MÓDULO DE UM NÚMERO COMPLEXOSeja P o afixo do número complexo z = a + bi. Denomina-se módulo de z a distância de P à origem (0, 0). O módulo de z será indicado por |z| ou pela letra grega (rho). Graficamente, temos:

Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo, vem:

Portanto o módulo do número complexo z é dado por:

ARGUMENTO DE UM NÚMERO COMPLEXOSeja P o afixo do número complexo z = a + bi, representado no plano:

Denomina-se argumento de z a medida do ângulo θ, formado pelo segmento OP e pelo eixo x, medido em radianos no sentido anti-horário, com

. Então, temos:

Que Indicamos por arg(z)=θ

Lembre-se:

Conhecendo e , determinamos um único

valor de θ no intervalo de .

FORMA TRIGONOMÉTRICA OU POLAR DE UM NÚMERO COMPLEXOAo determinar o argumento θ podemos escrever:

e substituir no complexo.

Logo podemos escrever como

ou sua forma trigonométrica:

EXERCÍCIOS1-(UFC) Seja z o número complexo que é raiz da

equação iz +

1−3 i1+ i = 4i. Então |z| é igual a:

a) 2√11

b)3√6 c) 8

d)√37e) 2√212-(UEL) O número real positivo k que torna o módulo do

número complexo z=

k−i3+i igual a

√55 é

a) 1 b) 2

FORMA TRIGONOMÉTRICADOS COMPLEXOS

US

T C

c) 3 d) 4e) 53-(ANGLO) Considere os números complexos z = x + yi,

x R, y R, tais que . A parte real desses números são iguais a :a)-1b) 0c) 1/2d) 1e) 3/2

4-(UFRS) Se z = √3 + i e w= 3 + √3 i, então z.w tem módulo e argumento, respectivamente, iguais a

a) 2√3 e 30°

b) 3√2 e 30°

c) 3√2 e 60°

d) 4√3 e 30°

e) 4√3 e 60°

5-(VUNESP) Considere o número complexo u=(√3 /2) + (1/2)i. Encontre o número complexo v cujo módulo é igual a 2 e cujo argumento principal é o triplo do argumento principal de u.

6-(MACK) Se k é um número real e o argumento de z = k+2 i3−2 i é /4, então |z| pertence ao intervalo:a) [0,1]b) [1,2]c) [2,3]d) [3,4]e) [4,5]

7-(GV) Seja o número complexo z=(x-2i)², no qual x é um número real. Se o argumento principal de z é 90°, então 1/z é igual aa) -i/8b) -8ic) 4id) -1 + 4ie) 4 - i

8-(UEL) Seja z um número complexo de módulo 2 e argumento principal 120°. O conjugado de z é

a) 2 - 2i√3b) 2 + 2i√3c) -1 - i√3d) -1 + i√3e) 1 + i√39-(UNIRIO) Considere um número complexo z, tal que o seu módulo é 10, e a soma dele com o seu conjugado é 16. Sabendo que o afixo de z pertence ao 4 quadrante, pode-se afirmar que z é igual a:a) 6 + 8ib) 8 + 6ic) 10

d) 8 - 6ie) 6 - 8i

10-(PUCCAMP) Seja o número complexo z=4i/(1+i). A forma trigonométrica de z é

a) 2√2 (cos /4 + i . sen /4)

b) 2√2 (cos 7/4 + i . sen 7/4)c) 4 (cos /4 + i . sen /4)

d) √2 (cos 3/4 + i . sen 3/4)

e) √2 (cos 7/4 + i . sen 7/4)

11-(ITA) O número complexo

, tem

argumento . Neste caso é igual a :a) /6b) /3c) /4d) /5e) /9

12-(UFRJ) Sendo a = 2 + 4i e b = 1-3i, o valor de |ab| é :

a) √3b)√2c) √5d) 2√2

e) 1 + √2

13-(PUCPEL-RS) Sendo z o número complexo onde z

= 2√2(cos 7π4 +isen 7 π

4 ), o conjugado de sua

forma trigonométrica será :a) 2 + 2ib) -2 – 2i c) 1-id) 2-ie) 2 – 2i

14-(UNIMAR-SP) O módulo do número complexo

(1+i )4 é :a) 1b) 2c) 4d) 8e) 16

GABARITO01)D 02)E 03)C 04)E 05)v = 2i 06)C 07)A 08)C 09)D 10)A 11)A 12)B 13)A 14)C