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ANDERSON ROSS BIAZETO

CONTRIBUIÇÕES DE IDENTIFICAÇÃO DE SISTEMASLINEARES E NÃO-LINEARES PARA O CASO DO PACIENTE

PARAPLÉGICO

Londrina2011


CONTRIBUIÇÕES DE IDENTIFICAÇÃO DE SISTEMAS LINEARES E NÃO-LINEARES PARA O CASO DO PACIENTE

PARAPLÉGICO

Trabalho de Conclusão de Curso apresentado ao Departamento de Engenharia Elétrica da Universidade Estadual de Londrina.

Orientador: Prof. Dr. Ruberlei Gaino

Londrina2011


CONTRIBUIÇÕES DE IDENTIFICAÇÃO DE SISTEMAS LINEARES E NÃO-LINEARES PARA O CASO DO PACIENTE

PARAPLÉGICO

Trabalho de Conclusão de Curso apresentado ao Departamento de Engenharia Elétrica da Universidade Estadual de Londrina.

BANCA EXAMINADORA

____________________________________Prof. Dr. Ruberlei Gaino

Universidade Estadual de Londrina

____________________________________Prof. Dr. Marcio Roberto Covacic


____________________________________Prof. Msc Osni Vicente


Londrina, 28 de Novembro de 2011.

Dedico este trabalho às pessoas que

mesmo nas dificuldades me apoiaram.

AGRADECIMENTOS

Agradeço a Deus pela força e oportunidade de cursar e finalizar este

curso.

Agradeço ao meu orientador pela constante orientação neste

trabalho, e pelo entendimento e apoio nas horas em que mais precisei.

À minha esposa pelo estímulo, carinho e cuidado, e à minha família

que esteve comigo em todos os momentos.

Aos colegas que conheci e convivi durante esses cinco anos, pela

amizade e companherismo nas horas de esforços.

Bem aventurados os que tem um coração pobre porque deles é o Reino dos Céus! Bem aventurados os que têm fome e sede de justiça, porque serão saciados!Mateus 5; 3, 6.

BIAZETO, Anderson Ross. Contribuições de identificação de sistemas lineares e não-lineares para o caso do paciente paraplégico. 2011. 108 folhas. Trabalho de Conclusão de Curso de Graduação em Engenharia Elétrica – Universidade Estadual de Londrina, Londrina, 2011.

RESUMO

Foram realizados, neste trabalho, estudos para obtenção de algoritmos capazes de identificar funções de primeira, segunda e terceira ordem. Estes algoritmos foram aplicados ao modelo não linear do movimento do complexo canela-tornozelo de um paciente paraplégico para que fosse estimada a função de transferência do mesmo. O conjunto de dados referente ao paraplégico foi obtido através de estudos já efetuados, porém foi colocado na entrada do sistema, além do sinal degrau, um sinal PRBS (Pseudo random binary signal) de sequência m, o qual faz com que a identificação tenha maior fidediginidade. Para modelar o sistema foi utilizada a modelagem caixa-preta, pois não há a necessidade de se conhecer o conteúdo interior da identificação, apenas é necessário fazer a identificação externa. Foramutilizados diferentes modelos de identificação de sistemas, tais como ARMA (auto regressive moving avarage) e ARX (auto regressive with exogenous inputs) ambos lineares, e os modelos Fuzzy padrão e o Fuzzy Takagi-Sugeno, ambos não lineares.Foi utilizado o estimador de mínimos quadrados, que visa reduzir o somatório do erro quadrático tanto no caso de batelada, onde deve se ter todo o conjunto de dados para se começar a identificação, quanto no caso recursivo, que faz a identificação on-line, utilizando sempre o dado atual e o anterior para ir atualizando a variável e o método do gradiente descendente, que visa alcançar o minimo da função utilizando derivadas em pontos sucessivos. Os resultados das identificações, bem como o erro de estimação de cada método, foram comparados entre si, afim de se observar a diferença de estimação e identificação para cada um dos métodos propostos. Como a equação do movimento do paciente paraplégico é não linear, os dois primeiros métodos não obtiveram exelente aproximação para o caso de terceira ordem, entretanto os modelos Fuzzy padrão e o Fuzzy Takagi-Sugeno obtiveram excelente resposta para o sistema não linear de terceira ordem.

Palavras-chave: ARMA, ARX, FUZZY, identificação de sistemas. Gradiente descendente.

BIAZETO, Anderson Ross. Contributions identification of linear and nonlinear in the case of the paraplegic patient: 2011. 108 folhas. Trabalho de Conclusão de Curso de Graduação em Engenharia Elétrica – Universidade Estadual de Londrina, Londrina, 2011.

ABSTRACT

Been performed in this work for obtaining algorithms capable of identifying first, second and third order functions. The algorithms were applied to the nonlinear model of the complex movement of the shin-ankle of a paraplegic patient was estimated that the transfer function of the same. The dataset for the paraplegic was obtained through studies already carried out, but was placed at the entrance of the system beyond of the step signal, a signal PRBS (pseudo random binary signal) m sequence, which makes that the identification has greater fidelity. To model the system was used to black box model, because there is no need to know the content inside of identification, it is only necessary to make the external identification. We used different models of system identification, such as ARMA (auto regressive moving avarege) and ARX (auto regressive with exogenous inputs) both linear, andthe fuzzy standart model and fuzzy T-S model, both non-linear. We used the least squares estimator, which aims to reduce the sum of the squared error in both the case of batch, which should have the whole data set to begin the identification, as in the recursive case, which makes the on-line identification, always using the current and previous data to go updating the variable, and the gradient descent method designed to achieve the minimum of the function derived using successive points. The results of the identifications were compared in order to observe the difference of estimation and identification for each of the methods. Since the equation of motion of the paraplegic patient is non-linear, the first two methods did not achieve excellent approximation for the case of third order, however the Fuzzy standard and Fuzzy Takagi-Sugeno models obtained an excellent response for the nonlinear system of third order.

Key words: ARMA, ARX, FUZZY, system identification, gradient descent.

LISTA DE ILUSTRAÇÕES

Figura 2.1 – Representação da função de transferência em diagrama de blocos...15

Figura 3.1 – Ortogonalidade no estimador de mínimos quadrados. (AGUIRRE, 2000)

... ..............................................................................................................................19

Figura 3.2 – Ausência de ortogonalidade no estimador MQ devida à polarização.

(AGUIRRE, 2000).....................................................................................................20

Figura 4.1 – Identificação da função de 1ª ordem utilizando ARMA MQ batelada ..25

Figura 4.2 – Identificação da função de 2ª ordem utilizando ARMA MQ batelada. .27

Figura 4.3 – Identificação da função de 3ª ordem utilizando ARMA MQ batelada ..28

Figura 4.4 – Identificação da função de 1ª ordem utilizando ARMA RLS................31



Figura 4.7 – Representação do modelo ARX (AGUIRRE, 2000).............................33

Figura 4.8 – Identificação da função de 1ª ordem utilizando ARX Batelada............37

Figura 4.9 – Identificação da função de 2ª ordem utilizando ARX Batelada............38

Figura 4.10 – Identificação da função de 3ª ordem utilizando ARX Batelada..........40

Figura 4.11 – Identificação da função de 1ª ordem utilizando ARX RLS.................41



Figura 5.1 – Passos do gradiente descendente (GUERRA,2010)...........................44

Figura 5.2 – Vetor gradiente, (HAYKIN,1994) .........................................................46

Figura 6.1 – Aproximação da função utilizando modelos FUZZY T-S (GAINO,2009)

.................................................................................................................................47

Figura 6.2 – Funções de pertinências, (MAGALY, 2011). .......................................48

Figura 6.3 – Mapeamento dos dados de entrada e saída (PASSINO,1998) ...........49

Figura 7.1 – Representação do modelo da perna do paciente (GAINO,2009) ........54

Figura 8.1 – Degrau unitário....................................................................................59

Figura 8.2 – Caixa de diálogo para configuração do degrau ...................................60

Figura 8.3 – Circuito para gerar PRBS....................................................................61

Figura 8.4 – Sinal PRBS..........................................................................................62

Figura 9.1 – Equação do paraplégico no ambiente Simulink, adaptado de (GAINO,

2009) ........................................................................................................................63

Figura 9.2 – Fluxograma para obtenção da função de terceira ordem....................64

Figura 9.3 – Identificação ARMA de primeira ordem, resposta ao degrau ..............65

Figura 9.4 – Identificação ARMA RLS de primeira ordem, resposta ao degrau...... 65

Figura 9.5 – Identificação ARMA de primeira ordem, resposta ao sinal PRBS........66

Figura 9.6 – Identificação ARMA RLS de primeira ordem, resposta ao sinal PRBS.

................................................................................................................................. 66

Figura 9.7 – Identificação ARMA batelada de segunda ordem, resposta ao Degrau

................................................................................................................................. 68

Figura 9.8 – Detalhe na identificação ARMA batelada de segunda ordem, resposta

ao Degrau...................................................................................................................68

Figura 9.9 – Identificação ARMA batelada de segunda ordem, resposta ao Sinal

PRBS..........................................................................................................................69

Figura 9.10 – Detalhe da identificação ARMA batelada de segunda ordem, resposta

ao Sinal PRBS..........................................................................................................70

Figura 9.11 – Identificação ARMA batelada de terceira ordem, resposta ao degrau..

.................................................................................................................................71

Figura 9.12 – Identificação ARMA batelada de terceira ordem, resposta ao Sinal

PRBS... ....................................................................................................................71

Figura 9.13 – Identificação ARX de primeira ordem, resposta ao degrau.... ...........72

Figura 9.14 – Identificação ARX de primeira ordem, resposta ao sinal PRBS.... ....73

Figura 9.15 – Identificação ARX de segunda ordem, resposta ao degrau. .............74

Figura 9.16 – Identificação ARX de segunda ordem, resposta ao sinal PRBS........74

Figura 9.17 – Detalhe na identificação ARX de segunda ordem, resposta ao sinal

PRBS........................................................................................................................75

Figura 9.18 – Identificação ARX batelada de terceira ordem, resposta ao degrau..76

Figura 9.19 – Detalhe da identificação ARX batelada de terceira ordem, resposta ao

degrau... ...................................................................................................................77

Figura 9.20 – Identificação ARX batelada de terceira ordem, resposta ao sinal

PRBS........................................................................................................................77

Figura 9.21 – Detalhe na identificação ARX batelada de terceira ordem, resposta ao

sinal PRBS..... ..........................................................................................................78

Figura 9.22 – Identificação gradiente descendente de primeira ordem, resposta ao

degrau ......................................................................................................................79

Figura 9.23 – Identificação gradiente descendente de primeira ordem, sinal PRBS

.................................................................................................................................79

Figura 9.24 – Identificação gradiente descendente de segunda ordem, sinal degrau

.................................................................................................................................80

Figura 9.25 – Identificação gradiente descendente de segunda ordem, sinal PRBS

.................................................................................................................................80

Figura 9.26 – Identificação gradiente descendente de terceira ordem, sinal degrau

. ................................................................................................................................81

Figura 9.27 – Identificação gradiente descendente de terceira ordem, sinal PRBS...

.................................................................................................................................81

Figura 9.28 – Número de regras e formato das funções de pertinências na

Identificação Fuzzy Padrão..... .................................................................................82

Figura 9.29 – Identificação Fuzzy Padrão de terceira ordem, resposta ao Degrau....

.................................................................................................................................84

Figura 9.30 – Detalhe na identificação Fuzzy Padrão de 3ª ordem, resposta degrau.

.................................................................................................................................84

Figura 9.31 – Identificação Fuzzy Padrão de terceira ordem utilizando RLS, resposta

ao Degrau ................................................................................................................85

Figura 9.32 – Detalhe na identificação Fuzzy Padrão de terceira ordem utilizando

RLS, resposta ao Degrau.........................................................................................85

Figura 9.33 – Identificação Fuzzy Padrão de terceira ordem, resposta ao sinal PRBS

.................................................................................................................................86

Figura 9.34 – Detalhe na identificação Fuzzy Padrão de terceira ordem, resposta ao

sinal PRBS.. .............................................................................................................87


ao sinal PRBS.. ........................................................................................................87


RLS, resposta ao sinal PRBS...................................................................................88


Identificação Fuzzy Takagi-Sugeno.... .....................................................................89

Figura 9.38 – Identificação Fuzzy T-S de terceira ordem, resposta ao Degrau.......89

Figura 9.39 – Detalhe na identificação Fuzzy T-S de terceira ordem, resposta ao

Degrau. ....................................................................................................................90

Figura 9.40 – Identificação Fuzzy T-S rls de terceira ordem, resposta ao Degrau.. 90

Figura 9.41 – Detalhe na identificação Fuzzy T-S RLS de terceira ordem, resposta

ao Degrau.................................................................................................................91

Figura 9.42 – Identificação Fuzzy T-S de terceira ordem, resposta ao PRBS ........92


PRBS .......................................................................................................................92

Figura 9.44 – Identificação Fuzzy T-S RLS de terceira ordem, resposta ao PRBS.93


ao PRBS ..................................................................................................................93

Figura 9.46 – Identificação Fuzzy de terceira ordem, resposta ao Degrau, utilizando

gradiente descendente ............................................................................................94

Figura 9.47 – Identificação Fuzzy de terceira ordem, resposta ao PRBS, utilizando

gradiente descendente ............................................................................................95

LISTA DE TABELAS

Tabela 7.1 – Grandezas antropométricas do paciente paraplégico ........................55

Tabela 8.1 – Conexões para gerar sinais de sequência m ......................................61

LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS

ARMA – Auto regressive moving avarege.

ARX – Auto regressive with exogenous entry

NARX – Non linear auto regressive with exogenous entry

PRBS – Pseudo random binary signal

MQ – Mínimos Quadrados.

RLS – Roots least square.

SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO .......................................................................................................12

2 MODELAGEM DE SISTEMAS ..............................................................................13

2.1 IDENTIFICAÇÃO DA ORDEM DO MODELO...................................................................14

2.2 FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA ..................................................................................14

3 MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS..............................................................15

3.1 MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS ........................................................................16

3.2 PROPRIEDADES DO ESTIMADOR DE MÍNIMOS QUADRADOS .......................................18

3.2.1 Ortogonalidade do Estimador de Mínimos Quadrados.....................................18

3.2.2 Polarização do Estimador de Mínimos Quadrados ..........................................19

3.2.3 Tratamento da polarização do Estimador de Mínimos Quadrados...................20

4 MODELOS DE ESTIMAÇÃO.................................................................................21

4.1 MODELO ARMA ....................................................................................................21

4.1.1 Modelo ARMA Com Estimador MQ Batelada...................................................22

4.1.1.1 Exemplos do modelo ARMA Com Estimador MQ Batelada ..........................24

4.1.2 Modelo ARMA Com Estimador MQ Recursivo .................................................29

4.1.2.1 Exemplos do modelo ARMA Com Estimador MQ Recursivo ........................31

4.2 MODELO ARX .......................................................................................................33

4.2.1 Modelo ARX Com Estimador MQ Batelada......................................................34

4.2.1.1 Exemplos do modelo ARX Com Estimador MQ Batelada .............................36

4.2.2 Modelo ARX Com Estimador MQ Recursivo ....................................................40

4.2.2.1 Exemplos do modelo ARX Com Estimador MQ Recursivo ...........................40

5 GRADIENTE DESCENDENTE ..............................................................................43

6 IDENTIFICAÇÃO FUZZY.......................................................................................46

6.1 FUNÇÃO DE APROXIMAÇÃO ....................................................................................48

6.2 EQUACIONAMENTO FUZZY PADRÃO ........................................................................50

6.2.1 Fuzzy Padrão Com Estimador MQ Batelada .........................................................51

6.2.2 Fuzzy Padrão Com Estimador MQ Recursivo ........................................................52

6.3 FUZZY TAKAGI-SUGENO ........................................................................................52

7 MODELO MATEMÁTICO PARA CONTROLE DA POSIÇÃO DE PACIENTES

PARAPLÉGICOS......................................................................................................54

8 ESTÍMULOS DE ENTRADA ..................................................................................58

8.1 SINAL DEGRAU ......................................................................................................58

8.2 SINAL PRBS ........................................................................................................60

9 RESULTADOS.......................................................................................................63

9.1 Identificação modelo ARMA ...............................................................................64

9.2 Identificação modelo ARX ...................................................................................72

9.3 Identificação modelo gradiente descendente ......................................................78

9.4 Identificação utilizando modelos Fuzzy ...............................................................83

10 DISCUSÃO DE RESULTADOS.. .........................................................................96

11 TRABALHOS FUTUROS.....................................................................................98

12 CONCLUSÃO ......................................................................................................99

REFERÊNCIAS........................................................................................................101

12

1 INTRODUÇÃO

Neste trabalho será feita a identificação do sistema do movimento de

um paciente paraplégico, utilizando alguns métodos e modelos de identificação, a

fim de se obter subsídios para comparações.

O estudo do movimento por estimulação elétrica de um paciente

paraplégico, ainda pouco explorado no Brasil, visa dar a esses pacientes pequenos

estímulos nos membros paralisados, fazendo contrações nos músculos dos

membros paralisados. Estes estímulos serão eficazes nos casos em que a

paraplegia do paciente for temporária, ou seja, pacientes que não tiveram um

rompimento permanente da medula, pelo motivo de não deixar com que os músculos

se atrofiem, (GAINO,2009).

Os modelos para identificação do sistema do paciente paraplégico

serão os modelos ARMA (auto regressive moving average) e ARX (auto regressive

with exogenous entry), ambos lineares, e os modelos Fuzzy Padrão e o Fuzzy T-S.

Para a obtenção dos dados de saída, será aplicado à entrada do

modelo matemático um degrau e um sinal PRBS, ambos com amplitudes definidas

posteriormente. Este modelo foi gerado por (GAINO,2009) e (FERRARIN,

PEDOTTI,2000) e fornece um modelo matemático do membro inferior, executado no

ambiente Simulink do software MATLAB.

Foi identificada a função não linear de terceira ordem, que

representa a planta do movimento do paciente paraplégico. O sistema de terceira

ordem não linear foi subdividido em duas equações lineares, de primeira e segunda

ordem.

13

2 MODELAGEM DE SISTEMAS

Esta seção apresenta os tipos de modelagem e conceitos

importantes sobre identificação.

A identificação de sistemas visa representar um sistema real através

de um modelo matemático, que é um análogo matemático que representa algumas

características observadas em tais sistemas (AGUIRRE, 2000). Por exemplo, o

movimento da perna de um paciente paraplégico, ou seja pequena movimentação

dos músculos, é um sistema físico, real, o qual teve as principais variantes do

mesmo levantadas, e sua aproximação em um análogo matemático.

Entretanto o modelo matemático não retrata fielmente todas as

características do sistema real, ficando, portanto, bem definido a existência de

aproximações.

Praticamente todo sistema dinâmico é não linear. Na prática os

sistemas são linearizados em torno de um ponto de operação específico. Com isso

ficam mais fáceis os cálculos e as representações matemáticas. A identificação de

um sistema linear também é mais simples. Os modelos ARMA e ARX são para

identificação linear.

Porém existem certos regimes dinâmicos que não podem ser

representados por um modelo linear. O modelo do paciente paraplégico de terceira

ordem a ser identificado é não linear (GAINO, 2009).

Para se identificar um sistema, sendo linear ou não, é necessário

fazer o uso de algumas técnicas de modelagem. Existem três técnicas de

modelagem: a modelagem caixa branca, caixa preta e caixa cinza.

A modelagem caixa branca avalia o comportamento interno do

componente do software, testando condições, fluxo de dados, de caminhos lógicos,

entre outros, do código fonte.

Já para a técnica caixa preta não há nenhum conhecimento prévio

do sistema em questão. Não se conhece o que tem dentro da “caixa” para fazer a

estimação, apenas têm-se os dados de entrada e saída. Esta técnica avalia,

portanto, o comportamento externo do sistema.

Por fim a técnica caixa cinza é uma mescla das duas anteriores.

Conhece-se o interior da caixa e os usa para estimar, ou manipular os dados para

correções de erros.

14

A técnica empregada neste trabalho é a caixa preta, pois a priori não

é necessário o conhecimento interno do mesmo.

2.1 IDENTIFICAÇÃO DA ORDEM DO MODELO

Entretanto, já que será utilizada a técnica de caixa preta, como saber

qual será a ordem do sistema para estimá-lo?

É preciso fazer a identificação da ordem do modelo. Segundo

(BOSCO, 2000) temos que:

( ) = [ ( − 1) ( − 1) … ( − ) ( − )] (2.1)( ) = 1 ( ) ( ) (2.2)

Onde ( ) é chamado de vetor de regressores, o qual será

deduzido mais adiante, k = 1, 2, ... , m, é o vetor dos dados de saída do sistema e

é o vetor dos dados de entrada do sistema.

Quando a ordem do modelo é maior que a ordem do sistema a

última linha é linearmente dependente, o que implica que o determinante de Q é

igual a zero (det ( ) = 0).Portanto deve-se analisar,

( ) = det ( ( ))det ( ( + 1)) (2.3)

Para a equação (2.3), caso DR(m) seja maior que zero, a ordem do

sistema será m. (BOSCO, 2000)

2.2 FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA

A função de transferência é uma maneira de representar modelos

lineares. Ela representa matematicamente o comportamento dinâmico do sistema. A

15

função de transferência descreve como uma saída está ligada à entrada. São com

os pares de entrada e saída que ela é modelada.

Percebe-se que essa modelagem será útil para a técnica de

modelagem caixa preta.

Por definição, a função de transferência é a transformada de Laplace

de sua resposta ao impulso. Ela é representada como a razão de dois polinômios

(AGUIRRE, 2000).

Seja, portanto, uma equação diferencial como:

+ + ⋯ + = + + ⋯ + + (2.4)

A partir da equação (2.4) tem-se que a função de transferência é

dada pela transformada de Laplace da saída pela entrada, com condições iniciais

nulas. (SANTOS, 2011)

( ) = ( )( )= ⋯

⋯ (2.5)

Onde são parâmetros do denominador e numerador,

respectivamente. Esta função de transferência pode ser representada através de um

diagrama de bloco, o qual relaciona a entrada com a saída, Figura 2.1.

Figura 2.1 – Representação da função de transferência em diagrama de blocos.

3 MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS

Nesta seção será exposto um dos principais métodos de

identificação de sistemas, o método dos mínimos quadrados.

G(s)Função de

TransferênciaX(s)ww

Y(s)

16

O método dos mínimos quadrados busca minimizar a soma dos

quadrados da diferença entre o valor medido e o calculado para estimar uma

grandeza desconhecida.

A fim de aprofundar esta definição é necessário fazer alguns

equacionamentos e definições, como segue.

3.1 MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS

Segundo (AGUIRRE, 2000) para começar a aplicar este método,

vamos definir um conjunto de equações com solução única como uma função

escalar = ( )realizadas N vezes, como segue:

= ( )= ( )

… = ⋯= ( )

Para o caso vetorial, ( ): ℝ → ℝ depende de um vetor de n

parâmetros, θ. Portanto a equação pode ser representada por:

= ( , ) (3.1)Expandindo-a na forma matricial para n equações a fim de se

determinar os n elementos de θ, tem-se:

⋮ =[ … ] ⋮= (3.2)

Na equação (3.2) y é chamada de variável dependente e X de

variável independente. θ é o vetor de parâmetros que devem ser estimados.

Portanto,segundo (AGUIRRE, 2000) desde que X seja não singular, é possível

determinar o vetor de parâmetros invertendo a matriz X.

17

= (3.3)A partir desta solução e acrescentando um erro de estimação (ξ) na

equação (3.2) pode-se tomar a definição do método dos mínimos quadrados para

definir a função custo ( ) como sendo o somatório do quadrado dos erros, ou seja

= ( ) = = | | . (3.4)

Portanto deve-se estimar θ que minimize a função custo. Para isso

definimos o erro como sendo:

=( − ) (3.5)Substituindo a equação (3.5) na equação (3.4) obtemos:

= ( − ) ( − ) = − − + (3.6)

Como o intuito é minimizar o erro, e a função custo é uma função

quadrática, deve-se achar o ponto de mínimo da função, que neste caso encontra-se

onde a derivada da função é igual a zero.

Portanto derivando a equação (3.6) obtêm-se

= − − + 2 . (3.7)

Por fim igualando a equação (3.7) a zero temos

= [ ] . (3.8)Sendo que [ ] é uma matriz pseudo inversa. Agora, de

acordo com (AGUIRRE, 2000) para que θ seja mínimo é necessário verificar que

18

²²= 2 > 0 . (3.9)

A equação (3.9) é verdadeira, pois 2 é definida positiva. Portanto

isto comprova que a equação (3.8) estima o parâmetro θ que minimiza a função

custo.

3.2 PROPRIEDADES DO ESTIMADOR DE MÍNIMOS QUADRADOS

3.2.1 Ortogonalidade do Estimador de Mínimos Quadrados

Para se obter θ que minimiza a função custo, o erro deve ser o

menor possível, isto indica que devem ser ortogonais. (AGUIRRE, 2000)

De acordo (AGUIRRE, 2000) “dois vetores ℝ e ℝ são

ortogonais se 0YX T ”. Tendo que = [ ] , então

MQTT

MQT XyYXY ˆˆ

(3.10)

YXXXXYXYXXXY TTTT

TTT 11

YXXXXYXXXXYY TTTTTT 11

YXXXXXXXXYYXXXXYY TTTTTTTTT 111

0TY (3.11)

Esta propriedade poderá ser visualizada na Figura 3.1.

19

Figura 3.1 –Ortogonalidade no estimador de mínimos quadrados. (AGUIRRE, 2000)

3.2.2 Polarização do Estimador de Mínimos Quadrados

Num sistema real, há influência de ruído, principalmente na

obtenção dos dados de entrada e saída. Este ruído é conhecido como ruído de

medição. Como qualquer erro, ele pode ser definido como a diferença entre o valor

estimado e o valor real.

Este ruído pode alterar a propriedade da ortogonalidade presente no

método dos mínimos quadrados.

De acordo com (AGUIRRE, 2000) a polarização pode então ser

definida como

= − (3.12)onde é um vetor de parâmetros e é o seu valor estimado.

Assim, de acordo com (AGUIRRE, 2000) utilizando o estimador MQ,

o vetor de resíduos será = − = − . Deste modo,

= −= − + (3.13)

onde e é o ruído de medição adicionado ao sistema. Devido à

propriedade da ortogonalidade, os resíduos devem ser ortogonais aos regressores.

20

Portanto,

= 0 (3.14) e a polarização no método dos mínimos quadrados se apresenta

como:

=( ) ( ) (3.15)

A influência da polarização no estimador MQ pode ser verificada na

Figura 3.2.

Figura 3.2 – Ausência de ortogonalidade no estimador MQ devida à polarização.

(AGUIRRE, 2000)

3.2.3 Tratamento da Polarização do Estimador de Mínimos Quadrados

O fato de se tratar a polarização é de que ela causa não

ortogonalidade no método. Portanto faz-se necessário um método para controlar

esta interferência. Este método é conhecido com Estimador Estendido de Mínimos

Quadrados.

Segundo (AGUIRRE, 2000) o EMQ consiste em estender a matriz de

regressores X fazendo com que nela sejam incluídos novos regressores, a cada

21

iteração para reduzir o efeito do ruído. O EMQ e sua iterações são descritos como

sendo:

1. a partir da equação de regressão ( ) = ( − 1) + ( )e dos dados

disponíveis, estime θ;

2. calcule o vetor de resíduos = − ;3. com 1 i , montar a matriz estendida de regressores , estimando =

( ) ;4. determinar o vetor de resíduos = − ∗ ;

5. Para i = i + 1, Voltar para passo 3 até convergir.

Segundo (AGUIRRE, 2000) a convergência do passo 5 acontece

entre a 3ª e 10ª iteração.

4 MODELOS DE ESTIMAÇÃO

Esta seção utiliza o estimador de mínimos quadrados e o emprega

em dois modelos, ARMA e ARX, para se estimar o parâmetro θ.

A seguir serão definidos dois modelos base para a identificação.

4.1 MODELO ARMA

O modelo ARMA (auto regressive moving-averege) é o modelo auto-

regressivo de média móvel. Pode ser representado de forma simples pela equação

( ) = ( )( ) ( ) (4.1)

onde y(k) é a saída do sistema e u(k) a entrada do mesmo.

Um sistema real pode ser representado através de um modelo

matemático, o qual é um análogo matemático que representa algumas

características observadas em tais sistemas (AGUIRRE, 2000).

22

4.1.1 Modelo ARMA Com Estimador MQ Batelada

O método batelada consiste em realizar a identificação do sistema

somente após todos os dados de entrada forem gerados e armazenados. Isto

implica numa maior necessidade de memória de armazenamento.

Para o estimador de Mínimos Quadrados vamos considerar a função

de transferência do sistema como sendo:

( )( )= ( ) = + + ⋯ +− − ⋯ − (4.2)

( ) = ( − 1) + ( − 2) + ⋯ + ( − ) +( − 1) + ( − 2) + ⋯ + ( − ) (4.3)

Utilizando o modelo ARMA para identificação desta função de

transferência da equação (4.2) tem-se que determinar os coeficientes do vetor θ da

equação (3.2).

= ( … … ) (4.4)Onde θ é o vetor de parâmetros da função de transferência

discretizada (4.2). Para a identificação de uma função de transferência de primeira

ordem, as equações (4.2) e (4.3) fornecem:

( )( )= − (4.5)

( ) = ( − 1) + ( − 1) (4.6)Para exemplificar, desenvolvemos a equação (4.6) para k=1,2 e 3 e

colocando-a em forma matricial tem-se:

23

(1)(2)(3) = (0) (0)(1) (1)(2) (2) + (1)(2)(3)(3) = (3) + (3) (4.7)

Sendo

(3) = (0) (0)(1) (1)(2) (2) (3) = (1)(2)(3)Onde e(3) é o erro acrescentado à estimação.

Para calcular θ que minimiza o somatório dos erros usaremos a

equação (3.8), resultando para o exemplo em questão

=[ (3) (3)] (3) (3)

=

O resultado exprimirá os termos da equação discretizada da

função de transferência.

Entretanto para se obter a função de transferência contínua no

tempo é necessário fazer a transformada Z da equação (4.2). Para fazer essa

transformação, usamos a ferramenta d2c do Matlab. Esta ferramenta transforma a

função de transferência discreta em contínua. Para o caso de primeira ordem do

exemplo, onde a1 = 1 e b1 = 1, o código no Matlab resulta:

>> G=tf([b1],[1 a1],Ts)

Transfer function:

1

-----

24

z - 1

Sampling time (seconds): 0.01

>> gc=d2c(G,'matched')

Transfer function:

99.95

-----

s

Onde G é a função discretizada, Ts é o período de amostragem já

definido na obtenção do conjunto de dados de entrada e saída, que no exemplo é

igual a 0.01s. Por fim gc é função de transferência contínua no tempo.

4.1.1.1 Exemplos do modelo ARMA Com Estimador MQ Batelada

Para exemplificar o modelo e estimação ARMA utilizando o método

de mínimos quadrados, foram feitas identificações de funções já conhecidas de

primeira, segunda e terceira ordem.

Os conjuntos de dados de entrada e saída foram gerados no

software Simulink, com a função discretizada e com uma taxa de amostragem de

0.01 segundos.

A função de primeira ordem a ser identificada é:

( ) = 44690+ 1.052A função de transferência a ser identificada tem a forma a seguir:

( ) = −Portanto o vetor de regressores será da forma:

= [ ]

25

A resposta da identificação no prompt do Matlab foi:

Transfer function: 44.67----------z - 0.9989


Transfer function:4.469e004---------s + 1.052

Na Figura 4.1 pode-se ver a resposta ao degrau da função original e

da função identificada utilizando o método de mínimos quadrados.

Figura 4.1 – Identificação da função de 1ª ordem utilizando ARMA MQ batelada.

Pode-se observar pela resposta ao degrau na Figura 4.1 e pelos

valores de θ que a função identificada foi idêntica a original. O erro de estimação foi

da ordem de 10 , o que demonstra a eficiência do método.

0 5 10 15-2

0

2

4

6

8

10

12

14

16x 10

-11 erro de estimação ARMA batch

0 5 10 150

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5x 10

4 Resposta ao Degrau ARMA 1° ordem

TEMPO (s) (seconds)

AM

PLI

TU

DE

Função identif icada

Função original

26

Já na Figura 4.2 está a resposta ao degrau da função de segunda

ordem identificada. A função de segunda ordem linear identificada é:

( ) = 16² + 4 + 16A função de transferência a ser identificada tem a forma a seguir:

( ) = + +Portanto o vetor de regressores será da forma:

= [ ]A resposta da identificação no prompt do Matlab foi:

theta =

-1.540192371193055 0.670320046035713 0.065063837421418

Portanto, a FT do sistema é:

Transfer function:0.06506 z + 0.06506

---------------------z^2 - 1.54 z + 0.6703


Transfer function:

16--------------s^2 + 4 s + 16

27



valores de θ que a função identificada foi idêntica a original. O erro de estimação

inicial foi um pouco elevado, porém se estabilizou em zero, o que demonstra a

eficiência do método.

Por fim, a função de terceira ordem linear a ser identificada pelo

modelo ARMA está na Figura 4.3 e é representada abaixo:

( ) = 11 + 3,5 + 3,5 + 1A função de transferência a ser identificada tem a forma a seguir:

( ) = ³ + ² + +Portanto o vetor de regressores será da forma:

= [ ]

0 5 10 15-0.04

-0.03

-0.02

-0.01

0

0.01

0.02

0.03 erro de estimação ARMA, batch

0 10 20 300

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Resposta ao Degrau ARMA, 2° ordem

TEMPO (s) (seconds)

AM

PLI

TU

DE

função identif icada

função original

28

A resposta da identificação no prompt do Matlab foi:

theta =

-2.674797617547945 2.380327021793654 -0.704688109454560 0.000210323711186 Portanto, a FT do sistema é:

Transfer function: 0.0002103--------------------------------------- z^3 - 2.675 z^2 + 2.38 z - 0.7047


Transfer function:

1------------------------------ s^3 + 3.5 s^2 + 3.5 s + 1


0 5 10 15-18

-16

-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

2x 10

-10 erro de estimação ARMA, batch

0 5 10 15-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2 Resposta ao degrau ARMA, 3ª ordem)

TEMPO (s) (seconds)

AM

PLI

TU

DE


Função original

Sinal Degrau

29




4.1.2 Modelo ARMA Com Estimador MQ Recursivo

Enquanto no método batelada é preciso que o conjunto de dados

esteja formado e armazenado antes de se começar a estimação da função, o

método recursivo faz uma atualização em tempo real, sempre com o dado atual

recorrendo à estimação anterior. Portanto nada mais é do que uma atualização feita

sempre que um novo dado é coletado.

Este estimador recursivo possibilita a redução no espaço de

armazenamento e trabalho com sistemas que operam em tempo real.

Partindo-se da equação (3.8) deve-se estimar θ de forma recursiva.

Segundo (AGUIRRE, 2000) reescrevemos a equação (3.8) como:

= [ ( − 1) ( − 1)] ( − 1) ( ) (4.8)

onde ( − 1) é o dado de saída do sistema, no instante anterior.

Nomeando o primeiro termo do lado direito da equação (4.8) como

sendo a matriz de covariância (Pk), é possível escrevê-lo como:

= ( − 1) ( − 1) + ( − 1) ( − 1)= + ( − 1) ( − 1) (4.9)

Escrevendo a equação (4.8) para o instante k-1, tem-se

( − 1) ( − 1) = ( − 1) ( )

30

Resumindo o lado esquerdo da equação como sendo , é

possível reescrever a equação (4.8).

= [ + ( − 1) ( )]= − ( − 1) ( − 1) + ( − 1) ( )

= + ( − 1)[ ( ) − ( − 1) ]= + ( ) (4.10)

onde = ( − 1) é uma matriz de ganho e ( ) = ( ) − ( − 1) a

inovação no instante k.

Portanto segundo [AGUIRRE, 2000] a seqüência de cálculo, sendo

que = ( − 1) é:

1. Estimar valores iniciais de θ e P, utilizando o modelo ARMA para os primeiros

dados coletados.

2. Calcular a matriz de ganho:

= + 1. (4.11)

3. Calcular a atualização de .

= + [ ( ) − ]. (4.12)4. Calcular a matriz de covariância Pk, através de uma simplificação matemática

à equação (4.9):

= − ( − 1)( ( − 1) ( − 1) + 1) ( − 1) (4.13)

31

4.1.2.1 Exemplos do modelo ARMA Com Estimador MQ Recursivo

Para exemplificar o modelo e estimação ARMA utilizando o método

de mínimos quadrados recursivo, foram feitas identificações de funções já

conhecidas de primeira, segunda e terceira ordem.

Foram utilizados os mesmos conjuntos de dados de entrada e saída

gerados na estimação batelada. Para a função de primeira ordem abaixo, o

resultado é mostrado apenas na Figura 4.4.

( ) = 44690+ 1.052

Figura 4.4 – Identificação da função de 1ª ordem utilizando ARMA RLS.

Para a função de segunda ordem abaixo, o resultado é mostrado

apenas na Figura 4.5.

( ) = 16² + 4 + 16

0 5 10 15-2

0

2

4

6

8

10

12

14

16x 10

-11 erro de estimação ARMA RLS

0 5 10 150

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5x 10

4 Resposta ao Degrau ARMA RLS, 1° ordem

TEMPO (s) (seconds)

AM

PLI

TU

DE


Função original

32


Por fim função de terceira ordem abaixo, o resultado é mostrado


( ) = 11 + 3,5 + 3,5 + 1Observa-se que nos três casos o erro de estimação foi muito baixo e

parecido com a estimação em batelada, o que demonstra a eficiência do método.

0 5 10 15-0.04

-0.03

-0.02

-0.01

0

0.01

0.02

0.03 erro de estimação ARMA, RLS

0 10 20 300

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Resposta ao Degrau ARMA RLS, 2° ordem

TEMPO (s) (seconds)

AM

PLI

TU

DE


função original

33


4.2 MODELO ARX

No modelo ARX (Auto-regressivo para a variável exógena) uma

variável exógena é inserida a fim de representar o erro de medição, ou seja a

diferença entre o valor real e o medido. O erro é inserido para modelar melhor o

sistema. O modelo ARX pode ser representado resumidamente através da Figura

4.7.

Figura 4.7 – Representação do modelo ARX [AGUIRRE, 2000].

0 5 10 15-18

-16

-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

2x 10

-10 erro de estimação ARMA, RLS

0 5 10 15-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2 Resposta ao degrau ARMA RLS, 3ª ordem)

TEMPO (s) (seconds)

AM

PLI

TU

DE


Função original

Sinal Degrau

34

Nota-se que E(z) é a entrada exógena do sistema, U(z) é a entrada

do sistema e Y(z) a saída do sistema. A entrada exógena quer dizer que ela não é

inerente ao sistema, não é intrínseco à função de transferência, mas sim uma

entrada que cresce exteriormente,

A vantagem do modelo ARX para o ARMA é o fato de ser

introduzido uma entrada exógena como erro de estimação, o que torna a estimação

mais verdadeira.

A( ) e B( ) são definidos por

( ) = 1 + + + ⋯ + (4.14)( ) = + + + ⋯ + (4.15)

Sendo na o número de parâmetros de A( ) , nb o número de

parâmetros de B( ) e d o atraso puro do sistema, temos para este sistema a

relação

( ) ( ) = ( ) ( ) + ( ) (4.16)ou

+ + ⋯ + = + ⋯ + + (4.17)4.2.1 Modelo ARX Com Estimador MQ Batelada

No modelo ARX, o desenvolvimento do estimador MQ batelada é

análogo ao deduzido anteriormente.

Para o caso de primeira ordem temos que:

( )( )= −

( ) = ( − 1) + ( − 1) + ( − 2) (4.18)

35

Para k=2,3 e 4 e colocando-a em forma matricial temos:

(2)(3)(4) = (1) (0) (1)(2) (1) (2)(3) (2) (3) + (2)(3)(4)(3) = (3) + (3) (4.19)

Sendo

(3) = (1) (1)(2) (2)(3) (3) (3) = (1)(2)(3)A matriz e(3), erro de estimação pode ser gerado utilizando a

ferramenta random do Matlab, o qual gera de números de forma randômica dos já

pré-determindo em sua biblioteca.

Para calcular θ que minimiza a somatória dos erros usaremos a

equação (3.8), ficando para o caso de primeira ordem

=[ (3) (3)] (3) (3)

= (4.20)

O resultado exprimirá os termos da equação discretizada da

função de transferência, e o erro de identificação.

36

4.2.1.1 Exemplos do modelo ARX Com Estimador MQ Batelada

Para exemplificar o modelo e estimação ARX utilizando o método de

mínimos quadrados, foram feitas identificações de funções já conhecidas de

primeira, segunda e terceira ordem.

Os conjuntos de dados de entrada e saída foram os mesmo

utilizados nas identificações ARMA.

A função de primeira ordem a ser identificada é:

( ) = 44690+ 1.052A função de transferência a ser identificada tem a forma a seguir:

( ) = −Portanto o vetor de regressores será da forma:


theta =

1.0e+003 *

-0.000900144475687 4.241961389302523 0.000000000000155


Transfer function:

4242----------z - 0.9001


Transfer function:

4.469e004---------s + 1.052

37

Figura 4.8 – Identificação da função de 1ª ordem utilizando ARX Batelada.




Já na Figura 4.9 está a resposta ao degrau da função de segunda

ordem identificada. A função de segunda ordem linear identificada é:

( ) = 16² + 4 + 16A função de transferência a ser identificada tem a forma a seguir:

( ) = + +Portanto o vetor de regressores será da forma:

0 5 10 15-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2x 10

-11 erro de estimação ARX, batch

0 5 10 150

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5x 10

4 Resposta ao Degrau, ARX 1ªordem

TEMPO (s) (seconds)

AM

PLI

TU

DE


Função original

38


theta =

-1.540192371193388 0.670320046036245 0.065063837421471 -0.000000000000232


Transfer function:

0.06506 z + 0.06506---------------------z^2 - 1.54 z + 0.6703

Sampling time (seconds): 0.01Transfer function:

16--------------s^2 + 4 s + 16


0 5 10 15-0.04

-0.03

-0.02

-0.01

0

0.01

0.02

0.03 erro de estimação ARX, batch

0 5 10 150

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4 Resposta ao PRBS, ARX 2ªordem)

TEMPO (s) (seconds)

AM

PLI

TU

DE

sistema original

Modelo

39


valores de θ que a função identificada foi idêntica a original. O erro de estimação

inicial foi um pouco elevado, porém se estabilizou em zero, similar ao modelo ARMA,

o que demonstra a eficiência do método.

Por fim, a função de terceira ordem linear a ser identificada pelo

modelo ARMA está na Figura 4.10 e é representada abaixo:

( ) = 11 + 3,5 + 3,5 + 1A função de transferência a ser identificada tem a forma a seguir:

( ) = ³ + ² + +Portanto o vetor de regressores será da forma:


thels =

-2.674797595583068 2.380326980110300 -0.704688089713258 0.000210323711203 0.000000000000015


Transfer function: 0.0002103--------------------------------------- z^3 - 2.675 z^2 + 2.38 z - 0.7047


Transfer function: 1------------------------------ s^3 + 3.5 s^2 + 3.5 s + 1

40





4.2.2 Modelo ARX Com Estimador MQ Recursivo

O desenvolvimento do estimador MQ recursivo é o mesmo feito na

seção 4.1.2., mudando apenas a matriz X, no caso definida na seção 4.2.1.

4.2.2.1 Exemplos do modelo ARX Com Estimador MQ Recursivo

Para exemplificar o modelo e estimação ARX utilizando o método de

mínimos quadrados recursivo, foram feitas identificações de funções já conhecidas

de primeira, segunda e terceira ordem.

0 5 10 15-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2 erro de estimação ARX, bacth

0 5 10 150

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1 Resposta ao PRBS, ARX 3ªordem)

TEMPO (s) (seconds)

AM

PLI

TU

DE


Função original

Sinal Degrau

41

Foram utilizados os mesmos conjuntos de dados de entrada e saída

gerados na estimação batelada. Para a função de primeira ordem abaixo, o

resultado é mostrado apenas na Figura 4.11.

( ) = 44690+ 1.052

Figura 4.11 – Identificação da função de 1ª ordem utilizando ARX RLS.

Para a função de segunda ordem abaixo, o resultado é mostrado


( ) = 16² + 4 + 16

0 5 10 15-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5x 10

-11 erro de estimação ARX, RLS

0 5 10 150

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5x 10

4 Resposta ao Degrau, ARX RLS 1ªordem

TEMPO (s) (seconds)

AM

PLI

TU

DE


Função original

42


Por fim função de terceira ordem abaixo, o resultado é mostrado


( ) = 11 + 3,5 + 3,5 + 1Observa-se que nos três casos o erro de estimação foi muito baixo e

parecido com a estimação em batelada, o que demonstra a eficiência do método.

0 5 10 15-0.04

-0.03

-0.02

-0.01

0

0.01

0.02

0.03 erro de estimação ARX, RLS

0 5 10 150

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4 Resposta ao PRBS, ARX RLS 2ªordem)

TEMPO (s) (seconds)

AM

PLI

TU

DE

sistema original

Modelo

43


5 GRADIENTE DESCENDENTE

A idéia central do método do gradiente descendente é descobrir o

mínimo local de uma função. Para isso ele se utiliza da derivada primeira da

equação para achar o vetor que a tange. Este processo é feito em movimentos de

pequenos passos abaixo do gradiente local do campo escalar. O vetor gradiente

aponta a direção para onde o algoritmo irá decrescer. É como os movimentos de um

esquiador, sempre para baixo da montanha, até atingir a base da mesma.

(PASSINO, 2005) A Figura 5.1 ilustra o funcionamento do método.

0 5 10 15-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2 erro de estimação ARX, RLS

0 5 10 150

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4 Resposta ao PRBS, ARX RLS 3ªordem)

TEMPO (s) (seconds)

AM

PLI

TU

DE


Função original

Sinal Degrau

44

Figura 5.1 – Passos do gradiente descendente.

Um problema clássico deste método está no fato em que o mínimo

local pode não ser o mínimo global. Entretanto, para a aplicação aqui proposta, não

há grande interferência deste fato.

O método do gradiente será utilizado para estimar o vetor de θ tal

que minimize a função custo (J), fazendo uma busca iterativa pelo ponto mínimo da

superfície do erro.

De acordo com (PASSINO, 2005) tem-se o valor estimado de θ

como:

( + 1) = ( ) + ∑ Ф ( ) ( ( ) − ( )Ф ( ))) (5.1)Para efeito de notação, ( ) = ·. Quando → ∞, é o valor

para o qual converge o gradiente. Simplificando a equação (5.1) temos:

( + 1) = ( ) + ( ) (5.2)Onde

45

( ) = − ( , ) (5.3)

O sinal negativo à frente da derivada parcial indica que o sentido

adotado será o inverso do vetor gradiente, Figura 5.2, por isso garante-se que o

método irá na direção do mínimo local.

Substituindo a equação (5.3) na (5.2) temos que:

( + 1) = ( ) − ( , ) (5.4)

A equação (5.4) é a regra de atualização de θ do método do

gradiente descendente. É possível perceber que a regra de atualização do método

gradiente é mais rápido em relação ao método recursivo de mínimos quadrados.

Segundo (PASSINO, 2005) a equação (5.4) mostra que o valor

atualizado de θ é igual ao valor atual mais uma correção proporcional ao negativo do

gradiente da superfície de erro. O valor do passo é definido por , o qual pode vir a

ser uma constante ou, quando → ∞, uma relação entre o valor atual e o número de

interações, como se segue.

= + 1 (5.5)A escolha certa do valor inicial de passo é importante, pois caso este

valor seja muito baixo, o algoritmo pode ficar pesado e demorar muito para

convergir, ou caso este valor seja muito alto o resultado pode ser muito impreciso.

Além da escolha do valor inicial do passo, é necessário fazer a

inicialização de θ, fazendo uma aproximação inicial da posição do valor mínimo.

Essa aproximação é essencial para que o algoritmo não se perca, e não acabe

convergindo para um valor de mínimo.

46

Figura 5.2 – Vetor gradiente, (HAYKIN,1994) .

Na Figura 5.2, a função custo é representada pela função

quadrática. O valor da derivada da função custo em relação a θ no ponto θ(n) não é

próxima de zero, portanto o método continuará. O próximo ponto será θ(n+1), ou

seja, o ponto seguinte na direção oposta ao gradiente da função. O método irá

culminar no ponto , onde o valor da função de custo é mínima. A diferença entre

θ(n) e θ(n+1) é o passo. Fica implícito que o ponto de mínimo é em onde J é

mínimo.

6 IDENTIFICAÇÃO FUZZY

A lógica Fuzzy consiste basicamente no fato de traduzir em termos

matemáticos informações imprecisas expressas por um conjunto de regras

lingüísticas. Este conjunto de regras é da forma SE ENTÃO (IF THEN).

A teoria Fuzzy lida com imprecisões, informações vagas,

ambigüidade e subjetividade. Por exemplo, como saber se uma pessoa de 1,80

metros é alta? Como saber se a temperatura está baixa? (PASSINO, YURKOVICH,

1998) Estas subjetividades são exemplos clássicos para o entendimento do

conceito.

Essas regras lingüísticas traduzem a função a ser representada.

Para cada regra está associado uma função de pertinência. O conjunto de funções

de pertinência representam a função a ser identificada.

Na Figura 6.1 esta um exemplo básico da lógica Fuzzy.

47

Figura 6.1 – Aproximação da função utilizando FUZZY T-S, (GAINO, 2009).

É possível identificar na Figura 6.1 as duas linearizações da função

f(x). A primeira linearização ( )é feita no ponto de operação = 0. Já a segunda

linearização ( )é feita no ponto de operação . As duas funções lineares não

representam a função não linear ( ). Uma boa aproximação desta função se dá

pela união das duas funções lineares. Portanto uma aproximação ( ( )) foi feita

através das funções linearizadas. Considerando ( ) ( )como modelos locais,

e ( ) ( ) como funções de pertinência, vê-se que ( ) ( ) são

positivas ou nulas. Quando = = 0 a função ( ) vale 1 e a função ( ) vale 0.

Já no ponto de operação = a função ( ) vale 0 e a função ( ) vale 1. Ao

longo da curva das funções pode-se ver que esses valores vão se alternando. Este

exemplo levou em consideração apenas duas regras lingüísticas, ou seja duas

funções de pertinência, portanto quanto mais funções de pertinência geradas,

melhor será a aproximação da função não linear.

Portanto deve-se escolher o número de regras bem como o formato

das funções de pertinências. No caso da Figura 6.1 as funções de pertinências tem

o formato sigmoidal. Na Figura 6.2 estão ilustradas outras formas de funções. Neste

trabalho será utilizado uma função gaussiana.

Figura 6.2

6.1 FUNÇÃO DE APROXIMAÇÃO

De acordo com (

onde O sistema Fuzzy pode ser representado abaixo

para todo

Para calc

pares de dados de entrada e saída. Os pares de dados

representados por (

conjunto de dados de treinamento como sendo

Figura 6.2 – Funções de pertinências, (MAGALY, 2011)

PROXIMAÇÃO

De acordo com (PASSINO, YURKOVICH, 1998), d

O sistema Fuzzy pode ser representado abaixo

pertencente ao conjunto X.

Para calcular os parâmetros de θ conta-se com um conjunto finito de

pares de dados de entrada e saída. Os pares de dados

), onde . Com isto pode

conjunto de dados de treinamento como sendo

48

Funções de pertinências, (MAGALY, 2011).

, dado uma função

com um conjunto finito de

pares de dados de entrada e saída. Os pares de dados do sistema g são

. Com isto pode-se definir o

49

={( , ), ( , ), … , ( , )} (6.2)onde M representa o número de pares de dados de entrada e saída.

Na Figura 6.3 ilustra o mapeamento dos dados de entrada e saída e

a aproximação da função.

Figura 6.3 – Mapeamento dos dados de entrada e saída (PASSINO, YURKOVICH,

1998).

O problema proposto resume-se em encontrar uma função ( | )que manipulando θ de modo que ( | ) se aproxime de g o mais próximo possível.

Portanto para isso deve-se avaliar o erro entre g(x) e ( | ).Pode-se denotar o erro usando as equações:

− (6.3), є г

sup{| − |} (6.4)onde г é o conjunto de dados de teste г = {( , ), ( , ), … , ( г, г)}.

50

6.2 EQUACIONAMENTO FUZZY PADRÃO

Para o modelo Fuzzy padrão, segundo (PASSINO, YURKOVICH,

1998), define-se a função ( | ) como sendo

( ) = ∑ ( )∑ ( ) (6.5)

Expandindo a equação (6.5) tem-se

( | ) = ( )∑ ( )+ ( )∑ ( )+ ⋯ + ( )∑ ( ) (6.6)De acordo com (PASSINO, YURKOVICH, 1998) ( )é a função de

pertinência gaussiana, a qual pode ser expressada como sendo.

( ) = exp (−0.5 − ) (6.7)

Definindo ( ) como sendo

( ) = ( )∑ ( ) (6.8)Substituindo a equação (6.8) na equação (6.6) tem-se:

( | ) = ( ) + ( ) + ⋯ + ( ) (6.9)Segundo (PASSINO, YURKOVICH, 1998) definindo os vetores

( ) como sendo:

=[ … . ] (6.10)( ) = [ … . ] (6.11)

51

Por fim, substituindo as equações (6.10) e (6.11) na equação (6.9)

tem-se:

( | ) = ( ) (6.12)Percebe-se que a equação (6.12) tem um comportamento linear,

para representar um sistema não linear.

A equação (6.12) resume a equação (6.5).

O estimador de mínimos quadrados estimará o vetor θ que minimize

o erro, a função custo.

6.2.1 Fuzzy Padrão Com Estimador MQ Batelada

Como já abordado anteriormente, o estimador de mínimos

quadrados por batelada mantêm as mesmas características, entretanto vamos

definir algumas nomenclaturas diferentes das utilizadas no item 3.1.

Temos que

( ) = [ , , … , ] (6.13)Ф( ) =

⎣⎢⎢⎡

( )( )⋮( ) ⎦⎥⎥⎤

Pode-se expressar o erro na aproximação dos pares de dados

, є como sendo:

= − ( ) (6.14)( ) = [ , , … , ] (6.15)

Reescrevendo a equação (6.13) temos

= − Ф (6.16)

52

Tomando a função custo de forma análoga ao desenvolvimento do

item 3.1 e fazendo as passagens matemáticas pertinentes de acordo com

(PASSINO, YURKOVICH, 1998), teremos o seguinte resultado:

= (Ф Ф) Ф (6.17)Nota-se que a equação (6.16) é idêntica à equação (3.8)

Na equação (6.17), para o caso Fuzzy padrão, θ terá o formato da

equação (6.10).

6.2.2 Fuzzy Padrão Com Estimador MQ Recursivo

Para o caso do método recursivo, o desenvolvimento é o mesmo

realizado anteriormente na seção 4.1.2. Entretanto algumas observações fazem-se

necessárias.

As equações (4.18) e (4.19) podem ser atualizadas em termos de

nomenclaturas.

( ) = ( − 1) + ( )[ − ( ) ( − 1)] (6.18)( ) = ( − 1) − ( − 1) ( +( ) ( − 1) ) ( ) ( − 1) (6.19)

É necessário que θ e P sejam inicializados. Usualmente podem ser

inicializados como (0) = 0 (0) = onde = .6.3 FUZZY TAKAGI-SUGENO

O Fuzzy T-S é um caso específico do modelo Fuzzy padrão. Nesta

subseção será definido o modelo e a equação de pertinência para o caso T-S.

O modelo Fuzzy T-S será utilizado para identificar a função não

linear da equação do paraplégico (GAINO,2009). Para fazer isto, o método faz várias

identificações, linearizando a função em diversos pontos de operação diferentes. As

diversas funções são unidas para se estimar a função não linear.

Segundo (PASSINO, YURKOVICH, 1998) ( | ) pode ser definida

como sendo:

53

=∑ ( ) ( )∑ ( ) (6.20)

Nota-se que a diferença entre a equação geral do Fuzzy padrão

(6.5) e a equação do Fuzzy T-S (6.20) é o parâmetro da função de pertinência,

( ), o qual segundo (PASSINO, YURKOVICH, 1998) pode ser definido como

sendo:

( ) = , + , + ⋯ + , (6.21)Nota-se que a equação (6.21) é uma função da entrada x. Com isso

substituindo a equação (6.21) na equação (6.20) obtêm-se:

=∑ , ( )∑ ( ) + ∑ , ( )∑ ( ) + ⋯ + ∑ , ( )∑ ( ) (6.22)

Segundo (PASSINO, YURKOVICH, 1998) redefinindo os vetores

( ) para o caso Fuzzy T-S, como sendo:

= [ , , , , … , , , , , , , … , , , … , , , , , … , , ]′ (6.23)

( ) = [ ( ), ( ), … , ( ), ( ), ( ), … , ( ), …,( ), ( ), … , ( )]′ (6.24)

Substituindo as equações (6.23) e (6.24) na equação (6.20) tem-se

( | ) = ( ) (6.25)Nota-se que a equação (6.25) é idêntica à equação (6.12), o que

mostra o caráter linear do modelo.

Portanto o método de mínimos quadrados é aplicado no modelo

Fuzzy T-S da mesma maneira do aplicado no Fuzzy padrão.

54

7 MODELO MATEMÁTICO PARA CONTROLE DA POSIÇÃO DA PERNA DE

PACIENTES PARAPLÉGICOS

Todos os movimentos realizados no corpo humano são gerados por

contrações dos músculos, através de estímulos elétricos enviados pelo cérebro.

Estes estímulos elétricos podem ser identificados a fim de reproduzi-los

artificialmente.

Tendo isto em vista, centraliza-se o estudo na estimulação elétrica

das pernas de pacientes paraplégicos. É preciso analisar as componentes deste

movimento.

A figura 7.1 ilustra o modelo mecânico do sistema canela-tornozelo

do corpo humano.

Figura 7.1 – Representação do modelo da perna do paciente, (FERRARIN;

PEDOTTI, 2000) adaptado por (GAINO, 2009).

As componentes do modelo mecânico da Figura 7.1, de acordo com

(FERRARIN; PEDOTTI, 2000) estão descritas abaixo:

é o torque ativo aplicado ao joelho;

é o ângulo comum do joelho ;

é o ângulo da canela em relação ao eixo vertical;

55

é a distância do joelho ao centro de massa do complexo

canela-pé;

é o peso do sistema canela-pé, ou seja, a massa

multiplicada pela ação da gravidade.

As componentes do modelo mecânico da Figura 7.1 estão

descritas abaixo:

Este modelo será identificado, iniciando pelas equações:

( ) = ( ) (7.1)( ) = (7.2)

O modelo básico que expressa o movimento do complexo em

estudo, segundo (FERRARIN; PEDOTTI, 2000) é dado pela equação diferencial

ordinária de segunda ordem não linear descrita abaixo:

= − ( ) + + + (7.3) Onde J é o momento de inércia do complexo canela-pé, � é a

aceleração angular da canela, é o torque devido ao componente de rigidez, é

o torque ativo do joelho produzido pelo estímulo elétrico e B é o coeficiente de atrito

viscoso.

Alguns valores serão adotados de acordo com a Tabela 7.1.

Tabela 7.1 – Grandezas antropométricas do paraplégico.0.362[ . ]4.37[ ]23.8[ ]0.27 . .41.208 .

2.024[ ]ω 2.918[ ]

0.951[s]

42500[ .Fonte: (FERRARIN; PEDOTTI, 2000)

56

Para encontrar a largura de pulso P de entrada do sistema é feito o

desenvolvimento que se segue. Assim a componente de rigidez é dada por:

= − ( − ) (7.4)Onde λ e E são coeficientes do termo exponencial e ω é o ângulo

elástico de repouso do joelho. Considerando = + na equação (7.4), reescreve-

se a equação (7.3) como.

= 1 (− ( ) − + 2 − + + (7.5)

Pode-se calcular no ponto de operação ( )com

= 30° utilizando a equação (7.5). (GAINO, 2009)

= ( ) + + 2 − (7.6)

Substituindo os dados da Tabela 7.1 na equação (7.6) tem-se:

= 4,37.9,8.23,8. (30°) + 41,208. , , 2 + 2 − 2,918

= 4,6068 .Este valor significa o torque ativo do joelho em regime permanente.

Definindo o equilíbrio dinâmico dos componentes em torno da junção

do joelho, no domínio do tempo, como:

+ = . (7.7)Sendo ∆ = = ∆ + a equação (7.7) passa a ser

escrita como

57

∆ + ∆ = . − (7.8)

Da equação (7.8) pode-se concluir que no ponto de operação a

largura de pulso P é igual a (GAINO, 2009)

= (7.9)

Aplicando os dados da Tabela 7.1 na equação (7.9) tem-se que

= 4,606842500 = 1,0839. 10 [ ]

Este valor corresponde à largura de pulsos P no ponto de operação.

Substituindo os resultados na equação (7.1), tem-se o modelo de primeira ordem.

( ) = ( )= + 1

( ) = 425000,951 + 1 (7.10)

Já para o caso de segunda ordem, o modelo pode ser representado

por (TEIXEIRA, et al, 2007).

( ) = ( )( )= 1² + +.

Onde = 0,362[ . ] = 0,27[ . .] , de acordo com a Tabela

7.1. Já k é linearizado por (TEIXEIRA, et al, 2007) como sendo

58

= ( ) − + 2 − + (7.11)

Substituindo os valores na Tabela 7.1 com = 30°, tem-se

= 572,613.A equação (7.2) fica

( ) = 10,362 + 0,27 + 572,613. (7.12)

8 ESTÍMULOS DE ENTRADA

No sistema pode ser aplicado qualquer sinal de entrada, entretanto

neste trabalho foram aplicados apenas dois modelos de sinais de entrada, o degrau

e o sinal PRBS.

8.1 SINAL DEGRAU

O sinal degrau é bastante utilizado para a identificação de sistemas.

Sua característica principal é simular uma carga constante, podendo ou não ser

unitária, subitamente aplicada e conservando-se por um longo período de tempo.

Segundo (AGUIRRE, 2000) pode-se definir um degrau unitário matematicamente

como sendo

( − ) = 0 <1 >� (5.1)

A Figura 8.1 mostra um degrau unitário aplicado no tempo de 1

segundo.

59

Figura 8.1 – Degrau unitário.

Na interface SIMULINK é utilizado o bloco STEP para gerar o

degrau, podendo ser configurado os valores de amplitude inicial e final, bem como o

tempo do degrau na caixa de dialogo da Figura 8.2.

Na Figura 8.2 Step time é o momento em que o degrau será

aplicado, Initial value e final value são parâmetros das amplitudes mínima e máxima

e Sample time é o tempo de amostragem para o caso discreto.

Percebe-se que a configuração da caixa de diálogo na Figura 8.2

gera a imagem da Figura 8.1.

60

Figura 8.2 – Caixa de diálogo para configuração do degrau.

8.2 SINAL PRBS

O sinal PRBS (pseudo random binary signal) é um sinal binário

periódico e fácil de ser gerado. É um sinal pseudo aleatório por parecer não ter um

período.

O sinal PRBS, por ser binário, pode assumir apenas dois valores de

amplitude. As mudanças de valores, além de serem determinadas, ocorrem apenas

em instantes definidos = 0, ·, 2 , … O período o sinal PRBS é = onde N é

um número ímpar.

O tipo mais comum desse sinal é o de seqüência de comprimento

máximo, ou seqüência m. Este sinal é gerado usando um registro de deslocamento,

uma porta E (R1 ou R2, etc) e outra porta OU – Exclusivo, Figura 8.3. (AGUIRRE,

2000)

61

Para o sinal de seqüência m o período é o mesmo, = , onde

= 2 − 1, sendo n o número de bits do registrador de deslocamento.

Portanto o circuito de geração do sinal PRBS pode ser representado

na Figura 8.3

Figura 8.3 – Circuito para gerar PRBS.(LEMOS; BERNARDINHO, 2011)

As possibilidades de geração do sinal de seqüência m estão

indicadas na Tabela 8.1

Tabela 8.1 – Conexões para gerar sinais de seqüência m. = 2 − 1 bits usados pelaporta OU - Exclusivo

2 3 1 e 23 7 2 e 34 15 3 e 45 31 4 e 56 63 5 e 67 127 4 e 78 255 2,3,4 e 89 511 5 e 9

10 1023 7 e 1011 2047 9 e 11

Fonte: (AGUIRRE, 2000)

A Figura 8.4 traz um sinal PRBS, apenas para exemplificar-lo.

62

Figura 8.4 – Sinal PRBS.

No software MATLAB o sinal PRBS pode ser gerado usando o

comando idinput. Este comando pode gerar um sinal PRBS de seqüência m

conforme a Tabela 8.1, e qualquer amplitude. A linha de comando abaixo gera o

sinal PRBS no MATLAB.

>>sinal = idinput(127, 'PRBS’, B, amplitude);

Onde ‘127’ representa N da Tabela 8.1, ‘PRBS’ representa o método

do sinal, pois esta ferramenta pode gerar outros tipos de sinais. B é tal que o sinal é

constante ao longo de intervalos de comprimento de 1/B. Pode ser representado por

[0,1]. A amplitude é uma célula com o valor mínimo e máximo do sinal PRBS, [Mi

Ma], ou seja, pode assumir qualquer valor de amplitude. Na Figura 8.4 foi utilizado a

amplitude de 0 a 1.

Para gerar o sinal da Figura 8.4 a linha de comando fica:

>>sinal = idinput(127, 'PRBS’, [0, 1], [0, 1]);

63

9 RESULTADOS

Para a identificação do sistema, foi montada a equação do

paraplégico no software Simulink, ferramenta do Matlab, para a coleta dos dados de

entrada e saída. A Figura 9.1 mostra a planta no simulink.

Figura 9.1 – Equação do paraplégico no ambiente Simulink, adaptado de (GAINO,

2009)

Inicialmente foi aplicado um sinal degrau, com amplitude de

1.084 10 , e logo após foi aplicado um sinal PRBS na entrada com a mesma

amplitude. A entrada foi transferida para o prompt do Matlab através do bloco “ to

workspace “ do Simulink com o nome entrada. As saídas também foram transferidas

para o prompt do Matlab como os nomes Ma e Ov.

Sabendo que a melhor representação para a planta da Figura 9.1 é

uma função de transferência de terceira ordem, e que o sistema tem um

comportamento não-linear, a planta foi desmembrada afim de se obter as equações

de primeira e segunda ordem, e assim conseqüentemente a equação de terceira

ordem.

64

Será estimado a função de primeira ordem ( ) = ( )e logo em

seguida a função de segunda ordem ( ) = ( )( ), ambas lineares. A função de

terceira ordem será obtida multiplicando-se H(s) e D(s), pois é sabido que a

multiplicação discreto é igual à convolução no tempo. A Figura 9.2 resume a

proposta para obtenção da função de terceira ordem utilizando apenas métodos

lineares.

Figura 9.2 – Fluxograma para obtenção da função de terceira ordem.

9.1 Identificação modelo ARMA

A equação de primeira ordem a ser identificada é a função de

transferência que modela o complexo canela tornozelo, o qual consiste na relação

do torque a qual o músculo da perna está sujeito, com a largura de pulsos da

estimação elétrica na perna do paciente:

( ) = 425000,951 + 1Sendo que a entrada do modelo ARMA será o vetor de dados

“entrada” e a saída o vetor de dados “Ma”, a identificação com o modelo ARMA,

batelada e recursivo, com a entrada degrau, está mostrada nas Figuras 9.3 e 9.4.

A amplitude do sinal PRBS aplicado na entrada do sistema de

primeira ordem é de 0 a 1.0839x10 . A resposta para os casos batelada e recursivo

estão nas Figuras 9.5 e 9.6.

1ª Ordem H(z)

2ª Ordem D(z)

3ª Ordem (z)

Multiplicação D(z) . H(z)

65

Figura 9.3 – Identificação ARMA de primeira ordem, resposta ao degrau.

Figura 9.4 – Identificação ARMA RLS de primeira ordem, resposta ao sinal degrau.

0 10 20 30-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5x 10

-11 erro de estimação ARMA

0 10 20 300

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

X: 26.51Y: 4.607

Resposta ao Degrau ARMA

TEMPO (s) (seconds)

AM

PLI

TU

DE


Função original

0 10 20 30-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5x 10


0 10 20 300

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

X: 22.93Y: 4.607

Resposta ao Degrau ARMA RLS

TEMPO (s) (seconds)

AM

PLI

TU

DE


Função original

66

Figura 9.5 – Identificação ARMA de primeira ordem, resposta ao sinal PRBS.

Figura 9.6 – Identificação ARMA RLS de primeira ordem, resposta ao sinal PRBS.

0 10 20 30-3

-2

-1

0

1

2

3x 10


0 10 20 300

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

X: 25.31Y: 4.607

Resposta ao PRBS ARMA

TEMPO (s) (seconds)

AM

PLI

TU

DE


Função original

0 10 20 30-3

-2

-1

0

1

2

3x 10


0 10 20 300

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

X: 28.55Y: 4.607

Resposta ao PRBS ARMA RLS

TEMPO (s) (seconds)

AM

PLI

TU

DE


Função original

67

Pode-se perceber a semelhança entre o sinal original e o identificado

para cada um dos quatro casos mostrados acima, tanto para o batelada quanto para

o recursivo, mostrando a eficiência dos dois métodos para identificação de primeira

ordem.

Isto se deve ao fato de ser um sistema de primeira ordem e linear,

fácil de ser identificado. Mesmo o sinal de entrada PRBS, obteve-se a mesma

função identificada.

Enquanto à função de transferência propriamente dita, foi obtida a

seguinte função imprimida no prompt do Matlab:

( ) = 44690+ 1,052 (9.1)

A equação 9.1 é idêntica à equação de transferência de primeira

ordem, pelo fator multiplicativo igual a 0,951.

( ) = 44690+ 1,052∗ 0,9510,951 = 425000,951 + 1

O próximo passo foi identificar a função de segunda ordem, de

acordo com as equações (7.2) e a (9.2)

( ) = ( ) = 10,362 + 0,27 + 572,613 (9.2)

Como no caso de primeira ordem foi possível observar que o método

batelada e o recursivo, para o nosso caso, tem o mesmo efeito. Por isso as

identificações que se seguem serão apenas para o caso batelada.

Sendo que a entrada do modelo ARMA será o vetor de dados “Ma” e

a saída o vetor de dados “ ”, a identificação com o modelo ARMA, batelada está

mostrada na Figura 9.7.

A amplitude do sinal PRBS aplicado na entrada do sistema de

primeira ordem é de 0 a 4.6038. A resposta para o caso batelada está na Figura 9.8.

68

Figura 9.7 – Identificação ARMA batelada de segunda ordem, resposta ao Degrau.

Figura 9.8 – Detalhe na identificação ARMA batelada de segunda ordem, resposta

ao Degrau.

0 10 20 30-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5x 10


0 10 20 30-1

0

1

2

3

4

5

X: 22.59Y: 0.5232


TEMPO (s) (seconds)

AM

PLI

TU

DE


função original

Sinal Degrau

0 5 10 15 20 25 300

0.2

0.4

0.6

0.8

1

X: 24.62Y: 0.5232

System: função identif icadaTime (seconds): 24.4Amplitude: 0.527


TEMPO (s) (seconds)

AM

PLI

TU

DE


função original

69

Para esta estimação foram obtidos o vetor θ e a função de

transferência, como se segue:

= [−1.99934316539804; 0.99937122; 3.207347 − 6]( ) = 3.208+ 0.629 + 28.06 (9.3)

Já para o resultado da Figura 9.8 o vetor e função de transferência

está exposto abaixo.

= [−1.999134109; 0.999162107; 3.240756 − 6]( ) = 3.242+ 0.8382 + 28.01 (9.4)

Note que as equações (9.3) e (9.4) são diferentes. O porquê desta

situação será explicado na seção seguinte.

Figura 9.9 – Identificação ARMA batelada de segunda ordem, resposta ao Sinal

PRBS.

0 10 20 30-2

0

2

4

6

8

10

12

14

16x 10

-6 Erro de estimação ARMA

0 5 10 15 20 25 30-1

0

1

2

3

4

5

X: 26Y: 0.5243


TEMPO (s) (seconds)

AM

PLI

TU

DE


função original

sinal PRBS

70

Figura 9.10 – Detalhe da identificação ARMA batelada de segunda ordem, resposta

ao Sinal PRBS.

Na Figura 9.10 é mostrada a resposta do sistema de segunda ordem

com um aumento na área de transitório.

Por fim multiplicando a equação de primeira ordem pela de segunda

ordem, de acordo com a Figura 9.2, tem-se que

( ) = ( ). ( ) = 1.433 − 41 ³ − 2.998 ² + 2.997 − 0.9983 (9.5)

Usando a ferramenta d2c obteve-se a seguinte função de

transferência.

( ) = 1.434 5³ + 1.73 ² + 28.5 + 30.61A resposta ao degrau está na Figura 9.11 e a resposta ao sinal

PRBS está na Figura 9.12.

0 5 10 15 20 25 30-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

X: 28.83Y: 0.5229



TEMPO (s) (seconds)

AM

PLI

TU

DE


função original

71

Figura 9.11 – Identificação ARMA batelada de terceira ordem, resposta ao degrau.

Figura 9.12 – Identificação ARMA batelada de terceira ordem, resposta ao Sinal

PRBS.

0 10 20 30-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

X: 24.63Y: 0.04213


0 10 20 300

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

X: 26.5Y: 0.5232



TEMPO (s) (seconds)

AM

PLI

TU

DE


função original

0 10 20 30-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3 Resposta ao PRBS ARMA

X: 27.2Y: -0.01867

0 10 20 300

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

X: 28.89Y: 0.5232


TEMPO (s) (seconds)

AM

PLI

TU

DE


função original

72

9.2 Identificação modelo ARX

Para o modelo ARX foi realizado o mesmo procedimento do item

9.1, referente ao modelo ARMA. A resposta do modelo ARX para a entrada degrau

está mostrada na figura 9.13. Já a resposta ao sinal PRBS está na figura 9.14.

Figura 9.13 – Identificação ARX de primeira ordem, resposta ao degrau.

0 10 20 30-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5x 10

-11 erro de estimação ARX

0 10 20 300

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

X: 27.19Y: 4.607

Resposta ao Degrau ARX

TEMPO (s) (seconds)

AM

PLI

TU

DE


Função original

73

Figura 9.14 – Identificação ARX de primeira ordem, resposta ao sinal PRBS.

Sendo que a entrada do modelo ARX será o vetor de dados “Ma” e a

saída o vetor de dados “ ”, a identificação com o modelo ARX, batelada está

mostrada na Figura 9.13.

Já para o sinal de entrada PRBS, a identificação para o caso

batelada está na Figura 9.15.

0 10 20 30-3

-2

-1

0

1

2

3x 10

-5 erro de estimação ARX

0 10 20 300

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

X: 25.48Y: 4.607

Resposta ao PRBS ARX

TEMPO (s) (seconds)

AM

PLI

TU

DE


Função original

74

Figura 9.15 – Identificação ARX de segunda ordem, resposta ao degrau.

Figura 9.16 – Identificação ARX de segunda ordem, resposta ao sinal PRBS.

0 10 20 30-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5x 10


0 10 20 30-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

X: 26.5Y: 0.5233

Resposta ao Degrau ARX)

TEMPO (s) (seconds)

AM

PLI

TU

DE

sistema original

Modelo

0 10 20 30-2

0

2

4

6

8

10

12

14

16x 10


0 10 20 30-1

0

1

2

3

4

5

X: 26.32Y: 0.5228

Resposta ao PRBS ARX)

TEMPO (s) (seconds)

AM

PLI

TU

DE

sistema original

Modelo

Sinal PRBS

75

Figura 9.17 – Detalhe na identificação ARX de segunda ordem, resposta ao sinal

PRBS.

Para a Figura 9.15, resposta a degrau, foram obtidos o vetor θ e a

função de transferência, como se segue:

= [−1.99934316539804; 0.99937122; 3.207347 − 6]( ) = 3.208+ 0.629 + 28.06 (9.6)

Já para a resposta ao sinal PRBS, Figura 9.14, foram obtidos o vetor

θ e a função de transferência, como se segue:

= [−1.99934682307; 0.99937486; 3.1970139 − 6]( ) = 3.198+ 0.6253 + 28.05 (9.7)


ordem, de acordo com a Figura 9.2, tem-se que

0 5 10 15 20 25 30-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

X: 27.33Y: 0.5235

System: sistema originalTime (seconds): 27.3Amplitude: 0.488

Resposta ao PRBS ARX)

TEMPO (s) (seconds)

AM

PLI

TU

DE

sistema original

Modelo

76

( ) = ( ). ( ) = 1.433 − 41 ³ − 2.998 ² + 2.997 − 0.9983 (9.8)

Usando a ferramenta d2c obteve-se a seguinte função de

transferência.

( ) = 1.434 5³ + 1.73 ² + 28.5 + 30.61A resposta ao degrau está na Figura 9.18 e Figura 9.19 e a resposta

ao sinal PRBS está na Figura 9.20 e Figura 9.21.

Figura 9.18 – Identificação ARX batelada de terceira ordem, resposta ao degrau.

0 10 20 30-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25 Resposta ao Degrau ARX

0 10 20 300

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

X: 24.29Y: 0.5232


TEMPO (s) (seconds)

AM

PLI

TU

DE


função original

77

Figura 9.19 – Detalhe da identificação ARX batelada de terceira ordem, resposta ao

degrau.

Figura 9.20 –Identificação ARX batelada de terceira ordem, resposta ao sinal PRBS.

0 5 10 15 20 25 30

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

X: 20.93Y: 0.5232



TEMPO (s) (seconds)

AM

PLI

TU

DE


função original

0 10 20 30-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3 Resposta ao Degrau ARX

X: 25.11Y: 0.03493

0 10 20 300

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

X: 23.08Y: 0.5228


TEMPO (s) (seconds)

AM

PLI

TU

DE


função original

78

Figura 9.21 – Detalhe na identificação ARX batelada de terceira ordem, resposta ao

sinal PRBS.

9.3 Identificação Gradiente Descendente

Utilizando o método do gradiente descendente para a estimação da

função de transferência de primeira ordem, obteve-se o resultado idêntico aos

obtidos nos métodos anteriores, como ilustrado nas figuras que se seguem.

0 5 10 15 20 25 300

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

X: 26.91Y: 0.5232

System: função identif icadaTime (seconds): 27Amplitude: 0.487


TEMPO (s) (seconds)

AM

PLI

TU

DE


função original

79

Figura 9.22 – Identificação gradiente descendente de primeira ordem, resposta ao

degrau.

Figura 9.23 – Identificação gradiente descendente de primeira ordem, sinal PRBS.

0 10 20 30-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5x 10

-12 erro de estimação gradiente

0 10 20 300

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5 Resposta ao gradiente desc.

TEMPO (s) (seconds)

AM

PLI

TU

DE


Função original

0 10 20 30-1

0

1

2

3

4

5

Tempo (s)

Am

plitu

de

Identificação ARX Gradiente

sistema original

Modelo

0 10 20 30-3

-2

-1

0

1

2

3

4x 10

-4 erro de estimação ARX Gradiente

80

Já para o caso de segunda ordem a resposta a degrau está

mostrado na Figura 9.24 e o sinal PRBS na Figura 9.25.

Figura 9.24 – Identificação gradiente descendente de segunda ordem, sinal degrau

0 10 20 30-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5x 10


0 10 20 30-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5 Resposta ao gradiente desc.)

TEMPO (s) (seconds)

AM

PLI

TU

DE

sistema original

Modelo

81

Figura 9.25 – Identificação gradiente descendente de segunda ordem, sinal PRBS


ordem, de acordo com a Figura 9.2, tem-se o resultado na Figura 9.26 e Figura 9.27.

0 10 20 30-2

0

2

4

6

8

10

12

14

16x 10


0 10 20 30-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5 Resposta gradiente desc.)

TEMPO (s) (seconds)

AM

PLI

TU

DE

sistema original

Modelo

sinal PRBS

82

Figura 9.26 – Identificação gradiente descendente de terceira ordem, sinal degrau

Figura 9.27 – Identificação gradiente descendente de terceira ordem, sinal PRBS

0 10 20 30-0.015

-0.01

-0.005

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025 erro de estimação

0 10 20 300

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8 Resposta gradiente desc.

TEMPO (s) (seconds)

AM

PLI

TU

DE


função original

0 10 20 30-0.005

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03 erro de estimação

Resposta gradiente desc.

TEMPO (s) (seconds)

AM

PLI

TU

DE

0 10 20 300

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

X: 25.31Y: 0.5231



função original

83

9.4 Identificação utilizando modelos Fuzzy

Mediante as identificações realizadas, utilizando os modelos lineares

ARMA e ARX, percebe-se que a equação de terceira ordem não foi identificada

corretamente. Por isso utilizou-se o modelo Fuzzy padrão e o Fuzzy T-S para

identificar apenas a planta inteira do sistema do movimento do paciente paraplégico,

Figura 9.1, ou seja, a equação não linear de terceira ordem.

Para o modelo Fuzzy Padrão foi utilizado uma função de pertinência

do tipo gaussiana e foram utilizados 44 regras. O número de regras foi obtido por

experiência prática, e as regras foram distribuídas de tal forma que no instante no

tempo em que ocorresse o transitório tivesse uma maior concentração de regras, o

que pode ser observado na Figura 9.28.

A identificação da função não linear de terceira ordem, na resposta

ao degrau, para o método MQ batelada está na Figura 9.29 e mostrada com mais

detalhes na Figura 9.30. Já para o método RLS a estimação está na Figura 9.31 e

na Figura 9.32.


Identificação Fuzzy Padrão.

0 5 10 15 20 25 300

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

x

Am

plitu

de

Fuzzy Padrão, 44 regras, funções de pertinência

84

Figura 9.29 – Identificação Fuzzy Padrão de terceira ordem, resposta ao Degrau.

Figura 9.30 – Detalhe na identificação Fuzzy Padrão de 3ª ordem, resposta degrau.

0 10 20 30-0.1

-0.08

-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04 erro de estimação Fuzzy padrão

0 10 20 300

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

X: 26.09Y: 0.5232

Tempo (s)

Am

plitu

de

Identificação Fuzzy Padrão, Degrau

sistema original

Modelo

0 5 10 15 20 25 300

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

X: 20.7Y: 0.5237

Tempo (s)

Am

plitu

de

Identificação Fuzzy Padrão, resposta ao Degrau

sistema original

Modelo

85


ao Degrau.


RLS, resposta ao Degrau.

0 10 20 30-0.06

-0.05

-0.04

-0.03

-0.02

-0.01

0

0.01

0.02

0.03 erro de estimação Fuzzy Padrão

0 10 20 300

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

X: 23.54Y: 0.5232

Tempo (s)

Am

plitu

de

Identificação Fuzzy Padrão RLS, Degrau

sistema original

Modelo

0 5 10 15 20 25 300

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

X: 23.81Y: 0.5233

Tempo (s)

Am

plitu

de

Identificação Fuzzy Padrão RLS, resposta ao Degrau

sistema original

Modelo

86

Percebe-se que o método recursivo obteve uma melhor resposta do

que o método batelada, com o mesmo número de regras, obtendo uma

representação fiel a original.

A identificação do método MQ batelada, para a resposta ao sinal

PRBS, está na Figura 9.33 e na Figura 9.34. Já a identificação utilizando o método

RLS está na Figura 9.35 e na Figura 9.36.

Figura 9.33 – Identificação Fuzzy Padrão de terceira ordem, resposta ao sinal

PRBS.

0 10 20 30-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08 erro de estimação Fuzzy padrão

0 10 20 30-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

X: 25.71Y: 0.5234

Tempo (s)

Am

plitu

de

Identificação Fuzzy Padrão, PRBS

sistema original

Modelo

87

Figura 9.34 – Detalhe na identificação Fuzzy Padrão de terceira ordem, resposta ao

sinal PRBS.


ao sinal PRBS.

0 5 10 15 20 25 30-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

X: 26.51Y: 0.5236

Tempo (s)

Am

plitu

de

Identificação Fuzzy Padrão, resposta ao PRBS

sistema original

Modelo

0 10 20 30-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

0.06 erro de estimação Fuzzy Padrão

0 10 20 30-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

X: 27.81Y: 0.5231

Tempo (s)

Am

plitu

de

Identificação Fuzzy Padrão RLS, PRBS

sistema original

Modelo

88


RLS, resposta ao sinal PRBS.

Percebe-se que o método recursivo obteve uma melhor resposta do

que o método batelada, com o mesmo número de regras. Entretanto ambos tiveram

alto índice de erro e não representaram fielmente a parte transitória do sinal.

Para o modelo Fuzzy T-S foi utilizado uma função de pertinência do

tipo gaussiana e foram utilizados 150 regras. O número de regras foi obtido por

experiência prática, e as regras foram distribuídas de tal forma que no instante no

tempo em que ocorresse o transitório tivesse uma maior concentração de regras, o

que pode ser observado na Figura 9.37.

A identificação da função não linear de terceira ordem, na resposta

ao degrau, para o método MQ batelada, está na Figura 9.38 e mostrada com mais

detalhes na Figura 9.39. Já para o método RLS a estimação está na Figura 9.40 e

na Figura 9.41.

0 5 10 15 20 25 30-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

X: 25.41Y: 0.5232

Tempo (s)

Am

plitu

de

Identificação Fuzzy Padrão RLS, resposta ao PRBS

sistema original

Modelo

89


Identificação Fuzzy Takagi-Sugeno.

Figura 9.38 – Identificação Fuzzy T-S de terceira ordem, resposta ao Degrau.

0 5 10 15 20 25 300

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

x

Am

plitu

de

Fuzzy Takagi-Sugeno, 150 regras, funções de pertinência

0 10 20 30-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

X: 23.76Y: 0.5232

Tempo (s)

Am

plitu

de

Identificação Fuzzy T-S

sistema original

Modelo

0 10 20 30-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5x 10

-5 erro de estimação Fuzzy T-S

90


Degrau.

Figura 9.40 – Identificação Fuzzy T-S rls de terceira ordem, resposta ao Degrau.

0 5 10 15 20 25 30-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

X: 24.37Y: 0.5233

Tempo (s)

Am

plitu

de

Identificação Fuzzy T-S, resposta ao Degrau

sistema original

Modelo

0 10 20 30-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

Tempo (s)

Am

plitu

de

Identificação Fuzzy T-S RLS

sistema original

Modelo

0 10 20 30-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5x 10

-5 erro de estimação Fuzzy T-S RLS

91


ao Degrau.

A identificação do método MQ batelada, para a resposta ao sinal

PRBS, está na Figura 9.42 e na Figura 9.43. Já a identificação utilizando o método

RLS está na Figura 9.44 e na Figura 9.45.

0 5 10 15 20 25 30-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

Tempo (s)

Am

plitu

de

Identificação Fuzzy T-S RLS, resposta ao Degrau

sistema original

Modelo

92

Figura 9.42 – Identificação Fuzzy T-S de terceira ordem, resposta ao PRBS.


PRBS.

0 10 20 30-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

X: 23.44Y: 0.5232

Tempo (s)

Am

plitu

de

Identificação Fuzzy T-S

sistema original

Modelo

0 10 20 30-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1x 10

-4 erro de estimação Fuzzy T-S

0 5 10 15 20 25 30-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

X: 22.99Y: 0.5234

Tempo (s)

Am

plitu

de

Identificação Fuzzy T-S, resposta ao PRBS

sistema original

Modelo

93

Figura 9.44 – Identificação Fuzzy T-S RLS de terceira ordem, resposta ao PRBS.


ao PRBS.

0 10 20 30-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

Tempo (s)

Am

plitu

de

Identificação Fuzzy T-S RLS

sistema original

Modelo

0 10 20 30-6

-4

-2

0

2

4

6

8x 10

-5 erro de estimação Fuzzy T-S RLS

0 5 10 15 20 25 30-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

Tempo (s)

Am

plitu

de

Identificação Fuzzy T-S RLS, resposta ao PRBS

sistema original

Modelo

94

Percebe-se que o método recursivo obteve um menor erro do que o

método batelada, com o mesmo número de regras. Ambas obtiveram respostas fiéis

a original.

A identificação do método gradiente descendente, foi realizado

utilizando o modelo Fuzzy Padrão, pelo motivo de o modelo Fuzzy T-S já ter

conseguido uma ótima resposta. A estimação para a entrada degrau está na Figura

9.46, e com a entrada PRBS está na Figura 9.47.

Figura 9.46 – Identificação Fuzzy de terceira ordem, resposta ao Degrau, utilizando

gradiente descendente.

0 10 20 30-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3x 10

-3 erro de estimação Fuzzy Gradiente

0 10 20 300

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

Tempo (s)

Am

plitu

de Identificação Fuzzy Gradiente, Degrau

sistema original

Modelo

95

Figura 9.47 – Identificação Fuzzy de terceira ordem, resposta ao PRBS, utilizando

gradiente descendente.

0 10 20 30-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

Tempo (s)

Am

plitu

de

Identificação Fuzzy Gradiente

sistema original

Modelo

0 10 20 30-6

-4

-2

0

2

4

6

8x 10

-4 erro de estimação Fuzzy Gradientex

96

10 DISCUSSÃO DE RESULTADOS

A identificação do modelo do movimento do paciente paraplégico foi

feita em três etapas, a função de primeira ordem, de segunda e de terceira. Para

ambos os casos foram aplicados os métodos de identificação propostos.

O método de batelada e o recursivo obtiveram a mesma resposta,

isso por se tratar de um sistema simulado em ambiente Matlab. Não houve a

necessidade de uma implementação on-line, por isso os resultados do modelo

recursivo foram omitidos para o caso de segunda e terceira ordem.

Com isso pode-se comparar o modelo ARMA e ARX. Pode-se ver

que ambos obtiveram a mesma performance para o caso de primeira ordem, o que

era esperado, tanto para a entrada degrau quanto para o sinal PRBS. No caso de

segunda ordem os modelos tiveram a mesma resposta para o caso da entrada

degrau, entretanto para o sinal PRBS obtiveram respostas diferentes. Esta diferença

é esperada, já que o ARX leva em consideração a influência de um ruído. Neste

caso do sinal PRBS, tem a forma como de um ruído branco, ou seja média nula, o

que deixa a identificação muito mais difícil, entretanto mesmo sendo um pouco

diferente do modelo real, o sistema identificado estabiliza no mesmo nível de

amplitude. Por fim para o caso de terceira ordem, pela equação ser não linear,

ambos obtiveram uma resposta não condizente com o sistema real, não

estabilizando. Por isso foi realizado a multiplicação da função de primeira ordem pelo

de segunda ordem, ou seja, foi feito uma convolução no tempo entre os dois para

obter o esboço da função de terceira ordem.

Os resultados obtidos com o gradiente descendente foram análogos

aos anteriores, isto pelo fato de estar sendo utilizado uma modelagem matemática

linear para se representar a função de terceira ordem do paraplégico.

Já utilizando o modelo Fuzzy Padrão, o sistema de terceira ordem

não linear a estimação obteve uma ótima resposta, ao Degrau e para o PRBS,

mesmo com algumas diferenças na parte transitória no método MQ batelada. Por

fim, a identificação utilizando o modelo Fuzzy T-S obteve uma excelente resposta

para todos os métodos e entradas, se mostrando o modelo mais eficiente do estudo.

A diferença entre o número de regras dos modelos Fuzzy padrão e

do Fuzzy T-S diz respeito á resposta obtida na prática, e não ao conceito de quanto

97

mais regras melhor. Portanto o número de regras foi escolhido por tentativas

práticas.

98

11. TRABALHOS FUTUROS

Segue nesta seção algumas sugestões, as quais podem ser

desenvolvidas para continuar este estudo. São elas:

1. Otimizar e automatizar a escolha do número de regras para o

modelo Fuzzy.

2. Expandir os estudos para a identificação de sistemas não

lineares, utilizando os modelos não lineares dos utilizados

neste trabalho, NARX e NARMA.

99

12. CONCLUSÃO

A identificação de sistemas tem um papel muito importante para

resolução de problemas práticos. Assim como no caso estudado, a identificação

deste sistema serve para poder gerá-lo de forma mais simples, e posteriormente

poder aplicá-lo na prática. Além disto, pode-se identificar qualquer função em que

não se tenha nenhum conhecimento prévio do sistema, utilizando o método de caixa

preta.

A opção pelo modelo de estimação ARMA se deu pelo fato de que

não há consideração de uma entrada exógena, ou seja, um ruído, o qual torna o

sistema mais vulnerável, entretanto mais simples de ser implementado. Já o modelo

ARX, considera a entrada exógena, tornando o sistema mais próximo do real. Este

ruído foi importante no caso da entrada como sendo o sinal PRBS.

Foi possível observar a diferença de identificação da função quando

aplicado a ela um sinal degrau entre um sinal PRBS. A escolha em se aplicar um

sinal PRBS é o fato de que o sinal PRBS se comporta como sendo um ruído branco,

fato este que torna a identificação do sistema muito mais difícil, fazendo com que se

possa obter uma identificação mais confiável.

O método dos mínimos quadrados, o qual visa estimar os

parâmetros da função de tal forma a diminuir o erro médio quadrático de estimação,

obteve um bom funcionamento para os casos lineares, ARMA e ARX. O mesmo não

aconteceu para o caso não-linear. Isto demonstra que é essencial uma modelagem

matemática não-linear. O mesmo resultado aplica-se ao gradiente descendente, o

qual converge a solução para o mínimo local da função custo, ou seja o erro.

Portanto fica evidente a necessidade de uma modelagem não-linear para se fazer a

identificação de terceira ordem do movimento do paciente paraplégico.

Pelo fato de não ter sido possível fazer a identificação do sistema de

terceira ordem não linear utilizando os modelos ARMA e ARX, foi optado a utilização

do modelo Fuzzy para se identificar o sistema não-linear. O Fuzzy faz a linearização

da função não linear, através das regras e das funções de pertinência. O modelo

Fuzzy padrão obteve uma boa identificação para o método MQ batelada, entretanto

não foi tão precisa. Já utilizando o método RLS a identificação Fuzzy padrão obteve

uma resposta muito próxima ao real.

100

Por fim o modelo Fuzzy Takagi-Sugeno, obteve uma resposta ainda

melhor do que o Fuzzy padrão, tendo uma resposta ao sinal PRBS idêntica a

original, fato este que não tinha acontecido nos modelos anteriores. Isto indica que o

modelo Fuzzy T-S tem uma maior eficiência do que os demais modelos.

101

REFERÊNCIAS

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