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O Número de Ouro

Escola Secundária Moinho de Maré

Trabalho realizado por:

- Ana Catarina Morais

- Mafalda Silva

- Rute Guapo

- Sara Pessoa

8º B

Introdução

Neste trabalho vamos falar da Razão de Ouro na Matemática. Vamos também abordar o seu significado geométrico, e onde pode ser encontrada. Vamos também apresentar alguns aspectos da obra de Fibonacci, uma vez que foi ele quem introduziu este número à Matemática moderna. Esperamos que com este trabalho possam ficar a saber mais sobre este número.

O Que é o Número de Ouro

Dividindo a medida da diagonal de um pentágono regular pela medida do seu lado obtemos um número, que até aos nossos dias é conhecido como Número (ou razão) de Ouro.

O Número de Ouro pode estar também relacionado com as dimensões de um rectângulo especial, que por esse facto se designa por rectângulo de ouro. Esse rectângulo foi estudado pelos Gregos num contexto geométrico.

Se quiséssemos dividir um segmento AB em duas partes, teríamos uma infinidade de maneiras de o fazer. Existe, no entanto, uma para a qual o matemático alemão Zeizing, formulou, em 1855, o seguinte principio, relativamente a esta divisão:

"Para que um todo dividido em duas partes desiguais pareça

belo do ponto de vista da forma, deve apresentar entre a parte menor e a maior a mesma relação que entre esta e o todo."

O Que é o Número de Ouro

Ou seja, dado um segmento de recta AB, para um ponto C que divide este segmento pode existir a proporção de ouro se AB/AC = AC/CB (sendo AB o segmento maior). O Número de Ouro é exactamente o valor da razão AB/AC, a chamada Razão de Ouro.

A C B

CB

AC

AC

AB

O que é o Número de Ouro

Vamos resolver esta equação em ordem a :

Tendo agora em conta que , vamos introduzir esta substituição:

Se queremos resolver a equação em ordem a , vamos escrevê-la na forma canónica:

ACCBABCB

AC

AC

AB 2

CBACAB

2222ACCBCBACACCBCBACACCBAB

AC

02222

CBCBACACACCBCBAC

AC


Aplicando-se a fórmula resolvente, obtemos:

Extraindo para fora da raiz, obtém-se:

2

5

2

4

12

140

222

2222

CBCBAC

CBCBCBAC

CBCBCBACCBCBACAC

2CB

2

5

2

25

CBCB

ACCBCB

AC


E assim atingimos dois resultados: um quando procedemos à soma, outro para a subtracção:

Em cada uma das fracções obtidas podemos pôr em evidência:

2

5

2

5

2

5

CBCBAC

CBCBAC

CBCBAC

CB

2

51

2

51

2

5

2

5

CBAC

CBAC

CBCBAC

CBCBAC


No entanto, como é um número negativo, a solução não é admissível, pois é uma medida. Assim, restará a primeira solução:

Trazendo para o 1º membro (com a operação inversa), obtém-se finalmente:

51

AC

2

51

CBAC

CB

AC 1 5

CB 2


Concluindo-se, então, ser o valor exacto da razão e, por consequência, também de .

A divisão do segmento feita segundo essa proporção denomina-se divisão áurea, a que Euclides chamou divisão em média e extrema razão, também conhecida por secção divina pelo matemático Fra Luca Pacioli ou secção áurea segundo Leonardo da Vinci.

O Número de Ouro é representado pela letra grega Φ, (Fi maiúsculo), é a inicial do nome de Fídias, que foi um famoso escultor e arquitecto grego, encarregado pela construção do Pártenon, em Atenas e por ter usado a proporção de ouro em muitos dos seus trabalhos.

AC

AB2

51

CB

AC


O Número Fi aparece em muitas construções geométricas. Por exemplo, num triângulo isósceles (dois ângulos iguais) em que o ângulo menor seja metade de cada um dos ângulos maiores (iguais), ou seja, um ângulo tenha 36 graus e os outros dois tenham 72 graus cada: o Número de Ouro aparece como uma razão entre um dos lados maiores e o lado menor. Além disso, se dividirmos ao meio um dos ângulos maiores, obtemos dois triângulos em que o menor é semelhante ao triângulo que se dividiu – os lados são proporcionais aos do triângulo e os ângulos são os mesmos.


Outro exemplo do Número de Ouro poderá ser também obtido desenhando-se um rectângulo de ouro cujos lados tenham uma razão entre si igual ao Número de Ouro. Este pode ser dividido num quadrado e noutro rectângulo em que este é, também ele, um rectângulo de ouro. Este processo pode ser repetido infinitamente mantendo-se a razão constante.

A História do Número de Ouro

• A história deste enigmático número perde-se na Antiguidade. No Egipto, as pirâmides de Gizé foram construídas tendo em conta a Razão de Ouro : A razão entre a altura de um face e metade do lado da base da grande pirâmide é igual ao Número de Ouro. O Papiro de Rhind refere-se a uma «razão sagrada», que se crê ser o Número de Ouro. Esta razão ou secção áurea surge em muitas estátuas da Antiguidade .


Construído muitas centenas de anos depois (entre 447 e 433 a. C.), o Partenon, templo representativo do século de Péricles, exibe a Razão de Ouro no rectângulo que contêm a fachada (Largura / Altura), o que revela a preocupação de realizar uma obra bela e harmoniosa. O escultor e arquitecto encarregado da construção deste templo foi Fídias. A designação adoptada para o Número de Ouro é a inicial do nome deste arquitecto - a letra grega F (Fi maiúsculo).


Os pitagóricos constataram também a razão de ouro na construção da estrela pentagonal.

Não conseguiram exprimir como quociente de dois números inteiros, a razão existente entre o lado do pentágono regular estrelado (pentáculo) e o lado do pentágono regular inscritos numa circunferência. Quando chegaram a esta conclusão ficaram muito espantados, pois, tudo isto era contrário a toda a lógica que conheciam e defendiam, chamando irracional a esse número.


Foi o primeiro número irracional de que se teve consciência que o era. Este número era o número de ouro, apesar de este nome só lhe ser atribuído uns dois mil anos depois.

Posteriormente, os gregos consideraram ainda que o rectângulo cujos lados apresentavam esta relação apresentava uma especial harmonia estética tal que lhe chamaram rectângulo áureo ou rectângulo de ouro, considerando esta harmonia como uma virtude excepcional.

Endoxus, um matemático grego que se tornou conhecido devido à sua teoria das proporções e ao método da exaustão, criou uma série de teoremas gerais de Geometria e aplicou o método de análise para estudar a secção que se acredita ser a secção de ouro.

Rectângulo Áureo e Nautilus

Juntando dois quadrados unitários (Lado=1), teremos um rectângulo 2x1, sendo que o comprimento 2 é igual à soma dos lados dos quadrados anteriores. De novo anexamos outro quadrado com L=2 (o maior dos lados do rectângulo anterior) e teremos um rectângulo 3x2. Continuamos a anexar quadrados com lados iguais ao maior dos comprimentos dos rectângulos obtidos antes. A sequência dos lados dos próximos quadrados é: 3,5,8,13,... que é a sequência de Fibonacci.

Com um compasso, trace um quarto de circunferência no quadrado de lado L=13, de acordo com o desenho ao lado.tendo em atenção o desenho, trace quartos de circunferências nos quadrados de lados L=8, L=5, L=3, L=2, L=1 e L=1



A espiral assim obtida é chamada uma espiral de ouro.

Esta espiral pode ser observada na secção da casca do Nautilus (um molusco).

A referida sequência (1, 1, 2, 3, 5, 8, ...) é conhecida como a sequência de Fibonacci.

Fibonacci

No fim da Idade Média havia duas escolas matemáticas: uma, a escola da Igreja e Universidade, voltada para um âmbito mais teórico e exaustivo; outra com uma finalidade mais prática e objectiva, a escola do comércio e dos mercadores, à qual pertencia Fibonacci. A contribuição de Fibonacci para o Número de Ouro está relacionada com a solução do seu problema dos coelhos publicado no seu livro Liber Abaci, a sequência de números de Fibonacci. É que as sucessivas razões entre um número e o que o antecede vão-se aproximando do Número de Ouro. Outro matemático que contribuiu para o estudo e divulgação do Número de Ouro foi Pacioli. Uma curiosidade deste matemático é que foi o primeiro a ter um retracto autêntico. Publicou em 1509 uma edição que teve pouco sucesso de Euclides e um trabalho com o título De Divina Proportione. Este trabalho dizia respeito a polígonos regulares e sólidos e a Razão de Ouro.

O Problema de Fibonacci

No século XIII os povos europeus ainda usavam a numeração romana nos seus cálculos e contagens.

Fibonacci foi quem mais contribuiu para a transição para o sistema numérico indo-árabe, que ainda hoje utilizamos.

Na obra "Liber Abaci" Fibonacci explica como usar a numeração árabe e como efectuar cálculos com ela, surgem alguns problemas, um dos quais é o célebre “Problema dos coelhos".


Quantos pares de coelhos podem ser gerados por um par de coelhos num ano, supondo que se começa com um par de coelhos num ambiente fechado. Desejamos saber quantos pares de coelhos podem ser gerados por este par num ano, se de um modo natural a cada mês ocorre a produção de um par e esse par começa a produzir coelhos quando completa dois meses de vida.


Como o par adulto produz um par novo a cada 30 dias, no início do segundo mês, existirão dois pares de coelhos, sendo um par de adultos + um par de recém-nascidos.

No início do terceiro mês, o par adulto terá produzido novamente mais um par, enquanto que o par recém nascido terá completado um mês de vida e ainda não estará apto a reproduzir-se. Assim, no início do terceiro mês, existirão três pares de coelhos, sendo: um par adulto + um par com um mês de idade + um par recém nascido.

No início do quarto mês existirão dois pares adultos, sendo que cada um já produziu um novo par e um par novo que completou um mês, logo teremos cinco pares: dois pares adultos + um par com um mês + dois pares recém nascidos.


Tal processo continua através dos diversos meses até completar um ano. Obtém-se a seguinte sequência de números, a qual conta o número de pares de coelhos existentes ao longo de cada um dos meses desse ano:

1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144

Esta sequência, também chamada de sequência de Fibonacci, constrói-se de uma forma extremamente simples: cada número, exceptuando evidentemente os dois primeiros, é composto pela adição dos dois números precedentes.

Leonardo Da Vinci

Uma contribuição que não pode ser deixada de referir foi a de Leonardo Da Vinci (1452-1519). A excelência dos seus desenhos revela os seus conhecimentos matemáticos, bem como a utilização da razão áurea como garante de uma perfeição, beleza e harmonia únicas. Lembrado como matemático apesar da sua mente irrequieta não se concentrar na Aritmética, Álgebra ou Geometria o tempo suficiente para fazer uma contribuição significativa.

Leonardo Da Vinci

Leonardo representa bem o Homem da Renascença, que fazia de tudo um pouco sem se fixar em nada. Era um génio de pensamento original que usou exaustivamente os seus conhecimentos de Matemática, nomeadamente o Número de Ouro, nas suas obras de arte. Um exemplo é a tradicional representação do homem em forma de estrela de cinco pontas de Leonardo, que foi baseada nos pentágonos, estrelado e regular, inscritos na circunferência.

Conclusão

Com o nosso trabalho, pretendemos uma abordagem matemática do Número de Ouro. Tentámos mostrar algumas ocorrências do Número de Ouro em campos da actividade humana ao longo da História.

Apresentámos uma breve perspectiva da influência de Fibonacci e Leonardo Da Vinci, nesta área e o celébre problemas dos coelhos.

Apresentámos também uma demonstração do valor de (Fi maiúsculo).

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