ANÁLISE E PROPAGAÇÃO DE ERROS

06 do 02/2013

Miquéias Gomes dos Santos

OBJETIVO

Determinar experimentalmente o valor numérico de uma grandeza e o grau de

confiabilidade dessa medida, bem como compreender o que a mesma significa,

entendendo, para isso, o significado de “algarismos significativos” e “erros de medida”.

INTRODUÇÃO

Para determinar o valor numérico de uma grandeza é preciso registrar com

confiabilidade o resultado das medidas feitas durante uma experiência. Para isso, é

essencial valer-se dos métodos estatísticos de tratamento de dados experimentais, pois

somente a partir desses métodos é possível de se trabalhar considerando os erros de

medida cometidos.

Para trabalhar esses métodos estatísticos as grandezas comprimento, diâmetro e

massa de dois cilindros diferentes (maciço e vazado) constituídos de materiais

diferentes (maciço-alumínio; vazado-cobre), foram medidas para se chegar a outras

duas grandezas, volume e densidade, assim como seus respectivos erros propagados.

No processo as grandezas são medidas com auxilio de dois aparelhos

paquímetro (diâmetro) e micrometro (comprimento). Para cada medida os erros de

escala e erro aleatório (este, se houver) são calculados e expressos na representação

final das medidas. Com esses valores o volume de cada cilindro e seu respectivo erro

propagado, e a densidade de cada material e seu respectivo erro propagado, por fim, são

encontrados.

PROCEDIMENTOS

Para o cilindro maciço:

Com o paquímetro o diâmetro do cilindro maciço é medido em quintuplicata

(cada medida é feita pegando pontos diferentes do cilindro);

Com o micrometro o comprimento do cilindro maciço é medido também em

quintuplicata (pontos diferentes do cilindro são percorridos pelo micrometro na

hora da medição, visando encontrar pequenas diferenças nas medidas caso

existam.);

Já a massa do cilindro é pesada em triplicata.

O mesmo processo de medição é feito para essas mesmas grandezas no cilindro

vazado, entretanto, há duas medidas de diâmetro pra esse cilindro, uma vez que o

diâmetro interno também precisa ser medido, tendo-se assim medidas de diâmetro

interno e externo.

Uma vez todos os dados obtidos, calcula-se os erros para as medidas.

Inicialmente calcula-se o erro dos aparelhos utilizados. Como se tratam de aparelhos de

escalas, tem-se para os aparelhos apenas os erros escalares.

Erro de escala do paquímetro:

Eesc= ±t . MDE

2 = ± 0.025 = ± 0.03, onde MDE é a menor divisão de escala

do paquímetro e o t de Student é adotado como 1.

Obs.: Observe que pelos critérios de arredondamento tem-se que Eesc=

±0.02, entretanto a pretensão é a de determinar o máximo erro cometido,

logo, deve-se arredondar o valor inicialmente obtido para cima: Eesc=± 0.03.

Erro de escala do micrometro:

Eesc= ±t . MDE

2 = ±0.005

Análise do cilindro maciço

O diâmetro mais provável para o cilindro maciço é a média aritmética das diversas

medidas do diâmetro, sendo representada por D:

D= 1n

. ∑Di

Para a altura (comprimento L) além de calcular a altura mais provável o erro aleatório

também será calculado- comprimentos diferentes foram medidos. Logo, o erro total para

a medida mais provável será representado pela soma de todos os erros encontrados no

processo de medição.

Altura mais provável:

L= 1n

. ∑Li

Desvio de cada medida de comprimento, uma vez que houve apuração de

medidas que variam de valor:

∆Li= Li-L

Desvio Padrão do comprimento

ῡ= √∑(∆ xi)

2

√(n¿−1)¿

Desvio aleatório da média

ῡm= ῡ√n

Erro total: Et=ESist+EAl+EEsc

Após os erros calculados as medidas devem ser representadas da seguinte forma:

D=(D ±Eesc) mm

L= (L ± Et) mm

Para calcular o volume substitui-se o valores de D e L em:

V= L. π .D2

4

Por último calcula-se a propagação de erro para o volume encontrado:

Como V=(D,L)

∆V= ∂V∂ D

∆D + ∂V∂ L

∆L

O resultado final é expresso como:

V=(V±∆V) cm3

Para a densidade do cilindro maciço calcula-se a massa mais provável (média

das massas) e como a balança analítica é instrumento não analógico o seu erro

de escala corresponde apenas a menor divisão de escala da balança (MDE).

Como não houve variação nos pesos das massas:

M=(M±Eesc)g

Joga-se o volume e a massa encontrados na equação:

d= MV

, e assim encontra-se a densidade do cilindro.

Propagação do erro para a densidade

∆d= ∂d∂m

∆m + ∂d∂v

∆v

Análise do cilindro vazado

As mesmas etapas são executadas para o cilindro vazado, entretanto, para o

cilindro vazado são calculados os volumes para diâmetro interno e externo, e a

subtração de um pelo outro resulta no volume real;

Para calcular o erro propagado do volume no cilindro vazado, usa-se o volume

real encontrado e DR(diâmetro real- diferença entre o diâmetro interno e

externo);

Para o cálculo da densidade do cilindro vazado o processo é o mesmo feito para

o cilindro maciço, porem, com a média das massas do cilindro vazado e o

volume real do cilindro e seu respectivo erro propagado.

MATERIAL UTILIZADO

Paquímetro;

Micrometro;

Cilindro de alumínio maciço;

Cilindro de cobre vazado;

Balança analítica.

DADOS EXPERIMENTAIS

Cilindro Vazado (Cobre)

M(Massa) De(diâmetro Di (Diâmetro L (Comprimento)

externo) interno)

69.0205 g 37.75 mm 21.20 mm 10.078 mm

69.0205 g 37.75 mm 21.20 mm 10.050mm

69.0205 g 37.75 mm 21.20 mm 10.049mm

37.75 mm

37.75 mm

21.20 mm

21,20mm

10.131 mm

10.049mm

37.75 mm 21.20 mm 10.049 mm

Cilindro maciço (Alumínio)

M(Massa) D❑(Diâmetro) L (Comprimento)

30.0661g 37.90 mm 10.918mm

30.0661g 37.90 mm 10.968mm

30.0661g 37.90 mm 10.980mm

37.90 mm

37.90 mm

10.948 mm

10.968mm

37.75 mm 21.20 mm 10.049 mm

ANÁLISE DOS DADOS

Para o cilindro maciço os resultados obtidos foram:

D=(37.90 ±0.03) mm

L= (10.95 ±0.02) mm

V=(12 ±0.04) cm3

M=(30.06±0.01)g

d=(2.434 ±0.008) g/cm3

Para o cilindro vazado:

De=(37.75 ±0.03) mm

Di=(21.20 ±0.03) mm

D=(16.55±0.03) mm De-Di

L= (10.07 ±0.02) mm

V=(7.71 ±0.004) cm3

M=(69.02±0.01)g

d=(8.95 ±0.006) g/cm3

Observa-se que os erros propagados de volume em ambos os cilindros são

muito pequenos, o que indica que as medidas possuem um bom nível de precisão.

CONCLUSÃO

As grandezas comprimento, diâmetro e massa dos dois cilindros (maciço e

vazado) constituídos de materiais diferentes (maciço-alumínio; vazado-cobre), foram

medidas para se chegar a outras duas grandezas, volume e densidade, assim como seus

respectivos erros propagados.

Com base nos erros observados verificou-se que as grandezas desejadas foram

medidas com um bom grau de precisão, tornado-as confiáveis para uso em qualquer

procedimento no qual as mesmas sejam precisas, uma vez que realizar medidas com

precisão consiste apenas na etapa inicial e fundamental para qualquer experimento bem

realizado.

UNIVERSIDADE FEDERAL DO TOCANTINS

ÁREA DE CIÊNCIAS AGRÁRIAS E TECNOLÓGICAS

CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE GURUPI

ENGENHARIA DE BIOPROCESSOS E BIOTECNOLOGIA

MIQUÉIAS GOMES DOS SANTOS

TRABALHO DE FÍSICA EXPERIMENTAL

ANÁLISE E PROPAGAÇÃO DE ERROS

GURUPI-TO

2013