O Problema da Projecção

Antonio L. BajuelosDepartamento de Matemática

Universidade de Aveiro

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Projecções Geométricas Planas Introdução Introdução

Ao longo de séculos, artistas , engenheiros, projectistas e arquitectos tem tentado resolver as dificuldades e restrições impostas pelo problema de representar um objecto ou uma cena tridimensional num meio bidimensional – o problema da projecção

Problema Geral - entende-se como projecção, o processo de mapear um sistema de coordenadas de dimensão n em um de dimensão menor ou igual a n-1

Os dois métodos básicos de projecção: – perspectiva e paralela – foram criados para resolver o problema básico da representação pictórica: mostrar o objecto tal como o vemos e preservar a sua verdadeira grandeza e forma

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Projecções Geométricas Planas Introdução – Alguns factos históricosIntrodução – Alguns factos históricos

O mais antigo exemplo do desenho técnico: planta de um prédio da cidade de Lagash na Mesopotâmia (2150 A.C. ).

O pintor Agatharchus foi o primeiro a usar perspectivas em larga escala no período de 5 séculos A.C. Inspirou os filósofos Anaxagoras e Demócrito a escrever sobre perspectiva.

A primeira evidência real do uso de desenhos para guiar edificações foi encontrado nos textos de Vitruvius, um arquitecto e engenheiro romano do período de Júlio César e Augustus, em torno do ano 14 A.C.

O primeiro tratado sobre perspectiva, Della Pittura, foi publicado em 1435 por Leone Battista Alberti (1404-1472). A técnica da perspectiva continuou a ser aperfeiçoada por Leonardo da Vinci que pintou a sua versão de “A Última Ceia”.

Gasparad Monge (1746-1818), publicou a primeira edição do livro Geometrie Descriptive em 1801.

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Projecções Geométricas Planas IntroduçãoIntrodução

A projecção de um objecto 3D no plano é definida pelos seus raios de projecção (projectores) provenientes de um centro de projecção, que passando através de cada ponto do objecto, intersectam o plano de projecção, para formar a projecção final

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Projecções Geométricas Planas ClassificaçãoClassificação

As projecções geométricas planares podem ser subclassificadas de acordo com o esquema da seguinte figura:

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Projecções Geométricas Planas ClassificaçãoClassificação

As projecções planares paralelas e perspectivas diferem com relação a distância do plano de projecção ao centro de projecção.

Se a distância é finita, a projecção é perspectiva Se a distância é infinita, a projecção é paralela

Proj. Perspectiva Proj. Paralela

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Projecções Geométricas Planas Projecções ParalelasProjecções Paralelas

Nas projecções paralelas, as projectantes podem incidir ortogonalmente ou não no plano de projecção.

As duas grandes sub-divisões são então a projecção paralela ortogonal e a projecção paralela oblíqua em que as palavras ortogonal e oblíqua definem o tipo de incidência no plano de projecção.

Projectores

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Projecções Geométricas Planas Projecções Paralelas (cont…)Projecções Paralelas (cont…)

Caso 1: Projecção Paralela Ortogonal (ortográfica)

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Projecções Geométricas Planas Projecções ParalelasProjecções Paralelas (cont...)(cont...)

Caso 2: Projecção Paralela Oblíqua

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Projecções Geométricas Planas Projecção Paralela Ortogonal Projecção Paralela Ortogonal

Multi-vistas As projecções ortogonais vista lateral, vista frontal e planta

constituem as projecções normalmente utilizadas em desenho técnico.

Características: Elas tem a direcção dos raios de projecção e a normal ao plano

de projecção coincidentes com a direcção dos eixos cartesianos. Elas oferecem uma visão parcial do objecto. Mantém sem alteração as relações de dimensões e ângulos do

objecto projectado.

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Projecções Geométricas Planas Projecção Paralela Ortogonal Projecção Paralela Ortogonal

Multi-vistas

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Projecções Geométricas Planas Projecção Paralela Ortogonal Projecção Paralela Ortogonal

Axonométricas Na projecção paralela ortogonal, quando os planos principais do

objecto são oblíquos em relação ao plano de projecção, a imagem deixa de ser uma vista para e ser uma axonométrica.

A este tipo de projecção é usual dar o nome de perspectiva rápida

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Projecções Geométricas Planas Projecção Paralela Ortogonal Projecção Paralela Ortogonal

Axonométricas

Podemos distinguir três tipos de Axonometricas Isonométrica –

Se ao projectarmos o sistema de eixos associado ao objecto no plano de projecção, os ângulos entre os eixos projectados são iguais

Dimétrica – Quando dois eixos coordenados ligados ao objecto formam

ângulos com o plano de projecção.

Trimétrica – Se os eixos coordenados associados ao objecto formam

ângulos diferentes entre si com o plano de projecção

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Projecções Geométricas Planas Projecção Paralela Ortogonal Projecção Paralela Ortogonal

Axonométricas – Isométricas e Dimétricas

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Projecções Geométricas Planas Projecção Paralela Ortogonal Projecção Paralela Ortogonal

Axonométricas

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Projecções Geométricas Planas Projecção Paralela Ortogonal - Projecção Paralela Ortogonal - Axonométricas

Axonométricas

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Projecções Geométricas Planas Projecção Paralela Ortogonal Projecção Paralela Ortogonal

Axonométricas Importante:

As projecções axonométricas distorcem os objectos,

alterando as relações de ângulos e dimensões de lados dos

objectos.

As projecções axonométricas mantém as relações de

paralelismo entre os lados dos objectos.

A alteração da dimensão dos lados é relacionada com a

alteração da dimensão dos versores (vectores unitários) em

cada um dos eixos X, Y e Z, quando projectados no plano.

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Projecções Geométricas Planas Projecções Perspectivas Projecções Perspectivas

As técnicas utilizadas em projecção perspectiva são derivadas

daquelas utilizadas pelos artistas e desenhistas profissionais.

Pode-se dizer que o olho do observador coloca-se no centro de

projecção, e o plano que deve conter o objecto ou cena projectada

transforma-se no plano de projecção

a

b

a'

b'

Objecto

ImagemProjectante

Centro deProjecção

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Projecções Geométricas Planas Projecções Perspectivas (cont…)Projecções Perspectivas (cont…)

Observações: O efeito visual de uma projecção perspectiva é bastante realista:

As dimensões de um objecto projectado variam inversamente

com relação ao centro de projecção, o que está de acordo com

o modo de funcionamento do sistema visual humano.

No entanto, as projecções perspectivas não são úteis para

documentar precisamente as formas de um objecto, dado que as

dimensões e os ângulos dos seus lados podem sofrer alterações após

a projecção. Em especial, pode haver perda do paralelismo entre as

linhas.

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Projecções Geométricas Planas Projecções Perspectivas (cont…)Projecções Perspectivas (cont…)

Resumo de observações:

Vantagem: Aspecto realista.

Desvantagens: Não é útil para registar a forma e as dimensões

exactas dos objectos; Não se pode obter as distâncias reais; Os ângulos só são preservados apenas nas faces do

objecto paralelas ao plano de projecção; Linhas paralelas normalmente não são projectadas

como paralelas.

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Projecções Geométricas Planas Projecções Perspectivas (cont…)Projecções Perspectivas (cont…)

Os desenhos em perspectivaperspectiva são caracterizados pelo encurtamento

perspectivo e pelos pontos de fuga

O encurtamento perspectivo, é a ilusão de que os objectos e

comprimentos são cada vez menores à medida que sua distância ao

centro de projecção aumenta.

Tem-se também a ilusão de que conjuntos de linhas paralelas que

não são paralelas ao plano de projecção, convergem para um ponto

de fuga

Denominam-se pontos de fuga principais, quando dá-se a

aparência de haver uma intersecção entre um conjunto de rectas

paralelas com um dos eixos principais Ox, Oy ou Oz. O número de

pontos de fuga principais é determinado pelo número de eixos

principais intersectados pelo plano de projecção.

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Projecções Geométricas Planas Projecções Perspectivas (cont…)Projecções Perspectivas (cont…)

Anomalias: Pontos de Fuga As projecções perspectivasprojecções perspectivas são categorizadas pelo seu número de

pontos de fuga principais, ou seja o número de eixos que o plano de projecção intercepta.

Somente as linhas paralelas ao eixo z convergem, e as linhas paralelas aos eixos x e y continuam paralelas!

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Projecções Geométricas Planas Projecções Perspectivas (cont…)Projecções Perspectivas (cont…)

Anomalias: Pontos de Fuga As projecções perspectivasprojecções perspectivas com dois pontos de fuga (quando dois eixos

principais são interceptados pelo plano de projecção) são mais comuns em arquitectura, engenharia, desenho publicitário e projecto industrial.

Figura – Projecções perspectivas com 2 pontos de fuga ( o plano de projecção intercepta 2 eixos (x e z)).

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Projecções Geométricas Planas Projecções Perspectivas (cont…)Projecções Perspectivas (cont…)

Anomalias: Pontos de Fuga Já as projecções perspectivasprojecções perspectivas com três pontos de fuga são bem

menos utilizadas, pois adicionam muito pouco em termos de realismo comparativamente às projecções com dois pontos de fuga, e o custo de implementação é bem maior.

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Projecções Geométricas Planas Projecções Perspectivas (cont…)Projecções Perspectivas (cont…)

Anomalias: Encurtamento perspectivo Encurtamento perspectivo: Quanto mais distante um objecto está do

centro de projecção, menor parece ser.

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Projecções Geométricas Planas Projecções Perspectivas (cont…)Projecções Perspectivas (cont…)

Anomalias: Confusão Visual Confusão Visual: Os objectos situados atrás do centro de

projecção são projectados no plano de projecção de cima para baixo e de trás para a frente (ver figura)

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Projecções Geométricas Planas Descrição Matemática de uma Projecção Perspectiva Descrição Matemática de uma Projecção Perspectiva

Para obter uma projecção perspectiva de um objecto 3D, são transformados os pontos ao longo das projectantes que se encontram no centro de projecção

Suponha que o centro de projecção está posicionado em zprp, um

ponto no eixo zv, e que o plano de projecção, normal ao eixo Oz,

está posicionado em zvp, como mostra a figura.

Plano de Projecção

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Projecções Geométricas Planas Descrição Matemática de uma Projecção PerspectivaDescrição Matemática de uma Projecção Perspectiva

Precisamos determinar as coordenadas (xp,yp,zp), que são as coordenadas do

ponto P = (x,y,z) projectado no plano de projecção. Podemos escrever as equações que descrevem as coordenadas (x',y',z') de

qualquer ponto ao longo da linha de projecção perspectiva como:

O parâmetro u assume valores no intervalo [0,1]: quando u = 0, estamos em P = (x,y,z) , e quando u = 1 temos exactamente o centro de projecção (0,0,zprp)

x x xu

y y yu

z z z z uprp

'

'

' ( )

= −

= −

= − −

Plano de Projecção

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Projecções Geométricas Planas Descrição Matemática de uma Projecção Perspectiva Descrição Matemática de uma Projecção Perspectiva

No plano de projecção, sabemos que z'= zvp, e podemos resolver a

equação de z' para obter o valor do parâmetro u nessa posição ao longo da linha de projecção:

Substituindo esse valor de u nas equações de z' e y', obtemos as equações de transformação perspectiva:

x x xu

y y yu

z z z z uprp

'

'

' ( )

= −

= −

= − −

uz z

z zvp

prp

=−−

;prp vp p prp vp pp p

prp prp prp prp

z z d z z dx x x y y y

z z z z z z z z

− −= = = = ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷− − − −

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Projecções Geométricas Planas Descrição Matemática de uma Projecção Perspectiva Descrição Matemática de uma Projecção Perspectiva

Aplicando coordenadas homogéneas pode-se escrever a transformação na forma matricial:

Nesta representação o factor homogéneo é: h = (zprp - z)/dp

E as coordenadas do ponto projectado no plano: xp = xh/h; yp = yh/h

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0

110 0

h

vp prphvp

p ph

prp

p p

x xz zy y

zd d zz

h z

d d

−= ÷ ÷ −

;prp vp p prp vp pp p

prp prp prp prp

z z d z z dx x x y y y

z z z z z z z z

− −= = = = ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷− − − −

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Projecções Geométricas Planas Descrição Matemática de uma Projecção Perspectiva Descrição Matemática de uma Projecção Perspectiva

Casos especiais:

zvp = 0

zprp = 0

1 1;

/ /vp vp

p pvp vp

z zx x x y y y

z z z z z z

= = = = ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷

;prp vp p prp vp pp p

prp prp prp prp

z z d z z dx x x y y y

z z z z z z z z

− −= = = = ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷− − − −

−

=

−

=prp

prpp

prp

prpp zz

zyy

zz

zxx ;

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Projecções Geométricas Planas

Exemplo Nº1: Seja o plano de projecção o plano xOy, e o centro de projecção o ponto C(0, 0, -d) na parte negativa do eixo Oz. Então neste caso zvp= 0 e zprp = -d

E na forma matricial:

=

+

⋅⋅

=

1100

0000

000

000

0

1

z

y

x

d

d

d

dz

yd

xd

z

y

x

p

p

p

;prp vp p prp vp pp p

prp prp prp prp

z z d z z dx x x y y y

z z z z z z z z

− −= = = = ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷− − − −

Plano de Projecção

Descrição Matemática de uma Projecção Perspectiva Descrição Matemática de uma Projecção Perspectiva

0;; =

+=

+= ppp z

dz

dyy

dz

dxx

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Projecções Geométricas Planas Descrição Matemática de uma Projecção Perspectiva Descrição Matemática de uma Projecção Perspectiva

Exemplo Nº2: Determine a projecção perspectiva dos vértices dum cubo unitário, utilizando a transformação perspectiva com d = 1.

Representação do cubo unitário em ternos das suas coordenadas homogéneas:

Com d = 1 encontramos as coordenadas das projecções dos vértices:

=

+

⋅⋅

=

1100

0000

000

000

0

1

z

y

x

d

d

d

dz

yd

xd

z

y

x

p

p

p

[ ]

==

11111111

11110000

10011100

11000110

,,,,,,, HGFEDCBAVc

[ ]

==

22221111

11110000

10011100

11000110

,,,,,,, HGFEDCBAVc

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Projecções Geométricas Planas Descrição Matemática de uma Projecção Paralela Descrição Matemática de uma Projecção Paralela

Ortogonal Ortogonal Se o plano de observação está posicionado em zvp ao longo do

eixo zv, então a descrição de qualquer ponto P = (x, y, z) em

coordenadas do sistema de observação é transformada para as

coordenadas de projecção (ver figura): xp = x; yp = y

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Projecções Geométricas Planas Descrição Matemática de uma Projecção Paralela Descrição Matemática de uma Projecção Paralela

Ortogonal Ortogonal A matriz transformação pode ser obtida a partir da matriz projecção

perspectiva. Isto é,

Para o caso da projecção paralela ortogonal podemos concluir que a imagem:

Não depende da posição do centro de projecção pois este encontra-se no infinito.

Não depende da direcção das projectantes, visto essa direcção ser fixa.

Só depende da posição do objecto em relação ao plano de projecção

=

=

11000

0000

0010

0001

1

0

1

z

y

x

y

x

z

y

x

p

p

p

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Projecções Geométricas Planas Descrição Matemática de uma Projecção Paralela Descrição Matemática de uma Projecção Paralela

Ortogonal Ortogonal Não é difícil observar que as projecções paralelas ortogonais: vista

lateral, frontal e planta podem ser obtidas através de transformações ortogonais.

Exemplo Nº3: Vista Lateral. Esta transformação pode ser obtida mediante uma rotação de -90° no eixo Ox e com a eliminação da coordenada z

Assim, partindo-se da equação de rotação em torno do eixo Ox, determina-se a matriz de projecção da vista lateral MPVL:

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Projecções Geométricas Planas Relatividade (litografia) | 1953. M. C. Escher (1898 – 1970)

A característica fundamental de esta litografia é a sua perspectiva ambígua: A sala pode rodar à volta do centro e pode conter até três linhas de horizonte. As figuras deambulam: umas sobem e outras descem numa determinada direcção sem parecer ser influenciadas pela força da gravidade.