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COSMOLOGIA
RELATIVÍSTICA
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TEORIA DA RELATIVIDADE GERAL
Gravidade não é uma força e sim consequência de que
o espaço-tempo não é plano
E-T curvo pela distribuição de
massa+energia nele contida
Teoria geral da gravitação!
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Geometrias possíveis:
MÉTRICA DE ROBERTSON-WALKER (MRW)
Medidas de distâncias dentro de espaços de geometrias
diferentes (curvaturas diferentes)
curvatura deve ser constante (princípio cosmológico)
Definição mais completa: distância entre dois eventos
num E-T de 4 dimensões definidos pelas coordenadas
de tempo e espaço
Modelo cosmológico relativístico
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Geometrias possíveis:
MÉTRICA DE ROBERTSON-WALKER (MRW)
Modelo cosmológico relativístico
Distribuição de matéria + energia provoca uma
curvatura no E-T = geometria
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Universo está em movimento num dado tempo o
tamanho do universo é diferente
Definição de FATOR DE ESCALA (R) : variação nas
escalas (por exemplo, distâncias entre as galáxias)
produzidas pela expansão (ou contração) do universo
Modelo cosmológico relativístico
t1
t2
A
A
B
B
r0
r1
r1= R×r0
Suposições:
• universo como um fluído isotrópico e homogêneo : fluído cosmológico
• descrição da posição de um objeto no espaço: coordenadas comóveis
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MÉTRICA
Distância entre dois pontos numa superfície
Ex. Uma superfície plana, onde usamos coordenadas
cartesianas
Y
X
yB
yA
xA xB
ds
ds2=dx2+dy2
dx=xB-xA dy=yB-yA
Nota: ds é um invariante
independe do
sistema de coordenadas
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Geodésica: menor distância entre dois pontos
• espaço euclidiano: linhas retas
• espaço esférico: arco de círculo máximo
• espaço hiperbólico: hipérbole
Um caminho descrito por um corpo livre que obedece a 1a lei
de Newton de movimento pode ser descrita expressando suas
coordenadas espaciais como função do tempo: x(t), y(t), z(t)
t absoluto
Este caminho representa a menor distância entre dois pontos
geodésica do espaço
Todo corpo continua no estado de repouso ou de
movimento retilíneo, a menos que seja obrigado a
mudá-lo por forças a ele aplicadas.
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CASO RELATIVÍSTICO: t é relativo
Supondo um espaço plano 3-D dado por dl2=dx2+dy2+dz2
Pode-se substituí-lo por um espaço-tempo 4-D de Minkowski,
definido pelas coordenadas espaciais x,y,z e pela
distância temporal ct, onde x() , y() , z() , t()
tempo próprio
ds2=c2dt2-|dl2| métrica pseudo-euclidiana
a distância espacial dl entre dois pontos num espaço 3-D é
generalizada à distância ds entre dois eventos num E-T 4-D definido pelas coordenadas de tempo e espaço
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Sai do caso plano, para diferentes curvaturas Ҝ ou
geometrias possíveis
Mas Ҝ é sempre constante (princípio cosmológico)
Ҝ= -1/R2
Ҝ= 1/R2
X
Y
Z
R
P
Definição:
Geometrias
Possíveis:
Ҝ(t)=k / R2(t) k =-1,0,+1
A curvatura é constante somente num dado t, mas varia para
tempos diferentes
fator de escala ou
parâmetro de expansão
MÉTRICA DE ROBERTSON-WALKER (MRW)
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22222
22222
sin(1
)(
dd
k
dtRdtcds
MÉTRICA DE ROBERTSON-WALKER (MRW)
Métricas 3D para espaço de Ҝ constante
R= fator de escala
k= curvatura =+1,0,-1
= coordenada comóvel (função de R)
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ijij Tc
GG
4
8
Einstein: distribuição de matéria e
energia relacionado com geometria
Modelo cosmológico relativístico
Gij = tensor de Einstein : descreve a geometria do universo
Tij = tensor energia-momentum: descreve a distribuição de
matéria e energia no espaço-tempo
Distribuição de matéria+energia provoca uma curvatura
no E-T que é descrita pelas equações de Einstein
O tensor energia-momemtum é a fonte da geometria, assim como a massa é a fonte do campo gravitacional (mecânica Newtoniana).
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ijij Tc
GG
4
8
Modelo cosmológico relativístico
Em cosmologia Tij vai depender de 2 funções: pressão p(t)
e densidade (t), onde p(t) é a pressão exercida num fluído
cosmológico devido à radiação + movimento peculiar das galáxias
pressão
dinâmica
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EQUAÇÕES DE FRIEDMANN-LEMAîTRE
Equações de Einstein da TRG + MRW = equações
fundamentais que regem a dinâmica do universo
ijij Tc
GG
4
8
22222
22222
sin(1
)(
dd
k
dtRdtcds
2 2
2 2 2
2 2
2 2
8 ( ) ( )( ) 2
( ) ( ) ( )
8 ( )( )
3 ( ) ( ) 3
G kc R t R tp t
c R t R t R t
G kc R tt
R t R t
Einstein:distribuição de matéria e
energia relacionado com
geometria
MRW: distância no E-T em
função do fator de escala
R= fator de escala
k= curvatura =+1,0,-1
Modelo cosmológico relativístico
dark energy
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Einstein e a constante cosmológica
Einstein supôs inicialmente um universo
estático. Então foi originalmente
introduzida nas equações para evitar
que o universo colapsasse.
Quando Hubble demostrou a expansão
do universo, Einstein removeu a
constante cosmológica.
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→ introduzida por Einstein para obter soluções para um universo em equilíbrio
Soluções estáticas (R=cte)
Combinando as duas equações:
)(3
1)(
)(3)(
3
42
tRtRc
tpt
GR
Equação do movimento que vai definir a
expansão ou contração do universo
As equações de Friedmann-Lemaître nos dão: k (geometria) e R(escalas de
distância) do universo, conhecendo-se e p.
E obtemos a equação da evolução do universo R(t) t para uma dada geometria
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Se =0 e p=0 R
GR
3
4
Vê-se que não existem soluções estáticas para =0,isto é, R=cte...
por isso Einsten introduziu
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UNIVERSOS DE FRIEDMANN
Soluções da equação supondo =0
Usando a equação de movimento do fluído, com p~0
0
R
Calculando R(t) t
R
R
R
kcG
2
2
2
3
8
partindo de: substituindo:
3
00
R
R
2
3
002
3
8kc
R
RGR
Universo desacelera a
expansão RG
R
3
4
-
22kc
RR
R
ct
dRkR
Rcdt
0
0
2
c.i. R(0)=0
R
c
dRkR
Rct
0 2
variação do fator de escala com o tempo
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De fato considerando =0, as equações de
Friedmann prevêem os 3 futuros para a
expansão do universo
esférica hiperbólica
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No entanto os 3 modelos anteriores de expansão predizem
idades menores do que as idades estimadas de estrelas
mais velhas
Idades de aglomerados
globulares ~ 10 a 12 Ganos
Universo não pode ser mais
jovem do que a idade das
estrelas mais velhas!!
O modelo que mais concorda com as idades estimadas de
estrelas velhas: universo acelerando (presença de força
repulsiva = positivo). T ~14 Ganos
Quasar : 13 Ganos