,

conhecendo e entendendo o significado de vocábulos matemáticos, favorecendo desta

forma o entendimento na aplicabilidade e na interpretação de enunciados e na resolução

de uma questão.

2.1.4 Números e mais números

Esta atividade dará continuidade à pesquisa da tarefa anterior, através de uma

aula expositiva utilizando-se de gravuras e exemplos do conjunto de números naturais,

inteiros e racionais.

Objetivo: Contribuir para que o aluno visualize e seja capaz de determinar e

classificar os números dependendo do conjunto numérico a que ele pertença.

Fonte: Grasseschi (1999, p.7)

Conforme Grasseschi (1999, p.8) as figuras apresentam os conjuntos citados.

IN = {0, 1, 2 ,3,4...} conjunto dos números naturais.

IN* = {1, 2 ,3,4...} conjunto dos números naturais sem o zero.

ZI = {...-3,-2,-1,0, +1, +2 ,+3,+4...} conjunto dos números inteiros ou dispensando o

sinal positivo:

ZI = {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...} Excluindo-se o zero desse conjunto:

ZI* = {..,.-1,+1,+2,...}

ou

ZI* ={...,-2,-1, 1, 2, 3,...}

E ainda os subconjuntos:

ZI*- ={-1,-2,-3,...} inteiros negativos

ZI*+={+1,+2,+3,...} inteiros positivos

ZI+ ={0, +1,+2,...} inteiros não-negativos

ZI ={0, -1,-2,...} inteiros não-positivos

Q ={..., -1,7,..., -3/2,..., -1,...,0,..., 1/2,..., 1,..., 1,2,...} conjunto dos números racionais.

Q* = conjunto dos números racionais não-nulos

Q+ = conjunto dos números racionais não-negativos

Q- = conjunto dos números racionais não-positivos

Q*+ = conjunto dos números racionais positivos

Q*- = conjunto dos números racionais negativos

O conjunto dos racionais apresenta todos os números que você já estudou nas séries

anteriores. Relacionando-se, são:

-todos os números inteiros. Exemplo: -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3

-todos os números fracionários. Exemplo: -3/2 ; 4/3 ; -7/5

-todos os números decimais exatos que podem ser escritos na forma de fração.

Exemplo: -7,2 ; 3,45; -13,4; 2,56

-todos os números decimais periódicos que podem ser escritos como fração.

Exemplo: 1,333...; 0,4646...; -3,777...

Fonte: Grasseschi (1999, p.7 e 8)

2.1.4.1 Que números são os inteiros?2

Atividade: Jogo do VAI-E-VEM

Objetivo: verificar se as classificações dos conjuntos numéricos trabalhados

anteriormente foram assimiladas, construir a noção de número inteiro e determinar

somas algébricas.

Material: folha-tipo I-4, fichas coloridas, um dado convencional.

Dinâmica do jogo: a classe será dividida em grupos de 5 alunos, cada grupo

receberá uma folha-tipo I-4, um dado e 5 fichas de cores diferentes (uma para cada

participante marcar seu lugar no tabuleiro).

Regras do jogo:

1- O jogo consta de três partidas.

2- Cada jogador lança o dado 1 vez por rodada.

3- Todos começam na flecha de partida e na primeira rodada, cada um anda tantas

casas, quantas indicam os pontos obtidos no dado e pára.

4- Na segunda e demais rodadas, estando numa casa branca, o jogador lança o dado

e avança tantas casas quantas indicam os pontos obtidos; caso esteja numa casa

escura, ele recua.

5- Ganha o jogo o jogador que atingir exatamente a CHEGADA em primeiro lugar

(pode haver empate). “Atingir exatamente a CHEGADA” significa, por

2 Fonte: Lara (2003)

exemplo, que se o jogador está na casa 26 e obtém 2, atinge exatamente a

CHEGADA, mas se obtém 5, ele anda 27-CHEGADA e volta 27-26-25.

6- A partida termina quando, numa determinada jogada, a CHEGADA é atingida

pelo menos por um aluno. A classificação dos demais é feita de acordo com a

proximidade da casa em que cada um se encontra em relação ao ponto de

CHEGADA.

Fonte: Experiências Matemáticas (1998, p.49 e 50).

7- Os pontos obtidos pelos jogadores em cada partida são distribuídos do seguinte

modo:

1º Colocado = 5 pontos ganhos

2º Colocado = 3 pontos ganhos

3º Colocado = 1 ponto ganho

4º Colocado = 1 ponto perdido

5º Colocado = 2 pontos perdidos

A seguir, serão colocadas na lousa duas tabelas para que os alunos possam

preenchê-las durante e ao final do jogo, respectivamente.

TABELA I

TOTAL DE PONTOS

Aluno 1ª partida 2ª partida 3ª partida TOTAL

TOTAL POR

PARTIDA

CLASSIFICAÇÃO FINAL NO GRUPO

Lugar Nome Total de Pontos

TOTAL DO GRUPO

Uma vez terminado o jogo e as tabelas, as seguintes questões podem ser

colocadas para os grupos:

1- Em que casas um jogador não gosta de cair?

2- Qual o maior número de casas que um jogador pode avançar?

3- Estando na casa 7, o que é mais conveniente obter no dado?

4- Se um jogador está na casa 12 e em duas jogadas obtém 0, o que significa ter + 3

na quadrícula sombreada? E – 5? E zero?

5- Em que casas o jogador pode estar para ganhar o jogo com uma só jogada?

6- Um jogador está na casa 20. O que deve obter no dado para atingir a

CHEGADA em três jogadas, se:

a) Em todas elas, ele para em casa branca?

b) Em uma das três jogadas ele para numa casa escura?

7- É possível um jogador fazer três jogadas sucessivas e parar sempre em casa

preta?

8- Um jogador está no ponto de PARTIDA e em seis jogadas obtêm 5, 1, 3, 4, 6, 2

pontos no dado:

a) Onde estará após essas seis jogadas?

b) Em que jogada avançou? Em quais recuou?

c) Ele avançou mais ou recuou mais? Quanto?

2.1.4.2 Regra de sinais3

Para revisar e trabalhar com a regra de sinais, estabelecendo assim, a ligação dos

conteúdos abordados nos itens anteriores, será demonstrado na lousa para os alunos

anotarem a regra de sinais e alguns exemplos de cálculos com a retomada dessa regra. E

com a finalidade de constatar o que os alunos lembram e conseguem aplicar utilizando a

regra de sinais, será aplicada uma atividade através dos seguintes jogos.

1º- CONSTRUINDO A RETA DOS INTEIROS

Objetivos: Que o /a aluno/a seja capaz de:

- identificar a necessidade de outro conjunto numérico além dos números

positivos;

- interpretar situações onde a solução não é sempre positiva;

- construir uma quantidade negativa para solucionar seus problemas;

- interpretar um número negativo como representação de quantidades menores

que zero;

- representar os números negativos na reta numérica.

Nº de jogadores /as: toda a turma dividida em grupos de 3 ou 4 alunos/as.

Materiais:

- fichas com situações-problemas;

- uma reta numérica traçada no quadro- material para escrita;

- fichas com números inteiros de -10 a 10.

Modo de jogar:

O/a professor/a prepara previamente 20 situações-problemas, em fichas, com

resultados variando de -10a 10, com exceção do resultado zero. A turma é dividida em

3 Atividade de Fonte: Lara (2003, p.69)

grupo, preferencialmente 10 grupos, e cada um recebe 2 situações-problemas sendo uma

com resultado positivo, e outra com resultado negativo. Como os/as alunos/as não

trabalham com números negativos, espera-se que essa discussão permita ao grupo, fazer

com que eles/as sugiram as soluções que julgarem adequadas. O/a professor/a procurará

criar situações relacionadas ao contexto dos/as alunos/as para que eles/as possam,

partindo de suas experiências, resolver cada situação. Ao terminar de resolver as suas

fichas, deverão procurar entre as fichas de -10 a 10, espalhadas sobre a mesa do /a

professor/a, a sua resposta e representá-la na reta numérica, já construída anteriormente

no quadro. Nessa atividade são teremos ganhadores.

Material utilizado para confecção do jogo: As fichas podem ser confeccionadas

em papel cartaz e protegidas com Papel Contact. Seguem exemplos de problemas que

serão sugeridos de acordo com o nível da turma, possuindo, também, resultados

decimais.

2º JOGO: CAMINHANDO NA RETA4

Objetivo: que o aluno seja capaz de construir as regras de adição e subtração

entre números inteiros e desenvolva a capacidade de fazer cálculos mentais, fixando e

criando estratégias de resolução. No final do jogo, cada aluno deve observar suas

respostas e construir regras para soma de sinais iguais e para sinais diferentes.

Materiais: 1 reta numerada – material para escrita – 1 dado comum, 1 outro

dado com sinais (+ e -) e 1 peão para cada jogador.

- a reta numérica pode ser desenhada numa cartolina, ou até mesmo no chão,

onde os peões podem ser os próprios alunos.

- o dado dos sinais é construído com papel cartaz, onde três dos lados terão o

sinal de +, e os outros três lados terão o sinal de - .

- a tabela será construída conforme o seguinte modelo:

4 Fonte: Lara (2003, p. 71)

1ª número Sinal 2ª número Resultado

0 - 3 - 3

- 3

Fonte: Lara (2003, p. 71)

Regras do Jogo: todos os jogadores posicionam seu peão na origem e, numa

tabela, registram, na coluna do seu nome, na 1ª jogada o número 0. O primeiro jogador

(escolhido previamente) lança o dado com sinais, que indicará se irá para frente ou para

trás, o dado comum que indicará quantas casas andará e, registra a operação e o

resultado na sua tabela. O será o primeiro número da próxima jogada. ( Por exemplo:

atirou o dado com sinais e deu – e o dado comum deu 3. O jogador caminhará na reta

encontrando a posição final, posicionando seu peão e registrará no seu espaço da tabela,

na primeira rodada, 0-3= -3 aguardando os próximos resultados dos dados). Assim,

procedem todos os demais jogadores por um número de rodadas determinado pelo

professor, cerca de 10 rodadas dependendo do número de jogadores. O jogador usará a

reta se achar necessário, porque a reta pode não apresentar o resultado encontrado.

Vencerá o jogador que terminar a última rodada com o maior resultado.

2.1.4.3 Localização em uma reta numérica

Objetivo: utilizando as informações dos jogos Construindo a Reta dos Inteiros e

Caminhando na Reta, verificar se os alunos conseguem representar e localizar os

números racionais em uma reta numérica.

Questões:

1- Cada aluno fará o desenho de uma reta numérica, onde aparecem números

naturais, inteiros e racionais:

2- Localize na reta anterior os seguintes números: 3,2; -0,5; 1/2; -2/5; 0,9 e 1,9.

2.1.5 Atividades envolvendo o conjunto dos números racionais.

Objetivo: observar se os alunos são capazes de classificar, calcular e inferir

resultados através da indução.

Obs.: para trabalhar com as questões seguintes irá se retomar através de uma

aula expositiva, uma revisão envolvendo novamente as classificações dos conjuntos

numéricos abordados anteriormente e cálculos que apresentam operações fundamentais

com esses números.

Questões:

1- Identifique em cada uma das situações seguintes o conjunto numérico a que

pertencem (Naturais, Inteiros ou Racionais), escrevendo também a sua

representação numérica em algarismos:

a) No inverno de 2013 a menor temperatura registrada em São Pedro do

Iguaçu, foi de três graus negativos:

b) A turma do 8ª ano do Colégio Estadual São Pedro realizou uma rifa e obteve

um lucro de cento e oitenta reais:

c) As merendeiras do nosso Colégio estão com uma dúvida, na receita de

bolacha. A quantidade de um dos ingredientes está expressa dessa forma, um inteiro

mais um meio de uma xícara de amido de milho:

d) Um quinto dos alunos do 8º ano tem acesso a internet em suas casas:

e) Fiquei devendo na cantina do Colégio oitenta centavos para pagar no final

do mês:

f) Tenho cento e vinte reais e minhas dívidas chegam a cento e quarenta reais.

2- Escreva a quais conjuntos ( IN, ZI ou Q) pertencem os números:

a) -7 =

b) +9 =

c) + 5/10 =

d) – 4,9 =

3- Determine o valor da expressão a – b + c, sabendo que:

a= - 3,95 b= + 5,2 c= - 2,43

4- Quanto resulta:

a) o dobro de -3/2=

b) o triplo de + 0,4=

c) o quádruplo de + 9/4=

5- Calcule:

a) -5/10 + 7/10 =

b) -5/10 + 7/6 =

c) -5/10 . 7/10 =

d) -5/10 : 7/6 =

2.1.6 Elaboração de situações problema

Objetivo: que o aluno construa situações problema, interprete, resolva e

identifique regras, conteúdos e estratégias de resolução de uma questão matemática.

1- Elabore as operações descritas em cada questão:

a) Uma adição entre dois números decimais.

b) Uma subtração entre um número natural e um número inteiro negativo.

c) Uma multiplicação entre dois números racionais fracionários.

d) Uma divisão entre dois números inteiros negativos.

2- Elabore situações problemas onde apareçam:

a) Números Naturais:

b) Números Inteiros:

c) Números Racionais.

Obs.: Após a elaboração e resolução das questões, será solicitado que os alunos

troquem entre eles esses problemas, sendo que esta atividade será desenvolvida em

dupla. E posteriormente, as correções serão realizadas na lousa pelas duplas, visando

uma discussão dos diferentes problemas apresentados e os resultados encontrados.

2.1.7 Operações e definições numéricas

Obs.: para aplicação dessa tarefa através de um jogo, será realizado uma aula

expositiva revisando operações numéricas e expressões algébricas.

Atividade: Jogo Matemórtica5

Objetivo: fazer com que o aluno encontre com base no item anterior e com a

troca de experiências, o despertar de sua capacidade e curiosidade em descobrir o valor

numérico de uma expressão proposta.

Materiais: 4 fichas com a expressão algébrica para cada grupo e 4 fichas com os

resultados. As fichas serão confeccionadas em papel cartaz ou folha

Nº de jogadores/as: Toda a turma com grupos de 5 alunos.

Modo de jogar: O/a professor/a dispõe os grupos, cada um com 5 alunos/as,

sentados/as um/a atrás do/a outro/a, e distribui uma ficha contendo uma expressão

algébrica para cada aluno/a. Os grupos receberão a mesma expressão algébrica e na

mesma ordem, par que obtenham o mesmo resultado. Depois de tudo distribuído, o/a

professor/a entrega uma ficha com o valor da variável (ou das variáveis se o professor/a

preferir) para o/a primeiro/a da fila. Este/a calculará o valor da expressão e passará o

resultado para o/a de trás que, por sua vez, também encontra o valor numérico de sua

expressão (outra) com o valor alcançado e passa para o/a próximo/a de trás. Assim,

sucessivamente, até chegar ao/a último/a da fila que deverá correr ao quadro e escrever

o resultado final. Se tal resultado estiver correto, o/a aluno/a marca um ponto para sua

equipe. Um novo valor é variável e entregue ao/a primeiro/a da fila e, novamente, vai

até o/a último/a da fila que deverá ir ao quadro. Ganha a equipe que marcar mais

pontos. O/a professor/a poderá mudar as posições dos/as alunos/as de uma mesma

equipe.

Material utilizado para confecção do jogo: As fichas podem ser feitas em papel

cartaz ou folhas.

5 Fonte: Lara (2003, p.105)

Modelo do diagrama

Fonte: Lara (2003, p.105)

2.1.8 Problemas de Contagem

Objetivo: resolver situações problema por ensaio e erro, inferindo resultados

gerais através da indução, utilizando o raciocínio combinatório.

Problema: TRIÂNGULO MÁGICO6

Desenvolvimento: desenhar na lousa um triângulo e solicite que por tentativa

distribuam a sequência dos números de 1 a 6, nos círculos de modo que a soma dos três

números, sobre qualquer um dos lados do triângulo seja a mesma. Por exemplo, igual a

10.

Informe aos alunos que um triângulo com essa propriedade é chamado de

triângulo mágico.

Dê um tempo para os alunos se organizarem em grupos de 4 e discutirem até

chegar a uma solução.

Verifique em seguida quantas e quais foram as soluções encontradas pelos

grupos. Reúna-as na lousa de modo que possa ser feita a comparação entre as figuras,

6 Fonte: Experiências Matemáticas (1997)

destacando as diferenças e semelhanças observadas. Podem ser colocadas soluções

como essas:

Fonte: Experiências Matemáticas (1997, p. 343 a 347).

Caso as diferenças e semelhanças não sejam observadas pelos alunos, na

discussão, chame a atenção para os números colocados nos vértices e os números

colocados nas posições intermediárias.

Considere todas as soluções apresentadas, com única, uma vez que os números

localizados nos vértices (1, 3, 5) e os números intermediários (2, 4, 6) são sempre os

mesmos. Nessa sequência dada, os números ímpares ficaram nos vértices, enquanto os

pares ficaram no meio. Além disso, a distribuição dos números intermediários não se dá

de forma aleatória. Por exemplo: o 6 só pode ficar entre o 1 e o 3, assim como o 2 entre

o 3 e o 5. Observe que nas soluções encontradas os números são fixos, ocorrendo

apenas uma rotação do triângulo.

Proponha outros tipos de situações para os grupos, dando um tempo para

discutirem cada uma delas:

- Distribua novamente os números, no triângulo, de modo que ao obter a mesma

soma sobre os lados, porém, diferente de 10. É possível encontrar outras somas? Quais?

Qual é a maior e a menor soma possível de ser encontrada?

No processo de ensaio e erro que os alunos experimentarão para encontrar as

soluções é provável que algumas propriedades do triângulo mágico sejam explicitadas.

O que pode ser verificado através de uma sistematização das conclusões a que cada

grupo chegou. Algumas delas são:

Fonte: Experiências Matemáticas (1997

Nos triângulos de soma 10 e soma 11 houve uma inversão na posição dos

números. No primeiro, os números ímpares ficaram nos vértices e os pares no meio, no

segundo, os pares ficaram nos vértices e os ímpares no meio.

Fonte: Experiências Matemáticas (1997)

No caso do triângulo de soma 9 os números do vértice são os três menores (1, 2,

3) e no triângulo de soma 12 houve uma inversão, ficando os números maiores (4, 5, 6)

nos vértices.

Fonte: Experiências Matemáticas (1997)

As soluções ocorrem aos pares, encontrada uma delas, troca-se os números dos

vértices pelos números das posições intermediárias e encontra-se outra solução.

Ainda, usando esses mesmos critérios, será proposto que eles construam

triângulos mágicos com outras sequências de números, por exemplo:

a) 2, 4, 6, 8, 10, 12.

b) 2, 3, 4, 9, 10, 11.

Obs.: pergunta-se aos alunos se eles perceberam algum processo mais

organizado, que permita determinar triângulos mágicos com qualquer sequência de

números, pois nesse tipo de problema é importante a tentativa, o ensaio e erro, para que

os alunos percebam propriedades importantes. Através de questões que podem ser

levantadas conforme a discussão e as conclusões do grupo, alguns avanços vão sendo

dados no sentido de uma generalização dessas propriedades.

Assim, após verificar se os grupos perceberam ou não critérios gerais para a

construção de triângulos mágicos com qualquer sequência de números, será retomado a

sequência inicial: 1, 2, 3, 4, 5, 6 e sugira então que formem todas as ternas possíveis

com esses seis números e indique a soma dos ternos de cada terna em tabelas. Por

exemplo:

TERNA SOMA

1 2 3 6

1 2 4 7

1 2 5 8

1 2 6 9

1 3 4 8

1 3 5 9

1 3 6 10

1 4 5 10

1 4 6 11

1 5 6 12

Fonte: Experiências Matemáticas (1997)

TERNA SOMA

2 3 4 9

2 3 5 10

2 3 6 11

2 4 5 11

2 4 6 12

2 5 6 13

3 4 5 12

3 4 6 13

3 5 6 14

4 5 6 15

Fonte: Experiências Matemáticas (1997)

2.1.9 Trabalhando com situações problema

A aplicação das seguintes situações problema tem como objetivo analisar como

o aluno desenvolve os cálculos e quais são as principais dificuldades encontradas. E

paralelamente promover a análise das informações e a importância no planejamento das

ações para se resolver as questões.

Atividade 1: O Colégio vai dividir uma parte do terreno que ocupa para colocar

alguns bancos para os alunos utilizarem no pátio sempre que necessário. A área

reservada tem 144 metros quadrados. Agora, vamos descobrir quanto mede cada um dos

lados desse espaço. Não esquecendo que sua forma é quadrada.

Desenvolvimento da atividade: levar os alunos para conhecer este espaço no

pátio do Colégio, onde os mesmos deverão observar e fazer as anotações: qual é o

formato geométrico desta área?, medir um dos lados deste local e anotar a medida

encontrada. Ao retornar à sala de aula relatar as anotações realizadas para a turma. Em

seguida, cada aluno irá pesquisar qual é o total de alunos do Colégio, e mediante esta

informação responder se esta área é adequada ao que se propõe e qual será o tamanho

dos bancos (comprimento) que serão colocados neste local, para analisar se atenderão

ao número de alunos que irão utilizá-los.

Objetivo: fazer com que o aluno tenha visão de espaço, formas, unidades de

medida e seja capaz de operar cálculos fundamentais pertinentes à realidade escolar e

fora dela.

Atividade 2: Organizar um torneio de xadrez, , estabelecendo que cada partida

que a equipe ganha vale 2 pontos, e cada vez que perde a equipe ficará com 1 ponto.

Supondo, que uma equipe que já jogou 10 vezes conseguiu 16 pontos. Como podemos

descobrir quantos jogos essa equipe já venceu?

Objetivo: trabalhar a capacidade de interpretação de informações, de

identificação de dados, de exploração dos cálculos e as estratégias utilizadas para sua

resolução.

Atividade 3: Os alunos estão realizando um trabalho , onde terão que responder

algumas questões . Numa dessas questões, a pergunta é qual o peso do aluno em Kg.

Assim, José, Maria e Nicolau alunos dessa turma, para responder essa proposição foram

até a farmácia próxima ao Colégio. Mas, chegando lá o farmacêutico que os atendeu

informou que a balança estava com defeito, pois só indicava corretamente “pesos”

superiores a 60 Kg. Dessa forma, José, Maria e Nicolau resolveram se pesar dois a dois

de cada vez e os resultados foram os seguintes: José e Maria, juntos, 87 Kg. José e

Nicolau, juntos, 123 Kg. Nicolau e Maria, juntos, 66 Kg. Vamos encontrar quantos Kg

pesa cada um?

Objetivo: estimular o raciocínio lógico, favorecer o aprendizado das operações

fundamentais e o desenvolvimento interpretativo de unidades de peso com números

racionais.

Atividade 4: Marina estuda no 8º ano e está planejando comprar um computador

para facilitar suas pesquisas e trabalhos escolares. Acabou resolvendo parcelar em 10

prestações, mesmo sabendo que pagaria R$ 310,00 de juros, pois a loja aplicava uma

taxa de juro de 5% ao mês. Tente descobrir qual foi o preço total que Marina pagou pelo

computador.

Objetivo: contribuir para a análise lógica e crítica de uma situação problema,

desenvolver a interpretação de dados usando unidades monetárias, porcentagem e juros

através de números racionais.

Atividade 5: A medida de uma das paredes da sala de aula representa a raiz

quadrada da área dessa sala. Nessas condições, vamos tentar encontrar quanto mede esta

parede. Lembre-se que esta sala tem a forma de um quadrado., cuja área é 72, 25 metros

quadrados.

Objetivo: favorecer o aprendizado e a utilização de números decimais,

unidades de medida e formas geométricas.

3. ORIENTAÇÕES METODOLÓGICAS

As situações problema propostas nesta Unidade Didática fazem parte da

aplicação referente a temática desenvolvida em meu Projeto de Intervenção Pedagógica,

que foi elaborado e estruturado com base na interpretação de enunciados e na resolução

de problemas.

O tema escolhido justifica-se diante das necessidades e problemáticas

enfrentadas em sala de aula, onde muitas vezes despertar no aluno o interesse em

resolver e participar das tarefas desenvolvidas no ambiente escolar é um dos maiores

desafios do professor.

Diante disso podemos entender que:

Considerar a resolução de problemas como uma habilidade básica

pode nos ajudar a organizar as especificações para o dia-a-dia de

nosso ensino de habilidades, conceitos e resolução de problemas.

Considerar a resolução de problemas como um processo pode nos

ajudar a perceber como lidamos com as habilidades e conceitos, como

eles se relacionam entre si e que papel ocupam na resolução de vários

problemas. Finalmente, considerar a resolução de problemas como

uma meta pode influenciar tudo o que fazemos no ensino da

matemática, mostrando-nos uma outra proposta para o ensino.

(KRULIK, 1997, p. 10).

Compreende-se, portanto, que ao se trabalhar com resolução de problema

estamos apresentando ao aluno possibilidades de conhecer novas situações, onde as

relações entre conteúdo devem sempre estar atrelada as habilidades individuais no

desenvolvimento do processo ensino aprendizagem.

6. REFERÊNCIAS

ALLEVATO, N. S. G; ONUCHIC, L. R. A sala de aula, a pesquisa em Educação

Matemática e a produção científica do GTERP In: ENCONTRO NACIONAL DE

EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, 9., 2007, Belo Horizonte. Anais... Belo Horizonte:

Uni-BH, 2007, p. 73-98. CD-ROM.

DANTE, Luiz Roberto. Didática da resolução de problemas de matemática. São

Paulo: Editora Ática, 2006.

Documentário BBC. A HISTÓRIA DO NÚMERO 1. Disponível em:

<http://www.youtube.com/watch?v=3rijdn6L9sQ>. Acesso em 07. out. 2013.

GIOVANNI JÚNIOR, José Ruy. A Conquista da matemática/Benedicto Castrucci. São

Paulo: FTD, 2009.

GRASSESCHI, Maria Cecília C. PROMAT: projeto oficina de matemática/Maria

Capucho Andretta, Aparecida Borges dos Santos Silva. São Paulo: FTD, 1999.

LARA, Isabel Cristina Machado de. Jogando com a Matemática de 5ª a 8ª série. São

Paulo: Rêspel, 2003.

KRULIK, Stephen. A resolução de problemas na matemática escolar/S. Krulik,

Robert E. Reys; tradução: Hygino H. Domingues, Olga Corbo. São Paulo: Atual,

1997.

ONUCHIC, L. R. e ALLEVATO N. S. G. Ensino-aprendizagem de Matemática

através da resolução de problemas. In: Bicudo, M.A.V. (Org.). Pesquisa em

Educação Matemática: concepções e perspectivas (Seminários e Debates). São

Paulo: UNESP, 1999.

POLYA, George. A arte de resolver problemas/G. Polya; [tradução Lisboa de

Araújo]. Rio de Janeiro: Interciência, 2006.

SÃO PAULO (Estado) Secretaria da Educação. Experiências matemáticas: 7ª Série.

São Paulo: SE/CENP, 1997.

SÃO PAULO (Estado) Secretaria da Educação. Experiências matemáticas: 6ª série.

São Paulo: SE/CENP, 1998.

ZASLAVSKY, Claudia. Jogos e atividades matemáticas do mundo inteiro. Porto

Alegre: Artes Médicas Sul, 2000.