MOVIMENTO DE ROTAÇÃO

CORPO RÍGIDO é um sistema de partículas no qual as partículas permanecem em posições fixas entre si

Exemplo

x

z

y

ROTAÇÃO DE UM CORPO RÍGIDO

Estudaremos a rotação de um corpo rígido em torno de um eixo fixo

O eixo fixo é denominado eixo de rotação

O sentido da rotação é dado pela regra da mão direita

negativopositivo

z

MOMENTO DA FORÇA ( ou TORQUE)

Quando empurramos uma porta, estamos aplicando uma força sobre a porta

como consequência a porta vai girar em torno dum eixo fixo que passa pelas dobradiças.

A tendência da força de rodar o corpo em torno de um eixo é medida por uma grandeza vectorial denominada momento da força (ou torque)

O momento da força é a causa dos movimentos rotacionais

É análogo a força que causa variações no movimento translacional

FrM

Definimos o momento da força por

O módulo do momento da força é sinrFM

M

F

rCorresponde ao produto da distância até o ponto de aplicação da

força e a componente perpendicular da força.

r

APLICAÇÃO DUMA FORÇA EM PONTOS DIFERENTES NUMA PORTA

A porta é fechada mais facilmente quando a força é aplicada na extremidade da porta

Quando fechar uma porta, experimente fechá-la, empurrando-a no centro da porta (Figura a) e depois, aplicando a mesma força, empurre a porta na extremidade (Figura b).

sinrFM

Arquimedes disse: “Dê-me uma alavanca que moverei o mundo”

O que é uma alavanca? É uma barra rígida apoiada (ponto de apoio O) utilizada para facilitar o deslocamento de um corpo pesado.

sinrFM LFFrM )sin(

A distância do ponto de apoio O, por onde passa o eixo de rotação, à linha de acção da força F, é denominada braço de alavanca, (L)

No movimento de translação do corpo rígido, todas as partículas sofrem o mesmo deslocamento durante o mesmo intervalo de tempo, de modo que todas possuem, em qualquer instante, a mesma velocidade e aceleração.

MOVIMENTO DE UM CORPO RÍGIDO

Um corpo rígido pode ter três movimentos

1º - O movimento de translação quando todos os pontos percorrem trajectórias paralelas

2º - O movimento de rotação quando todos os pontos percorrem trajectórias circulares

3º - Combinação do movimento de rotação e de translação

Movimento translacional + rotacional

Movimento rotacional puro

MOVIMENTO DE ROTAÇÃO E TRANSLAÇÃO DA TERRA

ENERGIA CINÉTICA ROTACIONAL

2

2

1iii vmK

ii rv

2222

2

1

2

1 iiiii rmrmK

22

total 2

1

iiirmK

Energia cinética de uma partícula do corpo rígido

Relação entre a velocidade tangencial e velocidade angular

Substituindo em iK

Energia cinética total Unidade: joule (J)

Não é uma nova forma de energia.

A forma é diferente porque é aplicada a um corpo em rotação

Cada partícula de massa do corpo rígido descreve uma trajectória circular de raio com velocidade tangencial

im

ir iv

Suponhamos um corpo rígido que gira ao redor de um eixo z

onde é o momento de inérciai

iirmI 2

2m kg: Unidade

2

2

1 IK R

MOMENTO DE INÉRCIA

O momento de inércia representa uma resistência ao movimento de rotação

No movimento rotacional o momento de inércia exerce o mesmo papel que a massa no movimento translacional

lim 2 20im i ii

I r m r dm

Podemos reescrever a expressão do momento de inércia em termos de dm

MOMENTO DE INÉRCIA DE ALGUNS CORPOS RÍGIDOS

Definimos inicialmente o momento angular de uma partícula com momento linear .

prL

Derivando o momento angular em relação ao tempo:

dt

pdrp

dt

rdpr

dt

d

dt

Ld

)(

=0

dt

pdf

como

Mfrdt

Ld

L

Note que a partícula não precisa estar girando em torno de O para ter momento angular em relação a este ponto a rotação não é necessária para o momento angular

p

prL

r p

m

é o momento angular instantâneo emrelação à origem O

L

MOSTRAREMOS QUE O MOVIMENTO ROTACIONAL TEM UMA LEI DE MOVIMENTO SEMELHANTE À SEGUNDA LEI DE NEWTON

L

O MOMENTO ANGULAR

A mesma relação é válida para um corpo rígido, em rotação em torno de um ponto O.

dt

LdM

e corresponde à um momento da força externo resultante M

análogo à segunda lei de newton

dt

pdf

ou

dt

LdM

A relação acima é válida também para um sistema de partículas onde o momento angular é a soma vectorial dos momentos angulares de cada partícula

em relação ao mesmo ponto fixo O

A soma dos momentos das forças internos são nulos

Suponhamos um corpo rígido que gira ao redor de um eixo z

O momento angular total do corpo rígido será

2

ii rmI

iii

i rvmL

prL

Lembrando que

como obtemos ii rv

)()( 2

ii

iiii

i rmrrmL

e é o momento de inércia

e o momento angular pode ser escrito como IL que é análogo à mvp

O momento de inércia representa uma resistência ao movimento de rotação

O MOMENTO ANGULAR DE UM CORPO RÍGIDO

CONSERVAÇÃO DO MOMENTO ANGULAR

constante 0 Lfrdt

LdM

Quando

se 0 ) fi

ou 0 ) rii

0M

ou constanteL

fi LL

Análogo ao que acontece com o momento linear fi pp

FORÇAS CENTRAIS, que são forças da forma

urfrF

)()(

Neste caso:

iii) quando a força é colinear com o vector posição teremos também

constante

0)(

L

urfrdt

LdM

0M

Exemplo:

EXEMPLO 1: CONSERVAÇÃO DO MOMENTO ANGULAR

No sistema homem - halteres só há forças internas e, portanto:

ffii IIIL constante

iI fi fI

Com a aproximação dos halteres ( < ) a velocidade angular do sistema aumentafI iI

EXEMPLO 2: CONSERVAÇÃO DO MOMENTO ANGULAR

Momento angular inicial do sistema roda de bicicleta-homem (+ banco)

ibicbici ILL

Agora o homem inverte o eixo de rotação da roda de bicicleta

ibic LL

2 21,2 kg.m ; 6,8 kg.m e 3,9 rot/sbic tot iI I

Dados

Queremos calcular a velocidade angular final do sistema após o homem inverter o eixo de rotação da roda de bicicleta

EXEMPLO 2 (cont): CONSERVAÇÃO DO MOMENTO ANGULAR

Há conservação do momento angular uma vez que só há forças internas no sistema

ibictot II 2

imen

iimenif

LL

LLLLL

2

Momento angular final do sistema:

imenmenbicf LLLLL

rot/s4,12

tot

ibic

I

I

No caso da mergulhadora da figura ao lado o CM segue um movimento parabólico

e o momento angular da nadadora é constante durante o salto. Juntando braços e pernas, ela pode aumentar sua velocidade angular em torno do eixo que passa pelo CM, às custas da redução do momento de inércia em relação a este eixo

L

Mg

L

gM

L

Exemplo 3: CONSERVAÇÃO DO MOMENTO ANGULAR

i

iirmI

const.0

Ldt

Ld

onde

Idt

dII

dt

d

dt

dL )(

QUANDO O MOMENTO ANGULAR VARIA COM O TEMPO

ou

IM

que é semelhante à equação de Newton

amF

Velocidade do centro de massa

CM

ds dv R R

dt dt

CMCMdv d

a R Rdt dt

ROLAMENTO DE UM CORPO RÍGIDO

Aceleração do centro de massa

Consideramos que um cilindro gira de um ângulo . O centro de massa desloca-se de rs

PARA O MOVIMENTO DE ROLAMENTO PURO

A Figura mostra as velocidades translacionais dos vários pontos sobre o cilindro

Observe que a velocidade translacional (velocidade linear) de cada ponto do cilindro está numa direcção perpendicular à linha que une esse ponto ao ponto de contacto

O ponto P’ desloca-se com uma velocidade

CM2vv

22

2

1

2

1CMCM vMIK

ENERGIA CINÉTICA DE ROLAMENTO

É a soma da energia cinética de rotação em torno do CM com a energia cinética associada ao movimento de translação do CM.

CMv v R

COMBINAÇÃO DO MOVIMENTO DE TRANSLAÇÃO E ROTAÇÃO

Translação pura Rotação pura

O ponto de contacto está sempre em repouso

Translação + Rotação

=

CMv

CMv

CMv

2

0v

Rv

Rv

CMv

0v CMv

centro do abaixo

centro do acima

Rv

Rv

FOTOGRAFIA DE UMA RODA EM ROLAMENTO

Os raios de cima estão menos nítidos que os de baixo porque estão se movendo mais depressa

Exemplo 1 Rolamento sobre um plano inclinado

(1) 0cos MgN

Na direção y:

Na direção x:

(2) sin CMMaFMg a

(3) CMIRFa

Da condição de rolamento sem deslizamento:

(4) CM

R

a

CMv

aFx

y

CMv

sinMg

gM

cosMgTiro o valor de em (3): / 2

CM RaIF CMa aF

Substituindo em (2) a fica:

sin CMCM2

CM MaaR

IMg

Ra CM N

A força de atrito produz um momento da força em relação ao CM:

sin

sin

2

CMCM g

R

IM

Mga

e

7/5

3/2

2/1

2

CM

R

IM

M

anel

cilindro

esfera

1

sin

)/(

sin

CM

22

CM

2

CM

CM2

CM

I

MRMg

R

I

RIM

Mga

R

IFa

Temos ainda :

assim cos1

sin cos

CM

2max Mg

I

MRMg

MgFF eeea

re I

MR tan)1(tanCM

2

ângulo máximo (limiar) para que haja rolamento sem deslizamento

x

y

CMvN

sinMg

gM

cosMg

aF

Exemplo 1 (continuação)

r

À medida que aumenta a inclinação do plano a força de atrito estático necessária para evitar o deslizamento vai aumentando. No limite, antes do deslizamento, temos maxea FF

e

ROTAÇÃO EM TORNO DE UM EIXO FIXO

Tabela de equivalências

Rotação em torno de um eixo fixo Movimento de translação

Energia cinética

Equilíbrio

2a lei de Newton

2a lei de Newton

Momento

Conservação

Potência

2

2

1 IKR2

2

1vmK

amf

0

f

dt

pdf

IL vmp

fi pp

vFPMP fi LL

0

M

IM

dt

LdM

massa mMomento de inércia I