Octoniões

Na matemática, os octoniões (português europeu) ou octô-nios (português brasileiro) são uma extensão não-associativados quaterniões. Sua álgebra da divisão formada de 8dimensões sobre os números reais é o mais extenso quepode ser obtido da construção de Cayley-Dickson. A ál-gebra do octoniões é frequentemente denotada como O.Possivelmente por não oferecem uma multiplicação asso-ciativa, os octoniões recebem às vezes menos atenção doque os quaterniões. Apesar desta falta da popularidade,eles são relacionados a um número de estruturas excep-cionais na matemática, entre elas os grupos excepcionaisde Lie. Octoniões são também promissores na física, porexemplo, para avanços na teoria das cordas.

1 Definição

Os octoniões podem ser definidos como octetos (ou 8-truplas) de números reais. Cada octonião é uma combi-nação linear real dos octoniões unitários 1, i, j, k, l, il, jle kl . Isto é, cada octonião x pode ser escrito na formax = x0 + x1i+ x2j + x3k+ x4l+ x5il+ x6jl+ x7kl

com coeficientes reais xi .A adição dos octoniões é realizada somando-se os coefi-cientes correspondentes, como com os números comple-xos e os quaterniões. Pela linearidade, a multiplicaçãodos octoniões é completamente determinada pela tabelada multiplicação para os octoniões unitários dados abaixoA base para os octoniões dada aqui não é quase tão uni-versal quanto a base padrão para os quaterniões; en-tretanto, quase todas as outras diferem dessa somentequanto à ordem e o sinal.Observa-se que a multiplicação não é associativa: i(jl) =-kl, mas (ij)l = kl.

2 Conjugado, norma e inverso

O conjugado de um octonião

x = x0+x1 i+x2 j+x3 k+x4 l+x5 il+x6 jl+x7 kl

é dado por

x = x0−x1 i−x2 j−x3 k−x4 l−x5 il−x6 jl−x7 kl.

A conjugação é uma involução de O e satisfaz (xy)∗ =y∗x∗ (note a mudança de ordem).A parte real de x é definida como (x+x∗)

2 = x0 e a parteimaginária como (x−x∗)

2 . O conjunto de todos os octo-niões puramente imaginários forma um subespaço de 7dimensões de O ,denotado Im (O) . A norma do octonião x é definidacomo

∥x∥ =√x∗x

A raiz quadrada é definida aqui como x∗x = xx∗ , queé sempre um número real não negativo:

∥x∥2 = x∗x = x20+x2

1+x22+x2

3+x24+x2

5+x26+x2

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Essa norma concorda com a norma euclidiana padrão emR8 .A existência de uma norma emO implica a existência deinversos para cada elemento diferente dezero de O . O inverso de x ̸= 0 é dado por

x−1 =x∗

∥x∥2

Isso satisfaz xx−1 = x−1x = 1 .

3 Ver também• Quaterniões

• Quaterniões hiperbólicos

• Números complexos

• Números complexos hiperbólicos

• Sedeniões

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2 4 FONTES, CONTRIBUIDORES E LICENÇAS DE TEXTO E IMAGEM

4 Fontes, contribuidores e licenças de texto e imagem

4.1 Texto• Octoniões Fonte: http://pt.wikipedia.org/wiki/Octoni%C3%B5es?oldid=37240054 Contribuidores: Salgueiro, Leonardo.stabile, Jo Lo-rib, Thijs!bot, Albmont, Tijolo Elétrico, VolkovBot, SieBot, Jaime D., AlleborgoBot, Kaktus Kid, Alexbot, CarsracBot, Luckas-bot,DrFO.Tn.Bot, Algébrico, NobelBot, RedBot, TobeBot, ELRafón, EmausBot, ZéroBot, KLBot2 e Anónimo: 1

4.2 Imagens

4.3 Licença• Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0