o queé? - pessoais.dps.uminho.ptpessoais.dps.uminho.pt/zan/io_tsi/aula3.pdf · 3 universidade do...

1

Universidade do Minho2006

Investigação OperacionalJosé António Oliveira – [email protected]

1

Investigação Operacional(Mestrado)

Engenharia Industrial

José António Oliveirahttp://dps.uminho.pt/pessoais/zan

Universidade do Minho - Escola de EngenhariaDepartamento de Produção e Sistemas



2

Investigação Operacional – IOOperations Research – OR (USA)

Operational Research – OR (UK)

Management Science - MS

O que é ?

2



3

Investigação Operacional – IOA Investigação Operacional é a disciplina que aplica métodos analíticos avançados para ajudar a tomar melhores decisões.

Usando técnicas como modelação matemática para analisar situações complexas, a Investigação Operacional dá aos executivos o poder de tomar decisões mais efectivas e construir sistemas mais produtivos baseado em:

– Dados mais completos– Consideração de todas as opções disponíveis– Predições cuidadosas de resultados e estimativas de risco– Nas mais recentes ferramentas de decisão e técnicas

Em poucas palavras...



4

Investigação Operacional – IO

Assim que um modo bom ou melhor modo de proceder for identificado, as pessoas de IO são frequentemente centrais na implementação da mudança proposta.

As Organizações tem em conta uma gama extensiva de melhorias operacionais - por exemplo, maior eficiência, melhor atendimento ao consumidor, qualidade mais elevada ou mais baixo custo.


3



5

Investigação Operacional – IO

Qualquer que seja o ramo da engenharia a IO pode oferecer a flexibilidade e a adaptabilidade para a proporcionar ajuda objectiva.

A maioria dos problemas que a IO enfrenta são confusos e complexos, por vezes implicando incerteza considerável. A IO pode usar métodos quantitativos avançados, modelação, estruturação de problemas, simulação e outras técnicas analíticas para examinar suposições, facilitando um aprofundamento e decidir a acção prática.




6

Investigação Operacional

Ciência aplicada àresolução de problemas

do mundo real

Concluindo...

4



7

IO em Portugal• http://www.apdio.pt/



8

5



9

IO 2006: 9-11 OutubroSala Millennium BCP (Piso 3) / Aud.III (Pi Sala 202 (Piso 2) / UNICRE (Piso 3) Sala Aud. I (Piso 2) Sala 303 (Piso 3) / ctt (Piso 3) Sala CGD (Piso 4) Sala Edifer (Piso 2)

9 Out. 15:10-16:30 SC1: Optimização I SC2: Meta-heurísticas I SC3: Grafos e Redes I SC4: Rotas SC5: Produção I SC6: Transportes I

10 Out. 09:00-10:00 TA1: Optimização II TA2: DEA I TA3: Multicritério I TA4: Multiobjectivo I TA5: Data Mining TA6: Economia e Finanças I

10 Out. 10:10-11:10 TB1: Localização I TB2: DEA II TB3: Grafos e Redes II TB4: Multiobjectivo II TB5: Transportes II TB6: Modelos Estocásticos I

10 Out. 15:10-16:30 TC1: Localização II TC2: Redes Neuronais TC3: Multicritério II TC4: Escalonamento TC5: Produção II TC6: Economia e Finanças II

10 Out. 17:00-18:20 TD1: Modelos Estocásticos II TD2: DEA III TD3: Avaliação de Desempenho TD4: Logística I TD5: Sequenciamento I

11 Out. 09:00-10:00 QA1: Programação Inteira I QA2: DEA IV QA3: Grafos e Redes III QA4: Multiobjectivo III QA5: Produção III QA6: Corte e Empacotamento I

11 Out. 10:10-11:10 QB1: Programação Inteira II QB2: Meta-heurísticas II QB3: Multicritério III QB4: Logística II QB5: Sequenciamento II QB6: Corte e Empacotamento II



10

Os problemas do mundo real:• são difíceis de solucionar porque:

– O número de soluções possíveis no espaço de pesquisa é tão grande que impede qualquer pesquisa exaustiva da melhor solução;

– O problema é tão complicado, que para tornar possível uma resposta que seja, temos de usar modelos para o problema de tal modo simplificados que o resultado não se adequa;

– A função de avaliação que descreve a qualidade de qualquer solução proposta tem ruído, ou varia com o tempo, e por isso uma única solução não é suficiente, mas sim uma série inteira de soluções;

– As soluções possíveis são tão restringidas, que construir uma solução possível é uma resposta difícil, quanto mais encontrar a solução óptima;

6



11

Não podemos simplificar?

Problema Modeloaprox. Soluçãoexact. (Modeloaprox.)

Problema Modeloexact. Soluçãoaprox. (Modeloexact.)



12

Um problema difícil• Até ao momento, todos os algoritmos

conhecidos para solucionar os problemas difíceis (NP-completos) requerem um tempoque é uma função exponencial do tamanho do problema, (é desconhecido se há qualquer algoritmo mais rápido).

• No pior caso, este tipo de algoritmos pode conduzir à enumeração completa das soluções.

• São muitos os problemas difíceis?– Problemas NP-Completos

7



13

NP - Completos• Qual a dificuldade?

Não existe um algoritmo eficiente para a solução

• É importante ter um algoritmo eficiente?

Principalmente se queremos resolver problemas de grande dimensão e não dispomos de muito tempo para computação.



14

Métodos Heurísticos• Heurístico é a arte e ciência de descoberta. A

palavra vem da mesma raiz grega como "eureka", e que significa “encontrar”.

• Uma heurística não garante a solução óptimado problema, mas frequentemente resolve-o bem, e isto basta para a maioria das práticas, e geralmente é mais rápido que um método de solução exacta.

8



15

Métodos Heurísticos• sacrificam a garantia da obtenção da solução óptima

pela obtenção de boas soluções numa significativa redução de tempo de computação.

• Estes métodos têm tido uma atenção crescente ao longo dos últimos 30 anos por parte da comunidade científica.

– MIC’2001 - 4th Metaheuristics International Conference Porto, Portugal, July, 2001



16

algoritmos• Porquê tanto estudo?

• O que é um algoritmo perfeito?

Eficácia

Eficiência

9



17

Resumo do MIC’2001• Novos algoritmos: Hibridar & Nova estratégia & (+S+E+E)

– (+Simples+Eficaz+Eficiente)

• Telecomunicações ($$) & Saúde ($$) & Alta Finança ($$$$)

• 1ª aplicação da técnica num problema

• Um novo problema (no mundo real) ou modelos mais realistas

• Funções objectivo mais complexas – multi-objectivo/critério

• Paralelizar algoritmos - melhor uso da programação

• Melhor conhecimento específico do problema / vizinhança ...



18

Porquê estudar IO?

10



19



20

11



21



22

12



23



24

13



25



26

Porquê estudar IO?

14



27



28

Tipo de Aplicações• Ampla variedade de problemas• É possível identificar um pequeno

conjunto de problemas que representam a maioria dos problemas.

• Estes problemas repetem-se com frequência

• Desenvolveram-se técnicas protótipo para modelizar e encontrar as soluções para esses modelos.

15



29

Tipo de Aplicações• Previsão:• Análise de séries temporais para

responder a questões típicas:• Como será a procura de produtos?• Quais serão os modelos de venda?• Como afectará os ganhos?



30

Tipo de Aplicações• Finanças e investimento:• Quanto capital é necessário?• Onde pode ser obtido?• Quanto custará?

16



31

Tipo de Aplicações• Planeamento e afectação de mão-de-

obra:• Quantos empregados são necessários?• Que habilitações / formação devem ter?• Quanto tempo devem trabalhar para

nós?



32

Tipo de Aplicações• Sequenciamento e escalonamento:• Que tarefas são mais importantes?• Em que ordem devem ser realizadas?

17



33

Tipo de Aplicações• Localização, afectação, distribuição e

transportes:• Qual é a melhor localização para uma

operação?• Que dimensão devem ter as instalações?• Que recursos são necessários?• Existem deficiências?• Como se podem estabelecer

prioridades?



34

Tipo de Aplicações• Política de confiabilidade e manutenção:• Como funciona o equipamento?• Quanto é a sua confiabilidade?• Quando deve ser substituído?

18



35

Tipo de Aplicações• Controlo de inventário e rupturas de

stock:• Quantas existências deveríamos

manter?• Quando se encomenda?• Quanto devemos pedir?



36

Tipo de Aplicações• Planeamento e controlo do projecto:• Quanto tempo requererá o projecto?• Quais são as actividades mais

importantes?• Como devem ser utilizados os recursos?

19



37

Tipo de Aplicações• Filas de espera e congestionamento:• Qual é o comprimento das filas de

espera?• Quantos servidores deveríamos utilizar?• Qual é o nível de serviço que estamos a

oferecer?



38

Tipo de Aplicações• A ampla gama de potenciais aplicações e

a grande variedade de técnicas para o processo de modelização em Investigação Operacional, que se podem eleger e combinar para se alcançar uma abordagem multidisciplinar, funcionam em conjunto, fazendo com que a profissão seja dinâmica e estimulante.

20



39

Porquê estudar IO?

• Que pode esperar o aluno obter como recompensa? – o prazer de fazer coisas. – o prazer de fazer coisas que são úteis. – o fascínio de lidar com objectos complexos tipo quebra-

cabeças.– aprender continuamente.



40

Porquê estudar IO?"O que devo aprender em investigação

operacional se pretendo tornar-me um administrador em vez de um especialista?“

" O que devo aprender em investigação operacional se desejar aplicá-la a problemas reais?“

21



41

Porquê estudar IO?Um único curso introdutório de

investigação operacional não pode responder completamente a nenhuma das duas perguntas.

Mas um curso assim pode responder melhor à primeira pergunta que àsegunda.



42

Porquê estudar IO?Dentro do contexto destas duas

perguntas, os principais objectivos do curso são:

• Apresentar as ideias importantes em investigação operacional que sejam tanto fundamentais como duradouras.

• Demonstrar a coerência da metodologia de investigação operacional.

22



43

Porquê estudar IO?• Dar aos alunos suficiente compreensão e

confiança para apreciar as forças e as limitações inerentes da abordagem de investigação operacional.

• Preparar e motivar futuros especialistas a continuarem em seus estudos por terem uma visão geral mais penetrante de investigação operacional.



44

Porquê estudar IO?Os estudantes que frequentam esta

disciplina aumentam suas habilitações para formular e construir modelos formais para situações de decisão complexas, de perceber as questões críticas a serem resolvidas e de isolar os fenómenos básicos que constituem os elementos mais importantes de situações reais.

1



1

Investigação OperacionalModelos de Programação Linear

(Licenciatura)

Tecnologias e Sistemas de Informação http://dps.uminho.pt/pessoais/zan

Universidade do Minho - Escola de EngenhariaDepartamento de Produção e Sistemas



2

Modelação MatemáticaAs técnicas e algoritmos abordados neste curso destinam-se a estruturar e a solucionar os modelos quantitativos que podem ser expressos matematicamente.

Os principais modelos de IO são denominados de Programação Matemática e constituem uma das mais importantes variedades dos modelos quantitativos.

Programação é entendida no sentido de planeamento, e não no sentido da "programação" computacional. A Programação Matemática irá implicar programação computacional, uma vez que o número de variáveis de decisão e restrições é enorme na prática.

2



3

Modelação MatemáticaO campo da Programação Matemática é enorme e suas técnicas são de grande utilidade na solução de problemas de optimização.

Várias peculiaridades contextos de programação (planeamento), os métodos de solução especializados

O processo de modelagem matemática, em si, pouco varia, contudo as técnicas de solução acabaram agrupadas em várias subáreas como:• Programação Linear• Programação Não-linear• Programação Inteira



4

PROGRAMAÇÃO LINEAR - PLCaracterísticas do Modelo de PLModelo básico – serve para a compreensão de todos os outros modelos da Programação Matemática.

Os conceitos de base serão estendidos aos outros modelos, concedendo suporte a estudos mais avançados.

Uma outra vantagem do modelo PL está na extraordinária eficiência dos algoritmos de solução hoje existentes, disponibilizando alta capacidade de cálculo e podendo ser facilmente implementado até mesmo através de folhas de cálculo e com o auxílio de computadores pessoais.

3



5

PROGRAMAÇÃO LINEAR - PLCaracterísticas do Modelo de PLOs modelos de Programação Linear são um tipo especial de modelos de optimização. Para que um determinado sistema possa ser representado por meio de um modelo de PL, ele deve possuir as seguintes características:

• Proporcionalidade

• Não Negatividade

• Divisibilidade

• Aditividade

• Separabilidade



6

PROGRAMAÇÃO LINEAR - PL

ProporcionalidadeA quantidade de recurso consumido por uma dada actividade deve ser proporcional ao nível dessa actividade na solução final do problema.

O custo de cada actividade é proporcional ao nível de operação da actividade.

Um termo xi2 na função objectivo ou numa restrição

viola este pressuposto.

4



7


Não NegatividadeDeve ser sempre possível desenvolver uma dada actividade em qualquer nível não negativo;

DivisibilidadeQualquer proporção de um dado recurso deve poder ser (sempre) utilizado.



8


AditividadeO custo total é a soma das parcelas associadas a cada actividade.

Um termo do tipo produto (xi.xj) viola este pressuposto.

SeparabilidadePode-se identificar de forma separada o custo (ou consumo de recursos) específico das operações de cada actividade.

5



9

PROGRAMAÇÃO LINEAR - PLFormulação algébrica geral – forma mista



10

PROGRAMAÇÃO LINEAR - PLFormulação algébrica geral

Optimizar representa aqui a:

maximização

minimização

6



11

PROGRAMAÇÃO LINEAR - PLForma canónica Forma estandardizada/padrão

equivalentes



12

PROGRAMAÇÃO LINEAR - PLForma matricial

0

: /

≥

=

IxbAxasujeito

cxzMinMaxVector de sinais. Cada elemento corresponde a: ≥=≤ , ,

Matriz identidade de dimensão n.

7



13

PROGRAMAÇÃO LINEAR - PLUm mesmo modelo de PL, composto pelo conjunto de equações anteriormente apresentadas, pode, sem qualquer perda para suas propriedades matemáticas, ser reescrito em cada uma das formas básicas. Esse processo de tradução é realizado através das seguintes operações elementares:

– mudança no critério de optimização

– transformação de uma variável

– transformação de desigualdades em igualdades (vice versa)



14

PROGRAMAÇÃO LINEAR - PLOperação 1:mudança no critério de optimização, ou seja, transformação de maximização para minimização e vice versa. Essa mudança pode ser realizada através da seguinte propriedade:

8



15

PROGRAMAÇÃO LINEAR - PLOperação 2:transformação de uma variável livre (*• E dl), em variável não negativa. Nesse caso, a mudança exigirá a substituição da variável em transformação por duas variáveis auxiliares, ambas maiores ou iguais a zero, mas cuja soma é igual à variável original, ou seja:

ℜ∈x



16

PROGRAMAÇÃO LINEAR - PLOperação 3a:transformação de desigualdades em igualdades e vice-versa. Nessa situação, temos dois casos a examinar:

• Caso de transformação de restrições de menor ou igual em restrições de igualdade

– Para transformá-la numa restrição de igualdade podemos, introduzir uma variável de folga capaz de "completar" a desigualdade, o que permite representar a restrição da seguinte forma:

9



17

PROGRAMAÇÃO LINEAR - PLOperação 3b:transformação de desigualdades em igualdades e vice-versa. Nessa situação, temos dois casos a examinar:

• Caso de transformação de restrições de maior ou igual em restrições de igualdade

– Para transformá-la em uma restrição de igualdade podemos introduzir uma variável de folga com valor negativo capaz de "completar" a desigualdade, passando a representar a restrição da seguinte forma:



18

PROGRAMAÇÃO LINEAR - PLPassos para a Formulação de um PPL

– Definição das actividades• Após a análise do problema, são definidas as actividades que o

compõem. Associada a cada actividade deve ser adoptada uma unidade de medida.

– Definição dos recursos• Considerando os inputs disponíveis dentro de cada actividade,

determinam-se os recursos que são usados e produzidos.

– Cálculo dos coeficientes de consumo / produção• É indispensável estabelecer claramente como as actividades e

os recursos estão relacionados em termos de recursos necessários por unidade de actividade produzida.

10



19

PROGRAMAÇÃO LINEAR - PLPassos para a Formulação de um PPL (cont)

– Determinação das condições externas• Considerando que os recursos são limitados, cumpre determinar

a quantidade de cada recurso disponível para o processo modelado. Essas são as denominadas condições externas do modelo.

– Formalização do Modelo• Consiste em associar quantidades não negativas a cada uma das

actividades, escrever as equações de balanceamento e indicar o uso de cada recurso.



20

PROGRAMAÇÃO LINEAR - PLTerminologia

11



21

PROGRAMAÇÃO LINEAR - PLUma metalurgia deseja maximizar sua receita bruta. A Tabela ilustra a proporção de cada material na mistura para a obtenção das ligas passíveis de fabricação. O preço está cotado em UM (unidades monetárias) por tonelada da liga fabricada. As restrições de disponibilidade de matéria-prima também estão expressas em toneladas.

* ton. minério aaton. de liga

50003000Preço de venda (UM/ton)

15 ton0,50,25Chumbo

11 ton0,30,25Zinco

16 ton0,20,5Cobre

Disponibilidade de matéria-prima

Liga de altaresistência

Liga de baixaresistência



22

PROGRAMAÇÃO LINEAR - PLEscolha da variável de decisão

Esta etapa é simples quando a função objectivo e as restrições estão directamente associadas às variáveis de decisão.

Quais são as incógnitas?

O que queremos decidir?

O que é que o agente de decisão quer saber?

+- cobre? +- zinco? +- chumbo?

Ganhar muito ou pouco?

Que parâmetros são variáveis e quais são fixos?

12



23

PROGRAMAÇÃO LINEAR - PLEscolha da variável de decisão

Quais são as incógnitas?

xi?

O que queremos decidir?

Níveis de produção das ligas (em toneladas)

O que é que o agente de decisão quer saber?

O plano óptimo de produção.

? ?LBaixa LAltax x



24

PROGRAMAÇÃO LINEAR - PLFunção Objectivoexpressa em função das variáveis decisão

Maximizar ou minimizar?

Cada tonelada de liga baixa resistência contribui para o objectivo com quanto? E a de alta resistência?

z representa a receita bruta em UM em função da quantidade produzida em toneladas de ligas de baixa e alta resistência

z = 3000 5000LBaixa LAltaMaximizar x x+

13



25

PROGRAMAÇÃO LINEAR - PLRestrições (tecnológicas)expressa em função das variáveis decisão

Podemos produzir quanto?

O que condiciona a produção?

Matéria prima

Cobre

Zinco

Chumbo

161115

Quanto há (em ton.)?

0.50 0.2LBaixa LAltax x+

0.25 0.3LBaixa LAltax x+0.25 0.5LBaixa LAltax x+

≤≤≤



26

PROGRAMAÇÃO LINEAR - PLRestrições de não-negatividade

A quantidade que vamos produzir pode ser negativa?Na maioria dos problemas reais as variáveis só podem assumir valores nulos ou não negativos. São exemplos típicos variáveis que englobam peso, espaço, número de itens, configurações, pessoas etc. Eventualmente podemos dar sentido a valores negativos de tempo, unidades monetárias etc. Contudo, os valores negativos das variáveis podem ser eliminados por convenientes transformações de variáveis.

0,LBaixa LAltax x ≥

14



27

PROGRAMAÇÃO LINEAR - PLModelo



28

PROGRAMAÇÃO LINEAR - PLProblema da fábrica de móveis

Uma grande fábrica de móveis dispõe em stock 250 metros de tábuas, 600 metros de pranchas e 500 metros de painéis de aglomerado. A fábrica normalmente oferece uma linha de móveis composta por um modelo de escrivaninha, uma mesa de reunião, um armário e uma prateleira. Cada tipo de móvel consome uma certa quantidade de matéria prima, conforme a Tabela. A escrivaninha évendida por 100 unidades monetárias (u.m.), a mesa por 80 u.m., o armário por 120 u.m. e a prateleira por 20 u.m. Pede-se para exibir um modelo de Programação Linear que maximize a receita com a venda dos móveis.

15



29




30


16



31

PROGRAMAÇÃO LINEAR - PLProblema da dieta



32

PROGRAMAÇÃO LINEAR - PLProblema da dieta

17



33

PROGRAMAÇÃO LINEAR - PLProblema da dieta (geral)



34

PROGRAMAÇÃO LINEAR - PLProblema da dieta (geral)

Nota: O problema da dieta foi o primeiro problema de “grande dimensão” de Programação Linear a ser resolvido (1947). O modelo construído tinha 9 (in)equações (nutrientes) e 77 variáveis (alimentos).

Foi dispendido um esforço de 120 homem.dia.

Hoje, um problema de PL de grande dimensão é um problema com centenas de milhares de (in)equações e centenas de milhares de variáveis!

É corrente resolverem-se problemas com milhares de (in)equações e variáveis em poucos segundos. A evolução não se deveu apenas ao desenvolvimento dos computadores, mas também ao notável desenvolvimento da teoria.

18



35

PROGRAMAÇÃO LINEAR - PLProblema de transportes



36


19



37




38


20



39

PROGRAMAÇÃO LINEAR - PLLeituras aconselhadas

Secções 3.1 a 3.5 de

F. Hillier, G. Lieberman, “Introduction to Operations Research”, 7th

edition, McGraw-Hill, 2001.



40

PROGRAMAÇÃO LINEAR - PLLinks

o queé? - pessoais.dps.uminho.ptpessoais.dps.uminho.pt/zan/io_tsi/aula3.pdf · 3 universidade do...

Documents