o uso da história das equações nos processos de ensino e de
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UNIVERSIDADE ANHANGUERA DE SÃO PAULO DENISE BENINO DOURADO RIBEIRO
O USO DA HISTÓRIA DAS EQUAÇÕES NOS PROCESSOS DE ENSINO E DE APRENDIZAGEM DA MATEMÁTICA NA
EDUCAÇÃO BÁSICA
SÃO PAULO 2015
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DENISE BENINO DOURADO RIBEIRO PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
O USO DA HISTÓRIA DAS EQUAÇÕES NOS PROCESSOS DE ENSINO E DE APRENDIZAGEM DA MATEMÁTICA NA
EDUCAÇÃO BÁSICA
Dissertação apresentada à banca examinadora do Programa de Pós Graduação em Educação Matemática da Universidade Anhanguera de São Paulo como requisito parcial à obtenção do título de Mestre em Educação Matemática, sob a orientação da Profª. Drª. Aparecida Rodrigues Silva Duarte.
SÃO PAULO
2015
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Autorizo, exclusivamente para fins acadêmicos e científicos, a reprodução total ou
parcial desta dissertação por processos de fotocopiadoras ou eletrônicos.
R368u Ribeiro, Denise Benino Dourado
O uso da história das equações nos processos de ensino e de aprendizagem da matemática na educação básica. / Denise Benino Dourado Ribeiro. – São Paulo, 2015.
135 f.; il. ; 30 cm Dissertação (Mestrado em Educação Matemática, Área de
concentração: História da Matemática) – Coordenadoria de Pós- graduação, Universidade Anhanguera de São Paulo, 2015.
Orientadora: Prof.ª Dra. Aparecida Rodrigues Silva Duarte
1. Educação Matemática. 2. História. 3. Álgebra. 4. Equações
algébricas. I. Título. II. Universidade Anhanguera de São Paulo. CDD 510.7
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DENISE BENINO DOURADO RIBEIRO
O USO DA HISTÓRIA DAS EQUAÇÕES NOS PROCESSOS DE
ENSINO E DE APRENDIZAGEM DA MATEMÁTICA NA EDUCAÇÃO
BÁSICA
ESTE TRABALHO FOI JULGADO E APROVADO PARA A OBTENÇÃO DO
TÍTULO DE MESTRE EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA.
______________________________________________________ Profª Drª Aparecida Rodrigues Silva Duarte (Orientadora)
Universidade Anhanguera de São Paulo
______________________________________________________ Profª Drª Denise Medina de Almeida França (Titular Externo)
Universidade Severino Sombra
______________________________________________________ Nielce Meneguelo Lobo da Costa (Titular Interno)
Universidade Anhanguera de São Paulo
São Paulo, 09 de março de 2015.
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DEDICATÓRIA
Dedico este trabalho a todos aqueles que,
assim como eu, se encantam com a beleza da
História da Matemática; aos meus pais, Vera
Lucia de Aro Benino e Paulo Daniel Dourado
Ribeiro (In Memorian) e ao meu eterno
Mestre Antonio Sylvio Vieira de Oliveira.
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AGRADECIMENTOS
Agradecimentos devem ser feitos com o coração alegre e satisfeito, ainda mais
quando se realiza algo que se almejava tanto. Meu coração neste instante
transborda de alegria e satisfação por ter conseguido com muito esforço realizar o
honroso trabalho. Porém, jamais poderia deixar de compartilhar essa alegria com
sinceros agradecimentos que primeiramente devem ser direcionados a Deus, a
quem sempre confiei por se fazer presente em todos os momentos de minha vida,
sejam eles alegres ou tristes, sempre me fortalecendo a não desistir diante dos
obstáculos.
À Universidade Anhanguera de São Paulo, por me aceitar a fazer o curso de
Mestrado e por acreditar no meu potencial, concedendo-me uma bolsa de estudos.
Às professoras Doutoras integrantes da banca examinadora, Nielce Meneguelo Lobo
da Costa, Denise Medina de Almeida França e Cristiane Coppe de Oliveira, por
contribuirem com excelentes sugestões para a realização deste trabalho.
À minha orientadora, Professora Doutora Aparecida Rodrigues Silva Duarte, que em
2002 no congresso de História da Matemática, mesmo sem saber ou me conhecer,
contribuiu para a minha paixão pela História da Matemática. Como poderia imaginar
que anos depois eu iria contar com sua sabedoria e infinita bondade para me
orientar neste trabalho? Muito obrigada por não medir esforços a me ajudar e por ter
estendido sua mão no momento em que mais precisei.
Meus sinceros agradecimentos à coordenação, aos professores, colegas e
funcionários do Programa de Pós-graduação em Educação Matemática da
Universidade Anhanguera de São Paulo, em especial aos professores Ubiratan
D’Ambrosio, Rosana Nogueira, Marlene Alves Dias e Ruy César Pietropaolo.
Foi também nesta Instituição que tive o imenso prazer de reencontrar amigos e fazer
novos amigos. Obrigada Simone, Dosilia e Talita, pela nossa sincera amizade e pela
força que juntas tivemos para trilhar o caminho do conhecimento em busca de
nossos sonhos e realizações.
Agradeço ainda, à todos os meus amigos que diretamente ou indiretamente
estiveram do meu lado nesta trajetória, pois muitas vezes um simples sorriso me
fortalecia a seguir em busca do meu sonho.
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Ao meu marido Marcos, que com muita paciência e compreensão esteve ao meu
lado nestes dois anos que precisei me dedicar a este trabalho, obrigada por
acreditar em mim e por ter me apoiado na conquista deste sonho.
Às duas estrelas que brilham na minha vida, Nicolas e Maria Eduarda. A mamãe
agradece de coração pelos abraços e sorrisos que me fortaleceram nesta
caminhada e que continuam a me fortalecer, pois sem vocês minha vida não existe.
A minha maravilhosa irmã Renata, meu cunhado Sergio e meu amado sobrinho
Lucas, pois sem vocês minha vida não seria completa.
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RIBEIRO, Denise Benino Dourado. O uso da história das equações nos processos de ensino e de aprendizagem da matemática na educação básica. 2015. 135 f. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática). Programa de Pós-graduação em Educação Matemática da Universidade Anhanguera de São Paulo, São Paulo, 2014.
RESUMO
A presente pesquisa tem como objetivo analisar, por meio de um estudo qualitativo, como a História da Matemática pode contribuir para o ensino e a aprendizagem da Matemática da Educação Básica. Trata-se de um estudo desenvolvido no âmbito da linha de pesquisa “Tendências Internacionais da História e da Filosofia da Matemática e seus reflexos na Educação Matemática” e encontra-se vinculado a um projeto do Programa Observatório da Educação – OBEDUC, intitulado “Educação Continuada do Professor de Matemática do Ensino Médio: Núcleo de Investigações sobre a Reconstrução da Prática Pedagógica”. Esta investigação fundamenta-se especialmente nos estudos de Antonio Miguel, quanto às potencialidades pedagógicas da História da Matemática; nos de Ubiratan D’Ambrosio, no que tange à importância e à motivação do uso da História da Matemática na sala de aula. Para sua consecução, realizou-se uma experiência formativa destinada a professores da rede pública de ensino do estado de São Paulo, participantes do referido projeto OBEDUC, com a pretensão de apresentar e discutir as fases de desenvolvimento da álgebra tomando como base as equações algébricas e de refletir junto aos professores sobre o uso da História da Matemática em sala de aula por meio de métodos e procedimentos de problemas históricos. Para tanto, foram realizados três encontros, sendo que em cada encontro foi trabalhado um roteiro de atividades elaboradas conforme as fases de desenvolvimentos da álgebra, além da aplicação um questionário inicial e um final, com o intuito de nos inteirarmos quanto ao perfil dos professores participantes da experiência formativa. A coleta de dados foi realizada por meio dos questionários, vídeos, gravações e diário de bordo. As análises efetuadas evidenciam que a História da Matemática se mostra como fonte capaz de promover uma aprendizagem significativa e compreensiva para a resolução de equações algébricas. Palavras-chave: Educação Matemática. História. Álgebra. Equações algébricas.
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RIBEIRO, Denise Benino Dourado. Using the history of the equations in
processes of teaching and learning of mathematics in basic education. 2015.
135 f. Dissertation (Master in Mathematics Education). Graduate Program in
Mathematics Education Anhanguera University of São Paulo, São Paulo, 2015.
ABSTRACT
This research aims to analyze, through a qualitative study, as the history of
mathematics can contribute to the teaching and learning of Mathematics of Basic
Education. This is a study developed within the research line “Tendências
Internacionais da História e da Filosofia da Matemática e seus reflexos na Educação
Matemática” and is linked to a project of the Programa Observatório da Educação -
OBEDUC entitled “Educação Continuada do Professor de Matemática do Ensino
Médio: Núcleo de Investigações sobre a Reconstrução da Prática Pedagógica”. This
research is based especially in studies of Antonio Miguel, for the pedagogical
potential of the History of Mathematics; in the D'Ambrosio, regarding the importance
and the motivation of the use of history of mathematics in the classroom. For its
achievement, there was a formative experience for teachers of public schools of São
Paulo, participants OBEDUC project, with the intention to present and discuss the
algebra development phases on the basis algebraic equations and reflect with
teachers on the use of history of mathematics in the classroom through historical
problems of methods and procedures. For this, three meetings were held , and in
each meeting was worked a roadmap of activities prepared in accordance with
stages of algebra developments , in addition to applying an initial questionnaire and
an end , in order to acquaint in relation to the profile of the participating teachers the
training experience. Data collection was conducted through questionnaires, videos,
recordings and the logbook. The analyzes show that the history of mathematics is
shown as a source capable of promoting a meaningful and comprehensive learning
for solving algebraic equations.
Keywords : Mathematics Education. History. Algebra. Algebraic equations.
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LISTA DE QUADROS
Quadro 01: Símbolos e descrições.............................................................................. 54
Quadro 02: Representações e notações..................................................................... 58
Quadro 03: Equações enunciadas por Al-Khwarizmi.................................................. 58
Quadro 04: Resolução do exemplo............................................................................. 59
Quadro 05: Evolução histórica das notações algébricas............................................. 62
Quadro 06: Perfil profissional dos professores participantes...................................... 66
Quadro 07: Considerações dos professores participantes quanto à História da Matemática...............................................................................................
66
Quadro 08: Sobre a relevância do conhecimento algébrico........................................ 68
Quadro 09: Sobre o aprendizado de seus alunos quanto à formação de conceitos algébrico...................................................................................................
68
Quadro 10: Quanto às dificuldades dos alunos em aprender os conceitos algébricos..................................................................................................
69
Quadro 11: Quanto à utilização da História da Matemática como recurso para a formação de algum conceito algébrico.....................................................
69
Quadro 12: Sobre os problemas resolvidos pelo método da “falsa posição”.............. 74
Quadro 13: Opinião dos professores quanto à generalização do roteiro.................... 78
Quadro 14: Sobre as dificuldades de utilização do método babilônio em sala de aula...........................................................................................................
78
Quadro 15: Respostas dos professores sobre a possibilidade de aplicação dos problemas.................................................................................................
79
Quadro 16: Fala de uma professora participante sobre a aplicação dos métodos....................................................................................................
82
Quadro 17: Comentários dos professores sobre a aplicação dos métodos................ 82
Quadro 18: Continuação dos comentários, sobre a aplicação dos métodos.............. 83
Quadro 19: Reflexão de um professor a respeito da lógica dos problemas de Diofanto.....................................................................................................
85
Quadro 20: Falas dos professores que confirmam o argumento oito de Miguel (1997)........................................................................................................
87
Quadro 21: Comentários dos professores sobre o método de Diofanto...................... 87
Quadro 22: Respostas dos professores sobre o procedimento de Al-Khwarizmi..................................................................................................
89
Quadro 23: Comentário de um professor a respeito da demonstração geométrica –Al-Khwarizmi.............................................................................................
92
Quadro 24: Comentários dos professores a respeito da demonstração geométrica................................................................................................
94
Quadro 25: Respostas dos professores quanto à escrita das equações de Viète...... 95
11
Quadro 26: Fala de um professor sobre introdução do ponto (.) como símbolo matemático................................................................................................
96
Quadro 27: Respostas dos professores sobre a demonstração de Viète.................... 96
Quadro 28: Comentários dos professores sobre a resolução do método de Viète..... 97
Quadro 29: Sobre a aplicação do método de Viète em sala de aula........................... 97
Quadro 30: Sobre as três fases de desenvolvimento da álgebra................................ 99
Quadro 31: Sobre a utilização da História da Matemática no ensino.......................... 101
Quadro 32: Pontos positivos sobre o uso da História da Matemática como metodologia de ensino..............................................................................
101
Quadro 33: Pontos negativos sobre o uso da História da Matemática como metodologia de ensino..............................................................................
102
Quadro 34: Sobre as potencialidades pedagógicas das três fases............................. 102
Quadro 35: Considerações dos professores sobre a experiência formativa............... 104
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LISTA DE FIGURAS
Figura 01: Papiros de Rhind e Moscou ....................................................................... 40
Figura 02: Tableta de argila ......................................................................................... 40
Figura 03: Professores participantes da experiência formativa.................................... 71
Figura 04: Resolução algébrica do problema 24.......................................................... 72
Figura 05: Professora resolvendo problema 27............................................................ 73
Figura 06: Resolução retórica do problema 24............................................................. 74
Figura 07: Resolução algébrica do problema............................................................... 77
Figura 08: Resolução retórica do problema.................................................................. 77
Figura 09: Professores participantes do segundo encontro......................................... 81
Figura 10: Professores participantes do terceiro encontro........................................... 91
Figura 11: Professores realizando atividade................................................................ 93
Figura 12: Professora apresentando resolução do método geométrico – Al -
Khwarizmi....................................................................................................
93
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SUMÁRIO
INTRODUÇÃO......................................................................................................................14
CAPÍTULO 1.........................................................................................................................22
APORTES TEÓRICO-METODOLÓGICOS..........................................................................22
1.1 O uso da História da Matemática em sala de aula.....................................................22
1.2 As potencialidades pedagógicas da História da Matemática.....................................27
1.3 Procedimentos metodológicos...................................................................................35
CAPÍTULO 2.........................................................................................................................39
O DESENVOLVIMENTO HISTÓRICO DA ÁLGEBRA........................................................39
2.1 História das equações: fases retórica, sincopada e simbólica...................................48
CAPÍTULO 3.........................................................................................................................65
A INVESTIGAÇÃO DIAGNÓSTICA.....................................................................................65
3.1 Primeiro encontro.......................................................................................................65
3.1.1 Do questionário inicial.............................................................................................65
3.1.2 Primeiro encontro: fase retórica..............................................................................71
3.2 Segundo encontro: fase sincopada............................................................................81
3.3 Terceiro encontro: fase simbólica..............................................................................91
3.3.1 Do questionário final..............................................................................................100
CONSIDERAÇÕES FINAIS................................................................................................106
REFERÊNCIAS..................................................................................................................112
APÊNDICES.......................................................................................................................116
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INTRODUÇÃO
Esta pesquisa está vinculada ao projeto 19366 do Programa Observatório da
Educação – OBEDUC, Intitulado “Educação Continuada do Professor de Matemática
do Ensino Médio: Núcleo de Investigações sobre a Reconstrução da Prática
Pedagógica” e se desenvolveu a partir de uma parceria entre a Universidade
Anhanguera de São Paulo (UNIAN) e as Diretorias de Ensino Norte 2, Guarulhos
Norte e Guarulhos Sul do Estado de São Paulo.
O referido projeto, a partir de agora denominado “OBEDUC – Práticas”, tem
como objetivo discutir práticas docentes, promover e analisar o desenvolvimento
profissional de professores de Matemática. Integra esse projeto um grupo de
professores da rede pública de ensino do Estado de São Paulo que participam de
encontros quinzenais para discutir e vivenciar atividades propostas pelos
coordenadores.
Esta investigação, inserida na linha de pesquisa “Tendências Internacionais
da História e da Filosofia da Matemática e seus reflexos na Educação Matemática”,
na Universidade Anhanguera de São Paulo (UNIAN) tem como objetivo analisar
como a História da Matemática pode contribuir para o ensino e a aprendizagem da
Matemática da Educação Básica.
A escolha do tema para este trabalho foi influenciada pela minha experiência
acadêmica e pelo meu interesse pessoal. Formei-me no curso de licenciatura em
Matemática em 2004 e especialização em Educação Matemática, na Universidade
Guarulhos/SP, em 2006. Considero relevante o saber algébrico para o
desenvolvimento de minha carreira. Durante a graduação, tive a oportunidade de
cursar a disciplina de Álgebra Linear no programa de verão da Universidade de São
Paulo. Esse fato colaborou para a minha crença sobre a importância da Álgebra,
fortalecendo os meus interesses e despertando a minha curiosidade em saber como
os conceitos algébricos foram formados. Ao término de meus estudos, pude notar
que se tratava de um ramo da Matemática abrangente e indispensável para o
currículo acadêmico. Na especialização em Educação Matemática na Universidade
Guarulhos/SP, tive a oportunidade de realizar um trabalho de monografia que
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ressaltou a importância da formação de conceitos algébricos. Em 2008, participei do
curso de Extensão Universitária na modalidade de Difusão: História da Matemática
sob a responsabilidade do Instituto de Matemática e Estatística da Universidade de
São Paulo, despertando ainda mais o meu interesse pelo assunto. Neste presente
momento, como aluna do Programa de Pós- graduação em Educação Matemática
da Universidade Anhanguera de São Paulo - Unian, dou continuidade ao trabalho
iniciado na especialização, utilizando a História da Matemática como instrumento
didático, para resolver problemas matemáticos do cotidiano.
Justifico a escolha do uso da História da Matemática como metodologia pela
crença de que como fonte inesgotável de informação, a História serve, como
referência, à interpretação de fatos do passado que auxiliam na compreensão do
nosso presente.
Segundo D’Ambrosio,
Somente através de um conhecimento aprofundado e global de nosso passado é que poderemos entender melhor nossa situação no presente e, a partir daí ativar nossa criatividade com propostas que ofereçam ao mundo todo um futuro melhor (1999, p. 113).
O uso da História da Matemática como método de ensino, de acordo com
Miguel (1997), já era defendido pelo menos desde o século XVIII, por matemáticos
que consideravam a História como fonte de métodos adequados para o tratamento
didático de certas unidades ou tópicos da Matemática das Educação Básica. Por
exemplo, em 1741, o francês Alexis Claude Clairaut (1713-1765) em sua obra
“Eléments de Geometrie” propõe um caminho alternativo para o ensino de geometria
com base na História, pois acreditava que sua obra percorria um caminho parecido
com aquele que a humanidade percorreu na aprendizagem das leis e conceitos
matemáticos. (MIGUEL, 1997).
No século XX, Felix Klein (1949-1925) também demonstra sua preocupação
com o uso da História da Matemática. Em sua obra “Elementary Mathematics from
an Advanced Standpoint”, publicada em 1908, o matemático alemão, expressa em
seu prefácio sua satisfação em seguir o desenvolvimento histórico de várias teorias,
confrontando o método de produção das teorias matemáticas com o
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desenvolvimento histórico das mesmas e o método pedagógico que costumavam ser
apresentadas (MIGUEL, 1997).
Poincaré (1854-1912) também defendia o uso da História da Matemática
como recurso pedagógico, pois para ele “Não é suficiente duvidar de tudo, é preciso
saber por que se duvida” (apud MIGUEL, 1997, p.89).
Assim sendo, Miguel (1997) conclui que:
[...] com Poincaré, a função didática da história assume uma dimensão psicológica que consiste na possibilidade de se trazer para o plano de consciência do aprendiz a necessidade de submissão aos padrões atualizados de rigor. A função didática da história é psicológica, mas o objetivo que se busca é estritamente epistemológico (p.89 – 90).
Euclides Roxo (1890-1950), em 1929, no prefácio de seu livro Curso de
Mathematica Elementar, v.1, faz referências ao uso da História como recurso
pedagógico, porém segundo Miguel e Miorin (2005) ao analisar a obra de Roxo, não
foi possível identificar a presença do método histórico na elaboração da mesma,
submetendo os autores a refletir sobre as possibilidades implícitas da existência de
formas de participação da História no método de ensino e de aprendizagem da
Matemática na Educação Básica.
Como ocorre no texto de Clairaut, é possível considerar que a história pode ser um elemento orientador na elaboração de atividades e situações-problemas, de seleção e sequenciamento de tópicos de Matemática em livros didáticos, sem que elementos históricos sejam explicitamente colocados (MIGUEL e MIORIN, 2005, p. 44).
Durante o 4º Congresso Internacional de Educação Matemática (4th ICME), o
professor Meserve, da Universidade de Vermont, fez seus apontamentos quanto ao
uso da História da Matemática e a resolução de problemas, afirmando que “a história
da matemática é útil, antes de tudo, como um auxílio para a compreensão de tópicos
que já fazem parte do currículo. Matemática desenvolvida a partir de técnicas de
resolução de problemas práticos”. (MESERVE apud MIGUEL e MIORIN, 2005, p. 45)
No 5º Congresso Internacional de Educação Matemática (5th ICME), realizado
na cidade de Adelaide, Austrália, 1984, surgiu a proposta de vincular a resolução de
problemas com a História da Matemática, propondo que a Matemática seja ensinada
por meio de resolução de problemas históricos.
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Assim como ocorreu nas edições do ICME, os Parâmetros Curriculares
Nacionais – PCN, no final da década de 90, reconhecem a resolução de problemas
como um de seus alicerces e procuram justificativas relacionadas ao
desenvolvimento histórico da Matemática para confirmar a importância do trabalho
com problemas históricos.
A própria História da Matemática mostra que ela foi construída como resposta a perguntas provenientes de diferentes origens e contextos, motivadas por problemas de ordem prática (divisão de terras, cálculo de créditos), por problemas vinculados a outras ciências (Física, Astronomia), bem como por problemas relacionados a investigações interna à própria matemática (BRASIL, 1998, p.40).
Ainda de acordo com os PCN (BRASIL, 1998), educadores matemáticos
consideram a resolução de problemas como ponto de partida da atividade
Matemática e que o conhecimento matemático adquire significado quando os alunos
encontram situações desafiadoras que possibilitam o desenvolvimento de
estratégias de resolução.
Para resolver certo tipo de problema são construídas aproximações
sucessivas de um conceito. Posteriormente, o aluno aplica esse conhecimento para
resolver outros, passando pelos procedimentos de modificações, correções,
rupturas, conforme um processo análogo ao que se pode verificar na História da
Matemática (BRASIL, 1998).
Sendo a Álgebra um dos campos fundamentais da Matemática; faz-se
necessário que o aluno tenha conhecimento da linguagem algébrica, desenvolvendo
habilidade para fazer generalizações, aumentando seu desempenho em atividades
matemáticas que necessitem de abstração. Muitos problemas do cotidiano advêm de
questões algébricas envolvendo equações de primeiro e segundo grau.
Na busca de auxiliar os processos de ensino e de aprendizagem de
determinados conceitos algébricos, procurou-se na História da Matemática recurso
para a elaboração de atividades envolvendo equações de primeiro e segundo grau,
por meio de problemas históricos.
O escritor Nesselmann, citado por LINS e GIMENEZ (1997, p. 92), classifica
as fases de desenvolvimento da álgebra numa análise cronológica, tendo como
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ponto de partida a fase retórica (verbal), passando pela sincopada (abreviações de
palavras) e chegando até a simbólica que passou por várias transformações até se
tornar estável.
A fase retórica é definida pela descrição de procedimentos, em que
orientações verbais produzidas eram aplicadas a um processo de casos específicos.
A álgebra babilônica, egípcia e a álgebra geométrica grega pertenciam à fase
retórica.
Com a ocupação romana, a Matemática grega parou de se desenvolver e,
somente no século III d.C. ganhou novo impulso com as contribuições do
matemático grego Diofanto de Alexandria (250 d.C.)1, que inseriu a Álgebra na fase
sincopada, sendo particular o uso de abreviações de palavras para escrita de
equações.
Segundo Baumgart (1992) a fase sincopada, iniciada por Diofanto, adquiriu
outras representações com Brahmagupta (628 d.C.). A solução das equações de
segundo grau pelo procedimento de completar quadrados foi desenvolvida pelos
algebristas hindus, assim como os primeiros procedimentos gerais para a solução
das equações indeterminadas. Os matemáticos Brahmagupta e Bhaskara (1150
d.C.) deram atenção especial à equação de Pell (y² = ax² + 1, em que a é um
número inteiro não quadrado perfeito).
A invasão e a conquista da Índia, Pérsia, Mesopotâmia, Norte da África e
Espanha, pelos povos árabes, foi encorajada pela ascensão do islamismo,
permitindo o acesso às produções cientificas dos gregos e hindus que, traduzidas
para o árabe, foram preservadas durante a Idade Média. A álgebra européia iniciou
seu desenvolvimento por meio do acesso as traduções para o latim de publicações
dos gregos, árabes e hindus, e especialmente pela obra “Liber abaci” (1202) de
Fibonacci (Leonardo de Pisa).
A fase simbólica iniciou-se por volta de 1500 com as contribuições do francês
François Viète (1540 – 1603). Viète introduziu um cálculo com letras, iniciando assim
a era das fórmulas em Matemática. Sua obra favoreceu a criação da geometria
1 Existem controvérsias quanto a data de nascimento de Diofanto, adotaremos neste trabalho a data 250 d.C (LORIA, 1929, p.108).
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analítica do filósofo René Descartes (1596 – 1650) tornado a álgebra completamente
simbólica.
Apesar de todo o desenvolvimento da Álgebra, iniciado com os babilônios e
os egípcios por volta de 1700 a.C., ainda na década de 1990 os livros textos não se
preocupavam em apresentar os conteúdo de álgebra de uma forma mais didática
para seus leitores, pois possuíam uma linguagem que cuidava mais da
sistematização do que dos significados dos conceitos algébricos. Nos dizeres de
Lins e Gimenez,
[...] isso é praticamente tudo que encontramos na quase total maioria dos livros didáticos disponíveis no mercado brasileiro, e essa é uma situação bastante ruim. O que é, talvez, até pior é que essa prática não se baseia em investigação ou reflexão de qualquer natureza ou profundidade, apenas em uma tradição, tradição essa que estudos e projetos de todos os tipos, e por todo o mundo – inclusive no Brasil – já mostraram ser ineficaz e mesmo perniciosa à aprendizagem (1997, p. 106).
De acordo com Ribeiro (2001), sabemos que, em pesquisas e mesmo em
livros didáticos, o que acontece com a Álgebra é, na maioria das vezes, um exagero
de utilização mecânica dos símbolos, que transmite a falsa ideia de facilidade, porém
que com o passar do tempo revela-se ineficaz e sem aplicabilidade da mesma.
Gil (2008) aponta em sua pesquisa que a Álgebra nos dias atuais ocupa um
papel privilegiado nos livros didáticos, porém os cuidados a respeito do seu ensino
não foram consideráveis para diminuir o problema das dificuldades e compreensão
dos seus conceitos e procedimentos.
Os livros didáticos compõem ferramentas pedagógicas a alunos e
professores, servindo de apoio aos professores em suas aulas, tendo como objetivo
principal promover a aprendizagem. Para tanto, Pacheco (2011) destaca que as
coleções que são aprovadas para participar do Programa Nacional do Livro Didático
(PNLD) precisam estar de acordo com as Diretrizes Curriculares Nacionais Oficiais,
em concordância com as tendências atuais de ensino. Neste sentido o autor ressalta
que no ano de 2008, a maioria, dos livros de Matemática participante do PNLD para
o Ensino Médio, apresentou a História da Matemática como um recurso para os
processos de ensino e de aprendizagem.
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Como os autores citados, concordamos que o ensino da Álgebra merece um
cuidado especial, pois a formação de conceitos algébricos e dos significados dos
conceitos é fundamental para a aprendizagem escolar, uma vez que posteriormente
esses conceitos serão utilizados para a aprendizagem de novos conceitos e na
solução de problemas.
Assim, justificamos nossa escolha em apresentar a formação de conceitos
algébricos, em especial a equação de primeiro e segundo grau, tendo a História da
Matemática como recurso para resolver problemas por meio de métodos e
procedimentos2 históricos.
Antonio Miguel (1997) aponta alguns argumentos que considera reforçadores
das potencialidades pedagógicas da História da Matemática. Dentre eles, constata
seu uso como elemento motivador e como fonte de métodos e procedimentos para o
ensino e a aprendizagem da Matemática.
Dentro dessa perspectiva, esta investigação pretende responder a seguinte
questão: de que maneira a História da Matemática pode auxiliar os professores nos
processos de ensino e de aprendizagem da matemática da educação básica?
Especificamente, como a História das equações algébricas, considerando as
três fases de desenvolvimento da álgebra, qual sejam, a retórica, a sincopada e a
simbólica, pode auxiliar no ensino das equações de primeiro e segundo grau na sala
de aula? Quais das potencialidades pedagógicas da História da Matemática
puderam ser observadas durante a experiência formativa de que se trata esta
pesquisa?
Nesse sentido, esta pesquisa, de cunho qualitativo, tem como principal
objetivo analisar como a História da Matemática pode contribuir para o ensino e a
aprendizagem da Matemática da Educação Básica.
Especificamente, pretende-se verificar a contribuição da História da formação
de conceitos algébricos nos processos de ensino e aprendizagem em uma
2 Nesta investigação, utilizamos o termo método como o caminho para se atingir um determinado
fim e procedimentos como os modos específicos com os quais operacionalizamos o método (LUCKESI, 1994).
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experiência formativa, com professores de Matemática da rede pública de ensino do
Estado de São Paulo, por meio de atividades que se utilizam de alguns fatos da
História das equações de primeiro e segundo grau do cotidiano escolar.
Ainda, verificar as potencialidades pedagógicas da História da Matemática na
sala de aula por meio de métodos e procedimentos históricos em conformidade com
o desenvolvimento histórico da álgebra.
Para tanto, elaboramos um questionário de caráter diagnóstico que foi
aplicado no início dos encontros realizados nas dependências da Diretoria de Ensino
Norte 2, com o intuito de verificar qual a opinião desses professores sobre o
conhecimento algébrico e sobre o uso da História da Matemática como recurso
metodológico. Em seguida, desenvolvemos o processo formativo que consistiu em
apresentação e realização de práticas relativas à História das três fases do
desenvolvimento da álgebra. Após o término dessas atividades, os sujeitos
participantes responderam a um questionário final referente às questões discutidas
durante os encontros realizados.
Para a realização deste estudo, o primeiro capítulo apresenta os aportes
teóricos e metodológicos que sustentam esta investigação, notadamente sobre o
uso da História da Matemática em sala de aula e suas potencialidades pedagógicas.
O segundo capítulo trata do desenvolvimento histórico da álgebra e das
equações de primeiro e segundo grau para, posteriormente verificar como essa
História pode auxiliar na formação continuada de professores de Matemática.
Já o terceiro capítulo, diz respeito às atividades desenvolvidas durante o
processo formativo. Descreve e analisa os dados obtidos por meio dos questionários
aplicados e as intervenções efetuadas pelos professores participantes durante o
desenvolvimento das atividades efetuadas.
Finalizando esta dissertação, apresentamos nossas conclusões e sugestões
para futuras pesquisas.
22
CAPÍTULO 1
APORTES TEÓRICO-METODOLÓGICOS
1.1 O uso da História da Matemática em sala de aula
Na busca dos fundamentos teóricos que justificassem o uso da História da
Matemática e sua aplicação na sala de aula, encontramos importantes contribuições
em D’Ambrosio (1996; 1999), Miguel (1997), Miguel e Miorin (2005), Nobre (1996),
Radford (2011), Mendes (2001), Bicudo (1999) e Baroni e Nobre (1999), que nos
auxiliaram no desenvolvimento desta pesquisa e que são discutidos neste tópico.
A História da Matemática é um importante recurso para o ensino e a
aprendizagem da Matemática na Educação Básica, pois está relacionada com várias
situações dentro da construção do conhecimento. O contato com o passado pode
ser uma ação bastante interessante para abordar conceitos matemáticos em sala de
aula, podendo ser apresentada de forma lúdica com problemas curiosos “enigmas”,
como introdução de um conteúdo ou atividades complementares de leitura e como
fonte de pesquisa e conhecimento geral.
Para justificar a importância da História da Matemática na abordagem dos
conceitos matemáticos destacamos o pensamento de Ubiratan D’Ambrosio (1999):
As práticas educativas se fundam na cultura, em estilos de aprendizagem e nas tradições, e a história compreende o registro desses fundamentos. Portanto, é praticamente impossível discutir educação sem recorrer a esses e a interpretação dos mesmos. Isso é igualmente verdade ao se fazer o ensino das várias disciplinas. Em especial da Matemática, cujas raízes se confundem com a história da humanidade (p. 97).
É evidente que a História da Matemática permite mostrar que a Matemática
tem um crescimento histórico, que está relacionada com a História da humanidade,
estando presente em todas as ações humanas, sendo indispensável fazer História
23
do conhecimento, História da Matemática vista, que em geral é produzida pelas
necessidades práticas sendo desenvolvida para atender a certas buscas da
sociedade.
O uso da História da Matemática como instrumento de apoio ao ensino e
aprendizagem da Matemática não é recente, vem sendo estudado e pesquisado por
investigadores e também professores interessados em promover uma compreensão
mais significativa da Matemática.
Segundo Costa Junior (2010), atualmente essas pesquisas têm angariado
destaque no cenário educacional, por meio de produções de artigos, dissertações e
teses defendidas, além de um número relevante de encontros, congressos e
seminários realizados na área.
Baroni, Teixeira e Nobre são exemplos de autores que justificam a
importância de pesquisas com relação ao uso da História da Matemática em sala de
aula, pois
[...] o ensino da História da Matemática tem obtido reais avanços no âmbito das universidades, mas ainda são bastante tímidas as iniciativas ou o interesse em levar a História da Matemática a alunos de Ensino Fundamental e Médio (BARONI, TEIXEIRA e NOBRE, 2004, p.171).
Baroni e Nobre (1999) consideram que a História da Matemática não deve ser
usada apenas como elemento motivador ao desenvolvimento do conteúdo: “sua
amplitude extrapola o campo da motivação e engloba elementos cujas naturezas
estão voltadas a uma interligação entre o conteúdo e sua atividade educacional”
(p.132).
Nobre (1996) atenta para o fato que muitos estudos matemáticos são
conduzidos como se fossem de fácil compreensão, de forma natural e apresentados
como privados de erros e dificuldades. Nessa percepção, o autor aponta a
necessidade de o professor atentar que a forma acabada na qual hoje se encontra o
conceito matemático, oculta alterações sofridas ao longo de sua História e que isso
deve ser levado em conta na elaboração de atividades para aprendizagem, já que a
forma como um assunto é abordado intervém na sua compreensão. Nesse sentido,
esta investigação comunga com as ideias de Nobre (1996), pois acreditamos que
24
uma abordagem didática por meio da História da Matemática pode auxiliar na
compreensão de conceitos matemáticos.
Para Miguel (1997) deve-se realizar uma reconstituição dos contextos
epistemológicos, psicológicos, sociopolítico, e cultural e não apenas dos resultados
matemáticos. Dessa forma, os alunos atentariam onde e como esses resultados
foram elaborados, colaborando para a determinação das relações que a Matemática
consegue criar com a sociedade em geral, com as distintas atividades teóricas
específicas e com as ações produtivas. O autor também considera que a Matemática
vista nos currículos oficiais e nos manuais didáticos, apresenta os conteúdos como
reprodução de resultados sem contextualização. Para tanto, o professor deve
apresentar a História da Matemática em sala de aula como uma criação humana,
induzindo os alunos a estudá-la como fruto da necessidade do homem. Dessa
maneira, o conteúdo articulado à História pode estimular o interesse nos alunos.
Também considera que a História pode apresentar o ensino e a aprendizagem da
Matemática da Educação Básica, por intermédio da compreensão e da significação,
proporcionando ao aluno compreender também que o conhecimento matemático é
produzido historicamente.
Neste sentindo, Radford (2011) considera que a construção histórica do
conhecimento matemático é uma das abordagens atuais resultantes de estudos de
Educação Matemática. Para o autor, a investigação epistemológica histórica ajuda a
compreender melhor as dificuldades cognitivas dos alunos, assim como analisar de
maneira adequada os erros e concepções incorretas que aparecem quando
aprendem conteúdos específicos da Matemática, além disso, a tomar decisões
baseadas no conhecimento que está sendo ensinado; de modo especial, tal
abordagem pode possibilitar o surgimento de novos meios de estruturar e vincular
este conhecimento na sala de aula. O autor ainda considera que os resultados da
investigação epistemológica didático-histórico podem favorecer em novas maneiras
de pesquisa didática, proporcionando um entendimento importante quanto aos
conceitos incluídos nos currículos atuais, destacando que a pesquisa histórica pode
exercer papel importante em programas de formação inicial e continuada de
professores. Praticamente, na maioria das vezes, os professores possuem uma
25
concepção sob o conteúdo matemático que eles ensinam procedente da formulação
matemática contemporânea do conteúdo analisado. Contudo, essa formulação
contemporânea resulta de um longo caminho de mudanças e transformações
conceituais que nem sempre é o melhor ponto de partida para os alunos. Porém, na
ausência de outras possibilidades, a formulação contemporânea torna-se sua única
opção de conteúdo a ser ensinado, em sua organização e desenvolvimento com
outros conhecimentos.
Conforme D’Ambrosio (1996) a História da Matemática no ensino deve ser
analisada, sobretudo especialmente pelo seu valor de motivação para a Matemática.
Devem-se realizar atividades interessantes que despertem a curiosidade, assim
motivando alguns alunos. Ainda segundo o autor, as atividades não devem dar a
impressão de um desfilar de nomes, datas, resultados, casos, fatos, que se está
ensinando a origem de resultados e teorias matemáticas. Sabemos que as
necessidades e as ideias vão se organizando ao longo da História, em tempos e
lugares difíceis de serem localizados. Com o tempo as ideias vão se organizando, e
tomando corpo, e sendo identificadas, a partir daí entram para a “História”, mas não
nascem assim. Também considera que a História da Matemática ajuda a definir o
que se entende por Matemática. Ensinar a Matemática pesquisando a sua História é
abordá-la como uma apresentação cultural.
Uma percepção da história da matemática é essencial em qualquer discussão sobre a matemática e o seu ensino. Ter uma ideia, embora imprecisa e incompleta, sobre por que e quando se resolveu levar o ensino da matemática à importância que tem hoje são elementos fundamentais para se fazer qualquer proposta de inovação em educação matemática e educação em geral [...] (D’AMBROSIO, 1996, p. 29).
Desse modo, a História da Matemática e sua compreensão podem ser vistas
como essencial à Educação Matemática, pois
[...] não é necessário que o professor seja um especialista para introduzir História da Matemática em seus cursos. Se em algum tema o professor tem uma informação ou sabe de uma curiosidade histórica, deve compartilhar com os alunos. Se sobre outro tema ele não tem o que falar, não importa. Não é necessário desenvolver um currículo, linear e organizado, de História da Matemática. Basta colocar aqui e ali algumas reflexões. Isto pode gerar muito interesse nas aulas de Matemática. E isso pode ser feito sem que o professor tenha se especializado em História da Matemática (D’AMBROSIO, 1996, p. 13).
26
Bicudo (1999) considera que o estudo da História das aplicações da
Matemática e de sua utilização nos mais diversos campos da sociedade – para além
da História das grandes descobertas – pode ser de grande alcance tanto para a
elaboração dos currículos como para dar suporte à ação do professor na sala de
aula.
Ao longo dos últimos anos um dos possíveis e maiores problemas que o
ensino da Matemática vem apresentando parece estar relacionado ao fato de que a
maioria das pessoas, inclusive muitos professores de Matemática, apresentam um
entendimento de uma Matemática perfeita, pronta e acabada, sem levar em
consideração fatos históricos envolvidos no desenvolvimento da mesma. Segundo
Miguel e Miorin (2005):
Os defensores desse ponto de vista acreditam que a forma lógica e emplumada através da qual o conteúdo matemático é normalmente exposto ao aluno não reflete o modo como esse conhecimento foi historicamente produzido (MIGUEL e MIORIN, 2005, p. 52).
Esse pensamento equivocado da Matemática por parte de alguns professores
pode conduzir a uma mistificação do conhecimento matemático e da própria
Matemática, afetando de maneira direta a formação de seus alunos. Nesse sentido a
História da Matemática pode contribuir para minimizar esse equivoco
proporcionando ao professor o conhecimento de uma Matemática que evoluiu ao
longo do tempo.
Para Mendes (2001) este problema está relacionado à maneira como os livros
didáticos apresentam as referências históricas ou como são abordados durante a
formação dos professores, pois estes não os levam a uma compreensão significativa
do assunto para que possam utilizá-los em sua prática.
A História da Matemática como metodologia de ensino permite trabalhar
questões em sala de aula relativas às necessidades humanas que proporcionaram a
origem dos conceitos matemáticos e as produções teóricas decorrentes das
abstrações e generalizações realizadas.
Abordando a História da construção de conceitos matemáticos podemos
propiciar uma visão da produção Matemática, revelando que a Matemática é um
27
produto da cultura humana, sendo possível perceber que essa ciência percorreu um
longo caminho na História da humanidade, passando por várias fases de seu
processo evolutivo.
Assim, a História da Matemática nos possibilita conhecer e entender como os
conceitos matemáticos foram construídos ao longo do tempo em diversas
civilizações. O mesmo ocorre com a formação de conceitos algébricos que podem
ser articulados à História, estimulando e motivando o interesse dos alunos em
conhecer como e por que determinados conceitos surgiram ao longo dos tempos,
suas necessidades, desafios e obstáculos enfrentados, estimulando o espírito crítico,
fazendo com que os mesmos compreendam melhor as teorias e os teoremas,
desenvolvidos na Matemática.
Antonio Miguel (1997) contribui com um importante aporte teórico,
apresentando potencialidades pedagógicas sobre os diversos modos de se utilizar a
História da Matemática, as quais utilizamos como fundamento principal para nossas
análises. Esse aporte teórico será discutido na próxima seção.
1.2 As potencialidades pedagógicas da História da Matemática
Antonio Miguel (1997) apresenta argumentos que apontam as potencialidades
pedagógicas da História da Matemática para o ensino e aprendizagem de conceitos
matemáticos. Com base na analise de literaturas pertinentes ao assunto, faz menção
a doze argumentos reforçadores para o uso da História da Matemática em sala de
aula, a saber:
1. A História como uma fonte de motivação para o ensino e aprendizagem da
Matemática;
2. A História como uma fonte de objetivos para o ensino da Matemática;
3. A História como uma fonte de métodos para o ensino e aprendizagem da
Matemática;
28
4. A História como uma fonte para seleção de problemas práticos, curiosos,
informativos e recreativos a serem incorporados nas aulas de Matemática;
5. A História como um instrumento que possibilita a desmistificação da
Matemática e a desalienação de seu ensino;
6. A História como um instrumento de formalização de conceitos matemáticos;
7. A História como um instrumento de promoção do pensamento
independente e crítico;
8. A História como um instrumento unificador dos vários campos da
Matemática;
9. A História como um instrumento promotor de atitudes e valores;
10. A História como um instrumento de conscientização epistemológica;
11. A História como um instrumento que pode promover a aprendizagem
significativa e compreensiva da Matemática;
12. A História como um instrumento que possibilita o resgate da identidade
cultural.
O primeiro argumento de Miguel (1993) refere-se à História como uma fonte
de motivação para o ensino e aprendizagem da Matemática, tendo como destaque
alguns matemáticos que recorrem a esse argumento para justificar o uso da História
da Matemática no processo ensino-aprendizagem da Matemática, sejam eles:
Simons (1923), Hassler (1929), Meserve (1980), Swetz (1989), entre outros. Os
seguidores desse ponto de vista consideram que o conhecimento histórico do
desenvolvimento da Matemática, despertaria a curiosidade do aluno quanto ao
conteúdo que está sendo ensinado. Os mais inocentes, chegam a conceder um
poder quase mágico à História, poder esse de modificar a conduta do aluno quanto à
Matemática. Miguel atenta para o fato de que se esse fosse o caso, o ensino da
própria História seria motivador, de modo que os professores de História não teriam
dificuldades em despertar o interesse de seus alunos e muito menos de fazê-los
compreender a sua importância, a sua natureza, bem como seus objetivos e
29
processos. Os autores que defendem esse ponto de vista, infelizmente possuem
uma perspectiva mecanicista da motivação. Entende-se que o argumento motivação
torna-se questionável quanto a sua justificativa para a integração da História no
ensino.
O segundo diz respeito a História como uma fonte de objetivos para o ensino
da Matemática, que tem como principal defensor o matemático Jones (1969), a
quem defende a utilização adequada da História, de maneira associada a um
conhecimento atualizado da Matemática e de suas utilizações, de modo que levem
os alunos a perceber alguns objetivos: a Matemática como criação humana; os
motivos tal quais as pessoas concebem a Matemática; as necessidades práticas,
sociais, etc, que estimulam o aprimoramento das ideias matemáticas; os contatos
existentes entre a Matemática e a filosofia, religião, lógica, etc; o interesse
completamente intelectual que pode levar ao desenvolvimento e ampliação de
conceitos e teorias; os conhecimentos que os matemáticos possuem do próprio
objeto matemático, os quais se alteram e se aprimoram ao longo do tempo; a
característica de uma estrutura, de uma axiomatização e de uma prova. É evidente,
que tais objetivos não podem ser todos alcançados segundo qualquer reconstituição
histórica das diversas noções e conceitos matemáticos, porém é na argumentação
dessa perspectiva que se mostra o poder da História para um ensino-aprendizagem
da Matemática com fundamento na compreensão e na significação.
O terceiro trata da História como uma fonte de métodos para o ensino e
aprendizagem da Matemática, que tem como defensores os que acreditam que
poderíamos encontrar contribuições na História da Matemática para escolhermos
procedimentos pedagogicamente apropriado e relevante que permeassem temas
tais como: resolução de equações e sistemas de equações, determinação de área
de um círculo, construção de polígonos regulares, etc. Esse ponto de vista já era
defendido pelo menos desde o século XVIII. Com o objetivo declarado de facilitar o
dever daqueles que deveriam começar no estudo da geometria, o matemático
francês Alexis Claude Clairaut, demonstrou essa preocupação em sua obra
“Eléments de Geometrie” publicada em 1741. Em sua obra Clairaut apresenta o
ensino da geometria com base na História, traçando caminhos semelhantes aquele
30
percorrido pela humanidade na aprendizagem das leis e conceitos matemáticos. No
século XX Felix Klein, matemático alemão, revela uma posição semelhante no
prefácio de seu livro “Elementary Mathematics from na Advanced Standpoint”
publicado em 1908 – onde declara:
[...] deu-me um prazer especial seguir o desenvolvimento histórico de várias teorias a fim de compreender as marcantes diferenças nos métodos de apresentação quando confrontados com os demais métodos presentes na instrução atual (KLEIN, 1945, prefácio, apud MIGUEL, 1992, pg. 79).
Klein revela ter se deixado levar por um gosto especial em confrontar o
método de produção das teorias matemáticas, o qual pode ser alcançado pela
análise e desenvolvimento histórico das mesmas. Destaca que a importância
pedagógica da História está vinculada à questão da escolha de métodos adequados
de ensino-aprendizagem dos conceitos matemáticos. Para ele apenas o método
histórico apresenta o potencial necessário para se alcançar o ideal pedagógico de
conduzir a juventude a pensar cientificamente, o que se refleti no objeto e no
objetivo de toda educação efetivamente científica.
Não podemos desconsiderar a concepção positivista da História, ainda hoje,
implícita a esse ponto de vista. Para Miguel seria mais coerente defender a
existência de diversas maneiras de se realizar a reconstituição histórica, todas com
base em vestígios históricos, do que histórias incertas ou de pouca credibilidade.
O quarto argumento refere-se à História como uma fonte para seleção de
problemas práticos, curiosos, informativos e recreativos a serem incorporados nas
aulas de Matemática. Esse ponto de vista traz a busca por métodos motivadores
para as aulas de Matemática por meio da História. Onde esses métodos são
entendidos de maneira simplesmente externa ao conteúdo do ensino, e de maneira
vinculada e produzida na prática intelectual da solução de um problema. O professor
Meserve (1980), da Universidade de Vermont, durante o 4º ICME (Congresso
Internacional de Educação Matemática) apresenta a importância da associação de
duas tendências em educação Matemática: a que coloca em destaque a
necessidade pedagógica da História da Matemática e a que vê a resolução de
problemas como foco didaticamente eficaz para a aprendizagem da Matemática. No
ponto de vista de Meserve a História da Matemática se faz útil, primeiramente, como
31
um auxílio para a compreensão de tópicos pertencentes ao currículo, Matemática
realizada a partir de métodos de resolução de problemas práticos. No 5º ICME,
surge a proposta de vincular a resolução de problemas com a História da
Matemática, propondo que a Matemática seja ensinada por meio de resolução de
problemas históricos. Swetz (1989) destaca que os problemas históricos motivam
porque: 1) permitem o entendimento e a contribuição de diversos conceitos que
estão sendo abordados; 2) transfere informação cultural e sociológica; revelam as
preocupações práticas ou teóricas das diversas culturas em diversos momentos
históricos; 3) consiste em meio de analisar a habilidade Matemática de nossos
ancestrais; 4) permite revelar a existência de uma comparação ou continuidade entre
concepções e métodos matemáticos do passado com o presente. Miguel destaca
que as mesmas criticas aplicadas à História como motivação aplicam-se a
vinculação da História e problema, pois essa vinculação não os coloca em grau de
vantagens que os demais, uma vez que o fato do problema ser motivador não
consisti em ele ser histórico ou não, mas sim no grau de desafio que esse problema
desperta no aprendiz.
O quinto argumento apresenta a História como um instrumento que possibilita
a desmistificação da Matemática e a desalienação de seu ensino. Um dos
defensores desse ponto de vista é o professor de Matemática e grande historiador
dessa ciência Morris Kline, que aponta para o fato de que o modo como
normalmente o conteúdo matemático é ensinado não revela o modo como esse
conceito foi historicamente produzido. Logo, convêm à História assegurar essa
conformidade desmistificando, deste modo, os cursos regulares de Matemática que
conduz uma falsa impressão de que a Matemática é coerente, que está pronta e
acabada, etc. Desse modo os cursos regulares de Matemática ocultam os
obstáculos dos processos criativos, as desilusões e o longo e trabalhoso caminho
que os matemáticos tiveram que percorrer para chegar a uma estrutura significativa.
O sexto argumento revela a História como um instrumento de formalização de
conceitos matemáticos. De acordo com Ferreira et al., (1992) a formalização é um
processo de traçar caminhos para se chegar a um determinado fim. Neste sentido,
segundo os autores, a História torna-se um recurso indispensável para a
32
formalização de conceitos, pois é no desenvolvimento histórico da Matemática que
percebemos as diferentes formalizações de um mesmo conceito. Comparado a uma
aprendizagem significativa, deseja-se que o estudante adquira uma visão dessas
diferentes formalizações (MIGUEL, 1997).
O sétimo argumento reporta-se à História como um instrumento de promoção
do pensamento independente e crítico. Quem defende esse argumento, segundo
Miguel (1997), considera que o objetivo pedagógico da História é uma reconstrução
racional da História da Matemática, ou seja, o puro jogo dialético das ideias apartado
da realidade social.
Porém, Miguel atenta para o fato de que essa reconstrução racional da
História da Matemática evidencia uma problematização, pois
Nela, as ideias, processos e métodos aparecem voluntariamente desligados do contexto social mais amplo de sua produção, fazendo com que tal contexto desempenhe um papel pouco significativo [se é que desempenha algum papel] para a constituição da destilação (MIGUEL, 1997, p. 85).
O autor acredita que o objetivo de formar cidadãos com base na construção
do pensamento independente e crítico, requer um entendimento de problematização
pedagógica do conhecimento matemático que não se limite apenas à questão lógica
e epistemológica da produção desse conhecimento.
O oitavo argumento de Miguel, aponta a História como um instrumento
unificador dos vários campos da Matemática. De acordo com os defensores desse
argumento, somente a História poderia fornecer uma visão globalizada da
Matemática por meio do relacionamento de seus variados campos. Morris Kline
(1908-1992), afirma que:
Os cursos usuais apresentam segmentos da matemática que parecem ter pouca relação entre si. A história pode fornecer uma perspectiva para a matéria como um todo e relacionar os conteúdos dos cursos não apenas uns com os outros como também com o corpo, com o núcleo principal do pensamento matemático (KLINE, apud MIGUEL, 1997, p. 88).
Nesse sentido, Kline condiciona a relevância da existência desses campos a
uma possível contribuição que eles possam trazer para a conservação da unidade
interna da Matemática.
33
Ainda de acordo com Kline (apud MIGUEL, 1997), o modo de contribuir para a
manutenção da unidade interna do conhecimento matemático, seria tomar ciência
das conquistas realizadas no passado, das tradições e dos objetivos da Matemática,
de maneira a conduzir a pesquisa nesse âmbito a caminhos promissores.
O nono argumento refere-se à História como instrumento promotor de atitudes
e valores. Miguel (1997) menciona novamente as ideias de Kline para justificar essa
potencialidade da História. Kline defende a importância de se eliminar a divergência
entre o modo como a Matemática é apresentada ao estudante e o modo como ela
foi, na verdade, produzida. Nesse sentido, não se deve esconder do aluno os erros,
as lacunas, e as incertezas que os grandes matemáticos enfrentaram na produção
do conhecimento, uma vez que, a exposição das dificuldades enfrentadas pelos
matemáticos, em seu ofício, pode promover o desenvolvimento de atitudes positivas
nos alunos, tais como aquelas presentes na essência da formação e da prática do
pensamento científico, coragem para enfrentar problemas e persistência na busca
de soluções.
O décimo argumento, intitulado A História constitui-se num instrumento de
conscientização epistemológica, foi inspirado na obra “Science et Methode” de
autoria do matemático e filósofo Henri Poincaré (1854 – 1912), especificamente, no
capítulo intitulado “Les Definitions Mathematiqes et L’enseignement”. Nele, Poincaré
apresenta como questão central: “por que as crianças frequentemente não
conseguem compreender aquelas definições que satisfazem aos matemáticos?”
(MIGUEL, 1997, p.89)
Para responder tal questionamento, Poincaré discute o papel do rigor e da
intuição no ensino da Matemática. Para ele, recorrer à História é mais uma ajuda
que o professor deve considerar, devido à imaturidade psicológica do aluno. Nesse
aspecto, segundo Poincaré, é praticamente inevitável que o professor não siga os
padrões atualizados de rigor, para fazê-lo no momento oportuno. Mais tarde, quando
o pensamento do aluno estiver acostumado com o raciocínio matemático, as dúvidas
surgirão naturalmente e a demonstração será bem vinda, de modo que “não é
suficiente duvidar de tudo, é preciso saber porque se duvida” (apud Miguel, 1997, p.
89).
34
Essa afirmação revela uma preocupação de Poincaré em não preocupar a
mente do aluno com os padrões atualizados de rigor a todo custo, mas em ensinar a
Matemática, recorrendo a procedimentos que estimulem a formação da consciência
da necessidade de se sujeitar a esses padrões. Esse papel pedagógico e
conscientizador são de incumbência da História, ou seja, a obrigação didática da
História é psicológica, porém o objetivo a ser alcançado é exclusivamente
epistemológico.
O décimo primeiro argumento nos aponta a História como instrumento que
pode promover a aprendizagem significativa e compreensiva da Matemática. Para
esse argumento Miguel (1997) fez uso do ponto de vista de Zúñiga (1988):
Não se trata de fazer uma referencia histórica de duas linhas ao iniciar um capítulo, mas de realmente usar a ordem histórica da construção matemática para facilitar uma melhor assimilação durante a reconstrução teórica. Isso é central (apud, MIGUEL, 1997, p. 90).
Não se deve, entretanto, efetuar a simples reprodução da ordem histórica dos
conceitos matemáticos, fazendo uma adaptação do estado atual do conhecimento. A
função pedagógica da História se dá a partir de um ensino da Matemática
fundamentado na compreensão e na significação, que precisa ser realizada de modo
a considerar os questionamentos dos alunos, justificando os motivos pelos quais se
deve aceitar certos fatos, raciocínios e procedimentos.
O décimo segundo argumento de Miguel (1997) denomina-se a História como
instrumento que possibilita o resgate da identidade cultural, inspirados em Gerdes
(1953-2014), apesar de que as potencialidades pedagógicas da História não foram
explicitamente discutidas por esse autor.
Segundo Miguel (1997), a principal preocupação de Gerdes está focada no
processo de reconstrução a ser representado pela Matemática no sistema
educacional moçambicano, após Portugal ter abolido o regime colonial naquele país.
A importância que Gerdes atribui ao resgate cultural está relacionada ao fato
de se incorporar as tradições matemáticas no currículo, assim reconhecendo o
caráter matemático das tradições por meio de um desenvolvimento do que se
entende por Matemática.
35
A esse respeito Gerdes faz menção à necessidade de se revelar o que
chama de Matemática oprimida, ou seja, reconstruir os elementos matemáticos que
fazem parte do dia a dia de uma população e não são devidamente reconhecidos
como matemáticos pelo pensamento dominante.
Nesse sentido, Miguel conclui que “apenas a história produzida com tais
objetivos possuiria um valor pedagógico” (1997, p. 94), pois para Gerdes somente
uma História cultural da Matemática, teria condições de recuperar a individualidade
da cultura africana, proporcionando ao aluno a autoconfiança social e cultural, fator
considerado por ele, indispensável para ativar a imaginação.
Os doze argumentos arrolados por Miguel (1997) quanto às potencialidades
pedagógicas da História da Matemática, foram constatados durante as atividades
desenvolvidas sobre a História das equações de primeiro e segundo grau no
“OBEDUC Práticas”. No capítulo 3, que descreve e analisa as atividades
desenvolvidas na experiência formativa, fazemos referência aos argumentos
descritos neste tópico.
1.3 Procedimentos metodológicos
Para a realização dessa pesquisa elaboramos e desenvolvemos uma
experiência formativa por meio de um curso denominado por: “Problemas históricos
nas três fases de desenvolvimento da álgebra”, o qual foi destinado a professores da
rede pública de ensino do estado de São Paulo, participantes do projeto “OBEDUC –
Práticas”.
A experiência formativa teve por objetivo apresentar aos professores as fases
de desenvolvimento da álgebra tomando como base as equações algébricas e
refletir junto aos professores sobre o uso da História da Matemática em sala de aula
por meio de métodos e procedimentos de problemas históricos.
Assim, este estudo, notadamente de cunho qualitativo, investiga o uso da
História da Matemática na sala de aula, em conformidade com a descrição
elaborada por Bogdan e Biklen (1994). Para esses autores, são características
36
básicas de uma pesquisa qualitativa:
O ambiente natural como sua fonte direta de dados e o pesquisador
como instrumento fundamental. Os problemas são estudados no
ambiente em que ocorrem, naturalmente, sem qualquer manipulação
intencional do pesquisador;
Os dados coletados são principalmente descritivos. Todos os dados da
realidade são importantes. Nada é trivial, pois tudo é considerado
essencial para melhor compreensão;
Preocupação maior com o processo do que com o resultado ou
produto;
A análise dos dados encaminha-se para um processo indutivo;
O “significado” que os participantes dão às coisas e à sua vida são
focos de atenção especial.
Além disso, os pesquisadores qualitativos criam “estratégias e procedimentos
que lhes permitam tomar em considerações as experiências do ponto de vista do
informador” (BOGDAN E BIKLEN, 1994, p. 51).
Segundo Fiorentini e Lorenzato (2009) “o questionário é um dos instrumentos
mais tradicionais de coleta de informações” (p. 116). Sendo assim, para a coleta de
dados, criamos dois questionários, um para ser aplicado na fase inicial das
atividades e outro ao final delas.
O questionário inicial constou de nove questões fechadas, uma questão mista
e seis questões abertas (Apêndice I), e foram aplicados em quinze professores
presentes no primeiro encontro. Cabe lembrar que neste trabalho, entendemos como
questões fechadas aquelas definidas por Fiorentini e Lorenzato (2009), como as que
apresentam alternativas para respostas, sem possibilidade de se obter qualquer
resposta fora do assunto tratado. As abertas, por sua vez, não apresentam
alternativas para respostas e possibilitam ao pesquisador obter informações não
previstas por ele ou pela literatura. Já as mistas são aquelas que combinam
questões fechadas e abertas.
37
Das dezesseis questões que compunham o questionário inicial dez delas
tinham como finalidade conhecer o perfil dos professores, sujeitos da pesquisa e as
outras seis questões o intuito de verificar qual a opinião desses professores sobre o
conhecimento algébrico e sobre o uso da História da Matemática como recurso
metodológico.
O questionário final (Apêndice V) constou de cinco questões abertas, com a
finalidade de verificar a opinião dos professores participantes quanto ao conteúdo
apresentado nos três encontros.
Todos os encontros foram registrados em áudio e vídeo complementando as
anotações do diário de bordo realizadas durante o processo formativo. Para
Fiorentini e Lorenzato (2009), o diário de bordo é um instrumento de coleta
fundamental para o pesquisador. “É nele que o pesquisador registra observações de
fenômenos, faz descrições de pessoas e cenários, descreve episódios ou retrata
diálogos” (p. 119). Nesta pesquisa utilizamos o diário de bordo para anotar as
impressões e informações dos encontros da experiência formativa. Posteriormente,
esses registros foram transcritos, com a intenção de subsidiar as análises
realizadas. Cabe informar que os participantes concordaram em participar das
atividades das gravações e fotos conforme consta no Termo de Consentimento Livre
e Esclarecido. Além disso, o projeto inicial que originou essa pesquisa foi aprovado
pelo Comitê de Ética na Pesquisa (CEP), com o Parecer CEP 495.973.
As atividades propostas foram realizadas em três encontros, nas
dependências da Diretoria de Ensino Norte 2, no período matutino, com início às
8h30m e término às 12h30m. No total, participaram dezesseis professores do Ensino
Fundamental Anos Finais e Ensino Médio da rede pública.
No primeiro encontro, após as devidas apresentações e explicações quanto à
proposta da experiência formativa, aplicamos o primeiro questionário com o intuito
de verificar como os professores participantes pensam e fazem uso da História da
Matemática em suas aulas. Por meio desse questionário, tivemos condições de
obter informações a respeito da vida docente desses professores, como sua
formação, graduação e tempo de atuação na docência, bem como sobre a
38
metodologia utilizada para ensinar conceitos algébricos e em seguida realizamos a
apresentação da primeira fase de desenvolvimento da álgebra. Nesta primeira fase
abordamos os métodos e procedimentos dos egípcios e babilônios para resolverem
equações do primeiro e segundo grau.
No segundo encontro, apresentamos a segunda fase de desenvolvimento da
álgebra, referindo-se as contribuições do grego Diofanto de Alexandria e o árabe Al-
Khwarizmi, bem como os métodos e procedimentos por eles utilizados na resolução
de equações do segundo grau.
O terceiro e último encontro, relacionado à terceira fase de desenvolvimento
da álgebra, contamos com as contribuições do matemático francês Viète, para a
resolução de equações do segundo grau. No encerramento desse encontro,
aplicamos o questionário final com o intuito de nos informarmos quanto à opinião dos
participantes a respeito do que lhe fora apresentado nos três encontros.
Em todos os encontros os professores contaram com o apoio de um roteiro de
atividades elaborado pela autora e orientadora, contendo problemas históricos
referentes a cada fase de desenvolvimento da álgebra, conforme consta nos
Apêndices II, III e IV.
39
CAPÍTULO 2
O DESENVOLVIMENTO HISTÓRICO DA ÁLGEBRA
Para melhor compreender a importância desse ramo da Matemática, é
interessante fazer uma breve retrospectiva histórica, destacando seus avanços ao
longo dos séculos.
Em 1842, o escritor Nesselmann classifica o desenvolvimento histórico da
álgebra em três fases: retórica, sincopada e simbólica. É por meio dessa
classificação que será feita esta retrospectiva.
A primeira fase, da álgebra retórica, é, exclusivamente, de palavras da
linguagem geral, ou seja, sem símbolos. Surgiu nas primeiras civilizações - 1700 a.C -
com os egípcios e babilônios, chegando até os gregos, aproximadamente 250 d. C.
O conhecimento, hoje existente, da Matemática do antigo Egito, deve-se,
grande parte, à descoberta dos papiros3. Sem essa descoberta não seria possível
conhecer a Matemática dessa civilização, bem como a "álgebra" por eles utilizada.
Há um limite para a quantidade de informação matemática que se pode retirar de calendários e pedras tumulares. As idéias sobre a contribuição egípcia seriam muito imprecisas a se depender, somente, de material de origem cerimonial e astronômica. [...] Felizmente temos outras fontes de informação. Um certo número de papiros egípcios de algum modo resistiu ao desgaste do tempo por mais de três e meio milênios (BOYER, 2010, p. 8).
O primeiro papiro a ser descoberto foi o de Ahmes ou Rhind em 1858, pelo
antiquário escocês Alexander Henry Rhind na cidade de Luxor, Egito. O segundo foi
de Golonishev ou de Moscou, comprado também no Egito, em 1893. Neles é
possível perceber que os egípcios estavam na fase retórica. Além dos dois papiros
mencionados, outros foram encontrados e tratavam de problemas diversos que
3 Papiro é uma planta aquática que era encontrada as margens do rio Nilo. Os egípcios
desenvolveram a técnica de fabricar folhas de papiro, que era utilizado pelos escribas para escreverem textos e registrar as contas do império. (http://www.egipto.com.br/papiro/acesso).
40
incluíam equações de primeiro e segundo graus.
Figura 1: Papiros de Rhind e Moscou
Fontes: http://www.matematica.br/historia/prhind.html;
http://www.matematica.br/historia/pmoscou.html
Os Babilônios, por sua vez, possuíam conhecimento numérico apropriado das
tabletas sumerianas de argila cozida de tamanho variável, datadas da primeira
metade do terceiro milênio a.C. Segundo Eves (2004) descobriu-se cerca de meio
milhão de tabletas, sendo que 400 foram identificadas como estritamente
matemáticas. Esses documentos contribuíram para a evolução do conhecimento
matemático dessa civilização.
Figura 2: Tableta de argila
Fonte: www.math.ubc.ca/~cass/courses/m446-03/pl322.html
41
Os babilônicos eram habilidosos com os cálculos e muito bons algebristas.
Por meio de procedimentos verbais desenvolveram métodos algorítmicos, como a
extração da raiz quadrada.
Trataram de maneira eficaz as equações quadráticas em antigos problemas e
descobriram soluções de equações cúbicas puras (x³ = a) e cúbicas mistas (x³ + x² =
a), utilizando-se de tabelas de quadrados e cubos.
Segundo Victor Katz (1993, p. 14), há poucas equações lineares nos textos
Babilônios, por outro lado, os sistemas lineares com duas incógnitas são mais
detalhados, revelando o entendimento do problema da linearidade nessa civilização.
O problema a seguir exemplifica tais conhecimentos: “Um quarto da largura mais o
comprimento é igual 7 mãos. O comprimento junto com a largura são 10 mãos. Qual
é o comprimento e qual a largura?” (GUELLI, 1992, p.37).
A álgebra grega, sob a influência dos pitagóricos e de Euclides, foi
desenvolvida num contexto fortemente geométrico. Por esta e outras razões
históricas, particularmente a ocupação romana, manteve-se estacionada por mais de
300 anos.
A segunda fase refere-se à álgebra sincopada. Impulsionada pelo grego
Diofanto, 250 d.C, que introduz o estilo sincopado de escrever equações, a
característica geral dos textos permanece verbal, mas nota-se a introdução de
símbolos, que servem apenas como abreviações, sem uma função independente.
As contribuições de Diofanto foram verdadeiras riquezas para a Matemática.
Uma de suas principais contribuições à matemática foi a sincopação da álgebra grega. “[...] Diofanto de Alexandria teve uma importância enorme para o desenvolvimento da álgebra e uma grande influência sobre os europeus que posteriormente se dedicaram à teoria dos números” (EVES, 2004, p. 206-207).
Os hindus também adotaram o mesmo estilo tendo como destaque os nomes
dos algebristas, Brahmagupta viveu em 628 na Índia Central e Bhaskara (1114 a
cerca de 1185) considerado o matemático mais importante do século XII. Ambos
possuíam um estilo sincopado na resolução de equações de soluções
indeterminadas, o qual, muitas vezes, se mostrava superior ao de Diofanto.
42
A álgebra hindu é reconhecida em seu desenvolvimento da análise das
equações de soluções indeterminadas. Brahmagupta fez várias contribuições nesta
área. Considerado o matemático hindu de grande destaque do século VII,
apresentou todas as soluções inteiras da equação linear diofantina, pois nem o
próprio Diofanto havia se preocupado em oferecer tal solução, contentando-se em
dar uma solução particular de uma equação indeterminada. Sua obra Brahmasphuta
Siddhanta, que tratava de um trabalho de astronomia em vinte e um capítulos,
apresenta pela primeira vez a aritmética sistematizada dos números negativos e do
zero (BOYER, 2010).
As contribuições de Brahmagupta à álgebra são de ordem mais alta que suas regras de mensuração, pois aqui achamos soluções gerais de equações quadráticas, inclusive duas raízes mesmo quando uma delas é negativa (BOYER, 2010,p.150).
Na segunda metade da Idade Média, a Índia produziu muitos matemáticos,
entre eles Bhaskara considerado o último matemático medieval importante da Índia.
Ele preencheu algumas lacunas na obra de Brahmagupta como o problema da
divisão por zero. Também se destacou por suas obras Lilavati, o mais conhecido, e
Vija-Ganita, ambas contendo diversos problemas sobre equações lineares e
quadráticas. Exemplificamos com o problema do “bambu quebrado”, que era
conhecido na China e também foi considerado por Brahmagupta, aparece na obra
de Bhaskara: “se um bambu de 32 cúbitos de altura é quebrado pelo vento de modo
que a ponta encontra o chão a 16 cúbitos da base a que altura a partir do chão ele
foi quebrado?” (BOYER, 2010, p. 152).
Eves (2004, p.264) menciona que: "A álgebra árabe, salvo no que se refere
aos árabes ocidentais dos últimos tempos, era retórica". Embora estivessem na fase
sincopada, a obra de destaque dessa civilização foi escrita no estilo totalmente
retórico pelo astrônomo árabe Mohammed ibn-Musa Al-Khwarizmi que morreu algum
tempo antes de 850 d.C. "Mesmo os números são escritos em palavras em vez de
símbolos!" afirma Boyer (2010, p. 156).
Foi por volta do ano de 825 que a palavra álgebra foi cunhada. Originou-se da
tradução latina de al-jabr, usada no título do livro "Hisab al-jabr w'al-muqabalah",
escrito em Bagdá, tratava-se dos procedimentos de “restauração” e de “redução”,
43
composto por três partes: álgebra, geometria e questões de heranças. Por
restauração atribui-se a transposição de termos de um lado para o outro da equação
e por redução a anulação de termos semelhantes em lados opostos da equação. “A
influência árabe na Espanha muito depois do tempo de al-Khowarizmi pode ser vista
no Dom Quixote, onde a palavra algebrista é usada para indicar um “restaurador” de
ossos” (BOYER, 2010, p.156).
As contribuições de Al-Khwarizmi foram muito importantes para a época, tanto
que, hoje, quando o assunto é a História da Álgebra, de imediato, seu nome é
mencionado. O professor e educador matemático Julio Cesar de Mello e Souza
(1875-1984), cujo pseudônimo é Malba Tahan, homenageou Al- Khwarizmi fundando
e dirigindo uma revista de recreações matemáticas, curiosidades, história,
paradoxos, problemas etc, intitulada “Al-Kwarizmi”4, editada no Rio de Janeiro em
1946.
Alguns livros e autores até mencionam o árabe como sendo o pai da álgebra
e esse mérito, segundo Boyer (2010), pode ser atribuído a ele devido o fato de sua
exposição ser tão sistemática que seus leitores não devem ter tido dificuldade para
aprender as soluções.
Nesse sentido, pois, al-Khowarizmi merece ser chamado ‘o pai da álgebra’. No entanto, nenhum ramo da matemática aparece já maduro, e não podemos deixar de perguntar de onde veio a inspiração para a álgebra árabe (BOYER, 2010, p. 157).
Boyer (2010) não oferece resposta categórica para essa pergunta, mas
argumenta que a obra do árabe lembra a Matemática da Babilônia antiga e da Índia
medieval.
Já Lauand (2005) menciona que a Álgebra ajuda a compreender muitos
aspectos culturais, pois surge como “ciência árabe”; destaca que isso ocorre num
sentido muito mais relevante do que a simples coincidência de ter sido criada por um
árabe. Para o autor o fator histórico definitivo para o surgimento da Álgebra como
ciência árabe foi o alcorão. Desta forma, a Álgebra é criada para resolver questões
4 Sobre Malba Tahan e a revista Al-Kwarizmi ver a tese “A sombra do arco-íris: um estudo histórico-mítico do discurso pedagógico de Malba Tahan” de autoria de Coppe (2007).
44
de herança, ou seja, problemas do cotidiano árabe, que além de ser difícil em
qualquer sociedade, era também para o Islã, um sério problema de consciência
religiosa, isto é, a Álgebra surge para equacionar os versículos do alcorão.
A incógnita nas equações algébricas era denominada pelos matemáticos
muçulmanos como xay (coisa). Omar Khayyam, nascido na província de Khorassan
por volta de 1044 e falecido em 1123 nessa mesma localidade, na introdução de sua
obra intitulada “Tratado sobre demonstrações de problemas de Álgebra”, comenta:
A álgebra é uma arte científica. Seu objeto são os números absolutos e as grandezas mensuráveis, as quais são desconhecidas, mas referem-se a qualquer coisa conhecida, de tal maneira que podem ser determinadas e a esta coisa conhecida se chega analisando as condições do problema; e nesta arte se buscam as relações que vinculam as grandezas dadas no problema com a incógnita, a qual da forma antes indicada constitui o objeto da álgebra. A perfeição desta arte consiste no conhecimento dos métodos matemáticos, com ajuda dos quais pode realizar-se a determinação mencionada, tanto das incógnitas numéricas como geométricas. A resolução algébrica, como é bem conhecida, se realiza somente mediante uma equação, ou seja, pela igualdade de umas potências com outras (GALERA, 2002, p. 80)
5.
Do mesmo modo como Al-Khwarizmi, Omar Khayyam tinha o conceito de
número como entidade oculta ou “coisa”. Um número como 2 ou 3 era considerado
como algo diferente de x ou x2 e a ideia de resolver uma equação algébrica era
somente considerada quando se tratava de algum problema bem específico, tal
como, por exemplo, encontrar um número cujo quadrado mais duas vezes o próprio
número é igual a 15 (LINTZ, 1999). Ao resolver essa equação por meio de regras
estabelecidas e encontrar o resultado 3 e -5, Khayyam somente considerava o
resultado positivo, uma vez que o termo “número” significava um “inteiro positivo
bem definido” (LINTZ, 1999, p. 458).
Em sua obra denominada “Álgebra” Omar Khayyam explica que a álgebra
trata da determinação de entidades desconhecidas, sejam elas números (inteiros ou
grandezas geométricas) ou números reais como se utiliza a nomenclatura atual.
Segundo interpreta Lintz, “a representação de magnitudes por segmentos era
sempre entendida com a medida do segmento com certa unidade, e não como o
segmento mesmo, como era peculiar ao pensamento grego” [Grifos do autor]
5 Tradução nossa.
45
(LINTZ, 1999, p. 460).
Khayyam comenta que a equação x2 = 2 não tem solução enquanto número
inteiro e, nesse sentido, deve-se procurar uma solução geométrica, ou seja, a
construção de um segmento cuja medida é tal que seu quadrado é igual a 2.
Khayyam também fez um estudo sistemático da resolução das equações algébricas,
baseada na noção de medida e não em conceitos puramente geométricos
(LINTZ,1999).
Omar Khayyam foi autor de trabalhos de álgebra além de inúmeras
contribuições na astronomia e na poesia. Alcançou um nível muito superior à
maioria de seus predecessores árabes e é considerado um dos grandes
matemáticos do mundo árabe (GALERA, 2002).
Na terceira fase, simbólica, os símbolos não são apenas abreviações, sendo
possível operar, diretamente, com eles, sem preocupações ontológicas.
Essa fase está relacionada ao trabalho de François Viète, que viveu de 1540
a 1603, considerado o maior matemático francês do Século XVI.
Conforme destaca Boyer,
... sem dúvida foi à álgebra que Viète deu suas mais importantes contribuições, pois foi aqui que chegou mais perto das idéias modernas [...] A álgebra de Viète merece atenção pela generalidade de sua expressão (2010, p. 208-209).
As idéias de Viète abriram caminho para a álgebra simbólica, porém, não
foram suficientes para uma mudança definitiva de fase. Segundo Boyer (2010), a
álgebra de Viète
... é fundamentalmente sincopada e não simbólica, pois embora ele sensatamente adotasse os símbolos germânicos para adição e subtração, e ainda mais sensatamente usasse símbolos diferentes para parâmetros e incógnitas, o resto da álgebra consistia de palavras e abreviações (p.208).
A álgebra tornou-se completamente simbólica no Século XVII, com o filósofo
René Descartes (1596-1650). Descartes tinha como desafio transformar os
problemas geométricos em equações, livrando a geometria do inútil recurso, ou seja,
as figuras, algo que, no seu entender, apenas cansava a imaginação. Tinha o intuito
46
de atribuir significado às operações algébricas, interpretando-as, geometricamente,
levando a tradução dos problemas geométricos para a linguagem algébrica.
Descartes, ainda, não aceitava a concepção da geometria como ciência
dedutiva que provinha dos axiomas e dos teoremas. Seu objetivo era elaborar um
método universalmente válido para a resolução de problemas geométricos, ou seja,
construí-los e depois analisá-los com os meios fornecidos pela álgebra.
Dessa forma, sua maior contribuição para a Matemática foi à Geometria
Analítica, passo importante para a álgebra simbólica.
Descartes ia mais longe do qualquer de seus predecessores, em sua álgebra simbólica e na interpretação geométrica da álgebra. A álgebra formal vinha progredindo, constantemente, desde a Renascença, e atingiu seu auge na “La géométrie de Descartes”, o texto matemático mais antigo que um estudante de hoje possa seguir sem encontrar dificuldade com a notação. (BOYER, 2010, p. 232).
No Século XVIII, vêm as idéias de D'Alembert (1717-1783), que destacam o
valor da álgebra, bem como a sua importância junto à Matemática.
Para D'Alembert (apud GOMES, 2003), a álgebra era uma ciência puramente
intelectual e abstrata, merecendo um lugar privilegiado entre as ciências, pois, para
ele,
... os princípios da álgebra não carregam senão noções, puramente intelectuais, sobre idéias que nós mesmo formamos por abstração, simplificando e generalizando idéias primeiras; assim, esses princípios não contêm propriamente senão aquilo que nós nele colocamos, e aquilo que há de mais simples em nossas percepções; eles são, de alguma maneira, nossa obra - como podem, portanto, deixar ainda alguma coisa a desejar em relação à evidência? (p.355).
Segundo Gomes (2003), D'Alembert enfatiza em seus textos a conceituação
generalizadora da álgebra e a percebe como ampla, o suficiente para abrigar
diferentes facetas desse campo da Matemática.
Michel Paty (2005) conta que D'Alembert concebia a Matemática como uma
língua. Descartes e Newton já tinham destronado a geometria pura em favor das
expressões analíticas, por serem simples e de fácil aplicação.
O aparecimento da geometria analítica provocou a preferência à relação, em
detrimento da forma, e introduziu a álgebra e a análise como quadros de referência.
47
A análise transformou-se com a emergência do cálculo diferencial e integral, e a
álgebra assumiu papel de identidade fundamental na linguagem Matemática. Esta
seguiu sua sintaxe própria de uma língua bem feita.
A álgebra participa dessa identidade como língua, comportando-se não só
como sintaxe (símbolos), mas, também, como semântica (significação).
A álgebra tornou-se superior à geometria. Os caracteres algébricos eram, e
são, especialmente, adequados para as representações matemáticas. Além de
resolverem questões numéricas, puderam ser aplicados, proveitosamente, nas
questões geométricas.
Essa relevância da álgebra repercutiu na algebrização dos conceitos
matemáticos. Atualmente, diante de um processo histórico-cultural, tais conceitos,
embora formados retoricamente, passam a ser simbólicos e permitem sua
operacionalização. Completa-se o ciclo das três fases de Nesselmann.
Quase ao final da terceira fase, e após quarenta anos da publicação da
geometria analítica de Descartes, Jean Prestet (1648-1691) coloca a álgebra no livro
didático de Matemática. Sua ação é citada por Schubring (2003), com a menção da
abertura de seu livro considerando a nova língua essencial para as relações
matemáticas:
a álgebra era mais geral, ao passo que a geometria era um ramo aplicado da matemática. Isso também explica o título do livro: como a álgebra fornece a base para toda a matemática, um livro didático de álgebra é chamado corretamente de elementos de matemática (PRESTET 1675, apud SCHUBRING, 2003, p. 51).
Com esse breve relato histórico sobre a álgebra, é possível perceber o quanto
foi difícil chegar às notações algébricas encontradas hoje. Todo o desenvolvimento
da álgebra, até a sua fase simbólica atual, demorou, aproximadamente, 3000 anos.
Especificamente sobre álgebra simbólica, são apenas 500 anos de uso.
Dessa forma, o interesse é investigar a formação dos conceitos,
proporcionando uma visão da origem, do desenvolvimento histórico e do
pensamento algébrico na Matemática escolar, pois “conhecer a história do
desenvolvimento da matemática nos permite conhecer seu objeto, bem como
48
compreender o lugar dessa ciência na atividade produtiva e social dos homens”.
(SOUSA, 2004, p. 77).
2.1 História das equações: fases retórica, sincopada e simbólica
“Qualquer problema que possa ser solucionado através dos números certamente será tratado, direta ou indiretamente, por
meio de equações.” GARBI, 2007.
As equações estão presentes em nosso dia a dia por toda parte, muitas vezes
sem nos darmos conta de que estamos lidando com elas. O verbo equacionar se faz
presente sempre que precisamos encontrar alguma coisa que não conhecemos.
Assim como nos tempos atuais, na antiguidade as equações também tiveram
papel decisivo em grandes momentos da História do desenvolvimento da
Matemática, sendo consideradas, por Baumgart (1992), a melhor tradução para o
termo “Álgebra”, ou seja, “a ciência das equações”.
Um breve relato histórico pode nos ajudar a compreender melhor a
importância desse conteúdo dentro da Matemática.
Segundo Boyer (2010): “Um certo número de papiros egípcios de algum modo
resistiu ao desgaste do tempo por mais de três e meio milênios” (p.8). Dentre eles,
destacamos o Papiro de Ahmes ou Rhind, que contém 85 problemas copiados em
escrita hierática6 pelo escriba Ahmes por volta de 1650 a.C. Trata-se do mais
extenso documento matemático do antigo Egito e que se associa às primeiras
evidências do uso de equações. Além dele, o Papiro de Moscou ou Golenischev,
onde constam 25 problemas matemáticos escritos aproximadamente em 1890 a.C.
Segundo EVES (2004), os 110 problemas dos papiros de Rhind e Moscou
são numéricos e grande parte apresenta sua origem prática com questões
alimentícias, como o pão, a cerveja, balanceamento de rações e armazenamento de
grãos. A resolução para muitos desses problemas não precisava mais do que uma
6 Escrita hierática diz respeito a um sistema de escrita egípcio organizada em formato cursivo e usada
para fins comerciais (BRASIL ESCOLA, 2015).
49
simples equação linear, esse método ficou conhecido mais tarde na Europa como
regra da falsa posição e posteriormente como Método de Horner, pois os egípcios
não conheciam a simbologia algébrica moderna.
Assim, para resolver x + x/7 = 24 assume-se um valor conveniente para x, digamos x = 7. Então x + x/7 = 8, em vez de 24. Como 8 deve se multiplicado por 3 para se obter 24, o valor correto de x deve ser 3(7) ou 21. (EVES, 2004, p. 73).
O método da falsa posição inicia-se com um palpite falso, uma aproximação
ou “chute”, para se chegar ao resultado correto. Usado em diversos momentos da
História, o método pode fornecer uma maneira de resolver equações
aritmeticamente, sem utilizar os procedimentos algébricos.
Tomemos como exemplo o problema 25 do papiro de Rhind, que pertencia ao
grupo de problemas de aha, onde “aha” significa número ou quantidade, ou seja,
problemas onde era necessário encontrar um valor desconhecido quando se é dado
o resultado. Atualmente a solução seria obtida por meio de uma equação linear, mas
os egípcios tinham uma técnica bem diferente da nossa. Vejamos:
Problema 25: Uma quantidade e sua metade somadas fazem 16. Qual a quantidade?
Solução: Suponhamos que a quantidade procurada seja 2. Assim teremos,
\ 1 2 \ ½ 1
Total: \ 1 ½ 3
(Roque, 2012, p. 80).
Observação: a barra \ é para indicar os números que são somados enquanto que a
barra / indica uma fração.
Nesta primeira etapa, obtemos o resultado 3, pois 2 adicionado a sua metade
resulta em 3. Mas o valor procurado é 16. Logo, teremos que procurar o número que
multiplicado por 3 resulte em 16, e este novo valor será multiplicado por 2 achando
assim o valor procurado. Tanto o chute inicial quanto o resultado errado são usados
para se obter resultado correto.
50
\ 1 3
2 6
\ 4 12
\ 3
1 1
Total 3
15 16
Logo, 3
15 é o número pelo qual 3 deve ser multiplicado para resultar 16.
Agora basta multiplicar este número por 2.
\ 1 3
15
\ 2 3
210
Total 3 16
O valor de “aha” é 3
210 , pois este valor somado com sua metade dá 16.
Ou seja, sugere-se que a solução seja 2, o que daria a soma 1 + 2 = 3. Depois, investiga-se por que número se deve multiplicar 3 para obter 16, que é 16/3. Multiplica-se, então, a falsa solução 2 por esse número para se obter a solução verdadeira: 2 x 16/3 = 32/3 = 10 2/3 (ROQUE, 2012, p.81).
O problema analisado faz parte de uma lista contendo diversos problemas do
mesmo tipo, todos resolvidos pelo mesmo método, tais como:
Problema 24: Uma quantidade e seu 1/7 somados fazem 19. Qual a quantidade? Problema 26: Uma quantidade e seu 1/4 somados fazem 15. Qual a quantidade? Problema 27: Uma quantidade e seu 1/5 somados fazem 21. Qual a quantidade? (ROQUE, 2012, p. 82).
Por meio de nossa linguagem algébrica, podemos generalizar e expressar de
uma única maneira o que o escriba egípcio parece ter desejado indicar, um método
geral de resolução: descubra o valor de x na equação cn
xx , onde c pode
assumir um valor qualquer.
Os egípcios, por volta de 1650 a.C, por meio dos papiros trataram de
equações lineares, porém os babilônios por volta de 2000 a.C. já havia evoluído
51
para uma Álgebra retórica bem desenvolvida, pois não só desenvolviam equações
quadráticas, como também se discutiam algumas cúbicas.
Embora a Matemática dos egípcios tenha se desenvolvido quase que ao
mesmo tempo em que na Babilônia, o nível de desenvolvimento da Álgebra
babilônica era mais sofisticado, assim como o seu desenvolvimento econômico.
Localizada numa região que era rota de grandes caravanas, os babilônios eram
povos que ocupavam a região da Mesopotâmia situada no Oriente Médio, no vale
dos rios Eufrates e Tigre, onde atualmente é o Iraque.
Os babilônios usavam tábulas de argila cozida para registrar sua escrita.
Entre um número muito grande de tábulas descobertas cerca de 400 foram
identificadas como exclusivamente matemáticas, contendo listas de problemas
matemáticos.
Para exemplificar o grau de sofisticação da Álgebra babilônica, tomemos
como exemplo um dos problemas, segundo Baumgart (1992), encontrados em
escrita cuneiforme em tábulas de argila.
“Comprimento, largura. Multipliquei comprimento por largura, obtendo assim a
área: 252. Somei comprimento e largura: 32. Pede-se: comprimento e largura”
(BAUMGART, 1992, p. 04).
O método de resolução dos babilônicos é no estilo retórico, ou seja,
Tome metade de 32 (que é 16);
Multiplique 16 por 16 (o que dá 256);
Subtraia 252 de 256 (o que dá 4);
4 é o quadrado de 2;
Agora some 2 a 16 e subtraia 2 de 16 (o que dá 18 e 14);
Multiplique 18 por 14 (o que dá 252)7.
Este método de resolução dos babilônicos foi apresentado e discutido com os
sujeitos participantes desta pesquisa e os resultados encontram-se no capítulo 3.
7 Este método de resolução dos babilônicos e os demais métodos apresentados neste capítulo foram discutidos com os sujeitos participantes desta pesquisa e os resultados encontram-se no capítulo 3.
52
Em notação moderna, temos uma equação do tipo, CBxAx 2 o método a
seguir equivale a um roteiro babilônico para encontrar:
1) multiplique A por C (obtendo AC) 2) encontre metade de B (obtendo B/2) 3) multiplique B/2 por B/2 (obtendo (B/2)
2)
4) adicione AC a (B/2)2 (obtendo (B/2)
2 + AC)
5) a raiz quadrada é ( )
6) subtraia B/2 da raiz acima 7) tome o recíproco de A (obtendo 1/A) 8) multiplique 1/A pelo resultado do passo (6) para obter o lado do quadrado 9) o lado do quadrado é (ROQUE, 2012, p. 65)
Para BAUMGART (1992) o método acima é usado diversas vezes em
problemas semelhantes e por varias razões tem significado histórico. Em primeiro
lugar, não é a maneira como resolveríamos hoje e em segundo, porque a Álgebra
grega (geométrica) dos pitagóricos e de Euclides (que organizou a maior parte da
Matemática existente em seu tempo com sua obra Elementos) seguiu o mesmo
procedimento, interpretada, contudo, em termos de segmentos de retas e áreas e
ilustrada por figuras geométricas.
Tanto a Álgebra egípcia quanto a babilônica se desenvolveram num conceito
de Álgebra retórica. Já a álgebra sincopada tem início na Grécia, com estudos
desenvolvidos sobre equações algébricas por Diofanto de Alexandria, que viveu
aproximadamente em torno do século 250 d.C.
Pouco sabemos a respeito da vida de Diofanto, o que conhecemos está
contido em um enigmático verso da “Antologia Grega” que se propõe a dar alguns
detalhes de sua vida.
Deus lhe concedeu ser um menino pela sexta parte de sua vida, e somando uma duodécima parte a isto cobriu-lhe as faces de penugem. Ele lhe acendeu a lâmpada nupcial após uma sétima parte, e cinco anos após seu casamento concedeu-lhe um filho. Ai! Infeliz, criança tardia; depois de
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2
53
chegar à metade da vida de seu pai, o destino frio o levou. Depois de se consolar de sua dor durante quatro anos com a ciência dos números ele terminou sua vida. (BOYER, 2010, p. 121).
Precursor do uso da simbologia através de abreviações de palavras, Diofanto
destaca-se com sua principal obra “Aritmética”, um tratado de treze livros, dos quais
só os seis primeiros se preservaram. “Em geral, considera-se que a primeira
ocorrência da notação simbólica que caracteriza nossa álgebra remonta ao livro
Aritmética, escrito por Diofanto.” (ROQUE, 2012, p. 231), e sua contribuição mais
conhecida foi ter introduzido uma forma de representar o valor desconhecido em um
problema, designando-o como arithmos, de onde provem a nome “aritmética”.
Exemplificando, na obra Aritmética, “o inverso do arithmo multiplicado pelo
biquadrado do arithmo resulta no cubo do arithmo”8 (apud VER EECKE, 1959, p.5),
ou seja, ..4
1 34 xx
O primeiro livro dos seis que se preservaram, Diofanto introduz símbolos para
representar os diversos tipos de quantidades que aparecem nos problemas, aos
quais denomina “designações abreviadas”. Tais abreviações mostravam a palavra
usada para indicar essas quantidades, que de acordo com o alfabeto grego, era
representado por sua primeira ou última letra.
Para um número desconhecido, Diofanto usou o símbolo parecido com a letra
grega ζ (última letra da palavra arithmos), o quadrado de um número desconhecido
era representado por , as duas primeiras letras da palavra grega dynamis
(∆YNAMI∑) que significa potência, o cubo como yk , as duas primeiras letras da
palavra grega kybos (KYBO∑) que significa cubo. Naturalmente se explica os
demais símbolos para as potências seguintes, y (quadrado-quadrado) que significa
a quarta potência, yk (quadrado-cubo) que significa a quinta potência e kk y (cubo-
cubo) que significa a sexta potência.
Assim resumidamente temos o quadro a seguir:
8 Maiores exemplos de problemas envolvendo arithmos encontram-se no roteiro de atividades Apêndice III.
54
Quadro 01: Símbolos e descrições
Simbolos
Diofantinos Descrição Notação moderna Descrição
ζ Arithmos x Incógnita
y Dynamis x² Quadrado
yk Kybos x³ Cubo
y Dynamis- Dynamis x
4 4ª potência
yk Dynamis- Kybos x5
5ª potência
kk y Kybos- Kybos x
6 6ª potência
Fonte: quadro adaptado pela autora segundo Roque (2012)
As seis obras preservadas da Aritmética, dedicam-se a resolução de 150
problemas, numa variedade relevante que conduzem a equações do 1º e 2º graus, a
uma ou mais incógnitas, determinadas ou não. Apenas uma equação cúbica muito
particular é resolvida. Diofanto usava de artifícios engenhosos para resolver cada
problema específico, não existia um método geral de solução. Para os problemas
propostos, são aceitas somente soluções racionais positivas, e na maioria dos
casos, encontrava-se apenas uma resposta do problema. Boyer (2010) considera
que
De certa maneira é injusto criticar Diofante por se satisfazer com uma única resposta, pois ele estava resolvendo problemas, não equações. Num certo sentido a Arithmetica é uma coleção de problemas de aplicação de álgebra, não um texto de álgebra (p. 124).
Para tanto, Roque (2012) justifica que o objetivo da obra de Diofanto era de
mostrar como se podem utilizar procedimentos sistemáticos para a resolução dos
problemas em etapas, e não de resolver efetivamente os problemas.
Nesse sentido, entendemos que a preocupação de Diofanto estava em
perpetuar um modo de resolver eficazmente problemas que interessavam à
sociedade grega da época, o que possibilita inferir ainda uma preocupação
pedagógica, na medida em que se preocupava em expor ao seu leitor, um padrão
para resolução de problemas ao invés de se preocupar com um único problema.
Buscando relacionar o ensino das equações com a História da Matemática
grega, exemplificaremos o problema 27 do livro I de Diofanto:
55
Livro I - Problema 27
“Encontrar dois números com soma e produto dados”. [Grifos nossos]
(ROQUE, 2012, p. 232).
a) Descrição da solução por Diofanto (retórico): Considere que a soma é
20 e o produto, 96. Supondo que a diferença entre os dois números seja 2 arithmos,
começamos por dividir a soma desses números (que é 20) por dois (obtendo 10). A
partir desse resultado, consideramos um arithmos somado a e subtraído de 10,
respectivamente, cada uma das metades. Como a metade da soma é 10, tomando a
metade subtraída 1 arithmos mais a metade acrescentada de 1 arithmos obtendo 20,
que é a soma desejada. Para que o produto seja 96, multiplicamos essas mesmas
quantidades, obtendo 100 subtraído do quadrado do arithmos (um dynamis).
Chegamos, assim à conclusão de que o dynamis deve ser 4, logo, o valor do
arithmos é 2. Os valores procurados serão, portanto, 10 mais 2 e 10 menos 2, ou
seja, 8 e 12 (SERRÃO; BRANDEMBERG, 2013).
b) Resolução empregando as abreviações (sincopada): Se esses números
fossem iguais, cada um deles seria 10. Supomos que a diferença entre eles seja 2ζ,
ou seja, os dois números procurados são obtidos retirando ζ de um destes 10 e
adicionando ζ ao outro. Como a soma não muda após essas operações, temos 10 –
ζ + 10 + ζ = 20. Mas sabemos também que o produto desses números é 96, logo,
podemos escrever (10 – ζ) (10 + ζ) = 96. Observamos, então, que 10² - = 10² - ζ²
= 96, e concluímos que o valor de ζ deve ser 2. Logo, os números procurados 10 – ζ
e 10 + ζ são, respectivamente, 8 e 12 (SERRÃO; BRANDEMBERG, 2013).
c) Resolução em notação moderna: Supondo x e y = 10, ou seja, supondo
que os números sejam iguais, e a diferença entre eles seja 2x, então existe z, tal que
x = 10 – z e y = 10 + z. Obtemos (10 – z) (10 + z) = 96 ao substituir esses valores na
equação x.y = 96. Efetuando o produto temos que 100 + z² = 96. Logo, z é igual a 2
e os números procurados são 8 e 12 (SERRÃO; BRANDEMBERG, 2013).
Percebemos que o enunciado do problema exemplificado, não apresenta
números em particular, no entanto, para cada problema Diofanto descreve uma
56
técnica utilizando valores numéricos. “Fica claro que a técnica continuaria a
funcionar, caso esses números fossem substituídos por outros, mas isso não chega
a ser feito” (ROQUE, 2012, p. 235).
Nossa sugestão, para o devido entendimento desse problema, é partir no
sentido inverso da resolução proposta por Diofanto. Iniciando um problema
propondo dois números quaisquer para encontrar a soma e produto, e assim
identificar expressões em situações análogas. Ilustrando: Dados os números 8 e 12,
encontre a soma e o produto deles, por exemplo.
As contribuições de Diofanto constituíram um passo importante em direção à
abstração, chegando-se a considerá-lo o “pai da álgebra”, pois o fato de assumir
uma representação para quantidades desconhecidas seria a principal característica
de um pensamento algébrico. De maneira cautelosa, essa particularidade levou
Nesselman a designar o procedimento de Diofanto como uma “álgebra sincopada”.
Porém “se caracterizarmos a álgebra como uma teoria das equações, concluiremos
que não existia álgebra antes dos árabes, pois o objetivo da Aritmética não era
resolver equações” (ROQUE, 2012, p. 236).
Vários aspectos da Matemática de Diofanto foram analisados com base na
Álgebra atual, conduzindo a sua posição na História da Álgebra como um
prognóstico incorreto de técnicas, simbolismos e generalizações características da
atividade algébrica dos nossos dias, porém, como já mencionamos sua obra não
tinha o objetivo de resolver equações e sim de mostrar procedimentos metódicos
para resolvê-los em etapas, esse objetivo aproxima Diofanto de Viète, que ressalta a
importância de um novo simbolismo para o desenvolvimento da Álgebra. Porém,
antes de abordarmos essa fase, analisamos a prática dos árabes na resolução de
equações.
No inicio do século IX a cultura árabe progrediu para uma Matemática original,
apresentando a Álgebra como um de seus pontos fortes e tendo Al-Khwarizmi como
o matemático mais ilustre desse século.
Roque (2012) considera que os trabalhos iniciados por Al-khwarizmi deram
origem à álgebra no estudo organizado dos procedimentos para classificar e resolver
57
equações. Já havia nos trabalhos dos gregos e indianos recursos para o
desenvolvimento da teoria das equações, mas uma nova concepção tornou-se
visível com os árabes, que após tomarem conhecimento das obras gregas e
indianas, expandiram sua sabedoria, e fortalecer a Álgebra foi um meio de desfazer
a supremacia do conhecimento grego, pois a Álgebra dos árabes foi além da divisão
entre número e grandeza, que era formada pela Matemática euclidiana. Além disso,
elaboraram um cálculo algébrico sobre expressões polinomiais e expandiram as
operações aritméticas a essas expressões, também consideraram os irracionais, que
eram quantidades que os antigos não reconheciam como sendo número.
O termo “Álgebra” originou-se do clássico da História da Matemática intitulado
“Al-kitab al-jabr wa’l muqabalah”, escrito por Al-Khwarizmi, podendo ser traduzido
como “O livro da restauração e do balanceamento”.
A palavra “Álgebra” ou al-jabr, em árabe, era utilizada para indicar
“restauração”, umas das operações empregadas na resolução de equações. Temos
também, a palavra al-muqabala que era utilizada para indicar algo como
“balanceamento”, podemos perceber que ambas as palavras representam duas
fases do procedimento para resolver equações.
“Al-Khwarizmi não empregava nenhum simbolismo; ao contrário de Diofanto,
sua linguagem era exclusivamente retórica” (Roque, 2012, p. 249). Ainda assim,
possuía um vocabulário modelo para representar os objetos que apareciam nos
problemas, especialmente para a raiz, o quadrado e o número simples, que eram
representados pelas palavras Jidhr, Mal e Adad, respectivamente. A raiz que era
indicada por Jidhr, também era chamada de “coisa” (shay), ambas eram utilizadas
para representar, em termos modernos, a incógnita, ou seja, o termo desconhecido.
A função do termo “raiz” para representar quantidades desconhecidas está
relacionada à questão de que o quadrado dessa quantidade também representa um
valor desconhecido, porém com representação própria (Mal). Quanto ao termo Adad,
era utilizado para representar um número qualquer, ou seja, a quantidade
desconhecida.
O quadro 2, a seguir, descreve tais representações.
58
Quadro 02: Representações e notações
Palavra Significado na
linguagem árabe Significado nos
problemas Notação moderna
Adad Número ou quantidade
de dinheiro Quantidade conhecida
(número dado) c
Jidhr Raiz Quantidade desconhecida x
Mal Possessão ou tesouro Quadrado da quantidade
desconhecida x²
Fonte: Quadro adaptado pela autora segundo Roque (2012)
Em sua obra Al-Khwarizmi resolve em seis capítulos curtos, seis tipos de
equações enunciadas de modo retórico (Quadro 3).
Quadro 03: Equações enunciadas por Al-Khwarizmi Modo retórico Notação moderna
Cap. I - Quadrados iguais a raízes ax² = bx
Cap. II - Quadrados iguais a um número ax² = c
Cap. III - Raízes iguais a um número bx = c
Cap. IV - Quadrados e raízes iguais a um número ax² + bx = c
Cap. V - Quadrados e um número iguais a raízes ax² + c = bx
Cap. VI - Raízes e um número iguais a quadrados bx + c = ax²
Fonte: Quadro elaborado pela autora
Nos seis casos apresentados os coeficientes eram sempre considerados
positivos, pois se tratava de quantidades de quadrados ou raízes. A resolução das
equações era uma combinação de métodos algébricos e geométricos, pois para
cada tipo Al-Khwarizmi apresentava um procedimento para a solução e os
exemplificavam geometricamente reproduzidos dos Elementos de Euclides.
Tomemos como exemplo o quarto caso, onde Al-Khwarizmi considera o
exemplo “um Mal e dez Jidhr igualam 39 dinares”. (ROQUE, 2012, p. 252).
Em notação moderna, temos a equação 39102 xx
Algoritmo de resolução:
59
Tome a metade da quantidade de Jidhr (que neste exemplo é 5) Multiplique essa quantidade por si mesma (obtendo 25) Some no resultado ao Adad (fazemos 39 + 25 = 64) Extraia a raiz quadrada do resultado (que dá 8) Subtraia desse resultado a metade dos Jidhr, encontrando a solução (essa solução é 8 – 5 = 3) (ROQUE, 2012, p. 252).
Em notação moderna temos a resolução da equação cbxx 2, que pode
ser resolvida por cbb
42
2
.
Com o intuito de comparar a resolução de Al-Khwarizmi com a notação atual,
organizamos a resolução do exemplo no quadro a seguir.
Quadro 04: Resolução do exemplo
Solução apresentada por Al-Khwarizmi
Operações correspondentes em linguagem moderna
Operações correspondentes em linguagem moderna considerando uma
equação genérica do tipo x² + bx – c = 0
Tome a metade da quantidade de Jidhr
10/2 = 5 b/2
Multiplique essa quantidade por si mesma
5² = 25 (b/2)²
Some no resultado os Adad
25 + 39 = 64 (b/2)² + c
Extraia a raiz quadrada do resultado 864 cb
2
2
Subtraia desse resultado a metade dos Jidhr,
encontrando a solução 8 – 5 = 3
22
2bcb
Fonte: Quadro elaborado pela autora
Analisando a terceira coluna do quadro podemos perceber que o método de
resolução equivale à notação atual a fórmula de resolução de equação do segundo
grau. Assim sendo, podemos concluir que o método de resolução de equações de
Al-Khwarizmi existia certa generalidade, pois permitia tratar de qualquer exemplo
pertencente a um caso determinado. Para aplicar o método algébrico a situações
concretas, era necessário reduzir um problema qualquer a um dos seis tipos
apresentados no quadro 3. Essa é a função dos métodos de “restauração” (al-jabr) e
“balanceamento” (al-muqabala).
60
Embora as técnicas utilizadas por Al-Khwarizmi fossem equivalentes à
fórmula para resolver equações do segundo grau, não se pode dizer que existia
realmente uma fórmula, pois para isso é necessário:
1. representarmos simbolicamente as incógnitas e as operações contidas em uma equação; e 2. a equação do segundo grau passar a ser considerada de modo genérico, ou seja, com todas as parcelas possíveis e com os coeficientes indeterminados. (ROQUE, 2012, p. 256)
Essas etapas foram adquiridas depois de séculos de pesquisa, começando
com Diofanto, passando por indianos e árabes, até chegar ao século XVI com os
trabalhos de Viète que introduz o simbolismo para os coeficientes, dando início a
fase simbólica da Álgebra.
François Viète viveu entre os anos 1540 e 1603, padronizou as
representações, utilizando vogais para representar as incógnitas e consoantes para
os coeficientes, todas em letras maiúsculas do alfabeto.
Vale ressaltar a diferença entre uma “incógnita” e um “coeficiente”. A primeira
trata-se de uma quantidade desconhecida, que será revelada de acordo com as
restrições impostas pela equação; já a segunda representa uma quantidade
conhecida que ocupa um papel indeterminado na expressão de uma equação
qualquer.
Tanto uma como a outra indicam indeterminações, porém com características
diferentes. O coeficiente é determinado de maneira arbitrária, ou seja, pela escolha
de uma equação particular. Já a incógnita, a determinação do valor é de maneira
não arbitrária. Segundo Roque (2012), “de modo distinto, no universo das equações,
a escolha arbitrária de coeficientes determina uma equação”. (p. 277).
Utilizamos como exemplo a equação 02 cbxax , e escolhemos
arbitrariamente os valores de a = 2, b = 6 e c = 200, logo determinamos um “caso”:
020062 2 xx .
De acordo com Roque (2012), o simbolismo utilizado por Viète, deveria
demonstrar uma generalização dos métodos algébricos, que permitisse atuar no
61
universo das equações, utilizando coeficientes, sendo assim possível classificar as
equações e considerar os exemplos particulares como “casos”.
“Se Viète tivesse adotado outros simbolismos já existentes em seus dias, ele
poderia ter escrito todas as equações quadráticas na forma única
02 DCABA , onde A é a incógnita e B, C, e D são parâmetros”. (BOYER,
2010, p. 208)
A apresentação de uma fórmula geral diminuiria a resolução dos casos
particulares a um procedimento mecânico. Entretanto, classificações e fórmulas não
eram prioridades naquela época, pelo fato de a Álgebra não ser vista como uma
disciplina, e seus procedimentos eram utilizados na resolução de diversos
problemas.
A Álgebra de Viéte é basicamente sincopada e não simbólica, pois embora
ele adotasse símbolos diferentes para coeficientes e incógnitas, o resto de sua
Álgebra era constituído de palavras e abreviações. Por exemplo, a terceira potência
não era representada por A3, ou por AAA e sim por A cubus, a segunda por A
quadratus, para a multiplicação Viète usava a palavra latina in, a divisão era
representada pela barra da fração e a igualdade pela abreviação da palavra latina
aequalis, porém, como afirma Boyer (2010, p.208) “não é dado a um só homem
fazer toda uma dada transformação; ela deve vir em passos sucessivos”.
Diante de tal afirmação apresentamos o quadro a seguir com a evolução das
notações algébricas iniciando com Viète, passando por Harriot (1560-1621)
chegando a Descartes (1596 – 1650).
62
Quadro 5: Evolução histórica das notações algébricas Viéte (1540 – 1603) Harriot (1560 – 1621) Descartes (1596 – 1650)
A quadratus aequalis 50 AA = 50
A quadratus A in 2 aequalis 0 AA – A2 = 0
A quadratus A in 5 6
aequalis 0
AA – A5 + 6 = 0
A quadratus A in 2 1
aequalis 0
AA – A2 + 1 = 0
B in A quadratus + C in A + D aequalis 0
B in AA + C in A + D =0
Fonte: Quadro elaborado pela Autora.
O método utilizado por Viète de substituir vogais e consoantes na incógnita
era utilizado com a intenção de conseguir simplificar a equação o máximo possível,
tornando-as assim, mais fácil e simples de serem resolvidas.
Segundo Amaral (1988) vamos descrever o método de Viète para a resolução
de equações do segundo grau.
O método:
Seja 02 cbxax , a ≠ 0
Fazendo-se vux , onde u e v são incógnitas auxiliares, e substituindo na
equação, temos:
0)()2(
0)()(22
2
cvubvuvua
cvubvua
Reescrevendo essa igualdade como uma equação na incógnita v, obtemos:
0)2( 22 cbuauvbauav
Viète transformou essa equação numa equação incompleta do segundo grau,
anulando o coeficiente v , isto é, escolhendo a
bu
2
Substituindo na equação, obteve:
63
022
2
2
c
a
bb
a
baav
E chegou, após simples manipulações, a: 2
22
4
4
a
acbv
Se 042 acb
Então a
acbv
2
42
Logo a
acbb
a
acb
a
bxvux
2
4
2
4
2
22
Que é a fórmula da equação de segundo grau.
Esse método utilizado por Viète possibilita uma demonstração da fórmula de
equação de segundo grau, de fácil compreensão e sem grandes artifícios,
oferecendo a possibilidade de chegar-se à solução de uma equação completa do
segundo grau, sem que haja necessidade de utilizar a fórmula de maneira decorada,
além de ter um contato com a História.
Vejamos a aplicação do método de Viète na equação 0232 xx
Resolução:
Fazendo vux e substituindo na equação dada, temos:
02332
02)(3)(22
2
vuvuvu
vuvu
que é equivalente a:
0233)32(2 vuvuv
Escolhendo 2
3u (para anular o coeficiente de v ) teremos:
64
2
1
4
1
4
1
04
1
022
9
4
9
022
3.3
2
33
2
3.2
2
2
2
2
2
v
v
v
v
v
vv
2
1
2
3 xvux .
Logo, as soluções da equação são 2 e 1.
Podemos perceber que as equações algébricas se desenvolveram ao longo
dos séculos, para tanto foi estudada pelos: egípcios, mesopotâmicos, gregos,
hindus, árabes, chineses e europeus, percorrendo um longo caminho até chegar aos
dias atuais. Com o passar do tempo os métodos e procedimentos no trato com as
equações algébricas foram sendo cada vez mais aperfeiçoados.
Viète tinha o objetivo de constituir uma nova Álgebra, sendo esta com a
mesma importância da Geometria, para tanto, buscou fazer da Álgebra uma ciência
nos padrões gregos, revelando-a de maneira incontestável, pois acreditava na sua
capacidade, uma vez que utilizava os métodos algébricos de resolução de
equações.
Como já mencionado, as contribuições de Viète não foram suficiente para
uma mudança total de fase, mas sem dúvida foi ele quem impulsionou a fase
simbólica, permitindo que futuros Matemáticos, como Descartes, contribuíssem para
uma mudança definitiva.
65
CAPÍTULO 3
A INVESTIGAÇÃO DIAGNÓSTICA
Este estudo se constitui em uma pesquisa qualitativa sobre o uso da História
da Matemática na sala de aula.
Foram realizados 3 encontros com os professores participantes do projeto
“OBEDUC – Práticas” com 4 horas de duração, no período da manhã e ocorreram
nas dependências da Diretoria de Ensino Norte 2. Cada encontro dizia respeito a
uma fase de desenvolvimento histórico da álgebra. Ainda, no primeiro deles foi
aplicado um questionário inicial e, no último encontro, um questionário final. Esses
encontros estão relatados e analisados nos tópicos que se seguem.
3.1 Primeiro encontro
No primeiro encontro, foi aplicado o questionário inicial e, em seguida,
iniciamos a apresentação da primeira fase de desenvolvimento histórico da álgebra,
conforme consta nos tópicos a seguir.
3.1.1 Do questionário inicial
No primeiro dia da experiência formativa, logo após as apresentações dos
professores participantes daquele encontro, solicitamos que eles respondessem a
um questionário, com o intuito de conhecer algumas características do perfil
profissiográfico desses sujeitos. A partir das respostas obtidas nas questões
fechadas, abertas e mistas, contidas no questionário inicial, elaboramos os quadros
que seguem. As respostas dos professores quanto às questões abertas e mistas
estão grafadas em itálico dentro dos quadros.
66
Quanto ao perfil profissional dos professores participantes temos, no quadro
6:
Quadro 6: Perfil profissional dos professores participantes
1. Nível de ensino em que atua:
Cinco professores atuam no ensino fundamental, cinco no ensino médio e cinco em ambos.
2. Formação profissional Onze professores são apenas graduados e quatro deles possuem especialização.
3. Tempo de formação Seis professores são formados a mais de 1 ano e menos de 10 anos. Dois são formados a mais de 10 anos e menos de 20 anos e sete são formados a mais de 20 anos.
4. Tipo de formação Doze professores são formados em Licenciatura Plena em Matemática, um possui Licenciatura Curta, um é Bacharelado em Matemática e um possui Licenciatura Plena e Bacharelado em Física.
5. Tempo de atuação como professor de Matemática
Quatro professores atuam menos de 2 anos. Dois professores de 2 a 5 anos. Dois professores de 6 a 9 anos e sete professores a mais de 10 anos.
Fonte: Quadro elaborado pela autora.
Como podemos observar, a maioria dos participantes da experiência
formativa são formados a mais de 20 anos, possuem Licenciatura Plena em
Matemática e atuam como professores de Matemática no Ensino Médio.
Quanto à História da Matemática temos:
Quadro 7: Considerações dos professores participantes quanto à História da Matemática
6. Contato com a História da Matemática
Seis professores tiveram contato na graduação com a História da Matemática, quatro na formação continuada e três em publicações, durante a graduação e em formação continuada. Dois deles alegaram que não tiveram contato com a História da Matemática.
7. Quanto à disciplina História da Matemática em sua formação
Quatro professores responderam que tiveram como disciplina optativa, oito como disciplina obrigatória e três em nenhuma disciplina.
8. Sobre a apresentação da História da Matemática como metodologia de ensino em sua graduação
Dois professores responderam que a História da Matemática foi apresentada consistentemente como metodologia de ensino em sua graduação. Seis deles tiveram uma apresentação breve quanto ao assunto e sete não lhes foram apresentada.
9. Sobre o uso da História da Matemática como metodologia ou recurso didático para o ensino da Matemática em suas aulas
Cinco professores responderam que não utilizam a História da Matemática como metodologia ou recurso didático em suas aulas e dez deles que sim. Os que apresentaram respostas positivas justificaram que:
Sempre, para explicar e justificar alguns conceitos.
67
Para introduzir um tema novo sempre recorro a fatos históricos.
Não necessariamente o estudo mas, em alguma situação onde precise abordar determinado conteúdo, mas muito breve.
Breve introdução ao conteúdo com pouco da história.
Muito pouco, citando algumas características e descobertas de matemáticos, fatos e interesses que levaram a descoberta ou estudo de assuntos que até hoje ensinamos em sala de aula.
Filmes, narrativas e leitura.
Apresentando como se chegou em cada questão Matemática.
Pesquisa com os alunos.
Na sala de multimídia.
Surgimento e a necessidade de contagem.
10. Sobre considerar a História da Matemática como auxiliar nos processos de ensino da disciplina de Matemática.
A esse respeito afirmaram que:
A história é a melhor maneira de justificar, comparar e demonstrar mudanças e conceitos.
para dar ciência ao aluno que a Matemática está presente na sociedade e não é uma disciplina avulsa.
acredito que em algumas situações sim, mas deve-se considerar que é importante que se busque esta reciprocidade com os alunos e claro, deve-se iniciar isso nas fases iniciais para que se tenha o costume, daí tudo acontece.
o aluno precisa saber o porque daquele conteúdo, breve histórico para despertar o interesse em sua aprendizagem.
ela pode tornar mais significativo o que estudamos hoje.
através da história é possível mostrar a necessidade do aprendizado da matemática.
temos que mostrar aos alunos a importância da matemática em nosso cotidiano.
os alunos devem saber o porque de aprender aquele conteúdo, para que serve e porque se chegou aquela conclusão.
Não pensei a respeito.
ajuda na explicação.
os conceitos iniciais seja na matemática ou em qualquer área sempre facilita o entendimento, na matemática é quase obrigatório.
Sim, pois os alunos questionam quem a inventou, com a história da matemática consigo explicar que não teve um inventor e sim uma necessidade.
desde as séries iniciais o aluno precisa saber sobre a história da matemática.
falando da importância da matemática na nossa vida.
pois é uma maneira de mostrar a importância de matemática através de suas origens e descobertas.
Fonte: Quadro elaborado pela autora.
Em síntese, a maioria dos professores teve contato com a História da
Matemática na graduação e fazem uso dela como metodologia ou recurso didático
em suas aulas. Alegam abordar o assunto de diversas maneiras, uns com maior
objetividade e outros de maneira mais indireta.
68
Além disso, os professores consideram que a História da Matemática pode
auxiliar nos processos de ensino da disciplina de Matemática, pois seus
apontamentos nos levam a crer que a mesma é indispensável para um bom
entendimento seja para responder a perguntas sobre matemáticos que a
desenvolveram, para destacar a sua importância na nossa vida, de sua origem e
para dar significado ao conteúdo explicado.
Relativamente à álgebra temos:
Quadro 8: Sobre a relevância do conhecimento algébrico
Sim, pois consigo através da álgebra “generalizar”, demonstrar de uma forma mais abrangente.
Sim, além de fazer parte da grade curricular pode ser aplicado em problemas práticos do cotidiano.
Com certeza, porem em testes que aplicamos tipo AAD ou mesmo avaliação diagnóstica ainda se percebe que os alunos sentem “resistência” dificuldade em associar e resolver.
Sim, a aplicação algébrica no cotidiano exemplificando torna a aprendizagem significativa.
Sim, há necessidade do conhecimento algébrico para resolução de problemas.
Sim, capacita a aluno para outras matérias dependentes dos conteúdos algébricos.
Sim, como sempre explico para os alunos é uma forma de descobrir um número desconhecido.
Sim para demonstrar os tópicos matemáticos.
Sim, para demonstrações.
Sim, o passa a passo ajuda no entendimento.
Sim, é muito importante saber transformar um problema matemático em uma expressão algébrica, isso facilita a compreensão.
Sim, e constante a procura no dia a dia por respostas matemáticas para diferentes problemas, a álgebra vem sanar esses problemas.
Sim.
É de muita importância, para o aprendizado.
Sim, pois demonstra um melhor entendimento e prática pelos alunos.
Fonte: Quadro elaborado pela autora.
Quadro 9: Sobre o aprendizado de seus alunos quanto à formação de conceitos algébrico.
Acredito que como tudo, quando ele compreende de fato, ele perde “um pouco o medo”, pois a principio é difícil para cabecinha deles entenderem como as letras podem fazer parte da matemática.
Estou a pouco tempo no ensino mas vejo uma grande dificuldade de forma geral.
Então, talvez devêssemos abordar melhor este tema, usando a escrita, uma breve história para abordá-la porque eles têm dificuldades de reconhecer e desenvolver o assunto.
O aluno hoje (geração) é desinteressado não encontrando objetivo nos conteúdos propostos e ao introduzir conceitos algébricos com exemplos do seu dia a dia, torna o entendimento mais favorável.
Péssimo (um dos grandes problemas no ensino da matemática).
Péssimo.
Atualmente, somente alguns se destacam, mas dos que se destacam é de grande valor para fixar os conhecimentos.
O aluno verá que matemática vai além das quatro operações básicas.
Eles têm pouca paciência para resolver, eles querem o resultado rápido.
Muita dificuldade em interpretar um enunciado na forma algébrica, é necessário um pouco mais de prática.
Muito fraco, a deficiência ano por ano só aumenta.
69
Nas 6ª séries há interesse, eles acham interessante a mistura de números e letras. No médio poucos alunos se interessam.
É de grande importância.
Fonte: Quadro elaborado pela autora.
Quadro 10: Quanto às dificuldades dos alunos em aprender os conceitos algébricos.
Sim, pelos motivos já mencionados anteriormente.
Idem a anterior.
Em minha opinião esta dificuldade se dá em decorrência não só por não entender o conceito, mas, porque não entendem o que se pede e o que se está escrito, “o que se quer”.
Sim, para os alunos é difícil compreender o calculo do termo desconhecido. (Por que existem vários valores).
Sim, há falta de vivência do “passar de uma determinada situação par aa linguagem matemática”.
Sim, pois não ocorre o amadurecimento dos conceitos ensinados.
Muita dificuldade. Eles questionam o porquê de ter letras e números juntos, pois dificulta a resolução.
Sim, mas em minha opinião, é mais em função do ambiente escolar, pois quando leciono especificamente, ou seja, em particular, o aluno consegue absorver o conteúdo.
Sim, conceitos algébricos é um conteúdo abstrato, os alunos de hoje tem dificuldades com conteúdos abstratos.
Sim, são imediatistas e um tanto desinteressados.
Sim, muitas vezes a própria leitura não faz parte do seu cotidiano, logo a leitura matemática é inexistente.
Sim, estou pesquisando e ainda não tenho uma opinião formada.
Sim, no médio falta de interesse. No fundamental conseguimos envolver a maioria.
Sim, pois eles têm algumas dificuldades básicas.
Sim, em virtude da falta de pré-requisitos apresentados pelos alunos.
Fonte: Quadro elaborado pela autora.
Quadro 11: Quanto à utilização da História da Matemática como recurso para a formação de algum conceito algébrico.
Sim, como uma maneira de comparação.
Sim, mas estou em busca de aperfeiçoar esse método.
Depende da turma, depende do costume de cada turma, há uma turma que é + recíproca, gosta de ouvir, outras mais agitada.
Não
Sim, (tentativa de justificar a utilização de “símbolos”).
Não.
Sim, acho interessante para os alunos conhecer a história, como o pensador chegou aquele conceito.
Sim, para ilustrar e repassar a(s) origem(ns) e as soluções dos tópicos.
Não.
Sim. Porém preciso me aprofundar um pouco mais.
Não utilizei ainda, mas gostaria de utilizar mas como já disse na minha formação não tive a oportunidade de estudar a História em si.
Não utilizei ainda.
Sim.
Ainda não.
Atualmente não.
Fonte: Quadro elaborado pela autora.
Pelos comentários efetuados, constatamos que três professores utilizam a
História da Matemática como instrumento metodológico e doze deles nunca a
70
utilizaram. Todos os participantes responderam que não conheciam as três fases do
desenvolvimento histórico da álgebra.
Pudemos perceber, em conformidade com as respostas obtidas no
questionário, que todos os professores participantes consideram relevante o
conhecimento algébrico, por fazer parte da Matemática e sendo indispensável para
sua compreensão, demonstrações e resolução de problemas. A maioria considera
fraca a formação de conceitos algébricos nos alunos, pois percebem que eles
apresentam grandes dificuldades em lidar com a álgebra. Dentre essas dificuldades,
destacam a falta de interesse, de amadurecimento e a dificuldade em trabalhar com
letras e números.
Aproximadamente a metade dos professores não utilizou a História da
Matemática como recurso, mas deram a entender que pretendem utilizar. Entre os
que já utilizaram, alguns gostariam de conhecer melhor o assunto e alegaram que a
utilizaram como apoio para justificar o conteúdo aplicado, porém a maioria não
utilizou a História da Matemática como instrumento metodológico para ensinar
equações.
Diante das respostas dadas às questões que constam quadros 9, 10 e 11,
julgamos pertinente a realização dessa experiência formativa com os professores
abordando os conceitos algébricos, em especial, as equações de primeiro e
segundo grau, tomando a História da Matemática como recurso para explicar e
exemplificar os métodos e procedimentos desenvolvidos ao longo dos tempos, por
civilizações e matemáticos utilizando as três fases de desenvolvimento da álgebra.
71
3.1.2 Primeiro encontro: fase retórica
Figura 3: Professores participantes da experiência formativa
Fonte: Acervo da pesquisa
As atividades do primeiro encontro foram destinadas à fase retórica da
álgebra, abordando os métodos e procedimentos de resolução das equações de
primeiro e segundo grau dos egípcios e babilônios.
Para tanto, entregamos aos sujeitos participantes um roteiro das atividades
que seriam desenvolvidas naquele primeiro encontro, contendo os problemas
históricos relacionados à fase retórica, de modo que os professores pudessem
acompanhar as discussões e efetuar resoluções de alguns desses problemas. (Ver
Apêndice II).
Iniciamos essa abordagem com um breve relato das três fases de
desenvolvimento histórico da Álgebra, para que os professores participantes
pudessem inteirar-se brevemente do que seria apresentado a eles. Quanto à fase
retórica, primeiramente, apresentamos suas características, os métodos e
procedimentos utilizados pelos matemáticos egípcios e babilônios para resolução de
equações de primeiro e segundo grau.
Assim, discutimos sobre a importância dos papiros e também suas possíveis
intenções pedagógicas. Esse entendimento surgiu na medida em que observamos
que alguns dos problemas contidos nesses papiros eram semelhantes, mudando
apenas as quantidades, sugerindo, desse modo, a provável pretensão de que seus
72
“Problema 24: Uma quantidade e seu somados fazem 19. Qual a
quantidade?” (ROQUE, 2012, p.82)
leitores, por meio de repetição, aprendessem um determinado método de resolução
de problemas.
Após essa discussão, foram apresentados três problemas contidos no papiro
de Rhind, problemas 24, 26 e 27 extraídos da obra de Roque (2012), com o objetivo
dos professores conhecerem a linguagem por eles utilizada. Em seguida sugerimos
que resolvessem os problemas cada qual a sua maneira, com o intuito de que
pudessem comparar os resultados após a apresentação do método dos egípcios.
Com a intenção de proporcionar um clima descontraído, sugerimos que eles fossem
à lousa e apresentassem suas resoluções. Entretanto, os professores naquele
momento mostraram se inibidos. Dessa maneira, para que todos pudessem se sentir
a vontade resolvemos o primeiro problema na lousa.
Figura 4: Resolução algébrica do problema 24
Fonte: Acervo da pesquisa
Após nossa iniciativa em resolver o problema, conseguimos contar com a
participação de duas professoras para a resolução dos problemas 26 e 27, a saber:
73
“Problema 26: Uma quantidade e seu somados fazem 15. Qual a
quantidade?” (ROQUE, 2012, p. 82).
“Problema 27: Uma quantidade e seu somados fazem 21. Qual a
quantidade?” (ROQUE, 2012, p. 82).
Figura 5: Professora resolvendo problema 27
Fonte: Acervo da pesquisa
Após essas resoluções, onde cada um apresentou o seu modo particular de
resolver os problemas, apresentamos e explicamos o método de resolução de
equação de primeiro grau ou equação linear denominado “regra da falsa posição”
utilizado pelos egípcios e extraído de Guelli (1992).
Explicamos como funcionava o método da falsa posição e em seguida
sugerimos aos participantes que resolvessem os problemas que anteriormente
foram resolvidos algebricamente por eles pelo método apresentado (regra da falsa
posição). (Ver Apêndice II).
Resolvemos um novo problema juntos, pois eles demonstraram certa
insegurança em resolver sozinhos.
74
Figura 6: Resolução retórica do problema 24
Fonte: Acervo da pesquisa
Então, deixamos os próximos para eles resolverem sozinhos durante o
encontro.
Houve curiosidade por parte dos professores em saber se os egípcios
conheciam frações, se eles deixavam os resultados com valores quebrados ou
transformavam em fração. Nesse momento, iniciamos uma discussão sobre os
problemas resolvidos e a possibilidade de trabalhar, o método apresentado, em sala
de aula. Assim obtivemos os seguintes comentários por parte dos professores
integrantes dessa experiência formativa:
Quadro 12: Sobre os problemas resolvidos pelo método da “falsa posição”
“Essa didática... passar um pouquinho antes de você começar a questão da equação, porque até ai eles já tiveram divisibilidade, eles já tiveram regra de três em alguns conteúdos, talvez eles conseguissem entender um pouquinho melhor a equação.”
“Uma boa opção para introduzir as equações, sem começar logo de cara com o x.”
“Eu vejo assim, se costuma muito falar em você não dá nada pronto que você precisa fazer com que o aluno descubra, tudo bem! Você pegar agora isso aí, você não falou de fórmula algébrica, você não falou de formulas, você não falou de regras se você for analisar essa montagem que eles faziam se você for verificar de fato existe um caminho, tem um raciocínio, e se você for analisar primeiro passo você vai bolar um valor, aí qual é a dificuldade que nos encontramos o aluno pode escolher qualquer valor falso, perfeito, agora se ela não tiver esse domínio de divisão porque ele tem que pensar em um número.”
“Ele vai ter que fazer uma tabela isso não deixa de ser uma regra, você não precisa dizer que isso é uma regra de três”.
“O entrave que eu vejo aí e você sair do enunciado do problema, você vai ter que passar isso para a linguagem algébrica, isso aí vai ter que ter o auxilio do professor, não é um trabalho que não seja direcionada, vai ter que ter essa participação, inclusive no “chutometro” o professor vai ter que dá uma mãozinha”.
“Eu vejo também que muitos professores erram, principalmente, quando eles vão começar a equação, que, por exemplo, eles começam a equação eles explicam a
75
equação somente por operações inversas, e aí eles não explicam outra forma de resolver equação, aí eles passam uma lista de equação sei lá, 50 equações, sem nenhuma problemática nisso, então o aluno mecaniza se você for jogar um problema desse realmente ele não vai saber resolver, não era mais fácil você ter pego uma lista com problemas, resolvido 20 questões junto com eles, e deixar as outras 30 para eles resolverem, ou começar invés de resolvendo equação começar com as problemáticas da equação.”
“Você vai trabalhando a linguagem, pois a questão da linguagem ainda é muito confusa para eles”.
“Acho interessante começar assim a introdução às equações através de problemas, inclusive assim a introdução de símbolos”.
“É importante à revisão ao iniciar um conteúdo, seja ele qual for”.
“A deficiência dos alunos em interpretar as questões, então o que podemos fazer, parar de só colocar “efetue” e colocar mais problematização, e não só calcule, efetue, resolva. A problematização das questões auxilia na passagem do concreto para o abstrato nós no geral, matemáticos aprendemos assim, e nós não problematizamos as questões”.
Fonte: Quadro elaborado pela autora
Diante desses apontamentos pudemos perceber que o argumento dez de
Miguel (1997) quanto a História como um instrumento de conscientização
epistemológica se faz presente, pois os professores deixaram transparecer a
necessidade de iniciar a abordagem informal das equações algébricas devido à
imaturidade dos alunos em lidar com a linguagem, interpretação e entendimento.
Esse ponto de vista ficou evidente em alguns trechos dessa discussão, na qual os
professores afirmam: “Uma boa opção para introduzir as equações, sem começar
logo de cara com o x.” “O entrave que eu vejo aí e você sair do enunciado do
problema...”. “A deficiência dos alunos em interpretar as questões...”. “Você vai
trabalhando a linguagem, pois a questão da linguagem ainda é muito confusa para
eles”.
Os professores também manifestaram interesse sobre a Matemática
desenvolvida pelos egípcios, especialmente no que tange ao conteúdo referente às
frações. Nesse sentido, entendemos que, o argumento dois de Miguel (1997), sobre
a História como uma fonte de objetivos para o ensino da Matemática, pode auxiliar
na compreensão e na significação do fazer matemático dos egípcios sobre esse
conteúdo. Nota-se também que essa abordagem contribuiu para motivar os
professores sobre a História das frações, o que pode vir a refletir em novas práticas
para o ensino da Matemática.
76
“Comprimento, largura. Multipliquei comprimento por largura, obtendo assim a
área: 252. Somei comprimento e largura: 32. Pede-se: comprimento e largura”.
(BAURGART, 1991, p. 4)
Para encerrar, realizamos a resolução de um problema sobre um quebra-
cabeça hindu do século VII pelo método da regra da falsa posição, extraído de
Guelli, 1992. (Ver apêncide II)
Nesta parte do encontro, percebemos que os professores gostaram do
método “regra da falsa posição”. Embora desconhecidos por eles, muitos apontaram
ser uma boa opção de ensino, pois ficaram entusiasmados com a prática de resolver
uma equação utilizando outros conteúdos, ainda que implicitamente, como
proporção, fração, regra de três, números múltiplos, etc. Também julgaram o método
eficiente para se trabalhar a questão da linguagem algébrica, segundo eles, um
grande obstáculo para o aluno, assim como a resolução de problemas.
Dando continuidade iniciamos a apresentação dos métodos e procedimentos
dos babilônios para a resolução das equações de segundo grau.
Apresentamos uma breve História dos babilônios, explicando sobre as tábulas
de argilas e seu avanço em trabalhar com equações de quadráticas e algumas
cúbicas.
Foi apresentado um problema de área e largura para exemplificar o método
de resolução dos babilônios.
Do mesmo modo como desenvolvemos a atividade anterior, sugerimos que os
participantes resolvessem algebricamente para que pudéssemos comparar os
resultados após a resolução pelo método utilizado pelos babilônios.
Equacionamos o problema para os professores na lousa, por meio de um
sistema de equações e aguardamos que eles o resolvessem.
Após a resolução do problema pela forma algébrica, questionamos os
professores sobre qual método utilizaram para resolver o referido problema. Todos
77
responderam que utilizaram a fórmula para a resolução da equação do segundo
grau.
Então resolvemos o problema na lousa do jeito que eles sugeriram, utilizando
a equação do segundo grau (Figura 7).
Figura 7: Resolução algébrica do problema
Fonte: Acervo da pesquisa
Em seguida, apresentamos a eles o método de resolução dos babilônios para
uma equação do segundo grau. Fomos realizando os cálculos, passo a passo, de
acordo com o procedimento que os babilônios utilizavam ao mesmo tempo em que
os professores acompanhavam essas explicações por meio de leitura do roteiro de
atividades disponibilizado. (Ver Apêndice II, p. 119).
Figura 8: Resolução retórica do problema
Fonte: Acervo da pesquisa
78
Propusemos aos professores que resolvessem outro exemplo incluso no
roteiro apresentado. Minutos depois verificamos que os professores não
conseguiram avançar com a resolução. Então optamos por resolver o problema junto
aos participantes, discutindo cada etapa envolvida no processo.
Após resolvermos os problemas pelo procedimento retórico, apresentamos
uma generalização algébrica do roteiro e questionamos a opinião deles quanto ao
método apresentado.
Quadro 13: Opinião dos professores quanto à generalização do roteiro
“O método para trabalhar a soma e o produto é mais fácil, ou seja, o roteiro sem generalizar.”
“Eu acho que teria mais sucesso com os alunos seguindo o roteiro e não a fórmula generalizada se for para utilizar fórmula ai seria a fórmula de segundo grau.”
Fonte: Quadro elaborado pela autora
Explicamos a eles que ao generalizarmos o roteiro temos condições de
encontrar as duas raízes da equação e que pelo roteiro só era possível encontrar
uma raiz, ou seja, fizemos uma interpretação do pensamento babilônico trazendo
para a nossa Matemática moderna, porém diante das opiniões dos professores
podemos perceber que eles consideram a resolução retórica mais simples que a
generalização do roteiro, ou seja, nem sempre as fórmulas apresentam-se como o
melhor caminho para se resolver um problema. Nesse sentido, o roteiro histórico se
apresenta como uma opção didática para introduzir as equações de segundo grau.
Questionamos a respeito dos obstáculos, por eles identificados, para trabalhar
o método em sala de aula.
Quadro 14: Sobre as dificuldades de utilização do método babilônio em sala de aula
“O português, a questão da interpretação, pois muitos de nós nos confundimos na hora de resolver”
“O aluno utiliza a fórmula de Bhaskara9 sem saber o porquê utiliza a fórmula como uma
receita. Essa formula seria um início para entender a formula geral da equação de segundo grau.”
“Eu acho que é válido porque a partir do momento que você tem outras maneiras você dá opções para o aluno escolher. E aí vai da maturidade do aluno para descobrir o que
9 A partir da década de 1960 autores brasileiros de livros didáticos passaram a denominar a fórmula
da resolução da equação de segundo grau do tipo ax2
+ bx + c = o como “fórmula de Bhaskara”,
denominação conhecida apenas por professores e alunos brasileiros (NOBRE, 2006).
79
é mais pratico para ele.”
“Você tem caminhos mais simples e às vezes o aluno prefere o mais longo, nem sempre o mais simples é o mais fácil para o aluno. Trabalhando diversas maneiras vai fazendo com que o aluno perceba que a formula de segundo grau é o método generalizado que ira resolver qualquer equação. É muito bom ter cartas na manga.”
“Creio que se eu fizer algumas adaptações é possível trabalhar na sala de aula, sempre dando uma orientação ao aluno. O professor precisa intermediar.”
Fonte: Quadro elaborado pela autora
Tais opiniões nos remetem ao entendimento de Miguel e Miorin (2004) que
argumentam quanto à possibilidade de considerar a História como elemento
orientador na elaboração de atividades e situações problemas, sem que a mesma
seja revelada.
Perguntamos então se seria possível aplicar os problemas em sala de aula.
Quadro 15: Respostas dos professores sobre a possibilidade de aplicação dos problemas
“Dá, porém de inicio eu pensaria em simplificar um pouco mais a linguagem para eles entenderem melhor e depois iniciar com o problema histórico, e contar um pouquinho da história, falar dos papiros”.
“A matemática exige uma linguagem única, é preciso trabalhar a linguagem com eles, e os problemas podem auxiliar nesse trabalho, pois só exercício simples faz com que eles fiquem acostumados a uma rotina.”
“Isso impede o aluno de estudar sozinho, falta à interpretação, a linguagem para que eles possam caminhar sozinhos.”
“Os alunos têm dificuldades de identificar o que fazer com os problemas, não sabem o que é adição, subtração, não conseguem identificar o caminho e com isso não conseguem resolver. Eles querem calcular, calcular, não querem pensar, querem a resposta e pronto.”
“Temos que convencer esse aluno que a matemática é importante para o seu dia a dia, ela faz parte da vida.”
Fonte: Quadro elaborado pela autora
A última fala nos reporta às ideias de Ubiratan D’Ambrosio (1999), ao
destacar que as raízes da Matemática se confundem com a História da humanidade,
produzida pelas necessidades práticas e desenvolvida para atender certas buscas
da sociedade.
Neste segundo momento do encontro, pudemos verificar nas falas dos
participantes que eles se interessaram pelo método de resolução dos babilônios
para as equações de segundo grau, porém fizeram apontamentos quanto às
dificuldades que os alunos podem apresentar ao utilizar o método generalizado.
80
Entre as dificuldades apontadas estão a interpretação dos problemas e
entendimento da linguagem Matemática por parte dos alunos. Alguns alegaram que
o roteiro seria muito mais fácil de trabalhar, por outro lado, também destacaram a
importância de se trabalhar a questão da generalização, realizando adaptações para
facilitar o processo, tendo o professor como mediador e a importância de se utilizar
desse método para fazer o aluno compreender de onde surgiu a formula da equação
de segundo grau.
Essas discussões foram muito produtivas, pois possibilitaram a reflexão das
práticas adotadas em sala de aula de modo a vislumbrar novos modos de abordar
as equações de primeiro e segundo grau, a partir de uma perspectiva histórica.
Nesse primeiro encontro, pudemos perceber que a História da Matemática
pode contribuir na escolha de métodos e procedimentos pedagógicos, pois de
acordo com o terceiro argumento de Miguel (1997) defendido por Klein, a
importância pedagógica da História esta vinculada à questão da escolha de métodos
adequados de ensino e aprendizagem dos conceitos matemáticos. Observamos, nas
falas dos professores, que o quinto argumento apresentado por Miguel (1997), qual
seja a História como um instrumento que possibilita a desmistificação da Matemática
e a desalienação de seu ensino também faz parte dessa discussão, uma vez que a
História da Matemática aponta para o fato de que o modo como normalmente o
conteúdo matemático é ensinado não revela o modo como esse conceito foi
historicamente produzido. Da mesma forma, o sexto argumento está presente, pois
revela a História como um instrumento de formalização de conceitos matemáticos,
por se tratar de um processo de traçar caminhos para se chegar a um determinado
fim. Contamos ainda, com o décimo primeiro argumento de Miguel (1999), que
apresenta a História como um instrumento que pode promover a aprendizagem
significativa e compreensiva da Matemática, pois permitiu aos professores presentes
nessa experiência formativa conhecer métodos e procedimentos que podem ser
utilizados como recurso para ensinar a Matemática com propriedade, dando
significado ao que está sendo ensinado.
81
Encerrando esse encontro, deixamos como sugestão, que os professores
participantes aplicassem, na medida do possível, os métodos e procedimentos
discutidos durante nossa reunião.
3.2 Segundo encontro: fase sincopada
Figura 9: Professores participantes do segundo encontro
Fonte: Acervo da pesquisa
Para o segundo encontro, contamos com a presença de 16 professores.
Nesse dia não pudemos utilizar a mesma sala do primeiro encontro. O local que nos
fora destinado era um laboratório de informática e não pudemos contar com o apoio
de um quadro para a resolução das atividades. Tínhamos apenas uma prancheta e
por essa razão não foi possível apresentar, para todos os participantes, as
resoluções efetuadas pelos professores contidas no roteiro de atividades, entregue
logo no início do encontro. (Ver Apêndice III). Entretanto, os professores mostraram-
se mais participativos e a vontade em comparação com a participação deles no
primeiro encontro. Isso talvez porque já estavam mais inteirados do assunto, e
estabeleceram relação de coleguismo entre eles.
Iniciamos relembrando os pontos mais marcantes do encontro anterior,
relativos ao método de resolução dos egípcios e dos babilônios. Perguntamos
também se eles conseguiram utilizar, em suas aulas, algum dos métodos discutidos
na reunião anterior, conforme havíamos sugerido.
82
A esse respeito apenas uma professora se pronunciou dizendo:
Quadro 16: Fala de uma professora participante sobre a aplicação dos métodos
“Eu fiz alguma coisa até mesmo porque eu já estava começando equação, ai eu passei um pouquinho de história, mas eu ainda não passei os problemas em si, então eu levei eles até a sala de informática, então nós pesquisamos sobre os papiros, sobre a Lilavati e cheguei a mostrar alguns problemas para eles, mas não iniciei as resoluções, para o próxima semana eu pretendo trabalhar essa parte dos métodos com eles.”
Fonte: Quadro elaborado pela autora
Continuamos conversando sobre a opinião deles a respeito da possibilidade
de aplicar os métodos apresentados no primeiro encontro, em sala de aula, pois
como havia se passado uma semana, estávamos interessados em saber o que eles
conseguiram assimilar das informações obtidas no primeiro encontro. Três
professores se pronunciaram dizendo:
Quadro 17: Comentários dos professores sobre a aplicação dos métodos
“Eu achei interessante sim, e acho que é interessante mostrar pra eles, saber a opinião deles, sentir como é isso neles. É como pra gente, o que é a história da matemática? A gente gosta porque é da área de matemática, mas assim, como é para o aluno? Como ele vê a história? Como eles iriam desenvolver isso? Eu pretendo planejar para trabalhar com eles, realizar uma experiência para ver como seria isso.”
“Penso que se planejar direitinho e fazer algumas adaptações por conta do tempo disponível que temos, porque isso não pode ser em apenas uma aula ou duas aulas, eu não posso chegar lá e jogar a história, tem que saber trabalhar, é preciso trazer para o mundo deles, apresentar de uma forma lúdica, porque é valido, mas não dá para chegar é disser isso é história da matemática e pronto é preciso ter um planejamento.”
“Penso também que primeiro o professor deve amadurecer a ideia da história, estudar a respeito, para poder passar a diante, pois o aluno tem curiosidade, eles perguntam: Quem inventou a matemática professor? Como começou isso aí? Quem foi o louco? E esse número com essa letra? Então essa ideia de vocês vem de certa formar unir com a necessidade deles de trabalhar....”
Fonte: Quadro elaborado pela autora
Nesse instante iniciamos uma discussão de como poderíamos trabalhar esses
métodos com os alunos em sala de aula, ou seja, do ponto de vista dos professores,
qual seria a maneira mais indicada para discutir esses conhecimentos?
Não faltaram sugestões, tais como: em forma de projetos, em experiências
com uma única sala, de maneira lúdica e gradativa, entre outras. Assim,
83
percebemos que é uma proposta de trabalho que não está pronta e acabada, mas
que é passível de ser adaptada para ser trabalhada em sala de aula.
Nas falas acima, pudemos identificar as considerações de D’Ambrosio (1996)
quanto à importância das atividades serem elaboradas de maneira lúdica e
interessante para despertarem o interesse do aluno.
Ainda podemos constatar o décimo primeiro argumento de Miguel (1997), a
História como um instrumento que pode promover a aprendizagem significativa e
compreensiva da Matemática, que aponta a importância de se levar em
consideração os questionamentos dos alunos, justificando os motivos pelos quais se
devem aceitar certos fatos, raciocínios e procedimentos.
Seguindo, ainda, com essa abordagem, contamos com mais algumas
opiniões.
Quadro 18: Continuação dos comentários, sobre a aplicação dos métodos
“Eu tenho a ideia de trabalhar isso no nono ano. Qual minha intenção, primeiro fazer de forma algébrica e depois apresentar a forma retórica e para verificar, de repente alguns podem gostar mais dessa ou mais daquela, então deixar pra eles verificar qual caminho pra eles seria mais interessante, mais acessível, ver na prática quem tem em meio a sua aplicação.”
“Eu acho que o que ele falou é interessante, porque você dá vários caminhos para o aluno chegar ao resultado, qual ele vai pegar e vai escolher, sei lá, de repente o aluno que tem dificuldade em realizar operações inversas ele pode optar pelo método da regra da falsa posição.”
“Aí minha intensão Denise, é trabalhar com eles vários exercícios e ver qual o método que foi mais utilizado, e aí tabular para ver quantos fizeram pela forma algébrica e quantos fizeram pela forma retórica. Na sua proposta eu percebo uma segunda opção de trabalho.”
“Eu percebo que podemos sair do meio comum do mecânico.”
“O fator principal é você, o professor quebrar essa resistência, geralmente observar, estudar e compreender né, para você passar. Então primeiro passa por nossa própria resistência, querer e aceitação e verificar que isso é valido, porque se você tem uma outra opção, que você pode explicar aquilo ali, uma maneira totalmente diferente, acho que isso ajuda bastante né os alunos e acho também que enriquece a aula do professor.”
Fonte: Quadro elaborado pela autora
Como se pode observar um dos participantes (primeiro comentário do quadro)
sugeriu fazer o inverso em relação ao que ocorreu na História, mas da forma como
vivenciou no curso. Entendemos que essa sugestão está acordada com o nono
84
argumento de Miguel (1997) A História como um instrumento promotor de atitudes e
valores, pois permite eliminar as diferenças existentes entre o modo como a
Matemática é apresentada ao estudante e o modo como ela foi, na verdade,
produzida.
As falas que finalizam as sugestões de trabalho deixam entrever, para nós,
que estávamos no caminho certo para atingir nosso objetivo de pesquisa (analisar
como a História da Matemática pode contribuir para o ensino e a aprendizagem da
Matemática da Educação Básica), pois estávamos conseguindo promover reflexões
e propostas de ensino.
Os professores, por sua vez, consideraram a possibilidade de utilizar a
História da Matemática em sala de aula. O conhecimento histórico construído, até o
presente momento, pelos participantes, despertou o interesse em conhecer melhor a
História da Matemática. Essa abordagem contribui para motivar os participantes
desse estudo.
Quanto à motivação, D’Ambrosio (1996) aponta que a História da Matemática
no ensino deve ser analisada, sobretudo pelo seu valor de motivação para a
Matemática. Baroni e Nobre (1999) consideram que não se pode apenas considerar
a História da Matemática como elemento motivador, uma vez que engloba
elementos associados ao conteúdo matemático e sua atividade educacional. Essa
associação “se fortalece a partir do momento que o professor de Matemática tem o
domínio da história do conteúdo que ele trabalha em sala de aula” (p.132). Já Miguel
(1997), em seu primeiro argumento, apresenta criticas a essa potencialidade.
Porém, ao analisarmos as falas dos professores participantes, entendemos que os
mesmos se sentiram motivados para a realização de novas atividades em sala de
aula envolvendo a História da Matemática, ilustrando dessa maneira, a presença
dessa potencialidade.
Em seguida, iniciamos então a apresentação da fase sincopada, primeiro
mencionando as ideias de Diofanto, sua História e contribuições para a fase em
questão, em conformidade com o roteiro de atividade 2, entregue aos professores no
início desse segundo encontro.
85
“Encontrar dois números com soma e produto dados” (ROQUE, 2012, p. 232).
Iniciamos as atividades com o método utilizado por Diofanto para resolver
problemas do segundo grau e sistemas lineares. Para demonstrar o procedimento
apresentamos um poema escrito em sua lápide.
Deus lhe concedeu ser um menino pela sexta parte de sua vida, e somando uma duodécima parte a isto cobriu-lhe as faces de penugem. Ele lhe acendeu a lâmpada nupcial após uma sétima parte, e cinco anos após seu casamento concedeu-lhe um filho. Ai! Infeliz, criança tardia; depois de chegar à metade da vida de seu pai, o destino frio o levou. Depois de se consolar de sua dor durante quatro anos com a ciência dos números ele terminou sua vida (BOYER, 2010, p. 121).
Resolvemos junto o poema utilizando a notação algébrica, equacionando os
versículos e assim encontrando a idade da morte de Diofanto.
Logo após, apresentamos o procedimento que Diofanto utilizava para resolver
os problemas da época. Para exemplificar trouxemos o problema 27 do livro I de
Diofanto.
Primeiramente, como já de costume, resolvemos esse problema pelo método
algébrico e depois pelo método sincopado. (Ver p. 124).
A partir dessa resolução, iniciamos uma discussão sobre a lógica que estava
por trás das ideias de Diofanto. Um professor apresentou várias hipóteses sobre os
motivos pelos quais Diofanto utilizava daqueles procedimentos:
Quadro 19: Reflexão de um professor a respeito da lógica dos problemas de Diofanto
“Da outra vez que você apresentou resolução da soma e o produto, será que não tem muito a ver com o problema de calculo de área? O fato de ele chegar e dividir por dois, já saber que a área máxima é o quadrado e essa diferença que ele faz do arithmo lá no produto com certeza ela vai aparecer né, existe uma parte que pode ser do x e a outra será do y. Quando ele divide por dois eu imagino que ele já tinha ideia da área máxima, então qual seria? Seria o quadrado, então com certeza em um dos lados você teria um número a mais e no outro, talvez, menos, e aí que o produto aparece. Eu achei que fica fácil, você pode até trabalhar com uma corda fechada e você pode verificar isso ai tranquilamente, eu fiquei pensando isso: Será que não tem a ver com a geometria? E até a garantia da escolha do número, talvez, esteja ligado a isso.”
Fonte: Quadro elaborado pela autora
86
“Achar dois números cuja soma seja um número dado e cujos quadrados
somados deem um número dado” (SERRÃO; BRANDEMBERG, 2013, p.6).
Para vocês resolverem: encontre x, y, z tal que e
em que
Nessa fala do professor, identificamos a presença do argumento oito de
Miguel (1997) quanto à História como um instrumento unificador dos vários campos
da Matemática, pois aqui o professor busca na geometria uma justificativa do seu
pensamento para a lógica do procedimento de Diofanto. Além disso, as hipóteses
aventadas pelo professor deixam entrever que o argumento sete a História como um
instrumento de promoção do pensamento independente e crítico está presente
nesses questionamentos que remontam ao modo como Diofanto elaborou e
desenvolveu os procedimentos próprios desse método da fase sincopada.
Dando continuidade, propussemos aos professores presentes a resolução do
problema 28 do livro I de Diofanto.
Os professores não encontraram dificuldades para resolver esse problema.
Assim, em seguida, sugerimos que resolvessem um problema de sistema linear que
elaboramos. Nossa intenção era elaborar um problema cuja solução apresentasse
pelo menos um resultado negativo. Queríamos desse modo, justificar qual o
procedimento usado por Diofanto para a escolha dos números, pois ao atribuir
valores para a, b e c, tinha o cuidado de observar que o resultado da divisão por dois
da soma desses valores, não poderia ser menor do que o maior valor escolhido para
a, b e c. Assim procedendo, Diofanto sabia que a solução encontrada não teria
nenhum número negativo.
87
Esse problema apresenta como resultado números negativos e esse aspecto
foi enfatizado durante a atividade, uma vez que para Diofanto os números negativos
eram desprezados. Então levantamos a questão de qual era a explicação
Matemática para que o procedimento de Diofanto atendesse às restrições impostas
para que a solução encontrada fosse sempre números positivos.
Discutimos e explicamos qual era a lógica que Diofanto utilizava para não
obter resultados negativos em seus problemas e novamente percebemos nas
respostas dos professores a presença do oitavo argumento de Miguel (1997) como
podemos verificar nas falas a seguir:
Quadro 20: Falas dos professores que confirmam o argumento oito de Miguel (1997)
“Mas será porque isso tudo era voltado para a geometria, e na geometria a gente não tem medida negativa. Porque em algumas leituras que fiz, não se usa medida negativa porque era tudo voltado a geometria. Se era voltado à geometria não tinha medida negativa.”
“Esse método é a resolução por substituição.”
Fonte: Quadro elaborado pela autora
Perguntamos aos professores presentes qual a primeira ideia que eles
tiveram para resolver o problema apresentado. Eles disseram que utilizaram o
método do escalonamento. Em seguida, apresentamos o procedimento que Diofanto
utilizava para a resolução desse tipo de sistema. Observamos que todos ficaram
surpresos com a facilidade e simplicidade para resolver um sistema de três
equações com três incógnitas tomadas duas a duas. Por conseguinte, surgiram os
seguintes comentários:
Quadro 21: Comentários dos professores sobre o método de Diofanto
“Percebemos que a história é colocada em sala de aula sem que o professor saiba que está trabalhando técnicas passadas.”
“Eu vejo também que esse assunto da resolução de sistema, pode ser utilizado no ensino médio, aí você apresenta essa forma de resolver porque na resolução de sistema da forma escalonada às vezes é difícil do aluno entender, mas isso aí do jeito que foi feito fica muito mais fácil para iniciar a resolução de sistemas. Claro que tem sistemas que não dá para serem resolvidos dessa maneira, mas é um bom inicio. Iniciar dessa forma facilita, vale a pena essa contextualização histórica. Mostrar essa questão histórica e até fazer um comentário de que esse método era resolvido em determinada época.”
“Essa é a função da história, utilizar a história como recurso pedagógico.”
Fonte: Quadro elaborado pela autora
88
“Suponhamos, em notação atual, a equação ” (ROQUE,
2012, p. 254)
1) Reduza a equação ao quarto caso. ( )
2) Resolva a equação pelo método de Al-Khwarizmi.
Como podemos notar, as falas dos professores participantes indicam a
importância dada à História como recurso pedagógico, além de suas contribuições
para abordar determinados conteúdos em sala de aula. Em conformidade temos o
terceiro argumento de Miguel (1997) qual seja, a História como fonte de métodos
para o ensino e aprendizagem da Matemática, inferindo que a dimensão pedagógica
da História pode estar “vinculada à questão da seleção de métodos adequados de
ensino-aprendizagem dos conteúdos matemáticos” (p.79). Pudemos verificar, no
primeiro comentário do quadro 18, o argumento cinco de Miguel (1997), o qual
consiste na História como um instrumento que possibilita a desmistificação da
Matemática e a desalienação de seu ensino, visto que, tal argumento aponta para o
fato de que a maneira como normalmente o conteúdo matemático é apresentado
para os alunos não revela a maneira como os conceitos foram construídos
historicamente.
Ainda na fase sincopada, apresentamos o método de resolução para as
equações de segundo grau com o árabe Al-khwarizmi.
Antes de iniciarmos a exposição do método, apresentamos alguns fatos
históricos importantes dessa civilização, tais como a invenção do zero no século IX,
o surgimento da palavra álgebra, etc.
Realizamos passo a passo a resolução de um problema de equação de
segundo grau pelo método de Al-khwarizmi e sugerimos que eles resolvessem o
problema a seguir, utilizando o referido método:
Para essa equação de segundo grau, ( ), de acordo com o método
de Al-Khwarizmi, o coeficiente de x2 = 1 denomina-se mal; o coeficiente de x = b
89
denomina-se jidhr e a variável independente c, denomina-se adad. (Ver Roteiro de
atividade III, p. 128).
Novamente, junto com os professores, resolvemos o problema passo a passo,
para que pudessem compreender de maneira clara o procedimento utilizado por Al-
Khwarizmi. Destacamos que só era possível encontrar uma solução, pois a outra
seria um valor negativo o qual Al-Khwarizmi não possuía conhecimento.
Então questionamos, porque o procedimento utilizado por Al-Khwarizmi dava
certo, obtendo as seguintes respostas por parte dos professores participantes:
Quadro 22: Respostas dos professores sobre o procedimento de Al-Khwarizmi
“Eu acho que cai de novo no problema da área do quadrado.”
“Eu usei na verdade a metade do perímetro. Tem que igualar que é a soma dos dois, de um quadrilátero sei lá, é (a+b). Você considera x+y que é a soma. (x+y) é 10 que é soma e produto, então se você pensar que é um quadrado e considerando x e y igual, mesma ideia, você divide por 2 dá 5. É o que falta para completar desse lado.”
Fonte: Quadro elaborado pela autora
Após essas falas, os professores conseguiram visualizar o que estava
acontecendo, concluindo que se tratava de um complemento de quadrados, que era
a regra do balanceamento dos árabes naquela época. Então fizemos a
demonstração para eles, na prancheta, do complemento de quadrados, e eles
ficaram surpresos em perceber o quanto era fácil o método utilizado pelos árabes.
Explicamos que tudo o que Al-Khwarizmi resolvia algebricamente também
resolvia geometricamente. Houve um grande interesse por parte dos participantes
em conhecer como era feita essa resolução, pois desde o inicio da apresentação da
fase sincopada verificamos que as respostas dadas pelos professores quanto aos
motivos pelos quais os métodos dessa fase eram resolvidos daquela forma tinham
relação com a geometria, caracterizando o argumento oito de Miguel (1997) que diz
respeito à História como instrumento unificador dos vários campos da Matemática.
Apresentamos mais algumas equações para que os professores presentes
naquele dia resolvessem pelo método árabe e mais uma vez não tiveram nenhuma
dificuldade em desenvolver pelo método de Al-Khwarizmi.
90
Encerramos esse encontro com muita satisfação, pois pudemos perceber que
os professores participaram ativamente das atividades e muito contribuíram com
suas opiniões quanto ao uso da História da Matemática em sala de aula. Não
pudemos deixar de notar a satisfação deles em estar conhecendo uma proposta
nova de trabalho e seus interesses em buscar um novo conhecimento, uma nova
ferramenta para auxiliar no ensino e aprendizagem da Álgebra.
As potencialidades por nós destacadas para esse encontro evidenciam,
dentre outros já comentados, o quarto argumento de Miguel (1997) que aponta a
História como uma fonte para seleção de problemas práticos, curiosos, informativos
e recreativos a serem incorporados nas aulas de Matemática. Esse ponto de vista de
Miguel (1997) também é reverenciado por D’Ambrosio (1996) quando discorre sobre
as características das atividades, que devem ser lúdicas de maneira que desperte o
interesse do aluno. Outro argumento presente é oito sobre a História como um
instrumento unificador dos vários campos da Matemática, pois percebemos que ao
discutimos a resolução algébrica de um problema fomos reportados ao campo
geométrico da Matemática. Não podemos deixar de citar, igualmente, a História
como um instrumento que pode promover a aprendizagem significativa e
compreensiva da Matemática (argumento onze), pois percebemos que os
professores gostaram muito dos dois métodos apresentados por terem tido a
oportunidade de aprender com significado e compreensão.
91
3.3 Terceiro encontro: fase simbólica
Figura 10: Professores participantes do terceiro encontro
Fonte: acervo da pesquisa
Em nosso terceiro e último encontro, contamos com a presença de nove
professores. As atividades foram realizadas no mesmo espaço em que ocorreu o
primeiro encontro e novamente contamos com ativa participação dos professores.
Iniciamos o encontro recapitulando as duas últimas fases vistas
anteriormente, dando maior ênfase à fase sincopada, por ter sido a última e, embora
fosse uma fase em que se iniciavam as abreviações, a escrita ainda era muito
presente, como pudemos observar nos métodos e procedimentos utilizados por
Diofanto e principalmente por Al-Khwarizmi.
Como no encontro anterior os professores manifestaram interesse pelas
demonstrações geométricas. Nesse terceiro encontro trouxemos uma demonstração
geométrica utilizada por Al-Khwarizmi que foi discutida e comentada pelos
presentes.
Para tal demonstração utilizamos a equação 4882 xx , que já havia sido
resolvida pelo método de Al-Khwarizmi, pelos professores participantes do segundo
encontro. (Ver Apêndice IV – Roteiro de Atividade III)
Seguimos o raciocínio de primeiro resolver algebricamente e em seguida pelo
método de Al-Khwarizmi, com o propósito de relembrar e comparar os resultados no
final da atividade. Resolvemos a equação na lousa, enquanto os professores
92
acompanhavam pelo roteiro de atividade. Relembramos que Al-Khwarizmi só
encontrava uma resposta para a equação, pois ainda não tinha conhecimento dos
números negativos e, em seguida, apresentamos uma apropriação da resolução
geométrica utilizada por Al-Khwarizmi extraída de Guelli (1992).
Realizamos a demonstração passo a passo, na lousa, e sugerimos que os
professores fossem resolvendo conosco no roteiro de atividades (Apêndice IV). Ao
término da demonstração, um dos comentários efetuados foi:
Quadro 23: Comentário de um professor a respeito da demonstração geométrica – Al-Khwarizmi
“Gostei muito, pois é uma proposta diferente de trabalho. Pensando no lado do aluno, trabalhar com desenho pode ser mais interessante para ele.”
Fonte: Quadro elaborado pela autora
Esse comentário nos remete aos apontamentos de D’Ambrosio (1996)
quando enfatiza a necessidade de desenvolver atividades que despertem a
curiosidade do aluno nas aulas de Matemática, buscando assim na História da
Matemática recursos para a elaboração dessas atividades. Ainda entendemos que o
argumento três de Miguel (1997) quanto à História como uma fonte de métodos para
o ensino e aprendizagem da Matemática também se faz presente nesta fala, pois
segundo esse pesquisador,
[...] poderíamos buscar apoio na história da matemática para escolhermos métodos pedagogicamente adequados e interessantes para a abordagem de tópicos tais como: resoluções de equações e de sistemas de equações, [...], etc. (MIGUEL, 1997, p. 78).
Demos continuidade a essa abordagem da demonstração geométrica com a
realização de outras atividades contidas no roteiro, tais como dado uma figura
encontrar a equação do segundo grau e calcular a raiz (Ver problemas 1 e 2,
Apêndice IV). Explicamos para os participantes que, para AlKhowarizmi, a figura do
quadrado representava o quadrado da incógnita e o lado do quadrado representava
a incógnita de primeiro grau. Em seguida, resolvemos o primeiro problema na lousa
e propomos aos professores a resolução do segundo. Novamente fomos
percorrendo as mesas e conversando com eles para ver se ainda tinham alguma
dúvida, mas todos acertaram de primeira.
93
Figura 11: Professores realizando atividade.
Fonte: Acervo da pesquisa
Enquanto os professores resolviam as atividades do roteiro percorríamos as
mesas para auxiliá-los caso eles apresentassem alguma dificuldade ou dúvida
durante a resolução.
Contamos com a ajuda de uma professora para a resolução na lousa do
segundo problema proposto (Figura 13).
Figura 12: Professora apresentando resolução do método geométrico – Al-Khwarizmi
Fonte: Acervo da pesquisa
No quadro 24 apresentamos os comentários efetuados pelos professores a
respeito da demonstração.
94
Quadro 24: Comentários dos professores a respeito da demonstração geométrica
“Então Denise, nós descobrimos que x é 7, mas como explicar para o aluno que a medida menor é 10 e a maior é 7, porque o lado x no desenho é maior e vale 7 e o quadrado menor vale 10?”
“Eu acho assim, que ali você só fez uma ilustração da situação, então aquilo não está numa escala não está na medida real, então é mais para ele visualizar.”
“O que dá para perceber é que o quadrado do meio seria pequenininho e os retângulos seriam grandes.”
“Dá até de repente para trabalhar a questão da comparação, proporção, vincular a outros conteúdos.”
“Fatalmente você pode até induzir o aluno. Assim ele estimar que realmente vai dá maior, que você vai completar o quadrado, que pode ter um quadrado maior que aquele do início.”
“Poderia ser até uma questão que a gente falasse: qual geometricamente, no desenho, qual o desenho seria mais adequado, também pode tirar daí essa construção e tentar trabalhar essa questão da proporção, muito bom!”
Fonte: acervo da autora
Essa discussão foi positiva, pois suscitou muitos comentários e reflexões.
Mais uma vez percebemos a História da Matemática como fonte para seleção de
problemas práticos, curiosos, informativos e recreativos a serem incorporados nas
aulas de Matemática, conforme o quarto argumento de Miguel (1997) e ainda a
História como um instrumento unificador dos vários campos da Matemática,
argumento oito, também do mesmo autor.
Essa demonstração geométrica não estava dentro do nosso plano de
atividades, mas no momento em que os comentários dos professores foram
tomando corpo, surgindo maior interesse a respeito desse assunto, julgamos
importante buscar e trazer essa demonstração, pois além de sanar as curiosidades
advindas das atividades realizadas no segundo encontro, também fomos buscar na
História da Matemática respostas para os questionamentos quanto ao tema em
questão. Dessa forma, buscamos apresentar um novo conhecimento e uma nova
opção para se trabalhar com os alunos. Assim, entendemos que fizemos valer a
nossa percepção quanto aos dois argumentos fundamentados por Miguel (1997)
citados acima.
Chegou então o momento de falarmos da fase simbólica da Álgebra, que
contou com as contribuições de Viète. Para tanto, realizamos uma breve
95
apresentação da vida de Viète, onde viveu sua profissão e contribuições a
Matemática, além de sua habilidade em decifrar códigos secretos.
Tais informações contribuíram para que os professores esboçassem interesse
e se envolvessem com a História da vida de Viète. Conversamos um pouco a esse
respeito sem desviar do foco do nosso propósito, qual seja o de apresentar a fase
simbólica da álgebra.
Prosseguimos apresentando os principais símbolos utilizados por Viète para
escrever uma equação algébrica. Tal escrita era composta por alguns símbolos,
algumas palavras abreviadas e outras escritas por extenso, o que fez com que os
professores percebessem as três fases juntas (APÊNDICE IV).
Questionamos os professores sobre a importância de se ensinar ao aluno a
escrita de uma equação na época de Viète, o que fez surgir as seguintes respostas:
Quadro 25: Respostas dos professores quanto à escrita das equações de Viète
“Nossa senhora, pra gente sim, mas para o aluno não. O professor precisa sim saber de onde surgiu, mas talvez para o aluno... Para o professor é valido, é um fato histórico, é importante.”
“Eu acho que é legal apresentar para o aluno do ensino médio que tem um entendimento uma maturidade melhor e até para você explicar que hoje em dia é mais fácil fazer essa comparação, tá vendo como é difícil, a gente acha que a matemática é fácil, mas antigamente dava mais trabalho, você tinha que escrever mais, acho que é uma comparação legal para tranquilizar o aluno que tem esse conceito.”
“É preciso ter cuidado ao trabalhar a história para não tornar uma coisa maçante, o professor deve ter o conhecimento.”
Fonte: Quadro elaborado pela autora
Diante de tais respostas identificamos a importância para o professor em ter
conhecimento da História do conteúdo a ser desenvolvido em sala de aula. Os
autores Baroni e Nobre (1999) nos faz recordar que “é plausível dizer que tanto
quanto o conteúdo matemático há a necessidade de o professor de Matemática
conhecer sua História, ou seja: A História do Conteúdo Matemático” (p. 130).
Neste sentido, podemos perceber que nossa questão de pesquisa (De que
maneira a História da Matemática pode auxiliar os professores nos processos de
ensino e aprendizagem da Matemática da educação básica?) aos poucos foi sendo
respondida, pois naquele momento da experiência formativa evidenciou a
96
importância do conhecimento da História da Matemática para o ensino de conteúdos
matemáticos presentes na educação básica.
Dando continuidade, propomos algumas equações escritas na linguagem de
Viète para os professores traduzirem para a notação moderna com o proposito de
trabalhar as notações antigas e atuais (Ver Apêndice IV). Mostramos ainda um
quadro10 com a evolução das notações algébricas, iniciando com Viète, passando
por Harriot e chegando a Descartes.
Também apresentamos informações quanto ao surgimento do ponto (.), como
símbolo para representar a multiplicação, introduzido por Leibniz em 1698. Neste
momento fomos surpreendidos com a seguinte fala:
Quadro 26: Fala de um professor sobre introdução do ponto (.) como símbolo matemático
“Eu iria perguntar justamente isso, que curioso, achei muito bom!”
Fonte: Quadro elaborado pela autora
Trata-se, ao nosso ver, de mais uma fala que reforça nossa crença quanto à
importância do conhecimento histórico da Matemática.
Em seguida, apresentamos como Viète resolvia uma equação de segundo
grau. Solicitamos aos professores que acompanhassem conosco a resolução de
Viète passo a passo, devido à complexidade da demonstração11.
Diferentemente de outros momentos do processo formativo, o término da
demonstração foi acompanhado de silencio, o que nos fez questionar sobre o que os
professores acharam dessa demonstração. A esse questionamento obtivemos as
seguintes respostas:
Quadro 27: Respostas dos professores sobre a demonstração de Viète
“Por isso que Bhaskara é mais popular.”
“Na verdade isso é uma demonstração da formula de segundo grau.”
Fonte: Quadro elaborado pela autora
10
Ver capítulo 2, p. 62. 11
Essa demonstração encontra-se no Capítulo 2, p. 62.
97
A atitude dos professores, diversamente daquelas até então observadas,
deveu-se ao fato da complexidade da demonstração elaborada por Viète e que a
maioria deles nunca tinham visto.
Sugerimos que a equação fosse agora resolvida pelo método de
Viéte, uma vez que já havia sido resolvida no início do terceiro encontro pelo método
de Al-Khwarizmi, algebricamente e pela demonstração geométrica. Tinhamos como
intuito de fazer uma comparação ou prova de que os resultados davam o mesmo,
independentemente do método utilizado. Fomos acompanhando os professores e
durante a resolução sugiram os seguintes comentários:
Quadro 28: Comentários dos professores sobre a resolução do método de Viète
“Achei muito mais interessante esse método, faz mais sentido do que o geométrico, é muito bom, acho legal iniciar com o geométrico e depois mostrar o algébrico, para que o aluno perceba a diferença e a necessidade que se tem de trabalhar com a álgebra, pois o método geométrico só dá para encontrar uma raiz, já o algébrico, pelo Viète, dá para encontrar as duas. Acho importante mostrar essa limitação.”
“Achei trabalhoso, mas é gostoso.”
“Gostei mais do método do Al-Khwarizmi.”
Fonte: Quadro elaborado pela autora
Embora apresentassem opiniões diferentes, notamos que os professores
estavam satisfeitos com o que estava sendo apresentado a eles.
Ao término da resolução iniciamos uma discussão quanto à possibilidade de
se trabalhar esse método em sala de aula, obtendo diferentes opiniões, conforme
consta no quadro a seguir:
Quadro 29: Sobre a aplicação do método de Viète em sala de aula
“Eu acho assim, talvez seja difícil pelo menos com os meus alunos. Eu percebi assim que são poucas coisas que eles gravam, então gravar todo o processo.... Talvez se fizer um roteiro como você fez eles consigam, eu acredito que eles consigam.”
“Eu sinto isso como uma aventura, a gente treina a logica das coisas, sentir onde isso vai dá, só que pra eles, eles não ligam isso a alguma coisa da vida deles, pelo menos nesse momento, então é complicado isso, porque, o porque que eu estou estudando isso? Pra que eu vou mostrar isso?”
“Também eu vejo que no dia a dia ele não precisa disso.”
“Eu vejo que é o momento que eu posso associar a equação do segundo grau.”
“O único momento que eu vejo assim, quem vê aplicação do processo de evolução da equação do segundo grau quando ele associa com a física, o professor consegue,
98
digamos assim, associar de forma no momento do século ele começa a ter uma noção clara da utilização disso daí, ele consegue até fazer abstrações mais isso ai leva um pouquinho de tempo.”
“Assim, eu só ia colocar que mesmo abrindo essa inter né, relacionando com outras disciplinas, eu acho assim que resolver um problema de física também não é interessante para o aluno, eu acho assim que se preocupa muito em saber pra que que serve essa matemática, serve pra isso, isso e isso, então ela perdeu o caráter de ciência. Então o quê que nos vamos ter futuramente, nos não vamos ter pesquisadores mais, é triste isso.”
“Exatamente, não pensar na matemática como ferramenta e exigir do professor de matemática que ele dê um exemplo de cada situação cotidiano que ela vai, sei lá que caminho você vai tomar, eu vou fazer medicina onde é que eu uso isso, eu não tenho como te dizer eu não sou médico, o que eu tento passar pra ele é o seguinte eu estou te ensinando se o médico for usar você tem que saber né, mas eu não sou capaz, é pedir demais de mim que eu dê um exemplo para cada área do conhecimento.”
“É até professor, desafiador pra nos, você trabalhar buscar essa linha.”
“É muito complicado você trabalhar o tempo todo buscando exemplo.”
“Mas é impossível é exigir demais, tem que ser bom em tudo, não tem como, é exigir demais, tem coisa que não dá para associar com o cotidiano, a matemática é ciência é exata.”
Fonte: Quadro elaborado pela autora
Percebemos em algumas falas a necessidade de relacionar o conteúdo que
se trabalha em sala de aula com o cotidiano do aluno. Neste sentido Radford (2011)
considera que a investigação epistemológica histórica auxilia na compreensão das
dificuldades intelectuais do aluno, além de contribuir com a possibilidade de surgir
novos meios de relacionar esse conhecimento com a sala de aula, ou seja, com o
cotidiano. O décimo argumento de Miguel (1997), a História como um instrumento de
conscientização epistemológica, também discute a necessidade do aluno em
relacionar o conteúdo matemático com o seu cotidiano e indica que esse aluno ainda
não está maduro o suficiente para conceber a Matemática como ciência, o que se
constata na última fala do quadro 29, “a Matemática é uma ciência é exata”. Bicudo
(1999) ainda considera que o estudo da História da função da Matemática e de sua
aplicação nos diferentes campos da sociedade, pode ser de grande valia para a
elaboração dos currículos tanto quanto para dar suporte ao professor na sala de
aula. A dificuldade em encontrar exemplos próprios do cotidiano escolar para alguns
conceitos matemáticos mostrou ser uma das preocupações dos professores,
interessados em uma introdução da abstração de forma progressiva.
99
Perguntamos aos professores se era importante para os alunos conhecer as
três fases de desenvolvimento da álgebra ou se isso era válido somente para o
professor.
Quadro 30: Sobre as três fases de desenvolvimento da álgebra
“Alguns tópicos sim, muito interessante, agora para o professor mais ainda, ter o domínio para você poder argumentar, isso é muito interessante.”
“Agora eu acho interessante assim, passar pelas 3 fases não falando que é, mas colocando como situações como problemas pra eles sentir que realmente a matemática do simples é o que permite mais resolver algumas coisas com mais facilidade e que há a necessidades das fórmulas mesmo né, porque ele precisa ter um entendimento dessa fórmula.”
“Eu acho assim, o correto seria passar por essa construção, o aluno nem precisa saber que é da fase sincopada ou simbólica, mas a gente assim procurar direcionar a construção sei lá de tal conhecimento baseado, embasado nisso aí.”
“Mas um ou outro, porque é assim a gente precisa de um ou outro, então a gente vai despertar a atenção, então de fato eu acho que vale sim, talvez naquele dia com aqueles mais interessados.”
“Eu já vejo assim essa parte de você trabalhar, mostrar, eu não sei se vai causar interesse, mas de repente eles perceberem a importância, né, você hoje chega você mostrar isso antes de você chegar a fórmula de Bhaskara pra dar importância como não foi nada assim fácil, foi muito trabalhoso, muitos estudos, houve controvérsias, até chegar. Para eles sentirem a importância da matemática, agora desenvolver isso, acho que não, mas mostrar pelo menos né.”
“Porque você tem outro artificio pra você poder estar mostrando de uma maneira diferente, sem você estar falando de fórmula, você dá uma aplicação né que ele vai conseguir desenvolver e ai você chegar na formula e aí a fórmula vai tornar mais pratica, mas é... eu acho que é isso, o lado positivo.”
“Falando assim da minha experiência como professor o aluno pergunta assim quem inventou isso como se alguém chegasse num belo dia e falasse: o tá aqui, ele não vê isso como um desenvolvimento como um processo que foi se aprimorando, o contexto histórico é muito importante por isso pra ele poder mostrar para o aluno que isso é um caminhar e até mesmo pra ele não vê a álgebra como algo pra complicar a vida dele, i agora vem letra agora complica tudo, que sim pra facilitar.”
“Que hoje ele sabe mais, porque é bem trabalhoso não é fácil não.”
Fonte: Quadro elaborado pela autora
De acordo com as opiniões dos professores podemos notar que eles
consideram importante que os alunos tenham conhecimento das três fases de
desenvolvimento da álgebra, porém destacaram que esse trabalho deve ser
realizado de maneira gradativa, sem que o aluno perceba que está estudando
determinada fase, ou seja, como acentua D’Ambrosio (1996), sem um desfilar de
datas, nomes, resultados, fatos, etc. Percebemos também, a necessidade de se
desenvolver o argumento cinco de Miguel (1997) que revela a História como um
100
instrumento que possibilita a desmistificação da Matemática e a desalienação de seu
ensino, esse argumento fica evidente quando os professores destacam a
importância da construção histórica dos conceitos matemáticos abordados em sala
de aula, pela necessidade de mostrar como esses conceitos foram sendo
historicamente produzidos. Ainda contamos com o argumento nove de Miguel
(1997), tomando a História como um instrumento promotor de atitudes e valores, por
revelar a importância de se eliminar a divergência entre a maneira como a
Matemática é apresentada ao estudante e a maneira como ela foi realmente
produzida.
Foi notória a preocupação dos professores em oferecer respostas aos
questionamentos dos alunos e de ensinar com significado e compreensão. Para
justificar essa preocupação contamos, novamente, com o décimo primeiro
argumento de Miguel (1997) – a História como um instrumento que pode promover a
aprendizagem significativa e compreensiva da Matemática, por considerar os
questionamentos dos alunos justificando os motivos pelos quais se devem aceitar
certos fatos, argumentos e procedimentos.
Corroborando com as ideias citadas acima, Mendes (2001) declara que “A
Matemática, como qualquer área do conhecimento humano tem seu desenrolar
evolutivo capaz de caracterizá-la como uma ciência que também se desenvolve a
partir de sua própria história” (p.18).
Dando continuidade, encerramos essa parte da discussão e solicitamos aos
professores que respondessem o questionário final. Após o término do
preenchimento do questionário final, finalizamos nossas atividades com os
professores, agradecendo a todos por terem participado dos encontros e por terem
contribuído com suas opiniões e sugestões.
3.3.1 Do questionário final
Para finalizarmos nossas análises, neste tópico descrevemos o questionário
final, aplicado aos professores participantes no último encontro. Esse questionário
101
contém apenas questões abertas relativas ao conteúdo apresentado nos três
encontros. As considerações dos professores quanto aos três encontros encontram-
se grafadas em itálico dentro de quadros, cada um deles referente a uma questão.
Quadro 31: Sobre a utilização da História da Matemática no ensino
Sim, o conceito histórico traz um olhar diferente para a disciplina.
Sim, pois é de grande importância, falar do surgimento da matemática até os dias de hoje.
Sim, pois mostrar a origem e sua construção matemática garante uma maior visibilidade, relevância e importância em aprender matemática.
Sim, sempre que conveniente e adequado ao momento (interesse, amadurecimento, etc).
Sim, de forma parcial, adequada a realidade de cada sala de aula.
Provavelmente, pois dependerá da situação e do contexto da aula. Acho interessante e complementa a aula.
Sim, pretendo deixar as aulas atrativas.
Sim. Agora com um conhecimento dessa possibilidade de uso das fases de desenvolvimento da álgebra.
Pretendo sim, mas não de forma “contínua” e curricular, em um momento interessante, uma sala mais receptiva e digamos presente para o assunto.
Fonte: Quadro elaborado pela autora
De acordo com as respostas obtidas na primeira questão, percebemos que
nossos objetivos para essa experiência formativa (apresentar aos professores as
fases de desenvolvimento da álgebra tomando como base as equações algébricas e
refletir junto aos professores sobre o uso da História da Matemática em sala de aula
por meio de métodos e procedimentos de problemas históricos) foram atingidos,
uma vez que os professores participantes desta investigação consideraram que a
História da Matemática auxilia no processo de ensino e aprendizagem das equações
de primeiro e segundo grau, favorecendo a dinâmica das aulas, tornando-as mais
atrativas, justificando sua relevância em transmitir o conhecimento. Ressaltaram a
importância do conhecimento histórico para a prática em sala de aula afirmando que
traz “um olhar diferente para a disciplina”, e que a História possibilita ao professor
ensinar com mais propriedade, complementando sua aula.
Quadro 32: Pontos positivos sobre o uso da História da Matemática como metodologia de ensino
Responde uma das perguntas dos alunos que é “de onde vem”? “quem inventou”?
Para facilitar o aprendizado.
Eu entendo que quanto mais maneiras diferentes para abordar determinado assunto facilitam e contribuem na formação dos alunos no ensino-aprendizagem.
102
É o processo de construção do conhecimento.
Instigar o aluno para a pesquisa.
O grau de evolução.
Tornar a aula significativa.
Fazer com que os alunos valorizem a ciência Matemática, tenham o conhecimento de como chegar às fórmulas.
Em que o aluno entenda que existe uma história além da criação apenas de uma fórmula, foi algo estudado ao longo dos anos e que a fórmula resume o assunto.
Fonte: Quadro elaborado pela autora
Quadro 33: Pontos negativos sobre o uso da História da Matemática como metodologia de ensino
Não existe, só existe a falta de tempo para aplicá-la.
Sem argumentos.
Não vejo de forma negativa, algumas situações, o professor pode reformular conforme a realidade de cada sala de aula.
Não considero negativo, mas como justificar as raízes negativas (1º e 2º método, equações do 2º grau).
Nenhuma.
Não vejo pontos negativos, pois qualquer fato novo ou que não seja tão novo, mas agregador é valido para ser aplicado.
Em minha opinião trabalhar com as formas de equacionar os exercícios na rede pública, mas na rede privada não.
Demonstrações muito complexas; o professor ter esse conceito é primordial para o seu desenvolvimento em sala, já para os alunos fica um pouco difícil, mais é bom conhecer. Talvez colocando de forma mais amena.
Os negativos é que é preciso de concentração e por detalhar, pois é necessário, o aluno se perde, pois não tem esta tal concentração e talvez não queira dar atenção e partir sim para o final.
Fonte: Quadro elaborado pela autora
Quando questionados a respeito dos pontos positivos e negativos do uso da
História da Matemática como metodologia de ensino, os professores consideraram
que os pontos positivos estão relacionados ao aprendizado dos alunos e os pontos
negativos apontados, por alguns desses professores, diz respeito à maneira de
conduzir essa metodologia em sala de aula, ou seja, trata-se mais de obstáculos de
aplicação da metodologia do que pontos negativos.
Quadro 34: Sobre as potencialidades pedagógicas das três fases.
a) Retórica:
A retórica que era uma das disciplinas na Idade Média (não relacionar com a fase retórica da álgebra) ajuda o aluno a entender o enunciado trazendo o aluno para uma
103
reflexão do que ele precisa usar para resolver a situação apresentada.
Como ela surgiu a muitos anos atrás, foi muito importante naquele momento pelo o seu método de ensino.
Entendo que contribui na construção do conhecimento.
O aluno descrever uma dada situação em “linguagem materna”.
É possível a sua abordagem, mostrando ao aluno a possibilidade de resoluções matemáticas, sem o rigor formal.
Me fez reter um conhecimento sobre a história da matemática e vontade de pesquisar sobre esse assunto.
De uma maneira simplificar as possibilidades pedagógicas sem dar nomes e mostrando após o resultado final. Acho esta forma mais correta a passar para os alunos. “Agradeço a sua disposição e empenho para nos passar esse conhecimento”.
b) Sincopada
Essa fase acredito ser importante para a demonstração da evolução.
Também sempre descobrindo varias maneiras e fórmulas para facilitar o aprendizado.
Contribui na construção epistemológica principalmente no conceito de números não negativos.
O aluno sentir que pode-se “criar” ao abreviar algumas informações da situação por conveniência (diminuir o trabalhoso).
Nesta etapa, pode-se abordar a matemática com certos conceitos formal e geométrico. Acredito despertará muita curiosidade ao nosso aluno.
c) Simbólica
É a fase onde podemos “mecanizar” os processos, o uso de simbolismos e fórmulas, ajudam a trazer resultados de forma mais rápida.
Os símbolos as letras, facilita para soluções de equações de termos desconhecidos.
Vem a facilitar o desenvolvimento matemático de forma resolutiva e construtiva.
Por fim, o aluno percebe que a utilização de símbolos torna menos trabalhosa a resolução de determinadas situações, inclusive soluções que não podemos perceber no “concreto manipulável”.
Esta etapa é aquela que deve-se trabalhar a formalização, utilizando os códigos de linguagem da ciência matemática.
Uma obra de arte, simplesmente atrativa.
Facilitada pelo meu interesse “no caso” como professora em saber a fase final.
Fonte: Quadro elaborado pela autora
Diante dos apontamentos efetuados pelos professores quanto as
potencialidades das três fases, podemos depreender que os argumentos seis e dez
de Miguel (1997) se fazem presentes. O argumento seis, História como um
instrumento de formalização de conceitos matemáticos, revela-se nas falas dos
professores pela preocupação em se transmitir o conhecimento com propriedade,
104
pois essa metodologia auxiliou os professores a perceberem diferentes
formalizações de um mesmo conceito. No argumento dez, História como um
instrumento de conscientização epistemológica, identificamos que os professores
enfatizam a necessidade da construção do conhecimento sem muito rigor formal,
atentando para a maturidade cognitiva do aluno, uma vez que ensinar de maneira
gradativa favorece o despertar do espírito investigativo. Radford (2011) corrobora
com tais argumentos quando afirma “que a história da Matemática pode nos dar uma
nova perspectiva sobre o ensino”. (p.44). O autor ainda considera que a
compreensão do conhecimento matemático possibilita encontrar dentro de sua
estrutura histórica, novas alternativas de ensino, ou seja, “sempre descobrindo
várias maneiras e fórmulas para facilitar o aprendizado”.
Quadro 35: Considerações dos professores sobre a experiência formativa
Eu sou apaixonado por história da matemática e história da Educação Matemática. Eu aprendi muito nesse trabalho, parabéns! Realmente fantástico. Bem elaborado e bem aplicado todo conteúdo muito bem trabalhado.
O trabalho foi muito bom, de grande importância para quem trabalha a matemática no dia a dia. Vai ser muito valioso falar da matemática daqui para frente.
Quero parabenizar a professora Denise e a Cida pela maneira competente que conduziram as aulas, contribuindo na formação do professor.
Gostei muito do trabalho apresentado. Sou professora do ensino médio (1ª série noturno, só tenho uma turma). Estou esperando um momento conveniente para apresentar a resolução da equação de 2º grau pelo método da álgebra retórica na Babilônia, mas estou pensando em como deveria introduzir a resolução da equação
(já conhecida como “Bhaskara”) para a forma .
Precisamos de mais trabalhos deste porte, para que possamos ter alternativas (ferramentas) nos nossos trabalhos dentro da sala de aula.
Acho que deveria ter cursos assim todo semestre para melhorar nossa didática.
Você relatar de maneira geral. Gostei do que foi apresentado a fase de desenvolvimento algébrico junto com o registro em geometria, e saindo de um e indo ao outro. Para o aluno o importante é sobre o porquê, e dar a opção de escolha é para nós mais um caminho seja ela qual for para a solução do problema. E tudo que podemos facilitar o nosso trabalho e dar opção para continuar o nosso trabalho. Agradeço a oportunidade.
Fonte: Quadro elaborado pela autora.
Quanto às considerações dos professores referentes à experiência formativa,
verificamos que os professores consideraram importante para seu próprio
conhecimento a abordagem histórica da Matemática e enfatizaram a necessidade de
cursos de formação que colaborem com a didática e metodologia de ensino. Neste
sentido, Radford (2011) contribui com a ideia de que a pesquisa histórica pode
105
exercer importante papel em programas de formação continuada de professores de
Matemática.
106
CONSIDERAÇÕES FINAIS
O objetivo desta investigação foi analisar como a História da Matemática pode
contribuir para o ensino e a aprendizagem da Matemática da Educação Básica.
Nesse sentido, buscamos responder aos seguintes questionamentos: como a
História das equações algébricas, considerando as três fases de desenvolvimento
da álgebra, retórica, sincopada e simbólica, podem auxiliar no ensino das equações
de primeiro e segundo grau na sala de aula? Quais as potencialidades pedagógicas,
postas por Antonio Miguel (1997)’ da História da Matemática puderam ser
observadas durante a experiência formativa de que se trata essa pesquisa?
Com a finalidade de encontrar respostas aos questionamentos que deram
origem a esta pesquisa, realizamos uma experiência formativa em três encontros
com professores de Matemática da rede pública do Estado de São Paulo,
participantes do “OBEDUC – Praticas”. Para tanto, elaboramos um breve panorama
histórico da Álgebra e das equações algébricas, o que nos auxiliou na elaboração
das apresentações e do roteiro de atividades para a experiência formativa. Além
disso, durante os referidos encontros aplicamos um questionário inicial e um
questionário final, além de apresentarmos métodos e procedimentos históricos das
equações de primeiro e segundo grau por meio das três fases de desenvolvimento
da álgebra.
Nosso estudo tomou como principais aportes teóricos as potencialidades
pedagógicas da História da Matemática segundo Antonio Miguel (1997), nos de
Ubiratan D’Ambrosio (1996;1999), no que tange à importância e a motivação do uso
da História da Matemática na sala de aula, os quais nos auxiliaram nas análises dos
encontros com os participantes do “OBEDUC – Praticas”.
Com base no questionário inicial, pudemos verificar que o grupo de
professores participantes, em sua maioria, possuía formação em licenciatura plena
em matemática há mais de 20 anos e atuavam no magistério há mais de 10 anos.
107
Esses professores revelaram ter alguns conhecimentos sobre a História da
Matemática e sua utilização em sala de aula e reconheciam a importância da mesma
como metodologia de ensino. Quanto ao conhecimento dos conceitos algébricos,
consideraram relevante para o ensino da Matemática, sendo indispensável para sua
compreensão e significação. Na averiguação que fizemos quanto ao uso da História
da Matemática como metodologia, o questionário revelou-nos que, embora esses
professores apresentassem conhecimentos sobre a História da Matemática e sua
utilização em sala de aula, a maioria nunca fez uso dela como metodologia para
ensinar equações. O questionário também nos mostrou que os professores
participantes não tinham conhecimento das três fases de desenvolvimento histórico
da Álgebra.
Em resposta aos nossos questionamentos, concluímos que a História da
Matemática se mostrou como uma fonte adequada para a abordagem de métodos e
procedimentos para resolver equações e também como metodologia capaz de
promover uma aprendizagem significativa e compreensiva desse conteúdo
matemático, pois os professores, em seus comentários, nos permitiu inferir que a
experiência formativa realizada contribuiu para o conhecimento das equações de
primeiro e segundo grau, oferecendo novas propostas de trabalho, além de
incentivar os professores participantes a pesquisar, a se inteirar da História da
Matemática. Segundo os Parâmetros Curriculares Nacionais não é suficiente o
professor “situar no tempo e no espaço cada item do programa de Matemática ou
contar sempre em suas aulas trechos da História da Matemática” (1998, p. 43). Ao
contrário, é preciso que o professor encare a História como um recurso para se
ensinar conteúdos sem reduzi-la a fatos, datas e nomes a serem memorizados
(D’AMBROSIO, 1996).
Essa experiência formativa também nos levou a concluir que as
potencialidades pedagógicas da História da Matemática se fizeram presentes em
diversos momentos dessa formação, uma vez que evidenciamos a presença dos
doze argumentos apontados por Antonio Miguel (1997).
Em nosso entendimento, o primeiro argumento a História como uma fonte de
motivação para o ensino e aprendizagem da Matemática se fez presente em nossa
108
experiência formativa ao constatarmos a motivação dos professores em participar
dessa formação, cuja abordagem era a História da Matemática em sala de aula e a
possibilidade aventada pelos participantes de utilizar a História da Matemática como
metodologia em suas aulas.
Quanto ao segundo argumento a História como uma fonte de objetivos para o
ensino da Matemática identificamos sua presença pelo fato dos professores
considerarem importante o ensino e a aprendizagem fundamentada na
compreensão e na significação. Isso foi evidenciado quando eles perceberam que a
História da Matemática pode auxiliar o aluno a entender alguns objetivos da
Matemática por estimular o aprimoramento das ideias matemáticas.
Durante o processo formativo, os professores puderam perceber que, por
meio da História da Matemática, pode-se escolher métodos e procedimentos
adequados para o ensino e aprendizagem de determinados conteúdos matemáticos,
tais como as equações de primeiro e segundo grau, o que caracteriza o terceiro
argumento idealizado por Miguel (1997), qual seja, A História como uma fonte de
métodos para o ensino e aprendizagem da Matemática.
A História como uma fonte para seleção de problemas práticos, curiosos,
informativos e recreativos a serem incorporados nas aulas de Matemática, quarto
argumento, foi assunto comentado em diversas ocasiões durante os encontros.
O interesse dos professores em apresentar para seus alunos o
desenvolvimento histórico das equações algébricas, sem ocultar os obstáculos, os
desapontamentos e o grande percurso que os matemáticos tiveram que percorrer
para chegar a uma estrutura significativa, está em conformidade com o quinto
argumento, a História como um instrumento que possibilita a desmistificação da
Matemática e a desalienação de seu ensino.
O sexto argumento, a História como um instrumento de formalização de
conceitos matemáticos, foi percebido nas falas dos professores, que se mostraram
satisfeitos em terem aprendido diferentes formalizações de um mesmo conceito
algébrico.
109
A História como um instrumento de promoção do pensamento independente e
crítico, argumento sete, é destacado pela preocupação dos professores em ensinar
de maneira coerente os conteúdos matemáticos, que possibilite aos alunos criarem
diferentes estratégias para a resolução de problemas algébricos.
Apontado em vários momentos da nossa experiência formativa, temos o
argumento oito, a História como um instrumento unificador dos vários campos da
Matemática, pois os professores conseguiram buscar na geometria e na aritmética,
respostas para um entendimento mais fundamentado dos conceitos algébricos.
O nono argumento, a História como um instrumento promotor de atitudes e
valores, está em conformidade com o quinto argumento já mencionado, ambos
defendido pelo matemático Morris Kline. Neste sentido, os professores consideraram
importante utilizar-se da História da Matemática para eliminar as divergências
existentes entre a Matemática de hoje e a sua produção.
Os professores também consideraram que os métodos e procedimentos
apresentados auxiliam na formalização gradativa dos conceitos, uma vez que
utilizando a ordem cronológica da evolução histórica da álgebra, o aluno poderá aos
poucos atingir uma maturidade psicológica a qual proporciona a formação
consciente da necessidade de se sujeitar às formalizações. Nestas considerações
evidenciamos o décimo argumento, a História como um instrumento de
conscientização epistemológica.
Destacando a importância de responder a certos questionamentos dos
alunos, tais como: de onde veio isso? Porque isso é assim? Quem inventou? Para
justificar o porquê de determinadas fórmulas, raciocínios e procedimentos, os
professores consideraram que a História da Matemática auxilia em sala de aula a
responder tais questionamentos, o que nos indica a presença do argumento décimo
primeiro, a História como um instrumento que pode promover a aprendizagem
significativa e compreensiva da Matemática.
O décimo segundo argumento de Miguel (1997), a História como um
instrumento que possibilita o resgate da identidade cultural, não foi identificado por
nós nos comentários dos professores participantes, mas entendemos que ele se fez
110
presente nesta experiência formativa, ainda que indiretamente, uma vez que no
desenvolvimento das atividades, os professores refletiram sobre a cultura, os
métodos e procedimentos utilizados pelos egípcios, babilônicos e hindus e buscaram
alternativas para adequá-los à sua prática pedagógica.
Assim sendo, consideramos que as doze potencialidades pedagógicas da
História da Matemática apresentadas por Miguel (1997), foram observadas durante a
experiência formativa.
À luz dos fundamentos teóricos adotados para a consecução desta
investigação concluímos que é pertinente abordar conceitos algébricos adotando
como recurso metodológico a História da Matemática em sala de aula, pois essa
abordagem pode propiciar ao aluno novas estratégias para a resolução de
problemas matemáticos, em especial, aqueles que dizem respeito aos conceitos
algébricos.
Entendemos que, da mesma forma como ocorreu com os professores durante
a experiência formativa, ao tomar ciência e utilizar métodos e procedimentos
adotados durante o desenvolvimento histórico de um determinado conceito
algébrico, o aluno pode atribuir significados a esses métodos e procedimentos,
revelando uma humanização da Matemática, fato que pode auxiliar a Matemática a
ser tornar mais significativa para esse aluno.
Esperamos ainda, contribuir com o conhecimento do professor no que diz
respeito às equações de primeiro e segundo grau para que ele tenha mais opções
para ministrar suas aulas sobre este assunto.
Finalizando nossas considerações, apontamos para a importância do
processo formativo para os professores de Matemática, voltadas à História da
Matemática, pois os professores participantes reconheceram essa relevância, muito
embora admitissem a existência de dificuldades e falta de conhecimento histórico
para que sua utilização ocorra de maneira mais efetiva nas salas de aula.
Nesse sentido, reconhecemos que esta investigação não esgota a
possibilidade da realização de novas experiências formativas envolvendo a História
111
de outros conteúdos matemáticos e esperamos que este estudo possa contribuir
para a formulação de novos questionamentos voltados a esse tema.
112
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116
APÊNDICES
APÊNDICE I
QUESTIONÁRIO – INICIAL
Nome:______________________________________________________
1. Em quais níveis de ensino você atua:
( ) Fundamental. Qual(is) série (s)?_______________________________
( ) Médio. Qual(is) série(s)?____________________________________
2. Qual o nível de sua formação:
( ) Graduação ( ) Especialização ( ) Mestrado ( ) Doutorado
3. Há quanto tempo é formado?_____________
4. Qual o tipo de formação que você possui?
( ) Licenciatura Plena em Matemática
( ) Licenciatura Curta em Matemática
( ) Bacharelado em Matemática
( ) Outra Formação. Qual?_____________________________________
5. Há quanto tempo atua como professor de Matemática?
( ) Menos de 2 anos
( ) De 2 a 5 anos
( ) De 6 a 9 anos
( ) Mais de 10 anos
6. Você já teve algum tipo de contato com a História da Matemática?
( ) Sim ( ) Não. Se sim, de que modo?
( ) Em publicações
117
( ) Em sua graduação
( ) Em sua formação continuada
7. Qual o caráter da História da Matemática em sua formação?
( ) De disciplina obrigatória
( ) De disciplina optativa
( ) Inexistente
8. Em sua Graduação, foi-lhe apresentada a História da Matemática como
metodologia de ensino?
( ) Sim, consistentemente
( ) Sim, brevemente
( ) Não
9. Você já utilizou a História da Matemática como metodologia ou recurso didático
para o ensino da Matemática em suas aulas? Se sim, de que modo?
( ) Sim ( ) Não
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
10. Você considera que a História da Matemática pode auxiliar nos processos de
ensino da disciplina de Matemática? Justifique.
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
Quanto a Álgebra.
1. Você considera relevante o conhecimento algébrico? Justifique
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
118
2. Qual a sua opinião sobre o aprendizado de seus alunos quanto à formação de
conceitos algébricos?
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
3. Em sua opinião, os alunos enfrentam dificuldade para aprender os conceitos
algébricos? Justifique.
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
4. Você já utilizou ou utilizaria a História da Matemática como recurso para a
formação de algum conceito algébrico? Justifique.
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
5. Você já utilizou a História da Matemática como instrumento metodológico para
ensinar equações?
( ) Sim ( ) Não
6. Você conhece as três fases do desenvolvimento histórico da Álgebra? Em caso
afirmativo, cite as fases.
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
Obrigada pela sua colaboração!!!
119
APÊNDICE II
ROTEIRO DE ATIVIDADE I
PROBLEMAS HISTÓRICOS NAS TRÊS FASES DE DESENVOLVIMENTO DA ÁLGEBRA Denise Benino D. Ribeiro
Aparecida R. S. Duarte
A ÁLGEBRA RETÓRICA NO EGITO (ROQUE, 2012, p. 82)
Problema 24: Uma quantidade e seu 1/7 somados fazem 19. Qual a quantidade?
Resolução Algébrica Resolução Retórica
Problema 26: Uma quantidade e seu 1/4 somados fazem 15. Qual a quantidade?
Resolução Algébrica Resolução Retórica
Problema 27: Uma quantidade e seu 1/5 somados fazem 21. Qual a quantidade?
Resolução Algébrica Resolução Retórica
120
A ÁLGEBRA RETÓRICA NO EGITO
Exemplo da regra da falsa posição Um montão, sua metade, seus dois terços, todos juntos são 26. Digam-me: Qual é a quantidade? (GUELLI, 1992, p. 8) Resolução: Inicialmente, atribuíam a montão um valor falso, por exemplo: 18
18.3
218.
2
118 3912918
Os valores falsos (18 e 39) eram então usados para montar uma regra de três simples com os
elementos do problema
Valor Falso Valor verdadeiro
18 Montão
39 26
Quebra-cabeça hindu do século VII
Um colar se rompeu quando brincavam dois namorados. Uma fileira de pérolas escapou. A sexta parte na cama ficou. Um terço pela jovem se salvou. A décima parte o namorado recolheu. E com seis pérolas o colar ficou. Diga-me, leitor, quantas pérolas tinha o colar dos namorados. (GUELLI, 1992, p. 09)
Resolução Algébrica Resolução Retórica
12montão
39
468montão
261839montão
26
montão
39
18
121
A ÁLGEBRA RETÓRICA NA BABILÔNIA 1) “Comprimento, largura. Multipliquei comprimento por largura, obtendo assim a área: 252. Somei comprimento e largura: 32. Pede-se: comprimento e largura” (BAUMGART, 1992,p. 04)
Resolução Algébrica Resolução Retórica
Tome metade de 32 (que é 16); Multiplique 16 por 16 (o que dá 256); Subtraia 252 de 256 (o que dá 4); 4 é o quadrado de 2; Agora some 2 a 16 e subtraia 2 de 16
(o que dá 18 e 14); Multiplique 18 por 14 (o que dá 252).
2) Comprimento, largura. Eu multipliquei comprimento e largura, assim obtive a área igual a
16. Então, eu adicionei comprimento e largura e obtive 10. Qual o comprimento e a largura?
Resolução Algébrica Resolução Retórica
3) Equação do tipo Ax2 + Bx = C Resolução:
1) multiplique A por C (obtendo AC) 2) encontre metade de B (obtendo B/2) 3) multiplique B/2 por B/2 (obtendo (B/2)2) 4) adicione AC a (B/2)2 (obtendo (B/2)2 + AC)
5) a raiz quadrada é (C.A
2
B2
)
6) subtraia B/2 da raiz acima 7) tome o recíproco de A (obtendo 1/A) 8) multiplique 1/A pelo resultado do passo (6) para obter o lado do quadrado 9) o lado do quadrado é
A
1
2
BAC
2
BL
2
A
1
2
BAC
2
BL
2
122
Refletindo...
É possível utilizar os problemas matemáticos históricos para introduzir a álgebra?
A ÁLGEBRA RETÓRICA NA BABILÔNIA
4) “Comprimento, largura. Multipliquei comprimento por largura, obtendo assim a área: 252. Somei comprimento e largura: 32. Pede-se: comprimento e largura”.
Resolução
Transformando em equação de 2º grau temos:
De acordo com o roteiro temos:
A = B = C =
1) multiplique A por C :
2) encontre metade de B :
3) multiplique B/2 por B/2 :
4) adicione AC a (B/2)2 :
5) a raiz quadrada é :
6) subtraia B/2 da raiz acima:
7) tome o recíproco de A obtendo1/A :
8) multiplique 1/A pelo resultado do passo (6) para obter o lado do quadrado :
123
APÊNDICE III
ROTEIRO DE ATIVIDADE II
PROBLEMAS HISTÓRICOS NAS TRÊS FASES DE DESENVOLVIMENTO DA ÁLGEBRA Denise Benino D. Ribeiro
Aparecida R. S. Duarte
A ÁLGEBRA SINCOPADA – DIOFANTO (aproximadamente 250 d.C)
Estava escrito na lápide de Diofanto: Deus lhe concedeu ser um menino pela sexta parte de sua vida, e somando uma duodécima parte a isto cobriu-lhe as faces de penugem. Ele lhe acendeu a lâmpada nupcial após uma sétima parte, e cinco anos após seu casamento concedeu-lhe um filho. Ai! Infeliz, criança tardia; depois de chegar à metade da vida de seu pai, o destino frio o levou. Depois de se consolar de sua dor durante quatro anos com a ciência dos números ele terminou sua vida. (BOYER, 2010, p. 121).
Linguagem vernácula Linguagem algébrica
Deus lhe concedeu ser um menino pela sexta parte de sua vida,
e somando uma duodécima parte a isto cobriu-lhe as faces de penugem.
Ele lhe acendeu a lâmpada nupcial após uma sétima parte,
e cinco anos após seu casamento concedeu-lhe um filho.
Ai! Infeliz, criança tardia; depois de chegar à metade da vida de seu pai, o destino frio o levou.
Depois de se consolar de sua dor durante quatro anos com a ciência dos números ele terminou sua vida.
Diga-me quanto anos tinha Diofanto quando morreu?
Resolução Algébrica
124
Problema 27 do Livro I de Diofanto “Encontrar dois números com soma e produto dados”. (ROQUE, 2012, p. 232)
Resolução Sincopada/Retórica Resolução
Considere que a soma é 20 e o produto, 96.
Supondo que a diferença entre os dois números seja 2 arithmos, começamos por dividir a soma desses números (que é 20) por dois (obtendo 10).
A partir desse resultado, consideramos um arithmos somado a e subtraído de 10, respectivamente, cada uma das metades.
Como a metade da soma é 10, tomando a metade subtraída 1 arithmos mais a metade acrescentada de 1 arithmos obtendo 20, que é a soma desejada.
Para que o produto seja 96, multiplicamos essas mesmas quantidades, obtendo 100 subtraído do quadrado do arithmos (um dynamis).
Chegamos, assim à conclusão de que o dynamis deve ser 4, logo, o valor do arithmos é 2.
Os valores procurados serão, portanto, 10 mais 2 e 10 menos 2, ou seja, 8 e 12. (ROQUE, 2012).
Agora é com vocês... Problema 28 do livro I de Diofanto “Achar dois números cuja soma seja um número dado e cujos quadrados somados deem
um número dado.” Encontrar dois números cuja soma seja um número igual a 20 e os quadrados somados
deem um número igual a 208.
Resolução Sincopada/Retórica Resolução
Queremos encontrar dois números com soma 20 e a soma dos quadrados seja igual a 208.
Supondo que a diferença entre os dois números seja 2 arithmos, começamos por dividir a soma desses números (que é 20) por dois (obtendo 10).
A partir desse resultado, consideramos um arithmos somado a e subtraído de 10, respectivamente, cada uma das metades.
125
Como a metade da soma é 10, tomando a metade subtraída 1 arithmos mais a metade acrescentada de 1 arithmos obtendo 20, que é a soma desejada.
Para que a soma dos quadrados seja 208, somamos os quadrados dessas mesmas quantidades e obtemos: (10 menos arithmos)² mais (10 mais arithmos)² igual 208.
Chegamos, assim à conclusão de que o dynamis deve ser 4, logo, o valor do arithmos é 2.
Os valores procurados serão, portanto, 10 mais 2 e 10 menos 2, ou seja, 8 e 12. (ROQUE, 2012).
Problema 16 do Livro I de Diofanto
Encontrar três números que, tomados dois a dois, formam números propostos. Em notações modernas, o problema se escreve:
x+y = a y+z = b z+x = c
onde a, b e c são os números propostos.
Resolução Sincopada/Retórica Resolução
Diofanto escolheu a = 20 unidades, b= 30 unidades e
c = 40 unidades. Em seguida, ele diz: “Consideremos
que a soma de três números é 1 arithmos (1A).
Assim, como o primeiro número mais o segundo
formam 20 unidades, se subtraímos 20 unidades de
1 arithmos (1A), teremos como terceiro número 1
arithmos menos 20 unidades. Pela mesma razão, o
primeiro número será 1 arithmos menos 30
unidades, e o segundo número será 1 arithmos
menos 40 unidades.
É preciso ainda que a soma dos três números seja
igual a 1 arithmos. Mas, a soma dos três números
forma 3 arithmos menos 90 unidades.
Igualando-os a 1 arithmos e o arithmos se torna 45 unidades. Voltando ao que foi colocado: o primeiro número será 15 unidades, o segundo será 5 unidades e o terceiro será 25 unidades, e a prova é clara."
126
Para vocês resolverem: encontre x, y, z tal que x + y = a; y + z = b e z + x = c em que a= 10;
b= 5 e c = 4.
x+y = 10 y+z = 5 z+x = 4
Resolução Sincopada/Retórica Resolução
Consideremos que a soma de três números é 1 arithmos (1A)
Assim, como o primeiro número mais o segundo formam 10 unidades, se subtraímos 10 unidades de 1 arithmos (1A), teremos como terceiro número 1 arithmos menos 10 unidades.
Pela mesma razão, o primeiro número será 1 arithmos menos 4 unidades,
e o segundo número será 1 arithmos menos 5 unidades.
É preciso ainda que a soma dos três números seja igual a 1 arithmos.
Mas, a soma dos três números forma 3 aritmos menos 19 unidades.
Igualando-os a 1 arithmos e o arithmos se torna 9,5 unidades.
Voltando ao que foi colocado: o primeiro número será 1 arithmos menos 5 unidades, o segundo será 1 arithmos menos 4 unidades e o terceiro será 1 arithmos menos 10 unidades.
Qual a explicação Matemática para que o procedimento de Diofanto atenda as restrições impostas por ele mesmo.
127
A ÁLGEBRA SINCOPADA – Al - Khwarizmi (aproximadamente 780 d.C – 850 d. C)
Tomemos como exemplo, em notação atual, a equação: 58x20100x2 2
1) Reduza a equação ao quarto caso. (x²+bx=c) 2) Resolva a equação pelo método de Al-Khwarizmi.
Resolução Sincopada/Retórica Resolução Tome a metade da quantidade de jidhr:
Multiplique essa quantidade por si mesma:
Some no resultado os Adad:
Extraia a raiz quadrada do resultado:
Subtraia desse resultado a metade dos Jidhr, encontrando a solução:
Resolva pelo método de Al-J=Khwarizmi a equação: 2x + 35 = x²
Resolução Sincopada/Retórica Resolução Tome a metade da quantidade de jidhr:
Multiplique essa quantidade por si mesma:
Some no resultado os Adad:
Extraia a raiz quadrada do resultado:
Subtraia desse resultado a metade dos Jidhr, encontrando a solução:
Resolva pelo método de Al-J=Khwarizmi a equação: x² + 10 = 6x
Resolução Sincopada/Retórica Resolução
Tome a metade da quantidade de jidhr:
Multiplique essa quantidade por si mesma:
Some no resultado os Adad:
Extraia a raiz quadrada do resultado:
Subtraia desse resultado a metade dos Jidhr, encontrando a solução:
128
APÊNDICE IV
ROTEIRO DE ATIVIDADE III
PROBLEMAS HISTÓRICOS NAS TRÊS FASES DE DESENVOLVIMENTO DA ÁLGEBRA Denise Benino D. Ribeiro
Aparecida R. S. Duarte
A ÁLGEBRA SIMBÓLICA – VIÈTE (1540 - 1603) Relembrando o método de Al-Khwarizmi (aproximadamente 780 d.c. – 850 d.c.)
Adad = c Jidhr = coeficiente de x Mal = x² Resolva a equação:
Resolução Sincopada/Retórica Resolução Tome a metade da quantidade de jidhr:
Multiplique essa quantidade por si mesma:
Some no resultado os Adad:
Extraia a raiz quadrada do resultado:
Subtraia desse resultado a metade dos Jidhr, encontrando a solução:
Resolvendo geometricamente uma equação do 2º grau.(uma apropriação do método de Al-Khwarizmi)
Vejamos agora, como podemos determinar uma raiz da equação sem utilizar
nenhuma fórmula.
Construímos um quadrado, cuja área vai ser o termo x².
O termo 8x significa a área de um retângulo de lados 8 e x.
129
Dividimos esse retângulo em quatro retângulos de mesma área.
Aplicamos cada um desses quatro retângulos sobre os lados do quadrado de área x².
Área da figura formada:
A equação do 2º grau é:
Completamos o quadrado.
A área desse quadrado é igual a:
O lado do quadrado é dado por:
Finalmente determinamos o valor de x:
Vamos jogar com a Matemática?
Para cada figura escreva uma equação do 2º grau e calcule uma raiz.
1) Área = 105 ______________________________________________________________________________
130
2)
Área = 329
A ÁLGEBRA SIMBÓLICA – VIÈTE (1540 - 1603)
Principais símbolos
Viète Atual
+ (mais)
- (menos)
in vezes
A x
Aequalis = (igual)
Quadratus x²
Cubus x³
Notação Viète para atual
A quadratus 124 in A aequalis 0
2 in A quadratus 8 in A 16 aequalis 0
A quadratus 5 in A 6 aequalis 0
O Método de Viète para resolver equação do 2º grau.
Seja a equação:
Suponha x = u+v, onde u e v são incógnitas auxiliares.
Substitua u+v na equação :
Desenvolva os termos da equação:
Reordene os termos da equação colocando em primeiro os termos que contêm v:
Coloque v em evidência do termo: e
reescreva a equação:
131
Descubra o valor de u para anular o coeficiente v:
Substitua o valor de u na equação:
Desenvolva a equação de modo a isolar v:
Se x=u+v, então:
Logo as raízes da equação são:
Seja a equação:
Suponha x = u+v, onde u e v são incógnitas auxiliares.
Substitua u+v na equação :
Desenvolva os termos da equação:
Reordene os termos da equação colocando em primeiro os termos que contêm v:
Coloque v em evidência e reescreva a equação:
Descubra o valor de u para anular o coeficiente v:
Substitua o valor de u na equação:
132
Desenvolva a equação de modo a isolar v:
Se x=u+v, então:
Logo as raízes da equação são:
Generalizando o Método de Viète para
Suponha x = u+v, onde u e v são incógnitas auxiliares.
Substitua u+v na equação :
Desenvolva os termos da equação:
Reordene os termos da equação colocando em primeiro os termos que contêm v:
Coloque v em evidência e reescreva a equação:
Descubra o valor de u para anular o coeficiente v:
Substitua o valor de u na equação:
133
Desenvolva a equação de modo a isolar v:
Se x=u+v, então:
Logo as raízes da equação são:
134
APÊNDICE V
QUESTIONÁRIO - FINAL
Nome:______________________________________________________
1. Você pretende utilizar a História da Matemática para ensinar equações? Por quê?
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
2. Em sua opinião, quais são os pontos positivos dessa metodologia nas aulas de
Matemática?
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
3. Em sua opinião, quais são os pontos negativos dessa metodologia nas aulas de
Matemática?
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
4. Comente sobre as possibilidades pedagógicas das três fases de desenvolvimento
da Álgebra.
a)Retórica:___________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
b)Sincopada:_________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
135
c)Simbólica:__________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
5. Utilize o espaço abaixo caso queira fazer alguma proposta ou observação sobre o
trabalho aqui desenvolvido.
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________