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O ESTUDO DO

PONTO Aulas 01 a 05

Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz

Sumário INTRODUÇÃO AO PLANO CARTESIANO .................................................................................................................. 2

Alguns elementos do plano cartesiano ................................................................................................................... 2

Origem ................................................................................................................................................................ 2

Eixos .................................................................................................................................................................... 2

Quadrantes ......................................................................................................................................................... 2

Bissetrizes associadas ao plano cartesiano ......................................................................................................... 2

Posição de um ponto a partir de suas coordenadas ........................................................................................... 2

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS .............................................................................................................................. 3

Simetrias no plano cartesiano............................................................................................................................. 3

Simetria de ponto em relação a ponto ..................................................................................................................... 3

Simetria de ponto em relação a reta ........................................................................................................................ 3


Distância entre dois pontos ................................................................................................................................ 4


Ponto médio de um segmento de reta ............................................................................................................... 4

Baricentro de um triângulo ................................................................................................................................. 4


Condição de alinhamento entre três pontos ...................................................................................................... 4


Regra prática ............................................................................................................................................................. 5

Exemplo 1 ............................................................................................................................................................ 5

Área de um triângulo a partir das coordenadas de seus vértices....................................................................... 5


GABARITO ........................................................................................................................................................... 5


Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Página 2

AULA 01

INTRODUÇÃO AO PLANO

CARTESIANO Um par de eixos perpendiculares Ox e Oy

determinam um plano denominado plano cartesiano

xOy .

Neste plano cartesiano um ponto P de abscissa px e

ordenada py , denotado por ;p pP x y , pode ser

representado conforme a figura a seguir.

Obs.1: Em geral, os eixos coordenados Ox e Oy são

graduados em uma mesma escala.

Alguns elementos do

plano cartesiano

Origem

O ponto 0, 0O , que é a intersecção entre os eixos

Ox e Oy , é denominado origem do plano cartesiano.

Eixos

O eixo Ox é denominado eixo das abscissas e o eixo

Oy eixo das ordenadas.

Quadrantes

Os eixos perpendiculares Ox e Oy dividem o plano

cartesiano em quatro regiões disjuntas determinadas

quadrantes. Estes quadrantes são numerados

conforme ilustra a figura a seguir.

Bissetrizes associadas ao plano

cartesiano Existem duas bissetrizes associadas ao plano

cartesiano: a bissetriz dos quadrantes ímpares (bi) e a

bissetriz dos quadrantes pares (bp). Estas bissetrizes

estão representadas no plano cartesiano a seguir.

Obs.2: A bissetriz dos quadrantes ímpares também é

chamada de 1ª bissetriz, enquanto a bissetriz dos

quadrantes pares também é chamada de segunda

bissetriz.

Posição de um ponto a partir de suas

coordenadas

Considere um ponto ;p pP x y em um plano cartesiano

xOy , em relação a esse ponto tem-se as seguintes

propriedades.


0pP Ox y

0pP Oy x

0 e 0p pP IQ x y

0 e 0p pP IIQ x y

0 e 0p pP IIIQ x y

0 e 0p pP IVQ x y

i p pP b x y

p p pP b x y

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS

1.1. (Fuvest – SP) Se 2 , 4m n m e 2 , 2m n

representam o mesmo ponto do plano cartesiano,

então nm é igual a

a) 2 . b) 0. c) 2 . d) 1. e) 1

2.

1.2. Como podem ser representadas, de forma geral,

as coordenadas de um ponto que esteja:

a) 3 unidades à esquerda do eixo Oy ?

b) 4 unidades acima do eixo Ox ?

c) 5 unidades abaixo do eixo das abscissas?

d) 2 unidades à direita do eixo das ordenadas?

1.3. Sendo 0a e 0a b , forneça o quadrante a que

pertence cada um dos pontos:

a) ,A a b b) ,B a a c) 2 ,C a b

d) ,D b a e) ,E ab b

1.4. Sabendo que o ponto 21 ; 3 2P k k pertence

ao quarto quadrante, determine os possíveis

valores reais de k.

1.5. Obter o valor de a, a , sabendo que o ponto

4; 3 6A a pertence ao eixo das abscissas.

1.6. Obter m, m , sabendo que ponto

2 1, 3M m m pertence à bissetriz dos

quadrantes ímpares.

AULA 02

Simetrias no plano cartesiano

Simetria de ponto em relação a ponto

Um ponto 'A é simétrico ao ponto A, em relação ao

ponto O, se o ponto O é o ponto médio do segmento

'AA .

Simetria de ponto em relação a reta

Um ponto 'A é simétrico ao ponto A, em relação à

reta r, se o segmento 'AA for perpendicular à reta r e

o seu ponto médio pertencer a r.

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS

2.1 Em um plano cartesiano xOy, com 0, 0O ,

determine o simétrico de cada um dos pontos

5, 4A , 3, 4B , 4, 2C e 1, 5D em

relação:

a) ao eixo das ordenadas;

b) ao eixo das abscissas;

c) à origem;

d) à primeira bissetriz;

e) à segunda bissetriz.

2.2 Em um plano cartesiano xOy, com 0, 0O ,

determine os simétricos do ponto ,A a b em

relação:

a) ao eixo das ordenadas;

b) ao eixo das abscissas;

c) à origem;

d) à primeira bissetriz;

e) à segunda bissetriz.

TAREFA 1 – No capítulo “Geometria Analítica: estudo do

ponto” fazer as questões do Praticando em Sala de Aula

(PSA) de 1 a 7.


ponto” fazer a questão 8 do PSA.


AULA 03

Distância entre dois pontos

Considere os pontos ,a aA x y e ,b bB x y de um

plano cartesiano ortogonal. A distância entre os

pontos A e B, ABd , é dada por

2 2

AB a b a bd x x y y

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 3.1. Demonstre a fórmula da distância entre dois

pontos do plano cartesiano.

3.2. Determine a distância entre os pontos dados em

cada item a seguir.

a) 2, 7 e 1, 3

b) 1, 0 e 4, 2

3.3. Determine o circuncentro do triângulo de vértices

2, 3 , 0, 0 e 1, 2 .

AULA 04

Ponto médio de um segmento de reta

Considere os pontos ,a aA x y e ,b bB x y de um

plano cartesiano ortogonal. A ponto médio M do

segmento AB é tal que

;2 2

a b a bx x y yM

Baricentro de um triângulo

Considere os pontos ,a aA x y , ,b bB x y e

,c cC x y de um plano cartesiano ortogonal. O

baricentro G do triângulo ABC é tal que

;3 3

a b c a b cx x x y y yG

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 4.1. Demonstre a fórmula do ponto médio de um

segmento de reta.

4.2. Determine o ponto médio do segmento de

extremidades nos pontos dados em cada um dos itens

a seguir.

a) 2, 7 e 1, 3

b) 1, 0 e 4, 2

4.3. Os pontos 2, 3A , 5, 4B e 7, 11C são

vértices de um paralelogramo ABCD. Determine as

coordenadas do ponto D.

4.4. Determine o baricentro do triângulo de vértices

2, 0A , 3, 1B e 8, 4C .

AULA 05

Condição de alinhamento entre três

pontos


,c cC x y de um plano cartesiano ortogonal. É

possível demonstrar que estes pontos são colineares

se, e somente se,

1

1 0

1

a a

b b

c c

x y

x y

x y

.

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 5.1. Verifique se os pontos dados em cada item a seguir

são colineares.

a) 1, 2 , 2, 4 , 3, 6

b) 1, 2 , 2, 4 , 3, 5



(PSA) de 10 a 18, 20, 24, 26 e 29.



(PSA) 23, 30, 31, 35, 37, 38, 41, 44 e 46.


Regra prática

Pode-se verificar se três pontos estão alinhados por

meio de uma regra prática que será exemplificado a

seguir.

Exemplo 1

Verificar se os pontos 1, 2 , 2, 4 , 3, 6 estão

alinhados.

1) Escreva as coordenadas dos pontos com a

abscissa sobre a ordenada, um ao lado do outro e

repita a primeira coluna, conforme segue.

1 2 3 1

2 4 6 2

2) Multiplique os elementos em diagonal mantendo

o sinal dos resultados obtidos da esquerda para

direita e de cima para baixo e trocando o sinal dos

resultados obtidos da direita para a esquerda e de

cima para baixo, conforme segue.

3) A soma desses valores será igual ao determinante

da matriz dada na condição de alinhamento, ou

seja, se o resultado for zero os pontos estarão

alinhados.

4 12 6 4 12 6 0

Área de um triângulo a partir das

coordenadas de seus vértices


,c cC x y de um plano cartesiano ortogonal. Caso o

determinante

1

1

1

a a

b b

c c

x y

D x y

x y

seja diferente de zero,

como consequência, tem-se que esses pontos não

estarão alinhados e, portanto, serão vértices de um

triângulo. É possível provar que a área desse triângulo

será dada por 1

2S D .

Obs.2: A área do triângulo também pode ser calculada

utilizando a regra prática.

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 5.2. Calcule a área do triângulo cujos vértices são os

pontos 1, 2 , 2, 4 , 3, 5 .

GABARITO

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 1.1. E

1.2.

a) 3, y , com y

b) , 4x , com x

c) , 5x , com x

d) 2, y , com y

1.3.

a) IV Q

b) II Q

c) I Q

d) III Q

e) IV Q

1.4. 2

| 13

k k

1.5. 2

1.6. 4

2.1.

a) 5, 4 , 3, 4 , 4, 2 , 1, 5

b) 5, 4 , 3, 4 , 4, 2 , 1, 5

c) 5, 4 , 3, 4 , 4, 2 , 1, 5

d) 4, 5 , 4, 3 , 2, 4 , 5, 1

e) 4, 5 , 4, 3 , 2, 4 , 5, 1

2.2.

a) ,a b

b) ,a b

c) ,a b

d) ,b a

e) ,b a

3.1. Demonstração

3.2. a) 5 b) 29



(PSA) 58, 62, 64, 74, 85, 86 e 87


3.3. 81 23

,14 14

4.1. Demonstração

4.2. a) 1

, 52

b) 3

; 12

4.3. 4, 10

4.4. 3, 1

5.1. a) são colineares b) não são colineares

5.2. 11

2

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