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O EFEITO DA AUTOCORRELAÇÃO NO

DESEMPENHO DO GRÁFICO DE

CONTROLE EWMA

ROBERTO CAMPOS LEONI (UNESP)

[email protected]

Antonio Fernando Branco Costa (UNESP)

[email protected]

Gráficos de controle são utilizados para monitorar a média de

processos que permanece fixa, em seu valor alvo, até que causas

especiais a desloque para outro valor fixo. Contudo, para muitos

processos, é mais razoável supor que a média nãoo é fixa, ela oscila

mesmo na ausência de causas especiais. Para descrever este

comportamento oscilatório, tem-se utilizado o modelo auto-regressivo

de primeira ordem, AR(1). Neste trabalho, investiga-se o efeito

oscilatório da média no desempenho dos gráficos de controle EWMA.

Dependendo dos valores dos parâmetros do modelo que descreve o

movimento oscilatório da média, o gráfico de controle se torna lento

na sinalização de causas especiais.

Palavras-chaves: controle estatístico de processos (CEP);

autocorrelação; modelo ARMA(1,1); EWMA.

XXXI ENCONTRO NACIONAL DE ENGENHARIA DE PRODUCAO Inovação Tecnológica e Propriedade Intelectual: Desafios da Engenharia de Produção na Consolidação do Brasil no

Cenário Econômico Mundial Belo Horizonte, MG, Brasil, 04 a 07 de outubro de 2011.



2

1. Introdução

Os gráficos de controle propostos por Shewhart assumem que observações consecutivas de

um processo sejam independentes e identicamente distribuídas, e que a média se mantém fixa

em um determinado valor alvo até que uma causa especial a desloque, mantendo-a fixa em

outro valor. O modelo de Shewhart dado por: Xk = + ek ( k=1,2,...; ek é uma variável

aleatória IID ~N (0,

e)) descreve o comportamento de uma característica de qualidade. O

gráfico de controle de X tem por objetivo detectar mudanças na média do processo. Por

razões práticas, é conveniente expressar o deslocamento da média em unidades do desvio

padrão do erro aleatório (e), isto é, e = (), sendo a média do processo em controle e

o valor da média após a ocorrência da causa especial. Sem perda de generalidade, supõe-se

que = 0 e e=1.

O modelo de Shewhart não se aplica quando a média do processo exibe comportamento

oscilatório. Quanto ao projeto dos gráficos de controle, os seus limites se tornam largos,

reduzindo a capacidade de sinalizar desajustes (COSTA et al., 2005). Muitos autores

estudaram o efeito do movimento oscilatório da média no desempenho de diferentes gráficos

de controle, dentre eles: Johnson e Bagshaw (1974), Vasilopoulus e Stamboulis (1978),

Reynolds et al. (1996), Atienza et al. (1998), Lu e Reynolds (1999a), Lu e Reynolds (1999b),

Bisgaard e Kulahci (2005) e Claro (2008). A produção de materiais por bateladas ou lotes é

um exemplo típico de um cenário em que a média oscila. Neste tipo de processo, amostras de

um mesmo lote apresentam pouca variação (variação intra-lote), contudo a oscilação da média

produz uma variabilidade considerável de lote para lote (variação entre- lotes). Tem-se como

consequência em processos por bateladas estabilidade no gráfico de controle por dispersão,

porém, o gráfico de X se comporta de maneira instável, pois a variabilidade influencia na

determinação dos seus limites.

Dos trabalhos relacionados ao tema, o modelo auto-regressivo de primeira ordem (AR(1))

com erro aleatório adicional é usado como referência para simular dados advindos de uma

média oscilante (LU e REYNOLDS, 2001; LU e REYNOLDS, 1999a; LU e REYNOLDS,

1999b; MACGREGOR e HARRIS, 1993; REYNOLDS et al., 1996; ZOU et al., 2008;

PYLRO, 2008).

Reynolds et al. (1996) obtiveram as propriedades do gráfico de controle de X utilizando

intervalo entre amostras variável. Contrariando a abordagem tradicional proposta por

Shewhart, relatam que o modelo mais razoável para observações que apresentam correlação

entre si é dado por: Xk = k + ek. Neste modelo a média não é constante, ou seja, a média

oscila ao redor de um valor alvo (E(Xk)=) ao longo do tempo, comportando-se de acordo

com um modelo estocástico do tipo AR(1). A variabilidade do modelo é atribuída a duas

parcelas: a primeira devida à variância de k e a outra (

2e) atribuída a ek.

A base de comparação do desempenho do gráfico de X e gráfico de EWMA utilizados no

monitoramento de um processo em que a média é fixa com aquele utilizado no

monitoramento de um processo em que a média oscila é injusta, ver Reynolds et al. (1996) e

Vanbrackle e Reynolds (1997), pois os deslocamentos na média dos processos independentes

são expressos em unidades de e, isto é: e, e para processos com a estrutura de correlação

do tipo AR(1) com erro aleatório adicional são expressos em unidades de x, isto é: x, x é

sempre maior que e.



3

O presente artigo ajusta os desvios de maneira que o desempenho possa ser comparável,

considerando-se que os deslocamentos da média em ambos os modelos sejam de uma mesma

magnitude (e).

Apresenta-se, na seção 2, o modelo que descreve o comportamento das médias

autocorrelacionadas; na seção 3, descreve-se gráfico de controle EWMA; a seção 4 analisa o

efeito da autocorrelação na média do processo e a seção 5 apresenta um exemplo de

aplicação.

2. Modelo AR(1) com erro aleatório adicional

A suposição de independência na utilização dos gráficos de controle de Shewhart implica em

utilizar um modelo que descreve as observações da variável X com média constante ao longo

do tempo. Desse modo, a variabilidade natural entre observações de X tem apenas um

componente aleatório. Para descrever este modelo, suponha que a cada intervalo de tempo h,

retira-se do processo uma amostra de tamanho n, e então são registrados os n valores de X de

uma característica de qualidade mensurável. Se é a média do processo que é constante no

instante em que a k-ésima amostra é formada e ki

e é o erro aleatório associado ao i-ésimo

item da k-ésima amostra, fruto da imprecisão do instrumento de medida e da variabilidade

natural do processo, então para i=1, 2,...,n e k=1, 2,...,

ki kiX e (1)

No entanto, quando a média do processo oscila, têm-se mais um componente aleatório no

modelo que descreve as observações de X,

kikki eX (2)

Assume-se que ki

e é uma variável aleatória com distribuição normal de média zero e desvio

padrão 2

e , isto é ki

e ~N(0; 2

e ).

Neste artigo, investiga-se o efeito oscilatório da média no desempenho do gráfico de EWMA.

Este comportamento oscilatório é descrito por um modelo autoregressivo de primeira ordem -

AR(1),

k 1(1 )h h

k k (3)

onde 1|| h é a correlação entre k e 1k , ~ N(0; )k e é o valor em torno do qual a

média do processo oscila; com o processo em controle 0 e com ele fora de controle

0 e . Os erros aleatórios kie e k são considerados independentes.

Diversos autores utilizaram este modelo para avaliar a eficiência de diferentes esquemas de

controle. Dentre eles, Reynolds Jr. et al. (1996), VanBrackle e Reynolds (1997), Lu e

Reynolds (1999, 1999a, 2001), Lin e Chou (2008) e Lin (2009).

De acordo com Reynolds et al. (1996), se );(N~ 21 , então

)1/( 222 h (4)

De acordo com a expressão (2), X tem duas componentes de variabilidade

2 2 2

X e (5)



4

A proporção da variabilidade de X atribuída a oscilação da média, 22 / X , tem sido

utilizada como medida do grau de oscilação.

Quando n>1, da expressão (2) decorre que k kkX e , com 1

/n

k kii

e e n

. A variância de

kX é então igual a 2 2 2 /

eXn . Da expressão (5) e da definição de segue que:

),(1

1

nf

n

n

n

ee

X

(6)

Portanto, os limites de controle (LC) são dados por*

0/

eL n , onde

* ( , )L f n L .

Quando a média do processo não oscila a expressão (6) se reduz a neX/ ; portanto,

),( nf mede o quanto os limites de controle ( nL e /0 ) devem ser alargados para

compensar o comportamento oscilatório da média do processo. A Tabela 1 apresenta para

diversos valores de n e de o fator de abertura adicional ),( nf dos limites de controle,

resultante do movimento oscilatório da média. Por exemplo, um ),( nf =1,05 significa que

os limites de controle alargaram-se em 5%.

n ),( nf

0,1 1,05

1 0,5 1,41

0,9 3,16

0,1 1,20

4 0,5 2,24

0,9 6,08

0,1 1,80

20 0,5 4,58

0,9 13,45

Tabela 1 - Valores do fator de abertura adicional ),( nf .

De acordo com as expressões (3) e (4), à medida que h aumenta, 2 (h) também aumenta,

contudo a correlação entre k e 1k , dada por h , diminui, de tal sorte que a variância 2 ,

parâmetro do movimento oscilatório da média, permanece independente de h. Em outras

palavras, em intervalos h mais espaçados o valor da variável k depende mais do movimento

oscilatório e menos do valor de 1k . Contudo, sua variância é sempre constante e igual a

2 , para todo e qualquer valor de h. A Tabela 2 apresenta, a título de ilustração, para

2 =5,2632 e diferentes hs, os valores de h e de 2

.

h h

2 (h)



5

1 0,9000 1,0000

4 0,6561 2,9975

8 0,4305 4,2879

12 0,2824 4,8433

16 0,1853 5,0824

20 0,1216 5,1854

30 0,0424 5,2537

40 0,0148 5,2620

50 0,0052 5,2630

100 0,0000 5,2632

Tabela 2 - Valores de h e

2 .

O valor de k , média do processo quando da formação da k-ésima amostra é dependente do

valor de 1k , média do processo quando da formação da (k-1)-ésima amostra. Esta

dependência é tanto maior quanto menor for h, distância no tempo entre os dois momentos em

que cada amostra é formada.

Assume-se neste artigo uma taxa de inspeção de um item por unidade de tempo. Assim, se h1

for esta unidade, o intervalo de tempo entre amostras será igual ao tamanho da amostra. Por

exemplo, se h1 for 15 minutos, então para amostras de tamanho 4 o intervalo de tempo entre

retirada de amostras será de uma hora, ou seja, 4 unidades de tempo de 15 minutos. Se for a

autocorrelação entre duas observações da média do processo espaçadas de 15 minutos então

para espaçamentos de uma hora a autocorrelação será de 4 . Em termos gerais, a

autocorrelação entre valores da média do processo, observadas quando da formação de

subgrupos racionais de tamanho (n), será de n . A dependência entre valores da média do

processo como uma função decrescente no tempo, 0( ) tt , tem sido adotada por Reynolds

et al. (1996).

No modelo apresentado em (2) e (3), assume-se que a média do processo oscila e, por

conseguinte, valores da média de subgrupos vizinhos é que são correlacionados.

3. Gráficos de controle de EWMA

O gráfico EWMA se baseia na estatística definida por: 11i i iY X Y . Em que: iX é a

medida no instante i (médias amostrais ou valores individuais) de um processo e (0 < < 1)

é uma constante. O valor 0 0Y (valor alvo ou valor médio em controle de X). A estatística

EWMA ( iY ) é uma média ponderada de dados passados. Valores grandes para fazem com

que as observações recentes possuam maiores pesos no cálculo de iY . Nos valores pequenos

para , os dados históricos, ou seja, anteriores a última observação, têm peso grande no

cálculo de iY . Quando =1 temos o gráfico de Shewhart.

Se as observações Xi são VA independentes com variância 2 , a variância da estatística iY é

dada por: 22 2 1 1

2i

i

Y

. Desse modo, os limites de controle para o gráfico

EWMA são assim determinados: 2

0 . 1 12

i

XLC L

.



6

Lucas e Saccucci (1990) apresentam um guia para escolha dos valores de e L. Em geral,

L=3 e 0,05 0,25 funcionam bem quando o objetivo é detectar pequenas mudanças no

processo em processos independentes.

4. Efeito da autocorrelação na média do processo

Segundo Lu e Reynolds (1999a) a aplicação de métodos numéricos para avaliar o

desempenho do gráfico de controle de EWMA é computacionalmente lenta e, dependendo dos

parâmetros do modelo, alguns resultados são incertos; portanto, o uso da simulação nestes

casos leva a resultados mais confiáveis.

A Tabela 3 apresenta o Tempo esperado até o sinal (TES) que o gráfico de EWMA requer

para detectar um deslocamento na média do processo. O modelo ARMA(1,1) foi utilizado

para simular as observações de X. O nível de autocorrelação foi utilizado com duas

parcelas de variabilidade devida ao modelo AR(1) e. Os limites de abertura

do gráfico de controle foram ajustados para se ter, em média, um alarme falso a cada 500

horas (TESo). Para detalhes sobre o TES ver Costa et al. (2005).

x)

e)

L

0,5 0,9 0,5 0,9

9,751 10,410 9,752 10,410 2,612

0,0 500,00 500,00 500,00 500,00 500,00

0,5 19,20 31,53 36,47 207,72 10,69

1,0 6,85 9,97 11,33 72,34 4,66

1,5 4,01 5,65 6,33 34,64 2,97

2,0 2,83 3,88 4,33 20,84 2,18

2,5 2,18 2,96 3,28 14,40 1,72

3,0 1,78 2,39 2,65 10,81 1,42

4,0 1,30 1,73 1,90 7,11 1,05

5,0 1,02 1,35 1,49 5,26 0,79

Tabela 3 – TES; h=1 (60 min.), n=4; =0,05

A presença da autocorrelação afeta drasticamente a medida de desempenho TES. Por

exemplo: Em um processo independente para o TES=4,66. Na presença de

autocorrelação, se x)e o TES=6,85, quando o TES

aumenta para 9,97. De um modo geral, o desempenho do gráfico avaliado pelo TES é pior

quando a média oscila.

A Figura 1 mostra que, se a parcela devida a variância de longo prazo () for grande, o tempo

de detecção de uma causa especial é maior. Salientamos que nesta comparação o

deslocamento da média foi padronizado através da expressão x e e, para

observações independentes não há parcela de variabilidade devida ao modelo estocástico

AR(1), pois a média é constante ao longo do tempo, ou seja, neste caso xe e, quando a

média do processo segue um modelo AR(1), X=

e]

½. Por exemplo: para

amostras de tamanho n=1, se e= e =+0,8, o deslocamento é da ordem de x=

2e]

½ = 1/(1-0,8

2) + 1]

½ = 1,9437

para dados autocorrelacionados e x =

e = 0 =

para dados independentes. Nesta situação, quando os dados são

autocorrelacionados o deslocamento da média é quase o dobro daquele observado com dados

independentes. Na prática, o deslocamento da média é função de alguma alteração no



7

processo, por exemplo, mudança de matéria prima, quebra de um componente e etc., e não do

grau de autocorrelação das observações.

Figura 1 - TES; deslocamentos da média do processo (x e e)

Para uma comparação justa dos processos independentes e correlacionados, é necessário

padronizar o deslocamento sofrido pela média do processo, por exemplo, especificando

sempre como sendo e. As Tabelas A.1, A.2, A.3 e A.4 (Apêndice A) apresentam o

TES que o gráfico de EWMA requer para detectar um deslocamento na média do processo

quando o desvio é da ordeme. A taxa de amostragem é de 3 itens por unidade de tempo,

por exemplo: 1 item a cada 20 min.; 3 itens a cada 60 min.; 4 itens a cada 80 min. e 5 itens a

cada 100 min.

A Figura 2 apresenta o desempenho do gráfico EWMA. Em todos os caso, n=1, 3, 4 e 5, o

TES aumenta tanto para pequenos desvios ( menor que 2,0) quanto para grandes desvios (

maior que 2,0) na média, quando há aumento do grau de autocorrelação. n=1 n=3

n=4 n=5

0,8; x 0,8; e



8

Figura 2 – Desempenho (TES) do gráfico de EWMA para os tamanhos de amostras n=1, 3, 4 e 5; (e).

A Figura 3 apresenta o desempenho do gráfico de EWMA quando não há autocorrelação no

processo. Não há vantagem aparente em inspecionar amostras maiores com intervalos

também maiores, pois os melhores desempenhos são aqueles em que se inspeciona um item a

cada 20 minutos, ou seja, é melhor inspecionar mais frequentemente poucos itens do que

muitos itens considerando um intervalo de tempo maior.

Figura 3 – TES; n=1, 3, 4 e 5; =0 (processo independente)

A Figura 4 avalia o impacto que o aumento da amostra acarreta no desempenho (TES) do

gráfico de EWMA para as combinações de (0,4 e 0,8) e e . Os valores exatos dos

TES podem ser vistos no Apêndice A. Para =0,4 e o melhor TES foi alcançado para

n=1 quando 0,5. A melhor opção para =0,5 foi n=3 (TES=36,91). A combinação =0,4 e

o melhor TES foi alcançado para n=1 quando . A melhor opção para =0,5 e

1,0 foi n=3 (TES=163,25 e 57,98 respectivamente). A combinação =0,8 e o melhor

TES foi alcançado para n=1 quando . A melhor opção para =0,5 e 1,0 foi n=3

(TES=70,42 e 23,6 respectivamente). E para a última combinação, =0,8 e o melhor

TES foi alcançado para n=1 quando . Para desvios menor que a melhor opção

foi n=3. Para aumento na autocorrelação, percebe-se que melhores resultados podem ser

atingidos inspecionando mais que uma unidade num intervalo de tempo mais espaçado.

Porém, não parece adequado trabalhar com amostras maiores que 3 unidades.



9

Figura 4 - Desempenho (TES) do gráfico de EWMA para as combinações de (0,4 e 0,8) e e

(e).

A Figura 5 compara o desempenho do gráfico de EWMA com o de X para amostras de

tamanho n=4 quando a média oscila muito (=0,9). Os valores exatos dos TES podem ser

vistos no Apêndice A (Tabelas A.3 e A.5). Para qualquer magnitude de deslocamento na

média (=0,5 a 5,0) o desempenho do gráfico de EWMA é superior ao gráfico de X (menor

TES).



10

Figura 5 - Desempenho (TES) do gráfico de EWMA e X para as combinações de n=4; (0,4 e 0,8) e

(e).

5. Exemplos de aplicação

Suponha que uma determinada característica de qualidade de um processo seja

monitorada e suas observações siga o modelo descrito na expressão (2). Neste exemplo os

parâmetros assumiram os seguintes valores: =0,8, para n=4 e h=1,333 (80 min.). Manteve-se

uma taxa de amostragem constante e igual a 3 unidades por hora e 50% da variabilidade dos

dados foram atribuídas à oscilação da média (=0,5).

Através da expressão (2), gerou-se 100 médias, sendo que uma perturbação da ordem

de 0 e foi implantada a partir da 26ª média.

Com as observações do processo ora descrito, considere uma aplicação em que este

processo seja monitorado retirando-se quatro observações (n=4) a cada 80 minutos. Para

manter o TES0=500, tem-se o valor de L=3,412 (ver Tabela A.3). Dá Tabela A.3, têm-se para

um deslocamento da ordem de 1,5e o TES=13,82 horas. A Figura 6 ilustra este exemplo.

Figura 6 – gráfico de controle de EWMA; n=4; 1,5e .

Observa-se na Figura 6 que somente na 34ª amostra, o gráfico sinaliza uma mudança

na média global. Operou-se o processo fora de controle por cerca de 12 horas após o desvio

X X EWMA EWMA



11

na média, ou seja, somente na 9ª amostra após o deslocamento na média do processo que o

gráfico foi capaz de sinalizar tal desajuste.

Claro (2008) apresenta um processo de usinagem de uma carcaça fundida em liga de

Alumínio. A variável X (altura fresada da face de assentamento do conjunto da alavanca –

Figura 7) é monitorada. Os dados da variável em questão foram obtidos de peças consecutivas

produzidas em uma indústria da região de Campinas-SP.

Figura 7 – Representação esquemática do conjunto da carcaça de transmissão.

Pode-se considerar que a variabilidade da característica X (altura da face de assentamento)

desse processo tem duas parcelas: uma parcela fruto da oscilação aleatória da média do

processo segundo um modelo autoregressivo de primeira ordem (variação aleatória de longo

prazo) e uma parcela de ruído (variação aleatória de curto prazo) de peça para peça.

O comportamento oscilatório da média é descrito por um modelo AR(1) com parâmetro

=0,894 (CLARO, 2008). A variabilidade das observações do processo devida a variação em

é igual a 0,79. A variabilidade total dos dados (2

x=0,0214) pode ser decomposta em

duas parcelas: 2

e=0,004597 e 2. Para detalhes sobre como obter o valor de ,

2 e

2e veja Reynolds et al. (1996).

Na Tabela 4 há valores simulados do TES para e idênticos ao do processo de usinagem

para deslocamentos de 0,5 a 5,0. Com o esquema EWMA (=0,05) é preferível utilizar

amostras maiores que um para pequenos desvios e amostras unitárias para grandes desvios

(>2,5), praticando-se um menor TES.

n h

1 3 4 5

20 min. 60 min. 80 min. 100 min.

L=8,40 L=5,33 L=4,55 L=4,03

0,0 500,00 500,00 500,00 500,00

0,5 313,66 249,16 234,78 223,61

1,0 141,82 101,76 96,00 93,04

1,5 70,45 53,01 51,75 51,18

2,0 39,67 33,19 33,31 33,93

2,5 25,15 23,42 24,03 24,76

3,0 17,32 17,67 18,53 19,34

4,0 9,86 11,69 12,59 13,28

5,0 6,54 8,63 9,43 10,07

Tabela 4 – TES para o gráfico de EWMA (=0,05); ; e

6. Conclusão



12

O modelo utilizado neste artigo, AR(1) com erro aleatório adicional, tem em sua estrutura

duas parcelas que descrevem a variabilidade do processo e

2e). A comparação do

desempenho do gráfico de EWMA, através do TES, para dados independentes e para dados

autocorrelacionados foi realizada de forma justa, pois adotamos a mesma magnitude da

perturbação na média do processo. Quanto maior a influência da oscilação da média, dado por

, na variabilidade total (

2x) e/ou maior o grau de autocorrelação dos dados, pior é o

desempenho do gráfico, tornando-o mais lento na detecção de causas especiais.

Em processos cujas observações são independentes, tomar amostras unitárias mais

frequentemente pode resultar em melhor desempenho quanto ao tempo esperado para

detecção de uma perturbação que desloque a média de seu valor alvo.

Em processos cuja média oscila, a autocorrelação reduz o poder do gráfico de EWMA; para

pequenos desvios no processo ( < 3) amostras não unitárias melhoram o desempenho deste

gráfico (menor TES). O desempenho deste gráfico é superior ao gráfico de X para qualquer

magnitude de deslocamento da média.

Referências

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14

APÊNDICE A – Tempo Esperado até o Sinal (TES)

Tabela A.1 – TES (gráfico de EWMA);

h=0,333 (20 min.), n=1;=0,05; e

L

0,0 0,5 0,9 0,5 0,9

3,030 3,776 4,271 5,746 7,155

0,0 500,00 500,00 500,00 500,00 500,00

0,5 12,23 3 ,36 189,51 98,34 342,66

1,0 4,32 10,34 60,49 26,02 172,29

1,5 2,58 5,53 27,40 11,99 90,29

2,0 1, 4 3,72 15,93 7,28 52,82

2,5 1,42 2 80 10,78 5,11 33,67

3,0 1,16 2,23 7,99 3,89 23,48

4,0 0,85 1,59 5,18 2,66 13,44

5,0 0,67 1,24 3,80 2,01 8,97


h=1,000 (60 min.), n=3; =0,05; e

L

0,0 0,5 0,9 0,5 0,9

2,615 2,820 2,766 4,015 4,187

0,0 500,00 500,00 500,00 500,00 500,00

0,5 12,85 36,91 163,25 70,42 275,63

1,0 5,51 13,58 57,98 23,60 121,44

1,5 3,48 8,17 30,84 13,32 65,01

2,0 2,54 5,81 20,21 9,08 41,04

2,5 2,00 4,48 14, 6 6,84 28,88

3,0 1,65 3,66 11,72 5,50 21,95

4,0 1,23 2,66 8,18 3,94 14,53

5,0 0,96 2,10 6,27 3,08 10,73


h=1,3333 (80 min.), n=4; =0,05; e

L

0,0 0,5 0,9 0,5 0,9

2,500 2,53 2,551 3,411 3,577

0,0 500,00 500,00 500,00 500,00 500,00

0,5 13,44 40,87 174,14 66,20 262,68

1,0 5,93 15,81 65,07 23,73 115,41

1,5 3,77 9,59 35,71 13,82 63,03

2,0 2,77 6,86 23,84 9,62 40,94

2,5 2,19 5,32 17,75 7,37 29,47

3,0 1,81 4,34 14,05 5,96 22,79

4,0 1,34 3,17 9,91 4,31 15,45

5,0 1,00 2,50 7,60 3,36 11,62


h=1,6667 (100 min.), n=5; =0,05; e

L

0,0 0,5 0,9 0,5 0,9

2,400 2,413 2,414 3,074 3,185

0,0 500,00 500,00 500,00 500,00 500,00

0,5 13,97 45,41 183,27 67,28 287,49

1,0 6,27 18,03 72,26 25,26 113,34

1,5 4,01 11,03 40,40 15,02 63,41

2,0 2 94 7,91 27,28 10,58 41,89

2,5 2,33 6,16 20,52 8,14 30,71

3,0 1,93 5,03 16,27 6,61 24,03

4,0 1,39 3,68 11,54 4,80 16,52

5,0 1,03 2,91 8,90 3,76 12,53

Tabela A.5 – TES (gráfico de X );

h=1,3333 (80 min.), n=4;e

L

0,0 0,5 0,9 0,5 0,9

3,004 3,004 3,004 2,997 2,993

0,0 500,00 500,00 500,00 500,00 500,00

0,5 58,39 239,13 439,88 246,03 442,98

1,0 7,79 75,68 319,51 81,54 327,11

1,5 2,01 27,09 212,51 30,77 221,89

2,0 0,92 11,30 138,34 13,46 147,49

2,5 0,70 5,41 90,71 6,62 98,85

3,0 0,67 2,92 60,53 3,56 67,48

4,0 0,67 1,20 28,69 1,33 33,51

5,0 0,67 0,77 14,78 0,78 18,03



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o efeito da autocorrelaÇÃo no desempenho...

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