Aref Antar Neto José Luiz Pereira Sampaio

Nilton Lapa Sidney Luiz Cavallantte

TRIGONOMETRIA Noções de Matemática

VOLUME 3

Capa: Annysteyne Maia Chaves

CIP – Brasil. Catalogação-na-Fonte. Câmara Brasileira do Livro, SP

T747

Trigonometria: 2º grau / Aref Antar Neto.

(et al.) Fortaleza: Ed. Vestseller, 2009. (Noções de matemática; v.3)

1. Trigonometria (2º grau) I. Antar Neto, Aref, 1949 – II. Série.

78-1488

17. CDD – 514 18. – 516.24

Índices para catálogo sistemático:

1. Trigonometria 514.7 (17.) 516.24 (18.)

www.VestSeller.com.br

Índice

Parte I

Capítulo 1. Medidas de arcos e ângulos ..............................................................13

1.1 ― Arcos de circunferência .............................................................13 1.2 ― Medida de um arco ....................................................................14 1.3 ― Ângulos......................................................................................15 1.4 ― Medida de um ângulo ................................................................15 1.5 ― Unidades usuais de medida ......................................................16 1.6 ― O número : uma razão geométrica ..........................................17 1.7 ― Arco de uma volta......................................................................18 1.8 ― Comprimento de um arco ..........................................................18 1.9 ― Conversão de unidades.............................................................19

Capítulo 2. Razões trigonométricas no triângulo retângulo: seno, cosseno e tangente ...........................................................................................23

2.1 ― Relações métricas no triângulo retângulo..................................23 2.2 ― Razões trigonométricas no triângulo retângulo: seno, cosseno e tangente..................................................................................24 2.3 ― Aplicação importante: ângulos notáveis ....................................26 2.4 ― Primeiras relações fundamentais...............................................29 Exercícios Suplementares .........................................................34

Parte II

Capítulo 3. Circunferência trigonométrica...........................................................39

3.1 ― Segmento orientado ..................................................................39 3.2 ― Eixo............................................................................................39 3.3 ― Medida algébrica de um segmento orientado............................40 3.4 ― Relação de Chasles...................................................................40 3.5 ― Sistema de abscissas ................................................................41 3.6 ― Sistema cartesiano ortogonal ....................................................42 3.7 ― Arco orientado ...........................................................................44 3.8 ― Circunferência trigonométrica ....................................................44 3.9 ― Medida algébrica de um arco orientado.....................................45 3.10 ― Ângulos......................................................................................46 3.11 ― Arcos ou ângulos com mais de um volta ...................................46 3.12 ― Algumas expressões importantes..............................................49 3.13 ― Arcos côngruos..........................................................................49

3.14 ― Expressões do tipo 2k

n

......................................................52

Capítulo 4. Seno e cosseno.................................................................................. 60

4.1 ― Seno e cosseno ........................................................................ 60 4.2 ― Variação e sinais do seno e do cosseno................................... 62 4.3 ― Relação sen2 + cos2 = 1 ....................................................... 63 4.4 ― Alguns valores particulares ....................................................... 64

4.5 ― Senos dos arcos de medidas n

.............................................. 66

Capítulo 5. Tangente e cotangente ...................................................................... 71

5.1 ― Tangente................................................................................... 71 5.2 ― Variação e sinais da tangente................................................... 73 5.3 ― Cotangente ............................................................................... 77 5.4 ― Variação e sinais da cotangente ............................................... 79

Capítulo 6. Secante e cossecante ....................................................................... 86

6.1 ― Secante e cossecante............................................................... 86 6.2 ― Variação e sinais da secante e da cossecante ......................... 87 6.3 ― Resumos................................................................................... 88

Capítulo 7. Redução ao 1º quadrante .................................................................. 94 Capítulo 8. Equações simples .............................................................................. 98

8.1 ― Introdução................................................................................. 98 8.2 ― Conjunto-universal e conjunto-solução ..................................... 98 8.3 ― Equação do tipo cos x = a......................................................... 98 8.4 ― Notação arc cos a ................................................................... 100 8.5 ― Conjunto-universo U = ......................................................... 102

8.6 ― Equação do tipo sen x = a ...................................................... 104 8.7 ― Notação arc sen a................................................................... 106 8.8 ― Equação do tipo tg x = a ......................................................... 109 8.9 ― Notação arc tg a...................................................................... 110 8.10 ― Notação arc cotg a. Equação do tipo cotg x = a ..................... 113 8.11 ― Resumo das notações novas.................................................. 116 Exercícios Suplementares ...................................................... 119

Parte III

Capítulo 9. Primeiras fórmulas trigonométricas............................................... 125

9.1 ― Introdução............................................................................... 125 9.2 ― Mudança de sinal do arco (ou ângulo).................................... 125 9.3 ― Cosseno da soma e cosseno da diferença ............................. 126 9.4 ― Arcos (ou ângulos) complementares ...................................... 128 9.5 ― Seno da soma e seno da diferença ........................................ 132

9.6 ― Tangente da soma e tangente da diferença ............................134 9.7 ― Resumo ...................................................................................136 9.8 ― Simplificação de expressões trigonométricas dos arcos da forma k x .............................................................................139 9.9 ― Simplificação de expressões trigonométricas dos arcos da

forma k

x,2

k ímpar...............................................................143

Capítulo 10. Fórmulas de arco dobro, arco triplo e arco metade ....................148

10.1 ― Introdução ...........................................................................148 10.2 ― Arco dobro...........................................................................148 10.3 ― Arco triplo ............................................................................152 10.4 ― Arco metade........................................................................153 10.5 ― Fórmulas auxiliares: sen a, cos a e tg a em função de

a

tg2

.....................................................................................155

10.6 ― Resumo...............................................................................157 Capítulo 11. Transformação em produto ..........................................................160

11.1 ― Introdução ...........................................................................160 11.2 ― Transformação de sen p sen q e cos p cos q................160 11.3 ― Transformação de sen p cos q.........................................163 11.4 ― Transformação de tg p tg q ..............................................163 11.5 ― Fórmulas de reversão: transformação de produtos em somas ou diferenças.......................................................................164 11.6 ― Resumo...............................................................................166 Exercícios Suplementares...................................................168

Parte IV

Capítulo 12. Equações trigonométricas ............................................................173

12.1 ― Finalidade deste capítulo ....................................................173 12.2 ― Equações clássicas.............................................................182 12.3 ― 1ª equação clássica ............................................................182 12.4 ― 2ª equação clássica ............................................................188 12.5 ― 3ª equação clássica ............................................................190 12.6 ― Equações que envolvem as relações inversas ...................194

Capítulo 13. Inequações trigonométricas .........................................................200

13.1 ― Inequação do tipo cos x < a ................................................200 13.2 ― Inequação do tipo cos x > a ................................................201 13.3 ― Inequações dos tipos sen x < a e sen x > a ........................203 13.4 ― Inequações dos tipos tg x < a e tg x > a..............................206 Exercícios Suplementares...................................................212

Parte V

Capítulo 14. Resolução de triângulos ............................................................... 217

14.1 ― Introdução .......................................................................... 217 14.2 ― Lei dos senos ..................................................................... 217 14.3 ― Lei dos cossenos................................................................ 220 14.4 ― Área do triângulo ................................................................ 223 14.5 ― Resumo.............................................................................. 225 Exercícios Suplementares.................................................. 236

Parte VI

Capítulo 15. Funções trigonométricas ............................................................. 241

15.1 ― Introdução .......................................................................... 241 15.2 ― O conceito de função ......................................................... 241 15.3 ― Função real de variável real ............................................... 242 15.4 ― Gráfico de uma função real de variável real ....................... 242 15.5 ― A correspondência entre um número real e um ponto da Circunferência trigonométrica............................................. 243 15.6 ― Função seno....................................................................... 245 15.7 ― Definição de função periódica ............................................ 246 15.8 ― Gráfico da função seno ...................................................... 246 15.9 ― Definição de função limitada .............................................. 247 15.10 ― Função cosseno ................................................................. 248 15.11 ― Gráfico da função cosseno................................................. 248 15.12 ― Função tangente ................................................................ 249 15.13 ― Gráfico da função tangente ................................................ 250 15.14 ― Função cotangente............................................................. 252 15.15 ― Gráfico da função cotangente ............................................ 253 15.16 ― Função secante.................................................................. 254 15.17 ― Gráfico da função secante.................................................. 254 15.18 ― Função cossecante ............................................................ 256 15.19 ― Gráfico da função cossecante ............................................ 256 15.20 ― Definição de função par e função ímpar............................. 257 15.21 ― Paridade das funções trigonométricas ............................... 257 15.22 ― Resumo.............................................................................. 258

Capítulo 16. Cálculo de períodos e construção de gráficos ........................... 264

16.1 ― Introdução .......................................................................... 264 16.2 ― Cálculo do período de funções da forma y = m + nf(ax + b)264 16.3 ― Cálculo do período de somas e produtos de duas funções periódicas........................................................................... 266 16.4 ― Construção de gráficos....................................................... 269

Capítulo 17. Funções trigonométricas inversas ...............................................277

17.1 ― O conceito de função inversa..............................................277 17.2 ― Introdução às funções trigonométricas inversas .................278 17.3 ― A inversa do seno: função arco-seno..................................279 17.4 ― A inversa do cosseno: função arco-cosseno.......................279 17.5 ― A inversa da tangente: função arco-tangente .....................282 17.6 ― A inversa da cotangente: função arco-cotangente ..............283

Exercícios Suplementares ................................................................286 Respostas dos exercícios propostos ................................................288 Respostas dos exercícios suplementares.........................................316 Tabela de razões trigonométricas.....................................................327

30

logo, podemos escrever: sen

tgcos

Podemos, como exemplo, verificar as relações acima com os valores da

tabela para os ângulos notáveis:

a)

222 2 1 3 1 3 4

sen 30º cos 30º 12 2 4 4 4

b)

32sen 60º

3 tg 60ºcos 60º 1

2

c)

22sen 45º

1 tg 45ºcos 45º 2

2

Exercícios Resolvidos

2.4) Calcule sen e tg , sabendo que é um ângulo agudo e que cos = 13

.

Solução

1º) como sen2 + cos2 = 1, temos:

sen2 = 1 – cos2 = 1 – 2

1 1 81

3 9 9

Assim, 8 2 2

sen .3 3

2º) como sen

tgcos

, temos:

2 23

tg 2 213

2.5) Sendo sen – cos = m e um ângulo agudo, determine o produto

sen · cos .

Solução

Elevando ambos os membros da igualdade dada ao quadrado, temos:

(sen – cos )2 = m2 sen2 – 2sencos + cos2 = m2;

31

mas, sen2 + cos2 = 1; então:

1 – 2sencos = m2 2sencos = 1 – m2 e, finalmente

sen · cos = 21 m

2

2.6) Prove que:

1 1 1sen cos tg 1

sen cos tg

Solução

Vamos partir do primeiro membro da igualdade, lembrando que

tg = sen

;cos

2 2

2 2 2 2 2 2

2 2

cos sen1 sen 1 cos1ºm

sen cos sen cos

cos sen (cos sen ) cos sen1 2º m

sen cos sen cos sen cos

Exercícios Propostos 2.7) Num triângulo retângulo, um dos catetos mede 5 e a altura relativa à

hipotenusa mede 3. Determine as medidas do outro cateto, da hipotenusa e dos segmentos que a altura determina sobre a hipotenusa.

2.8) No triângulo da figura são dados m = 3 e n = 1

Calcule a, b, c e h

2.9) Com referência à figura do exercício anterior, sendo dados m = 5 e h = 5 , determine as medidas dos demais segmentos indicados.

2.10) Ainda com referência à figura do exercício 2.8, sendo dados b = 2 e n = 3,

calcule as medidas dos demais segmentos indicados.

32

2.11) Voando a uma altitude de 1000 metros, o piloto mede, em dois instantes diferentes, os ângulos segundo os quais ele avista uma árvore, como indica a figura.

Qual é a distância percorrida pelo avião entre os dois instantes considerados? Utilizar os valores tg 30º = 0,58 e tg 45º = 1,00.

2.12) Sendo 4 cm o raio da circunferência da figura, calcule o comprimento da

corda AB. Dados: sen 20º = 0,34 e cos 20º = 0,94.

2.13) Calcule a medida c do lado AB do triângulo retângulo dado na figura abaixo. Dados: sen 25º = 0,42; cos 25º = 0,91; tg 25º = 0,47.

2.14) Calcule a altura do edifício representado na figura. São dados: tg 87º = 19,1;

tg 58º = 1,6

33

2.15) Sendo a medida de um ângulo agudo tal que 2

sen7

, calcule cos e

tg . 2.16) Sendo a medida de um ângulo agudo tal que tg = 3, calcule sen e cos . 2.17) Prove que

2

1 sen1tg

cos 1 sen

2.18) Simplifique a expressão

sen6x + cos6x – sen4x – cos4x + sen2x

66

4.5) Prove que sen2·cos2 – cos2·sen2 = sen2 – sen2

Solução

Vamos desenvolver o 1º membro lembrando que cos2 = 1 – sen2 e cos2 = 1 – sen2. sen2·cos2 – cos2·sen2 = sen2·(1 – sen2) – (1 – sen2)·sen2= = sen2 – sen2·sen2 – sen2 + sen2·sen2 = sen2 – sen2.

4.6) Dê todos os valores de x no intervalo –2 x 2 tais que 3

cos x2

.

Solução

A figura ao lado auxilia a visualização do problema. Os arcos cujos cossenos

valem 32

tem extremidades no

ponto P (2º quadrante) ou no ponto Q (3º quadrante) e correspondem aos valores em graus indicados. Essas medidas, expressas em radianos, são a resposta procurada. Temos

então7 5 5 7

x ou x ou x ou x6 6 6 6 .

4.7) Dê a expressão geral de todos os

valores de x tais que 2

sen x2

.

Solução

O valor 2

sen x2

corresponde aos

pontos P e Q indicados na figura ao lado. Os arcos de extremidade P tem

expressão geral 5

x 2k (k )4

e

aqueles de extremidade Q tem

expressão geral 7

x 2k (k )4

4.5. SENOS DOS ARCOS DE MEDIDAS

Vamos examinar um processo para o cálculo dos senos de arcos cujas

medidas são da forma n

(com n 3, inteiro). Incluem-se nestes casos

, , , , etc.3 4 5 6 10

67

Primeiramente, observemos que, se dividirmos a circunferência em n partes

iguais (n 3), dois pontos de divisão P e Q sucessivos determinam a corda PQ,

que é o lado do polígono regular inscrito de n lados. Sua medida é indicada por n.

A figura 4.11 dá alguns exemplos.

a) pentágono regular (n = 5) b) octógono regular (n = 8)

c) hexágono regular (n = 6) d) decágono regular (n = 10)

Fig. 4.11

O ângulo P OQ é a enésima parte da circunferência e mede,

portanto, 2n

(fig. 4.12). Se os pontos P

e Q são marcados de modo que a

corda PQ seja perpendicular ao eixo

Ox. então o arco AQ tem medida n

e

resulta

nsenn 2

(n 3, inteiro) Fig. 4.12

68

Da Geometria conhecem-se as expressões dos lados dos polígonos regulares em função do raio da circunferência circunscrita. Temos, por exemplo:

3

4

6

8

10

r 3 (triângulo equilátero)

r 2 (quadrado)

r (hexágono regular)

r 2 2 (octógono regular)

5 1r (decágono regular)

2

Lembrando que a circunferência trigonométrica tem raio r = 1, obtemos os

valores:

3

4

6

8

10

3sen

3 2 2

2sen

4 2 21

sen6 2 2

2 2sen

8 2 2

5 1sen

10 2 4

Exercício Resolvido

4.8) Calcule sen 12

.

Solução

Vamos determinar inicialmente a expressão de 12 em função do raio da

circunferência circunscrita. A figura acima representa um dodecágono regular inscrito na circunferência de raio r. Observe que a medida do

segmento PQ é 6 = r. No triângulo

retângulo AA'Q podemos escrever 2

AQ A ' A MA onde 12AQ A ' A 2r e MA r OM.

Assim, 212 2r(r OM)

69

Mas no triângulo retângulo OMQ temos 2 2 2

OM OQ MQ , isto é, 2 2 22 2 26

2 212

12

r 3rOM r r

2 4 4

r 3Então, 2r r r (2 3 )

2

e finalmente, r 2 3 .

Pondo r = 1, obtemos

12 2 3sen .

12 2 2

Exercícios Propostos 4.9) Dê o sinal de cos (– 2187º). 4.10) Dê o sinal de sen (– 3295º). 4.11) Determine o valor de cos 3465°. 4.12) Determine o valor de sen 4290º. 4.13) Dê o valor de sen 793º (utilizando a tabela que se encontra no final deste

volume).

4.14) Sendo 21 m

sen x2 , determine cos x.

4.15) Sendo 2 sen x cos x 2 , calcule sen x e cos x. 4.16) Dê a expressão geral de todos os valores de x tais que

a) 2

cos x2

b) 1

sen x2

4.17) Prove que 4 5 cos 3 5 sen

03 5 sen 4 5 cos

4.18) Prove que

cos3 – sen3 = (cos – sen ) (1 + sen ·cos ) 4.19) Prove que

(1 + sen x + cos x)2 = 2(1 + sen x) (1 + cos x)

70

4.20) Prove que sen2 + sen2 – sen2·sen2 + cos2·cos2 = 1

4.21) Simplifique a expressão

sen6x + cos6x + 3sen2x·cos2x

4.22) Calcule sen 16

4.23) Calcule cos 8

78

Exercícios Resolvidos 5.6) Simplifique a expressão

y = (1 – sen2) (1 + cotg2)

Solução

Lembrando que 1 – sen2 = cos2 e que cos

cotgsen

, escrevemos:

2 2 22 2 2 2

2 2

22

2

cos sen cosy (1 sen )(1 cotg ) cos 1 cos

sen sen

coscotg

sen

5.7) Demonstre a identidade

tg x tg y

tg x tg ycotg x cotg y

Solução

Vamos desenvolver a expressão do 1º membro: tg x tg y tg x tg y tg x tg y tg x tg y

(tg x tg y)cotg x cotg y tg x tg ytg x tg y1 1

tg x tg y tg x tg y

tgx tgy

5.8) Sendo cotg x = m, escreva em função de m a expressão y = cos2x – sen2x.

Solução

Em 1º lugar, partindo da identidade cos x

cotg xsen x

, escrevemos

2

22

cos xm

sen x donde

2

22

1 sen xm

sen x. Desta última igualdade resulta

22

1sen x

1 m. Além disso, temos cos2x = 1 – sen2x = 1 –

2

2 21 m

1 m 1 m

Sendo assim, a expressão dada fica:

y = cos2x – sen2x =

2

2 2m 1

1 m 1 m

isto é,

2

2m 1

ym 1

5.9) Simplifique 2

2 2cotg a 1

y1 cotg a 1 tg a

84

5.21) Sendo cotg x = m, calcule cos x.

5.22) Se tg x = 2 p1 p

, calcule cos x.

5.23) Dado que 3cos2x – sen2x = 2, calcule tg x e cotg x. 5.24) Dado que (a – 1)sen2x + (a + 1)cos2x = a, calcule tg x e cotg x. 5.25) Determine os valores de m para que se tenha, simultaneamente:

2m 3 2m 1

tgx e cotgxm 3m

5.26) Determine todos os valores de x no intervalo –2 x 2, que satisfazem a

condição: a) tg x = –1

b) 3

cotgx3

c) tg x = – 3

d) cotgx 3 e) tg x = 0

5.27) Determine todos os valores de x no intervalo – x que satisfazem a

condição: a) cotg x = –1

b) 3

tgx3

c) cotgx 3

d) 3

tgx3

e) cotg x = 0 5.28) Dê a expressão geral de todos os valores de x tais que:

a) tg x = 0 b) cotg x = –1

c) tg x = 3 d) cotg x = 0

e) 3

tgx3

f) tg2x = 1 g) cotg2x = 3 h) tg x + cotg x + 2 = 0

5.29) Sendo A e B arcos de 1º quadrante, tais que sen A cos A1 2 10

e ,sen B 2 cos B 5

determine tg A e tg B.

85

5.30) Simplifique cada uma das expressões dadas abaixo: a) y = cotg2·tg·sen + tg2·cotg ·cos b) y = sen ·cos ·tg

c) cos (1 sen )

y1 cos tg

d) y = tg ·sen + cos e) y = (1 + tg2) (1 + cotg2) (1 – cos2)

f) 1 cotg

y1 tg

g) y = 2cos – sen (cotg – tg )

h) 2

2t g

y1 tg

i) 2 2 2 2

t g cotgy

(1 tg ) (1 cotg )

5.31) Prove as identidades seguintes:

a) (tg + cotg ) sen ·cos = 1

b) 2

22

1 t g2cos 1

1 tg

c) [(cotg + cos )2 – (cotg – cos )2]2 = 16(cotg2 – cos2)

92

6.2) Prove que cossec4 – cossec2 = cotg4 + cotg2

Solução

Lembrando que cossec2 = 1 + cotg2, podemos escrever cossec4 – cossec2 = cossec2·[cossec2 – 1] = = (1 + cotg2) [(1 + cotg2) – 1] = = (1 + cotg2)·cotg2 = cotg4 + cotg2

6.3) Prove que

sec x tg x sec x tg x2(sec x cossec x)

cossec x cotg x cossec x cotg x

SoIução

Partindo da expressão do 1º membro:

sec x tg x sec x tg xcossec x cotg x cossec x cotg x

(sec x tg x)(cossec x cotg x) (sec x tg x)(cossec x cotg x)(cossec x cotg x)(cossec x cotg x)

O denominador desta fração é igual a

cossec2x – cotg2x = (1 + cotg2x) – cotg2x = 1

Podemos então desenvolver o numerador:

sec x·cossec x – sec x·cotg x + tg x·cossec x – tg x·cotg x – sec x·cossec x – sec x·cotg x + tg x·cosssec x + tg x·cotg x = 2(tg x·cossec x – sec x·cotg x) =

sen x cos x1 1 1 12 2 2(sec x cossec x)

cos x sen x cos x sen x cos x sen x

6.4) Sendo sec – tg = a (a 0), calcule sen

Solução

Podemos escrever sen1

acos cos

donde a·cos = 1 – sen Elevando ao quadrado, resulta

a2cos2 = (1 – sen )2

isto é, a2(1 – sen2) = (1 – sen )2 ou a2(1 – sen ) (1 + sen ) – (1 – sen )2 = 0 e (1 – sen ) [a2(1 + sen ) – (1 – sen )] = 0 Há dois casos a considerar:

1) 1 – sen = 0, donde sen = 1. Esta resposta é inaceitável, pois teríamos cos = 0 e assim não existiriam sec e tg .

2) a2(1 + sen) – (1 – sen) = 0

93

Desta equação tiramos 2

21 a

sen1 a

Exercícios Propostos 6.5) Dado sen x = –0,60, calcule as demais razões trigonométricas de x.

6.6) Dado 7

tg x3

, calcule as demais razões trigonométricas de x.

6.7) Dado 5

sec x2

, calcule as demais razões trigonométricas de x.

6.8) Dado 2sec x t 1 (t 0) , calcule as demais razões trigonométricas de x. 6.9) Sendo cossec x = m, calcule tg x. 6.10) Determine os valores de p para os quais é possível a igualdade sec x = 2p2 – 1. 6.11) Determine m para que se tenha, simultaneamente: tg x = 3m + 3 e

sec x = m + 2.

6.12) Sendo m e n números positivos tais que cossec x m n

m(m n)

, determine

tg x. 6.13) Simplifique as expressões:

a) 1 sen

ysec tg

b) y = (sec4 – sec2)·cos4

c) cossec cotg cossec cotg

ycossec cotg cossec cotg

d) y = (1 – cos ) (cosssec + cotg ) 6.14) Prove cada uma das identidades seguintes:

a) (1 – cotg x)2 + (1 – tg x)2 = (sec x – cossec x)2

b) sec x cossec x tg x cotg x

tg x cotg x sec x cossec x

119

Exercícios Suplementares II.1) Utilizando a tabela, dê o valor de:

a) sen 3973º b) cos 415º c) tg 3297º

d) cotg112

e) sec142

3

f) cossec19

3

II.2) Calcule sen x e cos x, sendo:

8sen2x + 2cos2x = 5sen x + 1

II.3) Calcule sen x e cos x, sendo sen x·cos x = 2 5

9

II.4) Calcule sen x e cos x, sendo:

2(sen3x + cos3x) = sen x + cos x II.5) Calcule sen x e cos x, sendo:

sen x + acos x = a II.6) Calcule sen x e cos x, sendo

(m + 1)sen x + (m – 1)cos x = m + 1 (m 1)

II.7) Prove que 2cos2 – 1 = 2

21 tg

1 tg

II.8) Prove que:

1 + (1 + 2tg2x)sen2x = 2tg2x + cos2x II.9) Sendo cos + cos = a e sen + sen = b, calcule

cos ·cos + sen ·sen . II.10) Prove que:

4 4 tg x cotg x 2 sen x cos x

4 tg x cotg x 2 sen x cos x

II.11) Prove que 4 4

2cos x sen xcos x 2 sec x

2 sec x

II.12) Sendo tg = 2 2

b

a b, simplifique:

y = sen (1 + tg ) + cos (1 + cotg ) – sec

120

II.13) Simplifique: y = cotg2x(tg x – sen x)(sec x + 1)

II.14) Simplifique 1 1

y1 cos 1 cos

sendo de 1º quadrante.

II.15) Simplifique 2

2 2(tg x cotg x)

ysec x cossec x

II.16) Sendo a

sen xa b

e cos x > 0, calcule as demais razões trigonométricas

de x.

II.17) Sendo cos x = 2 2

2 2a b

a b

com a > b > 0 e sen x > 0, calcule as demais razões

trigonométricas de x.

II.18) Sendoa b

tg x ,a b

com a > b > 0 e cos x < 0, calcule as demais razões

trigonométricas de x.

II.19) Sendo cotgm n

x2 mn

, com m > n > 0 e sen x > 0, calcule as demais razões

trigonométricas de x. II.20) Sendo cotg + cossec = m (m 0), calcule cos .

II.21) Determine m para que se tenha simultaneamente m 3

sen x5 e

2m 4cos x

5 .

II.22) Determine m para que se tenha simultaneamente cotg x = 3 m + 1 e

cossec x = 2m + 2 . II.23) Sendo sen x + cos x = a, calcule sen3x + cos3x. II.24) Sendo sen x + cos x = a, calcule tg3x + cotg3x. II.25) Prove que:

tg2·sec + sen2(sec + cos ) = sec3 – cos3 II.26) Utilizando redução ao 1º quadrante, calcule sen A + cos 2A + tg 3 A, sendo

535

A12

121

II.27) Resolva a equação cos3

2x3 2

, no conjunto-universo U = [–; ]

II.28) Resolva a equação tg 3x = –1, no conjunto-universo U = .

II.29) Sendo x = arc sen 15

, calcule tg x.

II.30) Sendo x = arc tg 12

, calcule sen x.

II.31) Resolva a equação

arc sen 3x 1 = arc cos x

II.32) Resolva a equação

2 13 1arc cos arc tg x

13 2

II.33) Calcule y = sen (arc tg 2) II.34) Calcule y = sec (arc cotg a) II.35) Resolva a equação tg x + 3 cotg x = 4 no conjunto-universo U = [0; 2]. II.36) Resolva a equação tg2x = 2sec x – 1 no conjunto-universo U = [–; ]. II.37) Resolva a equação 8cos2x + sec x = 0 no conjunto-universo U = .

II.38) Resolva a equação 4sen x cos x + 3 = 0 no conjunto-universo U = [0; 2]. II.39) Resolva a equação sec2x + cossec2x = 4 no conjunto-universo U = [0; 2].

II.40) Resolva a equação 2 2

2 37

cos x cotg x no conjunto-universo U = .

128

cos cos cos sen sen

4 1 3 2 2 4 6 2 4 6 2

5 3 5 3 15 15 15

9.2) Calcule cos 105º, utilizando os senos e cossenos de 60º e 45º.

Solução

Como 105º = 60º + 45º, temos: cos 105º = cos(60º + 45º) = cos 60º·cos 45º – sen 60º·sen 45º =

1 2 3 2 2 6donde cos 105º

2 2 2 2 4

9.3) Demonstre a identidade

cos(a + b)·cos(a – b) = cos2a – sen2b Solução

1º membro = cos(a + b)·cos(a – b) =

= (cos a·cos b – sen a·sen b) · (cos a·cos b + sen a·sen b) = = cos2a·cos2b – sen2a·sen2b = cos2a·(1 – sen2b) – (1 – cos2a)·sen2b = = cos2a – cos2a·sen2b – sen2b + cos2a·sen2b = cos2a – sen2b =

= 2º membro

9.4. ARCOS (OU ÂNGULOS) COMPLEMENTARES

Dois arcos cujas medidas tem soma igual a 2

(ou igual a um côngruo

de 2

) são chamados complementares; (30º; 60º), 5 11

; , ;12 12 8 8

são

exemplos de pares de arcos complementares. Assim, se é a medida de um

arco,

2 é a medida de um seu complementar.

Propriedade: se dois arcos são complementares, o cosseno de um deles

é igual ao seno do outro, isto é:

cos sen2

sen cos2

A verificação da primeira igualdade é simples: basta desenvolver o cosseno

da diferença; assim:

129

cos cos cos sen sen2 2 2

como cos 0 e sen 1, vem :2 2

cos sen2

Para verificarmos a segunda relação efetuamos uma mudança de variável;

assim, na igualdade (já verificada)

cos x sen x

2

fazemos a substituição

x2

, da qual resulta

x

2 2 2; logo

cos sen2

.

Interpretação Geométrica

Se P e Q são, respectivamente, as extremidades dos arcos de medida

e2

(fig. 9.5), é imediato que AÔP = QÔB (medida ).

Fig. 9.5

Assim, a bissetriz b dos quadrantes ímpares contém a bissetriz OD do triângulo isósceles POQ. Portanto, P e Q são simétricos em relação a b. Podemos então concluir que arcos complementares tem extremidades simétricas em relação à bissetriz dos quadrantes ímpares.

Podemos agora deduzir facilmente as relações entre as demais razões

trigonométricas:

sencos2

tg cotg2 sen

cos2

130

1 1cotg tg

2 cotgtg

2

1 1sec cossec

2 sencos

2

1 1cossec sec

2 cossen

2

Temos, assim, a seguinte tabela de relações:

sen cos2

cos sen

2

tg cotg2

cotg tg2

sec cossec2

cossec sec2

Exercícios Resolvidos 9.4) Simplifique a expressão:

sen 10º cos 50º tg 65ºy

cos 80º sen 40º cotg 25º

Solução

Usando as fórmulas de mudança de sinal, vem:

sen 10º cos 50º tg 65º

ycos 80º sen 40º cotg 25º

Notando, agora, que 10º + 80º = 90º, 50º + 40º = 90º e 65º + 25º = 90º, as relações entre arcos complementares nos permitem escrever:

sen 10º cos 50º tg 65º

ysen 10º cos 50º tg 65º

logo, y = –1

9.5) Sendo x um arco qualquer, calcule o valor da expressão

2 2y sen x sen x

6 3

131

Solução

Basta notar que

x x ;6 3 6 3 2

portanto,

sen x cos x

3 6; assim

2 2 2 2y sen x sen x sen x cos x6 3 6 6

logo, y = 1

9.6) Sendo e dois arcos complementares tais que sen – sen = m, calcule o produto sen ·sen Solução

Temos sen = cos ; assim, a diferença dada fica

sen – cos = m

Elevando ao quadrado ambos os membros, vem

sen2 – 2sen ·cos + cos2 = m2 ou

1 – 2sen ·cos = m2

e daí

21 m

sen cos2

Então

21 m

sen sen2

9.7) Calcule o valor da expressão

y = sen 41º · sen 42º · sen 43º · sen 44º · sen 45º · sec 46º · sec 47º · sec 48º · sec 49º Solução

Notando que

41º + 49º = 90º, temos que sec 49º = cossec 41º1

sen 41º ;

portanto, sen 41º · sec 49º = 1. Pelo mesmo motivo, sen 42º · sec 48º = 1 sen 43º · sec 47º = 1 sen 44º · sec 46º = 1 Assim, a expressão dada se reduz a

y = sen 45º

logo, 2

y2

136

9.7. RESUMO

1º) Mudança de sinal do arco (ou ângulo)

sen sen cos cos

tg tg cotg cotg

sec sec cossec cossec

2º) Arcos (ou ângulos) complementares

sen cos2

cos sen2

tg cotg2

cotg tg2

sec cossec2

cossec sec2

3º) Soma e diferença de arcos (ou ângulos)

sen (a + b) = sen a · cos b + sen b · cos a

sen (a – b) = sen a · cos b – sen b · cos a

cos (a + b) = cos a · cos b – sen a · sen b

cos (a – b) = cos a · cos b + sen a · sen b

tg a tg btg a b

1 tg a tg b

tg a tg b

tg a b1 tg a tg b

Exercícios Propostos

9.14) Dado que 3

sen ,5 2

, determine:

a) sen (–) b) cos (–) c) tg (–)

9.15) Sendo sen (x – y) = a, calcule a para que se tenha

3·sen (y – x) + 2cos2(y – x) = 0.

Resolva, em seguida, a equação sen (x – y) = a, para x – y no 1º quadrante. 9.16) Simplifique as expressões abaixo e, se possível, determine seu valor

numérico

137

a) y = cos 3x·cos x + sen3x·sen x b) y = cos 65º·cos 25º – sen 65º·sen 25º c) y = cos 70º·cos 10º + sen 70º·sen 10º

9.17) Calcule cos 75º e cos 15º, usando, para ambos, as fórmulas de cos(a + b) ou cos(a – b).

9.18) Se 2

sen ,3 2

, calcule cos x4

.

9.19) Calcule cos3 1

arc sen arc sen5 2

.

9.20) Dado que 3

sec 3, 22 , determine:

a) sen2

b) cos2

c) tg2

9.21) Sendo cos x a,4

determine:

a) cos x4

b) sen x4

9.22) Sendo cos x m3

, determine sen x

6

.

9.23) Simplifique as expressões

a)

sen x cos x sen x cos x2 2

y1 tg x cotg x

2

b)

cos a b tg x12

y5

cos b a cotg x12

9.24) Calcule o valor da expressão:

y = tg 1º · tg 2º · tg 3º · ... · tg 88º · tg 89º

138

9.25) Calcule o valor da expressão: y = 2 · cos 26º · cos 27º · cos 28º · cos 29º · cos 30º · cossec 61º · cossec 62º · cossec 63º · cossec 64º

9.26) Simplifique as expressões abaixo e, se possível, determine seu valor

numérico: a) y = sen 2a·cos a – sen a·cos 2a

b) y = sen5

·cos 45

+ sen45

·cos5

9.27) Calcule sen 105º.

9.28) Calcule 3 24

sen arc sen arc tg2 7

.

9.29) Mostre que sen (a + b)·sen (a – b) = cos2b – cos2a. 9.30) Calcule tg 15º. 9.31) Supondo satisfeitas as condições de existência, mostre que:

cos x sen xtg x

4 cos x sen x

9.32) Determine tg x, sabendo que:

tg x tg x 24 4

9.33) Sendo 4 , mostre que:

1 tg 1 tg 2

9.34) Mostre que, se x + y + z = 2

, então

tg x·tg y + tg x·tg z + tg y·tg z = 1

9.35) Se cotg e cotg são raízes da equação x2 + bx – 1 = 0, calcule cotg(+ ), sabendo que b 0.

9.36) São dadas, a seguir, três equações do 2º grau com seus respectivos

conjuntos-solução: E1: x

2 – sx + p = 0, S1 = {sen (a + b); cos (a – b)} E2: x

2 – s1x + p1 = 0, S2 = {sen a; cos a} E3: x

2 – s2x + p2 = 0; S3 = {sen b; cos b}

Mostre que s = s1·s2 e que p = p1 + p2

147

9.44) Simplifique as expressões:

a)

3sen 2 tg cotg

2 2y

cos 2 tg

b)

3 3sen cos sen cos

2 2y

cos cos 2 sen sen2 2

9.45) Se tg 35º = a, calcule:

tg 215º tg 125ºy

tg 235º tg 325º

9.46) Simplifique a expressão:

9 13sen sen cos 7

2 2

9.47) Calcule a expressão:

cos x 1620º tg x 630ºy sen 990º ,

sen 900º x

sabendo que

5sen x

5

9.48) Avalie a expressão: E = sen 0º + sen 1º + sen 2º + ... + sen 360º

9.49) Avalie a expressão:

E = cos 20º + cos 40º + cos 60º + ... + cos 180º 9.50) Mostre que, se x, y e z são ângulos internos de um triângulo não retângulo,

então tg x, tg y e tg z tem sua soma igual ao seu produto.

166

11.6. RESUMO 1º) Fórmulas de transformação em produto

p q p qsen p sen q 2 sen cos

2 2

p q p qsen p sen q 2 sen cos

2 2

p q p qcos p cos q 2 cos cos

2 2

p q p qcos p cos q 2 sen sen

2 2

sen p qtg p tg q

cos p cos q

sen p qtg p tg q

cos p cos q

2º) Fórmulas de reversão

1sen a cos b sen a b sen a b

2

1cos a cos b cos a b cos a b

2

1sen a sen b cos a b cos a b

2

Exercícios Propostos

11.11) Transforme em produto as expressões: a) sen 6x + sen 2x c) sen x – sen 3x b) cos 7x + cos 3x d) cos 3x – cos 9x

11.12) Transforme em produto as expressões: a) 1 – 2sen 2x c) sen x + cos x b) sen 2x + 2sen x d) sen 3x – cos x

11.13) Transforme em produto as expressões: a) sen 11x + sen 3x + sen 15x – sen x b) cos 5x + cos x + sen 9x + sen 3x

11.14) Simplifique a expressão:

cos 9x cos 7xy

sen 9x sen 7x

167

11.15) Simplifique a expressão: sen 100º sen 20º

ycos 100º cos 20º

11.16) Sendo a b3 , calcule o valor de:

sen a sen by

cos b cos a

11.17) Utilizando as fórmulas de transformação em produto, demonstre que:

sen2a – sen2b = sen (a + b)·sen (a – b) 11.18) Transforme em produto a expressão sen23x – cos2x 11.19) Demonstre que:

tg 3x – tg x = 2sen x·sec 3x 11.20) Demonstre que:

acotg a tg cossec a

2

11.21) Adotando cos 10º = 0,98, calcule o valor de tg 10º + tg 40º

11.22) Sabendo que x y

sen 02 e que:

x ya tg x b tg y a b tg ,

2 prove que a cos y = b cos x

11.23) Transforme os produtos abaixo em somas ou diferenças:

a) sen 40º·cos 12º b) 2cos 5x·cos x c) 2sen 3x·sen 2x

11.24) Calcule o valor das expressões:

a) 5

y sen cos24 24

b) 7

y cos cos12 12

c) 3 9

y 2 sen sen24 24

11.25) Simplifique a expressão:

y = sen x (2cos 2x + 2cos 4x + 2cos 6x + 1) 11.26) Sendo cos 10º = a, calcule o valor da expressão:

y = 8cos 65º·cos 25º·cos 145º·cos 125º

168

Exercícios Suplementares

III.1) Resolva a equação 1

sen( x)2

III.2) Simplifique a expressão:

cos 3x cos x sen 3x sen x

y1 2 cos 2x 1 2 cos 2x

III.3) Calcule sen 285º, conhecidos os senos e cossenos de 30º e 45º. III.4) Sendo e ângulos agudos de um triângulo retângulo, verifique que:

sen 2 cos 3

III.5) Dados 2 5

sen a , 0 a e sen b , 0 b3 2 5 2

, calcule o valor de

sen (a – b) + cos (a + b).

III.6) Mostre que cotga cotgb 1cotg a b

cotga cotgb

III.7) Sendo a b3 , calcule o valor de y 1 3 cotg a 1 3 cotg b .

III.8) Simplifique a expressão:

cotg tg 22

y3

t g 2 cotg 2 12

III.9) Calcule a expressão:

sen arc sen a cos arc sen b2

y3

cos arc sen a sen arc cos b2 2

III.10) Se A, B e C são ângulos internos de um triângulo, mostre que:

cotg A·cotg B + cotg A·cotg C + cotg B·cotg C = 1

III.11) Calcule 1

sen 2 arc cos3

III.12) Calcule 3

cos 4 arc sen4

169

III.13) Calcule 1

tg arc tg 22

III.14) Verifique as identidades:

a) 2sen – sec = sec ·(sen 2 – 1) b) 2cos – sec = sec ·cos 2

III.15) Calcule cos 15º de dois modos: 1º) utilizando o fato 15º = 45º – 30º

2º) utilizando o fato 15º = 30º2

III.16) Sendo n *, calcule o valor de

sen 3n cos 3ny

sen n cos n

III.17) Sabendo que sen 2x = m, calcule o valor de:

2 2y sen x cos x4 4

III.18) Simplifique a expressãosen3x sen x

y4sen x

III.19) Sendo x y4 , calcule

cos x cos yy

sen x sen y

III.20) Simplifique a expressão:

sen 40º sen 10ºy

cos 80º cos 50º

III.21) Simplifique a expressão:

2

cos cos 7y

2 sen sen 5 sen

III.22) Transforme em produto a expressão cos2a – cos2b. III.23) Transforme em produto a expressão sen a + sen b + sen c, sabendo que a,

b e c são ângulos internos de um triângulo. III.24) Transforme em produto a expressão:

sen a btg a tg b

sen a sen b

III.25) Calcule o valor de

y = tg 9º – tg 27º – tg 63º + tg 81º

182

Obtemos então y k , ou seja,

xk

4 2

donde x 2k2

S x | x 2k k2

12.2. EQUAÇÕES CLÁSSICAS

Denominamos equações clássicas certos tipos de equações em cuja resolução se utilizam artifícios especiais. Analisaremos aqui os três tipos mais importantes, com seus métodos de resolução.

12.3. 1ª EQUAÇÃO CLÁSSICA

Trata-se da equação

asen x + bcos x = c (ab 0)

Há dois métodos principais. O primeiro, que consiste em colocar sen x e cos x

em função de x

tg t2 , deve ser utilizado de preferência quando os coeficientes são

literais e se impõe uma discussão. O segundo, mais indicado nos problemas numéricos, utiliza o ângulo auxiliar.

1º método

Conhecemos as expressões de sen x e cos x em função de x

tg t2 :

2

2 2

2t 1 tsen x e cos x

1 t 1 t

Com esta substituição, a equação clássica fica

2

2 2

b 1 t2 atc

1 t 1 t

ou seja, após as simplificações:

(b + c)t2 – 2at + c – b = 0 (I)

Esta equação (I) permite calcular t e, em seguida, tendo-se x

tg t2 ,

podemos calcular x: x = 2 arc tg t + 2k . Supondo b + c 0, a equação (I) admitirá raízes se e somente se

24a 4 b c c b 0

isto é, se

183

a2 + b2 c2

Note-se, porém, que, adotando-se x

tg2

como incógnita auxiliar, corre-se o

risco de perder a solução x = + 2k, que corresponderia à situação em que x

tg2

não existe. Verifiquemos em que caso isto aconteceria: se x = + 2k for solução,

teremos, para esse valor de x, sen x = 0 e cos x = –1, de modo que na equação a sen x + b cos x = c, obteríamos b + c = 0.

Conclusão: se b + c = 0, teremos a solução x = + 2k e, além desta, a

solução c b

t2a

que se obtém de (I). Se b + c 0, teremos apenas as soluções

dadas por (I).

Exercícios Resolvidos

12.13) Resolva a equação 2sen x + 3cos x = 1

Solução

Temos a = 2, b = 3 e c = 1

Pondo x

tg t2 ,obtemos sen

2

2tx

1 t

e

2

2

1 tcos x

1 t

. A equação fica

2

2 2

3 1 t4t1

1 t 1 t

isto é, 2t2 – 2t – 1 = 0.

Dai resulta 1 3

t2

, donde

x 1 3arc tg k

2 2

e, finalmente, x = 21 3

arc tg 2k .2

Como b + c = 4 0, segue que a solução x 2k não satisfaz. Sendo assim,

1 3S x | x 2 arc tg 2k k

2

12.14) Resolva a equação

3 sen x cos x 1

184

Solução

Temos a 3 , b = –1 e c = 1. Pondo x

tg t2 , vem

2

2tsen x

1 t

e

2

2

1 tcos x

1 t

.

A equação fica 2

2 2

2 3t 1 t1

1 t 1 t

isto é, 3

t3

. Daí resulta x

k2 6

donde x 2k3

.

Neste caso, temos b + c = 0; logo, os valores de x dados por x = + 2k também constituem solução, como se pode verificar diretamente, pondo sen x = 0 e cos x = –1 na equação dada. Temos então

S x | x 2k ou x 2k k3

12.15) Resolva e discuta a equação msen x + cos x + 3m – 1 = 0.

Solução

Temos a = m, b = 1 e c = 1 – 3m. Há dois aspectos a observar: primeiramente, se m = 0 ou m 0 e, em segundo lugar, se b + c = 0 ou

b + c 0. Como b + c = 2 – 3m teremos b + c = 0 para 2

m3

. Vamos

então analisar separadamente os três casos:

1º) m = 0

2º) 2

m3

3º) 2

m 0 e m3

1º caso: suponhamos m = 0. A equação fica cos x = 1, donde resulta

S x | x 2k k

2º caso: suponhamos 2

m3

. A equação fica 2

3sen x + cos x + 1 = 0.

Pondo 2

2 2

x 2t 1 ttg t,sen x e cos x ,

2 1 t 1 t

obtemos

2

22

4t 1 t1 0

1 t3 1 t

isto é, 3

t2

. Resulta x

2 = arc

3tg k

2

.

Temos então 3

x 2 arc tg 2k2

e ainda x 2k . Assim,

185

3S x | x 2 arc tg 2k ou x 2k k

2

3º caso: suponhamos 2

m 0 e m3

. Pondo x

tg t2 ,

2

2tsen x

1 t

e

2

2

1 tcos x ,

1 t

obtemos

2

2 2

2m t 1 t3m 1 0

1 t 1 t

isto é (3m – 2)t2 + 2mt + 3m = 0.

A equação admitirá solução se e somente se = 4m2 – 4(3m – 2)·3m 0,

ou seja,3

0 m4

Como 2

m 0 e m3

, devemos ter

2 2 30 m ou m

3 3 4

Se t1 e t2 são as raízes desta equação do 2º grau, escrevemos

1 2S x | x 2 arc tg t 2k ou x 2 arc tg t 2k k

2º método: ângulo auxiliar

Dada a equação asen x + bcos x = c (ab 0), podemos escrever

b csen x cos x

a a

Seja b

arc tga

(valor que pode ser obtido, por exemplo, por meio de uma

tabela). Podemos fazer a substituição

b sentg

a cos

e a equação fica sen c

sen x cos xcos a

donde c

sen x cos sen cos x cosa

isto é,

csen x cos

a

Esta última é uma equação imediata que fornece os valores de x. Haverá soluções desde que seja satisfeita a condição

c1 cos 1

a

186

Note que esta condição se escreve 2

22

ccos 1

a

e como2

222 2 2 2

2

1 1 1 acos

bsec 1 tg a b1

a

resulta 2 2

2 2 2

c a1

a a b

e finalmente 2 2 2a b c

Esta condição confirma aquela que encontramos no 1º método.

Exercícios Resolvidos

12.16) Resolva a equação sen x 3 cos x 1 . Solução

Façamos arc tg 3 .3

Assim, podemos substituir 3 por

sen3tg

3 cos3

A equação fica

sen3sen x cos x 1

cos3

ou sen x cos sen cos x cos3 3 3

e finalmente 1

sen x3 2

.

Observe a figura. Para o ponto P, temos x 2k3 6

Donde x 2k6

e para o ponto Q temos

5x 2k

3 6

Donde x 2k2

.

Assim,

187

S x | x 2k ou x 2k k6 2

12.17) Resolva a equação sen x – 2·cos x = 1 Solução

Façamos arc tg 2. Assim,

sen2 tg

cos

e a equação fica sen

sen x cos x 1cos

ou seja sen x·cos – sen ·cos x = cos

sen (x – ) = cos

Escrevemos ainda

sen x sen2

sen x sen 02

x x2 sen cos 0

2 4 2 4

Há 2 casos a considerar:

I) x

sen 02 4

II) x

cos 02 4

De I) vem x

k2 4

, donde x 2k

2

.

188

De II) vem

x

k2 4 2

, donde

x 2 2k2

.

Assim,

S x | x 2k ou x 2 arc tg2 2k k2 2

12.4. 2ª EQUAÇÃO CLÁSSICA

Trata-se da equação

asen2x + bsen x·cos x + c cos2x = d, abc 0

Há dois métodos principais. O primeiro consiste em colocar a expressão em

função de tg x = r e é preferível nos casos de coeficientes literais, que exigem discussão. O segundo, mais indicado nos problemas numéricos, utiliza o arco dobro para recair na 1ª equação clássica.

1º método

Vamos dividir ambos os membros da equação por cos2x. Obtemos

22

da tg x b tgx c

cos x

e, lembrando que 2 22

1sec x 1 tg x

cos x ,

vem atg2x + btg x + c = d(1 + tg2x)

ou seja: 2(a d)r br c d 0 (I)

Esta equação (I) permite calcular r para, em seguida, recairmos na equação

imediata tg x = r. Note, entretanto, que, ao dividirmos ambos os membros por

cos2x, podemos perder a solução x k2

, que corresponderia ao caso cos x = 0.

Verifiquemos em que situação isto ocorreria. Se x k2

for solução, teremos,

para este valor de x, cos x = 0 e sen x = ± 1, de modo que na equação

asen2x + bsen x·cos x + c cos2x = d

obteríamos a = d.

Conclusão: se a = d, teremos a solução x k2

e, além desta, a solução

d cr

b

que se obtém de (I). Se a d, teremos apenas as soluções dadas por (I).

189

Exercício Resolvido

12.18) Resolva a equação

3cos2x + 4sen x·cos x – sen2x = 2 Solução

Temos a = –1, b = 4, c = 3 e d = 2. Como a d, é claro que x k2

não

constitui solução. Podemos então supor cos x 0 e dividir ambos os membros da equação por cos2x. Obtemos

22

23 4 tg x tg x

cos x

e como 2 22

1sec x 1 tg x

cos x

resulta 3 + 4tg x – tg2x = 2(1 + tg2x)

ou seja: 3tg2x – 4tg x – 1 = 0

Dai vem2 7

tg x3

e assim

2 7S x | x arc tg k k

3

2º método: arco dobro

Conhecemos as identidades

2

2

1sen x 1 cos2x

21

cos x 1 cos2x2

1sen x cos x sen 2x

2

Substituindo estas expressões na equação asen2x + bsen x·cos x + c cos2x = d, obtemos

a b c1 cos 2x sen 2x 1 cos 2x d

2 2 2

Donde bsen 2x + (c – a) cos 2x = 2d – a – c

Esta é a 1ª equação clássica, cuja resolução já examinamos.

Exercício Resolvido

12.19) Resolva a equação 2 23 sen x 2sen x cos x 3 cos x 2

190

Solução

Façamos a substituição em função do arco 2x:

3 31 cos 2x sen 2x 1 cos 2x 2

2 2

Donde sen 2x 3 cos 2x 2

Pondo sen

33 tg3 cos

3

, a equação fica sen

3sen 2x cos 2x 2cos

3

ou sen2x cos sen cos2x 2 cos3 3 3

e então

2sen 2x

3 2

Observe a figura. Para o ponto P, temos 2x 2k3 4

, ou seja,

x k24

e para o ponto Q temos

32x 2k

3 4

, ou seja,

5x k

24

.

Assim,

5S x | x k ou x k k

24 24

12.5. 3ª EQUAÇÃO CLÁSSICA

Trata-se da equação

a sen x cos x bsen x cos x c

isto é, uma equação que se exprime em função da soma sen x + cos x e do produto sen x cos x.

Há dois métodos principais. O primeiro baseia-se na mudança de variável

sen x + cos x = z

191

O segundo utiliza a mudança de variável

x y4

1º método

Pondo sen x + cos x = z e elevando esta expressão ao quadrado, obtemos

sen2 x + 2 sen x cos x + cos2 x = z2 donde

2z 1sen x cos x

2

Substituindo na equação dada, vem 2z 1

az b c2

ou seja: 2bz 2az b 2c 0 (I)

Uma vez calculado z nesta equação (I), recai-se na equação sen x + cos x = z.

Esta pode ser resolvida por transformação em produto, escrevendo-se

sen x cos x sen x sen x 2 sen cos x 2 cos x2 4 4 4

Resulta então a equação imediata

2 cos x z4

É claro que só são aceitáveis os valores de z dados em (I) tais que

2 z 2

Exercício Resolvido

12.20) Resolva a equação

sen x + cos x + 2 2 sen x cos x = 0 Solução

Pondo sen x + cos x = z e

sen x cos x = 2z 1

2

, a equação fica

2z 2 z 1 0

ou seja: 22 z z 2 0

Daí obtemos 2

z ou z 22

.

192

Para 2

z2

, vem sen x + cos x = 2

2

ou seja, 2

2 cos x4 2

e finalmente1

cos x4 2

Temos então

x 2k e x 2k4 3 4 3

Para z 2 vem sen x + cos x = 2 , ou seja, 2 cos x 24

e

finalmente cos x 14

. Temos então x 2k4

e

5x 2k

4

Assim,

5S x | x 2k ou x 2k k

4 3 4

2º método

Pondo x y4

, obtemos

2sen x sen y cos y sen y

4 2

2cos x cos y cos y sen y

4 2

Assim,

sen x cos x 2 cos y

e sen x·cos x = 1

2(cos2y – sen2y) = cos2y –

1

2

Substituindo estas expressões na equação

a(sen x + cos x) + bsen x·cos x = c

obtemos

2 1a 2 cos y b cos y c

2

ou seja: bcos2y + a 2 cos y b

2 – c = 0

donde se calcula cos y.

193

Exercícios Resolvidos

12.21) Resolva a equação

sec x + cossec x = 2 2 Solução

Escrevemos 1 1

2 2cos x sen x

donde, sen x + cos x = 2 2 sen x cos x

É, portanto, a 3ª equação clássica. Façamos x y4

, obtendo (como

explicado na teoria acima)

2 1sen x cos x 2 cos y e sen x cos x cos y

2

A equação fica 2 12 cos y 2 2 cos y

2

donde 2 cos2y – cos y – 1 = 0.

Aqui obtemos cos y = 1 ou 1

cos y .2

Para cos y = 1 vem y = 2 k , donde

x 2k4

. Para cos y =

1

2 vem

2y 2k ,

3

donde

2x 2k

4 3

.

É imediato que estes valores satisfazem as condições de existência de sec x e cossec x. Assim,

2S x | x 2k ou x 2k k

4 4 3

12.22) Resolva a equação sen3 x + cos3 x = 1.

Solução

Fatorando o 1º membro através da identidade

a3 + b3 = (a + b) (a2 + b2 – ab), vem

(sen x + cos x) (sen2x + cos2x – sen x cos x) = 1

ou (sen x + cos x)(1 – sen x cos x) = 1

Pondo sen x + cos x = z e sen x cos 2z 1

x2

, a equação fica

2z 1z 1 1

2

Isto é, z3 – 3z + 2 = 0 A expressão do 1º membro, fatorada, resulta (z – 1)2(z + 2). Assim, temos

z = 1 ou z = –2. Somente o valor z = 1 satisfaz a condição 2 z 2 . Recaímos então na equação sen x + cos x = 1, donde

194

22 cos x 1 ou cos x

4 4 2

Portanto, x 2k4 4

e finalmente

x 2k ou x 2k .2

Assim,

S x | x 2k ou x 2k k2

12.6. EQUAÇÕES QUE ENVOLVEM AS RELAÇÕES INVERSAS

Daremos neste item alguns exemplos de equações que envolvem as notações arc sen x, arc cos x, arc tg x e arc cotg x. A variedade dos exercícios deste tipo é muito grande, sendo portanto impossível estabelecer uma teoria geral. Os exercícios resolvidos a seguir poderão sugerir alguns dos métodos mais comuns.

Exercícios Resolvidos

12.23) Resolva a equação

arc tg x + arc tg (1 – x) = 2 arc tg 2x x

Solução

Indiquemos

= arc tg x, donde tg = x e 2 2

= arc tg (1 – x), donde tg = 1 – x e 2 2

= arc tg 2x x , donde tg = 2x x e 2 2

A equação dada fica 2 e podemos então escrever

2

tg tg 2

tg tg 2 tg

1 tg tg 1 tg

ou ainda

2

22

x 1 x 2 x x

1 x 1 x 1 x x

Nesta equação, o valor de x pode ser calculado. Obtemos 1 1

x e, assim, S2 2

195

12.24) Resolva a equação

arc sen 2x = arc sen x 3 + arc sen x Solução

Indiquemos

= arc sen 2x, donde sen = 2x e 2 2

= arc sen x 3 , donde sen = x 3 e 2 2

= arc sen x, donde sen = x e 2 2

A equação dada fica e, em seguida, escrevemos sen sen

sen sen cos sen cos

Calculemos cos e cos . Como sen x 3, obtemos

2 2 2cos 1 sen 1 3x e, assim, 2cos 1 3x .

Mas 2 2

, donde se conclui que cos não é negativo. Portanto,

2cos 1 3x .

Como sen = x, obtemos cos2 = 1 – sen2 = 1 – x2 e sendo 2 2

,

vem 2cos 1 x .

Com isto, a equação fica 2 22x x 3 1 x x 1 3x

onde se calculam os valores de x. Obtemos 1

x 0 ou x2

.

Discussão

Sendo 2x = sen , devemos ter 1 2x 1 , isto é, 1 1

x2 2

Sendo x 3 sen , devemos ter 1 x 3 1 , isto é,

3 3x

3 3

Sendo x = sen , devemos ter 1 x 1 . Nota-se que os três valores encontrados para x satisfazem estas três condições. Podemos então escrever

1 1S 0; ;

2 2

12.25) Resolva a equação arc sen x + arc sen (1 – x) = arc cos x

196

Solução

Indiquemos

arc sen x, donde sen x e2 2

arc sen 1 x , donde sen 1 x e2 2

arc cos x, donde cos x e 0

A equação dada fica e, em seguida, escrevemos

cos cos

cos cos sen sen cos

Calculemos cos e cos . Como sen x e ,2 2

vem

2cos 1 x . Como sen 1 x e ,2 2

vem

22 2 2cos 1 sen 1 1 x 2x x e então

2cos 2x x . Com isto, a equação fica

2 21 x 2x x x 1 x x

onde se calculam os valores de x. Obtemos x = 0 ou 1

x ou x 2.2

O

valor x = 2 não é satisfatório. Escrevemos 1

S 0;2

12.26) Resolva a equação

arc tg x + 2 arc cotg x 2

3

Solução

Indiquemos

arc tg x, donde tg x e2 2

arc cotg x, donde cotg x e 0

A equação dada fica 2

23

e, em seguida, escrevemos

22

3

2

2tg 2 tg

3

2tg tg2 tg 3

21 tg 1 tg tg3

197

2

23 xx

1 1 3x1x

Nesta equação obtemos x 3 e, assim,

S 3

Exercícios Propostos

Resolva as equações dadas a seguir:

12.27) sen 7x = sen 5x 12.28) cos 2x = cos x

12.29) tg x cotg 2x2

12.30) sen 2x cos x4

12.31) 5

tg 3x cotg 2x 04 2

12.32) 3 + 2cos 2x = 4cos x 12.33) sec x – cos x = sen x

12.34) cos a – cos x = sen (x – a) a 2k2

12.35) 2 2x a x acos cos 1 cos a 0

2 2

12.36) sen (a + 2x) + sen (a + x) + sen a = 0

12.37) sen x sen x sen 04 3 12

12.38) 3 31sen x cos x cos x sen x

4

12.39) cos x·cos 7x = cos 3x·cos 5x

260

Função secante

f(x) = sec x

D(f) = {x | x 2

+ k, (k )}

I(f) = {y | y –1 ou y 1}

período 2 função ímpar

Função cossecante

f(x) = cossec x

D(f) = {x | x k, (k )}

I(f) = {y | y –1 ou y 1}

período 2 função ímpar

Exercícios Resolvidos 15.1) Determine o conjunto-imagem da função f(x) = 2sen x.

Solução

Temos que, para todo x real, –1 sen x 1; multiplicando essa desigualdade por 2, vem:

–2 2sen x 2 e daí –2 f(x) 2 Assim, I(f) = {y | –2 y 2}

15.2) Determine o domínio da função

f(x) tg x3

Solução Sabemos que existe tg se e somente se

k , k2

Fazemos, então,

x k3 2

261

e tiramos x k6

Logo

D(f ) x | x k , k6

15.3) Determine o conjunto-imagem da função f(x) = –2 + 3sec x

Solução

Temos que, para todo x do domínio da função secante,

sec x – 1 ou sec x 1;

multiplicando as desigualdades por 3, vem

3sec x –3 ou 3sec x 3;

subtraindo agora 2, temos –2 + 3sec x –5 ou –2 + 3sec x 1

e daí f(x) –5 ou f(x) 1

Assim, I(f) = {y | y –5 ou y 1}

15.4) Calcule o valor máximo assumido pela função f(x) = 5sen x · cos x

Solução

Sabemos que 2sen x·cos x = sen 2x, donde sen x·cos x = 12

sen 2x

Escrevemos então,

1 sen 2xsen2x2f(x) 5 5

Como a base 5 é um número maior que 1, f(x) terá valor máximo quando o expoente assumir seu maior valor possível; como o máximo valor de sen 2x é 1, temos

1máxf 5 5

15.5) Determine o domínio da função

1f(x)

cotg x4

Solução

Para obtermos o domínio dessa função, devemos impor duas condições: que a cotangente exista e que seja diferente de zero.

1ª) existência de cotg x4

Sabemos que existe cotg se, e somente se k; fazemos então,

262

x k e tiramos x k4 4

2ª) cotg x 04

Sabemos que cotg 0 para k2 ; fazemos, então

x k e tiramos x k4 2 4

Portanto,

D(f ) x | x k e x , k , k4 4

Observe que, se marcarmos na circunferência trigonométrica os pontos

correspondentes às extremidades dos arcos k e k4 4 , obtemos

quatro pontos igualmente distribuídos, isto é, que dividem a circunferência em quatro partes iguais. Portanto, podemos escrever que

kD(f ) x | x , k

4 2

k P; P '

4

k Q; Q '4

15.6) Mostre que a função definida por f(x) = x·sen x é par.

Solução

Vamos calcular f(–x) f(–x) = (–x)·sen (–x) = (–x)·(–sen x) ou seja f(–x) = x·sen x = f(x) Como f(–x) = f(x), a função é par.

Exercícios Propostos 15.7) Determine o conjunto-imagem de cada uma das seguintes funções:

a) f(x) = sen 3x b) f(x) = 3sen x

263

c) f(x) = 3 + sen x d) f(x) = –2 – cos x

e) f(x) = 1 + 4cos x3

f) f(x) = |cos x| 15.8) Determine o conjunto-imagem de cada uma das seguintes funções:

a) f(x) = sec 2x b) f(x) = –2sec x c) f(x) = –2 + sec 2x d) f(x) = 2 + 4cossec x e) f(x) = |cossec x| f) f(x) = |–1 + cossec x|

15.9) Determine o domínio de cada uma das seguintes funções:

a) f(x) = tg 2x

b) f(x) = cotg x5

c) f(x) = sec 3x4

15.10) Determine o domínio de cada uma das seguintes funções:

a) 1

f(x)tg 2x

b) 1

f(x)sen x cos x

c) 1

f(x)cotg x

3

d) 1

f(x)sen 3x sen x

15.11) Determine os valores mínimo e máximo que assume a função

f(x) = –1 + 3sen x 15.12) Determine os valores mínimo e máximo que assume a função

f(x) = |–1 + 3sen x| 15.13) Determine o valor mínimo assumido pela função f(x) = 4sen x · cos x 15.14) Determine o valor máximo assumido pela função

f(x) = (0, 1)cos x 15.15) Determine o conjunto-imagem da função f(x) = sen x – cos x

264

15.16) Determine a paridade de cada uma das seguintes funções a) f(x) = x3·cos x b) f(x) = x·tg x

c) tg 3x sen x

f(x)cossec 2x

d) 2x cotg 2x sen x

f(x)sec 3x

265

16.1. INTRODUÇÃO

No capítulo 15, tomamos conhecimento dos períodos e dos gráficos das funções f(x) = sen x, f(x) = cos x, f(x) = tg x etc. No entanto, é muito comum surgirem, em problemas (como, por exemplo, no estudo da Ondulatória, em Física), funções trigonométricas que ou sofreram transformações em relação às originais ou são a soma ou o produto daquelas; por exemplo, as funções definidas por f(x) = sen 2x, f(x) = cos2x, f(x) = a·sen (t + ), f(x) = sen x + cos x.

Vamos, no presente capítulo, estudar algumas regras para o cálculo dos períodos e para a construção dos gráficos de algumas dessas funções.

16.2.CÁLCULO DO PERÍODO DE FUNÇÕES DA FORMA

y = m + n·f(ax + b)

Sejam m, n, a e b constantes reais, com a · n 0. Nessas condições,

enunciamos o seguinte teorema:

Se uma função f, definida por y = f(x), é periódica, de período p, então a função definida por g(x) = m + n·f(ax + b) é periódica e seu período é

P

P| a |

Por exemplo, f(x) = cos x é uma função periódica, de período p = 2; então,

a função definida por g(x) = 5 + 3cos 2x4

é periódica e seu período é

p 2P

| a | | 2 |

Deve-se notar, com muita atenção, que dos coeficientes m = 5, n = 3, a = 2

e b = 4 , o único a influir no período é a = 2, isto é, o coeficiente de x.

266

Demonstração do Teorema Devemos provar (ver 15.7) que existe um real T, tal que g(x) = g(x + T), isto

é m + n· f(ax + b) = m + n·f[a(x + T) + b]. Assim:

se y = f(x) tem período p, temos que f(x) = f(x + p) = f(x + 2p) = f(x + 3p) = . . , isto é, para

k , f(x) = f(x + k·p)

Multiplicando essa igualdade por n (n 0) e somando em seguida m, vem: m + n·f(x)= m + n·f(x + k·p)

Fazendo agora a substituição de x por ax + b (a 0), obtemos:

m + n·f(ax + b) = m + n·f(ax + b + kp)

que podemos escrever

m + n·f(ax + b) = m + n·f(ax + b + akpa

)

ou ainda

m + n·f(ax + b) = m + n·f[a(xkpa

) + b]

Considerando kp

Ta

temos

g(x) g(x T)

m n f(ax b) m n f[a(x T) b]

logo, como existe o real kp

Ta

para o qual g(x) = g(x + T), a função g é

periódica. Como, por definição, período é o menor T positivo, obtemos, fazendo k = 1, o período de g

pP

| a |

Exercícios Resolvidos

16.1) Calcule o período da função f(x) = sen x3

.

Solução

Como a função sen x tem período p = 2, então p 2

P 6| a | 1

3

267

16.2) Calcule o período de função

2xf x 3 tg

3 4

Solução

Como a função tg x tem período p = , então p 3

P2a 2

3

16.3) Calcule o período da função f(x) = 4 – 3sec x .

Solução

Como a função sec x tem período p = 2, então p 2

P 2a

16.4) Calcule o período da função f(x) = sen2x.

Solução

Devemos, inicialmente, escrever a função na forma y = m + n·f(ax + b). Para isso, vamos lembrar a fórmula de arco dobro

cos 2x = 1 – 2sen2x

de onde tiramos 2 1 cos2xsen x

2

isto é, que

1 1f x cos2x

2 2

Como a função cos x tem período p = 2, então p 2

Pa 2

16.3. CÁLCULO DO PERÍODO DE SOMAS E PRODUTOS DE DUAS FUNÇÕES

PERIÓDICAS

Sejam f e g duas funções periódicas, definidas por y = f(x) e y = g(x), cujos períodos são, respectivamente, p1 e p2 com p1 p2. Enunciamos, então,o seguinte teorema:

Se 1

2

p mp n

, onde m e n são inteiros positivos e primos entre si, então as

funções definidas por = f + g e = f·g são periódicas e seu período é

P = np1 = mp2

268

Por exemplo, x xf x sen e g x tg

2 3 são funções periódicas, cujos

períodos são 1 22

p 4 e p 31 12 3

.

Estabelecendo a razão entre p1 e p2, obtemos

1

2

p 4p 3

Assim, o período das funções

1 2

x x x xx sen tg e x sen tg

2 3 2 3P 3p 4p ; logo P 12

Demonstrativo do teorema

Devemos provar que existe um real T, tal que

x x T e x x T

isto é,

f x g x f x T g x T e f x g x f x T g x T

Assim: se f e g tem períodos p1 e p2, respectivamente, podemos escrever que

f(x) = f(x + knp1) (I) e

g(x) = g(x + kmp2) (II)

onde para k tem-se também (kn) e (km) .

Efetuando as operações (I) + (II) e (I) · (II), vem (III) : f(x) + g(x) = f(x + knp1) + g(x + kmp2) e (IV) : f(x) · g(x) = f(x + knp1) · g(x + kmp2)

Como 1

2

p mp n

, então np1 = mp2. Fazendo

1 2knp kmp T , as igualdades (III) e (IV) são escritas

x x T

x x T

f x g x f x T g x T

e

f x g x f x T g x T

logo, como existe o real T = knp1 = kmp2 para o qual

x x T e x x T , as funções e são periódicas.

Como, por definição, período é o menor T positivo, fazendo k = 1, obtemos o período de e :

P = np1 = mp2

269

Deve-se notar que esse teorema é aplicável, não só a funções da forma

f + g e f · g, mas, também, às funções ff g e g 0

g .

Exercícios Resolvidos 16.5) Calcule o período da função

(x) = tg 3x + cos 4x Solução

Calculamos, inicialmente, os períodos p1 e p2 das funções f(x) = tg 3x e g(x) = cos 4x; assim:

1 22

p e p3 4 2

Estabelecemos, agora a razão entre p1 e p2, encontrando

1

2

p 2p 3

Temos, então, que P = 3p1 = 2p2; logo, P = 16.6) Calcule o período da função

xx sec sen 3x

2

Solução

Calculamos, inicialmente, os períodos p1 e p2 das funções f(x) = secx2

e

g(x) = sen 3x; assim:

1 22 2

p 4 e p1 32

Estabelecemos, agora, a razão entre P1 e P2 encontrando

1

2

p 6p 1

Temos, então, que P = 1·p1 = 6p2; logo, P = 4

16.7) Calcule o período da função cos 3xx

cotg 8x

Solução

Sendo f(x) = cos 3x e g(x) = cotg 8x, vem

1 22

p e p3 8

Assim, 1

2

p 16p 3

Portanto, P = 3p1 = 16p2 = 2

270

16.8) Calcule o período da função 2x tg x

Solução

Sendo x tg x tg x , notamos que os períodos p1 e p2 são iguais

(p1 = p2 = ). Não podemos, portanto, aplicar o teorema visto, a menos que consigamos mudar a forma da função (x). No caso, se lembrarmos a fórmula de arco dobro

22 tgx

tg 2x1 tg x

e daí tirarmos

2 2 tgxtg x 1

tg2x

poderemos aplicar o teorema; sendo f(x) = 2tg x e g(x) = tg 2x, temos

1 2p e p2

Assim, 1

2

p 2p 1

Portanto, P = 1·p1 = 2p2 = 16.9) Calcule o período da função (x) = sec x – sen x

Solução

Também aqui não podemos utilizar o teorema (16.3), pois p1 = p2 = 2. Vamos, então, transformar a função; assim:

1 sen x cos x1x sen x

cos x cos x

Lembrando que 2sen x·cos x = sen 2x, temos

1

1 sen2x2xcos x

Agora, 1f x 1

2 sen 2x e g(x) = cos x, onde

11 2

2

p2 1p e p 2 e

2 p 2

Portanto, P = 2p1 = 1·p2 = 2 16.4. CONSTRUÇÃO DE GRÁFICOS

De modo geral, a construção do gráfico de uma função f, definida por y = f(x), pode ser feita com o auxílio de uma tabela na qual são atribuidos alguns valores particulares a x e determinados os correspondentes valores de y. Foi o que fizemos para a obtenção dos gráficos das funções trigonométricas no capítulo 15. No entanto, conhecidos aqueles gráficos, com algumas regras de transformações no gráfico de uma função, podemos, facilmente, construir os gráficos de muitas outras funções.

271

Vamos enunciar algumas dessas regras. Seja G o gráfico da função definida por y f(x) e seja k 0 uma constante

real. 1ª) O gráfico G' da função y = f(x) + k pode ser obtido a partir de G, fazendo este

sofrer uma translação de k unidades, na direção Oy, “para cima”, se k é positivo, ou “para baixo”, se k é negativo.

2ª) O gráfico G' da função y = f(x + k) pode ser obtido a partir de G, fazendo este

sofrer uma translação de k unidades, na direção Ox, “para a esquerda”, se k é positivo, ou “para a direita”, se k é negativo.

3ª) O gráfico G' da função y = –f(x) pode ser obtido a partir de G, fazendo este sofrer uma reflexão em relação ao eixo Ox.

272

4ª) O gráfico G' da função y = |f(x)| pode ser obtido a partir de G, fazendo a “parte” que está abaixo do eixo Ox sofrer uma reflexão em relação a Ox.

Vamos, agora, resolver alguns exercícios onde construiremos gráficos de funções trigonométricas que sofreram transformações. Nem sempre necessária, mas de grande utilidade, é a determinação prévia do período e do conjunto-imagem. Para maior praticidade, propomos as seguintes etapas para a resolução dos problemas: determinação do conjunto-imagem cálculo do período identificação da função trigonométrica base identificação das transformações sofridas pela função base construção do gráfico Exercícios Resolvidos

16.10) Construa o gráfico da função g(x) = 2 + sen x.

SoIução

Temos que I(g) = [1; 3] e p = 2 A função base é f(x) = sen x. A função dada é da forma g(x) = f(x) + k, k = 2; utilizaremos, portanto, a primeira regra, transladando o gráfico de sen x duas unidades “para cima”.

273

16.11) Construa o gráfico da função g x cos x4

Solução

Temos que I(g) = [–1; 1] e p = 2 A função base é f(x) = cos x.

A função dada é da forma g x f x k , k4 ; pela segunda regra,

transladamos o gráfico de cos x “para a direita”, de uma distância igual a 4

16.12) Construa o gráfico da função g(x) = sen 2x. Solução

Temos que I(g) = [–1;1] e p = . A função base é f(x) = sen x. A função dada é da forma g(x) = f(kx), k = 2; note que, nas regras dadas, não consta esse tipo de transformação. No entanto, a construção do gráfico não tem maiores dificuldades se observarmos que, em primeiro lugar, o conjunto-imagem é o mesmo de sen x, isto é, a amplitude é a mesma e, em segundo lugar,o período de g(x) é a metade do período de f(x); podemos, intuitivamente, entender que, num intervalo de comprimento, sen 2x “faz” tudo o que sen x “faz” num intervalo de comprimento 2. Portanto, devemos obrigar o gráfico de sen x a “encolher” do intervalo [0; 2] para [0;]. Assim:

16.13) Construa o gráfico da função xg x cos

2

Solução

Temos que I(g) = [–1; 1] e p = 4

274

A função base é f(x) = cos x

A função dada é da forma g(x) = f(kx), k = 12

; a exemplo do exercício

anterior, note que o conjunto-imagem não se altera e que o período de g(x)

é o dobro do período de f(x). Entendemos, intuitivamente, que cosx2

“faz”,

num intervalo de comprimento 4, exatamente o mesmo que cos x “faz” num intervalo de comprimento 2. Vamos, então, “esticar” o gráfico de cos x do intervalo [0; 2] para [0; 4]. Assim:

16.14) Construa o gráfico da função g(x) = 3sen x.

Solução

Temos que I(g) = [–3; 3] e p = 2. A função base é f(x) = sen x. A função dada é da forma g(x) = k·f(x), k = 3; note, também, que esse tipo de transformação não consta das regras dadas. Observe que o período de g(x) é o mesmo de f(x) e que o conjunto-imagem “mudou” de [–1; 1] para [–3; 3], isto é, que a amplitude se alterou. Devemos construir uma senóide que, em um intervalo como [0; 2], percorra todo o conjunto-imagem [–3; 3]. Assim:

16.15) Construa o gráfico da função 1g x cos x

2

Solução

Temos que I1 1

g ; e p 22 2

275

A exemplo do que foi observado no exercício anterior, devemos construir uma cossenóide que, num intervalo como [0; 2], percorra o conjunto-

imagem 1 1

;2 2

; assim:

16.16) Construa, para 0 x 2, o gráfico da função g(x) = –2 – sen x.

Solução

Temos que I(g) = [–3; –1] e p = 2 A função base é f(x) = sen x A “evolução” da função base até a função dada foi

(I) (II)sen senx 2 senx

Sabemos que a transformação (I) (ver regra 3ª) provoca uma reflexão no gráfico de sen x em relação ao eixo Ox e que a transformação (II) (ver regra 1ª) faz o gráfico de –sen x sofrer uma translação de duas unidades “para baixo”. Assim:

Exercícios Propostos 16.17) Calcule o período das seguintes funções:

a) f(x) = sen 4x

b) xf x 2 cos

2

c) f x tg 3x4

276

d) 2xf x 1 cotg

3

e) 3xf x 1 3 sec

2

f) f x cossec 2 x

g) xf x tg

5

h) f x 5 4sen nx , n 0

16.18) Calcule o período das seguintes funções:

a) f(x) = cos2x

b) 2 xf x sen

2

c) f(x) = cos22x

d) 2 3xf x sen

2

16.19) Sabe-se que a função definida por f(x) = Asen (kx) tem período 6 e

conjunto imagem [–4; 4]. Determine essa função. 16.20) Seja k um real positivo. Determine a condição para que a função

f(x) = tg (kx) tenha período racional. 16.21) O conjunto-imagem da função f(x) = A + B·cos (Bx + A) é [–3; 7]. Determine

o período dessa função. 16.22) Calcule o período das seguintes funções:

a) xx sen cossec 3x

3

b) 5xx tg 2x sec

3

c) 2xx cos 4x tg

3

d) 3x

sen8x

4xcos

5

16.23) Calcule o período das seguintes funções:

a) f(x) = cos x + cossec x

b) f(x) = sec 3x + sen 3x

16.24) Calcule o período das seguintes funções:

a) f(x) = sen 2x + cos 2x

b) f(x) = sen3x

277

c) 3 xf x cos

2

16.25) Construa o gráfico de cada uma das seguintes funções:

a) g(x) = 2 + cos x b) g(x) = –1 + sec x

c) g x sen x4

d) g x tg x4

16.26) Construa os gráficos das seguintes funções:

a) xg x sen

2

b) g(x) = cos 2x

c) g(x) = –3cos x

d) 1g x sen x

2

16.27) Construa o gráfico das funções e determine seus períodos:

a) g(x) = |sen x|

b) g(x) = –|cos x|

16.28) Construa o gráfico da função g(x) = 1 + 3sen 2x 16.29) Construa o gráfico da função g(x) = sen x + cos x

287

Exercícios Suplementares

VI.1) Determine o domínio da função 22 tgx

f x1 tg x

. É o mesmo que da função

g(x) = tg 2x?

VI.2) Determine o domínio e o conjunto-imagem da função f x sen x

VI.3) Determine o domínio e o conjunto-imagem da função f x 2cos x 1

Vl.4) Determine o conjunto-imagem da função f(x) = A + Bsen (2x), onde A e B

são constantes reais, com B > 0. Vl.5) Determine A e B reais (B > 0) de modo que o conjunto-imagem da função

f(x) = A + Bsec x seja

I(f ) {y y 6 ou y 2}

VI.6) Determine o domínio e o conjunto-imagem da função f(x) = tg x + cotg x. Vl.7) Calcule o período da função f(x) = tg x + cotg x

Vl.8) Calcule o período da função f x sen 4x4

VI.9) Calcule o período da função f x sen 4x4

VI.10) Calcule o período da função f(x) = sen 3x – cos 3x. Determine, também, seu

conjunto-imagem. VI.11) A figura abaixo mostra o gráfico de uma função f(x) num sistema cartesiano

ortogonal, em que não está fixada a posição do eixo Oy e as abscissas são dadas em função de uma constante real a. Reconheça a função f(x) nos seguintes casos:

a) a = 0

b) a2

c) a2

d) a =