Encontro da Matemática UFV/UFJF e o Dia da Matemática III

O 1o Encontro da Matemática UFV/UFJF e o 3a Dia daMatemática foram realizados, respectivamente, nos dias 12 e13 de outubro de 2018. No encontro, tivemos a prazer de rece-ber 30 participantes do DM/UFJF, entre docentes e discentes,e no Dia da Matemática, além dos colegas do DMA/UFV,nos brindaram com palestras os professores visitantes LuizFernando de Oliveira Faria (UFJF) e Juan Valentin MendozaMogollon (UNIFEI). Agradecemos a todos os participantes.

A. Cambraia Jr A. De Araujo A. Lemos C. Mendes deJesus

*Existence of solutions and Local Null Controlla-bility for a model of tissue invasion by solid tu-mours.De Araujo, A. L. A.; Magalhaes, P. M. D.; SIAM Journal onMathematical Analysis, 2018, (Classif. CAPES: A1 ). Inthis paper we study the distributed problem for the two-dimensional mathe-matical model of the invasion of a healthy tissue by a generic solid tumorthat has been vascularized, due to coupled parabolic systems. We provethe existence, uniqueness, and local null controllability. Read More: https://epubs.siam.org/doi/abs/10.1137/17M111732X

*Suggested Corrections for A Principal Ideal Do-main That Is Not a Euclidean Domain.De Oliveira P. H. A.; Lemos, A.; The American MathematicalMonthly, 2018, (Classif. CAPES: B2 ).

*Graphs of stable maps from closed surfaces tothe projective plane.Mendes de Jesus, C.; Romero-Fuster, M.C. ; Topology & Its Apli-cations, 2018, (Classif. CAPES: B2 ).

*Realization of graphs by fold Gauss maps.Mendes de Jesus, C.; Sanabria-Codesalb, E.; Topology & Its Apli-cations, 2018, (Classif. CAPES: B2 ).

* On Affine Evolutoids.Cambraia Jr, A. and Lemos, A.; Quaestiones Mathematicae, aser publicado (2019), (Classif. CAPES: B3 ).

TÓPICOS PRINCIPAIS

-ICM 2018-Rio p. 2

-PROJETO DE EXTENSÃO p. 3

-ENTREVISTAS:* Mercio Botelho Faria* Tatiana A. Gouveia p. 5

-PROJETOS DE PESQUISA p. 6

-DESAFIO MATEMÁTICO-NOTÍCIAS p. 8

COLABORADORES:*Iara R. da Conceição*Igor S. Reis

JMat UFVEDITORES

Pouya MehdipourAndré J. da S. Corrêa

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JMatUFV 14 de Dezembro de 2018 ‖ 10:10h

JMatUFV , 14 de Dezembro de 2018 ICM 2018-RIO N◦3 2 / 8

ICM 2018-RIO

Vencedores de Fields/ Prêmios

O Brasil no ICM-2018

Entre os dias 1 e 9 de agosto de2018, foi realizado o ICM (Internati-onal Congress of Mathematicians) -Congresso Internacional de Matemá-tica, no Rio de Janeiro. Esse eventoé organizado quadrianualmente pelaIMU (União Internacional de Ma-temática) e acontece desde 1897,quando foi realizado em Zurique naSuíça. Principal evento da área, esteano o congresso foi realizado pela pri-meira vez num país do hemisfério sul ejá é considerado o mais diverso da his-tória, pois contou com palestrantes de37 países (sendo 13 palestrantes bra-sileiros, um recorde). Para se ter umaidéia, no congresso de 2006, por exem-plo, não houve um único palestrantede um país em desenvolvimento.

O evento reuniu cerca de 3000 ma-temáticos(as), dentre eles alguns dosmais respeitados profissionais da área.O diretor-geral do IMPA (InstitutoNacional de Matemática Pura e Apli-cada), Marcelo Viana, afirmou queum dos principais objetivos do eventofoi reafirmar o compromisso, a exce-lência e o prestígio do Brasil na Mate-mática. Segundo Viana, o orçamentoda organização ficou em torno de 15milhões de reais.

O ponto alto do evento é, sem dú-

vida, a entrega da Medalha Fields, ofi-cialmente chamada de Medalha Inter-nacional de Descobrimentos Proemi-nentes em Matemática e que se tratade uma medalha de ouro 14K com va-lor aproximado de 4.100 dólares, alémde um prêmio em dinheiro. Este prê-mio é concedido a dois, três ou qua-tro matemáticos com não mais de 40anos de idade e isto ocorre desde oICM de 1936. Era grande a expecta-tiva de que o brasileiro Codá Marquesestivesse na lista dos agraciados coma medalha, repetindo o feito de ArturÁvila no congresso de 2014, mas infe-lizmente isto não aconteceu.

Além da Medalha Fields, foramentregues também os seguintes prê-mios: - Prêmio Chern (vencedor M.Kashiwara), criado em 2009 para ho-menagear o matemático chinês Shiing-Shen Chern, outorga além de uma me-dalha de ouro de 24 quilates, US$500.000 ao vencedor, para apoiar pro-gramas de pesquisa, educação e exten-são em matemática; - Prêmio Gauss(vencedor David L. Donoho), queé concedido desde 2006 em conjuntopela IMU e pela DMV, como uma ho-menagem ao matemático alemão CarlFriedrich Gauss; - Prêmio Leelavati(vencedor: Ali Nesin), criado em2010 para premiar excelentes traba-lhos de divulgação pública de mate-mática; e o Prêmio Nevanlinna (ven-cedor: C. Daskalakis) que é uma dasmaiores honras da Ciência da Com-putação Teórica e foi criado em 1981,recebendo esse nome em homenagemao matemático finlandês Rolf Nevan-linna.

Os Medalhistas de Fields

Akshay Venkatesh: Nascido em1981, na Índia e criado na Austrália,aos 12 anos ganhou sua primeira me-dalha em uma Olimpíada Internacio-nal de Matemática. Iniciou seus es-tudos de Matemática na Universidadeda Austrália Ocidental (Bachareladoem 1997). Aos 20, terminou o dou-torado na universidade de Princeton(EUA) orientado por Peter Sarnak e,sete anos depois, tornou-se professorda Universidade de Stanford e do Ins-tituto de Estudos Avançados de Prin-ceton. Foi premiado por sua sínteseda Teoria dos Números, que resolveu

problemas em áreas como a da equi-distribuição de objetos aritméticos.

Alessio Figalli: Italiano de Ná-poles, nascido em 2 de abril de 1984,foi premiado por suas contribuiçõesà Teoria do Transporte Ideal e suasAplicações em Equações DiferenciaisParciais, Geometria Métrica e Proba-bilidade. Concluiu, em 2007, o douto-rado na École Normale Supérieure deLyon (França), sob orientação de Cé-dric Villani, também distinguido coma Medalha Fields. Figalli também ga-nhou o prêmio EMS (um análogo daMedalha Fields, no contexto da Soci-edade Européia de Matemática), em2015. Hoje leciona no Instituto Fede-ral de Tecnologia (ETH) de Zurique(Suíça).

Caucher Birkar: Nasceu em1978, em uma família de fazendeiroscurdos no Irã, na fronteira com o Ira-que. Após o Bacharelado na Universi-dade de Teerã, Birkar mudou-se parao Reino Unido. Sua principal área deinteresse é a Geometria Birracional,em que se dedicou a aspectos funda-mentais de problemas chave na Mate-mática moderna. Há 12 anos é pro-fessor da Universidade de Cambridge.Lamentavelmente Birkar teve sua me-dalha furtada no evento e, em virtudedisto, ele acabou recebendo outra me-dalha e até agora a polícia não conse-guiu prender o criminoso.

Peter Scholze: Aos 30 anos, oalemão de Dresden é um dos matemá-ticos mais influentes do mundo. Ga-nhou notoriedade aos 22 anos, ao sin-tetizar em 37 páginas as 288 de umaprova complexa em Teoria dos Núme-ros, na qual ele encontrou uma ma-neira de evitar uma das partes maiscomplicadas da prova, que trata deuma ampla conexão entre Teoria dosNúmeros e a Geometria. O teóricoWeinstein, de 34 anos, escreveu so-bre esse feito: “Foi tão deslumbrantepara alguém tão jovem ter feito algotão revolucionário, foi extremamentehumilhante". Com apenas 24 anos jáera professor titular da Universidadede Bonn e ele foi contemplado com aFields, dentre outras coisas, pelas con-tribuições ao desenvolvimento de no-vas teorias cosmológicas e pelo traba-lho de excelência desenvolvido na áreade Geometria Aritmética Algébrica.

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JMatUFV , 14 de Dezembro de 2018 PROJETO DE EXTENSÃO N◦3 3 / 8

As proteínas fazem bem à saúde, aMatemática também!Iara R. da Conceição,

O Projeto Ludicidade no Ensino de Matemática tem comoobjetivo principal promover a difusão e popularização dametodologia lúdica no ensino de Matemática entre os pro-fessores do Ensino Fundamental I e II, do Ensino Médio,bem como alunos de graduação em Licenciatura em Mate-mática, Pedagogia, Educação Infantil e áreas afins, vistoque atividades lúdicas em sala de aula podem ser utiliza-das para tornar o processo de ensino-aprendizagem maiseficiente, transformando os alunos em participantes ati-vos, em vez de apenas ouvintes, no processo de ensino-aprendizagem.Este projeto está registrado na UFV desde 2008. O inte-resse em trabalhar com este tema surgiu após a realização,no Departamento de Matemática (DMA) da UniversidadeFederal de Viçosa (UFV), dos projetos de extensão univer-sitária: Apoio Didático em Matemática para Estudantesdo Ensino Fundamental da Rede Pública de Viçosa – MG(2006, 2007), Matemática e Surdez: Questões de Lingua-gem e Novas Técnicas de Ensino (2007) e do Programade Apoio às Ciências Básicas – PAB, nos quais se buscoua utilização de metodologias diversificadas para auxiliar aprática pedagógica do ensino de Matemática. Essas me-todologias incluíram a aplicação de roteiros de estudo emateriais lúdicos elaborados durante os projetos.O trabalho consiste na divulgação da metodologia do lú-dico através da realização de minicursos. Em cada mini-curso são apresentadas atividades lúdicas a serem aplica-das em sala de aula, elabora-se, com os participantes, omaterial a ser utilizado em cada atividade e, em seguida,ocorre a explicação da atividade e a avaliação da mesma.Ao final, realiza-se uma avaliação das atividades sugeridas,visando aumentar a eficiência da aplicação e adaptaçãodas atividades a outros conteúdos matemáticos. Em suamaioria, os objetos utilizados nas atividades selecionadaspossuem um baixo custo de montagem, já que, em algunscasos, podem ser confeccionados com materiais recicláveis.

Como nem todas as escolas possuem um estoque de ma-terial de consumo suficientemente grande para atender atodos os alunos, sugere-se também que a atividade iniciecom os alunos coletando e levando para a escola os ma-teriais recicláveis que serão utilizados nas atividades. Asoficinas, geralmente, ocorrem no Laboratório de Ensinodo DMA/UFV, no Prédio das Licenciaturas. No entanto,também são realizados minicursos em escolas da rede pú-blica de Viçosa e região.Atualmente o projeto é coordenado pela professora MarliDuffles Donato Moreira e conta com a participação de 10alunos da graduação em Licenciatura em Matemática. Otrabalho realizado tanto pela professora quanto pelos alu-nos é totalmente voluntário e sem fins lucrativos.

Mini Fazenda/LXXXIX Semana do Fazendeiro

Com uma proposta diferente, o projeto esteve presentena LXXXIX Semana do Fazendeiro da UFV, entre os dias14 e 20 de julho de 2018, fazendo parte da “Mini Fazenda”que, este ano, trouxe ao público um percurso educativocom o tema “A cadeia produtiva da proteína”. Esta ofere-ceu aos visitantes a oportunidade de entrarem em contatocom uma fazenda de verdade, conhecendo o processo deprodução e beneficiamento da proteína para o consumohumano.Foram propostas, para a comunidade, atividades educati-vas a partir de uma abordagem lúdica, com o tema: “AsProteínas fazem bem para a nossa saúde e a Matemática,também”. Foram dinamizadas atividades para que os visi-tantes da “Mini Fazenda” tivessem contato com a Matemá-tica em conexão com os temas: saúde, nutrição e proteína.As atividades foram: Pirâmide alimentar com figuras ge-ométricas, Acerte no alvo das proteínas, Quebra-cabeçasproteico, Cálculo do IMC (Índice de Massa Corporal) eda quantidade necessária de ingestão diária de proteína.

Durante o evento foi disponibilizado um questionárioonline para que os participantes avaliassem as atividadesdesenvolvidas. O resultado foi positivo, com 99, 3% deaprovação.Além disso, neste ano, também foram apresentados pales-tras e minicursos em diversos eventos da área como, porexemplo, no Encontro Mineiro de Educação Matemática(EMEM) e na IV Semana Acadêmica de Matemática daUFV – Florestal. Nesta Semana Acadêmica, realizadanos dias 22, 23 e 24 de agosto, os discentes e a coorde-nadora do projeto participaram ministrando o minicurso“Jogando com a Matemática”, com carga horária total de2 horas, que foi muito procurado pelos participantes doevento. O Projeto Ludicidade no Ensino da Matemáticaestá de portas abertas para quaisquer interessados emagregar para o mesmo. É só entrar em contato pelo e-mailludicidade.ufv@gmail.com ou pelo endereço eletrô-nico http://www.dma.ufv.br/dma/inicio.php?secao=extensao&id=11.

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JMatUFV , 14 de Dezembro de 2018 ENTREVISTAS N◦3 4 / 8

Professor Mercio Botelho Faria (UFV)O Professor Mercio Botelho Faria éBacharel em Matemática pela Uni-versidade Federal de Viçosa (1999),cursou mestrado (2001) e doutorado(2005) em Matemática na Universi-dade Estadual de Campinas (UNI-CAMP). Realizou ainda dois pós-doutorados no Departamento de Tele-mática - FEEC da UNICAMP . Atu-almente é professor Associado III doDepartamento de Matemática da Uni-versidade Federal de Viçosa.

(1)Antes da UFV, já traba-lhou em outras universidades?Se sim, quais?Resposta:Não. Após o término de meu dou-torado, iniciei um pós-doutorado naUNICAMP vindo, em seguida, para aUFV como professor efetivo no Depar-tamento de Matemática (DMA).(2)Durante estes anos, quaisfunções acadêmicas você já assu-miu na UFV? Qual o período detempo em cada uma delas?Resposta:Durante estes 13 anos acadêmicos deUFV, no âmbito Administrativo, noDMA, fui membro e presidente da Co-missão de Recursos Computacionais(dois anos), membro da Comissão dePesquisa (dois anos), chefe de Depar-tamento (dois anos), participei da Co-missão de Promoção (como membropor 4 anos e presidente por mais 4anos), fui Coordenador de Programade Mestrado Profissional em Matemá-tica - PROFMAT (dois anos). Nocontexto da Universidade, fui Mem-bro e Presidente do Conselho Fiscal daFUNARBE (três anos) e, atualmente,sou Membro do CONSU (2017 a 2020)e da Comissão Permanente de PessoalDocente (CPPD), na qual atuo comomembro desde 2014 e presidente desde2015 até o presente data.

No âmbito de Ensino: orientei vá-rios estudantes na graduação entremonitores e iniciações científicas, leci-onei até a presente data 43 disciplinasna graduação e 35 na pós-graduação,das quais fui coordenador em 53 des-tas.

No âmbito de Extensão: participeide 28 eventos, sendo coordenador de 9destes. Dentre projetos e programas,participei de 15, sendo coordenador de6 destes.

No âmbito de Pesquisa: partici-pei da orientação de 54 estudantesdos quais 30 foram de pós-graduaçãosendo 29 de mestrado e uma de dou-torado. Os outros 24 foram projetosde iniciação científica e extensão. Par-ticipei de 42 projetos de pesquisa dosquais 25 fui primeiro autor. Dentreestes, foram 21 para pós-graduação.

(3)Qual sua área de pesquisa?Resposta:Geometria com enfoque em Empaco-tamentos de Esferas e CoordenadasFricke. Esta área envolve GeometriaDiscreta e Topologia com aplicaçãoem Sistemas de Comunicação, especi-ficamente, Códigos GeometricamenteUniformes.

(4)Entre seus projetos de pes-quisa quais acha mais importan-tes na sua opinião?Resposta:Trabalhei em pesquisas relacionandoa Matemática com a Teoria de Eco-nomia (coalizões) , Matemática Pura(coordenadas Fricke) e EngenhariaElétrica (Sistemas de Comunicação).Todas ao meu ver são importantes,mas destaco a área de Sistemas de Co-municação dado o maior desenvolvi-mento neste âmbito.

(5)Qual sua opinião/sugestãopara a melhoria do nível de pes-quisa no DMA?Resposta:Acredito que nós, enquanto Departa-mento de Matemática, tenhamos quedesenvolver mais eventos temáticosnas áreas de pesquisa dos nossos do-centes e promover nossa interação comdocentes de outras instituições, prin-cipalmente as mais próximas da UFV.Além disto, somos um corpo nume-roso de docentes e acho que a nossainteração interna pode também ren-der frutos se investirmos nela.

(6)Como podemos criar atra-tivos no DMA para melhorarmosnossa pesquisa?Resposta:O Jornal da Matemática acho uma ex-celente idéia, bem como o dia da Ma-temática. Recentemente, a vinda deum grupo da UFJF à UFV foi umaatividade muito proveitosa e pensoque deveríamos retribuir a visita, alémde criarmos o hábito de, pelo menosuma vez a cada semestre, fazer esta vi-

sita em grupo a outras instituições talcomo a UFJF. Outra idéia seria criar-mos a revista de Pesquisa do DMA,com corpo editorial, na qual pode-ríamos publicar nossos relatórios depesquisa, além de pesquisas em de-senvolvimento. Esta seria uma formade registro do que estamos fazendo etambém serviria como segurança paranós, sobre os resultados alcançadosaté o momento da publicação dos mes-mos em revistas de áreas específicas.

(7)Existe um grupo de pes-quisa na sua área na UFV?Quando foi criado?Resposta:Sim. Participo de três grupos de pes-quisa na DMA, a saber: Geometria,Topologia e Aplicações; Grafos, Vari-edades e Aplicações e Álgebra e Ma-temática Aplicada. Estes foram cria-dos em 1996, 2004 e 2014, respectiva-mente. As minhas orientações de pós-graduação eu vinculei a estes grupose, portanto, não gerei um novo grupoalimentando estes já existentes.

(8)Quem são os membros?Resposta:Os membros do DMA nestes grupossão os professores Ady Cambraia Ju-nior, Catarina Mendes de Jesus Sán-chez, Marinês Guerreiro, Sônia MariaFernandes, Lia Feital Fusaro Abran-tes e Rogério Carvalho Picanço den-tre outros professores que já foram doDMA, tais como a Professora SimoneMaria de Moraes.

(9)Qual a frequência de semi-nários ou reuniões do grupo?Resposta:Esta informação não tenho como pres-tar, pois recentemente não tenho par-ticipado das reuniões destes devido aomeu envolvimento com a Administra-ção Superior da UFV.

(10)Poderia nos dar uma ex-plicação sobre sua área, de 5 à10 linhas, listando os principaisfocos e possíveis aplicações?Resposta:Recentemente tenho trabalho comemparelhamento de arestas de polí-gonos e grupos Fuchsianos aritméti-cos sobre superfície compacta orien-tável. Esta temática envolve Geome-tria e Topologia de Superfícies, Álge-bra e Códigos Geometricamente Uni-formes. O foco principal é a busca

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JMatUFV , 14 de Dezembro de 2018 ENTREVISTAS N◦3 5 / 8

de códigos com melhor potencial detrasmissão a fim de melhorar as ca-pacidades de recepção e transmissãode sinais. Estes emparelhamentos dearestas de polígonos na Geometria Hi-perbólica tornam possível a constru-ção de uma superfície e a obtenção de

seu grupo Fucshiano que, dependendodo caso, permite expressar o seu grupoaritmético. A partir deste é possívelobtermos a modulação do sinal e daíverificarmos sua taxa de transmissão.Esta busca na melhoria de sinal setraduz na otimização da densidade de

empacotamento de esferas que temoscorrelacionada a esta superfície e porconseguinte à minimização da funçãodensidade de probabilidade de erro natransmissão. �

Frases de Grandes Matemáticos:

A Matemática, quando a compreendemos bem, possui não somente a verdade, mas também a supremabeleza.

-Bertrand Russel.

Professora Tatiana Aparecida Gouveia (UFJF)A Professora Tatiana Aparecida Gou-veia possui graduação em Licencia-tura (2006) e Bacharelado (2007) emMatemática pela UFV, mestrado emMatemática pela UFV (2009) e estáterminando o doutorado em Matemá-tica pela UFMG, com a defesa de teseprevista para o início de 2019. É pro-fessora efetiva na UFJF desde abril de2011, onde ingressou como AssistenteI, atualmente é Professora Adjunto IIe está afastada para capacitação.

(1)Onde trabalha atualmentee se é a primeira universidadeque começou a trabalhar?A UFJF não é a primeira instituiçãoque trabalhei. Fui professora subs-tituta no DMA-UFV no período de03/2010 a 03/2011, também lecioneina antiga ESUV - Escola de Estu-dos Superiores de Viçosa de 02/2010a 03/2011 e na FDV - Faculdade deViçosa de 02/2010 a 02/2011, orienteialunos no PIC -Programa de Inicia-ção Científica Júnior da OBMEP em2010.

(2)Durante esses anos, quefunções acadêmicas você assu-miu? Quanto tempo em cadauma delas?A partir do meu ingresso no DM - De-partamento de Matemática da UFJF,além das atividades de docência em

cursos presenciais, também trabalheiem cursos da EAD – Educação a Dis-tância, fui designada para trabalharem comissões e bancas de naturezasdiversas, participei da organização daSemana da Matemática nos anos de2012, 2013 e 2014, orientei alunos noPIC da OBMEP de 2011 a 2014.

(3)Qual sua área de pesquisa?A área é Álgebra, trabalho com Álge-bras com Identidades Polinomiais (PI-Álgebras).

(4)Qual dos seus projetos depesquisa você considera mais im-portante?O projeto intitulado *-Variedades mi-nimais e supervariedades minimais decrescimento polinomial.

(5)A universidade na qualvocê trabalha tem um programade pós-graduação em matemá-tica? Se sim, qual seu nível depesquisa? Existe um grupo depesquisa em sua área?Sim. O DM da UFJF tem um Pro-grama de Pós-Graduação em Mate-mática com curso de Mestrado. Nãoexiste um grupo de pesquisa em Álge-bra.

(6)Como podemos criar atra-tivos para melhorar o nível depesquisa em universidades?Através da interação entre pesquisa-

dores da mesma instituição e de ou-tras instituições, bolsas de ProfessorVisitante, um maior número de docen-tes com pós-doutorado e a interaçãode estudantes com outros grupos depesquisas.

(7)Uma breve explicação so-bre sua área de pesquisa, de 5 à10 linhas, listando os principaisfocos e possíveis aplicações.Existe um interesse em conhecer oconjunto de identidades polinomiaissatisfeitas por uma dada álgebra A,para compreender o crescimento desseconjunto estudamos a sequência de co-dimensões da álgebra. O fato de exis-tirem outras álgebras satisfazendo asidentidades de A torna natural con-siderar a classe dessas álgebras, ditavariedade de álgebras gerada por A.Tenho interesse em álgebras associa-tivas com crescimento polinomial dascodimensões. É conhecida a genera-lização desses conceitos para álgebrasmunidas de mais estruturas, como su-perálgebras, álgebras com involução,álgebras com involução graduada e ál-gebras com superinvolução. A teoriade representações do grupo simétricoé uma importante ferramenta no de-senvolvimento da PI-teoria.

Piada: *Matemática Avançada*

Se um pedaço de queijo suíço tem muitos buracos, logo quanto mais queijo, mais buracos.Se cada buraco ocupa o lugar do queijo, logo quanto mais buracos, menos queijo.

Se quanto mais queijo, mais buracos e quanto mais buracos, menos queijo, logo... Quanto mais queijo,

menos queijo!

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JMatUFV , 14 de Dezembro de 2018 PROJETOS DE PESQUISA N◦3 6 / 8

Problemas de soma-zero com pesoDados uma sequência de números inteiros e n ∈ IN , quando é possível garantir a existência de umasubsequência de comprimento n cuja soma dos seus elementos é um múltiplo de n? Essa perguntamarcou o início do que chamamos de problemas de soma zero.

Bruna Maria Frutuoso,Em 1961, no âmbito da aritméticamodular, Paul Erdos numa parceriacom Abraham Ginzburg e AbrahamZiv, demonstraram um simples masimportante teorema, o Teorema deErdos-Ginzburg-Ziv, no qual qual-quer sequência de comprimento 2n −1 de números inteiros possui umasubsequência de comprimento n cujasoma dos seus termos é congruentea zero módulo n. O resultado ob-tido com esse Teorema se tornouum caso particular do que definimoscomo sendo a Constante de Erdos-Ginzburg-Ziv denotada por s(G) querepresenta o menor inteiro positivo ktal que toda sequência de k elemen-tos de um dado grupo G possui umasubsequência de comprimento exp(G)cuja soma de seus elementos é o neu-tro de G, com G um grupo aditivoabeliano finito. Um problema de somazero sobre um grupo abeliano finitoG consiste em estudar essa e outrasconstantes que podem ser definidas deforma similar e encontrar seu valorexato ou, na maioria dos casos, limitesinferiores e/ou superiores, sendo pos-sível adicionar algumas condições so-bre os elementos da sequência atravésde um conjunto peso A ⊂ ZZ. Nesseúltimo caso, dizemos que temos umproblema de A−soma zero e denota-mos a constante por sA(G). Devido aparticularidade de cada grupo e cadaconjunto peso, em geral, não é uma ta-refa simples encontrar limitantes parasA(G) e, em muitos casos, precisamosrecorrer a outros resultados da Teo-ria dos Números que a princípio nãotem relação com problemas de somazero. Como exemplo disso, vamos vercomo calcular sA(G) com A = {−1, 1}

e G = Cn ⊕ Cn.

Resultados

Teorema 1 (Chevalley-Warning).Sejam f1, ..., fm polinômios em nvariáveis, sem termo constante ecom graus totais d1, ..., dm, respectiva-mente. Se n > d1 + ... + dm, entãoexiste (b1, ..., bn) 6= (0, ..., 0) tal que:

f1(b1, ..., bn) ≡ 0(mod p)

f2(b1, ..., bn) ≡ 0(mod p)

...

fm(b1, ..., bn) ≡ 0(mod p)

ou seja, um zero simultâneo paraf1, ..., fm módulo p.

Teorema 2 (Euler-Fermat). Sejama e m inteiros com m > 0 emdc(a,m) = 1. Então

aφ(m) ≡ 1(mod m),

com φ a função de Euler que, paracada m > 0, conta a quantidade de in-teiros positivos x menores que m taisque mdc(x,m) = 1.

Teorema 3 (Adhikari et al.). Sejan um número inteiro ímpar e A ={−1, 1}. Então sA(C2

n) = 2n− 1.

Vamos demonstrar o resultado nocaso em que n = p é primo. Sejamm = 2p − 1 e v1, ..., vm uma sequên-cia de elementos de C2

p , ou seja, vi =(ai, bi), ai, bi ∈ Cp,∀i ∈ {1, 2, ...,m}.Considere o sistema abaixo:

2p−1∑i=1

aixp−12

i = 0

2p−1∑i=1

bixp−12

i = 0

2p−1∑i=1

xp−1i = 0

Observe que 2(p−1) = 2p−2 < 2p−1.Com isso, o Teorema de Chevalley-Warning nos garante que existe umasolução não nula para o sistema. Seja(c1, ..., c2p−1) uma solução não triviale tome J ∈ {1, ..., 2p − 1} o conjuntodos índices das entradas não nulas dasolução. Aplicando essa solução nasduas primeiras equações, obtemos:∑i∈J

qivi ≡ (0, 0)(mod p) qi ∈ {1,−1},

pois(x

p−12

i

)2≡ xp−1i ≡ 1(mod p),

pelo Teorema de Euler-Fermat.Agora, da terceira equação, obte-mos |J | = p. Daí, renomeando essesíndices, obtemos:

p∑i=1

qivi ≡ (0, 0)(mod p)

e encontramos a subsequência procu-rada, o que implica sA(C2

p) ≤ 2p − 1.Por outro lado, se considerarmos umasequência com 2p−2 elementos de C2

p

na qual cada um dos elementos (0, 1)e (1, 0) é repetido p − 1 vezes, é fácilver que é impossível obter uma sub-sequência de p elementos cuja soma é(0, 0)(mod p). Daí sA(C2

p) ≥ 2p− 1 eisto prova o teorema, para p um nú-mero primo.

O caso em que n não é primo seráomitido.

É claro que inúmeras questões per-manecem em aberto e isso é comumpara esse tipo de problema. Qualquersutil diferença entre conjuntos pesosou entre grupos pode nos exigir méto-dos completamente diferentes de solu-ção e resultados muito distintos.

�

Frases de Grandes Matemáticos:

1- A Matemática é a honra do espírito humano.2- A Música é um exercício inconsciente de cálculo.

3- Não há homens mais inteligentes do que aqueles que são capazes de inventar jogos. E aí que o seuespírito se manifesta mais livremente. Seria desejável que existisse um curso inteiro de jogos tratados

matematicamente.

-Gottfried Wilhelm Leibniz.

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JMatUFV , 14 de Dezembro de 2018 PROJETOS DE PESQUISA N◦3 7 / 8

Códigos Corretores de ErrosOs códigos corretores de erros participam da vida moderna de várias formas como, por exemplo,na telefonia celular, nas comunicações via satélite, na comunicação entre computadores, em redesneurais e etc.

Suponha que você tenha uma sonda es-

pacial passando por Marte tirando foto

como acima (foto maior), se você enviar

as imagens de volta à Terra via ondas de

rádio, o sinal será corrompido por uma

coisa cósmica ou outra e você terá uma

imagem como a da foto menor. Como

corrigir erros desse tipo?

Rafael C. Silva,Essa teoria surgiu em 1948, com umtrabalho do matemático C.E. Shan-non dos Laboratórios Bell, uma em-presa norte americana de telefonia, apartir principalmente de um questio-namento do porquê das máquinas nãolocalizarem a posição de um erro ecorrigi-lo numa transmissão de infor-mações, já que essas podiam detec-tar um erro. Um código corretor deerros é, em essência, um modo or-ganizado de acrescentar algum dadoadicional a cada informação que sequeira transmitir ou armazenar, quepermita, ao recuperar a informação,detectar e corrigir erros.

Um exemplo da utilização de có-digos é na transmissão de dados obti-dos por satélites no espaço. Em 1965,a nave espacial Mariner 4 transmitiu22 fotos em preto e branco de Marteusando o seguinte sistema: cada fotofoi decomposta em 200× 200 elemen-tos de imagem e, a cada elemento, foiatribuído um dos 64 tons de cinza pré-escolhidos e codificados como elemen-tos de {0, 1}6, correspondentes ao có-digo da fonte.

Em 1972, a nave espacial Mariner9 transmitiu novas imagens de Marte.Dessa vez cada imagem foi decom-posta em 700×832 elementos, aumen-tando consideravelmente a resolução.O código da fonte foi mantido, mas,tirando-se partido do aumento da ve-locidade de transmissão de dados al-

cançada, foi possível recodificar o có-digo através de uma aplicação injetorade {0, 1}6 em {0, 1}32, de modo que ocódigo de canal resultante fosse capazde detectar e corrigir até sete erros. Osinal recebido era corrigido e decodifi-cado utilizando-se a aplicação inversa,achando-se o elemento de {0, 1}6 e, emseguida, o tom de cinza a ele corres-pondente. Este código é um membroparticular de uma família de códigoschamada de Códigos de Reed-Muller.Mais tarde, em 1979, a nave espacialVoyager transmitiu imagens coloridasde Júpiter. O codificador da fonteusava 12 bits binários e o codificadorde canal usava 24 bits. Esse código foichamado código de Golay e era capazde corrigir até três erros cometidos nos24 bits de informação transmitidos.

Apresentarei na sequência algunsconceitos que são básicos no estudo daTeoria de Códigos.

Códigos Lineares

Consideremos primeiramente um con-junto finito A qualquer, que será cha-mado alfabeto. A cardinalidade de Aserá denotada por |A| = q e os ele-mentos deste conjunto serão chama-dos de letras ou dígitos. Uma palavraé uma sequência de elementos (letras)de A e o comprimento dessa palavraé o número de letras que a compõe.Consideremos o conjunto

An = {(c0, · · · , cn−1) : ci ∈ A,∀i}

de todas as palavras de comprimenton. Assim, dado um número naturaln qualquer, um código é um subcon-junto próprio de An.

É natural impor certas estruturasalgébricas nos alfabetos. Os chama-dos códigos lineares, por exemplo, sãodefinidos com A = Fq, isto é, o alfa-beto é um corpo finito com q elemen-tos. Assim, um código linear é umsubespaço próprio de Fnq .

Métrica de Hamming

Um dos conceitos mais importantes naTeoria de Códigos, que nos permite

falar de erros, é a distância de Ham-ming, que é definida como segue.

Dados u = (u1, . . . , un) e v =(v1, . . . , vn) ∈ An, a distância deHamming entre u e v é dada por

d(u, v) = |{i : ui 6= vi, 1 ≤ i ≤ n}|.

A distância mínima de um código C éo número

d = min{d(u, v) : u, v ∈ C eu 6= v}.

Teorema Seja C um código com dis-tância mínima d. Então C pode corri-gir até κ = [d−12 ] erros e detectar atéd− 1 erros.

Demonstração. Suponha que aotransmitirmos uma palavra c do có-digo cometemos t erros com t ≤ κ,recebendo a palavra r, então d(r, c) =t ≤ κ. Prova-se que a distância r de ca qualquer outra palavra do código émaior do que κ. Isso determina c uni-vocamente a partir de r, corrigindo apalavra recebida e substituindo-a porc. Por outro lado, dada uma pala-vra do código, podemos nela introdu-zir até d−1 erros sem encontrar outrapalavra do código, e assim, a detecçãodo erro será possível.

Códigos Duais

Seja C ⊂ Fnq um código linear.Define-se o conjunto ortogonal a C emFnq por

C⊥ = {v ∈ Fnq : 〈u, v〉 = 0, ∀u ∈ C}.

Como C⊥ é um subespaço vetorialpróprio de Fnq , é também um código,chamado código dual de C.

Códigos de Hamming

Uma matriz G ∈ Mn×k(K) cujascolunas formam uma base para um có-digo C diz-se matriz de codificação oumatriz geradora de C nas bases canô-nicas.Exemplo: Um Código de Hammingde ordem m sobre F2 é um códigocuja matriz Hm, do seu dual de or-dem m × n, possui em suas colunasos elementos de Fm2 \{0} numa ordemqualquer.

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JMatUFV , 14 de Dezembro de 2018 NOTICIAS N◦3 8 / 8

Assim, para C ⊂ Fn2 o códigodeterminado pela matriz Hm, temosn = 2m − 1, pela própria construçãode Hm. Com isso, sua dimensão ék = n−m = 2m −m− 1.

A distância mínima em um códigode Hamming é d = 3, pois é fácil en-contrar 3 colunas linearmente depen-dentes em Hm.

Para m = 3, n = 23 − 1 = 7 ek = 7− 3 = 4, temos a matriz

H3 =

1 0 1 1 1 0 01 1 0 1 0 1 00 1 1 1 0 0 1

,

que ilustra um caso particular de Có-digo de Hamming.

Atualmente, as necessidades ad-

vindas da grande quantidade de in-formação a ser transmitida e ou ar-mazenada implicaram na criação denovas classes de códigos interessantesque derivam ou não dos chamados có-digos clássicos aqui apresentados. Noentanto, esta é a teoria básica paraqualquer pessoa interessada em reali-zar estudos nesta área. �

Desafios Matemáticos

André Junqueira

Apresentamos aqui a resolução doquadrado mágico 4×4, que foi um pro-blema proposto na versão anterior doJornal. A resposta é

16 2 3 135 11 10 89 7 6 124 14 15 1

A partir da próxima versão doJornal, apresentaremos os sete desa-fios mais brilhantes que existem atu-almente no mundo da Matemática.Exatamente cem anos após o cien-

tista alemão David Hilbert definir os23 grandes problemas que a Matemá-tica do Século XIX foi incapaz de re-solver, o empresário norte-americanoLandon Clay ofereceu US$ 1 milhãopara quem solucionar cada um dossete enigmas fundamentais que, se-gundo sua equipe de assessores, der-rotaram a Matemática do Século XX.Dos 23 enunciados por Hilbert, 20 fo-ram resolvidos ou abordados satisfato-riamente e dois já não são considera-dos importantes. O empresário Clayé fundador do Instituto de Matemá-

tica Clay, um centro sediado em Cam-bridge (Massachusetts), que se dedicaao estudo avançado das ciências exa-tas. Sua equipe de assessores incluiAndrew Wiles, o matemático da Uni-versidade de Princeton que, em 1995,conseguiu demonstrar o escorregadioTeorema de Fermat, enigma que du-rante 358 anos intrigou os matemá-ticos do mundo todo. Andrew Wilesdisse sobre eles:

"Estes sete enigmas representamos grandes problemas não soluciona-dos da Matemática do Século XX".

NOTÍCIAS DO DMA

XII Programa deVerão - DMASerá promovido pelo Depar-tamento de Matemática, noperíodo de 14 de janeiroa 27 de fevereiro de 2019,o XII Programa de Ve-rão do DMA-UFV. O XIWorkshop de Verão, ocor-rerá no período de 25 a 27de fevereiro. http://www.dma.ufv.br/verao2019/

Dia da MatemáticaIVO Departamento de Mate-mática da UFV pretende or-ganizar o Dia da Matemá-tica IV no próximo semes-tre com previsão de um mi-nicurso sobre "Q-Cálculo".A iniciativa tem por inten-ção promover a interação ci-entífica entre membros aca-dêmicos do DMA.

2o Encontro deMatemática UFV-UFJFOs Programas de Pós-Gra-duação em Matemática daUFV e UFJF pretendemorganizar a 2a edição doEncontro de Matemáticaem 2019-I, no DM-UFJF. A1a edição foi realizada comsucesso no DMA-UFV emoutubro de 2018.

Nova Docente noDMA

Desde o dia 25/09/2018, oDMA conta com a atua-ção da docente Dra. LaisMoreira dos Santos. Ante-riormente, ela era docenteda UFOB (Universidade Fe-deral do Oeste da Bahia).Desejamos boas-vindas àProfessora Lais.

Referências:1- https : //impa.br/2- http : //www.icm2018.org/wp/icm− news− home/3- https : //jeremykun.com/category/coding − theory − 2/4- http : //www.deinf.ufma.br/ portela/Desafios1milhao.pdf

Esclarecimento: O grupo do Jornal da Matemática da UFV gostaria de corrigir o nome e a instituição da Profes-sora Simone Maria de Moraes (UFBA) mencionada no JMAT II. A editora do JMAT, pede desculpas à Profa. Simone,pelo erro que ocorreu.

Agradecimento: Agradecemos o apoio dos membros do grupo do Jornal da Matemática, em particular, a Profa.Marinês Guerreiro e o Prof. Ady Cambraia que nos ajudaram na edição final desta versão.

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