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Microeconomia I Prof. Maurício V. L. Bittencourt PPGDE/UFPR

1

UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ SETOR DE CIÊNCIAS SOCIAIS APLICADAS

PÓS-GRADUAÇÃO EM DESENVOLVIMENTO ECONÔMICO

DISCIPLINA DE MICROECONOMIA I Prof. Maurício Vaz Lobo Bittencourt Parte 1: Teoria da Produção 1.1 – Conjunto de Produção Considere uma economia com L commodities. Um vetor de produção (ou netput ou plano de produção) é um vetor ( )Lyyy ,...,1= ∈ Lℜ . Este vetor descreve os níveis de produção dos L produtos oriundos de um processo produtivo. Produtos → (+) Insumos → ( )

Exemplo: L = 5 ∴ y = (-5, 2, -6, 3, 0) Para estudar o comportamento da firma, é necessário identificar aqueles vetores de produção que são tecnologicamente possíveis ou viáveis. O conjunto de todos os vetores de produção que constituem planos viáveis para a firma é chamado de conjunto de produção (Y), onde: Y ⊂ Lℜ

Se y ∈ Y , y é viável

Se y ∉ Y , y é inviável ou

Tecnologia

Restrições legais ou contratos

Processo Produtivo

Relação Insumo- -produto

Planos de produção

Conjunto de

produção → → →


2

Y

y1 ( ){ }oyFyY L ≤ℜ∈= :

{ }0)(: =ℜ∈ yFy L

( )−

( )yF∇

2ℜ∈Y

y2

Pode-se descrever um conjunto produtivo (Y) como uma função F(.), chamada de função de transformação, cuja a propriedade é a de: Y = {y ∈ Lℜ : F(y) ≤ 0} e F(y) = 0 sse y está na fronteira de transformação de Y. Fronteira de Transformação → Conjunto de todos os pontos na fronteira de Y, ou seja, {y ∈ Lℜ : F(y) = 0}

Conjunto de Produção e Fronteira de Produção

Se F(.) é diferenciável, e sey satisfaz ( )yF = 0, temos que para os produtos l e k, que:

MRTlk( y ) =

( )( )

k

l

yyF

yyF

∂∂

∂∂


3

Assim, temos que esta expressão define a Taxa Marginal de Transformação (MRT) do

bem l para o bem k em y .

Sabe-se que na fronteira, se ( )yF = 0, temos:

( )2

2

dyy

yF

∂∂

+ ( )

11

dyy

yF

∂∂

= ( )ydF = 0

ou seja, a inclinação da fronteira de produção no ponto y é dada por: Exemplo: Função Cobb-Douglas f( 1z , 2z ) = α

1z . β2z

Tecnologias com diferentes insumos e produtos Considere ( ) 0,...,1 ≥= Mqqq

( ) 0,...,1 ≥= −MLzzz q → níveis de produto dos M produtos da firma z → níveis de produto dos L-M insumos utilizados

- MRT12( y ) = ( )( )

2

1

yyF

yyF

∂∂

∂∂

= - 1

2

dy

dy

( )zMRT12 = 1

2

z

z

βα


4

No caso de produção de um único produto tem-se q = f(z), que é uma função e produção, a qual representa a quantidade máxima de produto obtida do conjunto de insumos

( )11,..., −= Lzzz ≥ 0. Por exemplo: suponha que L é o único produto final, e f(.) é responsável pelo conjunto de produção:

=Y { ( ) ( ) 0:,,...,, 121 ≤−−−− − zfqqzzz L e ( ) 0,...,, 121 ≥−Lzzz } Mantendo o nível de produção fixo, podemos definir a taxa marginal de substituição

técnica (MRTS) do insumo l pelo insumo k em z , como:

( )zMRTSlk mede a quantidade adicional do insumo k que deve ser usado para manter a

quantidade produzida constante em ( )zfq = quando o insumo l é reduzido marginalmente. Propriedades dos conjuntos produtivos: 1 - Y não é um conjunto vazio;

2- Y é um conjunto fechado, ou seja, inclui a sua fronteira; 3- Não há “free lunch”, ou seja, não é possivel produzir algo do nada; 4- Existe a possibilidade de nada produzir (0 ∈ Y); esta propriedade depende do tempo de organização da firma. Se decisões já foram feitas, há possibilidade de parar a produção com custos (sunk costs); 5- Existe a possibilidade de descarte (“free disposal”); sempre ocorre quando há possibilidade de absorver qualquer quantidade adicional de insumos sem reduzir a quantidade de produto final. A quantidade extra de insumos (ou produtos) pode ser eliminada sem custos;

( )zMRTSlk =

( )( )

k

l

zzF

zzF

∂∂

∂∂


5

y1

y

αy

α = [0, 1]

Y

y2

y1

y αy

α ≥1

Y

y2

6 - Irreversibilidade ( insumo → produto e não produto → insumo) 7 – Retornos de escala não-crescentes; ocorre se para qualquer y ∈ Y tem-se αy ∈ Y ∀ escalares α∈[0,1], ou seja, qualquer vetor insumo-produto viável pode ser reduzido.

8- Retornos de escala não-decrescentes; ocorre se para qualquer y ∈ Y tem-se αy ∈ Y ∀ escalares α ≥ 1, ou seja, unidades de y2 podem ser obtidas a um custo constante do insumo y1, exceto pelo custo fixo inicial.


6

y1

αy

α ≥ 0

Y

y2

9- Retornos de escala constantes; y ∈ Y ⇒ αy ∈ Y ∀ escalares α ≥ 0 ⇒ Y é um cone.

Exemplo: Função Cobb-Douglas

( )21, zzf = ( )21 2,2 zzf = ( )[ ]21,2 zzf = [ ]βα212 zz = ( )( )βα

21 22 zz = βαβα212 zz+ =

= ( )21,2 zzfβα + Se 1=+ βα → Retornos constantes de escala Se 1>+ βα → Retornos crescentes de escala Se 1<+ βα → Retornos decrescentes de escala 10- Livre entrada ou aditividade; Suponha que y ∈ Y e y’ ∈ Y, então: (y + y’) ∈ Y ou (y + y’) ∈ Y ou Y + Y ⊂ Y ⇒ ky ∈ Y


7

y1

y

αy + (1- α)y’

Y

y1

y

Y

y2

y2

11- Convexidade; O conjunto de produção Y é convexo, ou seja, se y, y’∈ Y e α∈[0, 1], então [αy + (1- α)y’] ∈ Y, ∀ y, y’ ∈ Y

CONVEXO

NÃO É CONVEXO

OBS: 0 ∈ Y → convexidade (condição necessária, mas não suficiente). Se a possibilidade de produção nula existe, convexidade implica que Y tem retornos de escala não-crescentes. Para cada α∈[0,1], pode-se escrever αy = αy + (1-α)0. Então se y ∈ Y e


8

0 ∈ Y, convexidade ⇒ αy ∈ Y. Outra interpretação é a de que convexidade traz a idéia de desequilíbrio na combinação de insumos que não são mais produtivos que combinações equilibradas. 12- Y é um cone convexo (11+9 ⇒ 12) Y é um cone convexo se para cada vetor produtivo y, y’ ∈ Y e constantes α ≥ 0 e β ≥ 0, temos: (α y + β y’) ∈ Y.

Análise de Atividade Linear

Suponha que tenhamos 2 insumos (z1, z2) = z ≥ 0 e 1 produto final y ≥ 0. A atividade (elementar) básica é representada por:

y

z

z

2

1

ou

12

1

z

z

Os vetores de insumos básicos são:

=

12

111

a

aav

e

=

22

212

a

aav

Assim, temos:

y2

y1

( )( )'1 yy αα −+


9

≡

11

12

111

a

aav

e

≡

11

22

212

a

aav

Tem-se, então, algumas propriedades, tais como: 1) Replicabilidade:

=

=

+

12

2

2

11

zzzz, tal que:

=

k

kzzk

1, onde k = número inteiro não-negativo

z1

a1

2a1

z2

z1

a22

a21

a11

a12

a2

a1

Espaço Insumo

z2


10

2) Aditividade (livre entrada):

++

=

+

'

'

'

'

yy

zz

y

z

y

z, onde y e y’∈ Y e são independentes.

3) Divisibilidade:

=

ty

tz

y

zt , onde 0 ≤ t ≤ 1

Adicionalmente, temos:

z1

tz

z

z2

z1

2a2

a1

2a1

a2

a1+a2

Cone convexo

z2 2a1+2a2


11

Onde:

++

≥≥

kt

kata

k

t 21

:.0

0

Assim, temos que se t + k = 1: V(1) = { z : (z,1) é viável} = {z : z = ta1+ka2, t ≥ 0, k ≥ 0, t + k =1} = { z : z é uma combinação convexa de a1 e a2} V(2) = { z : (z,2) é viável} = {z : z = ta1+ka2, t ≥ 0, k ≥ 0, t + k =2} = { z : z é uma combinação convexa de 2a1 e 2a2} . . . . . . . . . V(y) = { z : (z,y) é viável} = {z : z = ta1+ka2, t ≥ 0, k ≥ 0, t + k =y} = { z : z é uma combinação convexa de ya1 e ya2}

Conjunto de Requerimento de Insumos

z1

ka2

a1

ta1

a2

V(2)=2V(1)

z2

z=ta1+ka2

onde t,k ≥ 0 e t+k =1 V(1)

z1

ka2

a1

ta1

a2

z2

z = ta1+ka2


12

⇒ Conjunto de requerimento de insumos = caso especial de um conjunto de possibilidades de produção:

V(y) = {z∈ℜL : (-z,y) está em Y} Este é um conjunto de todas as combinações de insumos que produzem ao menos y unidades de produto. ⇒ Isoquanta:

Q(y) = {z∈ℜL : z∈V(y) ∧ z∉V(y’) para y’ > y} ⇒ Função de produção (para um único produto) = máxima produção escalar como função dos insumos:

f(z) = {y∈ℜ : max y com -z∈Y} ⇒ Função de transformação = versão L-dimensional de f(z), a qual é uma função de produção implícita que contém os máximos vetores de produção líquida:

F(z,y) = 0 se somente se y é eficiente

Exemplo: Cobb-Douglas para 0 < α < 1:

Y = {(-z1,-z2, y)∈ℜ3 : αα −≤ 121 zzy }

V(y) = {(z1, z2) ∈ℜ2 : αα −≤ 121 zzy }

Q(y) = {(z1,z2)∈ℜ2 : αα −= 121 zzy }

F(z,y) = αα −− 121 zzy

f(z1,z2)= αα −121 zz

⇒ Análise de atividade Considere que:

Y = {(1,-1,-2), (1,-2,-1)} ou

V(y) = V(1) = {(1,2), (2,1)} ou

V(y) = {(y,2y), (2y,y)}, ou seja,

para produzir y unidade de produto, poderíamos usar y vezes cada insumos para y = 1,2, ..., L. Alternativamente temos: V(y) = {(yA+ 2yB ; 2yA + yB) : y = yA+ yB} Assim: V(2) = {(2,4),(4,2),(3,3)}


13

Devido à propriedade de “free disposal”, tem-se que:

Se z∈V(y) e z’≥ z, então z’∈ V(y) (monotonicidade) Assim, temos:

Isto é equivalente no contexto de conjunto produtivo a assumir que: se y ∈ Y e y’ ≤ y ⇒ y’ ∈ Y, ou seja, se y é viável, y’ também o é. De acordo com a propriedade 10) livre entrada ou aditividade, tem-se a pressuposição 11) convexidade. No caso dos conjuntos de requerimentos de insumos V(y), temos: se z' e z ∈ V(Y), então tz + (1-t)z’ ∈ V(y) ∀ 0 ≤ t ≤ 1, ou seja, V(y) é um conjunto convexo.

Um conjunto de produção (Y) é convexo ⇒ V(y) convexo

Prova: Se Y é convexo, para qualquer z e z’ tal que (-z,y) e (-z’,y) ∈ Y, deve-se ter:

[ty + (1-t)y, -tz - (1-t)z’] ∈ Y. Isto requer que [y, -(tz + (1-t)z’)] ∈ Y. Mas se z e z’ ∈ V(y), tz + (1-t)z’ ∈ V(y), o que comprova a convexidade de V(y).

z1

z2

V(y)

z1

técnica B

V(1)=V(y)

1

1

2

2

3

3

4

4

técnica A

z2


14

⇒ Definição geométrica de combinação convexa:

Tem-se que: t(z – z’) + z’ = tz – tz’ + z’ = tz + (1-t)z’, resultando em: {tz + (1-t)z’ : t∈ℜ} Mas a figura acima mostra que t(z - z’) + z’ está no intervalo z, z’ se e somente se 0 ≤ t ≤ 1. Assim, o segmento zz’ é dado por {tz + (1-t)z’ ∃ t : 0 ≤ t ≤ 1}. 1.2 – Problema da maximização de lucro (PML) e problema da minimização de

custo (PMC) Tem-se um vetor de preços para os L produtos 0),...,,( 21 >>= Lpppp , os quais são independentes dos planos de produção (tomadores de preços, não existe nenhum tipo de concorrência imperfeita).

O problema da maximização de lucro (PML)

Dado o vetor preço 0>>p e o vetor de produção Yy∈ , Ly ℜ∈ , o lucro gerado pela firma é dado por:

onde o problema (PML) é dado por:

z1

z2

t(z-z’)+z’

z’

z

(z-z’)

t(z-z’)

t > 1

t < 0

0 < t < 1

ll

L

lyppy

1=∑=

-z’


15

Y y1

( )pypy π<⋅:

Inclinação = 2

1p

p−

( )( ) ( )[ ]pyFpF ∇=∇ π

( )pypy π=⋅: y*

y2

Max p.y Max p.y y y ⇒ Sujeito a y ∈ Y Sujeito a F(y) ≤ 0

Dado Y , a função lucro ( )pΠ associa a cada preço p a quantidade:

( ) { }YypyMAXp ∈=Π : como o valor de solução ao PML. Temos que o conjunto de

vetores que maximizam o lucro é dado por ( ) { })(: ppyYypy Π=∈= (linha de iso-lucro). Assim, ( )pΠ é o valor de lucro máximo no PML.

MAX py ou MAX py y sa y∈Y y sa F(y)≤ 0


16

As condições de primeira ordem (CPO), resultam em:

ou

Ou seja, o vetor de preços p e o gradiente F(y*) são proporcionais. Tem-se também que:

No caso de um produto final, temos a função de produção f(z), onde p>0 é o preço para o produto final e w>>0 o preço dos insumos. O vetor de insumos que maximiza lucro, dado por (p,w) é a solução para:

( ) zwzfpMAX

z⋅−⋅

≥0

Se z* é ótimo, as CPO para l=1, 2,...,L-1 são:

ou ou

e O produto marginal de cada insumo l deve igualar o seu preço em termos de produto final

pwl . Assim, tem-se:

( )l

l y

yFp

∂∂= *λ

l = 1, 2,…,L

λ=p F(y*)

0≥λ e ( )pyy ∈*

→λ multiplicador de Lagrange

*)(, yMRTp

pkl

k

l =

( )l

l

wz

zfp ≤

∂∂⋅ *

( )

ll

wz

zfp =

∂∂⋅ *

se zl*>0

p. f(z*) lw≤

z*.[p. f(z*) lw− ]=0

k

lkl w

wMRTS =,


17

Propriedades de Π(.) (função lucro) onde Y é fechado e temos “free disposal”:

(i) Π(.) é homogênea de grau (HDG) um; (ii) Π(.) é convexa; (iii) se Y é convexo, { }0)(: >>∀Π≤ℜ∈= pppyyy L ; (iv) y(.) é HDG zero; (v) se Y é convexo, y(p) é um conjunto convexo para ∀p; (vi) (lema de Hotelling) se y(p ) consiste de um único ponto, então Π(.) é

diferenciável em p e )()( pyp =Π∇ ;

(vii) se y(.) é diferenciável, em p , então Dy(p ) = D2Π( p ) é uma matriz simétrica semidefinida positiva com Dy(p ) p = 0;

(viii) teorema: ∆p. ∆y(p) ≥ 0 (lei da oferta): (p-p’).(y-y’) ≥ 0 ∀p,p’,y ∈ y(p) e y’∈y(p’) . : (p-p’).(y-y’) = (p.y – p.y’) + (p’.y’ – p’.y) ≥ 0

≥ porque y∈y(p) e y’∈y(p’)

Maximização de Lucro Multi-Produtos e Multi-Insumos Uma função de produção: F: ℜn+m → ℜ é definida por: F(z,y) ≤ 0 se e somente se (-z,y) ∈ Y Tem-se: z = vetor não-negativo de insumos ; y = vetor não-negativo de produtos Onde: z = zi = (z1, z2, . . . , zn) e y = (yj) = (y1, y2, . . . , ym) Assim : Y = {(-z,y) \ y é produto de z} (conjunto de produção) Sob a propriedade de “free disposal”, temos:

0<∂∂

iz

F e 0>

∂∂

jy

F

Tem-se que p.y é a receita e w.z é o custo, o que resulta no lucro dado por p.y – w.z, o que define a função lucro como:

Π(p,w) = Max{p.y-w.z \ F(z,y) ≤ 0}

ou


18

Π(p,w) = Max{p.y-w.z \ (-z,y) ∈ Y} Π (.) é convexa e linearmente homogênea em (p,w), não-decrescente em p, e não-crescente em w. Considerando que F(.) é diferenciável, λ ≥ 0 é o multiplicador de Lagrange em F(z,y) ≤ 0, tem-se:

L = (p.y – w.z) - λ[F(z,y)]

As condições de primeira ordem de Kuhn-Tucker são:

0≤∂∂−−

ii z

Fw λ F(z,y) ≤ 0

0=

∂∂+−

iii z

Fwz λ λF(z,y) = 0

0≤∂∂−

jj y

Fp λ 0=

∂∂−

jjj y

Fpy λ

Se zi > 0 e yj > 0, tem-se:

ii z

Fw

∂∂−= λ e

jj y

Fp

∂∂= λ

As seguintes propriedades são válidas:

1) Z* é um vetor de insumos minimizador de custo e w.z* = C(w,y*).

2) y* é um vetor de produção maximizador de receita e p.y* = R(p, z*) Se 0>iz e 0>jy ∴ i = 1, 2,...,n

j= 1, 2,...,m


19

Tem-se:

ou

Obtém-se também:

i

ji

jj

zF

yF

wy

Fp

∂∂

∂∂

⋅−=∂∂⋅= λ

( ) →= yCMgp jj p = custo marginal ⇒ Π - máximo (abordagem função custo marginal

na qual Π é definido como p.y – c(y).

O problema da minimização de custos (PMC) A quantidade de produto que minimiza lucro é tal que não existe como produzir esta quantidade a um custo menor. A minimização de custo é uma condição necessária para a maximização de lucro. Existem inúmeras vantagens em se trabalhar com a minimização de custos.

O caso de 1 produto: O PMC é o seguinte:

( ) qzfysazzwMIN

≥=⋅≥⋅

0

j

j

i

i

y

Fp

z

Fw

∂∂==

∂∂−

λ

j

ij

ii

yF

zF

pz

Fw

∂∂

∂∂

⋅−=∂∂−= λ

Prmg = produto receita marginal, ou seja,

( )zPRmgw ii =


20

O valor ótimo do PMC é dado pela função: Custo → ( )qwC , O conjunto ótimo de insumos é dado por ( )qwZ , e é chamado de demanda condicional de fatores, onde “condicional” se refere à demanda de fatores que está condicionada aos requerimentos de insumos do nível de produção q.

No caso de 2 insumos, o conjunto acima representa o conjunto de vetores de insumo z que produz, no mínimo, q. A solução ( )qwZ ,= , z*, está na linha iso-custo que intercepta o conjunto

( ){ }qzfZ L ≥ℜ∈ + : , o mais próximo da origem. Se z* é ótimo, e f(.) é diferenciável, então para algum 0≥λ , as C.P.O para cada insumo l= 1, 2, ..., L-1, implicam em:

( )( )qwZf ,∇

qZf =)(

( )qwCzwZ ,: >⋅

( )qwCzwZ ,: =⋅

( )qwZz ,* =

z2

z1

Inclinação = 2

1w

w−


21

Como no caso do PML, se Y é um conjunto convexo (f(.) é côncava), os resultados obtidos são condições necessárias e suficientes para z* ser ótimo no ponto PMC. Das equações anteriores, tem-se:

Pois, maximização de lucro implica que as escolhas de insumos são de custo mínimo para o nível de produção q. Em z*, a inclinação da isoquanta é exatamente igual à razão de preços – w1/w2. λ pode ser interpretado como o valor marginal de relaxar a restrição ( ) qzf ≥* . Assim,

Propriedades da função custo: suponha que C(w,q), e que Y é fechado e satisfaz a propriedade de “free disposal”, tem-se:

(i) C(.) é homogênea de grau (HDG) um em w e não-decrescente em q; (ii) C(.) é côncava; (iii) se os conjuntos {z ≥ 0 : f(z) ≥ q} são convexos para todo q,

então Y={(-z,q):w.z ≥ C(w,q) ∀ w >> 0}; (iv) z(.) é HDG zero em w;

( )l

l z

zfw

∂∂⋅−≥ *λ ou

( )l

l z

zfw

∂∂⋅−= *λ se 0* >lz

ou

( )*zfw ∇⋅−≥ λ e ( )[ ] 0** =⋅∇⋅+ zzfw λ

Igual ao obtido no PML

( ) =∂

∂=q

qwC ,λ custo marginal

klk

l MRTSw

w,=


22

(v) se o conjunto {z ≥ 0 : f(z) ≥ q} é convexo, então z(w,q) é convexo; se o conjunto {z ≥ 0 : f(z) ≥ q} é estritamente convexo, então z(w,q) é dado apenas por um valor;

(vi) (lema de Shepard) se z(w ,q) consiste de um único ponto, então C(.) é diferenciável com respeito à w e ),(),( qwzqwwC =∇ ;

(vii) se z(.) é diferenciável, em w , então Dwz(w ,q) = D2C(w ,q) é uma matriz simétrica semidefinida negativa com Dwz(w ,q) w = 0;

(viii) se f(.) é HDG “1” (CRS), então C(.) e z(.) são HDG “1” em q; (ix) se f(.) é côncava, C(.) é uma função convexa de q, ou seja, Cmg são não-

decrescentes em q. Através da função custo, a determinação do nível de produção que maximiza o lucro pode ser descrito como:

Max p.q – C(w,q) q ≥ 0 As C.P.O. para q* implicam em:

0*),( ≤

∂∂−

q

qwCp , com igualdade se q* > 0.

Preço iguala Cmg, ou seja, C.P.O. do PML e PMC são os mesmos, desde que p = λ. Notação:

( ) ( )ni zzzzz ,...,, 21== (n → insumos)

( ) ( )mj yyyyy ,...,, 21== (m → produtos)

Y = {(-z,y) \ y é produzido de z} Uma função implícita de produção é dada por: ( ) 0, ≤yzF sse ( ) Yyz ∈− , .

( )0

. <∂

∂

iz

F e

( )0

. >∂

∂

jy

F

O conjunto requerimento de insumos, V(y), é dado por:

( ) ( ){ }YyzzyV ∈−= ,:

ou


23

( ) ( ){ }0,: ≤= yzFzyV Os preços dos insumos são dados por:

( ) ( )ni wwwww ,...,, 21==

O PMC se torna:

zMIN

( ) Yyzsazw

∈−⋅,.

z

MIN( )yVzsazw

∈⋅

.

zMIN

( ) 0, ≤⋅⋅

yzFsazw

Se F(z,y) é diferenciável, temos:

( ) ( ){ }0,:, ≤⋅= yzFzwMINywC

Caso C(w,y) seja côncava, linear, homogênea e decrescente em w, tem-se:

( )[ ]yzFzwL ,λ+⋅=

0>∂∂

iz

L e 0=⋅

∂∂

ii

zz

L

ou

0=∂∂

iz

L se 0* >iz

Para cada zi, as condições de Kuhn-Tucker são:

( )0

, ≥∂

∂⋅+i

i z

yzFw λ

( )i

i z

Fw

∂∂⋅−= .λ se zi >0

( )i

i z

yzFw

∂∂⋅−≥ ,λ


24

( )0

, =⋅

∂∂⋅+ i

ii z

z

yzFw λ

Se 0=λ , z = 0, y = 0 Se 0>λ , F(z,y) = 0 na solução (exatamente na fronteira) A C.P.O. chave é a relação da qual se obtém:

ii z

Fw

∂∂− (.)λ somente se zi = 0.

Tem-se, então, que:

Desta expressão,

i

i

z

F

w

∂∂

pode ser interpretado como segue. No PMC, a firma decide a

quantidade de insumo a adquirir (∆zi). O custo incremental é dado por wi∆zi. Mas ∆zi tem

uma contribuição incremental de i

i

i z

z

F

w∆

∂∂

. Como

i

i

ii

ii

z

Fw

zz

F

zw

∂∂

=∆

∂∂

∆ ][, a razão

i

i

z

F

w

∂∂

pode ser

considerada como despesa marginal de um aumento do vetor de produção total pelo uso de zi. No caso de zi e zk serem usados, se:

i

i

z

F

w

∂∂

<

k

k

z

F

w

∂∂

⇒ é mais barato expandir a produção com uso de zi.

Para qualquer dois insumos l e k:

( ) ( ) ( )0

,,, =⋅

∂∂+⋅

∂∂= k

kl

l

dzz

yzFdz

z

yzFyzdF

Sendo dF = 0, dzl = 0 ∀ l ≠ i,k e dyj = 0 ∀ j = 1, 2, . . . , m.

( ) ( )k

l

i

i

z

yzFw

z

yzFw

∂∂

−==

∂∂

−,,

λ


25

Se ( ) ( )k

k

i

i

z

yzFw

z

yzFw

∂∂

=

∂∂ ,,

Ponto de ótimo

( )

( )k

i

l

k

z

yzFz

yzF

w

w

∂∂

∂∂

= ,

,

MRTSk,i

Generalizando:

( )

( )k

i

Fi

kik

z

Fz

F

dz

dzMRTS

∂∂∂

∂

−=−==

.

.

0

,

Implicitamente ao conceito de MRTS está o conjunto de requerimento de insumos, V(y), para um nível de produção y. A superfície isoquanta para y é a fronteira de V(y). Ao longo desta fronteira, a MRTS(k,i/z,y) mede a inclinação da curva isoquanta entre zi e zk, enquanto os outros insumos estão constantes.

V(y)

MRTSk,i

zk

zi

y

y


26

Custos Marginais Seja ( ) 0, =yzF , e considere mudanças apenas em zi e yi, tem-se:

( ) ( ) ( )0

,,, =⋅

∂∂+⋅

∂∂= j

ji

i

dyy

yzFdz

z

yzFyzdF

⇒

0=

−Fj

i

dy

dz→ incremento adicional em zi para gerar um incremento adicional em yj

Assim, 0=

⋅Fj

ii dy

dzw → custo marginal de aumentar yj usando somente zi

Note que:

( )

⋅

∂∂−=⋅

= j

i

i

Fj

ii dy

yzdF

zyzF

w

dy

dzw

),(,

0

Vem das CPO λ=

( ) ( )j

k

k

jj

i

i

dy

dF

zyzF

w

y

F

dy

dF

zyzF

w ⋅

∂∂−=

∂∂=⋅

∂∂−

,,λ

para qualquer zk, zi usado no mix de insumos que minimiza custos.

( )

( )0

0,

,

== ∂

∂∂

∂

=−

Fi

j

Fj

i

zyzF

yyzF

dy

dz


27

Ou seja:

O custo marginal de se produzir dyj é equalizado entre todos os insumos. Então, jy

F

∂∂λ

pode ser identificado como o custo marginal de se produzir yj. Considerando o Teorema do Envelope, esta conclusão pode ser facilmente obtida do PMC. Sendo y = (y1, ..., ym) um vetor paramétrico para o PMC, o Teorema do Envelope permite que:

jjj y

F

y

C

y

L

∂∂=

∂∂=

∂∂ λ , onde estas derivadas parciais são avaliadas em (y,w).

Por definição, jy

C

∂∂

é o custo marginal de se produzir yj, ou seja:

1.3 – Retornos de escala As C.P.O. do PMC nos permitem a obtenção da medida local de elasticidade de escala, definida por:

∂

∂

∂∂−

=∑

∑

jjj

i ii

yFy

zFz

zS )(

Onde o numerador é dado por λ

ii

i zw∑, pois

( )i

i

z

yzFw

∂∂=− ,

λ, resultando em:

j

kk

jj

ii dy

dzw

y

F

dy

dzw ⋅=

∂∂=⋅ λ

Cmgj (w,y) ( )

),(

,

ywjy

yzF

∂∂⋅= λ


28

∂

∂=∑

∑

jjj

iii

yFy

zwzS

λ)( , mas vimos que

jj y

F

y

C

∂∂=

∂∂ λ e sabemos que ),(ywCzw i

ii =∑ ,

onde tem-se:

),(

),()(

ywjjj y

Cy

ywCzS

∂∂

=

∑, onde F(z,y) =0 e z minimiza o custo de produzir yj. Ou seja:

),(

),()(

ywjj

jCmgy

ywCzS

∑=

Considere uma função de produção no caso de apenas um produto: F(z,y) = y – f(z). Neste caso temos:

1=∂∂

jy

F, o que resulta em λ=

∂∂

jy

C

Mas como Pmgzi = iz

zf

∂∂ )(

, então:

yjzi

i CmgPmg

w == λ

Retornos Globais de Escala Definições: A palavra global indica que as propriedades devem ser válidas para todos os vetores de produção.

� Y tem retornos crescentes de escala (IRS) se tz ∈Y para qualquer t ≥ 1, z∈Y; � Y tem retornos decrescentes de escala (DRS) se tz ∈Y para qualquer 0 < t ≤ 1,

z∈Y; � Y tem retornos constantes de escala (CRS) se tz ∈Y para qualquer t > 0, z∈Y.

Uma tecnologia com CRS é sinônima de que Y é um cone. Mas um cone não precisa ser convexo. Quando um cone é também convexo, este é chamado cone convexo.


29

Podemos reescrever as definições acima com o uso de uma função de produção implícita através da substituição da viabilidade produtiva como φ(z) ≤ 0 e φ(tz) ≤ 0, em lugar de z em Y e tz em Y, respectivamente. Tem-se:

� φ(z) exibe retornos crescentes de escala (IRS) se φ(tz) ≤ 0 para qualquer t ≥ 1, φ(z) ≤ 0; � φ(z) exibe retornos decrescentes de escala (DRS) se φ(tz) ≤ 0 para qualquer 0 < t ≤ 1, φ(z) ≤ 0; � φ(z) exibe retornos constantes de escala (CRS) se φ(tz) ≤ 0 para qualquer t > 0, φ(z) ≤ 0.

Considere a partição de uma função de produção em: n insumos e m produtos ( )yzZ ,−= Tem-se a função implícita da produção:

( ) ℜ→ℜ→ℜ×ℜ +mnmnyzF :, F(.) exibe:

• Retornos crescentes de escala (IRS) se ( ) 0, ≤tytzF para qq 1≥t e ( ) 0, ≤yzF ;

• Retornos decrescentes de escala (DRS) se ( ) 0, ≤tytzF para qq 10 ≤< t e

( ) 0, ≤yzF ;

• Retornos constantes de escala (CRS) se ( ) 0, ≤tytzF para qq 0>t e ( ) 0, ≤yzF .

Para apenas um produto, temos y = f(z), f : ℜn → ℜ, o que resulta em:

• Retornos crescentes de escala (IRS) se f(tz) ≥ tf(z) para qq 1≥t ;

• Retornos decrescentes de escala (DRS) se f(tz) ≥ tf(z) para qq 10 ≤< t ;

• Retornos constantes de escala (CRS) se f(tz) = tf(z) para qq 0>t .


30

Grau de homogeneidade

HDG “no mínimo r”

• Um conjunto Y é HDG “no mínimo r” em (-z,y) em Y se ( ) Yyttz r ∈− , para qq t>0;

• Uma função de produção ℜ→ℜ +mnF : é HDG “no mínimo r” em (-z,y) em Y se

( ) 0, ≤yttzF r para qq t>0 e ( ) 0, ≤yzF ;

• Uma função de produção para 1 produto, ℜ→ℜnf : , é HDG “no mínimo r” em

z se ( ) ( )zfttzf r ⋅≥ para qq t>0. A definição acima continua sendo de caráter global, e existem inúmeras funções de produção e conjunto de produção os quais a definição acima não faz sentido. Desta forma, precisamos da definição de uma medida de economia de escala local. Assumindo que a função de produção seja diferenciável, F(z,y)=0. Assim definimos o grau de homogeneidade local em (z,y), quando F(z,y)=0, como o “r máximo” pelo qual ( ) 0, ≤yttzF r , em uma vizinhança de z. No caso de um único produto, tem-se que o grau de homogneidade é “r” se

( ) ( )zfttzf r ⋅≥ tal medida é chamada de elasticidade de escala ou elasticidade de economias de escala.

Funções de Produção Homogêneas Uma função de produção de um produto com muitos insumos é f : ℜn → ℜ tal que y = f(z), no qual z = (z1, . . . , zn) e y é um escalar.

f é dita HDG “r” em z se:

f(tz) = trf(z) ∀ t > 0, ∀ z

Aplicando a definição de retornos de escala à funções de produto HDG “r”, ℜ→ℜnf : , pode-se afirmar que f exibe:

• IRS se r>1; • DRS se r<1 ; • CRS se r=1

Estas são definições globais. Se representarmos a função de produção em log, temos:


31

( ) ( )zftrtzf lnlnln +⋅= , pois ( ) ( )zfttzf r ⋅≥

LEMA: Assumindo que f é diferenciável, f é HDG “r” sse f satisfaz a condição de elasticidade: ∀ t>0, em qq z

Elasticidade de Escala (medida local) A fórmula acima mede a mudança % na produção em resposta à mudança % em todos os insumos enquanto mantendo as proporções de insumos fixos. Quando avaliada em t=1, tem-se uma medida local de elasticidade de escala ou medida local do efeito de escala:

( )r

t

tzf

t

=∂

∂

=1lnln

Como ( )

( )( )

11lnln

== ∂∂⋅=

∂∂

tt t

tzf

tzf

t

t

tzf, pode-se expandi-lo em:

( ) ( ) ( ) ( )tzfztzfztzfzt

tzfi

n

ii ⋅=+⋅+⋅=

∂∂

∑=1

2211 ...

( )( )tzi

i z

ftzf

∂∂=∴ é a derivada parcial de f em relação a cada um dos argumentos de (zi)

avaliada em tz.

Em t=1, ( ) ( ) ( ) ( )zfzzfzzfzt

tzfi

n

ii ⋅=+⋅+⋅=

∂∂

∑=1

2211 ...

Assim:

( )r

t

tzf =∂

∂ln

ln

Elasticidade de escala = grau de homogeneidade

( ) ( )( )zf

zfz

t

tzf iii

t

∑ ⋅=

∂∂

=1lnln


32

Definição: A elasticidade de economias de escala para uma função de produção de um único produto ℜ→ℜnf : é dada por:

iz∀

Se a função de produção de um único produto é homogênea: Teorema Generalizado de Euler: Uma ℜ→ℜnf : é HDG “r” sse: iz∀

S(z) é o valor máximo de grau de homogeneidade de uma função ℜ→ℜnf : , a qual exibe:

• CRS local se S(z) =1;

• IRS local se S(z) >1;

• DRS local se S(z) <1; Elasticidade de escala para o caso multi-produto: , onde i = 1, 2, ..., n j = 1, 2, ..., m

( ) ( ) ( )( )∑

==

⋅=∂

∂=n

i

ii

t zf

zfz

t

tzfzS

11lnln

S(z) = r

( ) ( )∑=

⋅=⋅n

iii zfzzfr

1

( )∑

∑

=

=

⋅

⋅−= n

jjj

n

iii

Fy

FzzS

1

1


33

Vamos demonstrar que: , w = vetor preço dos insumos

( )( )ywiy

CywCMg

,

,

∂∂=∴ ; F(z,y) = 0 e z é um vetor de insumos que minimiza custo

O PMC é:

zMIN ( ){ }0,: ≤⋅ yzFzw { }nwwww ,...,, 21=∴

( ) ( ){ }0,:, ≤⋅=≡ yzFzwMINywC

O Lagrangeano é dado por:

( )yzFzwL ,⋅+⋅= λ Pelo teorema do envelope:

( ) ( ) ( )

( )yzFy

F

y

C

y

Lj

yzjywjywj

,,,,

⋅=

∂∂⋅=

∂∂=

∂∂ λλ

CMgj

As condições de Kuhn-Tucker são:

( )[ ] 0, =⋅+ yzFwz iii λ

( ) ( )( )∑ ⋅

=

jj ywCMgy

ywCzS

,,

( )yzFw ii ,⋅−≥ λ ( )yzFzzw iiii ,⋅⋅−=⋅ λ ou


34

• Se 0=λ , 0=⋅ ii zw iz∀ tal que i = 1, 2, ..., n

ou seja, z = 0

Se y>0, isto é contra a pressuposição “no free lunch”, a qual diz que não é aaaaaaaaaaaaapossível produzir do nada.

• Se 0>λ , resulta em:

( )yzFzwz iiii ,⋅⋅=⋅ λ ou ( )λ

iiii

wzyzFz

⋅=⋅− ,

( ) ∑∑ ⋅=⋅− iiii wzyzFzλ1

,

C(w,y) Como ( )∑ =⋅=⋅ ywCzwzw ii , , temos:

( ) ( )( )

( )∑∑∑

∑⋅

=⋅

=⋅⋅

⋅−=

jjj

jjjj

ii

CMgy

ywC

yzF

ywC

Fy

zwzS

,,

,λλ

CMgj

Pelo teorema do envelope:

( )( )yzF

y

C

y

Lj

ywij

,,

⋅=

∂∂=

∂∂ λ

CMgj A mesma elasticidade-custo pode ser derivada da função custo:


35

Se ( ) ( )1ln

ln

=∂∂=

tt

tyCyσ , σ(y) mede a mudança % no custo total se a produção total

aumenta em 100t %, mantendo a proporção de produção constante.

( ) ( ) ( )( )

)(

)(

)()()(11

yC

yCMgy

yC

y

yCy

y

tyCy

tyC

t

t

tyC

tyC

ty j

jjj j

j

tj j

j

t

∑∑∑ =

∂∂

=∂

∂=∂

∂===

σ

Assim:

( ))(

1zS

y =σ , onde F(z,y) = 0 e z é um minimizador de custo para produzir y, dado w.

1.4 – Dualidade Considere ( )yw,Ψ como uma função contínua e de valor real; w é um vetor de preços dos insumod e y um vetor de produção. Considere o conjunto:

( ) ( ){ }ywzwzywH ,.:, Ψ≥= Onde z é um vetor de insumo. Como ( ).Ψ é assumida como sendo uma função contínua, H(w,y) é um meio espaço fechado. Se tomarmos todas as intersecções de H(w,y) com respeito a todos os preços dos insumos, tem-se:

( ) ( )I0

,>

=w

ywHyH

Como H(w,y) é fechado, H(y) também é fechado. H(y) pode ser interpretado como:

( ) ( ){ }0,,: >∀Ψ≥⋅= wywzwzyH

No PMC, temos:


36

xMIN w. z

s.a: z está em H(y) Definimos a função custo como:

( ) { :ˆ,ˆ zwMINywC ⋅= z está em ( )}yH Custo mínimo Esta ( ).C é monotôna, linear, homogênea e positiva, e côncava emw ; e se ( ).C é

diferenciável emw , *

ˆ ii

zw

C =∂∂

. O *iz é solução para o PMC em H(y).

Em H(y), PERGUNTA: ( ).C coincide com ( ).Ψ ? Para verificar isto, deixe z* ser o vetor de insumos de custo mínimo, em H(y), tem-se que

Como ( )yHz ∈* , temos que: ( ) ( )ywywCzw ,,ˆ*ˆ Ψ≥=⋅

Pode ( ) ( )ywywC ,ˆ,ˆ Ψ= ?

ou

( )ywzw ,ˆ*ˆ Ψ=⋅ ?

Suponha que a igualdade não seja possível, ou seja, ( )ywzw ,ˆ*ˆ Ψ>⋅ . O argumento usual é de que existe um pequeno vetor δ o qual permitirá a validade de:

( ) ( )ywzw ,ˆ*ˆ Ψ>−⋅ δ

Para se dizer que ( )δ−*z custa menos que z*, entretanto, deve-se mostrar que

( )δ−*z está em H(y). Isto significa que ( ) ( )ywzw ,ˆ*ˆ Ψ≥−⋅ δ 0>∀w .

( ) *ˆ,ˆ zwywC ⋅=


37

Esta conclusão depende de certas condições de regularidade para ser válida. Não é fácil assegurar que ( ) ( )ywywC ,ˆ,ˆ Ψ= . Uma vez que Ψ=C , significa que Ψ deve

herdar todas as propriedades de C . A classe das funções de Ψ contém todas as propriedades de C , ou seja, existe um subconjunto Ψ , tal que Ψ=C , que apresentam as mesmas características de C . O teorema da dualidade produção-custo estabelece que as propriedades de homogeneidade linear, monotonicidade e concavidade em w, são condições necessárias e suficientes para afirmar que Ψ=C . A prova mais rigorosa da dualidade utiliza o teorema da separabilidade estrita de hiperplanos.

• A homogeneidade linear de Ψ , a qual é usada para a prova formal de que Ψ=C .

• A concavidade de Ψ→ convexidade do cone gerado por Ψ .

• A monotonicidade de Ψ resulta em um vetor positivo do hiperplano separável.

Essa teoria é usada para gerar uma contradição se ( ) ( )ywywC ,ˆ,ˆ Ψ> ocorre para algum w . Pela “reduction ad absurdum”, a qual o teorema gera, confirma-se: ( ) ( )ywywC ,ˆ,ˆ Ψ= ∀ w>0 e y>0. Quando Ψ é diferenciável, é possível se obter uma prova mais simplificada de que

Ψ=C . Como encontrada em alguns livros textos. O poder e a simplificação advinda da diferenciabilidade de Ψ vêm do LEMA DE SHEPARD, uma conseqüência do TEOREMA DO ENVELOPE aplicado a uma função custo legítima.

Assim, se Ψ=C , tem-se que: i

ii w

zw

Cˆˆ

*

∂Ψ∂==

∂∂

, ou seja, o LEMA DE SHEPARD diz que

Ψ∇==∇ *zC . Um vetor gradiente é dado por:

( )ncccC ,...,, 21=∇ ; onde ii

i zw

Cc =

∂∂≡ , (i = 1, 2, ..., n)


38

( )nΨΨΨ=Ψ∇ ,...,, 21 ; onde ii

i zw

=∂

Ψ∂=Ψ , (i = 1, 2, ..., n)

Para dado ( )yw,ˆ minimiza o custo de produzir y. Por economia de notação, ( )wΨ . Como Ψ é homogênea linear em w, a LEI DE EULER diz que: para qualquer w Desde que ( )wzw Ψ≥⋅ z∀ em H(y), a equação de Euler implica que ( )wΨ∇ é mais barato que qualquer vetor em H(y), ou seja, z∀ em H(y) É preciso mostrar que ( )wΨ∇ produz y. Para isso, é preciso demonstrar que: ( )wΨ∇ está em H(y). Como Ψ é côncavo em w , temos que:

( ) ( ) ( ) ( )wwwww −⋅Ψ∇≥Ψ−Ψ ˆˆˆ

( ) ( ) ( ) ( ) wwwwww ⋅Ψ∇−Ψ≥⋅Ψ∇−Ψ ˆˆˆˆ

( ) ( ) www ⋅Ψ∇−Ψ≥ ˆ0

Este resultado demonstra que ( )wΨ∇ está em H(y).

( ) 0ˆ >Ψ∇ w (monotonicidade estrita) Assim, ( )wΨ∇ é um legítimo vetor de insumos de custo mínimo para produzir y, dado w . RESULTADO: Qualquer função Ψ monotônica, linearmente homogênea e côncava, gera um conjunto de requerimento de insumos H(y), economicamente importante para se produzir qualquer vetor y, sendo que a função custo derivada de H(y) é idêntica a Ψ (ou seja, C=Ψ ). Esta é a essência da dualidade produção-custo.

( ) ( )www Ψ∇⋅=Ψ

( )wwzw Ψ∇⋅≥⋅

( ) ( )www Ψ≥⋅Ψ∇ ˆ 0>∀w


39

Exemplos Ilustrativos: 1- Uma função custo linear

( ) ( ) ywwywwC ⋅+= 2121 ,, Onde: ( )21 www += ; ( )21,zzz = Temos: ( ) ( ){ }ywCzwzywH ,:, ≥⋅= Vamos expandir ( )ywCzw ,≥⋅ :

ywywzwzw ⋅+⋅≥⋅+⋅ 212211

( ) ( )1122 zywyzw −⋅≥−

Fronteira linear de ( )ywH ,

( ) ( )I00

2

1

,

>>

=ww

ywHyH → movimento de rotação

z2

z1

y

( )ywH ,

2

1

w

w−

( )yzw

wyz −⋅−≥− 1

2

12

y


40

Realizando o movimento de rotação n vezes

( ) { yzzyH ≥= 1: e }yz ≥2

Função de produção do tipo Leontief

z2

y

( )yH

z2

y

( )yH

z1

LEONTIEF

z1

( ) ( ) ( ){ }2121 ,:, zzMINyzzyH ≤=

y

y


41

2- Uma função custo tipo Leontief Tem-se:

( ) ( )2121 ,,, wwMINyywwC ⋅= Dado ( )21,www = , tem-se:

( ) ( ) ( ){ }ywCzwzzywH ,:,, 21 ≥⋅= ( )ywCzw ,≥⋅∴ Existem 3 casos: 1º caso: 21 ww <

( )211 ,wwMINw =

( )21,wwMINyzw ⋅≥⋅

12211 wyzwzw ⋅≥⋅+⋅

( )1122 zywzw −⋅≥⋅

( )yzw

wz −⋅

−≥ 1

2

12

z2

z1

y

12

1 −>−w

w

y

Giro em torno de z1


42

( ) ( )I

21

2

100

,

wwww

ywHyH

<>>

=

Temos:

Função de produção linear 2º caso: 21 ww >

( )212 ,wwMINw =

( )21,wwMINyzw ⋅≥⋅

22211 wyzwzw ⋅≥⋅+⋅

( )2211 zywzw −⋅≥⋅

z2

z1

y

12

1 >−w

w

( ) { }21: zzyzyH +≤=

( ) 12

12 z

w

wyz ⋅

−≥−

y

Giro em torno de z2


43

( ) ( )I0

,>>

=w

ywHyH

( ) { 21: zzyzyH +≤=∴ e }21 ww > 3º caso: www == 21

( )21,wwMINw =

( ) ( ){ }ywwCzwzywH ,,:, 21≥⋅= Temos: ( ) wyzzwzw ⋅≥+=⋅ 21

( ) { 21: zzyzyH +≤= e }21 ww =

z2

z1

y

12

1 =−w

w

( )yH

y


44

Interseção dos 3 casos:

O Lema de Shepard e a dualidade Ao invés de termos usado o método de análise da intersecção de hiperplanos, poderíamos ter usado diretamente o lema de Shepard para recuperar o conjunto de requerimento de insumos ( ( )yH ou ( )yV ) ou a função de produção. Para a função custo ( ) ( ) ywwywwC ⋅+= 2121 ,, , tem-se:

z2

z1

y( )yH

y

A interseção é o 3º caso

( ) ( )y

w

Cywwz =

∂∂=

1211

.,,

( ) ( )y

w

Cywwz =

∂∂=

2212

.,,


45

Pontos não-diferenciáveis ocorrem quando o PMC tem múltiplas soluções. Ex: A tecnologia Leontief não é diferenciável em todos os seus pontos, mas a solução para o seu custo mínimo é única para todo w>>0. Conclusão: “C(w,y) é diferenciável sse o PMC tem solução única dado (w,y).”

z2

z1

( )yH

1zy =

2zy =

notas de aula de microi - parte ia.pdf

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