O Espaço: contínuo ou discreto?

CERN Master ClassUniversidade do Porto, 15 de Março de 2014

João Penedones

O Espaço: plasticina ou Legos?

Matéria contínua Matéria discreta

Espa

ço c

ontín

uoEs

paço

dis

cret

o

MATEMÁTICA

Aquiles e a TartarugaNuma corrida entre Aquiles e a tartaruga, esta começa com 100metros de avanço porque corre mais devagar. Aquiles tenta alcançá-la mas, quando chega à posição inicial da tartaruga, esta já avançou para outra posição. Quando Aquiles chega a esta posição, a tartaruga já avançou para outra posição e assim sucessivamente. Logo, Aquiles nunca consegue ultrapassar a tartaruga.

[Paradoxo de Zenão - 450BC]

Aquiles e a Tartaruga

vA = 10m/svT = 5m/s

Tempo = 10 s+ 5 s+ 2.5 s+ . . .

=

�1 +

1

2+

1

4+ . . .

�10 s

= 20 s

Progressão geométrica

1

4+

1

16+

1

64+ · · · = 1

3

[Arquimedes - 300BC]

1 + r + r2 + r3 + · · · =

A soma de um número infinito de termos pode dar um resultado finito.

1

1− r, se |r| < 1

Quadratura da parábola

L L

Area� �

=4

3Area

� �

[Arquimedes - 300BC]

Cálculo Integral e Diferencial

= lim∆x→0

[Newton, Leibniz - 1700]

O espaço contínuo pode ser descrito como o limite de um espaço discreto em que o tamanho dos “átomos” tende para zero.

f �(x) = lim∆x→0

f(x+∆x)− f(x)

∆x

FÍSICA CLÁSSICA

Física ClássicaNa física clássica tudo é contínuo:• Espaço e tempo• Matéria

✦ Sólidos - elasticidade✦ Fluídos - dinâmica de fluídos• Potencial gravítico• Campo electromagnético

Baseado no estudo de reações químicas, em 1803 Dalton propõe que a matéria é constituída por átomos.

Em 1738, Bernoulli apresenta a sua teoria cinética dos gases, cuja ideia base é que um gás é um grande número de moléculas com movimentos aleatórios.

ρ(t, x) ∈ Rexemplo: densidade

Lei dos gases perfeitos

∆P = 2m|vx|∆t =2L

|vx|

A pressão total é

p =�

i

pi =N

Vm�v2x� =

N

VkBT

�vvy

vx

L

A

m�v2x� = m�v2y� = m�v2z� = kBT

A velocidade média das moléculas cresce com a temperatura

As moléculas colidem elasticamente com as paredes do recipiente

m

pV = NkBTpV = nRT

Cada molécula gera uma pressão

p1 =F1

A=

1

A

∆P

∆t=

mv2xV

Movimento Browniano [Brown - 1827][Einstein - 1905][Perrin - 1908]

Perrin was awarded the Nobel Prize in Physics in 1926 "for his work on the discontinuous structure of matter".

Grãos de pólen em água observados ao microscópio.

FÍSICA QUÂNTICA

Efeito foto-eléctrico

Campo electromagnético também é constituido por átomos de luz - fotões.

Ecin = hν − Φ

Energia cinética dos electrões ejectados

frequência da luz (cor)

energia de ligação de cada metal

[Hertz - 1887][Einstein - 1905]

Mecânica QuânticaProbabilidade de transição de um estado inicial para um estado final:

P (I → F ) = |A(I → F )|2

A(I → F ) =�

caminhosI→F

eihS[caminho]

A soma sobre todos os caminhos precisa de ser regularizada para dar um resultado finito.

[Feynman - 1948]

Renormalização

Neste limite, as grandezas físicas são quase insensíveis aos detalhes microscópicos da regularização (universalidade).

Regularização de cromodinâmica quântica numa rede cúbica

du u

time

a

g é a “probabilidade” de emitir um gluão

Mp ∼ h

c aexp

1

g2

massa do protão

(quarks sem massa)

O limite contínuo obtém-se para a � λp =h

Mpc(g2 → 0)

“tamanho” do protão

[Wilson - 1974]

Violação de invariância de Lorentz

A existência de uma distância mínima implica pequenas correcções à dinâmica prevista pelo limite contínuo.

Por exemplo, a velocidade dos fotões deveria depender do comprimento de onda.

[Vasileiou et al. - 2013]5

Ener

gy (M

eV)

210

310

410

510

Ener

gy (M

eV)

210

310

410

510

Ener

gy (M

eV)

210

310

410

510

Ener

gy (M

eV)

210

310

410

510

Time after trigger (sec)-5 0 5 10 15 20 25 30

Even

ts p

er 0

.30

sec

0

2

4

6

8

10

12

14

16GRB080916C

Time after trigger (sec)-2 0 2 4 6 8 10 12 14

Even

ts p

er 0

.05

sec

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

24

GRB090510

Time after trigger (sec)0 20 40 60 80

Even

ts p

er 0

.30

sec

0

2

4

6

8

10

12

14GRB090902B

Time after trigger (sec)0 5 10 15 20

Even

ts p

er 0

.30

sec

0

5

10

15

20

25

GRB090926A

FIG. 1. Time and energy profiles of the detected events from the four GRBs in our sample. Each column shows an event energyversus event time scatter plot (top) and a light curve (bottom). The vertical lines denote the time intervals analyzed (solid linefor n = 1 and dashed line for n = 2), the choice of which is described in Sec. IV. If a dashed line is not visible, it approximatelycoincides with the solid one.

and !r and !d are the rise and decay time constants.For v = {1, 2} the equation describes a two-sided expo-nential or Gaussian function respectively. We use thebest fit parameters (as obtained from a maximum likeli-hood analysis) to define a “pulse interval”extending fromthe time instant that the pulse height rises to 5% of itsamplitude to the time instant that it fells to 15% of itsamplitude. We choose such an asymmetric cut becauseof the long falling-side tails of GRB pulses.

We then expand this initial “pulse interval” until nophotons that were generated outside of it (at the source)could have been detected inside of it (at the Earth) dueto LIV dispersion, and also until no photons that weregenerated inside of it (at the source) could have beendetected outside of it (at the Earth) due to LIV disper-sion. We use conservative values of EQG,1 = 0.5 ! EPl

and EQG,2 = 1.5 ! 1010 GeV for the maximum degreeof LIV dispersion considered in extending the time inter-val, values which correspond to roughly one half of the

stringent and robust limits obtained by Fermi [23] andH.E.S.S. [28, 29]. The interval resulting from this expan-sion is the one chosen for the analysis (hereafter referredto as the “default” interval). The main reason for ex-tending the interval is to avoid constraining the possibleemission time of the highest-energy photons in the initial“pulse interval” to a degree that would imply an artifi-cially small level of dispersion.

The choice of time interval for GRB 090510 and n = 1is demonstrated in Fig. 2. The (default) time intervalsfor all GRBs are shown in Fig. 1 with the vertical solid(n = 1) and dashed lines (n = 2), and are also reportedin Tab. II.

5

Ener

gy (M

eV)

210

310

410

510

Ener

gy (M

eV)

210

310

410

510

Ener

gy (M

eV)

210

310

410

510

Ener

gy (M

eV)

210

310

410

510

Time after trigger (sec)-5 0 5 10 15 20 25 30

Even

ts p

er 0

.30

sec

0

2

4

6

8

10

12

14

16GRB080916C

Time after trigger (sec)-2 0 2 4 6 8 10 12 14

Even

ts p

er 0

.05

sec

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

24

GRB090510

Time after trigger (sec)0 20 40 60 80

Even

ts p

er 0

.30

sec

0

2

4

6

8

10

12

14GRB090902B

Time after trigger (sec)0 5 10 15 20

Even

ts p

er 0

.30

sec

0

5

10

15

20

25

GRB090926A

FIG. 1. Time and energy profiles of the detected events from the four GRBs in our sample. Each column shows an event energyversus event time scatter plot (top) and a light curve (bottom). The vertical lines denote the time intervals analyzed (solid linefor n = 1 and dashed line for n = 2), the choice of which is described in Sec. IV. If a dashed line is not visible, it approximatelycoincides with the solid one.

and !r and !d are the rise and decay time constants.For v = {1, 2} the equation describes a two-sided expo-nential or Gaussian function respectively. We use thebest fit parameters (as obtained from a maximum likeli-hood analysis) to define a “pulse interval”extending fromthe time instant that the pulse height rises to 5% of itsamplitude to the time instant that it fells to 15% of itsamplitude. We choose such an asymmetric cut becauseof the long falling-side tails of GRB pulses.

We then expand this initial “pulse interval” until nophotons that were generated outside of it (at the source)could have been detected inside of it (at the Earth) dueto LIV dispersion, and also until no photons that weregenerated inside of it (at the source) could have beendetected outside of it (at the Earth) due to LIV disper-sion. We use conservative values of EQG,1 = 0.5 ! EPl

and EQG,2 = 1.5 ! 1010 GeV for the maximum degreeof LIV dispersion considered in extending the time inter-val, values which correspond to roughly one half of the

stringent and robust limits obtained by Fermi [23] andH.E.S.S. [28, 29]. The interval resulting from this expan-sion is the one chosen for the analysis (hereafter referredto as the “default” interval). The main reason for ex-tending the interval is to avoid constraining the possibleemission time of the highest-energy photons in the initial“pulse interval” to a degree that would imply an artifi-cially small level of dispersion.

The choice of time interval for GRB 090510 and n = 1is demonstrated in Fig. 2. The (default) time intervalsfor all GRBs are shown in Fig. 1 with the vertical solid(n = 1) and dashed lines (n = 2), and are also reportedin Tab. II.

anos-luz> 109

Fotões de supernovas distantes (GRB)

Violação de invariância de LorentzA existência de uma distância mínima implica pequenas correcções à dinâmica prevista pelo limite contínuo. Por exemplo, a velocidade dos fotões deveria depender do comprimento de onda.

Isto ainda não foi observado e os limites experimentais apontam para um comprimento mínimo menor que o comprimento de Planck.

�P =

��Gc3

≈ 1.6× 10−35m

Isto sugere que a teoria fundamental existe no contínuo.

Gravidade

A força gravítica é mediada por uma partícula sem massa e com spin 2 (gravitão).

Teorias de campo com simetria de Lorentz não podem conter partículas sem massa e com spin maior que 1.

[Weinberg, Witten - 1980]

Em relatividade geral, o espaço-tempo é dinâmico e curva-se na presença de matéria.

Numa teoria quântica da gravidade, a soma sobre caminhos deve incluir todas as geometrias possíveis entre o estado inicial e final. Não sabemos como regularizar esta soma.

Princípio holográfico

Em gravidade quântica, o número de graus de liberdade numa região do espaço é proporcional à área da superfície que envolve essa região.

SBH =A

4�2P

Isto sugere que a teoria fundamental “vive” na fronteira do espaço-tempo.

[‘t Hooft - 1993][Susskind - 1994]

Princípio holográfico

Esta ideia funciona bem num universo diferente do nosso. Neste caso a teoria fundamental é uma teoria de campo que vive no contínuo e é invariante segundo transformações de escala. [Maldacena - 1997]

Conclusão

O espaço talvez seja contínuo mas ainda temos muito para descobrir antes de saber a resposta final...

Obrigado!