Objetivos • Resolver problemas matemáticos. • Identificar as diferentes linguagens que interagem em

uma situação de comunicação.• Localizar informações explícitas e implícitas num

problema localizando elementos seus elementos importantes.

• Selecionar, organizar, relacionar e interpretar dados e informações para tomada de decisões e resolução de situação problema.

Aula 3

• Geometria Euclidiana• Geometria esférica• Coordenadas geográficas• Ângulos• Tipos de triângulos• Soma dos ângulos internos de um triângulo • Perpendicularidade

Conteúdos

Parte 1- Ursos bancos e espaços curvos

Partindo de um certo ponto da Terra, um caçador percorreu dez quilômetros no sentido sul. Em seguida muda de rumo e anda dez quilômetros no sentido leste. Finalmente, muda outra vez de rumo e percorre dez quilômetros no sentido norte chegando exatamente ao ponto de partida. Nesse ponto ele encontrou um urso.

Qual é a cor do urso?

SUL LESTE

NORTE

De imediato pode-se pensar que o problema não tem solução pois numa primeira leitura o caçador não poderia voltar ao ponto de partida

Para que cheguemos à solução aceita como correta do exercício é preciso que extrapolemos a forma como enxergamos a Geometria

Talvez não seria o caso de extrapolarmos nossa visão de mundo e ver a Geometria sob um outro olhar. Que olhar seria esse?

Figura 1. Planeta TerraFonte: OFFICE ONLINE, 2012.

 

A Terra não é uma superfície plana e sim aproximadamente esférica. Mas o que isso tem a ver com o problema do urso? Tudo. O fato de esquecermos que nosso planeta é uma superfície praticamente esférica faz com que “pensemos em linha reta”.

Agindo assim não nos damos conta que o caçador ao percorrer 10 km para o sul não está andando em linha reta e sim percorrendo um arco de curva.

Norte

Sul

Figura 2. Planeta TerraFonte: OFFICE ONLINE, 2012.

 

Revendo todas as etapas do problema temos a configuração abaixo, que mostra o caminho percorrido pelo caçador:

Leste

Norte

Sul

10 km

10 km

10 km

Figura 6. Planeta TerraFonte: OFFICE ONLINE, 2012.

 

Com essa reflexão é possível afirmar que: o caçador só voltará ao ponto de partida se iniciar a sua caminhada no polo Norte.

E o urso? Se você pesquisar sobre os tipos de ursos que existem no polo Norte descobrirá que lá só existem ursos brancos.

Perceba que para pequenas distâncias acabamos, em nosso dia a dia, assim como nós as pessoas lá no ano 1.000, considerando que estamos sobre uma superfície plana.

Figura 6A. A visão do mundo sobre uma superfície plana.Fonte: NEVES, 2012.Disponível em: http://lillyneves.blogspot.com.br/2011/10/frase-de-steve-jobs_06.html. Acesso em: 23 jul. 2012.

As trajetórias mostradas no exercício anterior nos ajudam a perceber que existem outras geometrias espaciais além daquela que estamos acostumados a estudar.

Figura 7. Figura geométrica sobre uma superfície plana

  Figura 8. Figura geométrica sobre uma superfície curvaFonte: OFFICE ONLINE, 2012.

   

 

Não podemos desconsiderar, por exemplo, a curvatura do nosso planeta na navegação e nas viagens espaciais ou em viagens de carro de longa distância ou viagens de avião, nem no problema do urso.

Geometria dos espaços curvos - geometria não-euclidiana

• Gauss (1777 - 1855)

• Bolyai (1802 - 1860)

• Lobachevsky ( 1792 - 1856)• • Riemann (1826 – 1866)

Parte 2 – Espaços curvos

Precisamos aprender a observar o mundo que nos cerca sob outra perspectivas.

Figura 9 – Cilindro projeto em duas superfícies.Fonte: SPINORBITALATOMICO, 2012.

Foram desenhados os pontos A e B abaixo que estão a uma certa distância um do outro. Trace algumas linhas que possam representar alguns dos possíveis caminhos que saindo do ponto A cheguem ao ponto B.

       

 Agora trace na ilustração aquele caminho que você julgue ser o de menor distância entre os pontos A e B. 

A

B

A

B

A B

VC

D

Figura 10. Figura plana.   

 

BA

V

Figura 11. Cone  

 

A

B

V

A linha AB que era reta sobre uma superfície plana transformou-se em uma linha curva sobre o cone.

Quanto vale a soma dos ângulos internos de um triângulo?

Figura 13 - Triângulo. 

A resposta seria válida para a geometria esférica?

Na Geometria euclidiana a soma dos ângulos internos de um triângulo fornece como resultado o valor 180 graus.

Na Geometria esférica a soma dos ângulos internos de um triângulo fornece como resultado um valor maior que 180 graus

C

A 

B C

A 

B

C = 180oA +  

B +C > 180oA +

 B +

Figura 14 - Triângulo. 

Figura 15 - Triângulo numa superfície esférica.

Na geometria de Euclides, ou geometria plana podemos classificar os triângulos de acordo com seus lados:

3 cm 3 cm

3 cm

3,7 cm 3,7 cm

3 cm 3 cm

4,2 cm

2,5 cm

Equilátero3 lados iguais

Isósceles 2 lados iguais

Escaleno 3 lados diferentes

E de acordo com seus ângulos:

Acuntângulo3 ângulos agudos

Retângulo1 ângulo reto e 2 ângulos agudos

iguais

Obtusângulo 1 ângulo reto e 2

ângulos agudoserentes

Triângulo esféricoFigura sobre uma superfície esférica que resulta quando consideramos três grandes círculos (ou círculos máximos) sobre essa superfície

A

BC

Observe os três pontos A, B, e C. Ao unirmos estes três pontos, dois a dois, através de círculos máximos, formamos uma figura ABC que se assemelha a um triângulo, mas que se situa sobre a esfera: essa figura é denominada triângulo esférico.

Resgatando!A menor distância entre dois pontos, numa superfície plana é um segmento de reta.

Figura 19 - Segmento de reta numa superfície plana.

A

B

Observamos que a menor distância entre dois pontos é uma reta somente se o espaço for plano. Se o espaço for esférico a menor distância entre quaisquer dois planos é um arco de circunferência.

Figura 20 - Superfície esférica. 

Parte 3- Lição de casa Os partidos PN (Partido do Norte), PS (Partido do Sul) e PO (Partido do Oeste) lançaram candidatos a vereadores. Existem quatro vagas disponíveis.Os candidatos de cada partido receberam as quantidades de votos mostradas no quadro abaixo.

Partido CandidatoNumero de votos

Total

PNCésarXavierBuarque

 5.4001000600 

7.000

PSRodriguesConceiçãoChaves

 1.500950550 

3.000

PODianaVeraPedro

 1.1001.000900 

3.000

Quais candidatos foram eleitos?

Parte 4 – Avaliação Processual 1

Individual e sem consulta

1 h de duração

Vale 1 ponto na média final

Composta de 4 questões

Questão 1 – 0,30 pontosQuestão 2 – 0,30 pontosQuestão 3 – 0,20 pontosQuestão 4 – 0,20pontos