newton, leibniz e o cálculo - apresentação

8/18/2019 Newton, Leibniz e o Cálculo - Apresentação

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Alunos:

NEWTON, LEIBINIZ E O CÁLC

CMCC

Centro de Matemática, Computação e Cogniçã

Evolução dos Conceitos Matemáticos

Kayo Douglas da Silva

Bacharelado em Ciência e Tecnologia

Matrícula 11 94512

Luciano Henriq

Bacharelado em

Matríc

Santo André – SP

3º. Quadrimestre de 2015 P


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Surgimento do Cálculo


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• O surgimento do cálculo gerou associações que hoje parecem

época não era trivial concluir acerca da natureza das funções, centre reta tangente e taxa de variação, ou conectar taxas de abaixo de curvas.

• Dois matemáticos são dados como os “pais” do cálculo: SirGottfried Leibiniz.

Isaac NewtonInglês (1642-1727)

Cientista, físico, matemático, astrônomo,

alquimista, filósofo natural e teólogo.

Gottfried Leibniz

Alemão (1646-1716)Filósofo, cientista, matemático,

diplomata e bibliotecário


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• Apesar da imensa contribuição de muit

anteriormente, na mesma época e posteriormNewton, eles foram os primeiros a reunir divefazerem um desenvolvimento em alto nívelapesar de terem feito trabalhos independentdividem a autoria de uma das ferramentas maihumanidade.

•

A obra tida como referência para este surgimenem 1687 por Newton (tendo volume 2 e 3 publ1726, respectivamente). Enquanto Newtonaplicações na física, Leibniz desenvolvia notaçõhoje.

Princípios Matemáticos

da Filosofia Natural

Notação de Leibniz:Notação de Lagrange:

′()Nota


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A Natureza das Funções

• Análise de funções e problemas do cálcu Funções contínuas

Funções diferenciáveis


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Composição de Funções

• É importante aprender a tratar de funções papossa observar e identificar a composição destas Alguns exemplos serão mostrados para que entender o conceito de composição.

• Serão propostos alguns problemas de ancomposição de funções.


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Composição de FunçõesExemplo 1:

•

= • = cos()


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• Identifique qual das opções abaixo representa a função em

=

b =

c =


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=

b = c =


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=

b =

c =


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=

b = c =


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=

b =

c =


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=

b = c =


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Composição de FunçõesExemplo 2:

•

= 2

• = ln()


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= b = c =



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= b = c =


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= b = c =


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= b = c =


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= b = c =


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= b = c =


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• = • = cos()


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= b = c =


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= b = c =


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= b = c =

C i d F


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= b = c =

C i ã d F õ


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= b = c =

C i ã d F õ


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= b = c =

C i ã d F õ


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•

= ℎ()• =

C i ã d F õ


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b

c

C i ã d F õ


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b

c

C i ã d F õ


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b

c




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b

c



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b

c



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b

c

Problemas do Cálculo


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Problemas do Cálculo

• Após a análise, são propostos dois problemas e

funções compostas para que se entenda a imporlimitações do cálculo:

O valor de 0 ;

A integral de −² ;

Problema do


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Problema do

• A partir do que se conhecia no princípio do uso da potenciação comnúmero, observado que só eram trabalhados expoentes naturais e m

pode-se inferir as seguintes propriedades: . = +

= −

• Posteriormente, no estudo do quadrado e seu lado em função da áre

estudo das raízes e suas relações com os expoentes, foram estabepropriedades:

= ⇒ =

= ⇒ − =

=

Problema do


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Problema do

• Dessa forma, podemos encontrar o valor de x elevado a qualquer núaté aproximar soluções irracionais. Percebeu-se, então, que faltava

expoente nulo. A seguinte construção nos leva a determinar o valor d

= − . ⇒ − =

• Como por exemplo:

2

=

=

• Logo:

=

Problema do


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Problema do

• Dessa forma, podemos ver que:

lim→

= lim→

= lim→ 1 = 1

• Isso pode ser verificado no gráfico abaixo

Problema do


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Problema do • Mas também há outras três formas de analisar esse problema. A s

analisando a função = 0. Observe a construção a seguir:

0. = 0, ∀∈

R 0 = 0. 0−

0 = 0, ∀ > 0• Portanto a função () é igual a 0 em todo o seu domínio ∈

função é descontínua em = 0. Portanto, só podemos verificar o limlim

→0 = lim

→0 = 0

Problema do


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Problema do • A terceira tentativa de analisar esse valor é pela função ℎ

construção também apresenta problemas quando tratamos de seu

função também possui descontinuidade em 0, porém o valor do limiigual a 1:(Usando que 1 = 1, ∀ ∈ )lim

→ = lim

→(

) = lim→

x() = lim→

()()= lim→

1− =

Problema do


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Problema do • O problema deste método é o fato de a função ℎ = possuir desenvolvim

funções em todos os pontos (ou seja, ser analítica) com exceção de 0.necessidade, tomemos uma função não–analítica em todos os pontos e ten

zero quando x a zero tende, como é o caso da função = −, e uma fdefinirmos a composição = ()(). O cálculo do limite nos dá um rdos outros explorados:

lim→

()() = lim→

−

=

≅ 0.36787944117

Problema do


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Problema do • A partir das quatro construções observadas, podemos observar

calcular o valor de 0, podemos descobrir valores altamente disc

forma se torna praticamente impossível determinar uma única problema.

Problema do −²


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Problema do • Os livros e cursos básicos de cálculos dados nas un

ensinam as mesmas técnicas de integração há mfato que abre, dentre muitas, duas questões importa

No patamar que já alcança a computação atuaainda necessário o aprendizado completo exaustão destas técnicas?

Estas técnicas buscam resolver integrais, encoa solução onde o símbolo não esteja prtermos de funções elementares; será que todaelementares têm integrais solúveis desta form

Problema do −²


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Problema do • Vamos procurar uma resposta para a segunda questão, p

temos a definição de funções elementares, elas são:• Funções polinomiais;• Funções racionais;• Funções algébricas;• Funções exponenciais, particularmente = ;• Funções logarítmicas, particularmente = ln();• Funções trigonométricas (inclusive inversas e hiperbólicas);• Ou ainda, todas as funções, que por um número finito de et

construídas com as funções anteriores, por meio de operproduto e composição de funções.

Problema do −²


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Problema do • Existem funções cujas antiderivadas não podem ser expressas em termos de

es, integrais onde são inúteis as técnicas de integração mais comuns; conhecido é o da função e−x

. Apesar de ser uma função elementar, foi

impossível obter sua primitiva utilizando apenas as funções supracitadas.

F

• O Teorema de Liouville (teve grande participação de outro matemáticofrancês: Augustin-Louis Cauchy) prova que certas integrais de funçõeselementares, não podem ser expressas em termos de funções elementares,como por exemplo:

=

= ln

= ()

= −

Problema do −²


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Problema do • Esta última, importante em muitas áreas, como por exemplo a da pro

estatística, onde ganha o nome de função de Gauss.

Solução do problema do −²


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Solução do problema do • A função () = −

pode ter sua integral resolvida em term

quando tem como limites de integração ∞ e ∞. Temos: −+

−

• Também ter sua antiderivada expressa em termo de funções nãofunção erf =

2

−

é denominada função erro, e podem

− =

2 er f .

Bibliografia


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Bibliografia

• FILHO, D. C. D. M. Professor, qual a primitiva de (e^x)/x?. In: FILHO, D. Ctica Universitária. Campina Grande-PB: Departamento de Matemática e Esta

•

[2] RAMPANELLI, D. O Teorema de Liouville sobre Integrais Elementares. R2009.• [3] SODRÉ, U. Sercomtel - Matemática Essencial. Portal Sercomtel, 2004. D

http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/superior/calculo/zerozero/zero em: 05 nov. 2015.

• [4] BY MTH. By Math: Definite Integral. Newton - Leibniz formula. By Math vel em: . Acessoo 2015.

•

[5] E-CÁLCULO. Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646-1716). Portal E-Cálculnivel em: . Acesso em: 22 Ou• [6] HISTORY CHANNEL. Isaac Newton. Seu History, 2012. Disponivel em:

euhistory.com/node/159791>. Acesso em: 27 Outubro 2015.

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