o que é dimensão? - dma.uem.br€¦a b = c, onde c e o resto da divis~ao de ab por p; a + b = c,...

O que e dimensao?

Ryuichi Fukuoka

Universidade Estadual de MaringaDepartamento de Matematica

Maringa30 de setembro de 2011

Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Dimensao UEM-DMA 1 / 32

Dimensao de um espaco vetorial

Espaco vetorial sobre um corpo FA dimensao de um espaco vetorial V e a cardinalidade de uma base de V .

Observacao

A boa definicao de dimensao depende das bases terem a mesmacardinalidade.

Perguntas

Sera que a dimensao de um espaco vetorial depende realmente daestrutura de espaco vetorial (soma de vetores e produto de um escalarcom um vetor)?

Podemos definir dimensao utilizando outras estruturas matematicas?

Observacao

Perguntas

Observacao

Perguntas

Dimensao e cardinalidade

Dimensao finita

Para simplificar a apresentacao, vamos considerar espacos vetoriais dedimensao finita.

p ∈ N, p primo;Zp := {0, 1, . . . , p − 1};a · b = c , onde c e o resto da divisao de ab por p;a + b = c , onde c e o resto da divisao de a + b por p;

Teorema

(Zp,+, ·) e um corpo.

Dimensao finita

Para simplificar a apresentacao, vamos considerar espacos vetoriais dedimensao finita.

p ∈ N, p primo;Zp := {0, 1, . . . , p − 1};a · b = c , onde c e o resto da divisao de ab por p;a + b = c , onde c e o resto da divisao de a + b por p;

Teorema

(Zp,+, ·) e um corpo.

Definicao

Seja V um espaco vetorial de dimensao finita sobre Zp. Seja cardV acardinalidade de V . Entao a dimensao de V e dado por

dimV =log(cardV )

log p.

A definicao acima e justificada pelo seguinte teorema.

Definicao

dimV =log(cardV )

log p.

Definicao

dimV =log(cardV )

log p.

Teorema

Um espaco vetorial de dimensao finita sobre um corpo F e isomorfo a

F× . . .× F︸︷︷︸dimV vezes

Ver [1].

Teorema

Um espaco vetorial de dimensao finita sobre um corpo F e isomorfo a

F× . . .× F︸︷︷︸dimV vezes

Ver [1].

Pergunta

E se F = R?

Teorema (Cantor)

card(Rn) = card(R) para todo n ≥ 1.

Conclusao

Se F = R, nao e possıvel descrever a dimensao de V somente em termosda cardinalidade do corpo e do espaco vetorial.

Pergunta

E se F = R?

Teorema (Cantor)

card(Rn) = card(R) para todo n ≥ 1.

Conclusao

Se F = R, nao e possıvel descrever a dimensao de V somente em termosda cardinalidade do corpo e do espaco vetorial.

Espacos metricos

Definicao

Seja X um conjunto. Uma metrica em X e uma aplicacao d : X × X → Rque satisfaz as seguintes propriedades:

d(x , y) ≥ 0 para todo x , y ∈ X e d(x , y) = 0 se e somente se x = y ;

d(x , y) = d(y , x) para todo x , y ∈ X ;

d(x , z) ≤ d(x , y) + d(y , z) para todo x , y , z ∈ X .

O par (X , d) e chamado de espaco metrico.

Exemplo

Rn com a metrica Euclidiana.

d((x1, . . . , xn), (y1, . . . , yn)) =√

(x1 − y1)2 + . . .+ (xn − yn)2.

Espacos metricos

Definicao

Seja X um conjunto. Uma metrica em X e uma aplicacao d : X × X → Rque satisfaz as seguintes propriedades:

d(x , y) ≥ 0 para todo x , y ∈ X e d(x , y) = 0 se e somente se x = y ;

d(x , y) = d(y , x) para todo x , y ∈ X ;

d(x , z) ≤ d(x , y) + d(y , z) para todo x , y , z ∈ X .

O par (X , d) e chamado de espaco metrico.

Exemplo

Rn com a metrica Euclidiana.

d((x1, . . . , xn), (y1, . . . , yn)) =√

(x1 − y1)2 + . . .+ (xn − yn)2.

δ-cobertura

Diametro

Seja (X , d) um espaco metrico e A ⊂ X . O diametro de A e dado por

diam(A) = sup{d(x , y); x , y ∈ A}.

δ-cobertura

Seja (X , d) um espaco metrico, δ > 0 e A ⊂ X . Uma δ-cobertura de A euma colecao de subconjuntos {Bj}j∈N de X tal que

A ⊂ ∪j∈NBj ;

diamBj ≤ δ para todo j ∈ N.

δ-cobertura

Diametro

δ-cobertura

A ⊂ ∪j∈NBj ;

δ-cobertura

Diametro

δ-cobertura

A ⊂ ∪j∈NBj ;

Dimensao de Hausdorff

Definicao

Sejam p ∈ [0,∞), δ ∈ (0,∞), (X , d) um espaco metrico e A ⊂ X . Amedida p-dimensional de Hausdorff de A e definida por

Hp(A) = limδ→0

∞∑j=1

diam(Bj)p;A ⊂

∞⋃j=1

Bj e diam(Bj) ≤ δ

Quadro

Exemplo do intervalo [0, 1].

Definicao

Hp(A) = limδ→0

∞∑j=1

diam(Bj)p;A ⊂

∞⋃j=1

Quadro

Definicao

Hp(A) = limδ→0

∞∑j=1

diam(Bj)p;A ⊂

∞⋃j=1

Quadro

Teorema

inf{p ≥ 0;Hp(A) = 0} = sup{p ≥ 0;Hp(A) =∞}.

Definicao

A dimensao de Hausdorff e definida como

dimH(A) = inf{p ≥ 0;Hp(A) = 0} = sup{p ≥ 0;Hp(A) =∞}.

Teorema

inf{p ≥ 0;Hp(A) = 0} = sup{p ≥ 0;Hp(A) =∞}.

Definicao

Teorema

inf{p ≥ 0;Hp(A) = 0} = sup{p ≥ 0;Hp(A) =∞}.

Definicao

Conjunto de Cantor: dimH(A) = ln 2/ ln 3

Triangulo de Sierpinski: dimH(A) = ln 3/ ln 2

Espacos topologicos

Definicao

Seja X um conjunto. Uma topologia em X e uma colecao de subconjuntosT de X tal que

∅,X ∈ T ;

Uniao arbitraria de elementos de T e um elemento de T ;

Intersecao finita de elementos de T e um elemento de T .

T e chamado de uma topologia de X . O par (X , T ) e chamado de espacotopologico e os elementos de T sao chamados de abertos de (X , T ).

Espacos topologicos

Definicao

Seja X um conjunto. Uma topologia em X e uma colecao de subconjuntosT de X tal que

∅,X ∈ T ;

Uniao arbitraria de elementos de T e um elemento de T ;

Intersecao finita de elementos de T e um elemento de T .

T e chamado de uma topologia de X . O par (X , T ) e chamado de espacotopologico e os elementos de T sao chamados de abertos de (X , T ).

Exemplo: Espacos metricos

Definicao

Seja (X , d) um espaco metrico e considere δ > 0. A bola aberta de centrox e raio δ em (X , d) e o subconjunto definido por

B(x , δ) = {y ∈ X ; d(y , x) < δ}.

Topologia de um espaco metrico

Os abertos de um espaco metrico sao as unioes arbitrarias de bolasabertas e o conjunto vazio.

Observacao

Nem todos os espacos topologicos sao metrizaveis.

Exemplo: Espacos metricos

Definicao

Seja (X , d) um espaco metrico e considere δ > 0. A bola aberta de centrox e raio δ em (X , d) e o subconjunto definido por

B(x , δ) = {y ∈ X ; d(y , x) < δ}.

Topologia de um espaco metrico

Os abertos de um espaco metrico sao as unioes arbitrarias de bolasabertas e o conjunto vazio.

Observacao

Nem todos os espacos topologicos sao metrizaveis.

Espacos topologicos

Definicao

Sejam (X1, T1) e (X2, T2) dois espacos topologicos. Dizemos que umafuncao f : X1 → X2 e contınua se f −1(A) e aberto em X1 para todoaberto A em X2.

Observacao

Os espacos topologicos sao os espacos naturais onde estudamoscontinuidade de funcoes. Por exemplo, f : Rn → Rm e contınua peladefinicao de ε’s e δ’s se e somente se f e contınua segundo a definicaoacima.

Espacos topologicos

Definicao

Sejam (X1, T1) e (X2, T2) dois espacos topologicos. Dizemos que umafuncao f : X1 → X2 e contınua se f −1(A) e aberto em X1 para todoaberto A em X2.

Observacao

Os espacos topologicos sao os espacos naturais onde estudamoscontinuidade de funcoes. Por exemplo, f : Rn → Rm e contınua peladefinicao de ε’s e δ’s se e somente se f e contınua segundo a definicaoacima.

Espacos topologicos

Definicao

Dizemos que dois espacos topologicos sao homeomorfos se existe umabijecao contınua entre eles de tal modo que sua inversa tambem econtınua.

Observacao

Homeomorfismo nos da a nocao de equivalencia entre espacos topologicos.

Pergunta

E possıvel definir dimensao para espacos topologicos de modo que adimensao de um aberto nao vazio de Rn seja n?

Espacos topologicos

Definicao

Observacao

Pergunta

Espacos topologicos

Definicao

Observacao

Pergunta

Espacos topologicos

Curva de Peano

A curva de Peano e uma aplicacao f : [0, 1]→ [0, 1]× [0, 1] contınua esobrejetora, e e o limite da sequencia de aplicacoes abaixo.

Espacos topologicos

Curva de Peano

A curva de Peano e uma aplicacao f : [0, 1]→ [0, 1]× [0, 1] contınua esobrejetora, e e o limite da sequencia de aplicacoes abaixo.

Curva de Peano

Espacos topologicos

Observacao

Apesar de card(Rn) = card(Rm) para m, n ≥ 1 e de existir uma funcaocontınua sobrejetora de um objeto de dimensao um em um objeto dedimensao dois, o teorema seguinte indica que a dimensao pode ter umcarater topologico.

Teorema (Brouwer)

Rn e homeomorfo a Rm se e somente se m = n.

Espacos topologicos

Observacao

Apesar de card(Rn) = card(Rm) para m, n ≥ 1 e de existir uma funcaocontınua sobrejetora de um objeto de dimensao um em um objeto dedimensao dois, o teorema seguinte indica que a dimensao pode ter umcarater topologico.

Teorema (Brouwer)

Rn e homeomorfo a Rm se e somente se m = n.

Definicoes de dimensao

Observacao

Definir dimensao para espacos topologicos e bastante delicado. Comefeito, existem definicoes distintas de dimensao.

Definicoes de dimensao

Observacao

Definir dimensao para espacos topologicos e bastante delicado. Comefeito, existem definicoes distintas de dimensao.

A dimensao de Lebesgue

Definicao

Seja X um conjunto e A = {Aλ}λ∈Λ uma famılia de subconjuntos de X .A ordem de A e o maior numero natural n para o qual existe p ∈ X quepertence a n elementos distintos de A. Caso esse numero nao exista,entao a ordem de A e infinita.

Quadro

Desenho.

Definicao

Seja X um conjunto e A = {Aλ}λ∈Λ uma famılia de subconjuntos de X .A ordem de A e o maior numero natural n para o qual existe p ∈ X quepertence a n elementos distintos de A. Caso esse numero nao exista,entao a ordem de A e infinita.

Quadro

Desenho.

Definicao

Seja A = {Aλ}λ∈Λ uma famılia de subconjuntos de X . Dizemos queB = {Bη}η∈Ξ e um refinamento de A se para cada η ∈ Ξ existe um λ ∈ Λtal que Bη ⊂ Aλ.

Quadro

Desenho

Definicao

Seja A = {Aλ}λ∈Λ uma famılia de subconjuntos de X . Dizemos queB = {Bη}η∈Ξ e um refinamento de A se para cada η ∈ Ξ existe um λ ∈ Λtal que Bη ⊂ Aλ.

Quadro

Desenho

Definicao

Uma cobertura aberta de um espaco topologico X e uma famıliaA = {Aλ}λ∈Λ de abertos de X tal que ∪λAλ = X .

Quadro

Exemplo unidimensional.

Definicao

Uma cobertura aberta de um espaco topologico X e uma famıliaA = {Aλ}λ∈Λ de abertos de X tal que ∪λAλ = X .

Quadro

Exemplo unidimensional.

Definicao

Seja X um espaco topologico. A dimensao de Lebesgue de X e o menornumero natural n tal que para toda cobertura aberta A de X existe umacobertura aberta B tal que

B tem ordem n + 1;

B refina A.

Quadro

Exemplo de dimensao 2.

Definicao

Seja X um espaco topologico. A dimensao de Lebesgue de X e o menornumero natural n tal que para toda cobertura aberta A de X existe umacobertura aberta B tal que

B tem ordem n + 1;

B refina A.

Quadro

Exemplo de dimensao 2.

Dimensao indutiva pequena

Definicao

Seja X um espaco topologico e x ∈ X . Uma vizinhanca de x e um abertoque contem o ponto x .

Definicao

Seja X um espaco topologico e U ⊂ X . Um ponto x ∈ X pertence afronteira de U se para toda vizinhanca V de x temos que V ∩ U 6= ∅ eV ∩ (X\U) 6= ∅.

Quadro

Desenho de fronteira.

Definicao

Seja X um espaco topologico e x ∈ X . Uma vizinhanca de x e um abertoque contem o ponto x .

Definicao

Seja X um espaco topologico e U ⊂ X . Um ponto x ∈ X pertence afronteira de U se para toda vizinhanca V de x temos que V ∩ U 6= ∅ eV ∩ (X\U) 6= ∅.

Quadro

Desenho de fronteira.

Definicao

Seja (X , T ) um espaco topologico e U ⊂ X . A topologia do subespaco deU e a colecao TU := {U ∩ V ;V ∈ T }.

Quadro

Desenho

Definicao

Seja (X , T ) um espaco topologico e U ⊂ X . A topologia do subespaco deU e a colecao TU := {U ∩ V ;V ∈ T }.

Quadro

Desenho

Definicao

A dimensao indutiva pequena indX de um espaco topologico X e umnumero inteiro maior ou igual a −1 definida indutivamente do seguintemodo:

indX = −1 se e somente se X = ∅;indX ≤ n se e somente se para todo p ∈ X e para toda vizinhanca Ude x , existe uma vizinhanca V de x tal que V ⊂ U e ind∂V ≤ n − 1.

indX = n se e somente se indX ≤ n mas nao vale indX ≤ n − 1.

indX =∞ se nao existir um n ∈ N tal que indX ≤ n.

Definicao

indX = −1 se e somente se X = ∅;

indX ≤ n se e somente se para todo p ∈ X e para toda vizinhanca Ude x , existe uma vizinhanca V de x tal que V ⊂ U e ind∂V ≤ n − 1.

Definicao

Quadro

Exemplo unidimensional

Quadro

Exemplo n-dimensional

Quadro

Exemplo com superfıcies

Quadro

Exemplo unidimensional

Quadro

Exemplo n-dimensional

Quadro

Exemplo com superfıcies

Dimensao indutiva grande

Definicao

Um subconjunto F de um espaco topologico e dito fechado se seucomplementar e aberto.

Definicao

A dimensao indutiva grande IndX de um espaco topologico X e umnumero inteiro maior ou igual a −1 definida indutivamente do seguintemodo:

IndX = −1 se e somente se X = ∅;IndX ≤ n se e somente se para todo fechado F ⊂ X e para todoaberto U contendo F , existe um aberto V tal que F ⊂ V ⊂ U eInd∂V ≤ n − 1.

IndX = n se e somente se IndX ≤ n mas nao vale IndX ≤ n − 1.

IndX =∞ se nao existir um n ∈ N tal que IndX ≤ n.

Definicao

IndX = −1 se e somente se X = ∅;

IndX ≤ n se e somente se para todo fechado F ⊂ X e para todoaberto U contendo F , existe um aberto V tal que F ⊂ V ⊂ U eInd∂V ≤ n − 1.

Definicao

Dimensao - Teoremas

Teorema

Se X e um espaco metrico separavel, entao dimX = indX = IndX .

Teorema

Existe um espaco topologico compacto e de Hausdorff X tal quedimX = 1 e indX = IndX = 2.

Dimensao - Teoremas

Teorema

Dimensao - Teoremas

Teorema

Bibliografia e demais referencias

M. Artin, Algebra, Prentice Hall, 1991.

G. B. Folland, Real Analysis, John Wiley & Sons, 1999.

W. Hurewicz, H. Wallman, Dimension Theory, Princeton UniversityPress, 1996.

J. R. Munkres, Topology, Prentice Hall, 2000.

A. R. Pears, Dimension Theory of General Spaces, CambridgeUniversity Press, 1975.

Obrigado pela atencao!

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