Professor: Lucas T. de Castro Matemática.

Olá alunos do 8ºano B, vocês devem seguir as orientações contidas

aqui:

1)Copie tudo no caderno. Isso é conteúdo para semana toda (pode

revisar sempre).

2) Respondam as questões de forma legível.

3) Podem me procurar pelo app CMSP a partir do dia 30 que é

quando devem já ter arrumado as classes dentro do app.

Bem vamos começar:

Pesquisem sobre o hexágono regular e como construir um a partir

da medida do ângulo central. Provavelmente vão ter de usar esquadro e

compasso, como nem todo mundo tem, não esqueçam de escrever passo a

passo de como se faz, de preferência no caderno, e sim é para fazer.

Vamos a matéria:

O Princípio Multiplicativo ou Princípio Fundamental da

Contagem

A multiplicação é a base de um raciocínio muito importante

chamado, principio multiplicativo, o qual é considerado uma ferramenta básica

para resolver problemas de contagem sem que seja necessário enumerar seus

elementos.

Esses problemas de contagem fazem parte da “analise

combinatória” que vocês verão ao decorrer desta ‘aula’.

Esse principio se define como o produto de duas ou mais etapas

independentes. Consiste basicamente em dividir o evento (acontecimento) em

etapas independentes e, para cada uma dessas etapas, descobrir o número e

maneiras de se determinar um valor, combinações, arranjos e permutações

possíveis.

Em notação matemática isso seria o mesmo que considerarmos, que

determinada atividade pode ser realizada em duas etapas, ou seja, de m e n

maneiras distintas, o total de possibilidades será dado pelo produto de m por n

(m x n).

Ou seja, se uma decisão d1 pode ser tomada de n maneiras e, em

seguida outra decisão d2 puder ser tomada de m maneiras, o número total de

maneiras de tomarmos as decisões de e d2 será n*m. (lembrando que * indica

multiplicação).

Iremos agora resolver um problema utilizando o Diagrama da Árvore

para que possamos entender o Princípio Fundamental da Contagem: (Anotem

tudo e depois releiam vamos resolver ‘juntos’)

1)Jeniffer irá participar da promoção de uma loja de roupas que está

dando um vale compras no valor de R$ 1000,00 reais. Ganhará o desafio o

primeiro participante que conseguir fazer o maior número de combinações com

o kit de roupa cedido pela loja. No kit temos: seis camisetas, quatro saias e

dois pares de sapato do tipo salto alto. De quantas maneiras distintas Jeniffer

poderá combinar todo o vestuário que esta no quite de roupa?

Utilizando o Diagrama da Árvore vamos descobrir a quantidade de combinações possíveis:

8 combinações possíveis.

8 combinações possíveis.

8 combinações possíveis.

8 combinações possíveis.

8 combinações possíveis.

8 combinações possíveis.

Perceba que partindo de cada camisa que é o maior numero temos

opções de diferentes formas de se vestir que faz com que para cada camisa

tenhamos 8 maneiras diferentes. Somando tudo temos 48

opções/possibilidades.

A outra forma que temos para resolver este problema é utilizando o

Princípio Fundamental da Contagem:

Total de camisas vezes o total de sais vezes o total de sapatos vai

ser igual ao total de combinações possíveis:

6*4*2=

6*4=24

24*2=48.

Vamos para outro exemplo:

2) Maria separou duas sais e três blusas para usar, ela quer se vestir

de forma diferente durante a semana em que está de quarentena, de quantas

maneiras diferentes ela pode se vestir com essas opções?

Neste caso temos as seguintes decisões a serem tomadas:

d1: Escolher uma dentre duas sais;

d2: Escolher uma dentre 3 blusas.

Facilmente você releu o as explicações acima e deduziu que as

maneiras de se vestir de forma diferente são iguais a 2*3, ou seja, 6. Seis

maneiras diferentes de se vestir durante a semana.

Mas não pare ai, vamos a outro exemplo:

3) Um restaurante prepara 4 pratos quentes (frango, peixe, carne

assada e salsichão), 2 saladas (verde e russa) e 3 sobremesas (sorvete,

Romeu e Julieta, frutas). De quantas maneiras diferentes um freges pode se

servir consumindo um prato quente, uma salada e uma sobremesa?

Vamos observar o esquema a seguir:

Este é conhecido como esquema de arvore por lembrar galhos.

Aqui temos três níveis de decisão.

d1: Escolher um dentre os 4 tipos de pratos quente;

d2: Escolher uma dentre as 2 variedades de salada;

d3: Escolher uma dentre as 3 sobremesas oferecidas.

Usando o principio multiplicativo temos 4*2*3 = 24 maneiras de

tomarmos as três decisões, ou seja, 24 opções de cardápio.

Você não precisou contar todas as opções uma por uma, você

deduziu a partir do valor de decisões possíveis, isso é o principio da contagem.

4) Vamos agora considerar a seguinte situação, o mesmo

restaurante e o mesmo cardápio, Se esse restaurante oferecer dois preços

diferentes, sendo mais baratas as opções que incluíssem frango ou salsichão

com salada verde, de quantas maneiras você poderia se alimentar pagando

menos?

Note que agora temos uma condição sobre as decisões d1 e d2:

d1: Escolher um dentre 2 pratos quentes (frango ou salsichão);

d2: Escolher salada verde, apenas uma opção;

d3: Escolher uma das 3 sobremesas oferecidas.

Então há 2*1*3 = 6 maneiras de montar cardápios econômicos.

E então qual opção você escolheria?

Enfim mais um exemplo ilustrado caso não tenha entendido:

Ou seja, esse sistema foi o uso de analise combinatória, que é o que vimos ate

aqui.

Assistam a esse vídeo de 5 min: https://youtu.be/YFmGHy-_SE8

Assistam a esse vídeo que não chega a 17 min:

https://youtu.be/a0GcRAWcoUY

Vamos praticar:

1) Quantos números naturais de três algarismos existem?

Certamente você não vai pegar uma tabela e contar um por um.

Solução:

Um número de 3 algarismos c d u é formado por 3 ordens: Como o algarismo

da ordem das centenas não pode ser zero, temos então três decisões:

d1: Escolher o algarismo da centena diferente de zero (9 opções

[1,2,3,4,5,6,7,8 e 9]);

d2: Escolher o algarismo da dezena diferente do que já foi escolhido para

ocupar a centena (9 opções afinal aqui pode ter zero e queremos números com

as três casas distintas)

d3: Escolher o algarismo da unidade diferente dos que já foram utilizados (8

opções)

Neste caso temos, 9 opções de d1 vezes 9 opções de d2 vezes 8 opções de

d3.

9*9*8= 648 números distintos.

Atividades:

1) Em uma sala temos 4 homens e 3 mulheres. De quantos modos podemos

formar um casal homem-mulher?

a)12

b)16

c)8

d)Nenhuma das anteriores.

2) Quantos números naturais de 2 algarismos distintos existem?

a)27

b)81

c)182

d)83

3) Quantos destes números de dois algarismos distintos são divisíveis por 5?

a)24

b)12

c)18

d)17

4) Quantas palavras de três letras diferentes podem ser escritas com 26 letras?

Não precisa ser palavras com significado.

a)15600

b)15700

c)18400

d)13500

5) Quantos gabaritos são possíveis para um teste de 10 questões com 5

alternativas cada?

a)9765625

b)9532118

c)8246687

d)2436877

(E ainda tem gente que acha que se chutar tudo consegue passar...)

6) Se você pegar uma moeda e um dado e lançar eles ao mesmo tempo de

quantas maneiras diferentes teremos a combinação de resultados? (exemplo

cara 6, coroa 7 etc..)

____________________________________________________________

Muito bem, vamos em frente:

Porcentagem.

Símbolo de porcentagem : %

O símbolo significa divisão por 100. Ou seja é a razão entre um numero

qualquer e 100. Uma porcentagem representa a parte de um inteiro

Como é uma razão pode ser indicada como uma fração:

Veja que 3% = 3/100 = 0,03.

20% = 20/100=0,2

4,5%=4,5/100=0,045

Perceba que quando escrevemos a porcentagem 100% é o mesmo que

considerar um inteiro, ou seja, quando consideramos 100% de algo, estamos

levando em conta o total daquilo. No caso de 210% por exemplo, estamos

considerando mais que um inteiro, isto é, consideramos 2,1 vezes o total.

Para fazer o caminho de volta, ou seja, dado uma fração ou um número

decimal para ser escrito na forma percentual, basta multiplicar o número em

questão por 100. Veja:

0,13*100= 13%

0,05*100= 5%

4*100=400%

_______________________________________________________________

Vocês provavelmente já viram algo como produtos com 10% de desconto, 20%

de entrada etc.

Bem vou mostrar como calcular a porcentagem:

- Para se calcular a porcentagem de um numero, você deve multiplicá-lo pelo

valor percentual em forma decimal ou fracionaria, recomendo decimal.

Exemplo, quanto é 5% (cinco por cento) de 200?

200 vezes 0,05 = 10

Quanto é 25% de 600?

25 dividido por 100 é 0,25.

0,25 * 600= 150

Vejam este vídeo, não chega a 5 min: https://youtu.be/UOLbQ_fPLTo

Calcule:

A) 10% de 150.

B) 51% de 300.

c) 25% de 200.

D) Um carro custa 10.500 reais, o preço de entrada é de 15% do valor do carro,

qual o valor a ser pago de entrada?

E provavelmente já ouviram falar sobre tal produto teve um aumento de 20%

ou algo parecido.

Para se aumentar um numero por determinada porcentagem, basta multiplicá-

lo por 1 mais o valor decimal ou fracionário da porcentagem, recomendo

decimal.

Veja: 150 + 63% = 150 . (1+0,63)= 1550 vezes 1,63 = 244,5.

1) Um sabonete que custava 1,25 teve um aumento de 4%, qual o valor

atual do produto?

2) Uma calça será revendida com 20% de aumento em relação ao seu

valor de custo, sabendo que seu valor de custo é de 30 reais, qual é o

valor de revendo?

E agora quando se quer descontar uma porcentagem de um numero: Se

multiplica o numero por um menos o valor decimal ou fracionário da

porcentagem, recomendo o decimal..

Exemplo: 365-43% = 365.(1-0,43)= 365*0,57= 208,05.

Pratique:

1) Um Secador de cabelo custa 107 reais no cartão e tem um desconto de 10%

a vista, qual o valor pago a vista por ele?

2) Um supermercado está com uma promoção de 20% de desconto do valor

total de compras pagas a vista, neste caso quanto fica o valor de uma compra

de 350 com o desconto de 20%?

-Para calcular a variação percentual entre dois números:

É preciso subtrair o valor inicial (V1) do final (V2), dividir o resultado pelo valor

inicial e multiplicar o resultado por 100.

((V2 – V1)/V1)*100=

Exemplo: Marcos investiu R$: 400,00 reais. Um mês depois retirou R$:450,00

reais. Qual foi o ganho dele?

V1=400

V2=450.

((450 – 400)/400)*100=

(50/400)*100=

0,125*100=12,5%

Ou seja, ele teve um ganho de 12,5% sobre o valor investido.

Pratique:

1) Maria decidiu optar por investir 1000 reais, depois de um ano ela retirou a

quantia de 2500. Qual foi o ganho dela?

2) Luigi é dono de uma padaria, neste mês ele recebeu de lucro 4500 sendo

que no mês passado ele havia ganhado 6700. Qual foi a diferença de lucro de

Luigi?

Atividade:

1) (Enem 2017) O gráfico mostra a expansão da base de assinantes de

telefonia celular no Brasil, em milhões de unidades, no período de 2006 a 2011.

De acordo com o gráfico, a taxa de crescimento do número de aparelhos

celulares no Brasil, de 2007 para 2011, foi de

a)8,53%

b)85,17%

c) 103,04%

d) 185,17%

e)345,00%

2) Em certa loja de roupas, o lucro na venda de uma camiseta e de 25% do

preço de custo da camiseta pago pela loja. Já o lucro na venda de uma

bermuda e de 30% do preço de custo da bermuda, e na venda de uma calça o

lucro é de 20% sobre o preço de custo da calça. Um cliente comprou nessa loja

duas camisetas, cujo preço de custo foi R$ 40,00 cada uma, uma bermuda que

teve preço de custo de R$ 60,00 e duas calças, ambas com mesmo preço de

custo. Sabe-se que, com essa compra, o cliente proporcionou um lucro de R$

78,00 para a loja.

Considerando essas informações, qual foi o preço de custo, em real, pago por

uma calça?

a)90

b) 100

c) 125

d) 195

e) 200

3) A quantia de R$ 1143,00 representa qual porcentagem de R$ 2540,00?

4) Uma escola tem 25 professores, dos quais 24% ensinam Matemática.

Quantos professores ensinam Matemática nessa escola?

5) Na compra de um aparelho obtive desconto de 15% por ter feito o

pagamento à vista. Se paguei R$ 102,00 reais pelo aparelho, qual era seu o

preço original?

6) Calcule a porcentagem correspondente:

a) 20% de 500.

b) 2% de 700 laranjas.

c) 6% de 50 telhas

d) 22,5% de 60

Por enquanto é só, copiem no caderno depois eu vou dar visto.

Não esqueçam de separar um tempo para estudar, e se cuidem.