O Modelo de Richards Aplicado ao Processo de Aperto de Elementos de Fixação

Fabio Ap. Marins1, Sidineia Barrozo, Instituto de Química – Unesp – Câmpus de Araraquara, 14.800-060 – Araraquara – SP E-mail: fabinhomarins@iq.unesp.br, sbarrozo@iq.unesp.br,

Marcus J. Witzler2, Roberto Garcia3 EMBRAER – Empresa Brasileira de Aeronáutica, Metaltork Ind. e Com. de Auto Peças, 14813-000 - Gavião Peixoto – SP 09950-630 – Diadema – SP E-mail: marcus.witzler@embraer.com.br, E-mail: roberto.2.garcia@gmail.com.

Palavras-chave: Matemática Aplicada à Engenharia, Modelo de Richards, Elementos de Fixação Resumo: Este trabalho tem por objetivo estimar parâmetros fundamentais do processo de aperto de parafusos, que são os principais elementos de fixação utilizados pela indústria. Para isso, utilizará o Modelo de Richards, que será aplicado para ajustar curvas de Força × Ângulo de Aperto, principal elemento de estudo desse processo.

Intr odução

Em um trabalho anterior [1] foi apresentada a importância de se estudar o desempenho de parafusos, bem como o comportamento deles durante um processo de aperto, e como obter os parâmetros relativos às propriedades físicas e mecânicas do mesmo, em especial sua capacidade máxima de geração de força sem riscos de ruptura. O procedimento utilizado pelas indústrias segue normas internacionais e estão baseados no estudo de uma região aparentemente linear da curva experimental “Força × Ângulo de Aperto”. Este procedimento envolve uma grande quantidade de cálculos que devem ser realizados em cada análise e, no trabalho citado, foram desenvolvidas rotinas computacionais para minimizar tal tarefa. Porém, considerando que o padrão comportamental da força gerada com o aumento do ângulo de aperto é semelhante ao de uma curva logística, o trabalho evoluiu naturalmente no sentido de se encontrar uma descrição matemática para tal fenômeno, o que é fundamental para a predição de parâmetros relevantes sem a necessidade de grande número de ensaios. Considerando o comportamento dos dados, optou-se por estudar a aplicabilidade do modelo de Richards [3], um modelo de crescimento que apresenta a vantagem de ter o ponto de inflexão variando ao longo da curva, conforme o valor de um de seus parâmetros e, por isso, ajusta-se a uma quantidade maior de fenômenos físicos. Foi utilizada a representação de E. Tjorve e K.M.C.Tjorve [4] para o modelo, que é dada por

{ }1

1( ) 1 ( 1)exp[ ( )] diF A d k −α = + − − α − α ,

1 Aluno do Curso de Licenciatura em Química do IQ/ Unesp – CAr, Iniciação Científica.

2 Colaborador em programação Scilab.

3 Consultor da Metaltork Ind. e Com. de Auto Peças Ltda. Colaborador na parte experimental.

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sendo que, neste caso, F é a força correspondente a cada ângulo de aperto α; A é a força máxima obtida; αi é o ângulo no ponto de inflexão da curva; k é a taxa intrínseca de crescimento da força e d é o parâmetro que determina a posição do ponto de inflexão ao longo da curva.

Metodologia A partir de dados obtidos em ensaios realizados pela empresa Metaltork, e gentilmente cedidos

para este estudo, foram desenvolvidas rotinas computacionais em ambiente Scilab (software livre) que organizam estes dados e efetuam o ajuste do modelo através do Método de Regressão Não Linear [2]. Apesar da força ser medida a partir do ângulo zero, o início do aperto não constitui uma região de interesse, pois não existe geração de força útil nesta região. O mesmo ocorre após atingir a força máxima, pois após este ponto a força começa a diminuir, significando que o parafuso já sofreu deformação permanente e corre risco de quebra. Assim, o intervalo de força considerado no ajuste foi o compreendido entre 25% e 100% da força máxima de cada amostra. Os parâmetros obtidos foram comparados aos equivalentes a eles quando realizado o processo convencional de análise, também contemplado neste estudo.

Resultados O modelo foi testado em 90 parafusos do mesmo tipo, porém constituindo amostras de lotes diferentes. Destes, 32 sofreram tratamento térmico em uma data e os outros 58 foram tratados termicamente em outra data, distinta da primeira. A Figura 1A mostra o comportamento de uma das amostras ensaiadas, desde a força inicial zero até força máxima, enquanto a Figura 1B mostra o resultado gráfico do ajuste desta amostra, onde os dados experimentais estão em preto e a curva teórica ajustada, em cinza. Como se pode observar, as curvas são coincidentes na região de interesse, o que ocorreu com a grande maioria das amostras estudadas, obtendo em média, R2 = 0,9999, onde R é o coeficiente de regressão. Figura 1. (A) Dados experimentais até força máxima; (B) Dados experimentais na região ajustada (25% a 100% de força máxima) – preto, e curva teórica ajustada – cinza.

Fonte: Gráficos gerados pelos autores.

A Tabela 1 abaixo apresenta as médias dos parâmetros obtidos pelo ajuste, bem como o valor

da força no ponto de inflexão e que porcentagem este valor representa do Yield Point obtido pelo processo convencional. O Yield Point é o valor da força que está no limiar entre a região elástica (linear) e a elasto-plástica (côncava) do parafuso. É o principal parâmetro deste estudo, pois determina onde se inicia a região de deformação do parafuso durante o processo de aperto.

A B

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Como pode ser visto, o modelo de Richards se ajustou muito bem aos dados experimentais e possibilitou a obtenção dos parâmetros de maior relevância para este estudo, ou seja, a força tensora máxima gerada pelo parafuso e o Yield Point, que se mostrou relacionado com o ponto de inflexão da curva. A partir destes parâmetros é possível estabelecer até onde o parafuso pode ser apertado a fim de gerar a maior força tensora possível sem riscos de deformação permanente ou quebra.

Tabela 1. Média e desvio padrão dos parâmetros ajustados, da força no ponto de inflexão e da porcentagem que esta força representa do Yield Point (Yd).

Parâmetros A k d F(ai) % Yd

32 Parafusos – 1ª Corrida de Tratamento Térmico Média 85,24 0,01399 2 41,99 66% Desvio Padrão 1,92 0,00038 0 1,55 1%

58 Parafusos – 2ª Corrida de Tratamento Térmico Média 86,20 0,01432 2,037 43,33 66% Desvio Padrão 1,94 0,00103 0,0199 1,84 2%

Fonte: Tabela gerada pelos autores.

A Tabela 2 mostra os valores médios de força máxima obtidos pelo processo convencional nos

dois casos apresentados na Tabela 1. Observa-se que são muito próximos dos valores obtidos para A. Tabela 2. Valores médios da força máxima obtida pelo processo convencional.

Força Máxima

32 Parafusos – 1ª Corrida de Tratamento Térmico Média 85,52 Desvio Padrão 2,08

58 Parafusos – 2ª Corrida de Tratamento Térmico Média 86,59 Desvio Padrão 2,07

Fonte: Tabela gerada pelos autores.

Referências [1] S. Barrozo, R. Garcia, M.J.Witzler, Um procedimento numérico computacional como auxiliar na análise das propriedades e nos processos de aperto de elementos de fixação. In: I Congresso de Inovação, Tecnologia e Sustentabilidade, 2010, Brusque. Anais do I CITS 2010, p.1-12. [2] D. M. Bates e D. G. Watts, “Nonlinear Regression Analysis and Its Applications”, John Wiley & Sons, New Jersey, 2007. [3] F. J. Richards, A Flexible Growth Function for Empirical Use. Jour. of Experimental Botany, 10 (1959), 290-300. [4] E. Tjorve, K.M.C. Tjorve, A unified approach to the Richards-model family for use in growth analyses: Why we need only two model forms. Jour. of Theor. Biology, 267 (2010), 417-425.

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