ExponencialProf: Thiago Lainetti

Potência

É todo número escrito na forma:

Lê-se: a elevado a n.

base

expoente = a.a.a.a ... .a.a

fatores

ann

Exemplo:

Obs: apenas os expoentes 2 e 3 recebem nomes

diferenciados.

Expoente 2 é quadrado.

Expoente 3 é cubo.

Repetimos a base quantas vezes o

expoente mandar e efetuamos.

4³ =3 fatores

4.4.4 = 64

1)40

Outros Exemplos:

2) (−5)0

3) 21

4) 1

5

1

5) (−4)1

6) 52

7) (−3)2=

8) 02 =

9) 2

3

2=

10) −23 =

11) −(−2)3=

= 1

= 1

=1

5

= 2

= −4

= 25

−3 . −3 = 9

0.0 = 0

2

3. 2

3=4

9

−2.2.2 = −8

- −2 . (−2). −2

8=

Potência com expoente negativo

Invertemos a base e o

expoente perde o sinal.

1) 3−1 =

2) 3−2 =

3) (−3)−3 =

4)2

3

−2

=

𝑎

𝑏

−𝑛

=𝑏

𝑎

𝑛

1

31=

1

3

1

32=

1

9

1

(−3)3=

1

−27=−

1

27

1

23

2 =1

49

=9

4

Potência de expoente racional

Seja 𝑎 ∈ ℝ+∗ e

𝑝

𝑞∈ ℚ∗, então:

𝑎 =𝑞𝑎𝑝

𝑝

𝑞numerador expoente da base

denominador índice da raiz

1) 31

2 = 3

2) 82

3 =382 = 4

As potências de expoente

irracional são definidas por

“aproximação” de potências

racionais, mas apenas para

bases não-negativas.

Exemplo:

𝑝

𝑞

Propriedades da Potenciação

53. 52 =

34. 3−1 =

25

22=

25

2−2=

53 2 =

532= 59

(2.3)2 = 22. 32

3

5

2

=32

52

𝑎𝑥 . 𝑎𝑦 = 𝑎𝑥+𝑦

𝑎𝑥

𝑎𝑦= 𝑎𝑥−𝑦

𝑎𝑥 𝑦 = 𝑎𝑥.𝑦

𝑎

𝑏

𝑥

=𝑎𝑥

𝑏𝑥

(𝑎. 𝑏)𝑥= 𝑎𝑥. 𝑏𝑥

1

2

3

4

5

52+3 = 55

34−1 = 33

25−2 = 23

25−(−2) = 27

53.2 = 56

Cuidado!

EQUAÇÃO EXPONENCIAL

Toda equação que apresenta incógnita no

expoente é denominada equação exponencial,

como por exemplo:

1) 5r = 25

2) 3s = 81

3) 2t + 1 =9

8

4) 5x2 −4 = 1

5) 2x+1 + 2𝑥 − 2𝑥−2 = 88

6) 32x = 3x + 72

RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES

EXPONENCIAIS

Resolver uma equação é obter o valor da incógnita que

torna a igualdade verdadeira. No caso da equações

exponenciais, é importante lembrar que:

1) Se 2m = 25, então m = 5;

Se duas potências de mesma base são iguais,

então os seus expoentes também o são.

Exemplos:

2) Sendo 36 = 3t, então t = 6.

Vamos resolver alguns dos exemplos anteriores

2) 3s = 81

3) 2t + 1 =9

81) 5r = 25

5r = 52

r = 2

S = {2}

Fatorando 81:

3s = 34

s = 4

S = {4}

Subtraindo 1 nos dois

membros:

2t =𝟗

𝟖- 1 ⟹ 2t =

𝟗 − 𝟖

𝟖

2t =𝟏

𝟖⟹ 𝟐𝒕 = 𝟐−𝟑

t = - 3 ⟹ S = {-3}

4) 5𝑥2 − 4 = 1

Reescrevendo a equação dada, temos:

Então: 𝒙𝟐 − 𝟒 = 𝟎

Resolvendo a equação do 2º grau, temos que

as raízes são: - 2 e 2

S = {- 2, 2}.

𝟓𝐱𝟐 − 𝟒 = 𝟓𝟎

Lembrar:

𝟐− 𝟐 =𝟏

𝟐𝟐=𝟏

𝟒

5) 2𝑥+1 + 2𝑥 − 2𝑥−2 = 88

Utilizando as propriedades da potenciação, reescrevemos

a equação:

𝟐𝐱. 𝟐 + 𝟐𝐱 − 𝟐𝐱. 𝟐− 𝟐 = 𝟖𝟖

Colocando 2x em evidência:

𝟐𝐱(𝟐 + 𝟏 − 𝟐− 𝟐) = 𝟖𝟖

Efetuando os cálculos, obtemos que 𝟐 + 𝟏 −𝟏

𝟒=

𝟖+𝟒−𝟏

𝟒=

𝟏𝟏

𝟒.

Então:

𝟐𝐱.𝟏𝟏

𝟒= 𝟖𝟖

S = {5}.de onde obtemos que x é igual a 5.

𝟐𝐱= 𝟖𝟖.𝟒

𝟏𝟏

𝟐𝐱= 𝟑𝟐

𝟐𝐱= 𝟐𝟓

6) 32𝑥 = 3𝑥 + 72

Reescrevendo a equação, temos:

Vamos substituir 3x por m, então: m2 = m + 72

Passando todos os termos pro mesmo lado:

Resolvendo a equação do 2º grau, obtemos as raízes:

Retomando a substituição inicial: 3x = m, teríamos:

Então, x = 2, S = {2}.

m2 - m - 72 = 0

9 e – 8.

(3x)2 = 3x + 72

3x = - 8 ou 3x = 9

𝟑𝐱= 𝟑𝟐

Função exponencial

Exemplo:

Chama-se função exponencial toda função 𝑓:ℝ ⟶ ℝ+∗ tal que

f(x) = 𝑎𝑥, com a ∈ ℝ e 0 < 𝑎 ≠ 1.

𝑎) 𝑓 𝑥 = 3𝑥

b) 𝑓 𝑥 = 7𝑥

c) 𝑓 𝑥 =1

2

𝑥

d) 𝑓 𝑥 = (0,7)𝑥

• está todo acima do eixo Ox;

• corta o eixo Oy no ponto de ordenada 1;

• é crescente para a > 1 e decrescente para 0 < a < 1;

• o eixo x é assíntota do gráfico.

O gráfico da função exponencial f(x) = ax, com 0 < a ≠ 1,

tem as seguintes características:

Exemplo:

a > 1

𝑎) 𝑓 𝑥 = 2𝑥

Função crescente

b) 𝑔 𝑥 =1

2

𝑥Exemplo:

0 < 𝑎 < 1 Função decrescente

Certa substância se decompõe aproximadamente segundo a lei

Q(t) = k ⋅ 2–0,5t, em que k é uma constante, t indica o tempo em

minutos e Q(t) indica a quantidade da substância, em gramas,

no instante t. Considerando os dados desse processo de

decomposição mostrados no gráfico, determine os valores de k

e de a.

Exemplo:

2048 = k · 2-0,5.0

A função exponencial passa pelos pontos (a, 512) e (0, 2048).

Substituindo esses pontos na função, temos:

k = 2048

Q(a) = 2048 · 2-0,5.a

2-0,5.a = 1

4

2– 0,5.a = 2-2

– 0,5·a = -2

a = 4

512 = 2048 · 2-0,5.a

Q(t) = k ⋅ 2–0,5t

49x + 7x + 4 > 5

Inequação exponencial

Exemplos:

3x < 243

2x+1 + 2x−1 ≥ 19

É toda inequação que apresenta a variável no expoente de uma ou mais potências de base positiva e diferente de 1.

Se a > 1, a função definida por f(x) = ax é crescente

e seu gráfico está representado abaixo.

1Caso

Se 0 < a < 1, a função definida por f(x) = ax é

decrescente e seu gráfico está representado abaixo

2Caso

Exemplo:

34x − 2 < 32x + 8

Sendo a base maior que 1, temos:

4x − 2 < 2x + 8

4x − 2x < 8 + 2

2x < 10

x < 5

S = {x R / x < 5}

Resumo:

Inverter o sinal da desigualdade quando a base

estiver entre 0 e 1.

1 Reduzir ambos os membros a uma base comum.

2

Manter o sinal da desigualdade entre os

expoentes quando a base for maior que 1

S = {x R / x > 4}

(0,1)5x − 1 < (0,1)2x + 11

Temos, agora, a base maior que zero e menor que 1, logo:

5x − 1 > 2x + 11

5x − 2x > 11 + 1

3x > 12

x > 4

Exemplo:

Exercise Time!