o m todo de infer ncia de takagi-sugeno para sistemas...

O Método de Inferência de Takagi-Sugenopara Sistemas Baseados em Regras Fuzzy

Marcos Eduardo Valle

Departamento de Matemática AplicadaInstituto de Matemática, Estatística e Computação Científica

Universidade Estadual de Campinas

Quarta-feira, 01 de Abril de 2015

Marcos E. Valle (DMA - IMECC - Unicamp) Inferência de Takagi-Sugeno 01/04/2015 1 / 43

Contexto Histórico

Em 1985, Takagi e Sugeno introduziram uma ferramenta paramodelagem de sistemas baseada na teoria fuzzy.

No mesmo artigo, os autores também discutem duas aplicaçõesindustriais: Uma relacionada ao tratamento de água e outra comrespeito a produção de ferro.

Em 1988, Sugeno e Kang publicaram novos resultados eapresentaram critérios para ajustar os parâmetros do método fuzzy.

O método de Takagi-Sugeno, também conhecido comoTakagi-Sugeno-Kang, possui aplicações em diversas áreas incluindo:automação e controle, previsão de séries temporais, reconhecimentode padrões e biomatemática.


Teoria Fuzzy

A palavra fuzzy, de origem inglesa, significa incerto, vago,impreciso, subjetivo, nebuloso, difuso, etc.

A teoria fuzzy (lógica fuzzy e teoria dos conjuntos fuzzy) foiintroduzida por L. Zadeh em 1965 com o objetivo de modelarconceitos vagos ou imprecisos que surgem na linguagem natural.

Exemplos de conceitos vagos considerados na teoria fuzzy incluia noção de “pessoa jovem” e “temperatura ideal”.

A teoria fuzzy não é uma teoria vaga mas, sim, uma teoria paramodelar conceitos vagos!


Conjuntos Fuzzy

Definição (Conjunto Fuzzy )Um conjunto fuzzy A de X é caracterizado por uma função

ϕA : X → [0,1],

chamada função de pertinência.

O valor ϕA(x) indica o grau com o que elemento x ∈ X pertenceao conjunto fuzzy A.

O valor ϕA(x) também pode ser interpretado como o valor daveracidade da afirmação “x é A”.

É comum usar A para representar tanto a função de pertinênciacomo o conjunto fuzzy, i.e., A(x) = ϕA(x).


Lógica Fuzzy

Lógica ClássicaA lógica clássica é composta de proposições, que são afirmações desentido completo como “Sócrates é um homem” ou “x é A” (em que A

é um conjunto clássico).

Na lógica clássica, uma proposição ou é verdadeira ou é falsa.

Lógica Fuzzy

A lógica fuzzy trabalha com proposições vagas ou incertas como“Pedro é jovem”, “Gripe forte provoca febre alta” ou “x é A” (em que A

é um conjunto fuzzy).

Na lógica fuzzy, uma proposição é caracterizada por um grau deveracidade no intervalo [0,1].


Conectivos da Lógica Fuzzy

Os principais conectivos da lógica fuzzy são:

Conectivo “E”: Modelado usando uma norma triangular.

Conectivo “OU”: Modelado usando uma conorma triangular.

Conectivo “NÃO”: Modelado usando uma negação fuzzy.

Conectivo “SE-ENTÃO”: Modelado usando uma implicação fuzzy.


Norma Triangular

Definição (Norma Triangular)Uma norma triangular △ : [0,1]× [0,1] → [0,1], também chamadat-norma, é um operador que satisfaz para todo x , y , z ∈ [0,1]:

(a) 1 △ x = x . (elemento neutro)

(b) x △ y = y △ x . (comutativa)

(c) x △ (y △ z) = (x △ y)△ z. (associativa)

(d) x ≤ y ⇒ x △ z ≤ y △ z. (monotonicidade)

ExemploExemplos de t-normas incluem:

x △M y = min{x , y} = x ∧ y . (mínimo)

x △P y = xy . (produto)

x △L y = max{0, x + y − 1}. (Lukasiewicz)


Sistemas Baseados em Regras Fuzzy

Sistemas baseados em regras fuzzy constituem uma poderosaferramenta com aplicações em diversas áreas incluindo:

Automação e controle.

Previsão de séries temporais.

Reconhecimento de padrões.

Biomatemática.

Aspectos positivos de sistemas baseados em regras fuzzy incluem:

Capacidade de aproximação universal e forte fundamentomatemático.

Fácil interpretação e implementação por não-matemáticos e altainteroperabilidade.


Exemplo: Lava Roupas

Objetivo:Automatizar o funcionamento de uma máquina de lavar roupas demodo a economizar água, eletricidade, detergente, etc.

Formulação e Variáveis do Problema:Conhecido o peso aproximado das roupas e quão sujas elas estão,determinaremos a quantidade de detergente a ser aplicada.

Variáveis independentes: Peso e sujeira.

Variável dependente: Quantidade de detergente.

Primeiramente, definiremos conjuntos fuzzy para as variáveisindependentes.


Fuzzificação - Peso

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

MuitoLeve Leve Pesado

MuitoPesado


Fuzzificação - Sujeira

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

QuaseLimpo Sujo

MuitoSujo

Extr.Sujo


Consequente: Quantidade de detergente

0 10 30 60 80 1000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

MuitoPouco Pouco Moderado Exagerado Máximo


Base de Regras Fuzzy

SE o peso é muito leve e a sujeira é quase limpo,ENTÃO a quantidade de detergente é muito pouco.

SE o peso é muito leve e a sujeira é sujo,ENTÃO a quantidade de detergente é pouco.

...

SE o peso é pesado e a sujeira é muito sujo,ENTÃO a quantidade de detergente é exagerado.

...

SE o peso é muito pesado e a sujeira é extremamente sujo,ENTÃO a quantidade de detergente é máximo.


Base de Regras Fuzzy

Quaselimpo

SujoMuitosujo

Extr.sujo

Muitoleve

Muitopouco

Pouco Moderado Moderado

Leve Pouco Pouco Moderado ExageradoPesado Moderado Moderado Exagerado ExageradoMuitoPesado

Moderado Exagerado Máximo Máximo

Observe que temos 16 regras no total.


Gráfico da Máquina de Lavar Roupas

020

4060

80100

0

20

40

60

80

10010

20

30

40

50

60

70

80

90

100

PesoSujeira

Qtd

.D

eter

gent

e


Método de Inferência

Dado que o peso é p = 10 e o nível de sujeira é s = 15, determinamoso quantidade de detergente da seguinte forma:

Passo 11. Calculamos a ativação de cada regra da seguinte forma:

wi = ϕA1i(p) ∧ ϕA2i

(s), ∀i = 1, . . . ,16.

Por exemplo, a ativação da primeira regra é:

w1 = ϕMuito Leve(p) ∧ ϕQuase Limpo(s) = 0.5 ∧ 0.25 = 0.25.

Analogamente, a ativação da segunda regra é:

w2 = ϕMuito Leve(p) ∧ ϕSujo(s) = 0.5 ∧ 0.25 = 0.25.

Todas as outras regras tem ativação nula, ou seja, wi = 0 parai = 3, . . . ,16.


Passo 2A quantidade y de detergente é determinada somando o produto daativação pelo consequente da regra e dividindo o resultado pelo somadas ativações, ou seja,

y =

∑16i=1 wiQi∑16

i=1 wi

,

em que Qi ∈ {Muito Pouco,Pouco,Moderado,Exagerado,Máximo}.Neste exemplo,

y =0.25 × (Muito Pouco) + 0.25 × (Pouco)

0.5

=0.25 × 10 + 0.25 × 30

0.5= 20.

Este é um exemplo do método de Takagi-Sugeno de ordem zero!


Sistemas Baseados em Regas Fuzzy

Um sistema baseado em regras fuzzy contém três componentes:

Dicionário, que define conjuntos fuzzy sobre as variáveis.

Base de regras, que estabelece uma relação entre as variáveis.

Método de inferência, usado para determinar a saída dado umacerta entrada.

Eventualmente, pode-se acrescentar uma quarta componente,chamada defuzzificação, que transforma uma saída fuzzy em umnúmero real ou um conjunto clássico.


Modelo de Takagi-Sugeno

Regras Fuzzy de Takagi-SugenoNo modelo de Takagi-Sugeno, as regras são da forma:

SE x1 é A1i e x2 é A2i e . . . e xn é Ani , ENTÃO y = fi(x1, x2, . . . , xn),

em que A1i ,A2i , . . . ,Ani são conjuntos fuzzy dos antecedentesenquanto que o consequente é uma função das variáveis de entrada.

Observação:Geralmente, as funções fi são polinômios.

Tem-se um modelo de Takagi-Sugeno de ordem um se fi sãopolinômios de ordem 1.

Tem-se um modelo de Takagi-Sugeno de ordem zero se fi sãoconstantes.


Inferência de Takagi-SugenoDada uma entrada (x1, x2, . . . , xn), a saída é

y =

∑ki=1 wi fi(x1, x2, . . . , xn)

∑ki=1 wi

,

em que

wi = ϕA1i(x1)△ ϕA2i

(x2)△ . . .△ ϕAni(xn), ∀i = 1, . . . , k ,

representam as ativações de cada regra fuzzy.

Observação:As t-normas mais utilizadas são o mínimo e o produto.

As funções de pertinência mais utilizadas são as triangulares e asfunções em forma de sino.


Exemplo (Takagi-Sugeno com antecedentes crisp)Considere a base de regras:

SE x é pequeno, ENTÃO y = 0.1x + 6.4.

SE x é médio, ENTÃO y = −0.5x + 4.

SE x é grande, ENTÃO y = x − 2.

Considerando intervalos nos antecedentes, obtemos:

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Fun

ção

deP

ertin

ênci

a pequeno médio grande

Entrada-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 100

1

2

3

4

5

6

7

8

Entrada

Saí

da


Exemplo (Takagi-Sugeno com antecedentes fuzzy )Considere a base de regras:

SE x é pequeno, ENTÃO y = 0.1x + 6.4.

SE x é médio, ENTÃO y = −0.5x + 4.

SE x é grande, ENTÃO y = x − 2.

Considerando conjuntos fuzzy nos antecedentes, obtemos:

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Fun

ção

deP

ertin

ênci

a pequeno médio grande

Entrada-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 100

1

2

3

4

5

6

7

8

Entrada

Saí

da


Exemplo (Takagi-Sugeno com antecedentes fuzzy )Considere a base de regras:

SE x é pequeno E y é pequeno, ENTÃO z = −x + y + 1.

SE x é pequeno E y é grande, ENTÃO z = −y + 3.

SE x é grande E y é pequeno, ENTÃO z = −x + 3.

SE x é grande E y é grande, ENTÃO z = x + y + 2.

Antecedentes fuzzy :

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Fun

ção

deP

ertin

ênci

a pequeno grande

x-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Fun

ção

deP

ertin

ênci

a pequeno grande

y


Exemplo (Takagi-Sugeno com antecedentes fuzzy )Superfície do modelo de Takagi-Sugeno:

-5

0

5

-5

0

5-2

0

2

4

6

8

10

xy

z


Transformada Fuzzy

As transformadas fuzzy, introduzidas por Perfilieva, podem ser vistascomo modelos de Takagi-Sugeno de ordem d .

Aplicações das transformadas fuzzy inclui processamento de sinais,previsão de séries temporais e equações diferenciais fuzzy.

Ideia da Transformada Fuzzy :A transforma fuzzy de ordem d transforma uma função realf : [a,b] → R em uma matriz do R

n×(d+1) usando conceitos da teoriados conjuntos fuzzy.


Partição Fuzzy

Definição (Partição Fuzzy )Considere nós a = x1 < x2 < . . . < xn = b. Dizemos que os conjuntosfuzzy A1,A2, . . . ,An forma uma partição de [a,b] se, para cadai ∈ {1, . . . ,n}, tem-se

ϕAi: [a,b] → [0,1], ϕAi

(xi) = 1.

ϕAi(x) = 0, x ∈ [xi−1, xi+1], com x0 = a e xn+1 = b.

ϕAié contínua.

ϕAié crescente em [xi−1, xi ] e decrescente em [xi , xi+1].

∑ni=1 ϕAi

(x) = 1, para todo x ∈ [a,b].

Uma partição fuzzy A1,A2, . . . ,An é dita uniforme se os nósx1, x2, . . . , xn são equidistantes.


Exemplo

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Partição fuzzy não uniforme do intervalo [0,4] com nós0 < 1.6 < 2.8 < 3.4 < 4.


Transformada Fuzzy

Definição (Transformada Fuzzy Direta)Considere uma partição fuzzy A1,A2, . . . ,An de [a,b] e f ∈ C ([a,b]).

A matriz Fn [f ] ∈ Rn×(d+1) cujas linhas são os coeficientes do

polinômio que minimiza o erro quadrado médio é a transformada fuzzy

de ordem d de f com respeito à partição A1, . . . ,An.

Formalmente, a i-ésima linha de Fn [f ] é

Fn [f ]i = [ai0,ai1, . . . ,aid ], ∀i = 1, . . . ,n,

em que ai0,ai1, . . . ,aid são a solução de quadrados mínimos:

Minimize∫ b

a

(

f (x)−(ai0 + ai1(x − xi) + . . .+ aid(x − xi)

d)

︸︷︷︸

polinômio de grau d

)2ϕAi

(x)dx .


Transformada Fuzzy Inversa

Definição (Transformada Fuzzy Inversa)Considere uma partição fuzzy A1,A2, . . . ,An de [a,b] e F uma matrizem R

n×(d+1) com linhas Fi = [ai0, . . . ,aid ]. A função fF ,n dada por

fF ,n(x) =

n∑

i=1

(ai0 + ai1(x − xi) + . . .+ aid(x − xi)

d)

︸︷︷︸

polinômio de grau d

ϕAi(x),∀x ∈ [a,b],

é chamada transformada fuzzy inversa.

Note que fF ,n(x) pode ser escrita como

fF ,n(x) =n∑

i=1

wk

(ai0 + ai1(x − xi) + . . .+ aid(x − xi)

d),

em que wi = ϕAi(x) com

∑ni=1 wi =

∑ni=1 ϕAi

(x) = 1.


ExemploConsidere a partição fuzzy A1,A2, . . . ,A5 de [0,4] com nós0 < 1.6 < 2.8 < 3.4 < 4.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1


ExemploConsidere a partição fuzzy A1,A2, . . . ,A5 de [0,4] com nós0 < 1.6 < 2.8 < 3.4 < 4. Dada a função f (x) = sin(πx)ex/2, temos

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

ffF,n

em que fF ,n é a transformada fuzzy inversa de Fn [f ].


Propriedade de Aproximação

TeoremaSeja f ∈ C ([a,b]). Dado ǫ > 0, existe nǫ e uma partição fuzzy

A1, . . . ,Anǫde [a,b] tal que

|f (x)− fF ,nǫ(x)| ≤ ǫ, ∀x ∈ [a,b],

em que e fF ,nǫ(x) é a transformada fuzzy inversa de Fn [f ]

Observação:Pode-se mostrar também que fF ,nǫ

pode aproximar as derivadas de f

caso ela seja diferenciável.


ExemploConsidere a partição fuzzy A1,A2, . . . ,A5 de [0,4] com nós0 < 1 < . . . < 3 < 4.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1


ExemploConsidere a partição fuzzy A1,A2, . . . ,A5 de [0,4] com nós0 < 1 < . . . < 3 < 4. Dada a função f (x) = sin(πx)ex/2, temos

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

ffF,n



ExemploConsidere a partição fuzzy A1,A2, . . . ,A5 de [0,4] com nós0 < 0.4 < 0.8 < . . . < 3.6 < 4.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1


ExemploConsidere a partição fuzzy A1,A2, . . . ,A5 de [0,4] com nós0 < 0.4 < 0.8 < . . . < 3.6 < 4. Dada a função f (x) = sin(πx)ex/2,temos

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

ffF,n



Takagi-Sugeno Adaptativo

Em muitas situações práticas, não conhecemos o dicionário ou a basede regras fuzzy, mas temos em mãos um conjunto significativo dedados.

Os dados podem ser usadas para determinar o dicionário ou as regrasfuzzy num modelo de Takagi-Sugeno.

Inspirado em resultados sobre redes neurais artificiais, Jang introduziuem 1993 um modelo de Takagi-Sugeno adaptativo chamadoadaptative neuro fuzzy inference system (ANFIS).

Outros modelos adaptativos baseados no modelo de Takagi-Sugenoincluem também o Evolving Takagi-Sugeno (ETS) introduzido porAngelov e Filev em 2004.


ANFIS

Conjunto de TreinamentoConsidere um conjunto de dados {(xξ, yξ) : ξ = 1, . . . ,m}, em quexξ = [x1ξ , x2ξ, . . . , xnξ ] ∈ R

n e yξ ∈ R, chamado conjunto detreinamento.

EstruturaO ANFIS implementa um modelo de Takagi-Sugeno de ordem 1 comnúmero fixo de regras e conjuntos fuzzy nos antecedentes.

AntecedentesAs funções de pertinência são funções parametrizáveis.

Exemplo (Função Sino Generalizada)

ϕA(x ;α, β, γ) =1

1 +∣∣ x−γ

α

∣∣2β .


Ajuste dos Parâmetros

Ajuste dos Parâmetros dos ConsequentesDados os parâmetros que definem as funções de pertinência dosantecedentes, determina-se os parâmetros ai0,ai1, . . . ,ain dosconsequentes usando quadrados mínimos:

Minimizeai0,ai1,...,ain

m∑

ξ=1

(

yξ −

∑ki=1 wi(ai0 + ai1x1ξ + . . . + ainxnξ)

∑ki=1 wi

)2

,

em que wi = ϕA1i(x1ξ)△ ϕA2i

(x2ξ)△ . . .△ ϕAni(xnξ).

Observação:Geralmente, calcula-se a ativação usando a t-norma do produto!


Ajuste dos Parâmetros

Ajuste dos Parâmetros dos AntecedentesDe um modo similar, fixado os parâmetros ai0,ai1, . . . ,ain dosconsequentes, os parâmetros dos antecedentes são determinadosminimizando o erro quadrático médio:

Minimizeαi ,βi ,γi

m∑

ξ=1

(

yξ −

∑ki=1 wi(αi , βi , γi)(ai0 + ai1x1ξ + . . .+ ainxnξ)

∑ki=1 wi(αi , βi , γi)

)2

,

em que

wi(αi , βi , γi) = ϕA1i(x1ξ;αi , βi , γi)△ . . .△ ϕAni

(xnξ;αi , βi , γi),

são as ativações das regras (vistas como funções de αi , βi e γi ).


Exemplo

Considere a função f (x) = sin(πx)ex/2 e o conjunto de treinamento{(xξ , yξ) : ξ = 1, . . . ,41) em que xξ = 0.1(ξ − 1) e yξ = f (xξ).Fixado o número de regras k = 5 e as funções de pertinência dosantecedentes como função sino generalizada, obtemos:

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4


Exemplo

Considere a função f (x) = sin(πx)ex/2 e o conjunto de treinamento{(xξ , yξ) : ξ = 1, . . . ,41) em que xξ = 0.1(ξ − 1) e yξ = f (xξ).Fixado o número de regras k = 5 e as funções de pertinência dosantecedentes como função sino generalizada, obtemos:

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1


Previsão de Séries Temporais

Considere a série temporal de Mackey-Glass dada por

d

dtz(t) =

0.2z(t − τ)

1 + z10(t − τ)− 0.1z(t),

com z(0) = 1.2, z(t) = 0 para t < 0 e τ = 17.

Usando Runge-Kutta de 4a ordem, encontramos uma série temporalcaótica (que não converge nem diverge) muito usada para avaliar odesempenho de modelos.

O objetivo será estimar um valor futuro conhecendo os valorespassados.


Série temporal de Mackey-Glass.

0 200 400 600 800 1000 12000.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

Tempo (s)


Para t1 = 118, t2 = 119, . . ., t1000 = 1117, definimos:

xξ = [z(tξ − 18), z(tξ − 12), z(tξ − 6), z(tξ)] e yξ = z(tξ + 6).

Os 500 primeiros pares (xξ, yξ) foi usado para determinar o ANFIScom 16 (24) regras.

Cada regra tem dois conjuntos fuzzy com função de pertinência emforma de sino no antecedente.


0.6 0.8 1 1.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0.6 0.8 1 1.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0.6 0.8 1 1.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0.6 0.8 1 1.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Gra

ude

Per

tinên

cia

Gra

ude

Per

tinên

cia

Gra

ude

Per

tinên

cia

Gra

ude

Per

tinên

cia

z(t − 18) z(t − 12)

z(t − 6) z(t)

A11 A12 A21 A22

A31 A32 A41 A42


200 300 400 500 600 700 800 900 1000 11000.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100-0.08

-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

0.06

Tempo)

Tempo (s)

Série (azul) e Estimativa (vermelho)

Erro da Estimativa


Conclusão

Nesta palestra:

Relembramos alguns conceitos da teoria fuzzy.

Apresentamos os modelos de Takagi-Sugeno.

Interpretamos as transformadas fuzzy como modelos deTakagi-Sugeno em que os antecedentes são fixos mas osconsequentes são determinados usando quadrados mínimos(contínuo).

Mencionamos como o ANFIS (adaptative neuro fuzzy inferencesystem) sintetiza um modelo de Takagi-Sugeno a partir de umconjunto de dados.

Muito grato pela atenção!


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