Professor: Cassio Kiechaloski Mello Disciplina: Matemática Aluno:____________________________________________________ N°____ Turma:____________ Data:__________

NÚMEROS COMPLEXOS (C)

Quando resolvemos a equação de 2º grau x² - 6x + 13 = 0 procedemos da seguinte forma:

a

acbbx

2

42 −±−= =

12

131466 2

×

××−±=

2

166

2

52366 −±=

−±

Para encontrar o valor de x, precisaríamos calcular a raiz quadrada de -16, o que é impossível no conjunto ℜ

A solução encontrada foi construir um novo conjunto numérico onde fosse possível que o quadrado de um número fosse negativo.

Muitos matemáticos estudaram tais problemas, mas este novo conjunto só passou a ser considerado legítimo quando GAUSS propôs uma interpretação geométrica destes números usando uma adaptação do plano cartesiano ( Plano de Argand Gauus).

Ao contrário do que se imagina imediatamente, o estudo dos números complexos surgiu na resolução de equações de 3º grau.

UNIDADE IMAGINÁRIA

É representada pela letra i. Sabe-se que i² = -1 ou 12 −=i Exemplo:

2

146

2

)1(*166

2

166 −±=

−±=

−±. Então x1 = 3 – 2i e x2 = 3 + 2i

Exercício: Resolver, em C: a) x² + 1 = 0 b) x² - 4x + 5 c) x² - 4x + 29 d) x² - 6x + 25

POTÊNCIAS DA UNIDADE IMAGINÁRIA

ii

i

ii

i

−=

−=

=

=

3

2

1

0

1

1

iiiii

iii

iiiii

ii

−=−×=×=

−=−×=×=

=×=×=

=−×−=×=

)1(

1)1(1

1

1)1()1(

257

246

45

224

As potências de i se repetem de quatro em quatro ( 1, i, -1, -i). Assim, para calcular in, basta calcular ir, onde r é o resto da divisão de n por 4. in = ir Exercícios: a) i9 b) i7 c) i28 d) i12

e) i14 f) i1357 g) 20

1025

i

ii +

FORMA ALGÉBRICA DE UM NÚMERO COMPLEXO Todo número complexo pode ser escrito da forma Z = a + bi, onde a é a parte real e b a

parte imaginária do número.

Chamaremos de conjugado de Z o número Z = a – bi. OPERAÇÕES COM NÚMEROS COMPLEXOS Dados Z = a + bi e W = c + di , por exemplo Z = 2 + 3i e W = 1 + 2i Adição: Z + W = (a + c ) + ( b + d )i Subtração: Z – W = (a – c) + (b – d )i Multiplicação: ZxW = (a + bi)*(c + di) = (ac – bd) + ( ad + cb)i

Divisão: dic

bia

W

Z

+

+= Para que este número não fique com uma unidade imaginária do

denominador, deveremos multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador.

22

)(

dc

iadbcbdac

dic

dic

dic

bia

dic

bia

W

Z

+

−++=

−

−×

+

+=

+

+=

Exercícios: 1) Calcule: a) ( 6 + 5i) + ( 2 – i) = b) (5 + 2i) ( -3+4i) = c) (2 + i)2

d) i

i

21

84

+

−

e) i

i

+

−

1

1

f) [(1 + i)² + (1 - i)²]205

2) Calcule os números complexos z1 e z2 para que se tenha:

=−

=+

izz

zz

32

3

21

21

3) Resolver o determinante de 3ª ordem:

−

−

ii

ii

1

1

111

4) Calcular a soma da seqüência S = i + i2 + i3 + ... + i100.

5) Calcular Z em iZZ 16125 +=+

REPRESENTAÇÃO GRÁFICA Plano de Argand Gauss

Eixo X – Eixo real Eixo Y – Eixo Imaginário Exemplo: Representar graficamente os complexos a) 2 + 2i b) 2 -3i c) 4i d) -5 e) -1 - 2i f) -3 + 3i MÓDULO E ARGUMENTO DE UM NÚMERO COMPLEXO O módulo de um número complexo é a distância entre o ponto aonde ele se localiza no plano argand Gauss ( afixo ) até a origem.

|Z|² = a² + b² → 22|| baZ += O módulo será representado pela letra ρ O argumento do número complexo é o ângulo de inclinação em relação ao eixo x.

|| ρθ

bsen =

||cos

ρθ

a=

Assim:

=⇒=

=⇒=

+=

θρρ

θ

θρρ

θ

senbb

sen

aa

biaZ

coscos

)]()[cos(cos θθρθρθρ isenseniZ +=+=

Exemplo: Determinar o módulo, argumento, escrever na forma trigonométrica e fazer a representação

no gráfico de Gauss do número complexo iZ 322 +−= Exercícios: 1) Calcule o módulo, argumento e escreva na forma trigonométrica os números complexos abaixo: a) Z = 1 + i

b) 2

3

2

1iZ −=

c) iZ 232 −=

2) (UFRGS) A soma dos módulos das raízes de x² + 2x + 3 = 0 é:

(A) 3 (B) 2 3 (C) 3 (D) 6 (E) 8

3) (PUCRS) A forma trigonométrica do número complexo - 3 +i é: (A) cos 30º + i sen 30º (B) 2 ( cos 30º - i sen 30º) (C) 2 ( cos 120º + i sen 120º) (D) 2 ( cos 30º + i sen 30º) (E) 2 ( cos 150º + i sen 150º) 4) Qual é o argumento dos complexos abaixo? a) Z = - 1+ i

b) Z = 3 + i

c) Z = 2

2

2

2−

d) Z = i4

3−

5) Escreva na forma algébrica os seguintes números complexos:

a) 31 iZ +=

b) 2

3

2

1iZ −=

c) Z = -2i

d) 2525 iZ +−= e) Z = 4

f) Z = 1 + i 6) Qual a forma algébrica de cada m dos seguintes números complexos? a) Z = 3 ( cos 120º + i sen 120º) b) Z = cos 180º + i sen 180º

c) Z = 4 ( cos 30º + i sen 30º)

d) Z = 2 ( cos 300º + i sen 300º)

e) Z = 10 ( cos 90º + i sen 90º)

f) Z = 3

1 ( cos 210º + i sen 210º)

OPERAÇÕES NA FORMA TRIGONOMÉTRICA Multiplicação )]()[cos( 21212121 θθθθρρ +++=× isenZZ

Divisão )]()[cos( 21212

1

2

1 θθθθρ

ρ−+−= isen

Z

Z

Potenciação )]()[cos( θθρ nisennZ nn +=

Radiciação

++

+=

n

kisen

n

kZ nn πθπθ

ρ22

cos K = {0, 1 , 2, ...,n-1}

Exemplos: a) Z = 8( cos 75º + i sen 75º ) e W = 2 ( cos 15º + i sen 15º )

Calcular ZxW e W

Z

b) Sabendo que

+=

33cos2

ππisenZ , calcule Z6

c) Determine as raízes cúbicas de Z = i Exercícios: 1) No plano de Gauss, o afixo do número complexo Z = ( 1 + i )4 é um ponto do:

a) eixo real b) eixo imaginário c) 1º Quadrante d) 3º quadrante e) 4º quadrante

2) (UFRGS 1998) Em um sistema de coordenadas polares

6,3π

P e Q ( 12,0) são 2 vértices

adjacentes de um quadrado. O valor numérico da área deste quadrado é:

a) 81 b) 135 c) 153 d) 153 - 36 2 e) 153 - 36 3

3) Determine as raízes cúbicas de 8 e represente seus afixos no plano.

4) (FURG – RS ) Para que (5 – 2i)*(k + 3i) seja um número real, o valor de K deverá ser:

a) 15

2 b) -

15

2 c)

2

15 d) -

2

15 e) 0

5) (PUCRS) Se as imagens geométricas dos números complexos 0, Z e Z no plano de Argand Gauss são os vértices de um triângulo eqüilátero, então a medida do segmento que une as

imagens de Z e Z é:

(a) 2

Z b)

2

Z c) Z d) 2 Re(z) e) Im (z)

6) (Cefet- PR) Considere o número complexo i33+ , representado por um ponto no plano de Argand-Gauss. Se multiplicarmos este número por uma unidade imaginária i, o segmento de reta que une este ponto à origem do sistema sofrerá uma rotação de: (A) 30º no sentido anti-horário (B) 150º no sentido horário (C) 120º no sentido horário (D) 60º no sentido horário (E) 90º no sentido anti-horário

7) (Unit- MG) No conjunto dos números complexos, os três números cujo cubo vale 1 são:

(A) 1, -1, i (B) 1, 1+ i, 1-i

(C) 1, i, i2

3

2

1+

(D) 1, i2

3

2

1+− , i

2

3

2

1−−

8) (UFRGS) Dados os números complexos abaixo:

iZ 271 +=

iZ 2212 +=

iZ 33 =

A alternativa correta é:

(A) Z1 e Z2 têm o mesmo conjugado. (B) a parte real de Z1 é menor que a parte real de Z2 (C) a soma de Z1 com Z3 é um número real (D) a parte imaginária de Z3 é zero (E) Z1, Z2 e Z3 têm módulos iguais

9) (UFRGS) Na figura, o número complexo Z é

(A) i2

2

2

2+

(B) i2

2

2

2−−

(C) 22 i−−

(D) 22 i+

(E) 22 i−

10) (UFRGS) Considere as afirmações seguintes: I – O produto de dois números complexos conjugados é um número real. II – O módulo de um número complexo é um número real não negativo.

III – O argumento de qualquer número complexo da forma bi ( b≠0) vale 2

π

Quais estão corretas? (A) Apenas II. (B) Apenas II e III. (C) Apenas I e II. (D) Apenas I e III. (E) I, II e III.