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O ESTUDO DA

RETA Aulas 01 a 05

Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz

Sumário EQUAÇÃO GERAL DA RETA ................................................................................................................................. 2

Casos especiais .................................................................................................................................................... 2

Determinação da equação geral de uma reta a partir de dois de seus pontos .................................................. 2

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS .............................................................................................................................. 2

Determinação do ponto de intersecção entre duas retas .................................................................................. 3

EQUAÇÃO REDUZIDA DA RETA ........................................................................................................................... 3

Coeficientes da equação reduzida ...................................................................................................................... 3

Determinação da equação reduzida de uma reta .............................................................................................. 3


POSIÇÃO RELATIVA ENTRE DUAS RETAS DO PLANO CARTESIANO ..................................................................... 4


OUTRAS FORMAS DE EQUAÇÃO DE RETA ........................................................................................................... 5

Equação segmentária .......................................................................................................................................... 5

Equação paramétrica .......................................................................................................................................... 5


DISTÂNCIA ENTRE UMA RETA E UM PONTO FORA DELA ................................................................................... 5


GABARITO ........................................................................................................................................................... 5


Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Página 2

AULA 01

EQUAÇÃO GERAL DA RETA

A toda reta de um plano cartesiano xOy, com 0, 0O ,

está associado a uma equação do tipo

0ax by c

Em que , ,a b c , 0a ou 0b e ,x y

representa um ponto qualquer desta reta.

Obs.1: Um ponto pertence a uma reta se, e somente se,

ele for uma das soluções de sua equação geral.

Casos especiais

• 0a

Quanto 0a temos que independentemente do

valor de x o valor de y será igual a c

yb

, assim a

reta representada por essa equação terá o valor de

y constante para todo x . Isto fica

representado no plano cartesiano por uma reta

perpendicular ao eixo Oy , conforme representa a

figura a seguir.

Obs.2: Nesses casos as retas são chamadas de retas

horizontais.

• 0b

Quanto 0b temos que independentemente do

valor de y o valor de x será igual a c

xa

, assim a

reta representada por essa equação terá o valor de

x constante para todo y . Isto fica

representado no plano cartesiano por uma reta

perpendicular ao eixo Ox , conforme representa a

figura a seguir.

Obs.3: Nesses casos as retas são chamadas de retas

verticais.

Determinação da equação geral de uma

reta a partir de dois de seus pontos Uma equação geral da reta que passa pelos pontos

,a aA x y e ,b bB x y pode ser obtida pela condição

de alinhamento de um ponto qualquer, ,x y , do

plano e os pontos A e B, ou seja, uma equação geral

da reta que passa pelos pontos A e B é dada por

1

1 0

1

a a

b b

x y

x y

x y

Obs.4: Uma equação geral também pode ser obtido

pela regra prática apresentada em “O estudo do

ponto”.

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS

1.1. Verifique se os pontos 2, 3A e 4, 5B

pertencem a reta r de equação 2 3 5 0x y

1.2. Represente em um plano cartesiano xOy, com

0, 0O , a reta dada por cada uma das equações a

seguir.

a) 3 2 6 0x y

b) 2 5 0x y

c) 2 6 0x

d) 6 9 0y

1.3. Determine uma equação geral da reta que passa

pelos pontos 2, 3A e 1, 1B .


1.4. Calcule a área do triângulo determinado pela reta

de equação 2 3 18 0x y e os eixos

coordenados.

1.5. Determine uma equação geral da reta suporte da

mediana AM do triângulo de vértices 1, 2A ,

2, 5B e 4, 3C .

AULA 02

Determinação do ponto de intersecção

entre duas retas Todo ponto de intersecção entre duas retas tem que

satisfazer as equações das duas retas, portanto para

determinar o ponto de intersecção entre duas retas

basta resolver o sistema formado pelas equações das

mesmas.

EQUAÇÃO REDUZIDA DA RETA Uma equação geral de uma reta pode ser reescrita na

forma a c

y xb b

, sempre que 0b . Se

substituirmos a

b por m e

c

b por n, teremos a

equação reduzida da reta, que será escrita como

segue.

y mx n

Coeficientes da equação reduzida • Coeficiente angular (m)

O coeficiente angular, ou declividade da reta, tem

relação com o ângulo formado entre a reta e o

semieixo positivo das abscissas conforme ilustra a

figura a seguir.

O coeficiente angular de uma reta pode ser obtido a

partir de uma das seguintes fórmulas:

➢ a

mb

, quando fornecido uma equação

geral da reta

➢ b a

b a

y y ym

x x x

, quando fornecidos dois

pontos da reta

➢ tgm , quando fornecido a medida do

ângulo formado pelo semieixo positivo das abscissas

e a reta.

• Coeficiente linear (n)

O coeficiente linear representa onde a reta corta o

eixo das ordenadas, ou seja, o ponto 0, n sempre

pertence a reta dada.

Determinação da equação reduzida de

uma reta A determinação da equação reduzida de uma reta é

usualmente feita de duas formas.

• A partir de uma equação geral

Para determinar a equação reduzida a partir

da equação geral basta isolar a variável y da

mesma.

• A partir de um ponto 0 0,x y e do

coeficiente angular m.

Para determinar a equação reduzida de uma

reta basta utilizar a seguinte fórmula

TAREFA 1 – No capítulo “O estudo da reta” fazer as

questões do Praticando em Sala de Aula (PSA) de 1 a 13.

Determinação da equação geral

Perceba que para determinar a equação

geral de uma reta basta conhecer dois de seus

pontos e utilizar a condição de alinhamento. Assim,

quando uma questão solicitar a determinação da

equação geral de uma dada reta, procure primeiro

determinar dois de seus pontos.


0 0y y m x x

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 2.1 Determine a equação reduzida da reta de

coeficiente angular 2 e que passa pelo ponto

0, 3 .

2.2 Determine a equação reduzida da reta que passa

pelos pontos 1, 2 e 1, 3 .

2.3 Determine a equação reduzida da reta que forma

um ângulo de medida 150° com o semieixo positivo

das abscissas e passa pelo ponto 2, 3 .

2.4

AULA 03

POSIÇÃO RELATIVA ENTRE DUAS RETAS

DO PLANO CARTESIANO Para o estudo das posições relativas entre duas retas

no plano cartesiano, vamos utilizar a forma reduzida

da equação da reta. Devemos lembrar que existem

três possibilidades de posições relativas entre duas

retas coplanares, são elas: coincidentes, paralelas e

concorrentes. Nos casos de retas concorrentes elas

podem ser perpendiculares ou oblíquas.

Considere duas retas não verticais, r e s, de equações

reduzidas r ry m x n e s sy m x n ,

respectivamente. A posição relativa entre essas duas

retas pode ser determinada analisando a tabela a

seguir.

Posição relativa Relações entre coeficientes

Coincidentes r s

r s

m m

n n

Paralelas r s

r s

m m

n n

Concorrentes oblíquas

1

r s

r s

m m

m m

Concorrentes perpendiculares

1r sm m

Obs.5: Uma reta vertical será paralela ou coincidente

com outra vertical e perpendicular com as retas

horizontais. Nesses casos a análise da posição relativa

é feita diretamente pela representação gráfica.

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 3.1. Demonstre que duas retas : r rr y m x n e

: s ss y m x n são perpendiculares se, e somente se,

1r sm m .

3.2. Determine a equação da reta paralela à reta

2 3 6 0x y e que passa pelo ponto 1, 2 .

3.3. Determine a equação da reta suporte da altura

relativa ao vértice A do triângulo de vértices 2, 3A ,

0, 0B e 1, 2C .

3.4. Considere um triângulo ABC de vértices 2, 1A ,

1, 3B e 3, 7C . Determine a medida da altura

relativa ao vértice B.

TAREFA 2 – No capítulo “Equação reduzida, coeficiente

angular e coeficiente linear” fazer as questões do

Praticando em Sala de Aula (PSA) 1, 3, 5, 7, 8, 10 e 12.

TAREFA 3 – No capítulo “Posições relativas entre duas

retas no plano” fazer as questões do Praticando em Sala

de Aula (PSA) 1, 2, 5, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 19 e 20.

Perpendicular, paralelo e equação da reta

Uma possível caminho para determinar a

equação reduzida de uma reta é conhecer um de seus

pontos, o coeficiente angular e utilizar 𝒚 − 𝒚𝟎 =

𝒎(𝒙 − 𝒙𝟎). Assim, quando for solicitado a equação

de uma reta paralela ou perpendicular a outra,

utilize a condição de perpendicularismo ou

paralelismo para obter o coeficiente angular e

obtendo mais um ponto você será capaz de obter a

equação da reta.


AULA 04

OUTRAS FORMAS DE EQUAÇÃO DE RETA

Equação segmentária Uma reta que intersecta os eixos coordenados nos

pontos , 0P p e 0,Q q pode ter sua equação

escrita na forma

1x y

p q

Essa forma de escrever a equação é denominada

equação segmentária.

Equação paramétrica Quando as abscissas e as ordenadas dos pontos de

uma reta são escritas em função de um parâmetro

real t, essa reta terá sua equação escrita na forma

paramétrica, conforme segue.

, com

x tt

y t

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 4.1. Reescreva a equação de reta 2 3 12 0x y nas

formas reduzida e segmentária.

4.2. Reescreva a equação de reta 2 1

,3

x tt

y t

na

forma geral.

4.3. Calcule a área do triângulo determinado pela reta

de equação 2 3 18 0x y e os eixos coordenados.

AULA 05

DISTÂNCIA ENTRE UMA RETA E UM

PONTO FORA DELA A distância entre uma reta e um ponto fora dela é a

medida do segmento de reta perpendicular à reta

com extremidades na reta e no ponto dado. Dados

uma reta : 0r ax by c e um ponto 0 0,A x y ,

fora dessa reta, a distância entre o ponto A e a reta r

pode ser calculada por

0 0

, 2 2A r

a x b y cd

a b

.

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 5.1. Calcule, em cada item a seguir, a distância entre o

ponto e a reta fornecidas.

a) 1, 2A e :3 4 7 0r x y

b) 3, 0A e :2 3 7 0r x y

5.2. Considere um triângulo ABC de vértices 2, 1A ,

1, 3B e 3, 7C . Determine a medida da altura

relativa ao vértice B.

GABARITO

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS

1.1. A r e B r

1.2.

a) Gráfico

b) Gráfico

c) Gráfico

d) Gráfico

1.3. 2 3 5 0x y

1.4. 27

1.5. 1 0x

2.1. 2 3y x

TAREFA 6 – No capítulo “Distância entre ponto e reta”

fazer as questões do Praticando em Sala de Aula (PSA)

de 1 a 5, 7, 8 e 13.

TAREFA 4 – No capítulo “Interseção de duas retas e

equação segmentária” fazer as questões do Praticando

em Sala de Aula (PSA) 6, 7, 8, 10, 11, 12 e 14.

TAREFA 5 – No capítulo “Equações paramétricas de

uma reta” fazer as questões do Praticando em Sala de

Aula (PSA) de 1 a 6.


2.2. 5 1

2 2y x

2.3. 3 3 9

3 3y x

3.1. Demonstração

3.2. 2 4

3 3y x

3.3. 22

xy

3.4. 20 37

37

4.1. 16 4

x y

4.2. 2 5 0x y

4.3. 27

5.1. a) 2

5 b)

13

13

5.2. 20 37

37

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