Nome:Profª Maria Cristina KesslerProfº Claudio Gilberto de Paula

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A função seno representada por

f(x) = senx,

pode ser compreendida como o conjunto de pares ordenados (x,y) tal que, para cada número real x se associa o número y = senx.

Função seno Pergunta: Qual o domínio de f(x) = senx?

Observe que esta função não é injetora. Precisamos, então, estabelecer uma restrição. Vamos encontrar a inversa da função no intervalo [-/2, /2].

Observe o gráfico da função.

x

y

Clique aqui para conferir

.

Clique aqui para conferir

.

x

y

Dom f : [-/2, /2] Imf : [-1,1]Dom f : [-/2, /2] Imf : [-1,1]

x y

-/2~ -1,57 -1

~-0,84

-0,5 ~-0,48

0

0,5 ~ 0,48

1 ~ 0,84

/2~ 1,57 1

1

Observe a tabela abaixo. Ela contém alguns pares ordenados da função f :

O ângulo x está expresso em radianos, pois não há correspondência do grau na reta real.

O ângulo x está expresso em radianos, pois não há correspondência do grau na reta real.

x y

-1 1,57

~-0,84

-0,5 ~-0,48

0

0,5

1

/2~ 1,57 1

Trocando agora o x pelo y obteremos a função inversa da função f , a f-1 :

Veja o gráfico de f e de f-1 na página seguinte. Veja o gráfico de f e de f-1 na página seguinte.

Seno do

ângulo

ângulo

ânguloSeno

do ângulo

1

Conclusão:

x

y

Por meio da função f se pode obter o valor do seno para um determinado ângulo.

Por meio da função inversa f-1 se pode obter o ângulo a partir do valor do seno deste ângulo.

Esta função f-1 representa-se por f(x) = arcsen(x) ou sen-1(x)

Dom f-1 : [-1, 1] Imf-1 : : [-/2, /2] Dom f-1 : [-1, 1] Imf-1 : : [-/2, /2]

Dom f : [-/2, /2] Imf : [-1,1]Dom f : [-/2, /2] Imf : [-1,1]

1

A função cosseno representada por

f(x) = cosx,

pode ser compreendida como o conjunto de pares ordenados (x,y) tal que, para cada número real x se associa o número y = cosx.

Função Cosseno Pergunta: Qual o domínio de f(x) = cosx?

Observe que esta função não é injetora. Precisamos, então, estabelecer uma restrição. Vamos encontrar a inversa da função no intervalo [0, ].

Observe o gráfico da função.

Clique aqui para conferir .Clique aqui para conferir .

Dom f : [0, ] Imf : [-1,1]Dom f : [0, ] Imf : [-1,1]

x

y

x

y

x y

0 1

~0,88

1 0,54

0

2 ~ -0,42

2,5 ~ -0,80

-1

1

Observe a tabela abaixo. Ela contém alguns pares ordenados da função f :

Lembrete: O ângulo x está expresso em radianos.Lembrete: O ângulo x está expresso em radianos.

Trocando agora o x pelo y obteremos a função inversa da função f , a f-1 :

Veja o gráfico de f e de f-1 na página seguinte. Veja o gráfico de f e de f-1 na página seguinte.

Cosseno do

ânguloângulo

ânguloCosseno

do ângulo

x y

1 0

0,5

0,54 1

~ -0,42 2

~ -0,80 2,5

-1

1

Conclusão:

Por meio da função f se pode obter o valor do cosseno para um determinado ângulo.

Por meio da função inversa f-1 se pode obter o ângulo para um determinado valor do cosseno deste ângulo.

Esta função f-1 representa-se por f(x) = arccos(x) ou cos-1(x)

Dom f-1 : [-1, 1] Imf-1 : : [0, ] Dom f-1 : [-1, 1] Imf-1 : : [0, ]

Dom f : [0, ] Imf : [-1,1]Dom f : [0, ] Imf : [-1,1]

x

y

1

A função tangente representada por f(x) = tanx, pode ser compreendida como o conjunto de pares ordenados (x,y) tal que, para cada número real x se associa o número y = tanx.

Função tangente

Assim se pode escrever que o domínio de f(x) = tanx é:

Domf = R – {nπ/2, n Є Z, n ímpar}

Veja o gráfico da função ao lado :

A função tangente apresenta uma peculiaridade. Ela não existe quando o valor do cosx=0. Lembrete: a tangente pode ser pensada como senx/cosx. Como não existe divisão por zero, o domínio da função é constituído por todos os reais exceto os que zeram o cosseno.

A função tangente apresenta uma peculiaridade. Ela não existe quando o valor do cosx=0. Lembrete: a tangente pode ser pensada como senx/cosx. Como não existe divisão por zero, o domínio da função é constituído por todos os reais exceto os que zeram o cosseno.

x

y

1

x y

?

-1 ~-1,56

-0,55

0

0,55

1,56

?

Tangente do

ângulo

ângulo

Observe que esta função não é injetora. Precisamos, então, estabelecer uma restrição. Vamos encontrar a inversa da função no intervalo (-/2, /2).

x y

~-1,56 -1

-0,5

0 0

0,5

1

ângulo

Tangente do

ânguloObserve a tabela abaixo. Ela contém alguns pares ordenados da função f :

Trocando agora o x pelo y obteremos a função inversa da função f , a f-1 :

Veja o gráfico de f e de f-1 na página seguinte. Veja o gráfico de f e de f-1 na página seguinte.

1

Conclusão:

Por meio da função f se pode obter o valor da tangente para um determinado ângulo.

Por meio da função inversa f-1 se pode obter o ângulo por meio do valor da sua tangente.

Esta função f-1 representa-se por f(x) = arctan(x) ou tan-1(x)

Dom f-1 : R Imf-1 : : [- ] Dom f-1 : R Imf-1 : : [- ]

Dom f : [- ] Imf : RDom f : [- ] Imf : R

x

y

Lembre-se:

Para salvar o que escreveu você deve :1 - Sair do modo de apresentação (clicando no botão esc );

2 – Salvar.

Resposta:

A variável x pode assumir qualquer valor dentro do conjunto dos números reais.

Logo,

Dom f = R

Resposta:

A variável x pode assumir qualquer valor dentro do conjunto dos números reais.

Logo,

Dom f = R