Nome

Texto: Neiva ManziniFormatação: Claudio G de Paula

Quando um corpo rígido gira suas partículas descrevem trajetórias circulares, em torno de um eixo.

Eixox

y

z

0

r P.

A figura representa a trajetória circular de uma partícula P, de um corpo rígido, que gira em torno do eixo Z.

Qual a equação matemática que determina a freqüência e o período do ponto P?

A relação entre a posição angular θ e o arco s é:

Δθ= θf - θi deslocamento angular

Sentido da Rotação

0

rP

S

x

y

Atenção: Δθ deslocamentos angulares não infinitesimais não são vetores porque não se somam como vetores (a soma não é comutativa).

No entanto, um deslocamento angular infinitesimal – d - pode ser considerado uma grandeza vetorial.

θ posição angular

s = θ.r

Saiba maisθ

ttt

12

12

Velocidade angular instantânea

É a velocidade com que o raio r varre um ângulo θ, num intervalo de tempo.

Direção e sentido de ω

Velocidade angular média

ω

Direção: eixo de rotação

Sentido:”regra da mão direita”

Saiba mais

dtdt /t0lim

Observe que as poltronas giram com a mesma velocidade angular, inclusive um ponto da estrutura que se encontre próximo do eixo de rotação. Assim, a velocidade angular de um corpo rígido em rotação pura é a mesma para todas as partículas do corpo.

Agora responda: a aceleração angular é a mesma para todas as partículas de um corpo rígido em rotação pura, em torno de um eixo fixo?

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1) Numa centrífuga com raio igual a 15 m, a posição angular varia de acordo com a equação θ (t) = 1,5 t2

(unidades SI). Para t = 5 s, calcular:

Estude os conteúdos referentes a cinemática da rotação no livro texto,

refaça os exercícios resolvidos em sala de aula e

resolva os exercícios das páginas seguintes.

E agora, vamos

trabalhar!

No final do caderno você encontra um resumo sobre conteúdos da rotação de corpos rígidos.

a) a aceleração tangencial;

b) a aceleração normal;

c) a aceleração linear total;

d) o ângulo que o vetor aceleração linear total faz com o raio.

θ (t) = 2t3 – 4t2 – 9 (unidades do SI).

Para este movimento, determine:

2) Um corpo rígido em rotação obedece à seguinte equação de movimento: c) a velocidade angular

instantânea em t = 6s;

a) o deslocamento angular nos primeiros 12s;

b) a velocidade angular média nos primeiros 10s;

d) a aceleração angular média, nos primeiros 10s;

e) a aceleração angular instantânea, em t= 7s.

3) Uma roda parte do repouso e gira com aceleração angular constante de 2 rad/s2. Num intervalo de tempo igual a 8s ela gira 160 rad.

b) Qual era a velocidade angular da roda no início do intervalo de 8s?

a) Quanto tempo a roda esteve girando antes do início do intervalo de 8s?

4) Uma roda gigante com 12m de raio dá uma volta em 27s. Determine:

b) a aceleração centrípeta do ocupante.

a) a velocidade linear de um ocupante da roda;

5) Uma roda parte do repouso e gira com aceleração angular constante de 2 rad/s2. Num intervalo de tempo igual a 5s ela gira 150 rad.

Clique na figura abaixo e descreva o movimento das esferas do carrocel que você irá observar:

a) Quanto tempo a roda esteve girando antes do início do intervalo de 5s?

b) Qual era a velocidade angular da roda no início do intervalo de 5s?

6) O motor de um pequeno aeroplano é especificado como capaz de gerar um torque de 60N.m. O motor faz girar uma hélice com pás de 2m de comprimento e massa de 40kg. Na partida, quanto tempo leva para a hélice atingir 200 rpm?

2m

7) Uma lata de 3 kg é presa a um barbante que é enrolado ao redor de um cilindro oco de 2 kg e 4 cm de diâmetro, que pode girar livremente. A lata é liberada 1 m acima do chão.

a) Use a 2ª lei de Newton para determinar o valor da velocidade da lata ao tocar o chão.

b) Use a conservação da energia para determinar o valor da velocidade da lata ao tocar o chão.Ic = MR2

8) Um disco uniforme tem massa de 120kg e raio de 1,4m. Sabe-se que uma força tangencial, de módulo igual a 10N constante é aplicada na borda do disco, quando sua velocidade angular inicial é de 1100 rev/min. Determine:

FFF

F

a) o torque da força , sobre o disco;

b) a aceleração angular do disco;

c) a velocidade tangencial, de um ponto da borda do disco, 2s após a aplicação da força.

9) Luís usa uma chave de “boca” com 20 cm de comprimento para girar uma porca. Sabe-se que a chave está inclinada em 30º com a horizontal, e que Luís a empurra verticalmente para baixo, exercendo uma força de 100N na extremidade. Qual o torque da força (que Luís exerce) sobre a porca? 

FFF

F

F=100N

30o

10- Um disco fino de 100 g de massa e 9,0 cm de diâmetro gira em torno de um eixo que passa por seu centro com 0,15 J de energia cinética. Qual é o módulo da velocidade de um ponto da borda do disco?

9 cm

Alguma dúvida?

fale conosco!

11- Uma porta maciça de 25 kg tem 220 cm de altura e 91 cm de largura. Qual é o momento de inércia da porta para rotações:

(b) em torno de um eixo vertical dentro da porta, a 15 cm de um dos lados da mesma?

(a) em torno das dobradiças

Aceleração angular média

ttt

12

12

Aceleração angular instantânea

Aceleração angular

Qual a grandeza física responsável pela variação da velocidade linear (movimento de translação) de um corpo que desliza sobre um plano horizontal?

Qual a grandeza física responsável pela variação da velocidade angular (movimento de rotação) de um corpo em torno de um eixo?

Uma colinha!

dt

dwtt

0lim

Relações entre grandezas lineares e angulares

Sabemos que S= θ.r2.r

Então:

a velocidade linear é

A aceleração linear é

ds/dt =(dθ/dt)r, ou v= ω.r.

ac = v2/r = (ω2.r2/)r , ou ac=ω2.r

dv/dt = (dω/dt)r, ou a = α.r

A aceleração centrípeta é

Energia Cinética na Rotação

Um corpo rígido pode ser considerado como um conjunto de partículas. Assim, a energia do corpo rígido é igual a soma das energias cinéticas de todas as partículas desse corpo.

n

iiinn vmvmvmvmK

1

22222

211 2

1

2

1...

2

1

2

1

A velocidade linear ou tangencial de cada partícula que constitui o corpo são iguais?

2

2.

ii

ii

rm

rm

E a velocidade angular de cada partícula do corpo rígido são iguais?

ALGUMAS RESPOSTAS

1) a) 45 m/s2

b) 3375 m/s2

c) 3375,3 m/s2

d) 0,76o

2) a) 2881 rad

b) 160 rad/s

c) 168 rad/s

d) 52 rad/s2

e) 76 rad/s2

3) a) 6 s

b) 12 rad/s

4) a) 0,23rad/s

b) 2,8 m/s

c) 0,65 m/s2

5) a) 12,5s

b) 25rad/s

6) 4,65s

7) a) 3,46m/s

b) 3,46m/s

8) a) 14N.m

b) 0,12 rad/s2

c) 161,62 m/s

9) 17,32 N.m

10) 2,45m/s

11) a) 6,8kg.m2

b) 3,9kg.m2

222 ..2

1).(

2

1iiii rmrmK

Veja que o momento de inércia (I) é:I α m e I α r2. Então: O momento de inércia (I) depende da massa do corpo, da sua distribuição em torno do eixo de rotação e do eixo de rotação. E quanto mais afastada estiver a massa do eixo, maior será o valor do momento de inércia I.

Unidade (S.I): kg.m2.

2. ii rm

2..2

1 IKROT

Energia cinética rotacional

Como v = ω.r, podemos escrever a equação da energia cinética de rotação do corpo como:

Então:

A energia cinética de translação de uma partícula de um corpo rígido em rotação pura, em torno de um eixo fixo é:

K =2

2mv

Onde é a inércia rotacional (I), ou momento de inércia.

Consideremos um corpo rígido que pode girar livremente em torno de um eixo que passa pelo ponto O:

TORQUE

r

F

EIXO

OP

A força atua sobre o corpo rígido, no ponto P e forma

um ângulo com a direção do

vetor posição de P.

F

r

Define-se torque ou momento de uma

força como: .

Lembre que o produto vetorial entre dois vetores resulta em outro vetor, de módulo

igual a : , onde o

ângulo é o ângulo formado entre o

vetor posição e a força .

Fr

)sen(..||

Fr

F

r

Podemos decompor em duas componentes:

F

P

TF

RF

F

Observe que somente (cuja direção é tangente à trajetória) contribui para o movimento de rotação. Enquanto

é paralela ao vetor .

TF

RF

r

Direção: perpendicular ao plano que contém

e .

Sentido: regra da mão direita (coloque os 4 dedos da mão direita na direção e sentido do

vetor e gire os mesmos na direção do

vetor ). O polegar indicará o sentido do torque.

Unidade SI: N.m

r

F

P

O

x

r F

Fr

SEGUNDA LEI DE NEWTON NA ROTAÇÃO

r

FT

Fr

F

m

X

y

Eixo de rotação = Z

α

r

F

aTT mF .

A componente da força resultante na direção tangente à trajetória, comunica a aceleração tangencial de uma partícula P do corpo. Então:

z

y

z

TT amrFr ...

O módulo do torque da força pode ser escrito como r.FT .

ou r.m.aT.

F

²..... rmrrm .I

Assim, conforme a 2ª lei de Newton:

IEntão:

TRABALHO, POTÊNCIA E O TEOREMA DO TRABALHO-ENERGIA

O trabalho realizado durante um deslocamento angular finito de um θi até θf será:

f

i

dW .

Na translação:

xf

xi

dxFW .

wf

wi

f

i

f

i

f

i

f

i

dwwIdwdt

dId

dt

dwIdIdW .......

2

².

2

².

2

²...

if wI

wI

wIdwwIW

wf

wi

wf

wi

ROTiROTf KKWROTKW

Teorema trabalho-energia cinética da rotação