Atividade individual:

Motivação do objeto de aprendizagem:

No tópico 1 do projeto apresentado pelo grupo TIME, há a seguinte citação:

“O projeto será executado no segundo semestre, sendo

que no primeiro semestre deverá ser trabalhado com os

alunos os conceitos de plano cartesiano e funções em

geral. O presente projeto será iniciado no laboratório,

sendo que os alunos já devem ter adquirido a base para o

trabalho com funções do 1º e 2º graus. É recomendável

que seja realizado no mesmo semestre, um projeto para

funções exponenciais, logarítmicas por se tratar de temas

pertinentes às funções.”

Logo, o objeto de aprendizado proposto está inserido no contexto e nos objetivos do

projeto recebido.

Estudo da função logarítmica através de situação problema.

Esta atividade destina-se a alunos do segundo ano do ensino médio e é sugerida a

integração com termologia.

Inicialmente é feita uma breve abordagem teórica sobre a Lei de Resfriamento de

Newton, objetivando preparar o aluno para a tarefa.

Em seguida, o aluno, a partir de uma situação-problema resolverá algumas questões

que tem por intuito aplicar o conhecimento e o desenvolvimento de função logarítmica.

Para finalizar, será feita a análise gráfica da situação exposta, a fim de levar o aluno a

conjecturar e fazer inferências sobreo comportamento de função logarítmica.

Teoria:

Conceito físico:

Lei de Resfriamento de Newton – Um objeto que está a uma temperatura

diferente da temperatura de sua vizinhança termina alcançando uma temperatura em

comum com ela.

A taxa de resfriamento de um objeto depende de quanto mais quente ele está em

relação a sua vizinhança.

Por exemplo: uma casa aquecida perderá calor para o exterior frio a uma taxa

maior quando existir uma grande diferença entre as temperaturas do interior da casa e

do exterior.

Logo, a taxa de resfriamento de um objeto, seja por condução, convecção ou

radiação, é aproximadamente proporcional à diferença de temperatura ∆T entre o

objeto e sua vizinhança.

Vamos então estudar uma situação onde pode ser aplicada a Lei de resfriamento

de Newton:

Pode-se determinar o instante da morte de um organismo utilizando-se a Lei de

Resfriamento de Newton, segundo a qual a taxa de variação da temperatura de um

corpo é proporcional à diferença entre as temperaturas do corpo e do meio externo.

Nesse sentido, suponha que, na investigação de um homicídio, a temperatura do

cadáver encontrado, em ºC, t horas (h) após o óbito, seja dada pela função

k tT T(t) 22 10 , e em que: t0 = 0 representa o instante em que o corpo foi

encontrado; t < 0 corresponde, em módulo, à quantidade de horas decorridas antes da

descoberta do cadáver; t > 0 representa a quantidade de horas decorridas desde a

descoberta do corpo; e k é uma constante positiva.

Admitindo que, nessa situação hipotética, na hora do óbito, a temperatura do

corpo era de 37 °C e que, duas horas após a descoberta do corpo, a temperatura era

de 25 °C. (considere ln 2 0,7 , ln3 1,1 e ln5 1,6 ).

1) Vamos de terminar o valor da constante k para este caso.

Resolução:

Como duas horas após a descoberta do corpo, sua temperatura era de 25° C,

basta, na função dada fazer a substituição T(2) 25 , ou seja:

k 2

k 2

k 2

k 2

22 10 25

10 3

3

10

3ln ln

10

2k ln 3 ln 2 ln 5

2k 1,1 0,7 1,6

2k 1, 2

3 k

5

e

e

e

e

2) Qual era a temperatura do corpo no momento em que o corpo foi

descoberto?

Resolução:

Agora, basta fazer na função t

3

5T(t) 22 10 ,

e t=0.

0T(0) 22 10.e

T(0) 22 10

T(0) 32 C

3) Em que instante ocorreu o óbito?

Resolução:

Como, na hora do óbito, a temperatura do corpo era de 37° C, é necessário, para

resolver esta parte, fazer T(t) 37 .

t

t

t

t

3

5

3

5

3

5

3

5

22 10

10

37

15

3

2

3ln ln

2

3t ln 3 ln 2

5

3t 1,1 0,7

5

3t 0, 4

5

2t h=-40 min

3

e

e

e

e

Desafio: À medida que t aumenta, T = T(t) tende a se aproximar da temperatura

de 22 °C, mas chega a atingi-la?

Nesse momento, será necessário fazer a análise gráfica, com o auxílio do

software Geogebra.

O aluno deve digitar na barra de equações a função:

f (x) 22 10 / e ^ ( 0,6x)

Agora, digite a equação y = 22.

Para finalizar, com a opção interseção entre dois objetos selecionada, digite em

qualquer ponto de cada uma das duas funções.

O que você observa?

Agora, com base nos seus conhecimentos algébricos, estime o valor do quociente:

0,6t

1

e

Para um valor de t muito grande, agora responda:

A utilização do software é eficaz para o estudo da função dada?