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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO

MÉTODOS PARA DETERMINAÇÃO DOS ESFORÇOS HIPERESTÁTICOS DE

PROTENSÃO EM UMA LAJE COGUMELO COM PROTENSÃO ADERENTE

Thainá Pölzl

2020



Thainá Pölzl

Projeto de Graduação apresentado ao Curso

de Engenharia Civil da Escola Politécnica,

Universidade Federal do Rio de Janeiro,

como parte dos requisitos necessários à

obtenção do título de Engenheiro.

Orientador: Prof. Benjamin Ernani Diaz

Rio de Janeiro

Dezembro de 2020



Thainá Pölzl

PROJETO DE GRADUAÇÃO SUBMETIDO AO CORPO DOCENTE DO CURSO DE

ENGENHARIA CIVIL DA ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE

FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS

NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE ENGENHEIRO CIVIL.

Examinado por:

Prof. Benjamin Ernani Diaz, Dr. Eng.

Prof.ª Flávia Moll de Souza Judice, D. Sc.

Prof. Mayra Soares Pereira Lima Perlingeiro, D. Sc.

RIO DE JANEIRO, RJ - BRASIL

DEZEMBRO DE 2020

ii

Pölzl, Thainá

Métodos para Determinação dos Esforços Hiperestáticos

de Protensão em uma Laje Cogumelo com Protensão

Aderente/ Thainá Pölzl. – Rio de Janeiro: UFRJ/Escola

Politécnica, 2020.

XVII, 94 p.:il.; 29,7 cm.

Orientador: Benjamin Ernani Diaz

Projeto de Graduação – UFRJ/ Escola Politécnica/ Curso de

Engenharia Civil, 2020.

Referências Bibliográficas: p. 74-76

1. Concreto Protendido 2. Esforços Hiperestáticos de

Protensão 3. Laje Cogumelo.

I. Diaz, Benjamin Ernani; II. Universidade Federal do Rio de

Janeiro, Escola Politécnica, Curso de Engenharia Civil. III.

Métodos para Determinação dos Esforços Hiperestáticos de

Protensão em uma Laje Cogumelo com Protensão Aderente.

iii

DEDICATÓRIA

À minha irmã, Clara.

iv

AGRADECIMENTOS

Agradeço a Deus, por ter me guiado até este momento e me ajudado ao longo da

minha trajetória.

À minha irmã, Clara, pessoa mais incrível que eu conheço e que dá o real sentido

à palavra fraternidade. Obrigada por todo o carinho e cumplicidade.

Aos meus pais, Rosângela e Marcos, por sempre me apoiarem a realizar meus

sonhos e pelo suporte durante a vida acadêmica.

Aos meus avós, Pedro, Amanda, Kurt e Brazina, por me mostrarem a importância

da educação e por investirem em mim. Provavelmente eu não teria as mesmas conquistas

sem a presença de vocês.

Agradeço à Ana Paula, um presente que a UFRJ me deu e que levarei para a vida.

Obrigada por todo o carinho, pelas risadas, pela compreensão com os furos nos finais de

semana e por compartilhar os sufocos durante a formação e início da vida profissional.

Ao meu orientador, Ernani Diaz, que sempre foi muito solícito e disposto a me

ensinar. Obrigada pela simpatia, por me receber nos finais de semana para me guiar

durante todo o trabalho e por me inspirar profissionalmente e como pessoa. Às

professoras, Flávia Moll e Mayra Perlingeiro, por aceitarem participar da banca e pelas

sugestões e comentários feitos que ajudaram a aprimorar o texto.

Agradeço também à Raissa L. S. de Toledo pelo auxílio durante a modelagem

computacional e por me ensinar ferramentas sem as quais o desenvolvimento do trabalho

não seria possível.

Aos profissionais da Casagrande Engenharia e da SEEL Engenharia que muito me

ensinaram durante o período de estágio.

Por fim, agradeço à UFRJ, que me forneceu educação gratuita e de excelência, e

a todos os professores que me ensinaram a técnica da profissão, me inspiraram e me

mostraram que é possível aprender tudo o que quisermos. Tenho muito orgulho de ter me

formado nesta instituição e espero contribuir para seu crescimento.

v

Resumo do Projeto de Graduação apresentado à Escola Politécnica/ UFRJ como parte

dos requisitos necessários para obtenção do grau de Engenheiro Civil.



Thainá Pölzl

Dezembro/2020

Orientador: Benjamin Ernani Diaz

A utilização de lajes em concreto protendido como solução estrutural já é usual no país,

especialmente no projeto de estruturas de edificações de shoppings. O projeto exige uma

análise cuidadosa dos esforços gerados pela protensão, sobretudo quando não há simetria

e regularidade no projeto de arquitetura. Uma das complexidades do problema advém da

necessidade de determinação dos esforços hiperestáticos de protensão, também

denominados esforços secundários na literatura norte-americana, que são provocados em

parte pelas reações de apoio induzidas pela tendência de deformação da estrutura

estaticamente indeterminada com o tensionamento dos cabos protendidos. O método das

cargas equivalentes é considerado por alguns autores como o mais apropriado para o

cálculo dos esforços de protensão, porém esta metodologia se torna de difícil aplicação

prática por conta da geometria irregular dos pavimentos. Este trabalho efetua um estudo

comparativo com vários métodos para determinação das solicitações de protensão, como

a modelagem física dos cabos da estrutura, a substituição desses por cargas equivalentes

e um método alternativo que utiliza deformações e curvaturas calculadas pela teoria de

membranas e placas para simular o efeito da protensão. O estudo foi feito mediante a

análise de um modelo em elementos finitos num programa comercial de uma laje

cogumelo protendida com cordoalhas aderentes. O pavimento utilizado como exemplo

possui quatro vãos em cada direção, cujos comprimentos são de 6,5 m e 8,0 m para os

vãos externos e internos, respectivamente. Todos os métodos forneceram resultados com

boa precisão no que diz respeito à ordem de grandeza dos valores e ao comportamento

dos diagramas de esforços.

Palavras-chave: Concreto Protendido. Esforços Hiperestáticos de Protensão. Laje

Cogumelo.

vi

Abstract of Undergraduate Project presented to POLI/UFRJ as a partial fulfillment of

the requirements for the Engineer degree.

METHODS FOR THE DETERMINATION OF PRESTRESSING HYPERSTATIC

FORCES IN A MUSHROOM SLAB WITH BONDED PRESTRESSING

Thainá Pölzl

December/2020

Advisor: Benjamin Ernani Diaz

The use of prestressed concrete slabs as a structural solution is usual in Brazil, especially

in the design of shopping mall building structures. The project requires a careful analysis

of the internal forces caused by prestressing, mainly when there is no symmetry and

regularity in the architectural design. One of the complexities of the problem comes from

the need to determinate the hyperstatic internal forces, also designated as secondary

internal forces by the American technical literature, which are imposed in part by the

reaction forces induced by the deformation of the hyperstatic structure, caused by the

prestressing action. The equivalent load method is generally considered as the most

appropriate procedure for their determination. However, this method is very laborious to

be applied in an irregular slab geometry. This work presents a comparative study of

different methods for determining the internal forces due to prestressing, such as, the

physical modeling of the cables, the application of equivalent loads and an alternative

method that applies deformations and curvatures obtained by the membrane and plate

theory, to simulate the prestressing effects. The study is performed with the help of a

finite element model of a mushroom slab with bonded strands created by a commercial

program. The floor, used as an example, has four spans in both directions. The external

and internal spans are 6.5 m and 8 m long, respectively. All the studied methods led to

adequate results, regarding numerical values and behavior of the corresponding diagrams.

Keywords: Prestressed Concrete. Hyperstatic Internal Forces. Mushroom Slab.

vii

SUMÁRIO

LISTA DE FIGURAS .................................................................................................... ix

LISTA DE TABELAS ................................................................................................. xvi

LISTA DE SÍMBOLOS ............................................................................................. xvii

1 INTRODUÇÃO ........................................................................................................1

1.1 CONTEXTO E MOTIVAÇÃO ........................................................................1

1.2 OBJETIVO E METODOLOGIA .....................................................................3

1.3 APRESENTAÇÃO DO TRABALHO..............................................................4

2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA ................................................................................5

2.1 CONCEITOS GERAIS .....................................................................................5

2.2 ESFORÇOS DE PROTENSÃO .......................................................................7

2.3 MÉTODOS PARA DETERMINAÇÃO DOS ESFORÇOS DE PROTENSÃO

........................................................................................................................9

2.3.1 Método 1: modelagem física dos cabos ...................................................9

2.3.2 Método 2: cargas equivalentes ..............................................................11

2.3.3 Método 3: deformações e curvaturas ...................................................13

2.4 PROCEDIMENTOS PARA SEPARAÇÃO DOS ESFORÇOS DE

PROTENSÃO ..............................................................................................16

3 DETERMINAÇÃO DOS MOMENTOS HIPERESTÁTICOS NA VIGA .......19

3.1 DESCRIÇÃO DA ESTRUTURA ...................................................................19

3.2 MODELO GERAL DE ANÁLISE .................................................................21

3.3 APLICAÇÃO DO MÉTODO 1 ......................................................................22



viii

3.6 COMPARAÇÃO ENTRE OS RESULTADOS .............................................28

4 DETERMINAÇÃO DOS MOMENTOS HIPERESTÁTICOS NA LAJE .......31

4.1 DESCRIÇÃO DA ESTRUTURA ...................................................................31

4.2 MODELO GERAL DE ANÁLISE .................................................................35

4.3 PRÉ-DIMENSIONAMENTO DA LAJE (PROCESSO APROXIMADO) ...37




4.7 COMPARAÇÃO ENTRE OS RESULTADOS .............................................61

4.8 COMPARAÇÃO ENTRE OS MÉTODOS (QUANTO À DIFICULDADE

DE APLICAÇÃO) .......................................................................................67

4.9 CRÍTICA SOBRE O MÉTODO APROXIMADO UTILIZADO NO PRÉ-

DIMENSIONAMENTO (SECTION CUT) ..................................................68

4.10 COMENTÁRIOS ADICIONAIS ...................................................................69

5 CONCLUSÕES E SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS ................72

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ........................................................................74

BIBLIOGRAFIA CONSULTADA ..............................................................................76

APÊNDICE A – MOMENTOS HIPERESTÁTICOS NA VIGA .............................77

APÊNDICE B – CÁLCULO DAS CURVATURAS NA VIGA ................................81

APÊNDICE C – TRAÇADO DOS CABOS DA LAJE EM ELEVAÇÃO ...............83

APÊNDICE D – CÁLCULO DAS CARGAS EQUIVALENTES DA LAJE ...........85

APÊNDICE E – CÁLCULO DAS DEFORMAÇÕES E CURVATURAS DA LAJE

................................................................................................................................89

ix

LISTA DE FIGURAS

Figura 1.1 – Montagem de laje lisa com cabos de protensão no interior de bainhas

metálicas – Sistema aderente (BAUSCHER, 2018). .........................................................1

Figura 1.2 - Laje lisa com capitéis. (JAISAN, 2020). .......................................................2

Figura 2.1 – Procedimento de pré-tração (a) Cabos tensionados entre ancoragens externas

(b) Concreto moldado e curado (c) Cabos liberados e tensão transferida (GILBERT et al.,

2017). .................................................................................................................................5

Figura 2.2 - Procedimentos de pós-tração aderente (a) Concreto moldado e curado (b)

Cabos tracionados e protensão transferida (c) Cabos ancorados e injetados. (Adaptada de

GILBERT et al., 2017). .....................................................................................................6

Figura 2.3 - Monocordoalha engraxada. ............................................................................6

Figura 2.4 – Momentos induzidos pela protensão em uma viga contínua (a)

Excentricidade do cabo em relação ao centroide (b) Momento isostático (c) Momento

hiperestático devido às reações hiperestáticas (d) Momento total de protensão. ..............8

Figura 2.5 - Cargas equivalentes para vãos de extremidade (Adaptado de EMERICK,

2005). ...............................................................................................................................11

Figura 2.6 – Cargas equivalentes para vãos internos (Adaptado de EMERICK, 2005)..13

Figura 2.7 - Simbologia e convenção dos esforços para membranas e placas (Adaptado

das definições do programa empregado). ........................................................................15

Figura 3.1 -Seção transversal da viga celular com eixos locais de referência (dimensões

em cm). ............................................................................................................................19

Figura 3.2 - Elevação da viga celular com eixos locais de referência (dimensões em cm).

.........................................................................................................................................20

Figura 3.3 – Numeração das barras até o eixo de simetria da viga. ................................21

Figura 3.4 – Eixos globais e locais da viga. ....................................................................22

Figura 3.5 – Modelo inicial da viga hiperestática - Método 1 – Cabos modelados

x

fisicamente como frames. ................................................................................................22

Figura 3.6 – Diagrama de momentos fletores totais de protensão (em kN.m) e reações de

apoio na viga hiperestática (em kN) – Método 1.............................................................23

Figura 3.7 – Diagrama de momentos fletores isostáticos de protensão (em kN.m) e reações

de apoio na viga isostática (em kN) - Método 1 ..............................................................23

Figura 3.8 - Diagrama de momentos fletores hiperestáticos de protensão (em kN.m) -

Método 1 – Procedimento B. ...........................................................................................24

Figura 3.9 - Modelo da viga isostática engastada com aplicação das reações hiperestáticas

em kN - Método 1 - Procedimento A. ............................................................................24

Figura 3.10 – Diagrama de momentos fletores hiperestáticos de protensão (em kN.m) -

Método 1 – Procedimento A. ...........................................................................................24

Figura 3.11 - Modelo inicial da viga hiperestática - Método 2 – Cabos substituídos por

carregamento equivalente (em kN.m). ............................................................................25

Figura 3.12 - Diagrama de momentos fletores totais de protensão (em kN.m) e reações de

apoio na viga hiperestática (em kN) - Método 2. ............................................................26

Figura 3.13 - Diagrama de momentos fletores isostáticos de protensão (em kNm) e

reações de apoio na viga isostática (em kN) - Método 2. ................................................26


Método 2 – Procedimento B. ...........................................................................................26

Figura 3.15 - Modelo da viga isostática engastada com aplicação das reações

hiperestáticas (em kN) - Método 2 – Procedimento A. ...................................................27


Método 2 – Procedimento A. ...........................................................................................27

Figura 3.17 - Modelo inicial da viga hiperestática - Método 3 – Cabos substituídos pela

aplicação de curvaturas. ...................................................................................................27

Figura 3.18 - Diagrama de momentos fletores hiperestáticos de protensão (em kN.m) e

xi

forças hiperestáticas (em kN) - Método 3. ......................................................................28

Figura 3.19 – Sobreposição dos diagramas de momentos hiperestáticos de protensão

obtidos por diferentes metodologias. ...............................................................................29

Figura 4.1 - Planta baixa da laje protendida com eixos globais e locais de referência

(dimensões em cm). .........................................................................................................33

Figura 4.2 - Corte A-A’ com eixos globais e locais de referência (dimensões em cm). .33

Figura 4.3 – Disposição dos cabos em planta e número de cordoalhas de cada cabo

(dimensões em cm). .........................................................................................................34

Figura 4.4 – Modelo geral de análise da laje com eixos globais de referência (Vista 3D).

.........................................................................................................................................35

Figura 4.5 – Eixos globais e locais do programa no trecho central da laje com a

representação do capitel...................................................................................................36

Figura 4.6 - Modelo geral de análise da laje com eixos globais de referência (Plano XY).

.........................................................................................................................................36

Figura 4.7 – Modelo geral de análise da laje com eixo globais de referência (Plano XZ).

.........................................................................................................................................37

Figura 4.8 – Seções de dimensionamento em que foi utilizado o Section Cut................38

Figura 4.9 - Modelo inicial da laje hiperestática - MODINICIAL- Método 1 – Cabos

modelados como tendons - Vista 3D. ..............................................................................39

Figura 4.10 – Modelo inicial da laje hiperestática - MODINICIAL - Método 1 – Cabos

modelados como tendons - Plano XY. ............................................................................40

Figura 4.11 – Exemplo de definição do cabo de protensão da laje na direção X. ...........40

Figura 4.12 – Diagrama de momentos fletores totais de protensão (em kN.m/m) na laje

na direção 1 (M11) - MODINICIAL - Método 1. ...........................................................41

Figura 4.13 – Diagrama de momentos fletores totais de protensão em (em kN.m/m) na

laje na direção 2 (M22)- MODINICIAL - Método 1. .....................................................41

xii

Figura 4.14 – Reações de apoio nos pilares da laje (em kN) devidas ao carregamento de

protensão - MODINICIAL - Método 1. ..........................................................................42

Figura 4.15 – Modelo da laje isostática externamente com engastamento central -

MODISO REAÇÕES – Método 1 – Vista 3D. ...............................................................43

Figura 4.16 – Modelo da laje isostática externamente com carregamento das reações de

apoio dos pilares - MODISO REAÇÕES – Método 1 – Vista 3D. .................................43

Figura 4.17 – Diagrama de momentos fletores hiperestáticos em (em kN.m/m) devido às

reações de apoio dos pilares na direção 1 (M11) - MODISO REAÇÕES - Método 1 –

Procedimento A. ..............................................................................................................44

Figura 4.18 – Diagrama de momentos fletores hiperestáticos em (em kN.m/m) devidos às

reações de apoio dos pilares na direção 2 (M22) -MODISO REAÇÕES - Método 1 –

Procedimento A. ..............................................................................................................44

Figura 4.19 – Diagrama de momentos fletores isostáticos de protensão (em kN.m/m) na

laje na direção 1 (M11)- MODISO CABOS - Método 1. ...............................................45

Figura 4.20 - Diagrama de momentos fletores isostáticos de protensão (em kN.m/m) na

laje na direção 2 (M22)- MODISO CABOS - Método 1. ...............................................45

Figura 4.21 – Diagrama de momentos fletores totais de protensão (em kN.m/m) na laje

na direção 1 (M11) – (MODISO CABOS + MODISO REAÇÕES) - Método 1. ...........46

Figura 4.22 - Diagrama de momentos fletores totais de protensão (em kN.m/m) na laje na

direção 2 (M22) – (MODISO CABOS + MODISO REAÇÕES) - Método 1. ...............47

Figura 4.23 - Momentos hiperestáticos de protensão (em kN.m/m) na laje na direção 1

(M11) – (MODINICIAL -MODISO CABOS)- Método 1 – Procedimento B. ...............47

Figura 4.24 – Diagrama de momentos hiperestáticos de protensão (em kN.m/m) na laje

na direção 2 (M22) – (MODINICIAL -MODISO CABOS) - Método 1 – Procedimento

B. .....................................................................................................................................48

Figura 4.25 - Carregamento equivalente por área (em kN/m²) devido aos cabos

concentrados na direção X. ..............................................................................................51

xiii

Figura 4.26 – Carregamento equivalente por área em (kN/m²) devido aos cabos

distribuídos na direção Y. ................................................................................................51

Figura 4.27 – Cargas equivalentes concentradas (em kN) devidas aos cabos nas

ancoragens – Plano XY. ..................................................................................................52

Figura 4.28 - Carregamento equivalente concentrado (em kN) devido aos cabos nas

ancoragens – Plano XZ. ...................................................................................................52


ancoragens – Plano YZ. ...................................................................................................52


direção 1 (M11) - MODINICIAL - Método 2. ................................................................53


direção 2 (M22) - MODINICIAL - Método 2. ................................................................53

Figura 4.32 - Modelo da laje isostática externamente com carregamento das reações de

apoio dos pilares - MODISO REAÇÕES – Método 2 – Vista 3D. .................................54

Figura 4.33 - Diagrama de momentos fletores hiperestáticos (em kN.m/m) devido às


Procedimento A. ..............................................................................................................55

Figura 4.34 - Diagrama de momentos fletores hiperestáticos (em kN.m/m) devido às


Procedimento A. ..............................................................................................................55

Figura 4.35 - Diagrama de momentos hiperestáticos de protensão (em kN.m/m) na laje na

direção 1 (M11) – (MODINICIAL -MODISO CARGAS EQUIVALENTES) - Método 2

– Procedimento B. ...........................................................................................................56


direção 2 (M22) – (MODINICIAL -MODISO CARGAS EQUIVALENTES) - Método 2

– Procedimento B. ...........................................................................................................56

Figura 4.37 - Modelo da laje isostática externamente com engastamento central -

xiv

MODISO CABOS – Método 1 – Vista 3D. ....................................................................57

Figura 4.38 - Modelo inicial da laje hiperestática - MODINICIAL- Método 3 –

Deformações e curvaturas - Vista 3D. .............................................................................59


direção 1 (M11) – MODINICIAL - Método 3. ...............................................................60


direção 2 (M22) – MODINICIAL - Método 3. ...............................................................60

Figura 4.41 – Diagrama de momentos fletores hiperestáticos (em kN.m/m) na laje na

direção 1 (M11) - Método 1 – Procedimento A. .............................................................62

Figura 4.42 - Diagrama de momentos fletores hiperestáticos (em kN.m/m) na laje na

direção 1 (M11) - Método 1 – Procedimento B...............................................................63


direção 1 (M11) - Método 2 – Procedimento A. ............................................................63


direção 1 (M11) - Método 2 – Procedimento B..............................................................64


direção 1 (M11) - Método 3. ...........................................................................................64










xv

direção 2 (M22) - Método 3. ...........................................................................................67

Figura 4.51 - Diagrama de forças normais hiperestáticas de protensão (em kN/m) na laje

na direção 1 (F11) - Método 3. ........................................................................................70

Figura 4.52 - Diagrama de forças normais hiperestáticas de protensão (em kN/m) na laje

na direção 2 (F22) - Método 3. ........................................................................................70

Figura 4.53 - Diagrama de forças totais de protensão (em kN/m) na laje na direção 1 (F11)

- MODINICIAL - Método 1. ...........................................................................................71

Figura 4.54 - Diagrama de forças totais de protensão (em kN/m) na laje na direção 2 (F22)

- MODINICIAL - Método 1. ...........................................................................................71

xvi

LISTA DE TABELAS

Tabela 3.1 – Propriedades geométricas e dos materiais da viga. ....................................21

Tabela 3.2 – Momentos hiperestáticos na viga (em kN.m) obtidos em cada método. ....29

Tabela 3.3 – Diferença relativa entre os resultados dos esforços hiperestáticos na viga.

.........................................................................................................................................29

Tabela 4.1 – Propriedades dos materiais empregados na laje. ........................................34

Tabela 4.2 – Solicitações médias no elemento de área “1” devidas à protensão (Obtido do

MODISO CABOS – Método 1) ......................................................................................58

Tabela 4.3 – Momentos hiperestáticos na laje (em kN.m/m) obtidos com os diferentes

métodos. ...........................................................................................................................61

Tabela 4.4 - Diferença relativa entre os resultados dos métodos aplicados à laje. ..........61

xvii

LISTA DE SÍMBOLOS

𝐴 Área da seção transversal do elemento estrutural

𝑒 Excentricidade do cabo em relação ao centroide do elemento estrutural

𝐸 Módulo de elasticidade do material

𝐺 Módulo de elasticidade transversal do material

ℎ Espessura da laje

𝐼 Inércia da seção transversal em relação ao eixo neutro

𝐿 Comprimento do vão

𝑀 Momento fletor

𝑀𝐶 Momento fletor dos cabos de protensão

𝑀𝑃 Momento fletor total de protensão

𝑀𝑃𝐼 Momento fletor isostático ou primário de protensão

𝑀𝑃𝐻 Momento fletor hiperestático ou secundário de protensão

𝑁 Esforço axial

𝑃 Força aplicada em um cabo ou cordoalha de protensão

𝛾 Deformação devida ao cisalhamento

𝜀 Deformação devida ao esforço axial

𝜃 Inclinação do cabo ou cordoalha de protensão

𝜅 Curvatura

𝜈 Coeficiente de Poisson

𝜎 Tensão devida ao esforço axial

𝜏 Tensão devida ao esforço cisalhante

1

1 INTRODUÇÃO

1.1 CONTEXTO E MOTIVAÇÃO

O concreto protendido permite a elaboração de estruturas com maiores vãos e

menor quantidade de pilares quando comparado com o concreto armado. A solução com

protensão também possibilita a execução de edificações com elementos mais esbeltos e

que podem ser construídos em menos tempo, por conta da velocidade na desforma e na

retirada de escoramentos.

A combinação entre o concreto e as armaduras ativas resulta em um melhor

aproveitamento de ambos os materiais. O aço é dúctil e age em alta tensão e o concreto,

que é um material pouco dúctil, consegue aumentar sua capacidade resistente ao ser

comprimido na etapa construtiva. A pré-compressão dos elementos de concreto tem o

intuito de diminuir ou eliminar as tensões de tração que provocariam sua fissuração, o

que gera uma maior eficiência na utilização da seção. Em decorrência disso, o uso da

protensão tem se mostrado vantajoso em estruturas sob carregamentos expressivos ou que

necessitam vencer grandes vãos por ocasião de sua utilização, como vigas de obras de

arte especiais e lajes lisas amplas, sendo as últimas comuns em estruturas de shoppings e

hotéis. No mais, a grande vantagem econômica é a possibilidade de usar aços de elevada

resistência, da ordem de até 2100 MPa na ruptura.

A Figura 1.1 ilustra uma laje lisa na fase de montagem dos cabos. A Figura 1.2

apresenta a laje lisa com capitéis, também denominada laje cogumelo, após a

concretagem e a operação de protensão.

Figura 1.1 – Montagem de laje lisa com cabos de protensão no interior de bainhas metálicas –

Sistema aderente (BAUSCHER, 2018).

2

Figura 1.2 - Laje lisa com capitéis. (JAISAN, 2020).

Apesar da solução estrutural de lajes com cordoalhas protendidas já ser

empregada no país, ainda não há muita clareza por parte dos projetistas quanto aos

conceitos relativos aos esforços hiperestáticos de protensão em lajes e aos métodos

empregados para sua determinação. Isso se deve à escassez de literatura relacionada ao

tema em português.

Nas estruturas isostáticas, a protensão, que é um carregamento autoequilibrado,

não gera reações de apoio. Sendo assim, não surgem as solicitações hiperestáticas. No

caso de estruturas estaticamente indeterminadas, como é o caso da maioria das lajes para

piso de edificações, os apoios são solicitados devido à tendência de deformação da

estrutura após a aplicação da tração nos cabos e fazem surgir as solicitações hiperestáticas.

Estas devem ser levadas em conta no dimensionamento da estrutura no Estado Limite

Último (ELU), de acordo com a norma NBR 6118 (2014).

Segundo EMERICK (2005), o método das cargas equivalentes proposto de

forma aproximada por LIN (1963), a título de exemplo, é considerado um dos métodos

mais apropriados para o cálculo das lajes protendidas. O procedimento consiste em

substituir os cabos de protensão por carregamentos equivalentes que balanceiam uma

parcela da carga externa atuante. Entretanto, a aplicação desse método se torna complexa

no caso de lajes com irregularidades geométricas, já que nessas estruturas a malha de

elementos finitos também se torna irregular, o que dificulta a aplicação do carregamento

equivalente no programa de análise.

Além disso, a metodologia não permite a determinação direta das solicitações

hiperestáticas na estrutura, uma vez que os esforços obtidos quando aplicada a carga

3

equivalente são compostos por duas parcelas: o esforço isostático e o hiperestático. O

mesmo ocorre quando os cabos são modelados fisicamente dentro da laje por meio de

elementos finitos. Dessa forma, após a aplicação dos dois métodos, ainda é necessário

realizar a separação dos esforços isostáticos e hiperestáticos por meio de um

procedimento adicional.

1.2 OBJETIVO E METODOLOGIA

Este trabalho pretende realizar um estudo comparativo entre três métodos para

determinação dos esforços hiperestáticos em uma laje cogumelo com protensão aderente.

Toda a análise estrutural é feita por um programa comercial de elementos finitos.

No primeiro método, os cabos são introduzidos fisicamente no modelo da laje

por meio de elementos lineares, aos quais são aplicadas as deformações relativas à tensão

imposta pela protensão. Nesse caso, o modelo fica completo, uma vez que é composto

pela laje de concreto e pela armadura ativa. Já no segundo método, emprega-se o conceito

das cargas equivalentes, no qual os cabos de aço tracionados são substituídos por seu

carregamento correspondente. Por fim, analisa-se o resultado obtido pelo terceiro método,

que consiste em uma alternativa aos demais. Em tal caso, o efeito gerado pela protensão

no concreto é simulado por meio de deformações e curvaturas impostas ao modelo.

A metodologia empregada consiste em analisar, inicialmente, o caso de uma viga

contínua protendida em seção celular com três vãos, cujos comprimentos são de 66 m e

80 m, para os vãos externos e interno, respectivamente. A determinação dos esforços de

protensão é realizada considerando, em essência, os mesmos métodos aplicados à laje. O

estudo da viga tem como objetivo esclarecer os conceitos necessários para o entendimento

do problema principal do trabalho, uma vez que a viga é um elemento linear e, por essa

razão, sua análise é mais simples do que a da laje.

Posteriormente, é avaliado o comportamento de uma laje cogumelo quando

submetida a métodos análogos àqueles empregados na viga. O pavimento a ser analisado

é simétrico com dimensões em planta de 29 m × 29 m. Há quatro vãos em cada direção,

cujos comprimentos são de 6,5 m e 8 m para os vãos externos e internos, nesta ordem. A

laje tem 20 cm de espessura e, na região dos pilares, são dispostos capitéis de 2 m × 2 m

com altura de 40 cm.

Tanto a laje quanto a viga foram pré-dimensionadas e são apresentadas com sua

geometria, número de cordoalhas e traçado dos cabos já definidos. No entanto, o

4

dimensionamento completo não é apresentado porque não faz parte do escopo do

trabalho, visto que este tem por objetivo a realização de um estudo comparativo entre os

métodos já citados.

No caso da laje, apresenta-se, no item 4.3, como foi realizada a determinação

aproximada dos esforços hiperestáticos para o pré-dimensionamento da estrutura. O

procedimento aproximado foi empregado porque a armadura de protensão da laje

necessitou ser determinada antes da realização deste estudo.

Deve-se notar que este trabalho se refere ao caso de uma laje cogumelo, isto é,

uma laje com capiteis. Sendo assim, o estudo envolve maiores dificuldades de análise e

de dimensionamento quando comparado com o de uma laje lisa (de espessura constante).

Isso porque o trecho do capitel precisa ser estudado de forma diferenciada dos demais

trechos da laje, com menor espessura.

1.3 APRESENTAÇÃO DO TRABALHO

No segundo capítulo é feita a revisão bibliográfica. Inicialmente, são

apresentados os conceitos gerais da protensão. Em seguida, são explicados os três

métodos utilizados neste trabalho para determinar os esforços advindos dos cabos

protendidos em um modelo de elementos finitos. Por fim, são expostos dois

procedimentos para realizar a separação entre as parcelas hiperestática e isostática do

esforço de protensão.

No terceiro capítulo, os métodos são aplicados em uma viga protendida em seção

celular. O estudo da viga tem como objetivo esclarecer a metodologia e os conceitos

necessários ao estudo de uma laje, sendo esta última uma estrutura plana mais complexa

do que a viga. Após a aplicação dos métodos, é realizada a comparação entre os

resultados.

No quarto capítulo, é apresentado o objeto principal de estudo deste trabalho: a

laje cogumelo protendida com protensão aderente. A essa estrutura, são aplicados

métodos análogos àqueles aplicados na viga.

No quinto capítulo, são relatadas as conclusões acerca dos resultados obtidos e

são feitas sugestões para trabalhos futuros.

5

2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

2.1 CONCEITOS GERAIS

Segundo PFEIL (1984), “a protensão pode ser definida como o artifício de

introduzir, numa estrutura, um estado prévio de tensões, de modo a melhorar sua

resistência ou seu comportamento, sob ação de diversas solicitações”.

A protensão tem o objetivo de combater os momentos fletores que decorrem,

basicamente, do carregamento permanente e da sobrecarga que atuam nas estruturas.

Além disso, pode ser utilizada para melhorar o desempenho em serviço, ao controlar a

fissuração e reduzir flechas.

De acordo com ALVES (2018), a protensão é introduzida por meio do

tracionamento dos cabos ou cordoalhas de aço, que possuem tensão de ruptura elevada e

baixa relaxação. O carregamento pode ser efetuado antes ou depois da concretagem,

sendo denominado de pré ou pós-tração, respectivamente.

A pré-tração é de uso comum em vigas pré-fabricadas e em pistas de protensão.

Neste caso, as cordoalhas são tracionadas na região da fôrma, com trajetória retilínea ou

poligonal, e ancoradas externamente. Posteriormente, o concreto é lançado e, somente

após atingir a resistência necessária para suportar os esforços de protensão, ocorre a

liberação das ancoragens com a introdução da protensão por aderência entre os materiais

(Figura 2.1).

Figura 2.1 – Procedimento de pré-tração (a) Cabos tensionados entre ancoragens externas (b)

Concreto moldado e curado (c) Cabos liberados e tensão transferida (GILBERT et al., 2017).

Em relação à pós-tração, a protensão ainda pode ser subdividida em: aderente,

não aderente interna e não aderente externa.

6

Na pós-tração aderente (Figura 2.2), os cabos podem seguir traçado parabólico

em elevação no interior das bainhas metálicas, que têm sua posição definida em fase

anterior à concretagem. Depois da cura do concreto, as cordoalhas são protendidas e os

dutos de protensão são preenchidos com injeção de calda de cimento sob pressão.

Figura 2.2 - Procedimentos de pós-tração aderente (a) Concreto moldado e curado (b) Cabos

tracionados e protensão transferida (c) Cabos ancorados e injetados. (Adaptada de GILBERT et

al., 2017).

Na pós-tração não aderente interna são empregadas cordoalhas engraxadas em

bainha plástica de polietileno de alta densidade (PEAD) (Figura 2.3). Após a

concretagem, as monocordoalhas, que geralmente apresentam trajetória sinuosa ou

retilínea, são protendidas. Nesse caso, não há desenvolvimento de aderência entre os

cabos e o concreto como ocorre na protensão aderente.

Figura 2.3 - Monocordoalha engraxada.

Por fim, existe o sistema de pós-tração não aderente externa que costuma ser

utilizado em projetos de reforço estrutural e em vigas de seção celular. Os cabos são

dispostos externamente ao elemento estrutural e sua trajetória é controlada por

desviadores de aço ou concreto. Nessa situação, não há desenvolvimento de aderência

7

entre o elemento de concreto e os cabos, sendo toda a carga transferida nos pontos de

desvio e de ancoragem.

No caso das lajes para pisos de edificações, normalmente são utilizados dois

sistemas: a pós-tração aderente e a não-aderente interna. A primeira solução costuma ser

menos empregada do que a segunda por conta de seu procedimento executivo. Isso se

deve, especialmente, ao fato de que o uso do sistema aderente implica em uma

concretagem mais cuidadosa para evitar danos à bainha, além da operação de protensão

precisar ser realizada em etapas. Do ponto de vista estrutural, EMERICK (2005) afirma

que a solução com cordoalhas aderentes é mais eficiente, já que a laje se comporta melhor

quanto à distribuição de fissuras.

2.2 ESFORÇOS DE PROTENSÃO

Um aspecto essencial a ser estudado nas estruturas protendidas são os esforços

de protensão. Estes são compostos por dois fatores: os esforços isostáticos e os

hiperestáticos, também denominados pela bibliografia americana de esforços primários e

secundários, respectivamente. A separação em dois fatores é válida para todas as

solicitações (momento fletor, força cortante, força normal). Entretanto, para não haver

repetição, são conceituados apenas os momentos fletores de protensão, uma vez que os

demais esforços podem ser definidos de forma análoga. Desse modo, o momento total de

protensão nas estruturas elásticas lineares é dado pela Equação (2.1).

𝑀𝑃 = 𝑀𝑃𝐼 + 𝑀𝑃

𝐻 (2.1)

sendo:

𝑀𝑃 − momento fletor total de protensão;

𝑀𝑃𝐼 − momento fletor isostático de protensão;

𝑀𝑃𝐻 − momento fletor hiperestático de protensão.

O momento isostático é o esforço decorrente da aplicação da força dos cabos

com uma dada excentricidade e inclinação em relação ao centroide da seção transversal

do elemento. Por ser interno ao sistema estrutural, não é levado em consideração na

combinação do momento solicitante de cálculo para o dimensionamento no ELU. O

momento isostático também pode ser conceituado como o esforço que atua no concreto

8

quando os suportes redundantes são retirados da estrutura hiperestática, ou seja, é o

esforço na estrutura isostática. Ele é calculado, no caso das vigas contínuas, por meio do

produto entre a componente perpendicular da força de protensão em relação a seção e sua

excentricidade em relação ao centroide.

O esforço hiperestático surge nas estruturas estaticamente indeterminadas, em

que o número de reações de apoio é, usualmente, maior que as equações gerais de

equilíbrio. Após a operação de protensão, os vínculos da estrutura, ao impedir a livre

deformação, produzem reações de apoio que são conhecidas como reações hiperestáticas.

A Figura 2.4 apresenta os dois fatores que compõem o momento total de

protensão em uma viga contínua reta, com o objetivo de promover um melhor

entendimento do conceito. Cabe dizer que a análise foi efetuada desprezando as

deformações de cisalhamento.

Figura 2.4 – Momentos induzidos pela protensão em uma viga contínua (a) Excentricidade do

cabo em relação ao centroide (b) Momento isostático (c) Momento hiperestático devido às

reações hiperestáticas (d) Momento total de protensão.

O tensionamento de estruturas isostáticas não faz surgir reações de apoio, já que

a protensão consiste num carregamento autoequilibrado. Desse modo, não são gerados

esforços hiperestáticos. Sendo assim, o momento total de protensão no concreto na

estrutura isostática, que é numericamente igual ao momento isostático, está em equilíbrio

com o momento dos cabos de protensão em relação ao centroide da seção, conforme

explicitado na Equação (2.2).

9

𝑀𝑃 + 𝑀𝑐 = 0 (2.2)

sendo:

𝑀𝐶 − momento dos cabos de protensão em relação ao centroide;

𝑀𝑃 − momento das tensões no concreto causadas pela protensão.

Há necessidade de enfatizar esses conceitos. Os esforços definidos como

isostáticos de protensão representam a resultante, em relação ao centroide, das tensões no

concreto na seção de referência. Nesta seção de referência, a soma dos esforços isostáticos

existentes no concreto e no aço causados pela protensão são nulos, conforme apresentado

na relação (2.2). Por isso, os esforços aplicados no concreto, neste caso, podem ser

determinados de forma simples ao se calcular os esforços resultantes das forças dos cabos

de protensão.

Observa-se que neste trabalho são utilizadas as palavras “esforços” e

“solicitações” para designar as forças normais, os cortantes, e os momentos fletores e

torsores. Nas bibliografias e nas normas consultadas foram encontradas as duas

nomenclaturas, por isso ambas foram empregadas.

2.3 MÉTODOS PARA DETERMINAÇÃO DOS ESFORÇOS DE PROTENSÃO

2.3.1 Método 1: modelagem física dos cabos

Em um programa de análise, é possível introduzir fisicamente os cabos de

protensão no modelo estrutural por meio de objetos lineares denominados na literatura

inglesa como tendons ou mediante o emprego de frames. Os primeiros consistem nos

próprios cabos de protensão, já os frames são elementos de pórtico espacial que

geralmente são utilizados para modelagem de pilares e vigas.

Os tendons podem ser definidos como elementos ou como cargas. No primeiro

caso, o efeito da protensão é imposto por meio de um encurtamento aplicado nos cabos.

Ao efetuar a análise da estrutura automaticamente pelo programa, há a geração de

deformações dos elementos de concreto, o que gera uma perda na força de protensão

aplicada inicialmente por meio do encurtamento. Além disso, é possível visualizar as

forças atuantes nos cabos. Já quando as cordoalhas são estabelecidas como cargas, as

perdas por encurtamento elástico não são determinadas pelo programa de análise e os

cabos não têm seus esforços apresentados.

10

Na situação em que os cabos são definidos como frames, tem-se um

comportamento similar aquele apresentado pelos tendons modelados como elementos, ou

seja, é possível verificar a perda por encurtamento elástico e a força atuante nas seções.

Neste trabalho, optou-se pela utilização de frames para os cabos da viga e de

tendons definidos como elementos para os cabos da laje. Destaca-se que os dois objetos

trabalham de maneira equivalente e a variação na escolha da forma de representação tem

apenas como objetivo facilitar o processo de modelagem, uma vez que cabos com

trajetória poligonal são facilmente modelados como frames.

A força de protensão nos cabos, em ambas as situações, foi aplicada por meio de

deformação equivalente calculada pela Lei de Hooke (Equação (2.3)), válida para

materiais linearmente elásticos, tal que:

𝜀 =𝜎

𝐸 (2.3)

sendo:

𝜀 − deformação;

𝜎 − tensão;

𝐸 − módulo de elasticidade longitudinal do material.

A Equação (2.3) pode ser transformada na Equação (2.5) por meio da substituição

da tensão pela razão entre força e área (Equação (2.4)).

𝜎 =𝑁

𝐴 (2.4)

𝜀 =𝑁

𝐴 ∙ 𝐸 (2.5)

onde:

𝑁 − esforço axial na seção transversal;

𝐴 − área da seção transversal.

A partir da análise estrutural do modelo com cabos, são determinados os esforços

de protensão no concreto. Se a estrutura for hiperestática, são obtidos da análise os

esforços totais de protensão, sendo necessário recorrer a um procedimento adicional para

separar os esforços hiperestáticos dos isostáticos. Os procedimentos adotados neste

trabalho são explicitados no item 2.4.

11

2.3.2 Método 2: cargas equivalentes

O método das cargas equivalentes, ou equilibrantes, é considerado por alguns

autores como o mais apropriado para o cálculo de estruturas protendidas e pode ser usado

tanto em vigas quanto em lajes. A ideia geral do método consiste em substituir o efeito

dos cabos por suas cargas correspondentes aplicadas ao concreto.

Quando as armaduras ativas seguem trajetória poligonal ou retilínea em elevação,

sem a presença de sinuosidades, a carga a ser aplicada nos pontos de desvio e de

ancoragem pode ser determinada por meio de cálculo simples e que considera apenas a

angulação e a excentricidade do cabo em relação ao centroide.

Por outro lado, se os cabos apresentarem trajetória parabólica, a determinação da

carga equivalente é mais complexa. As formulações utilizadas nesta situação costumam

desprezar o efeito da inversão da curvatura dos cabos sobre os pilares, no entanto, são

apresentadas neste trabalho as fórmulas que consideram esse efeito, com o objetivo de

obter maior acurácia nos resultados. Todas as expressões apresentadas foram obtidas do

trabalho de NAAMAN (1982) apud EMERICK (2005). Nos casos em que não se exija

acurácia elevada, pode-se optar pela formulação aproximada apresentada por LIN (1963),

que foi aplicada, por exemplo, na dissertação de PERLINGEIRO (1998).

2.3.2.1 Carregamento equivalente para os vãos de extremidade

Quando os cabos de protensão seguem trajetória parabólica em elevação nos vãos

extremos, conforme apresentado na Figura 2.5, as cargas equivalentes são calculadas a

partir das Equações (2.6) a (2.10). Nota-se que nas expressões apresentadas há

continuidade nas tangentes aos cabos entre as várias parábolas definidas.

Figura 2.5 - Cargas equivalentes para vãos de extremidade (Adaptado de EMERICK, 2005).

12

𝑞𝐵1 =2𝑃 ∙ (𝛽1 − 𝛽) ∙ 𝑒

(𝛼𝐿)2 (2.6)

𝑞𝐵2 =2𝑃 ∙ 𝜆 ∙ 𝑒

𝐿2 (2.7)

𝑞𝐵3 =−2𝑃 ∙ 𝜇 ∙ 𝑒

𝐿2 (2.8)

𝜆 =1 + 𝛽1

(1 − 𝛼) ∙ (1 − 𝛼 − 𝛼1) (2.9)

𝜇 =1 + 𝛽1

(1 − 𝛼) ∙ 𝛼1 (2.10)

sendo:

𝑃 − força de protensão;

𝑒 − excentricidade do cabo em relação ao centroide da seção no apoio direito;

𝐿 − comprimento do vão;

𝛼1 − constante que define a parcela do vão referente a cada trecho de parábola

(usualmente varia entre 0,05 e 0,15, no caso de lajes protendidas);

𝛼 − assim como 𝛼1, é uma constante que define a parcela do vão referente a cada trecho

de parábola;

𝛽 − constante multiplicadora da excentricidade na seção da ancoragem (quando o cabo é

ancorado no centroide da seção, 𝛽 é igual a zero).

2.3.2.2 Carregamento equivalente para os vãos internos

Quando os cabos seguem trajetória parabólica em elevação nos vãos internos,

conforme mostra a Figura 2.6, as cargas equivalentes são determinadas a partir das

Equações (2.11) e (2.12). Nota-se que nas expressões apresentadas também há

continuidade nas tangentes aos cabos.

Após o cálculo e a aplicação do carregamento equivalente à protensão no modelo,

pode-se prosseguir com a análise estrutural, que tem como resultado os esforços totais de

protensão. Assim como no primeiro método, em que é feita a modelagem física dos cabos,

é necessário recorrer a procedimentos adicionais cujo objetivo é realizar a separação entre

os esforços isostáticos e hiperestáticos.

13

Figura 2.6 – Cargas equivalentes para vãos internos (Adaptado de EMERICK, 2005).

𝑞𝐵1 =−4𝑃 ∙ (1 + 𝛽2) ∙ 𝑒

𝛼2𝐿2 (2.11)

𝑞𝐵2 =4𝑃 ∙ (1 + 𝛽2) ∙ 𝑒

(12 − 𝛼2)𝐿2

(2.12)

onde:

𝛼2 − constante que define a parcela do vão referente a cada trecho de parábola

(usualmente varia entre 0,05 e 0,15, no caso de lajes protendidas);

𝛽2 − constante multiplicadora da excentricidade na seção do meio do vão;

2.3.3 Método 3: deformações e curvaturas

O efeito da protensão também pode ser simulado por meio de deformações e

curvaturas devidas aos esforços provocados pela protensão. Como foi exposto no item

2.2, quando o tensionamento é aplicado em uma estrutura estaticamente determinada,

apenas surgem os esforços isostáticos e as deformações e curvaturas ocorrem sem

restrição. Entretanto, quando se impede o deslocamento dos elementos com a inclusão de

apoios que tornam a estrutura hiperestática externamente, surgem os esforços

hiperestáticos.

14

À vista disso, uma forma de determinar os esforços hiperestáticos de maneira

direta no modelo de análise consiste em aplicar as deformações e curvaturas produzidas

pelos esforços isostáticos na estrutura hiperestática.

O cálculo das deformações e das curvaturas em vigas e lajes se baseia em teorias

diferentes. Os itens a seguir apresentam as fórmulas utilizadas neste trabalho para cada

caso.

2.3.3.1 Deformações e Curvaturas em vigas

A deformação axial em uma viga submetida à uma solicitação de compressão pode

ser determinada conforme a Equação (2.5). Já a curvatura de um elemento linear pode ser

obtida pela Equação (2.13), apresentada, por exemplo, em TIMOSHENKO e GERE

(1983).

𝜅 =𝑀

𝐸 ∙ 𝐼 (2.13)

sendo:

𝜅 − curvatura da viga;

𝑀 − momento fletor;

𝐼 − inércia da seção transversal em relação ao eixo neutro da viga.

A convenção de sinais do programa adotado define como positiva a deformação

que aumenta o comprimento de um elemento sem restrição. Já a curvatura positiva é

aquela ocasionada por um momento fletor positivo, que produz compressão na parte

superior da seção. É importante destacar que a convenção de sinais para a curvatura difere

daquela empregada em livros clássicos de Resistência dos Materiais.

2.3.3.2 Deformações e Curvaturas em lajes

No caso das lajes, o cálculo de deformações e curvaturas se baseia na teoria de

membranas e de placas. As formulações apresentadas nesta seção foram adaptadas do

trabalho de GIRKMANN (1956) e levam em consideração a simbologia e a convenção

adotadas pelo programa utilizado de MEF para as lajes (ver Figura 2.7). É importante

dizer que os eixos designados por 1, 2 e 3 são eixos locais definidos para cada elemento

de área do modelo.

15

Figura 2.7 - Simbologia e convenção dos esforços para membranas e placas (Adaptado das

definições do programa empregado).

Para as membranas, que são carregadas por forças axiais contidas em seu plano,

as deformações podem ser calculadas pelas Equações (2.14) a (2.16).

𝜀11 =1

𝐸∙ (𝜎1 − 𝜈𝜎2) (2.14)

𝜀22 =1

𝐸∙ (𝜎2 − 𝜈𝜎1) (2.15)

𝛾12 =1

𝐺∙ 𝜏12 (2.16)

sendo:

𝜀11 − deformação na direção do eixo 1;

𝜀22 − deformação na direção do eixo 2;

𝜎1 − tensão na direção 1 devida à força F11;

𝜎2 − tensão na direção 2 devida à força F22;

𝜈 − coeficiente de Poisson;

𝛾12 − deformação devida ao cisalhamento produzida pela força F12;

𝐺 − módulo de elasticidade transversal;

𝜏12 − componente da tensão cisalhante devida à força F12.

Para as placas, que são elementos carregados por forças normais ao plano e

momentos cujos eixos estão contidos em seu plano, as curvaturas podem ser calculadas

pelas Equações (2.17) a (2.20).

16

𝜅11 =1

𝐾∙ (

𝑀11

1 − 𝜈2− 𝑀22 ∙

𝜈

1 − 𝜈2) (2.17)

𝜅22 =1

𝐾∙ (

𝑀22

1 − 𝜈2− 𝑀11 ∙

𝜈

1 − 𝜈2)

(2.18)

𝜅12 =𝑀12

(1 − 𝜈) ∙ 𝐾

(2.19)

𝐾 =𝐸 ∙ ℎ3

12 ∙ (1 − 𝜈2) (2.20)

sendo:

𝜅11 − curvatura no plano perpendicular à direção 2;

𝜅22 − curvatura no plano perpendicular à direção 1;

𝜅12 − curvatura devido ao momento de torção M12;

𝑀11 − momento fletor por unidade de comprimento com vetor perpendicular à direção 1;

𝑀22 − momento fletor por unidade de comprimento com vetor perpendicular à direção 2;

𝑀12 − momento de torção por unidade de comprimento;

ℎ − espessura da laje.

Cabe salientar que o programa de análise utilizado possui uma definição diferente

dos livros clássicos como TIMOSHENKO (1959) e GIRKMANN (1956) para 𝜅12. Esta

divergência não foi encontrada nos manuais do programa de análise e foi descoberta após

diversos testes.

Para ser introduzida no programa de análise utilizado, a curvatura devida ao

momento M12 deve ser calculada pela Equação (2.21), que apresenta um fator

multiplicativo 2.

𝜅12 =2𝑀12

(1 − 𝜈) ∙ 𝐾 (2.21)

2.4 PROCEDIMENTOS PARA SEPARAÇÃO DOS ESFORÇOS DE PROTENSÃO

De acordo com o que foi descrito nos itens 2.3.1 e 2.3.2, os Métodos 1 e 2, quando

aplicados em uma estrutura hiperestática, fornecem os momentos totais de protensão no

concreto.

Como a viga e a laje a serem estudadas neste trabalho são estruturas estaticamente

indeterminadas, após a análise estrutural, é necessário recorrer a procedimentos para

17

realizar a separação entre as parcelas isostática e hiperestática das solicitações. Ressalta-

se que somente a última parcela deve ser considerada no dimensionamento da estrutura

no ELU e, por isso, há a necessidade de realizar essa separação. Antes de mais nada, é necessário esclarecer que é considerado, para o

desenvolvimento do estudo, que os momentos hiperestáticos são aqueles decorrentes das

reações de apoio hiperestáticas. Além disso, a estrutura isostática externamente, mesmo

com graus de hiperestaticidade interna, é considerada e designada de “estrutura

isostática”. Essas considerações são importantes para o estudo da laje e têm sido a praxe

nas publicações que tratam do assunto.

Neste trabalho, foram empregados dois procedimentos para realizar a separação

dos esforços. No primeiro, denominado de Procedimento A, utilizou-se o conceito de que

as reações de apoio hiperestáticas são as responsáveis pelos esforços hiperestáticos.

Sendo assim, os momentos hiperestáticos podem ser determinados ao aplicar as reações

hiperestáticas, calculadas no modelo estaticamente indeterminado original, em uma

estrutura isostática externamente. Para transformar a estrutura hiperestática em isostática

externamente, o modelo original analisado teve seus apoios retirados e substituídos por

um engaste no ponto central da estrutura (ver Figura 3.9 e Figura 4.15). É evidente que

esta é uma das inúmeras possibilidades de transformar a estrutura original em uma

estrutura sem graus de hiperestaticidade externa. Uma explicação detalhada sobre o

assunto será dada no item 4 deste documento.

Já a segunda metodologia, chamada de Procedimento B, consiste em realizar a

determinação dos momentos hiperestáticos a partir da subtração entre os momentos totais

e os momentos isostáticos de protensão, conforme expresso na Equação (2.1). O momento

total de protensão é o esforço encontrado no modelo estrutural original hiperestático

quando aplicado o carregamento de protensão. Já o momento isostático é o esforço obtido

com a aplicação das forças dos cabos na estrutura isostática externamente. Como os dois

modelos são distintos, a subtração dos esforços não pode ser feita por uma combinação

de carregamentos triviais no programa de análise. Para realizar a subtração de esforços

entre modelos diferentes, foi utilizada a ferramenta Staged Construction, disponibilizada

pelo programa de análise utilizado.

Para isso, foram criados dois casos de carga com a análise do tipo Staged

Construction: no primeiro caso, o carregamento de protensão foi aplicado no modelo

hiperestático; e no segundo caso, o mesmo carregamento foi aplicado em um modelo

18

isostático externamente. Após a análise, são obtidos dois casos de carga em modelos

distintos que podem ser subtraídos por combinação simples.

Cabe lembrar que a designação de esforços isostáticos para as solicitações

encontradas na estrutura externamente isostática e internamente hiperestática, utilizada

no caso da laje, não é estritamente adequada, já que para a obtenção desses esforços é

necessário efetuar um processamento numérico sofisticado com auxílio de um programa

de análise. Na verdade, poder-se-ia designar os esforços, assim obtidos, de uma forma

especial, tal como, “esforços isostáticos”, para lembrar que estas solicitações não podem

ser calculadas pelas regras usuais de estruturas isostáticas, como o simples produto da

força pela excentricidade.

Em resumo, para referências neste trabalho, definem-se três métodos de

determinação dos esforços de protensão (Quadro 2.1) e dois métodos de separação das

parcelas que compõem os esforços totais de protensão (Quadro 2.2).

Quadro 2.1 - Métodos de determinação dos esforços de protensão.

Métodos para determinação dos

esforços de protensão Forma de atuação

Método 1 Modelagem física dos cabos

Método 2 Aplicação de cargas equivalentes

Método 3 Aplicação de deformações e curvaturas

Quadro 2.2 - Métodos de separação entre os momentos isostáticos e os momentos hiperestáticos

de protensão.

Métodos de separação dos esforços

totais de protensão Forma de atuação

Procedimento A Aplicar as reações hiperestáticas no

modelo isostático

Procedimento B Subtrair dos momentos totais de protensão,

os momentos isostáticos de protensão

É importante dizer que existem programas comerciais, como o ADAPT-Floor, que

já fornecem os valores dos esforços hiperestáticos automaticamente (AALAMI &,

BOMMER, 1999). No entanto, é importante que o engenheiro tome conhecimento dos

conceitos apresentados para operar o programa com acuidade ou para realizar a separação

dos esforços caso o software disponível não realize a separação.

19

3 DETERMINAÇÃO DOS MOMENTOS HIPERESTÁTICOS NA VIGA

Antes de realizar a determinação dos esforços hiperestáticos na laje por meio da

aplicação de três métodos distintos, foi feita análise análoga aplicada a uma viga. O estudo

inicial de um elemento linear teve como objetivo esclarecer os conceitos necessários para

o entendimento do problema principal do trabalho, que são os esforços hiperestáticos na

laje.

Não são consideradas, neste trabalho, as perdas de tensão imediatas e diferidas

nos cabos, de modo a não tornar o estudo mais complexo.

3.1 DESCRIÇÃO DA ESTRUTURA

A estrutura estudada neste capítulo consiste em uma viga contínua de três vãos,

cujo comprimento total é de 212 m. A viga em seção celular é protendida por meio de 20

cabos de aço CP190-RB, com 12 cordoalhas de 15,2 mm cada, que seguem uma trajetória

poligonal em elevação. A protensão é feita após a concretagem e a força correspondente

a cada cordoalha no tempo zero é de 180 kN, o que gera uma força total de 43.200 kN. A

geometria, as dimensões e os eixos de referência da estrutura são apresentados nas Figuras

3.1 e 3.2.

Nota-se, na Figura 3.2, que o centroide da seção está distante do bordo inferior de

3,05m, e que os cabos apresentam as excentricidades de 1,65m nos apoios centrais e de

2,95m no centro dos vãos.

Figura 3.1 -Seção transversal da viga celular com eixos locais de referência (dimensões em cm).

20

Figura 3.2 - Elevação da viga celular com eixos locais de referência (dimensões em cm).

21

As propriedades geométricas da seção transversal, bem como as propriedades dos

materiais utilizados no modelo estrutural são apresentadas na Tabela 3.1.

Tabela 3.1 – Propriedades geométricas e dos materiais da viga.

Propriedades geométricas da seção

Área [m²] 8,28

Área de cisalhamento (Direção 3) [m²] 5,15

Área de cisalhamento (Direção 2) [m²] 3,49

Centroide [m] 3,05

Constante de torção [m⁴] 44,9

Inércia (Direção 3) [m⁴] 28,6

Inércia (Direção 2) [m⁴] 88,5

Propriedades dos materiais

Aço CP 190-RB

Coeficiente de expansão térmica [1/K] 1,000E-05

Módulo de Elasticidade [MPa] 200000

Resistência na ruptura [MPa] 1900

Concreto fck 35MPa

Coeficiente de Poisson 0,2



Módulo de Cisalhamento [MPa] 12083

3.2 MODELO GERAL DE ANÁLISE

A viga descrita foi modelada com elementos de pórtico espacial. A estrutura foi

dividida na longitudinal em 106 barras de 2 m, totalizando o comprimento de 212 m. A

numeração de cada elemento de barra até o eixo de simetria da viga, que foi feita da

esquerda para a direita, é apresentada na Figura 3.3.

Figura 3.3 – Numeração das barras até o eixo de simetria da viga.

O eixo local 1, no programa, segue a direção longitudinal da viga e aponta no

sentido da esquerda para a direita, acompanhando a direção do eixo global X. Já o eixo 2

está contido no plano da seção transversal com seu sentido definido de baixo para cima.

O eixo 3 pode ser obtido por meio da regra da mão direita. A Figura 3.4 ilustra os eixos

globais e locais de um elemento de barra.

22

Figura 3.4 – Eixos globais e locais da viga.

Cabe ressaltar que o modelo descrito consiste em um modelo geral que foi alterado

de acordo com as especificidades de cada método a ser aplicado.

3.3 APLICAÇÃO DO MÉTODO 1

Nesta situação, a armadura de protensão foi inserida no modelo por meio de

frames. Os cabos, que foram modelados com suas respectivas excentricidades em relação

ao centroide da viga, apresentam-se em vermelho (Figura 3.5).

Figura 3.5 – Modelo inicial da viga hiperestática - Método 1 – Cabos modelados fisicamente

como frames.

O carregamento de protensão foi introduzido nos cabos a partir de uma

deformação axial equivalente à tensão aplicada, calculada conforme a Equação (2.5).

Vale ressaltar que 180 kN é a força aplicada no tempo zero em cada cordoalha de 15,2

mm, que possui 1,4 cm² de área transversal. Desse modo, tem-se que:

𝜀 = −180,0

200.000.000 × 0,0001400= −0,00643 𝑚/𝑚

Devido ao efeito de encurtamento elástico do concreto reproduzido no programa

quando é aplicada a deformação calculada, ocorre uma perda na força dos cabos. Como

os métodos 2 e 3 não reproduzem esse efeito, foi necessário ajustar a deformação para o

valor de -0,00687 m/m, a fim de que cada cordoalha fique com 180 kN. Ou seja, o valor

23

da deformação foi aumentado de forma que as perdas não fossem contabilizadas. O ajuste

foi feito por meio de tentativas.

Após proceder com a análise estrutural do modelo hiperestático com a aplicação

da deformação, são encontrados os momentos totais de protensão na viga de concreto e

as reações de apoio hiperestáticas (Figura 3.6). Destaca-se que o valor apresentado no

diagrama de momentos corresponde ao valor do esforço no eixo de simetria da viga.

Figura 3.6 – Diagrama de momentos fletores totais de protensão (em kN.m) e reações de apoio

na viga hiperestática (em kN) – Método 1.

A parcela isostática do esforço de protensão (Figura 3.7) é determinada ao

transformar a estrutura original em uma viga isostática externamente, o que pode ser

realizado retirando-se dois vínculos da estrutura. Neste caso, os apoios centrais foram

suprimidos. As reações de apoio encontradas são nulas, já que a protensão é um

carregamento autoequilibrado.

Figura 3.7 – Diagrama de momentos fletores isostáticos de protensão (em kN.m) e reações de

apoio na viga isostática (em kN) - Método 1

24

Com os dois diagramas de momentos fletores apresentados, basta realizar a

subtração entre eles, conforme o Procedimento B, para determinar o momento

hiperestático (Figura 3.8). No programa, esse procedimento foi realizado com o auxílio

da ferramenta Staged Construction, uma vez que a subtração entre o resultado de dois

modelos distintos não é obtida por uma combinação de carregamentos usuais.

Figura 3.8 - Diagrama de momentos fletores hiperestáticos de protensão (em kN.m) - Método 1

– Procedimento B.

Também é possível encontrar o momento hiperestático por meio de um outro

artifício que foi denominado de Procedimento A. Este consiste na aplicação das reações

hiperestáticas em um modelo isostático (ver Figura 3.9). O diagrama apresentado na

Figura 3.10 é o momento hiperestático ou secundário, uma vez que esse consiste no

esforço provocado pelas reações dos vínculos da estrutura.

Figura 3.9 - Modelo da viga isostática engastada com aplicação das reações hiperestáticas (em

kN) - Método 1 - Procedimento A.

Figura 3.10 – Diagrama de momentos fletores hiperestáticos de protensão (em kN.m) - Método

1 – Procedimento A.

A pequena diferença entre os resultados dos procedimentos A e B é atribuída ao

fato de que somente no Procedimento B o efeito físico dos cabos é considerado

diretamente, já que no Procedimento A, os esforços hiperestáticos são calculados com as

reações de apoio. Isso acontece porque, mesmo com o ajuste realizado na deformação

25

para simular a força de 180kN, não é possível manter a força de protensão constante nas

diversas seções do cabo de protensão.

Os valores dos momentos hiperestáticos nas barras do modelo até o eixo de

simetria da viga, obtidos pelos dois procedimentos, podem ser encontrados no Apêndice

A.

Os esforços hiperestáticos na viga poderiam ser obtidos de maneira simples por

meio da subtração, através de planilha, entre os valores dos esforços totais e dos esforços

isostáticos de protensão. Entretanto, a determinação foi feita diretamente pelo programa

de análise, já que em estruturas mais complexas como a laje, o cálculo dos esforços

hiperestáticos não pode ser feito com uma subtração trivial entre valores.


Este método consiste em substituir o efeito da protensão por cargas equivalentes.

Como os cabos da viga seguem trajetória poligonal em elevação, o carregamento será

aplicado nos pontos de desvio e de ancoragem. As forças introduzidas no modelo, que

são retratadas na Figura 3.11, foram calculadas considerando a decomposição da força de

43.200 kN de acordo com a angulação das cordoalhas apresentada na Figura 3.2.

Figura 3.11 - Modelo inicial da viga hiperestática - Método 2 – Cabos substituídos por

carregamento equivalente (em kN).

Assim como ocorre no método 1, após o processo de análise são encontrados os

momentos totais de protensão na estrutura estaticamente indeterminada (ver Figura 3.12).

Portanto, também é necessário recorrer a um procedimento a fim de subtrair do momento

total de protensão, a parcela isostática do esforço, apresentada na Figura 3.13, que decorre

da ação do carregamento externo equivalente na estrutura isostática.

Ao realizar a subtração entre os diagramas da Figura 3.12 e da Figura 3.13, por

meio do Procedimento B, é determinado o momento hiperestático que pode ser

visualizado na Figura 3.14. Esse também pode ser calculado utilizando o artifício da viga

externamente isostática, conforme exposto na Figura 3.15 e na Figura 3.16.

26

No caso das cargas equivalentes, a correspondência entre o momento hiperestático

calculado a partir da subtração dos diagramas e aquele determinado pelo artifício da viga

isostática é exata. Isso acontece porque o método não leva em consideração a variação da

força existente nos cabos, como ocorre no método 1.

. Os valores dos momentos fletores hiperestáticos calculados pelo método 2, em

cada barra componente da viga até o eixo de simetria, são apresentados no Apêndice A.

Figura 3.12 - Diagrama de momentos fletores totais de protensão (em kN.m) e reações de apoio

na viga hiperestática (em kN) - Método 2.

Figura 3.13 - Diagrama de momentos fletores isostáticos de protensão (em kNm) e reações de

apoio na viga isostática (em kN) - Método 2.


– Procedimento B.

27

Figura 3.15 - Modelo da viga isostática engastada com aplicação das reações hiperestáticas (em

kN) - Método 2 – Procedimento A.


– Procedimento A.


O terceiro método consiste em simular o efeito da protensão por meio da aplicação

de deformações e curvaturas na estrutura hiperestática, que seriam produzidas pelos

esforços normais e momentos fletores isostáticos, caso não existisse restrição à livre

movimentação.

No caso da viga estudada, não há impedimento à deformação axial e, por essa

razão, somente foram calculadas as curvaturas, de acordo com a Equação (2.13). Essas

curvaturas são determinadas com os momentos fletores isostáticos, calculados a partir do

produto entre a componente perpendicular da força de protensão em relação à seção e a

excentricidade média dos cabos em relação ao centroide, determinadas em cada um dos

elementos de barra que compõem o modelo da viga celular. O Apêndice B apresenta a

sequência de cálculo das curvaturas que consistem no carregamento de entrada do modelo

estrutural estaticamente indeterminado (ver Figura 3.17).

Figura 3.17 - Modelo inicial da viga hiperestática - Método 3 – Cabos substituídos pela

aplicação de curvaturas.

28

A vantagem principal desta metodologia é a determinação direta dos esforços

hiperestáticos no modelo original, de tal forma que não é necessário fazer uso dos

Procedimentos A e B.

O diagrama de momentos hiperestáticos, bem como as reações de apoio obtidas

mediante o emprego do método 3 são apresentados na Figura 3.18. Os valores desses

esforços, em cada uma das barras até o eixo de simetria da viga, são apresentados no

Apêndice A.

Figura 3.18 - Diagrama de momentos fletores hiperestáticos de protensão (em kN.m) e forças

hiperestáticas (em kN) - Método 3.

3.6 COMPARAÇÃO ENTRE OS RESULTADOS

A fim de realizar a comparação entre os resultados dos três métodos apresentados,

é analisado o valor do esforço obtido no eixo de simetria da viga. A Tabela 3.2 faz a

compilação das solicitações encontradas por cada procedimento e a Tabela 3.3 indica a

diferença relativa entre elas. Essa diferença relativa é calculada a partir da razão entre a

diferença absoluta dos resultados de dois métodos e o valor de um dos métodos. Por

exemplo, a diferença relativa entre o método 1A e o método 1B é calculada da seguinte

forma: (74.702-73.064)/73.064 = 2,24%.

Além disso, é feita a sobreposição dos diagramas de momentos fletores

hiperestáticos encontrados em cada método em função do comprimento da viga, como

mostrado na Figura 3.19.

29

Tabela 3.2 – Momentos hiperestáticos na viga (em kN.m) obtidos em cada método.

Método 1 Método 1 Método 2 Método 2 Método 3

Procedimento

A

Procedimento

B

Procedimento

A

Procedimento

B -

74702 73064 74975 74974 75300

Tabela 3.3 – Diferença relativa entre os resultados dos esforços hiperestáticos na viga.

Diferença relativa entre os métodos (%)

Métodos 1A e 1B 2,24%

Métodos 1A e 2A -0,36%

Métodos 1A e 2B -0,36%

Métodos 1A e 3 -0,79%

Métodos 1B e 2A -2,55%

Métodos 1B e 2B -2,55%

Métodos 1B e 3 -2,97%

Métodos 2A e 2B 0,00%

Métodos 2A e 3 -0,43%

Métodos 2B e 3 -0,43%

Figura 3.19 – Sobreposição dos diagramas de momentos hiperestáticos de protensão obtidos por

diferentes metodologias.

0

10000

20000

30000

40000

50000

60000

70000

0 50 100 150 200

Mom

ento

s h

iper

está

tico

s (k

N.m

)

Comprimento (m)

Método 1 - Procedimento A Método 1 - Procedimento B

Método 2 - Procedimento A Método 2 - Procedimento B

Método 3

30

Os resultados mostram uma maior discrepância entre o valor resultante da

aplicação do método 1B e os demais, o que é coerente, visto que essa é a única

metodologia a calcular o esforço hiperestático considerando o efeito físico dos cabos na

estrutura. Isso se deve ao fato de que, mesmo com o ajuste realizado na deformação das

cordoalhas para desconsiderar o efeito de encurtamento elástico do concreto, ou seja, para

desconsiderar as perdas de tensão, nem todas as seções da cordoalha apresentaram uma

força constante de 180 kN.

No Método 1, quando é aplicado o Procedimento A, os esforços hiperestáticos são

calculados considerando apenas as reações hiperestáticas, sem o efeito direto da variação

da força nas cordoalhas. Entretanto, ao aplicar o Procedimento B, é considerada

diretamente a variação na força de protensão na determinação do momento hiperestático.

É possível analisar que, no caso do método das cargas equivalentes (Método 2), o

uso da ferramenta Staged Construction e do artifício da viga engastada no eixo de simetria

levam aos mesmos resultados, o que não ocorre no método 1. Isso porque, no Método 2,

nenhum dos dois procedimentos considera o efeito físico dos cabos.

No aspecto geral, todos os métodos empregados levam a resultados aceitáveis, já

que a diferença relativa entre os dados foi pequena, não ultrapassando 3%.

31

4 DETERMINAÇÃO DOS MOMENTOS HIPERESTÁTICOS NA LAJE

Após a realização do estudo da viga, necessário para o esclarecimento dos

conceitos relativos aos esforços de protensão, pode-se prosseguir com o estudo principal

deste trabalho. Este consiste na determinação das solicitações hiperestáticas em uma laje

cogumelo com cordoalhas aderentes por meio do emprego de três métodos. A geometria

e as características da estrutura são apresentadas na primeira seção deste capítulo.

O dimensionamento de lajes com capitéis envolve um problema sofisticado. Isso

porque a diferença de altura entre a laje e os capitéis faz com que os centroides desses

elementos fiquem em níveis distintos, o que exige que o dimensionamento considere o

efeito da força normal. Como exemplo, pode-se citar que, para a ação de peso próprio, ao

analisar uma linha de apoio, as forças no capitel são de compressão e as forças na laje

podem ser de tração. Sendo assim, para o dimensionamento formal da laje cogumelo, é

necessário determinar os momentos hiperestáticos de protensão, assim como as forças

normais hiperestáticas.

No item 4.3, é exposto o método aproximado para obtenção dos esforços

hiperestáticos utilizado no pré-dimensionamento da laje. É importante salientar que a

estrutura necessitou ser projetada antes do presente trabalho, por isso foi feito o uso desse

procedimento.

No mais, é preciso evidenciar que a laje a ser estudada é hiperestática externa e

internamente, e que o modelo da estrutura engastada no centro a ser utilizada nos cálculos

é isostática externamente, mas continua com hiperestaticidades internas. Sendo assim, é

necessário verificar se os métodos e procedimentos aplicados à viga são válidos para este

caso. Para tal, faz-se o estudo de um modelo inicial com a introdução física dos cabos na

estrutura de concreto, conforme o Método 1. Neste modelo, após a análise, tem-se como

resultado os esforços totais de protensão e as reações nos pilares. É preciso mostrar que,

no caso de uma estrutura hiperestática internamente, as reações dos pilares aplicadas no

modelo da laje externamente isostática fornecem os esforços hiperestáticos de protensão.

Ou seja, é necessário verificar a validade do Procedimento A.

4.1 DESCRIÇÃO DA ESTRUTURA

A estrutura analisada neste capítulo consiste em uma laje cogumelo protendida

com quatro vãos nas duas direções cujos comprimentos são de 6,5 m e 8,0 m para os vãos

32

externos e internos, respectivamente. O pavimento possui 20 cm de espessura e, na região

de apoio dos pilares internos, foram inseridos capitéis de 40 cm de altura. Nas bordas do

pavimento, foram dispostas vigas de 20 cm × 60 cm com o objetivo de minimizar

problemas decorrentes da punção em pilares de borda e de canto, além de reduzir as

flechas nas extremidades das lajes. Todos os 25 apoios da laje têm seção transversal

quadrada com dimensões de 30 cm × 30 cm. O pé-direito da estrutura é de 4 m. A Figura

4.1 e a Figura 4.2 ilustram as fôrmas do pavimento.

Nesta estrutura foram utilizados cabos de aço CP190-RB com cordoalhas de 15,2

mm que seguem trajetória em elevação formada por várias parábolas individualizadas

com tangentes iguais nos pontos de inflexão. Aplica-se uma carga de 180 kN em cada

cordoalha no tempo t=0. A protensão é efetuada após a concretagem e os dutos de injeção

são preenchidos por nata.

O traçado final dos cabos de protensão em planta e a quantidade de cordoalhas

contidas em cada cabo são apresentados na Figura 4.3. A disposição dos cabos, agrupados

em uma direção e distribuídos na outra, foi escolhida por conta de sua vantagem

construtiva, para que não ocorra entrelaçamento dos cabos nas duas direções. O

espaçamento entre grupos de cordoalhas adotado neste estudo não atende,

intencionalmente, aos limites máximos especificados nos itens 8.7.2.3 da norma

americana ACI 318 (2019) e 20.3.2.1 da norma NBR 6118 (2014). Foram utilizados

grupos de cordoalhas com maior número onde elas são mais necessárias, sem aumentar o

número de cordoalhas além do estritamente necessário. Entretanto, em projeto reais, o

limite de espaçamento máximo deverá ser considerado.

Não serão apresentadas as armaduras passivas de CA-50 por não serem assunto

deste trabalho.

O Apêndice C apresenta as coordenadas em elevação dos cabos na direção X e na

direção Y, bem como o seu aspecto parabólico. Neste caso, foi utilizado o sistema global

de eixos como referência. É importante dizer que o sistema de eixos globais se encontra

no ponto de simetria da estrutura e o eixo Z é zero no centroide da laje de 20 cm, como

pode ser visualizado na Figura 4.2. A geometria das armaduras ativas segue aquela

apresentada nos itens 2.3.2.1 e 2.3.2.2 para os trechos dos cabos nas extremidades e nos

vãos internos, respectivamente.

33

Figura 4.1 - Planta baixa da laje protendida com eixos globais e locais de referência (dimensões

em cm).

Figura 4.2 - Corte A-A’ com eixos globais e locais de referência (dimensões em cm).

34

Figura 4.3 – Disposição dos cabos em planta e número de cordoalhas de cada cabo (dimensões

em cm).

Os materiais empregados na estrutura são apresentados na Tabela 4.1.

Tabela 4.1 – Propriedades dos materiais empregados na laje.

Propriedades dos materiais

Aço CP 190-RB



Resistência na ruptura [MPa] 1900

Concreto fck 35MPa

Coeficiente de Poisson 0,2



Módulo de Cisalhamento [MPa] 12083

35

4.2 MODELO GERAL DE ANÁLISE

A laje cogumelo caracterizada no item 4.1 foi modelada no programa de análise

com elementos de casca quadrados cujas dimensões são de 0,50 m × 0,50 m. Os pilares

e as vigas foram inseridos como elementos de pórtico espacial. Os centroides da laje de

20 cm, do capitel de 40 cm e da viga com altura de 60 cm foram ligados por elementos

rígidos e sem peso, já que estão em níveis distintos. Os pilares, em sua meia altura,

possuem nós inferiores com deslocamentos impedidos nas três direções e rotações

liberadas. Já os nós superiores, também na meia altura dos pilares, apresentam as mesmas

restrições que os inferiores, exceto pelo deslocamento vertical que foi liberado. As

restrições adotadas nos nós dos pilares têm como objetivo reproduzir o comportamento

de um pavimento de edifício, em que os momentos no meio dos pilares são nulos e cujas

cargas do pavimento descem pelos pilares. O modelo é apresentado nas Figuras 4.4, 4.6

e 4.7.

No caso dos elementos de casca que representam a laje, o eixo local 1 segue a

direção e o sentido do eixo global X. Já o eixo 2 acompanha o eixo Y e o eixo 3, que

segue o eixo Z, pode ser obtido por meio da regra da mão direita. A Figura 4.5 ilustra os

eixos globais e locais do modelo. Vale esclarecer que no programa utilizado, o eixo de

cor vermelha representa o eixo 1, o de cor verde o eixo 2 e o eixo azul caracteriza a direção

3.

Figura 4.4 – Modelo geral de análise da laje com eixos globais de referência (Vista 3D).

36

Figura 4.5 – Eixos globais e locais do programa no trecho central da laje com a representação do

capitel.

Figura 4.6 - Modelo geral de análise da laje com eixos globais de referência (Plano XY).

37

Figura 4.7 – Modelo geral de análise da laje com eixos globais de referência (Plano XZ).

4.3 PRÉ-DIMENSIONAMENTO DA LAJE (PROCESSO APROXIMADO)

Antes do estudo e da aplicação dos três métodos explicitados neste trabalho para

a obtenção do valor mais acurado do esforço hiperestático de protensão nas diversas

seções de dimensionamento, a laje protendida precisou ser projetada para a definição de

sua geometria e das armaduras ativas. Desse modo, utilizou-se um processo aproximado

para calcular os esforços hiperestáticos que se baseou no item 4.3.2 do trabalho de

NOBRE (2017).

A aproximação foi feita com o uso da ferramenta Section Cut no modelo da laje

hiperestática com cabos. Essa ferramenta realiza a integração dos esforços presentes em

uma seção definida da estrutura e fornece a resultante em relação a um ponto estabelecido.

O section cut, teoricamente, permite que as solicitações hiperestáticas sejam calculadas

quando a seção de análise (seção cortada) intercepta os cabos e o concreto. Nesse caso,

os esforços dos cabos anulariam a parcela isostática no concreto, o que faria com que os

esforços isostáticos não fossem contabilizados na integração, restando apenas os esforços

hiperestáticos. Esse procedimento é exato para o caso de vigas, uma vez que toda a seção

transversal da estrutura é cortada no dimensionamento. No entanto, o método não é exato

para as lajes cortadas parcialmente, já que as forças de protensão se distribuem e nem

todas as seções interceptam os cabos de protensão.

O pré-dimensionamento foi feito a partir das solicitações obtidas em duas seções

de análise em cada direção, sendo a primeira localizada no capitel central e a segunda no

maior vão da laje (ver Figura 4.8). Não foram consideradas seções de dimensionamento

nas faixas de contribuição usuais de lajes, que são aquelas definidas à meia distância entre

linhas de pilares adjacentes. Isso porque a laje tem 20 cm e o capitel tem 40 cm, o que faz

com que os centroides desses elementos estejam em níveis distintos.

Portanto, o dimensionamento foi feito à flexão composta considerando as

solicitações obtidas com o Section Cut no centroide de cada elemento (laje e capitel) e a

seção resistente com espessura constante em cada seção de análise.

38

Os resultados obtidos nas seções S1x e S2x devem fornecer uma boa aproximação

para os valores reais dos esforços hiperestáticos, uma vez que os cabos na direção Y são

distribuídos. No entanto, os cortes S1y e S2y, que interceptam a laje na direção Y,

consistem em um processo muito simplificado para determinação dos esforços, já que a

seção S2y corta apenas a laje de concreto.

Sendo assim, quando não ocorre a concentração dos cabos transversalmente, a

diferença não deve ser elevada, o que acontece na direção Y do modelo (seções Sx).

Entretanto, na direção X, há concentração de cabos na região do capitel, o que induz a

valores pouco acurados dos esforços hiperestáticos obtidos com o section cut (seções Sy).

Figura 4.8 – Seções de dimensionamento em que foi utilizado o Section Cut.

Dessa forma, com os valores aproximados das solicitações normais e dos

momentos fletores oriundos da protensão em cada seção de análise, foi feito o

dimensionamento da laje à flexão composta para pré-determinar as armaduras ativas.


Com a estrutura já definida, pode-se aplicar a metodologia 1. Neste caso, os cabos

protendidos foram inseridos no pavimento de análise por meio de tendons modelados

como elementos. A força de protensão foi aplicada por meio de deformações equivalentes

à tensão imposta, calculadas conforme a Equação (2.5):

39

𝜀 = −180,0

200.000.000 × 0,0001400= −0,00643 𝑚/𝑚

Os cabos da laje, assim como os da viga, também sofrem perda de tensão com o

efeito de encurtamento elástico do concreto. Como o método das cargas equivalentes e o

método das deformações e curvaturas não consideram esse efeito, de modo a realizar a

comparação, a deformação aplicada foi elevada para -0,00660 m/m de modo que cada

cordoalha tenha a força de 180 kN.

A configuração original da laje hiperestática foi chamada de MODINICIAL. A esse

modelo foram inseridos os cabos de protensão (ver Figura 4.9 e Figura 4.10). A definição

dos cabos no programa de análise, na direção X, é apresentada na Figura 4.11, a título de

exemplo.

Da mesma forma que ocorre com a viga, a inserção das cordoalhas carregadas na

laje estaticamente indeterminada fornece os momentos totais de protensão no concreto,

nas direções 1 e 2. Estes podem ser visualizados nos diagramas das Figuras 4.12 e 4.13.

Figura 4.9 - Modelo inicial da laje hiperestática - MODINICIAL- Método 1 – Cabos modelados

como tendons - Vista 3D.

40

Figura 4.10 – Modelo inicial da laje hiperestática - MODINICIAL - Método 1 – Cabos modelados

como tendons - Plano XY.

Figura 4.11 – Exemplo de definição do cabo de protensão da laje na direção X.

41

Figura 4.12 – Diagrama de momentos fletores totais de protensão (em kN.m/m) na laje na

direção 1 (M11) - MODINICIAL - Método 1.

Figura 4.13 – Diagrama de momentos fletores totais de protensão em (em kN.m/m) na laje na

direção 2 (M22)- MODINICIAL - Método 1.

42

De modo a determinar os momentos hiperestáticos, foram empregados

procedimentos análogos ao da viga. Primeiramente, foi adotado o Procedimento A, em

que as reações de apoio obtidas no MODINICIAL (Figura 4.14) são aplicadas em uma

estrutura isostática externamente com engastamento central em seu ponto de dupla

simetria geométrica. Para tal fim, foi criado um modelo cujos deslocamentos e rotações

dos apoios dos pilares foram liberados e o engastamento da laje foi feito no capitel central

(ver Figura 4.15). Este modelo isostático externamente, que foi carregado com as reações

de apoio dos pilares, conforme apresentado na Figura 4.16, foi denominado de MODISO

REAÇÕES.

Os momentos fletores nas direções 1 e 2, calculados no MODISO REAÇÕES, devidos

às reações de apoio de protensão, podem ser verificados na Figura 4.17 e na Figura 4.18.

Esses momentos já são os esforços hiperestáticos no concreto, entretanto, é necessário

evidenciar este fato numericamente. À vista disso, os resultados dos esforços obtidos no

MODISO REAÇÕES (Figura 4.17 e Figura 4.18), que fornecem o momento hiperestático,

foram somados com aqueles encontrados no MODISO CABOS (Figura 4.19 e Figura 4.20),

sendo este último o modelo isostático externamente que foi carregado pelos cabos de

protensão. Portanto, o MODISO CABOS fornece os “esforços isostáticos” na laje, levando

em conta a hiperestaticidade interna da estrutura. É importante esclarecer que o MODISO

REAÇÕES e o MODISO CABOS são o mesmo modelo com casos de carga distintos.

Figura 4.14 – Reações de apoio nos pilares da laje (em kN) devidas ao carregamento de

protensão - MODINICIAL - Método 1.

43

Figura 4.15 – Modelo da laje isostática externamente com engastamento central - MODISO –

Método 1 – Vista 3D.

Figura 4.16 – Modelo da laje isostática externamente com carregamento das reações de apoio

dos pilares - MODISO REAÇÕES – Método 1 – Vista 3D.

44

Figura 4.17 – Diagrama de momentos fletores hiperestáticos em (em kN.m/m) devido às reações

de apoio dos pilares na direção 1 (M11) - MODISO REAÇÕES - Método 1 – Procedimento A.

Figura 4.18 – Diagrama de momentos fletores hiperestáticos em (em kN.m/m) devidos às

reações de apoio dos pilares na direção 2 (M22) -MODISO REAÇÕES - Método 1 – Procedimento A.

45

Figura 4.19 – Diagrama de momentos fletores isostáticos de protensão (em kN.m/m) na laje na

direção 1 (M11)- MODISO CABOS - Método 1.

Figura 4.20 - Diagrama de momentos fletores isostáticos de protensão (em kN.m/m) na laje na

direção 2 (M22)- MODISO CABOS - Método 1.

46

A soma entre os diagramas de esforços dos modelos MODISO CABOS e MODISO

REAÇÕES forneceu o momento total de protensão, conforme pode ser verificado pela

comparação entre as Figuras 4.12 e 4.13 e as Figuras 4.21 e 4.22. As variações entre os

valores apresentados não foram significativas.

Dessa forma, evidencia-se que o esforço determinado no MODISO REAÇÕES é o

momento fletor hiperestático de protensão, utilizando o Procedimento A.

Realizando-se a subtração entre o momento encontrado no MODINICIAL e aquele

obtido no MODISO CABOS por meio do Procedimento B, em que se utiliza a ferramenta

Staged Construction, também é possível determinar o momento fletor hiperestático,

conforme apresentado na Figura 4.23 e na Figura 4.24.

Assim, tanto o Procedimento A quanto o Procedimento B podem ser aplicados ao

caso de uma laje protendida com protensão aderente utilizando o Método 1.

Figura 4.21 – Diagrama de momentos fletores totais de protensão (em kN.m/m) na laje na

direção 1 (M11) – (MODISO CABOS + MODISO REAÇÕES) - Método 1.

47


direção 2 (M22) – (MODISO CABOS + MODISO REAÇÕES) - Método 1.

Figura 4.23 - Momentos hiperestáticos de protensão (em kN.m/m) na laje na direção 1 (M11) –

(MODINICIAL -MODISO CABOS)- Método 1 – Procedimento B.

48

Figura 4.24 – Diagrama de momentos hiperestáticos de protensão (em kN.m/m) na laje na

direção 2 (M22) – (MODINICIAL -MODISO CABOS) - Método 1 – Procedimento B.


No Método 2, a protensão foi aplicada por meio de cargas equivalentes, de acordo

com o que foi apresentado no item 2.3.2, válido para cabos com traçado parabólico em

elevação. As fórmulas que constam no trabalho de NAAMAN (1982) foram deduzidas

para elementos lineares, como as vigas. Desse modo, foi necessário transformar a carga

distribuída linear em uma carga por área, a fim de aplicar o carregamento nos elementos

finitos da laje. Além das forças distribuídas por m² que atuam perpendicularmente ao

plano do pavimento, também é necessário calcular o carregamento nos bordos da laje

provocado pelas forças aplicadas pelas ancoragens dos cabos.

Para ilustrar como as cargas verticais equivalentes foram determinadas, é

apresentado adiante um exemplo de cálculo do carregamento a ser empregado no trecho

central da laje devido a um cabo na direção X com quatro cordoalhas, sendo cada uma

destas carregada com uma força de 180 kN, o que gera uma força total de 720 kN.

49

𝑞𝐵1 =−4𝑃 ∙ (1 + 𝛽2) ∙ 𝑒

𝛼2𝐿2=

−4 × 4 × 180 ∙ (1 + 1,571) ∙ 0,0350

0,1000 ∙ 8,002

𝑞𝐵1 = −40,5 𝑘𝑁/𝑚

𝑞𝐵2 =4𝑃 ∙ (1 + 𝛽2) ∙ 𝑒

= (12 − 𝛼2) 𝐿2

=4 × 4 × 180 ∙ (1 + 1,571) ∙ 0,0350

(12 − 0,1000) ∙ 8,002

𝑞𝐵2 = 10,13𝑘𝑁

𝑚

sendo:

𝑃 − força total no cabo de protensão;

𝛽2 − razão entre as excentricidades do cabo no meio e na extremidade do vão, dada por:

𝛽2 =0,055

0,035= 1,571

𝑒 − excentricidade dos apoios do vão central (0,0350m);

𝐿 − comprimento do vão central (8,00m).

Deve-se aplicar esse carregamento em um elemento de área com 0,50 m × 0,50 m de

dimensões. Sendo assim, tem-se que:

𝑞𝐵1

𝑙= −

40,5

0,5= −81,0 𝑘𝑁/𝑚²

𝑞𝐵2

𝑙=

10,13

0,5= 20,3 𝑘𝑁/𝑚²

onde l é a dimensão do elemento de área perpendicular ao cabo.

A carga 𝑞𝐵1

𝑙 deve ser aplicada no trecho de 𝛼2𝐿 = 0,8𝑚. Já a carga

𝑞𝐵2

𝑙 precisa ser

introduzida no trecho central do vão interno cujo comprimento é de 2 ∙ (1/2 − 𝛼2)𝐿 = 6,4 𝑚

(Ver Figura 2.6). No entanto, como a laje foi modelada com elementos de área de 0,50 m × 0,5

m de comprimento (valor que não é múltiplo de 0,8 m e 6,4 m), foi necessário ajustar as cargas

para que pudessem ser aplicadas no modelo. Dessa maneira, a carga que deveria ser empregada

em um trecho de 0,8 m foi introduzida em um comprimento de 1,0 m e a carga no trecho de

50

6,4 m foi aplicada ao longo de um comprimento de 6,0 m. Sendo assim, o carregamento

corrigido para os novos comprimentos é apresentado a seguir:

𝑞𝐵1′

𝑙= −81,0 ×

0,8

1,0= −64,8𝑘𝑁/𝑚²

𝑞𝐵2′

𝑙= 20,3 ×

6,4

6,0 = 21,6 𝑘𝑁/𝑚²

sendo:

𝑞𝐵1′

𝑙 𝑒

𝑞𝐵2′

𝑙− cargas equivalentes corrigidas distribuídas em um elemento de área.

Esse procedimento foi reproduzido para todos os vãos centrais e extremos, nas duas

direções da laje. Os cálculos detalhados podem ser verificados no Apêndice D.

Em seguida, as cargas equivalentes calculadas foram introduzidas no modelo

computacional da laje hiperestática (MODINICIAL), conforme pode ser visualizado pela escala

de cores que apresenta a ordem de grandeza dos valores do carregamento perpendicular à laje

(Figura 4.25 e Figura 4.26).

Além do carregamento distribuído perpendicular aos elementos de área, também foram

aplicados os carregamentos concentrados nas ancoragens que consideram a força e a inclinação

dos cabos na região (Figura 4.27 a Figura 4.29). Apesar do cabo de protensão ter que sair

horizontalmente nas regiões de ancoragem da laje, foi considerado, para simplificar a análise,

que os cabos possuem uma ligeira inclinação nessas regiões. A consideração do cabo sair na

horizontal iria dificultar o estudo teórico efetuado e, por isso, foi considerada uma pequena

inclinação dos cabos, da ordem de 3%.

Após a introdução das cargas equivalentes, pode-se rodar o modelo MODINICIAL para a

determinação dos momentos totais de protensão na laje hiperestática. Os valores dos esforços

tiveram boa precisão quando comparados aos resultados obtidos pelo Método 1, o que pode

ser visualizado ao se realizar a comparação entre as Figuras 4.30 e 4.31 e as Figuras 4.12 e

4.13.

51

Figura 4.25 - Carregamento equivalente por área (em kN/m²) devido aos cabos concentrados na

direção X.

Figura 4.26 – Carregamento equivalente por área (em kN/m²) devido aos cabos distribuídos na

direção Y.

52

Figura 4.27 – Cargas equivalentes concentradas (em kN) devidas aos cabos nas ancoragens – Plano

XY.


ancoragens – Plano XZ.

Figura 4.29 - Carregamento equivalente concentrado (em kN) devido aos cabos nas ancoragens

– Plano YZ.

53





54

De maneira análoga ao que foi executado no Método 1, os momentos fletores

hiperestáticos foram determinados por meio do Procedimento A, ao aplicar as reações

hiperestáticas de protensão, obtidas no MODINICIAL devidas ao carregamento equivalente,

no modelo isostático MODISO REAÇÕES, conforme apresentado na Figura 4.32. Também

foi utilizado o Procedimento B, ao realizar a subtração entre diagramas de modelos

distintos (MODINICIAL - MODISO CARGAS EQUIVALENTES). No primeiro caso, foram obtidos

os momentos fletores apresentados nas Figuras 4.33 e 4.34. Já o procedimento B resultou

nos momentos das Figuras 4.35 e 4.36.

Figura 4.32 - Modelo da laje isostática externamente com carregamento das reações de apoio

dos pilares - MODISO REAÇÕES – Método 2 – Vista 3D.

55

Figura 4.33 - Diagrama de momentos fletores hiperestáticos (em kN.m/m) devido às reações de

apoio dos pilares na direção 1 (M11) - MODISO REAÇÕES - Método 2 – Procedimento A.

Figura 4.34 - Diagrama de momentos fletores hiperestáticos (em kN.m/m) devido às reações de

apoio dos pilares na direção 2 (M22) - MODISO REAÇÕES - Método 2 – Procedimento A.

56


direção 1 (M11) – (MODINICIAL -MODISO CARGAS EQUIVALENTES) - Método 2 – Procedimento B.


direção 2 (M22) – (MODINICIAL -MODISO CARGAS EQUIVALENTES) - Método 2 – Procedimento B.

57


O terceiro método permite a determinação direta dos valores dos esforços

hiperestáticos de protensão, sem a necessidade de aplicar os Procedimentos A e B.

Nesta metodologia, os efeitos de compressão e flexão da laje provocados pelos

cabos são substituídos por deformações e curvaturas. Como as cargas das cordoalhas não

estão presentes no modelo, apenas são inseridos seus efeitos, a parcela isostática dos

esforços não é contabilizada nos diagramas da laje de concreto.

Para fazer uso do método 3, foi realizada uma pequena alteração no modelo geral

de análise com relação às vigas de bordo da laje. Nos modelos anteriores, as vigas eram

modeladas como elementos de pórtico espacial. Porém, para aplicar as deformações e

curvaturas no programa, foi necessário transformar a viga em elementos de casca, antes

de efetuar o procedimento de carregamento. Essa mudança foi realizada porque não é

possível carregar um elemento de pórtico espacial, como a viga, com as três deformações

e as três curvaturas.

Primeiramente, foram extraídos do MODISO CABOS, utilizado no método 1 e

apresentado na Figura 4.37, os esforços isostáticos da laje. Com esses valores, foram

calculadas as deformações e curvaturas de cada elemento finito de acordo com as

fórmulas do item 2.3.3.2.

Figura 4.37 - Modelo da laje isostática externamente com engastamento central - MODISO CABOS

– Método 1 – Vista 3D.

58

A título de exemplificação, expõe-se o cálculo das deformações e curvaturas

realizado para um elemento de área “1” com espessura igual a 20 cm e cujos esforços

isostáticos nos quatro vértices do quadrado de 0,50 m×0,50 m são apresentados na Tabela

4.2. Nos cálculos, foi considerada a média entre os valores obtidos nos vértices. Os

valores médios se apresentam em vermelho.

Tabela 4.2 – Solicitações médias no elemento de área “1” devidas à protensão (Obtido do

MODISO CABOS – Método 1)

Solicitações no elemento de área

Área Vértice F11 F22 F12 M11 M22 M12

- - kN/m kN/m kN/m kN.m/m kN.m/m kN.m/m

1 6 -191,64 -11,12 -36,80 -10,60 -2,25 11,46

1 7 -54,67 16,27 -13,97 -3,35 0,68 11,52

1 3 -58,34 -2,07 28,99 -13,04 -1,69 0,29

1 2 -195,30 -29,46 6,15 -20,34 -4,08 0,22

Média -125,0 -6,60 -3,91 -11,83 -1,84 5,87

Com isso, é possível calcular as deformações e curvaturas do elemento de área

“1” a serem aplicadas no modelo hiperestático da laje:

𝜀11 =1

𝐸∙ (𝜎1 − 𝜈𝜎2) = (

1

29.000.000) × (−

125,0

0,2− 0,2 × −

6,60

0,2𝑚)

𝜀11 = −2,13 × 10−5 m/m

𝜀22 =1

𝐸∙ (𝜎2 − 𝜈𝜎1) = (

1

29.000.000) × (−

6,60

0,2− 0,2 × −

125,0

0,2)

𝜀22 = 3,17 × 10−6 m/m

𝛾12 =1

𝐺∙ 𝜏12 = (

1

12.083.333) × (−

3,91

0,2) = −1,62 × 10−6 m/m

𝐾 =𝐸 ∙ ℎ3

12 ∙ (1 − 𝜈2)= (29.000.000 × 0,23)/(12 × (1 − 0,23) = 20.139 𝑚

𝜅11 =1

𝐾∙ (

𝑀11

1 − 𝜈2− 𝑀22 ∙

𝜈

1 − 𝜈2)

𝜅11 =1

20.139× (−

11,83

1 − 0,22+ 1,84 ×

0,2

1 − 0,22) = −5,93 × 10−4 𝑟𝑎𝑑/𝑚

59

𝜅22 =1

𝐾∙ (

𝑀22

1 − 𝜈2− 𝑀11 ∙

𝜈

1 − 𝜈2)

𝜅22 =1

20.139× (−

1,84

1 − 0,22+ 11,83 ×

0,2

1 − 0,22) = −2,75 × 10−5 𝑟𝑎𝑑/𝑚

𝜅12 =2 × 𝑀12

(1 − 𝜈) ∙ 𝐾=

2 × 5,87

(1 − 0,2) × 20.139= 7,29 × 10−4 𝑟𝑎𝑑/𝑚

Cabe lembrar que só foi possível determinar a fórmula de 𝜅12, utilizada no

programa de análise, por meio de estudos apurados e processamentos especiais para

validá-la. Não se sabe ainda se o manual do programa já introduziu esta expressão.

Este procedimento foi repetido para todos os elementos de área do modelo. O

Apêndice E apresenta os resultados obtidos para os primeiros cem elementos. Não foram

inseridos os cálculos para a laje completa em vista do grande número de células contidas

na planilha.

Após o cálculo, os valores das deformações e curvaturas foram aplicados ao

modelo inicial da laje, que é hiperestático (Figura 4.38). Como resultado, foram obtidos

os diagramas dos momentos hiperestáticos de protensão, apresentados na Figura 4.39 e

na Figura 4.40.

Figura 4.38 - Modelo inicial da laje hiperestática - MODINICIAL- Método 3 – Deformações e

curvaturas - Vista 3D.

60


direção 1 (M11) – MODINICIAL - Método 3.


direção 2 (M22) – MODINICIAL - Método 3.

61

4.7 COMPARAÇÃO ENTRE OS RESULTADOS

Os valores dos momentos hiperestáticos no capitel central da laje, obtidos em cada

método, são apresentados na Tabela 4.3, e a diferença relativa entre os resultados é

apresentada na Tabela 4.4. Pode-se perceber, por meio da Tabela 4.3, que os resultados

dos esforços em ambas as direções apresentaram a mesma ordem de grandeza. Por outro

lado, a diferença relativa, apresentada na Tabela 4.4, resultou em porcentagens bem

maiores que aquelas encontradas no caso da viga.

No entanto, é preciso notar que o resultado da diferença relativa não pode ser

utilizado como parâmetro de comparação entre os métodos no caso da laje, uma vez que

a variação apresentada é amplamente influenciada pela pequena magnitude dos valores

dos esforços hiperestáticos.

Tabela 4.3 – Momentos hiperestáticos na laje (em kN.m/m) obtidos com os diferentes métodos.

-

Método 1 Método 1 Método 2 Método 2 Método

3

Procedimento

A

Procedimento

B

Procedimento

A

Procedimento

B -

M11 7,99 7,60 7,53 8,31 7,90

M22 4,52 4,04 4,07 4,85 4,13

Tabela 4.4 - Diferença relativa entre os resultados dos métodos aplicados à laje.

Diferença relativa entre os métodos (%)

M11 M22

Métodos 1A e 1B 5,13% 11,88%

Métodos 1A e 2A 6,11% 11,06%

Métodos 1A e 2B -3,85% -6,80%

Métodos 1A e 3 1,14% 9,44%

Métodos 1B e 2A 0,93% -0,74%

Métodos 1B e 2B -8,54% -16,70%

Métodos 1B e 3 -3,80% -2,18%

Métodos 2A e 2B -9,39% -16,08%

Métodos 2A e 3 -4,68% -1,45%

Métodos 2B e 3 5,19% 17,43%

Sendo assim, o ideal é que a comparação dos momentos fletores hiperestáticos na

laje de concreto, resultantes da aplicação dos três métodos, seja feita por meio da

62

visualização dos diagramas representados pela escala de cores. Esta reflete a ordem de

grandeza dos esforços em cada elemento de área e apresenta de forma nítida o

comportamento das solicitações.

Pode-se observar que todos os métodos apresentaram diagramas com

comportamentos similares e valores de esforços com a mesma magnitude.

A maior discrepância no aspecto dos diagramas obtidos no método 2 em relação

aos demais pode ser explicada pelas aproximações feitas no cálculo do carregamento de

protensão. Salienta-se que a correção das cargas foi necessária para que essas pudessem

ser aplicadas nos elementos finitos da laje (ver item 4.5).

Os diagramas de momentos fletores hiperestáticos na laje, obtidos pelos diferentes

métodos, são reapresentados a seguir a fim de facilitar a comparação entre os resultados

(ver Figura 4.41 a Figura 4.50).

Figura 4.41 – Diagrama de momentos fletores hiperestáticos (em kN.m/m) na laje na direção 1

(M11) - Método 1 – Procedimento A.

63

Figura 4.42 - Diagrama de momentos fletores hiperestáticos (em kN.m/m) na laje na direção 1

(M11) - Método 1 – Procedimento B.



64




direção 1 (M11) - Método 3.

65





66





67


direção 2 (M22) - Método 3.

4.8 COMPARAÇÃO ENTRE OS MÉTODOS (QUANTO À DIFICULDADE DE

APLICAÇÃO)

Os métodos empregados forneceram diferentes dificuldades para a sua aplicação

no programa de análise. Para efeito de comparação, são explicitadas as vantagens e

desvantagens encontradas em cada metodologia para utilização em lajes com geometria

simples, como é a laje estudada neste trabalho.

No método 1, uma das maiores dificuldades foi a definição da geometria

parabólica do cabo de protensão, já que a flecha em cada ponto do cabo precisou ser

estabelecida. No entanto, não foram encontrados problemas para realizar a ligação dos

tendons com a laje de concreto, uma vez que o programa de análise utilizado une esses

elementos automaticamente.

Para aplicar a segunda metodologia, que utiliza o conceito das cargas equivalentes,

foi preciso calcular a carga por metro, referente à cada parábola, por meio das formulações

apresentadas no item 2.3.2. Posteriormente, o carregamento linear foi dividido pela

largura dos elementos de área e foi corrigido, conforme exposto no exemplo do item 4.5.

68

Por fim, as cargas precisaram ser aplicadas “manualmente” no modelo, sem a utilização

de uma ferramenta computacional que facilitasse o processo.

Desse modo, o método 2 foi considerado um método complexo de ser aplicado,

porque necessitou de um extenso trabalho manual por parte do operador. Além disso, as

correções necessárias aplicadas ao carregamento diminuíram a acurácia do resultado.

Por fim, o método 3 apresentou procedimento simples de ser empregado, uma vez

que as deformações e curvaturas puderam ser calculadas por uma planilha automatizada

a partir das solicitações isostáticas e, em seguida, todos os resultados obtidos foram

introduzidos simultaneamente no programa de análise, a partir do recurso Interactive

Database Editing. Uma outra vantagem do terceiro método em relação aos demais é a

determinação direta dos esforços hiperestáticos de protensão, sem precisar aplicar os

Procedimentos A e B.

Em contrapartida, o Método 3 apresentou como inconveniente a necessidade de

determinar o esforço isostático de protensão da laje. Para isso, foi preciso utilizar o

modelo isostático com cabos físicos do Método 1.

Como ponto em comum, os três métodos apresentaram como obstáculo a

necessidade de definir um modelo estrutural isostático externamente.

4.9 CRÍTICA SOBRE O MÉTODO APROXIMADO UTILIZADO NO PRÉ-

DIMENSIONAMENTO (SECTION CUT)

O método aproximado utilizado na fase de pré-dimensionamento consistiu no

emprego da ferramenta Section Cut no MODINICIAL, cortando tanto os cabos como o

concreto. Os esforços obtidos com o section cut foram determinados com as cargas de

protensão dos cabos nas direções X e Y atuando concomitantemente. Como já comentado,

o momento hiperestático pode ser determinado de forma aproximada com razoável

acurácia no caso dos cabos distribuídos da direção Y. Entretanto, na direção X, o resultado

não é acurado devido à concentração dos cabos sobre os capitéis. Sendo assim, no caso

de lajes cogumelo e lisas, o método só oferece uma boa estimativa quando os cabos estão

bem distribuídos.

Em resumo, o processo de dimensionamento de uma laje cogumelo qualquer no

ELU envolveria várias etapas de cálculos iterativos, já que os momentos hiperestáticos

são difíceis de serem estimados adequadamente de antemão. Desse modo, para efetuar

um dimensionamento mais apropriado de uma laje cogumelo, haveria necessidade de

69

efetuar análises sequenciais em que os cabos de protensão seriam dimensionados em

várias fases, sendo essas apresentadas a seguir:

• Dimensionamento da laje sem os momentos hiperestáticos de protensão;

• Dimensionamento com momentos hiperestáticos de protensão estimados por meio

de section cuts, no qual a determinação dos esforços na direção da cablagem

concentrada seria muito aproximada;

• Dimensionamento com a determinação dos esforços hiperestáticos de protensão

pelos métodos aqui tratados.

Cabe dizer que a utilização da ferramenta Section Cut para a determinação dos

esforços hiperestáticos na viga é bastante adequada, já que fornece resultados muito

próximos daqueles determinados pelos três métodos estudados.

4.10 COMENTÁRIOS ADICIONAIS

Apesar do presente trabalho evidenciar os momentos fletores de protensão, os

métodos e procedimentos empregados também determinam os esforços cortantes e as

forças axiais que se desenvolvem devido às armaduras ativas. Esses esforços não foram

apresentados ao longo do projeto para evitar repetição, uma vez que podem ser calculados

de forma equivalente ao que foi realizado no caso dos momentos fletores.

Entretanto, para ilustrar o comportamento das forças normais hiperestáticas de

protensão, apresentam-se os diagramas dessa solicitação nas duas direções, obtidos com

a aplicação do Método 3, conforme é apresentado na Figura 4.51 e na Figura 4.52.

No mais, é necessário comentar um aspecto importante relativo às forças de

protensão que foi evidenciado por meio da análise em elementos finitos. Devido ao

agrupamento dos cabos na direção X, os bordos da laje entre os feixes de armadura ficam

sujeitos à forças de compressão muito baixas ou à forças de tração, o que pode ser

verificado a partir do diagrama de forças na direção 1 que comprova a existência desses

efeitos locais (Figura 4.53). Essas zonas em formato de leque são originadas pelo

espraiamento das forças de protensão. Sendo assim, recomenda-se dispor armaduras

passivas para garantir a segurança e promover um bom comportamento da estrutura em

serviço. O mesmo comportamento não foi verificado na direção Y, de acordo com o que

foi visualizado na Figura 4.54.

70

Figura 4.51 - Diagrama de forças normais hiperestáticas de protensão (em kN/m) na laje na

direção 1 (F11) - Método 3.

Figura 4.52 - Diagrama de forças normais hiperestáticas de protensão (em kN/m) na laje na

direção 2 (F22) - Método 3.

71

Figura 4.53 - Diagrama de forças totais de protensão (em kN/m) na laje na direção 1 (F11) -

MODINICIAL - Método 1.

Figura 4.54 - Diagrama de forças totais de protensão (em kN/m) na laje na direção 2 (F22) -

MODINICIAL - Método 1.

72

5 CONCLUSÕES E SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS

Foram determinados os momentos hiperestáticos de protensão em estruturas

modeladas em elementos finitos por três métodos distintos. No primeiro, foi realizada a

modelagem física dos cabos na estrutura. Já no segundo método, foi utilizado o conceito

das cargas equivalentes para aplicação do carregamento dos cabos protendidos. Por fim,

o efeito das armaduras ativas foi inserido na estrutura por meio de deformações e

curvaturas impostas. Verificou-se que nas duas primeiras metodologias, é determinado o

momento total de protensão na estrutura hiperestática, sendo necessário utilizar

procedimentos adicionais para a separação entre as parcelas isostática e hiperestática dos

esforços. Já na terceira metodologia, a solicitação hiperestática é obtida diretamente na

estrutura estaticamente indeterminada original.

No caso da viga, em que os cabos apresentam trajetória poligonal em elevação, os

diagramas encontrados por meio das três metodologias foram compatíveis e forneceram

resultados com menos de 3% de variação. Neste caso, o método que apresentou a menor

acurácia em relação à média encontrada foi o método 1 com a aplicação do Procedimento

B, o que já era esperado, porque este é o único a considerar o efeito físico dos cabos de

protensão nos resultados.

Em relação à laje, cujos cabos têm traçado parabólico em elevação, foi verificado

que é possível utilizar métodos e procedimentos análogos àqueles empregados no caso da

viga, mesmo que as lajes sejam estruturas hiperestáticas internamente. Para a estrutura

estudada, os comportamentos e os valores encontrados nos diagramas por todos os

métodos foram próximos, sendo que o primeiro e o terceiro forneceram diagramas com

maior equivalência. Além disso, foi possível verificar que para empregar a segunda

metodologia em uma laje discretizada em elementos finitos, é preciso fazer correções no

carregamento. Essas aproximações levam a uma menor acurácia nos resultados,

principalmente no caso de lajes com irregularidades em sua geometria e no traçado dos

cabos de protensão. Desse modo, recomenda-se a aplicação dos métodos 1 e 3, sendo que

somente o último consegue fornecer diretamente os valores dos esforços hiperestáticos

na estrutura estaticamente indeterminada.

É importante dizer que para o dimensionamento formal das lajes cogumelo

protendidas é necessário estudar os trechos do capitel e da laje de menor espessura

separadamente. Os momentos fletores e as forças normais causados pelas diversas ações,

73

incluindo também os esforços hiperestáticos de protensão, precisam ser determinados

para que o dimensionamento possa ser efetuado de forma completa.

O estudo realizado neste trabalho diz respeito às lajes com protensão aderente.

Entretanto, modernamente, é mais econômico o uso de cordoalhas engraxadas, que

dispensam o uso de bainhas e injeção de nata.

Vários outros assuntos podem ser avaliados em trabalhos futuros. Destacam-se os

seguintes tópicos para o caso de lajes protendidas lisas ou com capitéis (designadas como

lajes cogumelo):

• Obtenção de uma estrutura isostática mais adequada para utilização em lajes de

conformação aleatória com protensão aderente;

• Obtenção de esforços hiperestáticos de protensão mais acurados na fase de pré-

dimensionamento de uma laje com protensão aderente;

• Reavaliação do dimensionamento da laje em função dos esforços hiperestáticos

obtidos pelos processos aqui apresentados, levando em conta os momentos

fletores e os esforços normais nos centroides das lajes de diferentes espessuras

(capitéis e laje delgada);

• Procedimentos para o dimensionamento dos efeitos locais nas extremidades da

laje com armaduras ativas aderentes;

• Aplicação dos métodos utilizados neste trabalho em lajes protendidas sem

aderência;

• Procedimentos para o dimensionamento da laje protendida sem aderência no

ELU;

• Procedimentos para o dimensionamento dos efeitos locais nas extremidades da

laje com protensão não aderente;

• Estudo do comportamento de uma laje protendida com cabos aderentes ou não

aderentes até a ruptura, com incrementos discretos de cargas em elementos finitos.

Todos esses estudos deverão ser realizados sem a utilização de métodos baseados

em quadros fictícios, como aqueles empregados em vários métodos simplificados de

dimensionamento.

A título de informação, podem ser citadas as seguintes publicações acerca das

lajes protendidas: EMERICK (2005), NOBRE (2017), AALAMI (2014) e AALAMI

(1999). Existem também programas específicos para o projeto de lajes protendidas como

o software ADAPT-Floor Pro do Eng. Bijan O. Aalami.

74

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

AALAMI, B.O., BOMMER, A., 1999, Design Fundamentals of Post-Tensioned

Concrete Floors. 1 ed. Arizona, PTI – Post-Tensioning Institute.

AALAMI, B.O., 2014, Post Tensioned Buildings. Design and Construction. PT-

structures.com.

ADAPT PROGRAM. Disponível em: <https://adaptsolutions.wordpress.com/adapt-pt/>.

Acesso em: 21 nov. 2020.

ALVES, R.V., 2018, Pontes em concreto armado e protendido I. Notas de aula. Rio de

Janeiro, Escola Politécnica-UFRJ.

AMERICAN CONCRETE INSTITUTE ACI, 2019, ACI 318-19: Building Code

Requirements for Structural Concrete, Michigan.

ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS ABNT, 2014, NBR6118:

Projeto de estruturas de concreto – Procedimento, Rio de Janeiro.

BAUSCHER, 2018. Máquina de bainha para protensão. Disponível em:

<http://www.bauscher.com.br/maquina-bainha-protensao.html>. Acesso em: 02 maio

2020.

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Editora Interciência.

GILBERT, R.I., MICKLEBOROUGH, N.C., RANZI, G., 2017, Design of Prestressed

Concrete to Eurocode 2. 2 ed. Florida, CRC Press.

GIRKMANN, K, 1956, Flächentragwerke. 4 ed. Viena, Springer-Verlag.

JAISAN, C., 2020. Disponível em: <https://www.shutterstock.com/pt/g/Channarong

+jaisan>. Acesso em 25 abr. 2020.

LIN, T.Y., 1963, Design of Prestressed Concrete Structures. 2 ed. Nova Iorque, John

Wiley & Sons, Inc.

NAAMAN, A.E.,1982, Prestressed Concrete Analysis and Design. Nova Iorque,

McGraw-Hill, Inc.

NOBRE, K.M.A., 2017, Comparação entre métodos de análise de lajes protendidas.

Dissertação de Mestrado, Politécnica da UFRJ, Rio de Janeiro.

PERLINGEIRO, M.S.P.L., 1998, Análise tridimensional de estruturas protendidas.

Dissertação de Mestrado, Universidade Federal Fluminense, Niterói.

75

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Técnicos e Científicos Editora S.A.

TIMOSHENKO, S.P., WOINOWSKY-KRIEGER, S., 1959, Theory of Plates and

Shells, 2.ed. McGraw-Hill.

TIMOSHENKO, S.P., GERE, J.E., 1983, Mecânica dos sólidos, v.1, Rio de Janeiro,

Livros Técnicos e Científicos Editora S.A.

76

BIBLIOGRAFIA CONSULTADA

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Tensioning”, ACI Structural Journal, v. 87, n. 6 (nov./dez.), pp. 662-670.

ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS ABNT, 2020, NBR7483:

Cordoalhas de aço para estruturas de concreto protendido – Especificação, Rio de Janeiro.

CARVALHO, R.C, 2017, Estruturas em Concreto Protendido – Pré-tração, Pós-

tração, Cálculo e Detalhamento. 2 ed. Editora PINI.

CHAVES, R.J.S., CARVALHO, R.C., SARTORI, A.L., 2018, “Momentos

Hiperestáticos de Protensão em Lajes Lisas Protendidas”. CONGRESSO

BRASILEIRO DE PONTES E ESTRUTURAS, 150, Rio de Janeiro, 9-11 maio.

Disponível em: <http://www.abpe.org.br/trabalhos2018/150.pdf>. Acesso em: 19 abr.

2020.

DIAZ, B. E., 2019, Estruturas protendidas. Notas de aula e planilhas de

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LOUREIRO, G.J. 2007. Curso Intensivo sobre Teoria e Prática atuais do projeto de

lajes protendidas. Adapt Structural Concrete Software System. Niterói.

THOMAZ, E.C.S., 2009, Concreto Protendido: Noções Básicas - Hiperestático de

Protensão I e II. Rio de Janeiro, Instituto Militar de Engenharia – IME. Disponível em:<

http://aquarius.ime.eb.br/~webde2/prof/ethomaz/>. Acesso em: 19 abr. 2020.

77

APÊNDICE A – MOMENTOS HIPERESTÁTICOS NA VIGA

Método 1 – Procedimento A: Método 1 - Procedimento B:

- Obtidos pelas reações de apoio - Obtidos pelo Staged Construction

Barra Estação Momento M3 Barra Estação Momento M3

- m KN-m - m KN-m

1 0 0 1 0 0

2 0 2264 2 0 2100

3 0 4527 3 0 4200

4 0 6791 4 0 6300

5 0 9055 5 0 8400

6 0 11318 6 0 10500

7 0 13582 7 0 12600

8 0 15846 8 0 14700

9 0 18110 9 0 16800

10 0 20373 10 0 18900

11 0 22637 11 0 21001

12 0 24901 12 0 23264

13 0 27164 13 0 25528

14 0 29428 14 0 27791

15 0 31692 15 0 30055

16 0 33955 16 0 32318

17 0 36219 17 0 34582

18 0 38483 18 0 36846

19 0 40746 19 0 39109

20 0 43010 20 0 41373

21 0 45274 21 0 43637

22 0 47537 22 0 45900

23 0 49801 23 0 48164

24 0 52065 24 0 50683

25 0 54329 25 0 53201

26 0 56592 26 0 55720

27 0 58856 27 0 58239

28 0 61120 28 0 60757

29 0 63383 29 0 63276

30 0 65647 30 0 65795

31 0 67911 31 0 68313

32 0 70174 32 0 70832

33 0 72438 33 0 73350

34 0 74702 34 0 75614

35 0 74702 35 0 75614

36 0 74702 36 0 75359

37 0 74702 37 0 75104

78

38 0 74702 38 0 74849

39 0 74702 39 0 74594

40 0 74702 40 0 74339

41 0 74702 41 0 74084

42 0 74702 42 0 73829

43 0 74702 43 0 73574

44 0 74702 44 0 73319

45 0 74702 45 0 73064

46 0 74702 46 0 73064

47 0 74702 47 0 73064

48 0 74702 48 0 73064

49 0 74702 49 0 73064

50 0 74702 50 0 73064

51 0 74702 51 0 73064

52 0 74702 52 0 73064

53 0 74702 53 0 73064

54 0 74702 54 0 73064

Método 2 – Procedimento A: Método 2 - Procedimento B:

- Obtidos pelas reações de apoio - Obtidos pelo Staged Construction

Barra Estação Momento M3 Barra Estação Momento M3

- m KN-m - m KN-m

1 0 0 1 0 0

2 0 2272 2 0 2272

3 0 4544 3 0 4544

4 0 6816 4 0 6816

5 0 9088 5 0 9088

6 0 11360 6 0 11360

7 0 13632 7 0 13632

8 0 15904 8 0 15904

9 0 18176 9 0 18176

10 0 20448 10 0 20448

11 0 22720 11 0 22720

12 0 24992 12 0 24991

13 0 27264 13 0 27263

14 0 29535 14 0 29535

15 0 31807 15 0 31807

16 0 34079 16 0 34079

17 0 36351 17 0 36351

18 0 38623 18 0 38623

19 0 40895 19 0 40895

20 0 43167 20 0 43167

21 0 45439 21 0 45439

22 0 47711 22 0 47711

79

23 0 49983 23 0 49983

24 0 52255 24 0 52255

25 0 54527 25 0 54527

26 0 56799 26 0 56799

27 0 59071 27 0 59071

28 0 61343 28 0 61343

29 0 63615 29 0 63615

30 0 65887 30 0 65887

31 0 68159 31 0 68159

32 0 70431 32 0 70431

33 0 72703 33 0 72702

34 0 74975 34 0 74974

35 0 74975 35 0 74974

36 0 74975 36 0 74974

37 0 74975 37 0 74974

38 0 74975 38 0 74974

39 0 74975 39 0 74974

40 0 74975 40 0 74974

41 0 74975 41 0 74974

42 0 74975 42 0 74974

43 0 74975 43 0 74974

44 0 74975 44 0 74974

45 0 74975 45 0 74974

46 0 74975 46 0 74974

47 0 74975 47 0 74974

48 0 74975 48 0 74974

49 0 74975 49 0 74974

50 0 74975 50 0 74974

51 0 74975 51 0 74974

52 0 74975 52 0 74974

53 0 74975 53 0 74974

54 0 74975 54 0 74974

Método 3:

Barra Estação Momento M3

- m KN-m

1 0 0

2 0 2282

3 0 4564

4 0 6845

5 0 9127

6 0 11409

7 0 13691

8 0 15973

9 0 18255

10 0 20536

80

11 0 22818

12 0 25100

13 0 27382

14 0 29664

15 0 31945

16 0 34227

17 0 36509

18 0 38791

19 0 41073

20 0 43355

21 0 45636

22 0 47918

23 0 50200

24 0 52482

25 0 54764

26 0 57045

27 0 59327

28 0 61609

29 0 63891

30 0 66173

31 0 68455

32 0 70736

33 0 73018

34 0 75300

35 0 75300

36 0 75300

37 0 75300

38 0 75300

39 0 75300

40 0 75300

41 0 75300

42 0 75300

43 0 75300

44 0 75300

45 0 75300

46 0 75300

47 0 75300

48 0 75300

49 0 75300

50 0 75300

51 0 75300

52 0 75300

53 0 75300

54 0 75300

81

APÊNDICE B – CÁLCULO DAS CURVATURAS NA VIGA

Numeração

das barras

NIP

(kN) e (m)

MIp

(kNm)

E

(kPa)

Inércia

(m4)

Curvatura

(rad/m)

1 -43200 -0,15 -6376 29000000 28,6 -7,68E-06

2 -43200 -0,44 -19125 29000000 28,6 -2,30E-05

3 -43200 -0,74 -31873 29000000 28,6 -3,84E-05

4 -43200 -1,03 -44621 29000000 28,6 -5,37E-05

5 -43200 -1,33 -57370 29000000 28,6 -6,91E-05

6 -43200 -1,62 -70118 29000000 28,6 -8,45E-05

7 -43200 -1,92 -82866 29000000 28,6 -9,98E-05

8 -43200 -2,21 -95615 29000000 28,6 -1,15E-04

9 -43200 -2,51 -108363 29000000 28,6 -1,31E-04

10 -43200 -2,80 -121111 29000000 28,6 -1,46E-04

11 -43200 -2,95 -127483 29000000 28,6 -1,54E-04

12 -43200 -2,95 -127483 29000000 28,6 -1,54E-04

13 -43200 -2,95 -127483 29000000 28,6 -1,54E-04

14 -43200 -2,95 -127483 29000000 28,6 -1,54E-04

15 -43200 -2,95 -127483 29000000 28,6 -1,54E-04

16 -43200 -2,95 -127483 29000000 28,6 -1,54E-04

17 -43200 -2,95 -127483 29000000 28,6 -1,54E-04

18 -43200 -2,95 -127483 29000000 28,6 -1,54E-04

19 -43200 -2,95 -127483 29000000 28,6 -1,54E-04

20 -43200 -2,95 -127483 29000000 28,6 -1,54E-04

21 -43200 -2,95 -127483 29000000 28,6 -1,54E-04

22 -43200 -2,95 -127483 29000000 28,6 -1,54E-04

23 -43200 -2,72 -117547 29000000 28,6 -1,42E-04

24 -43200 -2,26 -97675 29000000 28,6 -1,18E-04

25 -43200 -1,80 -77803 29000000 28,6 -9,37E-05

26 -43200 -1,34 -57931 29000000 28,6 -6,98E-05

27 -43200 -0,88 -38059 29000000 28,6 -4,58E-05

28 -43200 -0,42 -18187 29000000 28,6 -2,19E-05

29 -43200 0,04 1685 29000000 28,6 2,03E-06

30 -43200 0,50 21557 29000000 28,6 2,60E-05

31 -43200 0,96 41429 29000000 28,6 4,99E-05

32 -43200 1,42 61301 29000000 28,6 7,38E-05

33 -43200 1,65 71237 29000000 28,6 8,58E-05

34 -43200 1,65 71237 29000000 28,6 8,58E-05

35 -43200 1,42 61301 29000000 28,6 7,38E-05

36 -43200 0,96 41429 29000000 28,6 4,99E-05

37 -43200 0,50 21557 29000000 28,6 2,60E-05

38 -43200 0,04 1685 29000000 28,6 2,03E-06

39 -43200 -0,42 -18187 29000000 28,6 -2,19E-05

82

40 -43200 -0,88 -38059 29000000 28,6 -4,58E-05

41 -43200 -1,34 -57931 29000000 28,6 -6,98E-05

42 -43200 -1,80 -77803 29000000 28,6 -9,37E-05

43 -43200 -2,26 -97675 29000000 28,6 -1,18E-04

44 -43200 -2,72 -117547 29000000 28,6 -1,42E-04

45 -43200 -2,95 -127483 29000000 28,6 -1,54E-04

46 -43200 -2,95 -127483 29000000 28,6 -1,54E-04

47 -43200 -2,95 -127483 29000000 28,6 -1,54E-04

48 -43200 -2,95 -127483 29000000 28,6 -1,54E-04

49 -43200 -2,95 -127483 29000000 28,6 -1,54E-04

50 -43200 -2,95 -127483 29000000 28,6 -1,54E-04

51 -43200 -2,95 -127483 29000000 28,6 -1,54E-04

52 -43200 -2,95 -127483 29000000 28,6 -1,54E-04

53 -43200 -2,95 -127483 29000000 28,6 -1,54E-04

83

APÊNDICE C – TRAÇADO DOS CABOS DA LAJE EM ELEVAÇÃO

Coordenadas dos cabos na direção X: Coordenadas dos cabos na direção Y:

Traçado em elevação dos cabos na direção X

Traçado em elevação dos cabos na direção Y

Coordenadas Coordenadas

X Z Y Z

-14,50 0,0000 -14,50 0,0000

-13,28 -0,0413 -13,28 -0,0413

-12,06 -0,0550 -12,06 -0,0550

-10,36 -0,0361 -10,36 -0,0319

-8,65 0,0206 -8,65 0,0374

-8,33 0,0314 -8,33 0,0506

-8,00 0,0350 -8,00 0,0550

-7,60 0,0305 -7,60 0,0495

-7,20 0,0170 -7,20 0,0330

-4,00 -0,0550 -4,00 -0,0550

-0,80 0,0170 -0,80 0,0330

-0,40 0,0305 -0,40 0,0495

0,00 0,0350 0,00 0,0550

0,40 0,0305 0,40 0,0495

0,80 0,0170 0,80 0,0330

4,00 -0,0550 4,00 -0,0550

7,20 0,0170 7,20 0,0330

7,60 0,0305 7,60 0,0495

8,00 0,0350 8,00 0,0550

8,33 0,0314 8,33 0,0506

8,65 0,0206 8,65 0,0374

10,36 -0,0361 10,36 -0,0319

12,06 -0,0550 12,06 -0,0550

13,28 -0,0413 13,28 -0,0413

14,50 0,0000 14,50 0,0000

84

-0,06

-0,05

-0,04

-0,03

-0,02

-0,01

0,00

0,01

0,02

0,03

0,04

-20,00 -15,00 -10,00 -5,00 0,00 5,00 10,00 15,00 20,00

Traçado em elevação dos cabos na direção X

-0,08

-0,06

-0,04

-0,02

0,00

0,02

0,04

0,06

0,08

-20,00 -15,00 -10,00 -5,00 0,00 5,00 10,00 15,00 20,00

Traçado em elevação dos cabos na direção Y

85

APÊNDICE D – CÁLCULO DAS CARGAS EQUIVALENTES DA LAJE

SENTIDO X - VÃO DE EXTREMIDADE

Coeficientes

Comprimento do vão 6,50 m

α1 0,1000 α1.L 0,650 m

α 0,375 α.L 2,44 m

β 0 β1 1,571 P (Força de uma cordoalha t=0) 180 kN

h (altura da laje sem considerar o capitel) 0,200 m

Espessura da bainha metálica 0,0200 m

Cobrimento 0,0200 m

Espessura das camadas de armadura passiva 0,0150 m

Distância superior do cobrimento aos eixos dos cabos 0,0300 m

e (Excentricidade no apoio) 0,0350 m

λ 7,84 μ 41,1

Cargas distribuídas por m (devido a uma cordoalha)

qB1 3,33 kN/m

Comprimento à esquerda 2,44 m

qB2 2,34 kN/m

Comprimento no centro 3,41 m

qB3 -12,27 kN/m

Comprimento à direita 0,650 m

Cargas distribuídas por m² corrigidas (devido a uma cordoalha)

Malha de elementos finitos 0,500 m

qB1'/m 6,50 kN/m²


qB2'/m 4,56 kN/m²


qB3'/m -31,9 kN/m²


Força vertical no apoio esquerdo devido a inclinação do cabo -8,12 kN

Observação: O cálculo do carregamento foi realizado para uma cordoalha. Dessa forma, a carga determinada deverá ser multiplicada pelo número de cordoalhas presentes em cada cabo para aplicação no modelo.

86

SENTIDO Y - VÃO DE EXTREMIDADE

Coeficientes


α1 0,1000 α1.L 0,650 m

α 0,375 α.L 2,44 m

β 0 β1 1,000 P (Força de uma cordoalha t=0) 180 kN



Cobrimento 0,0200 m




λ 6,10 μ 32,0


qB1 3,33 kN/m


qB2 2,86 kN/m


qB3 -15,00 kN/m




qB1'/m 6,50 kN/m²


qB2'/m 5,57 kN/m²


qB3'/m -39,0 kN/m²


Força vertical no apoio esquerdo devido a inclinação do cabo -8,12 kN


87

SENTIDO X - VÃO INTERNO

Coeficientes


α2 0,1000 β2 1,571 P (Força de uma cordoalha t=0) 180 kN



Cobrimento 0,0200 m





qB1 -10,13 kN/m


qB2 2,53 kN/m


qB1 -10,13 kN/m




qB1'/m -16,20 kN/m²


qB2'/m 5,40 kN/m²


qB1'/m -16,2 kN/m²



88

SENTIDO Y - VÃO INTERNO

Coeficientes


α2 0,1000 β2 1,000 P (Força de uma cordoalha t=0) 180 kN



Cobrimento 0,0200 m





qB1 -12,38 kN/m


qB2 3,09 kN/m


qB1 -12,38 kN/m




qB1'/m -19,80 kN/m²


qB2'/m 6,60 kN/m²


qB1'/m -19,8 kN/m²



89

APÊNDICE E – CÁLCULO DAS DEFORMAÇÕES E CURVATURAS DA LAJE

- Cálculo dos parâmetros iniciais (para os primeiros 100 elementos de laje)

Dados:

μ

0,2

E

29000000

kPa

G

12083000

kPa

Elemento

de laje

F11

média

F22

média

F12

média

M11

média

M22

média

M12

média h σ 11 σ 22 σ 12

- kN/m kN/m kN/m KNm/m KNm/m KNm/m m kN/m² kN/m² kN/m²

1 -125,0 -6,60 -3,91 -11,83 -1,84 5,87 0,20 -624,94 -32,98 -19,54

2 1,03 -2,36 3,58 -4,35 0,41 6,34 0,20 5,16 -11,81 17,91

3 -113,36 0,09 -3,22 1,54 0,73 10,98 0,20 -566,79 0,45 -16,08

4 -58,10 -3,39 2,82 0,46 1,96 10,72 0,20 -290,48 -16,94 14,08

5 -114,67 -2,22 5,54 3,37 0,45 10,73 0,20 -573,35 -11,11 27,71

6 -88,80 -7,49 0,79 4,78 2,29 10,50 0,20 -444,00 -37,46 3,95

7 -137,03 2,58 7,48 -1,06 0,45 9,89 0,20 -685,16 12,89 37,40

8 -36,69 7,33 4,07 -2,71 0,42 10,33 0,20 -183,44 36,65 20,34

9 -137,85 0,94 -8,45 0,90 0,72 7,50 0,20 -689,23 4,68 -42,23

10 -80,40 3,84 8,58 -0,69 1,22 7,17 0,20 -402,00 19,18 42,90

11 -130,44 -4,58 4,71 6,59 0,44 7,18 0,20 -652,18 -22,91 23,53

12 -161,98 -15,62 5,55 8,76 3,74 7,18 0,20 -809,91 -78,08 27,75

13 -166,78 1,03 17,86 0,40 0,60 7,03 0,20 -833,90 5,14 89,29

14 -67,54 4,11 1,61 -1,07 0,96 7,27 0,20 -337,69 20,55 8,05

15 -193,77 2,63 1,22 -2,24 0,34 4,86 0,20 -968,85 13,13 6,08

16 -10,48 8,71 5,17 -3,75 -0,14 4,49 0,20 -52,39 43,53 25,85

17 -195,09 -1,47 1,81 1,06 -0,11 4,98 0,20 -975,43 -7,35 9,04

18 -49,18 -6,24 4,59 3,09 1,28 4,91 0,20 -245,89 -31,18 22,93

19 -207,49 2,57 2,51 -2,62 0,18 5,28 0,20 -1037,43 12,84 12,53

20 -26,43 8,16 4,42 -3,95 -0,61 5,57 0,20 -132,16 40,80 22,10

21 -196,07 0,25 -12,74 -0,38 0,32 3,49 0,20 -980,33 1,25 -63,69

22 -97,13 3,36 8,12 -1,79 0,04 3,15 0,20 -485,65 16,78 40,61

90

23 -177,47 -1,90 -0,07 5,34 -0,08 4,46 0,20 -887,35 -9,48 -0,35

24 -203,26 -14,79 5,83 8,42 2,32 4,25 0,20 -1016,28 -73,95 29,15

25 -205,57 -10,70 15,70 -0,52 -0,35 4,01 0,20 -1027,83 -53,48 78,48

26 -132,46 -3,20 2,66 -3,34 -0,52 4,39 0,20 -662,28 -16,00 13,31

27 -220,01 -10,77 -8,70 -2,39 -0,67 1,40 0,20 -1100,04 -53,83 -43,50

28 -145,94 -3,45 12,19 -2,88 0,11 1,26 0,20 -729,68 -17,24 60,94

29 -215,97 -1,62 6,43 5,49 0,22 2,59 0,20 -1079,84 -8,11 32,13

30 -237,04 -14,40 10,38 8,15 2,73 2,61 0,20 -1185,20 -72,00 51,88

31 -258,02 -0,03 18,83 -0,31 0,23 3,20 0,20 -1290,08 -0,15 94,13

32 -153,88 3,21 7,82 -1,73 -0,03 3,33 0,20 -769,41 16,05 39,08

33 -292,95 2,95 4,38 -2,57 0,17 1,57 0,20 -1464,73 14,73 21,89

34 -102,16 8,00 10,63 -3,51 -0,79 1,42 0,20 -510,80 40,00 53,16

35 -305,29 -2,47 4,38 1,28 -0,22 1,73 0,20 -1526,44 -12,35 21,88

36 -143,28 -6,24 12,05 2,41 0,77 1,55 0,20 -716,39 -31,21 60,25

37 -331,89 1,33 12,61 -1,67 -0,14 3,22 0,20 -1659,45 6,64 63,04

38 -100,46 1,94 1,76 -0,49 -0,10 3,56 0,20 -502,30 9,70 8,81

39 -346,63 5,71 -8,78 -5,42 0,33 1,50 0,20 -1733,13 28,55 -43,90

40 -85,97 20,12 14,16 -9,26 -2,00 1,61 0,20 -429,85 100,60 70,80

41 -306,42 -4,90 -18,37 6,18 0,25 0,29 0,20 -1532,10 -24,51 -91,85

42 -282,88 -15,39 6,35 8,23 2,88 -0,24 0,20 -1414,38 -76,95 31,74

43 -311,56 -4,91 21,05 6,17 0,25 2,32 0,20 -1557,78 -24,55 105,26

44 -288,55 -15,41 1,01 8,24 2,86 2,85 0,20 -1442,76 -77,03 5,03

45 -362,08 5,71 11,50 -5,45 0,31 1,14 0,20 -1810,38 28,53 57,48

46 -103,03 20,08 -6,76 -9,27 -2,05 1,01 0,20 -515,14 100,40 -33,80

47 -357,83 1,31 -9,84 -1,70 -0,17 -0,54 0,20 -1789,15 6,54 -49,19

48 -128,92 1,87 5,76 -0,50 -0,19 -0,88 0,20 -644,60 9,34 28,79

49 -341,93 -2,47 -1,52 1,23 -0,27 1,02 0,20 -1709,64 -12,36 -7,58

50 -183,18 -6,29 -4,44 2,38 0,65 1,18 0,20 -915,88 -31,45 -22,18

51 -340,54 2,93 -1,52 -2,64 0,12 1,29 0,20 -1702,70 14,65 -7,58

52 -153,65 7,91 -2,79 -3,50 -0,95 1,43 0,20 -768,26 39,55 -13,96

53 -316,79 -0,15 -15,72 -0,40 0,16 -0,24 0,20 -1583,94 -0,76 -78,58

54 -216,96 3,14 -0,07 -1,84 -0,26 -0,40 0,20 -1084,78 15,71 -0,34

91

55 -285,89 -0,80 -3,93 5,37 0,03 0,71 0,20 -1429,44 -4,01 -19,65

56 -312,60 -13,79 -1,92 8,34 2,31 0,57 0,20 -1563,00 -68,93 -9,60

57 -302,03 -14,95 13,19 -1,51 -0,60 1,22 0,20 -1510,15 -74,73 65,95

58 -231,80 -7,76 -5,28 -3,10 -0,33 1,52 0,20 -1159,00 -38,80 -26,38

59 -302,03 -14,95 -13,19 -1,51 -0,60 -1,22 0,20 -1510,15 -74,73 -65,95

60 -231,80 -7,76 5,28 -3,10 -0,33 -1,52 0,20 -1159,00 -38,80 26,38

61 -285,89 -0,80 3,93 5,37 0,03 -0,71 0,20 -1429,44 -4,01 19,65

62 -312,60 -13,79 1,92 8,34 2,31 -0,57 0,20 -1563,00 -68,93 9,60

63 -316,79 -0,15 15,72 -0,40 0,16 0,24 0,20 -1583,94 -0,76 78,58

64 -216,96 3,14 0,07 -1,84 -0,26 0,40 0,20 -1084,78 15,71 0,34

65 -340,54 2,93 1,52 -2,64 0,12 -1,29 0,20 -1702,70 14,65 7,58

66 -153,65 7,91 2,79 -3,50 -0,95 -1,43 0,20 -768,26 39,55 13,96

67 -341,93 -2,47 1,52 1,23 -0,27 -1,02 0,20 -1709,64 -12,36 7,58

68 -183,18 -6,29 4,44 2,38 0,65 -1,18 0,20 -915,88 -31,45 22,18

69 -357,83 1,31 9,84 -1,70 -0,17 0,54 0,20 -1789,15 6,54 49,19

70 -128,92 1,87 -5,76 -0,50 -0,19 0,88 0,20 -644,60 9,34 -28,79

71 -362,08 5,71 -11,50 -5,45 0,31 -1,14 0,20 -1810,38 28,53 -57,48

72 -103,03 20,08 6,76 -9,27 -2,05 -1,01 0,20 -515,14 100,40 33,80

73 -311,56 -4,91 -21,05 6,17 0,25 -2,32 0,20 -1557,78 -24,55 -105,26

74 -288,55 -15,41 -1,01 8,24 2,86 -2,85 0,20 -1442,76 -77,03 -5,03

75 -306,42 -4,90 18,37 6,18 0,25 -0,29 0,20 -1532,10 -24,51 91,85

76 -282,88 -15,39 -6,35 8,23 2,88 0,24 0,20 -1414,38 -76,95 -31,74

77 -346,63 5,71 8,78 -5,42 0,33 -1,50 0,20 -1733,13 28,55 43,90

78 -85,97 20,12 -14,16 -9,26 -2,00 -1,61 0,20 -429,85 100,60 -70,80

79 -331,89 1,33 -12,61 -1,67 -0,14 -3,22 0,20 -1659,45 6,64 -63,04

80 -100,46 1,94 -1,76 -0,49 -0,10 -3,56 0,20 -502,30 9,70 -8,81

81 -305,29 -2,47 -4,38 1,28 -0,22 -1,73 0,20 -1526,44 -12,35 -21,88

82 -143,28 -6,24 -12,05 2,41 0,77 -1,55 0,20 -716,39 -31,21 -60,25

83 -292,95 2,95 -4,38 -2,57 0,17 -1,57 0,20 -1464,73 14,73 -21,89

84 -102,16 8,00 -10,63 -3,51 -0,79 -1,42 0,20 -510,80 40,00 -53,16

85 -258,02 -0,03 -18,83 -0,31 0,23 -3,20 0,20 -1290,08 -0,15 -94,13

86 -153,88 3,21 -7,82 -1,73 -0,03 -3,33 0,20 -769,41 16,05 -39,08

92

87 -215,97 -1,62 -6,43 5,49 0,22 -2,59 0,20 -1079,84 -8,11 -32,13

88 -237,04 -14,40 -10,38 8,15 2,73 -2,61 0,20 -1185,20 -72,00 -51,88

89 -220,01 -10,77 8,70 -2,39 -0,67 -1,40 0,20 -1100,04 -53,83 43,50

90 -145,94 -3,45 -12,19 -2,88 0,11 -1,26 0,20 -729,68 -17,24 -60,94

91 -205,57 -10,70 -15,70 -0,52 -0,35 -4,01 0,20 -1027,83 -53,48 -78,48

92 -132,46 -3,20 -2,66 -3,34 -0,52 -4,39 0,20 -662,28 -16,00 -13,31

93 -177,47 -1,90 0,07 5,34 -0,08 -4,46 0,20 -887,35 -9,48 0,35

94 -203,26 -14,79 -5,83 8,42 2,32 -4,25 0,20 -1016,28 -73,95 -29,15

95 -196,07 0,25 12,74 -0,38 0,32 -3,49 0,20 -980,33 1,25 63,69

96 -97,13 3,36 -8,12 -1,79 0,04 -3,15 0,20 -485,65 16,78 -40,61

97 -207,49 2,57 -2,51 -2,62 0,18 -5,28 0,20 -1037,43 12,84 -12,53

98 -26,43 8,16 -4,42 -3,95 -0,61 -5,57 0,20 -132,16 40,80 -22,10

99 -195,09 -1,47 -1,81 1,06 -0,11 -4,98 0,20 -975,43 -7,35 -9,04

100 -49,18 -6,24 -4,59 3,09 1,28 -4,91 0,20 -245,89 -31,18 -22,93

- Cálculo das deformações e curvaturas (para os primeiros 100 elementos de laje)

Elemento

de laje ε 11 ε 22 ϒ 12 κ 11 κ 22 κ 12

- m/m m/m m/m rad/m rad/m rad/m

1 -2,13E-05 3,17E-06 -1,62E-06 -5,93E-04 2,75E-05 7,29E-04

2 2,59E-07 -4,43E-07 1,48E-06 -2,29E-04 6,63E-05 7,87E-04

3 -1,95E-05 3,92E-06 -1,33E-06 7,20E-05 2,20E-05 1,36E-03

4 -9,90E-06 1,42E-06 1,16E-06 3,29E-06 9,68E-05 1,33E-03

5 -1,97E-05 3,57E-06 2,29E-06 1,70E-04 -1,18E-05 1,33E-03

6 -1,51E-05 1,77E-06 3,27E-07 2,24E-04 6,88E-05 1,30E-03

7 -2,37E-05 5,17E-06 3,10E-06 -5,93E-05 3,44E-05 1,23E-03

8 -6,58E-06 2,53E-06 1,68E-06 -1,45E-04 4,97E-05 1,28E-03

9 -2,38E-05 4,91E-06 -3,49E-06 3,89E-05 2,81E-05 9,30E-04

10 -1,40E-05 3,43E-06 3,55E-06 -4,81E-05 7,01E-05 8,90E-04

11 -2,23E-05 3,71E-06 1,95E-06 3,36E-04 -4,53E-05 8,92E-04

12 -2,74E-05 2,89E-06 2,30E-06 4,14E-04 1,03E-04 8,92E-04

13 -2,88E-05 5,93E-06 7,39E-06 1,45E-05 2,70E-05 8,73E-04

14 -1,18E-05 3,04E-06 6,66E-07 -6,54E-05 6,05E-05 9,03E-04

15 -3,35E-05 7,13E-06 5,03E-07 -1,19E-04 4,06E-05 6,04E-04

16 -2,11E-06 1,86E-06 2,14E-06 -1,93E-04 3,14E-05 5,58E-04

17 -3,36E-05 6,47E-06 7,48E-07 5,61E-05 -1,68E-05 6,18E-04

18 -8,26E-06 6,21E-07 1,90E-06 1,46E-04 3,44E-05 6,10E-04

19 -3,59E-05 7,60E-06 1,04E-06 -1,38E-04 3,64E-05 6,55E-04

20 -4,84E-06 2,32E-06 1,83E-06 -1,98E-04 9,16E-06 6,92E-04

21 -3,38E-05 6,80E-06 -5,27E-06 -2,28E-05 2,02E-05 4,33E-04

22 -1,69E-05 3,93E-06 3,36E-06 -9,28E-05 2,05E-05 3,92E-04

23 -3,05E-05 5,79E-06 -2,90E-08 2,77E-04 -5,94E-05 5,54E-04

24 -3,45E-05 4,46E-06 2,41E-06 4,11E-04 3,30E-05 5,28E-04

93

25 -3,51E-05 5,24E-06 6,49E-06 -2,33E-05 -1,27E-05 4,98E-04

26 -2,27E-05 4,02E-06 1,10E-06 -1,68E-04 7,73E-06 5,45E-04

27 -3,76E-05 5,73E-06 -3,60E-06 -1,17E-04 -9,85E-06 1,74E-04

28 -2,50E-05 4,44E-06 5,04E-06 -1,50E-04 3,53E-05 1,57E-04

29 -3,72E-05 7,17E-06 2,66E-06 2,81E-04 -4,52E-05 3,21E-04

30 -4,04E-05 5,69E-06 4,29E-06 3,94E-04 5,66E-05 3,24E-04

31 -4,45E-05 8,89E-06 7,79E-06 -1,84E-05 1,51E-05 3,97E-04

32 -2,66E-05 5,86E-06 3,23E-06 -8,92E-05 1,64E-05 4,14E-04

33 -5,06E-05 1,06E-05 1,81E-06 -1,34E-04 3,51E-05 1,94E-04

34 -1,79E-05 4,90E-06 4,40E-06 -1,74E-04 -4,62E-06 1,76E-04

35 -5,26E-05 1,01E-05 1,81E-06 6,85E-05 -2,46E-05 2,15E-04

36 -2,45E-05 3,86E-06 4,99E-06 1,17E-04 1,50E-05 1,93E-04

37 -5,73E-05 1,17E-05 5,22E-06 -8,48E-05 9,88E-06 4,00E-04

38 -1,74E-05 3,80E-06 7,29E-07 -2,45E-05 5,69E-09 4,41E-04

39 -6,00E-05 1,29E-05 -3,63E-06 -2,84E-04 7,32E-05 1,86E-04

40 -1,55E-05 6,43E-06 5,86E-06 -4,58E-04 -7,64E-06 2,00E-04

41 -5,27E-05 9,72E-06 -7,60E-06 3,17E-04 -5,08E-05 3,58E-05

42 -4,82E-05 7,10E-06 2,63E-06 3,96E-04 6,39E-05 -3,03E-05

43 -5,35E-05 9,90E-06 8,71E-06 3,17E-04 -5,09E-05 2,88E-04

44 -4,92E-05 7,29E-06 4,16E-07 3,96E-04 6,29E-05 3,53E-04

45 -6,26E-05 1,35E-05 4,76E-06 -2,85E-04 7,23E-05 1,41E-04

46 -1,85E-05 7,01E-06 -2,80E-06 -4,58E-04 -1,03E-05 1,26E-04

47 -6,17E-05 1,26E-05 -4,07E-06 -8,64E-05 8,98E-06 -6,67E-05

48 -2,23E-05 4,77E-06 2,38E-06 -2,37E-05 -4,57E-06 -1,09E-04

49 -5,89E-05 1,14E-05 -6,27E-07 6,66E-05 -2,66E-05 1,27E-04

50 -3,14E-05 5,23E-06 -1,84E-06 1,16E-04 8,98E-06 1,47E-04

51 -5,88E-05 1,22E-05 -6,27E-07 -1,38E-04 3,33E-05 1,60E-04

52 -2,68E-05 6,66E-06 -1,16E-06 -1,71E-04 -1,30E-05 1,78E-04

53 -5,46E-05 1,09E-05 -6,50E-06 -2,23E-05 1,22E-05 -2,95E-05

54 -3,75E-05 8,02E-06 -2,79E-08 -9,27E-05 5,70E-06 -5,01E-05

55 -4,93E-05 9,72E-06 -1,63E-06 2,78E-04 -5,41E-05 8,84E-05

56 -5,34E-05 8,40E-06 -7,94E-07 4,08E-04 3,32E-05 7,04E-05

57 -5,16E-05 7,84E-06 5,46E-06 -7,21E-05 -1,55E-05 1,51E-04

58 -3,97E-05 6,66E-06 -2,18E-06 -1,57E-04 1,49E-05 1,89E-04

59 -5,16E-05 7,84E-06 -5,46E-06 -7,21E-05 -1,55E-05 -1,51E-04

60 -3,97E-05 6,66E-06 2,18E-06 -1,57E-04 1,49E-05 -1,89E-04

61 -4,93E-05 9,72E-06 1,63E-06 2,78E-04 -5,41E-05 -8,84E-05

62 -5,34E-05 8,40E-06 7,94E-07 4,08E-04 3,32E-05 -7,04E-05

63 -5,46E-05 1,09E-05 6,50E-06 -2,23E-05 1,22E-05 2,95E-05

64 -3,75E-05 8,02E-06 2,79E-08 -9,27E-05 5,70E-06 5,01E-05

65 -5,88E-05 1,22E-05 6,27E-07 -1,38E-04 3,33E-05 -1,60E-04

66 -2,68E-05 6,66E-06 1,16E-06 -1,71E-04 -1,30E-05 -1,78E-04

67 -5,89E-05 1,14E-05 6,27E-07 6,66E-05 -2,66E-05 -1,27E-04

68 -3,14E-05 5,23E-06 1,84E-06 1,16E-04 8,98E-06 -1,47E-04

69 -6,17E-05 1,26E-05 4,07E-06 -8,64E-05 8,98E-06 6,67E-05

70 -2,23E-05 4,77E-06 -2,38E-06 -2,37E-05 -4,57E-06 1,09E-04

71 -6,26E-05 1,35E-05 -4,76E-06 -2,85E-04 7,23E-05 -1,41E-04

72 -1,85E-05 7,01E-06 2,80E-06 -4,58E-04 -1,03E-05 -1,26E-04

73 -5,35E-05 9,90E-06 -8,71E-06 3,17E-04 -5,09E-05 -2,88E-04

74 -4,92E-05 7,29E-06 -4,16E-07 3,96E-04 6,29E-05 -3,53E-04

75 -5,27E-05 9,72E-06 7,60E-06 3,17E-04 -5,08E-05 -3,58E-05

76 -4,82E-05 7,10E-06 -2,63E-06 3,96E-04 6,39E-05 3,03E-05

77 -6,00E-05 1,29E-05 3,63E-06 -2,84E-04 7,32E-05 -1,86E-04

78 -1,55E-05 6,43E-06 -5,86E-06 -4,58E-04 -7,64E-06 -2,00E-04

79 -5,73E-05 1,17E-05 -5,22E-06 -8,48E-05 9,88E-06 -4,00E-04

80 -1,74E-05 3,80E-06 -7,29E-07 -2,45E-05 5,69E-09 -4,41E-04

81 -5,26E-05 1,01E-05 -1,81E-06 6,85E-05 -2,46E-05 -2,15E-04

94

82 -2,45E-05 3,86E-06 -4,99E-06 1,17E-04 1,50E-05 -1,93E-04

83 -5,06E-05 1,06E-05 -1,81E-06 -1,34E-04 3,51E-05 -1,94E-04

84 -1,79E-05 4,90E-06 -4,40E-06 -1,74E-04 -4,62E-06 -1,76E-04

85 -4,45E-05 8,89E-06 -7,79E-06 -1,84E-05 1,51E-05 -3,97E-04

86 -2,66E-05 5,86E-06 -3,23E-06 -8,92E-05 1,64E-05 -4,14E-04

87 -3,72E-05 7,17E-06 -2,66E-06 2,81E-04 -4,52E-05 -3,21E-04

88 -4,04E-05 5,69E-06 -4,29E-06 3,94E-04 5,66E-05 -3,24E-04

89 -3,76E-05 5,73E-06 3,60E-06 -1,17E-04 -9,85E-06 -1,74E-04

90 -2,50E-05 4,44E-06 -5,04E-06 -1,50E-04 3,53E-05 -1,57E-04

91 -3,51E-05 5,24E-06 -6,49E-06 -2,33E-05 -1,27E-05 -4,98E-04

92 -2,27E-05 4,02E-06 -1,10E-06 -1,68E-04 7,73E-06 -5,45E-04

93 -3,05E-05 5,79E-06 2,90E-08 2,77E-04 -5,94E-05 -5,54E-04

94 -3,45E-05 4,46E-06 -2,41E-06 4,11E-04 3,30E-05 -5,28E-04

95 -3,38E-05 6,80E-06 5,27E-06 -2,28E-05 2,02E-05 -4,33E-04

96 -1,69E-05 3,93E-06 -3,36E-06 -9,28E-05 2,05E-05 -3,92E-04

97 -3,59E-05 7,60E-06 -1,04E-06 -1,38E-04 3,64E-05 -6,55E-04

98 -4,84E-06 2,32E-06 -1,83E-06 -1,98E-04 9,16E-06 -6,92E-04

99 -3,36E-05 6,47E-06 -7,48E-07 5,61E-05 -1,68E-05 -6,18E-04

100 -8,26E-06 6,21E-07 -1,90E-06 1,46E-04 3,44E-05 -6,10E-04

mÉtodos para determinaÇÃo dos esforÇos … · cálculo dos esforços de protensão, porém esta...

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