objetivo dado um conjunto de pontos, determinar uma função g(x) que melhor se ajusta ao conjunto....
TRANSCRIPT
OBJETIVO
Dado um conjunto de pontos, determinar uma função g(x) que melhor se ajusta ao conjunto.
x0 x1 x2 x3 x4x5
f(x)
g(x)
Pontos conhecidos: (x0, y0), (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3), (x4, y4), (x5, y5).
A função f(x) pode ser ou não conhecida.
Nesse estudo procuraremos ajustar uma função polinomial g(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a0 ao conjunto de pontos.
INTERPOLAÇÃO POR SISTEMAS LINEARES
Conhecidos n + 1 pontos (x0, f(x0)), (x1, f(x1)), (x2, f(x2)), ...., (xn, f(xn)), g(x) será um polinômio de grau menor ou igual a n, tal que:gn(xk) = f(xk), k = 0, 1, 2, ..., n, ou seja: gn(x) = a0 + a1x + a2x2 + .... + anxn.
gn(x0) = a0 + a1x0 + a2x02 + .... + anx0
n = f(x0)gn(x1) = a0 + a1x1 + a2x1
2 + .... + anx1n = f(x1)
gn(x2) = a0 + a1x2 + a2x22 + .... + anx2
n = f(x2). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .gn(xn) = a0 + a1x2 + a2x2
2 + .... + anxnn = f(xn)
A definição permite construir um sistema linear
Onde:
xik , i = 0, 1, 2, .... n e k = 0, 1, 2, ... n, são os coeficientes das variáveis
ai, i = 0, 1, 2, ... n.
Um aplicativo referente a este processo está disponível no curso.Vejamos como utilizá-lo.
Determinar a função polinomial que melhor se ajusta ao conjunto de pontos: {(0, -17), (1, -14), (2, -5), (3, 28), (4, 127), (5, 358)}
Sendo conhecidos seis pontos o grau da função é cinco ou menor que 5,ou seja g5(x) = a5.x5 + a4.x4 + a3.x3 + a2.x2 + a1.x1 + a0
Formando o sistema:
g5(0) = a5.05 + a4.04 + a3.03 + a2.02 + a1.01 + a0 = - 17g5(1) = a5.15 + a4.14 + a3.13 + a2.12 + a1.11 + a0 = - 14g5(2) = a5.25 + a4.24 + a3.23 + a2.22 + a1.21 + a0 = - 5g5(3) = a5.35 + a4.34 + a3.33 + a2.32 + a1.31 + a0 = 28g5(4) = a5.45 + a4.44 + a3.43 + a2.42 + a1.41 + a0 = 127g5(5) = a5.55 + a4.54 + a3.53 + a2.52 + a1.51 + a0 = 358
0 0 0 0 0 1 a5 1 1 1 1 1 1 a4
32 16 8 4 2 1 a3
243 81 27 9 3 1 a2
1024 256 64 16 4 1 a1
3125 625 125 25 5 1 a0
-17-14-5 28127358
X =
O sistema pode ser transformado na equação matricial:
Representando a equação por AX = B, teríamos X = A-1.B
Deste modo:
=X
a5 = 0, a4 = 1, a3 = -3, a2 = 5, a1 = 0, a0 = -17.
Portanto, g(x) = 0x5 + x4 – 3x3 + 5x2 + 0x – 17 ou g(x) = x4 – 3x3 + 5x2 – 17.
USANDO O APLICATIVO
Digite as coordenadas nestas células.
RESULTADO
g(x) = -17 + 5x2 – 3x3 + x4
Se o número de coordenadas for menorque as células, repita as últimascoordenadas até completar as células.
MÉTODO DE LAGRANGE
O polinômio interpolador tem a forma
gn(x) = f(x0).L0(x) + f(x1).L1(x) + f(x2)L2(x) + … f(xn).Ln(x)
sendo Lk(x) = (x – x0).(x – x1)...(x – xk-1).(x – xk+1)....(x – xn)(xk – x0).(xk – x1)...(xk – xk-1).(xk – xk+1)....(xk – xn)
Observe a ausência de (x – xk) no numerador e (xk – xk) no denominador.
EXEMPLO: Determinar o polinômio que melhor se ajusta aos pontos (1, 2), (2, 2) e (3, 4).
Como são três pontos, devemos ter um polinômio de grau 2.
g2(x) = f(x0).L0(x) + f(x1).L1(x) + f(x2)L2(x)
Calculando os polinômios de Lagrange:
L0(x) = (x – x1).(x – x2)/(x0 – x1).(x0 – x2) = (x – 2).(x – 3)/(1–2).(1–3) = (x2 – 5x + 6)/2.
L1(x) = (x – x0).(x – x2)/(x1 – x0).(x1 – x2) = (x – 1).(x – 3)/(2–1).(2–3) = (x2 – 4x + 3)/(-1).
L2(x) = (x – x0).(x – x1)/(x2 – x0).(x2 – x1) = (x – 1).(x – 2)/(3–1).(3–2) = (x2 – 3x + 2)/2.
g(x) = 2.[(x2 – 5x + 6)/2] + 2.[(x2 – 4x + 3)/(-1)] + 4.[(x2 – 3x + 2)/2]
= x2 – 3x + 4
O APLICATIVO
INSIRA AS COORDENADAS NESTAS CÉLULAS
Resposta:
f(x) = x2 – 3x + 4
MÉTODO DE NEWTON
Polinômio interpolador
pn(x) = D0 + D1.(x – x0) + D2.(x – x0)(x – x1) + D3.(x – x0)(x – x1)(x – x2) + ... + Dn.(x – x0)(x – x1)(x – x2)…(x – xn-1).
(D0, D1, D2, …, Dn) são chamados de operadores diferenças divididas (ODD) pois os coeficientes Di, i = 0, 1, 2,...,n, são obtidos por uma razão entre diferenças.D0 = pode ser simbolizado por f[x0] = f(x0) (ODD de ordem zero).
D1 = simbolizado por f[x0, x1] = (f[x1] – f[x0])/(x1 – x0) = (f(x1) – f(x0))/(x1 – x0)
D2 = f[x0, x1, x2] = (f[x1, x2] – f[x0, x1])/(x2 – x0) = = {[(f(x2) – f(x1))/(x2 – x1)] – [(f(x1) – f(x0))/(x1 – x0)]}/(x2 – x0) = = [(f(x2) – f(x1)).(x1 – x0) – (f(x1) – f(x0)).(x2 – x1)]/(x2 – x1).(x2 – x0).(x1 – x0).
D3 = f[x0, x1, x2, x3] = (f[x1, x2, x3] – f[x0, x1, x2])/(x3 – x0).. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dn = f[x0, x1, x2, x3, …, xn] = (f[x1, x2, x3, …, xn] – f[x0, x1, x2, … xn-1])/(xn – x0)
Devido à complexidade das fórmulas é comum apresentar os cálculos em uma tabela:
xi Ordem 0 Ordem 1 Ordem 2 Ordem 3
X0 (1a) f(x0) (1b) (D0)
(2b–1b) (D1)
(2a-1a) (1c)
X1 (2a) f(x1) (2b) (2c – 1c) (D2)
(3a – 1a) (1d)
(3b–2b)
(3a-2a) (2c)
(2d – 1d) (D3)
(4a – 2a)
X2 (3a) f(x2) (3b) (3c – 2c)
(4a – 2a) (2d)
(4b–3b)
(4a-3a) (3c)
X3 (4a) f(x3) (4b)
O APLICATIVO
Digite os valores de x nesta coluna
Digite os valores de f(x) nesta coluna
MÉTODO DE NEWTON-GREGORY
Usado quando o espaçamento entre os valores de “x” são igualmente espaçados.
O procedimento é semelhante ao usado no processo de Newton. Somente não se faz a divisão das diferenças dos Di pelas diferenças dos xi.
EXEMPLO: determinar o polinômio interpolador para a tabela:
x (x)
3 -1
4 5
5 7
6 8
7 6
8 4
0
1
2
3
4
5
O polinômio interpolador, com
g(x) = -1 + 6.(x – 3) + 0.(x – 3).(x – 4) –1.(x – 3)(x – 4).(x – 5) – -1. (x – 3)(x – 4).(x – 5)(x – 6) + 6.(x – 3)(x – 4).(x – 5)(x – 6)(x – 7),
0 = -1, 1 = 6, 2 = 0, 3 = -1, 4 = -1 e 5 = 6
que desenvolvido resulta em:
é
g(x) = 6x5 – 151x4 + 2087x3 – 7157x2 + 12500x + 15543.
UM PROBLEMASuponhamos que se conheça a tabela:
x 0 1 2 3
y 0 4 10 18
e que se deseja determinar o valor de x, quando y = 13,75.
A função y = f(x) exigiria a resolução de uma equação, enquanto uma Relação do tipo x = f(y), levaria a uma simples substituição, do valor de y.
Neste caso, podemos usar qualquer um dos processos já descrito, trocando apenas os valores de x por y e vice-versa.
Optando pelo método de Newton:
Obs: O método de Newton-Gregory não é adequado pois na troca de x por y, a diferença entre as abscissas não é constante.
Usando o aplicativo
f(y) = 0,0006y3 – 0,0149y2 + 0,3012y
f(13,75) = 0,0006.(13,75)3 – 0,0149.(13,75)2 + 0,3012.(13,75) = 2,8842