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XVIII Encontro Baiano de Educação Matemática
A sala de aula de Matemática e suas vertentes
UESC, Ilhéus, Bahia de 03 a 06 de julho de 2019
2019. In: Anais do XVIII Encontro Baiano de Educação Matemática. pp.xxx. Ilhéus, Bahia. XVIII EBEM. ISBN:
O DESENVOLVIMENTO DA GENERALIZAÇÃO EM UMA TURMA DO 7º ANO
ATRAVÉS DA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS
Sára Alves de Matos Rodrigues
Universidade do Estado da Bahia (UNEB), Campus X
Célia Barros Nunes
Universidade do Estado da Bahia (UNEB), Campus X
Resumo: Por meio de uma investigação de natureza qualitativa, buscou mostrar como a
Generalização emerge e se desenvolve em sala de aula no contexto de uma prática de ensino-
aprendizagem através da Metodologia de Resolução de Problemas, em uma turma de 7º ano do
Ensino Fundamental II. Recorreu-se a dados de estudos de caso da aplicação de um problema
selecionado dentro da potencialidade da turma, levando em consideração a necessidade do
favorecimento da construção do Pensamento Algébrico e da Generalização matemática,
seguindo a Metodologia de ensino-aprendizagem-avaliação de Matemática através da
Resolução de Problemas. O problema foi selecionado respeitando o programa de ensino e com
um nível crescente de dificuldade objetivando que os alunos construíssem a ideia de equação
do 1º grau. Os dados coletados evidenciaram que, além de proporcionar uma cultura de sala de
aula onde os alunos assumem o papel de co-construtor do seu conhecimento, a metodologia
seguida conduziu os estudantes a uma aprendizagem com significado e compreensão,
oportunizando a reflexão, argumentação e discussão coletiva, fazendo-os alcançarem a
Generalização. Por fim, fica evidente que o uso de metodologias diferenciadas, sobretudo a de
Resolução de Problemas, ajudam professores no trabalho em sala de aula, tendo em vista a
promoção do raciocínio matemático, em especial da Generalização e do Pensamento Algébrico.
Palavras-chave: Generalização. Pensamento Algébrico. Álgebra. Resolução de Problemas.
INTRODUÇÃO
A Álgebra sempre teve destaque entre os ramos da Matemática. No entanto, após a
Matemática Moderna perdeu prestígio e ficou um pouco esquecida só retomando seu posto nos
últimos anos quando trouxe uma nova visão associada ao Pensamento Algébrico (PONTE,
BRANCO e MATOS, 2009). O ensino da Álgebra era associado ao estudo das equações, ou
seja, na manipulação de símbolos onde esses quase sempre não faziam sentido para quem os
manipulavam. Isso tornava a Matemática sem significado e muito abstrata, pautada apenas na
repetição incansável de exercícios remetendo ao modelo muito usado na antiguidade por
egípcios, babilônios, chineses e indianos.
No entanto, com o avanço tecnológico e devido às mudanças culturais, houve a
necessidade de repensar o currículo escolar e a forma como a Álgebra é ensinada, levando-nos
a fazer mudanças relevantes em nossas práticas, que sejam capazes de alcançar os nossos
alunos. Para Kaput (1995 apud RIBEIRO e ALESSANDRO 2015, p. 12), “A total falência
atual da Álgebra escolar tem mostrado a inadequação das tentativas de vincular os formalismos
à experiência do aluno, depois que eles foram introduzidos. Parece que uma vez sem
significado, sempre sem significado”.
Partindo dessas premissas, o presente trabalho tem por finalidade mostrar os benefícios
consequentes da utilização da Metodologia de Ensino-aprendizagem-avaliação de Matemática
através da Resolução de Problemas para estudantes do 7º ano do Ensino Fundamental II. Nessa
metodologia, o problema é o ponto de partida. É através dele que professor e alunos, num
processo colaborativo em sala de aula, vão desenvolvendo o trabalho de construção de novos
conhecimentos.
Ademais, com este trabalho de pesquisa, pretendeu-se, oportunizar a construção de
conexões entre Aritmética e Álgebra para ajudar os alunos a perceberem que são capazes de
fazer Matemática e observou-se até que ponto a Resolução de Problemas favoreceu a
construção e o desenvolvimento do Pensamento Algébrico, sobretudo no que se refere à
generalização.
RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS X GENERALIZAÇÃO
Até muito recente ensinar através da Resolução de Problemas era visto apenas como
uma forma de aplicar os conhecimentos já adquiridos anteriormente pelos alunos em alguma
situação problema. Dessa forma, os professores avaliavam se os alunos eram capazes de
empregar os conteúdos que foram ensinados, ou seja, os alunos apenas imitavam o que haviam
aprendido.
Porém, o aluno não pode mais aprender a resolver problemas por imitação. Como
enfatiza Bigode e Gimenez (2009) “A Resolução de Problemas não deve ser utilizada apenas
como forma de controlar se os alunos dominam essa ou aquela técnica, esse ou aquele
conceito”. Sendo assim, ela é um meio onde se possibilita a construção do conhecimento com
significado. Implica propor um trabalho onde não se conhece antecipadamente o método para
sua resolução, mas onde se busca estratégias e conhecimentos anteriores que auxiliam na
construção da solução e, por consequência, a construção de novos conceitos matemáticos.
Sabe-se, porém, que a Matemática é composta por uma parte pouco aplicável e muito
abstrata, o que promove certa dificuldade no processo de ensino-aprendizagem. Levando em
consideração esse aspecto, uma grande parte dos alunos define-a, como uma disciplina cheia
de regras e mecanismos sem utilização no dia a dia.
Delvin enfatiza, ao defender os padrões que
[...] ao longo dos anos a Matemática tornou-se cada vez mais e mais complicada, as
pessoas concentraram-se cada vez mais nos números, fórmulas, equações e métodos
e perderam de vista o que aqueles números, fórmulas e equações eram realmente e
porque é que se desenvolveram aqueles métodos. Não conseguem entender que a
Matemática não é apenas manipulação de símbolos de acordo com regras arcaicas,
mas sim a compreensão de padrões – padrões da natureza, padrões da vida, padrões
da beleza (1998, apud VALE et al, 2009, p. 7).
Além disso, Vale et al (2009) estabelecem que se essa utilização vier abarcada à
Metodologia de Resolução de Problemas, os resultados tendem a ser ainda mais eficazes sendo
que, permite um excelente contexto para o desenvolvimento de conceitos matemáticos e,
paralelamente, permite envolver os alunos na exploração e formalização do problemas,
levando-os a conjecturar, a verbalizar relações entre os vários elementos do problema e a
generalizar. E principalmente auxiliando-os no desenvolvimento do raciocínio e da
comunicação.
A Generalização está intimamente ligada à Resolução de Problemas, pois facilita a
conexão e aprofundamento de conceitos matemáticos permitindo que os alunos sejam parte
fundamental na construção da sua própria aprendizagem, abordando vários tópicos de
diferentes formas e fazendo conexões com diversas áreas da Matemática, levando-os a refletir
sobre as ações e implicações.
Segundo Mestre e Oliveira (2011), a Generalização pode ser expressa de diversas
formas. Inicialmente, as crianças podem expressar as generalizações que observam no mundo
com palavras e, gradualmente, usar formas mais simbólicas. Segundo Ellis:
A generalização é uma atividade onde as pessoas dentro de um contexto
sociomatemático específico se envolvem em pelo menos uma das três ações seguintes:
a) identificam o que é comum entre os casos; b) estendem o raciocínio para além do
caso original; c) derivam resultados mais amplos a partir dos casos particulares. Neste
sentido, a generalização surge de uma representação coletiva que tem raiz na
comunidade, ocorrendo através de experiências mediadas pela interação, linguagem e
outras ferramentas próprias (ELLIS, 2011 apud MESTRE e OLIVEIRA 2011, p. 117).
Numa Generalização matemática, uma propriedade ou técnica é válida para um conjunto
de objetos matemáticos e uma das formas de desenvolvê-la é sensibilizar para a distinção entre
olhar para e olhar através, conjugando-se esta última com a capacidade de ver a Generalização
a partir do particular. Ademais, ela é um processo que envolve reflexão e discussão, onde os
alunos têm a oportunidade de exercitar a busca pelo padrão que gera as soluções aritméticas
dos problemas matemáticos em que estão envolvidos. Partindo dessa premissa consideramos a
Generalização como aspecto central do Pensamento Algébrico, pois, segundo Puti:
O pensamento algébrico apresenta algumas características, como a de ser capaz de
perceber padrões e aspectos variantes, saber expressar a estrutura de uma situação-
problema; e saber fazer generalizações. Com estas características, o aluno é capaz de
fazer relações entre objetos, representando-os e raciocinando sobre suas
generalizações (PUTTI, 2011, p. 63).
Problemas que despertam nos alunos a busca pelo padrão geral é um caminho para a
compreensão da utilização da variável e consequentemente da procura da Generalização e da
construção de expressões algébricas. É possível propiciar esses momentos desde os anos
iniciais quando os alunos por meio de observações reconhecem a ordem e organizam as ideias
em relação a uma sequência, um agrupamento... isso, segundo Fujii (2003), citado por Mestre
e Oliveira (2011), aumenta a potencialidade dos alunos em começarem a compreender o
sentido da quase-variável mesmo que não usem símbolos para representá-las, ou seja, por meio
das observações dos padrões que envolvem operações aritméticas chega-se a generalizações.
Branco (2013), fala sobre a importância do professor na promoção de ambientes de
aprendizagem que forneçam mecanismos para o desenvolvimento do Pensamento Algébrico
dos alunos. Sendo essencial promover situações de aprendizagem que visem esse
desenvolvimento.
Vale ressaltar que, nesse trabalho tivemos a oportunidade de ofertar esses momentos em
sala de aula, e pudemos previamente analisar que todos eles, durante a plenária, fizeram com
que os alunos desenvolvessem a ideia de variável e seu sentido levando-os a generalizarem as
expressões.
Na medida em que todas essas instâncias se basearam na Generalização, pode-se
argumentar, sem dúvida, que as sequências generalizáveis são um motor e um aspecto integral
do desenvolvimento do Pensamento Algébrico e que a Generalização tem o poder de aumentar
o pensamento dos alunos em números específicos, operações específicas e abordagens
específicas de Resolução de Problemas para um nível mais alto que prefira variáveis, equações
algébricas e métodos de resolução geral. Para o aluno mais jovem ainda não introduzido na
notação algébrica, essas formas mais gerais de pensar em números, operações, notações tais
como o sinal de igualdade e métodos de resolução de problemas podem ser consideradas
algébricas. Assim, Lew (2004, p. 93, apud Branco, 2013) observou que a "A Álgebra é muito
mais do que um conjunto de fatos e técnicas; é uma maneira de pensar " e, portanto, o
Pensamento Algébrico não precisa necessariamente incluir "fatos e técnicas".
METODOLOGIA DE INVESTIGAÇÃO
A investigação apresentada nesta comunicação seguiu uma metodologia de caráter
qualitativo de cunho descritivo e analítico, conforme Bogdan e Biklen (1991), uma vez que na
descrição dos resultados da pesquisa buscou-se pela produção escrita dos alunos, notas de
campo, imagens e vídeos a fim de atender ao objetivo de mostrar como o Pensamento Algébrico
e a Generalização emergem e se desenvolvem em sala de aula no contexto de uma prática de
ensino-aprendizagem através da Metodologia de Resolução de Problemas em uma turma de 7º
ano do Ensino Fundamental II. O estudo ocorreu no primeiro semestre do ano letivo de 2018
em uma turma composta por treze alunos, sendo cinco meninas e oito meninos com faixa etária
média de doze anos. A professora, primeira autora deste trabalho, assumiu o papel de
pesquisadora, daí a nomenclatura professora-pesquisadora.
Foram várias problemas trabalhados ao longo do primeiro semestre em busca do
objetivo proposto acima, no entanto, para esta comunicação selecionamos um problema que
julgamos ter respeitado a potencialidade da turma, levando em consideração a necessidade do
favorecimento da construção do Pensamento Algébrico. Tal problema ocorreu durante a aula
regular de Matemática, tendo duração de duas hora/aula para a aplicação e socialização foi
extraído de Menezes, Canavarro e Oliveira (2013), adaptados de acordo com a proposta didática
já referenciada, neste caso, a Resolução de Problemas, respeitando o programa de ensino. Os
alunos, sujeitos da pesquisa, foram identificados por pseudônimos a fim de manter suas
identidades preservadas.
Para a aplicação do problema, obedecemos os passos estabelecidos por Onuchic (2014),
conforme a abordagem didática da Metodologia de Ensino-Aprendizagem-Avaliação de
Matemática através da Resolução de Problemas, buscando sempre observar o desempenho dos
alunos durante a realização da atividade; contribuir para o desenvolvimento do Pensamento
Algébrico, promovendo construção de conhecimento e gosto pelo fazer matemático;
oportunizando a construção de conexões entre Aritmética e Álgebra para assim estabelecer
significado aos símbolos e analisar como a Generalização se desenvolve em sala de aula, dando
significado e compreensão ao ensino-aprendizagem da Álgebra no contexto de uma prática
através da Resolução de Problemas.
Ao trabalhar em sala de aula com a Metodologia de Ensino-Aprendizagem-Avaliação
de Matemática através da Resolução de Problemas, partimos do problema, pois ele é que gerará
o conceito ou conteúdo matemático que se quer estudar, tendo os alunos como co-construtor do
novo conhecimento (NUNES, 2015). No problema abaixo o que se pretendia era explorar o uso
da variável para representar os valores desconhecidos e consequentemente promover o
desenvolvimento de uma equação do 1º grau na transposição da linguagem natural para a
linguagem simbólica.
Figura 1 – Enunciado do problema: Eleição para líder de turma.
Fonte: MENEZES, CANAVARRO & OLIVEIRA (2013)
O problema não apresentava um modelo ou sequência para ser seguido, deixando assim
livre para que os alunos pudessem estabelecer suas próprias estratégias e explicar seu
raciocínio. Acreditamos em uma exploração coletiva muito rica pois, o problema pode ser
desenvolvido por tentativa e erro, pela construção de uma tabela e também pelo método
algébrico. Desse modo, o confronto das várias estratégias que poderiam surgir, iriam favorecer
a formalização dos conceitos estudados durante as aulas e mostrar a eficácia do uso da resolução
algébrica.
Seguindo o roteiro estabelecido pela Metodologia de Ensino-aprendizagem-avalição de
Matemática através da Resolução de Problemas, começamos organizando a sala em grupos e
pedindo para que os alunos fizessem a leitura individual do problema para logo começarem a
discutir com o grupo quais as estratégias que deveriam seguir.
O primeiro grupo apresentou uma estratégia por tentativa mas não se atentaram para o
que dizia o enunciado em relação a quantidade de votos de Lucas e Francisco. Então foi
necessário a intervenção da professora-pesquisadora.
Problema Proposto: Eleição para o líder de turma.
A diretora de turma que coordenou o processo de eleição do líder de turma,
informou no final que:
1. Os 30 alunos da turma votaram e não houve votos brancos ou nulos;
2. Apenas três alunos receberam votos: a Francisca, o Lucas e a Sandra;
3. O Lucas recebeu menos dois votos que a Francisca;
4. A Sandra recebeu o dobro dos votos que recebeu o Lucas.
Quem ganhou as eleições? Com quantos votos?
Não te esqueças de apresentar e explicar o teu processo de resolução.
Figura 2 – Primeira solução apresentada pelo grupo A
Fonte: Produção dos alunos
PROFESSORA-PESQUISADORA: Meninos lá no enunciado diz que Lucas recebeu
quantos votos?
GRUPO A: Diz que Lucas recebeu menos dois votos que a Francisca (leram o
enunciado).
PROFESSORA-PESQUISADORA: Na solução de vocês, Lucas recebeu oito votos e
Francisca seis. Então essa solução obedece as informações do enunciado?
GRUPO A: Não, Lucas recebe dois votos a mais que Francisca.
PROFESSORA-PESQUISADORA: Desse modo o valor que vocês pensaram não
satisfaz as informações dadas, é preciso pensar em uma outra que atenda todas as
informações e não apenas uma só delas.
GRUPO A: Vamos pensar novamente.
Figura 3 – Solução modificada apresentada pelo grupo A
Fonte: Produção dos alunos
O grupo repensou a quantidade de votos que cada um dos candidatos haviam recebido
mas dessa vez tiveram mais atenção para atender todas as informações que o enunciado trazia.
Eles continuaram trabalhando com a tentativa e erro e não pensaram em usar uma variável para
apresentar a quantidade desconhecida de votos.
Observando o grupo B, já podemos notar que eles também usaram a tentativa e erro,
mas fizeram o registro na linguagem natural e na linguagem simbólica para representar as
quantidades de votos de cada candidato, porém não chegaram a um modelo genérico que
relacionasse as quantidades de votos dos três candidatos juntos.
Figura 4 – Solução apresentada pelo grupo B
Fonte: Produção dos alunos
PROFESSORA-PESQUISADORA: Vocês fizeram três registros diferentes para
representar a solução do problema, mas fiquei curiosa com a parte em que usaram a
variável para representar os votos. Vocês conseguem explicar no que pensaram?
ALUNO MÁRIO: Nós primeiro fizemos por tentativa mesmo, mas a primeira vez não
deu certo porque Lucas ficava com dois a mais que Francisca e isso não podia. Então
fizemos novamente e deu certo, aí decidimos escrever a explicação para mostrar como
pensamos. A parte do símbolo foi feita seguindo o que estava escrito no problema mas
não usamos, só foi feito mesmo para registrar o número desconhecido. Foi bom que
deu para entender que primeiro precisamos pensar no número de votos de Francisca
para depois descobrir o dos outros candidatos por que senão, não daria certo.
É possível notar que nos dois primeiros casos, os grupos A e B usavam a divisão por
três por se tratar de três candidatos, a partir daí iam pensando em números próximo ao dez (que
é o resultado da divisão de trinta votos por três candidatos) que satisfizessem as condições do
enunciado. Os grupos C e D também pensaram na mesma forma de solução, no entanto, eles
foram além e conseguiram generalizar e montar uma relação matemática fazendo uso dos
símbolos (variável) para relacionar os votos de cada candidato e o total de votos. Ver figuras 5
e 6.
Figura 5 – Solução apresentada pelo grupo C
Fonte: Produção dos alunos
Figura 6 – Solução apresentada pelo grupo D
Fonte: Produção dos alunos
Nesses dois casos observamos que os alunos já foram capazes de entender o sentido da
variável e conseguiram desenvolver as expressões algébricas. Apesar de ainda recorrerem a
tentativa e erro, pois estes ainda não haviam estudado equações do 1º grau. Aqui, foi possível
observar que eles se aproximavam da definição da generalização distante, definida por Mestre
e Oliveira (2011), pois construíram um modelo partindo das regras do problema, fazendo uso
das noções de abstração e generalização para sua resolução, mesmo sem terem tido contato
prévio com a solução de equações do 1º grau.
PROFESSORA-PESQUISADORA: Meninos vocês gostariam de explicar o que
fizeram (grupo C)?
ALUNO LEONARDO: Nós primeiro dividimos por três que é o número de candidatos
e depois resolvemos tentar quais números chegavam mais perto.
PROFESSORA-PESQUISADORA: Mas tinha alguma regra para escolher esses
números.
ALUNA MILENA: Tinha tia, tinha que lembrar o que o problema falava, porque lá
não dizia quantos votos cada um tinha mas falava umas regras.
PROFESSORA-PESQUISADORA: Sim, é muito importante lembrar das informações
do enunciado. Além disso percebi que vocês fizeram uma expressão para representar a
quantidade de votos.
ALUNO LEONARDO: Como das outras vezes nós usamos um símbolo para
representar o número que a gente precisava descobrir então fizemos a mesma coisa.
PROFESSORA-PESQUISADORA: E porque vocês igualaram a expressão ao número
trinta.
ALUNO LEONARDO: O total de votos era trinta, quando somar os votos de Lucas,
Francisca e Sandra então tem que ser trinta.
PROFESSORA-PESQUISADORA: E o grupo D pode nos dizer de que maneira
pensastes?
ALUNO JOÃO: Nós pensamos bem parecido ao grupo C, fizemos a tentativa e depois
usamos a letra x para representar o que era desconhecido. Como achamos que
Francisca tinha nove votos ai nós trocamos a letra x por nove e verificamos se no final
o resultado era trinta e deu certo.
Como estabelecido previamente, o objetivo central do problema, era levar os alunos a
formularem expressões algébricas que atendessem todos as restrições do problema e
posteriormente relacionar essas expressões formulando uma equação do 1º grau. Ou seja, no
momento da formalização a professora-pesquisadora trabalhou a resolução da equação
encontrada pelos alunos dos grupos C e D mostrando que o processo é mais rápido e eficiente.
Para validar as vantagens do uso da equação do 1º grau foram apresentadas outras equações
com valores maiores e, assim os alunos puderam perceber que a resolução por tentativa e erro
nem sempre é eficiente podendo ser um processo longo e complexo.
Nessas circunstâncias, comprovou-se as vantagens do trabalho com a resolução da
equação do 1º grau e para fixação das ideias e conceitos discutidos. O trabalho, como forma de
estudo e fixação das ideias sobre equação do 1º grau, foi estendido, deixando outros problemas
para que os alunos resolvessem e apropriassem com segurança dos conhecimentos adquiridos.
Para Onuchic (2014) é importante ressaltar o papel do professor neste momento, ele
precisa estabelecer conexões com as aprendizagens que foram adquiridas anteriormente,
valorizar todas as estratégias usadas, organizar e estruturar os conceitos construídos através da
resolução do problema e por fim ensinar os alunos a resolverem a equação do 1º grau.
REFLEXÕES FINAIS
O que se pode evidenciar deste trabalho, a promoção do Pensamento Algébrico que
favoreceu o desenvolvimento da Generalização e, o papel da professora-pesquisadora foi
crucial nessa dinâmica ao promover o ambiente de Resolução de Problemas, encorajando e
levando seus alunos a reformularem suas justificações, por meio de questionamentos
específicos. Vale ainda destacar que essa interação com os alunos, sempre transmitindo
segurança e incentivo, fez com que eles se entusiasmassem e não desistissem do processo pela
busca da solução, validando o sucesso do trabalho.
Desse modo, espera-se que a experiência apresentada possa estimular os professores a
aturem de forma reflexiva, lembrando que a promoção de um ambiente favorável para a
construção do Pensamento Algébrico é capaz de fazer com que os alunos generalizem as
expressões em linguagem natural e aprendam a Álgebra de forma prazerosa por meio das
relações estabelecidas na Aritmética. Segundo Onuchic (1999, p. 211) “nenhuma intervenção
no processo de aprendizagem pode fazer mais diferença do que um professor bem formado,
inteligente e hábil”.
A legitimidade da proposta apresentada é fundamentada através dos seus resultados, que
evidenciaram os benefícios da utilização da Metodologia de Ensino-Aprendizagem-Avaliação
de Matemática através da Resolução de Problemas em sala de aula tendo em vista a promoção
do raciocínio matemático, em especial do Pensamento Algébrico e da Generalização.
REFERÊNCIAS
BIGODE, A. J. L.; GIMENEZ, J. Metodologia para o ensino da Aritmética: competência
numérica no cotidiano. São Paulo: FTD, 2009.
BOGDAN, R.; BIKLEN, S. Investigação qualitativa em educação. Porto: Porto Editora,
1991.
BRANCO, N.V. O desenvolvimento do pensamento algébrico na formação inicial de
professores nos primeiros anos. 2013. 530 f. Tese (Doutorado em Educação) - Universidade
de Lisboa, Instituto de Educação, Lisboa, Portugal, 2013.
MENEZES, L.; CANAVARRO, A. P.; OLIVEIRA, H. Contextualizando o ensino exploratório
da Matemática: Contributos da prática de uma professora do 3.º ciclo para a elaboração de um
quadro de referência. Quadrante, v. 22, n. 2, 2013.
MESTRE, C.; OLIVEIRA, H. O pensamento algébrico e a capacidade de generalização de
alunos do 3.º ano de escolaridade do ensino básico. In: GUIMARÃES, C.; REIS, P. Professores
e Infâncias: Estudos e experiências. São Paulo: Junqueira & Marin Editores, 2011, p. 201-
223.
NUNES, C. B. A metodologia de ensino-aprendizagem de Matemática através da
Resolução de Problemas: perspectiva à formação docente no contexto da sala de aula. In:
REIS, M. J. E. Et all (orgs). Educação e Desenvolvimento: diferentes olhares. Campins, S.P.:
Pontes Editora, Coleção Formação e Práxis Docente - vol 2, 2015, p. 61-79.
ONUCHIC, L. R. Ensino-Aprendizagem de Matemática através da Resolução de Problemas.
In BICUDO, M.A.V. (org.). Pesquisa em Educação Matemática: Concepções &
Perspectivas. São Paulo: Editora da Unesp, 1999, p. 199-220.
ONUCHIC, L. R. et al. (Orgs.) Resolução de problemas: teoria e prática. Jundiaí: Paco
Editorial, 2014.
PONTE, J. P.; BRANCO, N.; MATOS, A. Álgebra no ensino básico. Lisboa: DGIDC, 2009.
PUTI, T. C.; A produção de significados durante o processo de ensino-aprendizagem:
avaliação de equações polinomiais. 2011. 245 f. Dissertação (Mestrado em Educação
Matemática) – Universidade Estadual Paulista, Instituto de Geociências e Ciências Exatas,
2011.
RIBEIRO, A. J.; CURY, H. N. Álgebra para a formação do professor: explorando os
conceitos de equação e de função. Belo Horizonte: Autêntica Editora, 2015.
VALE, I. et al. Padrões no ensino aprendizagem da matemática - propostas curriculares
para o ensino básico. Viana do Castelo: Escola Superior de Educação do Instituto Politécnico
de Viana do Castelo – Projeto Padrões, 2009.