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Manuel Vaz Guedes

O Motor de Indução Trifásico

modelização

F a c u l d a d e d e E n g e n h a r i a d a U n i v e r s i d a d e d o P o r t o

1993

© Manuel Vaz Guedes Rascunho_1993


modelização

Manuel Vaz Guedes(Prof. Associado Agregado)

F a c u l d a d e d e E n g e n h a r i a

U n i v e r s i d a d e d o P o r t o

O motor de indução trifásico é a máquina eléctrica de corrente alternada mais utilizada nos

sistemas de accionamento electromecânico. Devido às suas qualidades — robustez e simplicidade

de manutenção — tem vindo a substituir os motores eléctricos de colector de lâminas nas suas

aplicações típicas, e devido a um aumento do conhecimento do seu princípio de funcionamento

foi possível desenvolver novas estratégias de controlo que permitem uma boa adaptação da suas

características de funcionamento às necessidades da carga mecânica accionada.

Nas actuais condições de funcionamento, o estudo do motor de indução trifásico necessita de

utilizar um novo modelo, capaz de permitir a análise de condições de funcionamento como as

que são criadas pela alimentação do motor com conversores electrónicos de potência: uma

sucessão permanente de estados transitórios. O que não impede a continuação da aplicação do

Método Simbólico [MCB–1] na formulação desse modelo matemático.

ψs = Ls·is + M·irψr = M·is + Lr·ir

us = Rs·is + dψs

dt + jωg ·ψs

ur = 0 = Rr·ir + dψr

dt + j(ωg – ωr)·ψr

T = k·Re(j ψs·i*s) = k·(ψs × is)

Fig. 1 – Modelização do motor de indução trifásico

O motor de indução trifásico é uma máquina eléctrica de corrente alternada, com o circuito

eléctrico de uma parte ligado a um sistema de alimentação trifásico, e com o circuito eléctrico da

outra parte submetido a fenómenos de indução magnética. Normalmente, o circuito eléctrico

O Motor de Indução Trifásico — modelização R– 2

© Manuel Vaz Guedes 1993

indutor encontra-se no estator da máquina, enquanto que o circuito induzido está no rotor da

máquina.

Na modelização do motor de indução trifásico têm sido utilizados todos os métodos de estudo das

máquinas eléctricas: Teoria Clássica, Teoria Generalizada e Método dos Fasores Espaciais. No

entanto, atendendo a que se pode considerar, mesmo por aproximação, que as grandezas

eléctricas e magnéticas do motor de indução trifásico têm variação sinusoidal, são preferidos os

métodos de modelização baseados no Método Simbólico — representação de grandezas com

variação sinusoidal por quantidades complexas (fasores).

A aplicação da Teoria Clássica na modelização do motor de indução

trifásico permite através de considerações de natureza física [CCC–2],

como a suposição de uma velocidade de rotação constante e da

alimentação do motor por um sistema trifásico e simétrico de tensões,

ou por uma analogia com o transformador eléctrico, desenvolver um circuito eléctrico

equivalente por fase. Desse circuito são deduzidas equações que permitem determinar as

grandezas características do funcionamento do motor como uma função dos parâmetros

eléctricos do circuito. O conjunto de suposições, em que se baseia a dedução do circuito eléctrico

equivalente, reduz muito o domínio de validade do modelo obtido, além de que o modelo obtido

só tem aplicação no estudo do regime permanente sinusoidal do motor de indução trifásico.

A Teoria Generalizada das Máquinas Eléctricas [JON–1] [CCC–3] permite construir um modelo

matemático, que traduzindo-se por um conjunto de equações diferenciais matriciais, tem uma

representação simples, uma dedução fundamentada em métodos físicos e matemáticos seguros, e

permite uma resolução numérica das equações fundamentais. Com este modelo é possível

estudar o regime permanente e o regime transitório de funcionamento do motor de indução

trifásico, mesmo o regime criado pela alimentação do motor com um conversor electrónico de

potência, [KRA–1].

regime permanente

regime transitório

comportamento dinâmico

t

ψ = [L]·i

u = [R]·i + p ψ

T el = J·p θ + D·p θ + T r2

T

s

O Método dos Fasores Especiais [STE–1] é um método de modelização de máquinas eléctricas que

apresenta algumas características interessantes: é, na actualidade, frequentemente aplicado na

análise do motor de indução trifásico [KOV–1], o que já permitiu o desenvolvimento de novas

estratégias de controlo para esse motor; permite considerar grandezas com formas de onda de

distribuição não sinusoidal no espaço, resultantes da distribuição dos condutores eléctricos nas

ranhuras ou das irregularidades do entreferro da máquina; é um método simbólico, o que o

insere na melhor tradição do estudo das Máquinas Eléctricas na Faculdade de Engenharia da

Universidade do Porto, [MCB–1], [CCC–1], [CAS–1], [MVG–5].

Em todos os modelos desenvolvidos para o motor de indução trifásico assumem especial

importância os parâmetros concentrados que caracterizam diferentes propriedades eléctricas,

magnéticas e mecânicas deste sistema electromecânico de conversão de energia, [MVG–3]. A sua

determinação, assim como os métodos adoptados na estimação desses parâmetros são, ainda

X R

Ro Xo [(1 – s) / s ]·R2



hoje, motivo de investigação, apesar de muito já se encontrar normalizado, [IEEE–112] [JEC–37].

Na modelização do motor de indução trifásico os aspectos construtivos (1.) do motor têm de ser

descritos para que se possam estabelecer as condições de estudo (2.) que restringem a validade do

modelo obtido. A modelização (3.) do motor pode, então, ser feita aplicando o Método dos Fasores

Espaciais na obtenção das equações fundamentais do motor. Com essas equações faz-se o estudo

do regime permanente sinusoidal (4.) , e compara-se as considerações efectuadas na obtenção do

modelo obtido com as considerações utilizadas na obtenção de outros modelos (5.) por outros

métodos, assim como as suas relações. Apresentam-se também os métodos de estimação dos

parâmetros (6.) do modelo obtido.

1. Aspectos Construtivos do Motor de Indução Trifásico

O motor de indução trifásico é uma máquina eléctrica rotativa de corrente alternada,

assíncrona, cuja construção respeita o estabelecido nas normas, [CEI–34-1] e [MG–1], e é

condicionada pelos meios de produção do fabricante. Embora esta máquina eléctrica possa ser

construída para uma gama de potências muito ampla, neste estudo apenas se consideram

máquinas para potências superiores a 1 kW e inferiores a 100 kW; com alturas de eixo de 71 mm a

250 mm.

Fig. 2 – Aspectos construtivos de um Motor de Indução Trifásico

Um motor de indução trifásico tem as seguintes partes construtivas:

Es ta to r

O estator do motor de indução trifásico é constituído por um

empacotamento de chapa de ferro magnético silicioso, com

baixa densidade de perdas magnéticas por exemplo: s = 0,5 mm ; 3

W/kg a 1 T que forma o circuito magnético estatórico. As chapas

têm uma forma de coroa circular ranhurada por exemplo: 36 ou

48 ou 54 ranhuras na periferia interior; estão revestidas de um

verniz isolante. As ranhuras são semifechadas, e destinam-se a

conter os condutores do circuito eléctrico estatórico. Entre

conjuntos de chapas magnéticas podem existir canais de

ventilação, que servirão para a passagem do ar de refrigeração.

O circuito eléctrico estatórico é formado por um enrolamento com três bobinas afastadas no

espaço de 2π/3 rad. elect., e destinadas a serem alimentadas por cada uma das fases de um sistema

trifásico, [CCC–2]. Os condutores eléctricos que formam as diversas espiras das bobinas são



isolados a esmalte, estão dispostos a duas camadas na ranhura, encontram-se isolados do

material magnético por um material isolante plástico, que forra a parte inferior da ranhura, e

estão travados na ranhura por regletes plásticas.

R o to r

O núcleo magnético rotórico é, também, folheado e construído com o mesmo

tipo de chapa magnética utilizada no núcleo estatórico. As chapas

magnéticas têm uma forma de coroa circular que possui ranhuras fechadas

perto da periferia exterior. O número de ranhuras rotóricas por exemplo: 34

está relacionado com o número de ranhuras estatóricas para evitar o

aparecimento de ruído no funcionamento do motor.

O enrolamento rotórico pode ser do tipo “gaiola de esquilo” ou pode ser bobinado. O enrolamento

rotórico em gaiola é constituído por uma gaiola de alumínio, dopado com uma pequena

percentagem de impurezas, que é obtida por injecção. Trata-se de um circuito eléctrico polifásico

em curtocircuito permanente, constiuído com um material com muito menor resistividadeρAl = 3,2·10–8 Ωm do que o material ferromagnético em que está envolvido ρFe = 100·10–8 Ωm; por

isso os condutores da gaiola não estão envolvidos por qualquer tipo de material isolante, (ver

Apêndice A).

Fig. 3 – Desenho esquemático dos anéis de um circuito rotórico em gaiola

Quando o circuito rotórico é em cobre as barras de cobre ρCu = 1,72·10–8 Ωm são colocadas

manualmente nas ranhuras, e os anéis de topo são ligados às barras por soldadura a alta

frequência. As barras são travadas nas ranhuras para evitar vibrações durante o funcionamento

do motor de indução trifásico.

O circuito eléctrico de um motor de indução trifásico com rotor bobinado contacta com a parte

fixa da máquina através de um sistema colector de anéis–escovas. Desta forma é possível alterar o

valor dos parâmetros (resistência rotórica) durante o funcionamento da máquina.

Es trutura M e c ânic a

O rotor da máquina é colocado,

a quente, no veio da máquina,

sendo fabricado, por

torneamento, em aço. O veio

apoia-se em mancais de

rolamento colocados nas

tampas da carcaça. O motor de

indução trifásico pode ser

construído para funcionar

com o eixo em posição

horizontal, ou em posição vertical, ou inclinado.



O motor de indução trifásico pode estar montado com patas, ou sobre flange.

A parte rotórica e a parte estatórica da máquina encontram-se protegidas do meio exterior por

uma carcaça, que pode ser de alumínio (com uma razoável percentagem de impurezas) injectado a

baixa ou a alta pressão, de ferro fundido ou em chapa de aço soldada.

Fig. 4 – Motor de indução trifásico com o rotor bobinado, carcaça em chapa de aço soldada

2. Condições de Estudo

O motor de indução trifásico é uma máquina eléctrica demasiado complicada para poder ser

integralmente modelizada de uma forma acessível e cómoda. Por isso, estabelece-se um conjunto

de condições de estudo, simplificativas, que, eventualmente, poderão ser abandonadas, mediante

uma extensão do método de modelização matemática adoptado.

b

a

b'

c

a'

c'

Fig. 5 – Representação esquemática de um motor de indução trifásico

2.1 Hipó te s e s de Es tudo

Atendendo aos aspectos construtivos do motor de indução trifásico considera-se que é

uma máquina eléctrica, com o entreferro completamente liso e mecanicamente

equilibrada. Os circuitos eléctricos do estator são equilibrados e iguais para cada uma



das fases. O enrolamento do rotor é equilibrado e tem o mesmo número de pares de pólos

que o enrolamento estatórico.

Apesar desta máquina eléctrica ser construída com vários pares de pólos p, por exemplo:

2 ou 4 ou 6 o estudo da máquina é feito recorrendo à máquina eléctrica bipolarequivalente, com o auxílio da transformação entre ângulos geométricos (θgeom) e

ângulos eléctricos (θel); θel = p·θgeom.

Apesar dos motores de indução trifásicos, essencialmente os de potência elevada,

trabalharem com uma tensão de alimentação com um valor de alta tensão, na gama da

média tensão, a maioria funciona na gama de tensão da redes de distribuição

domiciliária ou industrial (220/380 V). Considera-se, por isso, que a tensão não é

suficientemente elevada, pelo que a energia electromagnética armazenada no espaço da

máquina é magnética, desprezando-se a energia electrostática. Desprezam-se por isso,

no funcionamento normal, quaisquer efeitos de capacidades distribuídas entre os

enrolamentos, ou entre os enrolamentos e a massa metálica da estrutura da máquina.

O motor de indução trifásico, como qualquer máquina electromagnética, tem o seu

circuito magnético construído com materiais ferromagnéticos, que têm perdas

magnéticas. No entanto, considera-se que a curva de magnetização do material é

unívoca, isto é, o material ferromagnético não tem histerese magnética. Também se

considera que o circuito magnético está dimensionado de tal forma que nunca ocorre a

saturação do circuito. O seu ponto de funcionamento encontra-se na parte rectilínea da

característica de magnetização, o que implica que existe sempre uma relação constante

entre as correntes eléctricas e o fluxo magnético por elas criado. Note-se que esta

condição de estudo já não é imposta nos modernos estudos que envolvem a modelização

do motor de indução trifásico, [CAS–1] [VAS–1].

Surgindo nesta máquina grandezas eléctricas com frequência variável, principalmente

no rotor, considera-se que esta tem sempre um valor suficientemente baixo para

permitir que sejam desprezados todos os fenómenos de efeito pelicular e de efeito de

proximidade nos condutores eléctricos dos diferentes enrolamentos, assim como é

desprezada a presença de correntes de Foucault. Note-se que, também, esta condição de

estudo já não é imposta nos modernos estudos que envolvem a modelização do motor de

indução trifásico, [CAS–1].

A força magnetomotriz indutora, criada pelo circuito eléctrico do estator, como o

entreferro é constante e pequeno, tem uma distribuição periódica no espaço do

entreferro com uma forma sinusoidal, que possui o seu valor máximo segundo o eixo

polar. Quando essa forma de onda espacial se apresenta distorcida, porque é periódica, é

decomponível em série de termos harmónicos, série de Fourier, e atendendo a que a

forma de onda é simétrica relativamente ao eixo polar, F(θ) = F(–θ), só existem termos

harmónicos em cosseno e de ordem ímpar. Como a amplitude de cada termo harmónico

diminui com o aumento da sua ordem, desprezam-se todos os termos além do

fundamental. Por isso, considera-se que a forma de onda da força magnetomotriz tem

uma variação sinusoidal no espaço, com o valor máximo segundo a direcção do eixo

polar. Não se considera o efeito dos harmónicos devidos à variação da relutância do

circuito magnético, provocada pelas ranhuras dos estator ou do rotor: os harmónicos de

ranhura.

Como se considerou que é linear a relação entre a força magnetomotriz e a indução



magnética, também é sinusoidal a variação espacial da indução magnética e do fluxo

magnético no entreferro da máquina. A força electromotriz que se induz no circuito

eléctrico rotórico da máquina tem uma variação sinusoidal no tempo.

O motor de indução trifásico, idealizado através das condições de estudo acima expostas, pode ser

representado por um conjunto de circuitos eléctricos, interligados magneticamente, que se

encontra representado na figura 6, como se poderá verificar através da concordância das

grandezas determinadas com auxílio deste modelo, utilizando os métodos matemáticos

subjacente ao Método dos Fasores Espaciais, e a sua actual contraparte.

a

b

ω r

c

1

2

3b

a

b'

c

a'

c'

Fig. 6 – Esquema eléctrico de estudo para o motor de indução trifásico

O circuito eléctrico estatórico do motor síncrono trifásico é representado por três bobinas, (a,b,c),

colocadas no espaço segundo os três eixos de um sistema de referência (s), ou referencial,

complanares e afastados no espaço de 2π/3 rad elect. O circuito rotórico está referido a um

referencial (r) com três eixos complanares e afastados no espaço de 2π/3 rad elect. Este circuito

eléctrico rotórico é constituído por tês bobinas (1,2,3) em curtocircuito, representativas do

enrolamento em gaiola. O sistema eléctrico rotórico, conjuntamente com o referencial (r), rodamcom uma velocidade angular eléctrica ωr = dθr/dt = p·dθrgeom/dt.

q Para este esquema electromecânico, representativo do motor síncrono trifásico,

estabelecem-se as seguintes convenções de sinal:

a o sentido da corrente eléctrica numa bobina é o da corrente que entra na

bobina pelo condutor mais próximo do centro do esquema eléctrico;

b uma corrente eléctrica de sentido positivo cria um fluxo magnético com

sentido positivo, isto é segundo o eixo da bobina e com o sentido radial

centrífugo indicado pela seta do eixo;

c uma força electromotriz induzida tem sentido positivo quando, fechada

sobre uma resistência, faz circular uma corrente eléctrica com sentido

positivo, então e = – dψ/dt;



d os circuitos eléctricos do estator são considerados consumidores,

verificando--se, para os valores instantâneos das grandezas, que u = R·i – e;

e os circuitos eléctricos do rotor são considerados consumidores, apesar de

estarem curtocircuitados nos terminais, verificando-se, para os valores

instantâneos das grandezas, que u = 0 = R·i – e;

f o binário electromagnético é positivo quando a máquina eléctrica absorve

energia mecânica, com uma velocidade de sentido positivo, que é o sentido

directo ou trigonométrico, (gerador).

A máquina de indução trifásica, funcionando como motor, apresenta-se como uma máquina

eléctrica simplesmente excitada. Para se estabelecerem as respectivas equações fundamentais,

que regem o seu funcionamento, é necessário definir os parâmetros característicos dos diversos

componentes eléctricos e mecânicos, [MVG–3].

2.2 Pa râm e tro s

As diversas partes constituintes do motor de indução trifásico podem ser caracterizadas por

parâmetros eléctricos e por parâmetros mecânicos, [MVG–3].

2. 2. 1 P arâmet ros E léc t r icos

Os diferentes circuitos eléctricos (ver Fig. 6) , ligados magneticamente, são caracterizados por

parâmetros. Esses parâmetros eléctricos são resistências e indutâncias, que devido às condições

de estudo estabelecidas para esta máquina são parâmetros concentrados, lineares e constantes.

As bobinas eléctricas do estator (indutor) da máquina, que são percorridas pela corrente eléctrica

de carga, apresentam uma resistência eléctrica que se considera constante, porque não se admite

a variação da temperatura durante o tempo de estudo do seu regime de funcionamento, e se

considera que não existe efeito pelicular ou de proximidade nos condutores. Devido às condições

de estudo, , considera-se que as resistências dos diferentes circuitos são iguais,

fl Ra = Rb = Rc = Rs (1)

Também os circuitos eléctricos rotóricos possuem uma resistência eléctrica, que, pelas condições

de estudo é representada por,

fl R1 = R2 = R3 = Rr (2)

Os coeficientes de auto-indução e de indução mútua dos circuitos eléctricos estatóricos e rotóricos

são determinados atendendo à distribuição da força magnetomotriz criada por cada bobina,

[CCC–3].

Considerando o enrolamento do estator, formado por três bobinas afastadas no espaço de 2π/3

rad elect, verifica-se que o circuito magnético percorrido pelo fluxo totalizado criado por

qualquer uma das bobinas é sempre o mesmo — o que se traduz por um relutância magnética R

constante — devido à simetria do circuito magnético e às suas propriedades magnéticaslineares .

Admitindo que a distribuição espacial de força magnetomotriz é sinusoidal, ou que sendo

periódica, se pode representar apenas pelo termo fundamental da sua decomposição em série de

Fourier, [MVG–2], tomando como referência o eixo magnético que atravessa a bobina a, aexpressão para a respectiva força magnetomotriz é: fa (θ) = Fa·cos(θ) = Ne·ia·cos(θ), em que Ne é o



número efectivo de espiras da bobina a.

O fluxo médio por espira da bobina a é igual a φa = (Fa/R)·cos(θ) = (Ne·ia/R)·cos(θ) mais o fluxo de

fugas que apenas envolve a bobina a, φσ; como o ângulo α, entre o eixo da bobina e o eixo do fluxo

produzido pela bobina, é nulo (θ = 0), resulta que: φa = (Ne·ia/R) + φσ.

O fluxo totalizado ψa, que percorre o eixo magnético a, é constituído pelo contributo da boina a

para o fluxo comum (ou de magnetização ψam) e pelo fluxo totalizado de fugas ψσ,

ψa = Ne·φa = Ne·(Ne·ia/R) + ψσ.

A relação entre o fluxo totalizado ψa e a corrente eléctrica que o cria ia , é o coeficiente de

auto–indução da bobina a. Fazendo Laa = (Ne2/R) e Lsσ = ψσ/ia (o que implica uma relação constante

entre o fluxo de fugas da bobina a e a corrente eléctrica que o cria), obtém-se um valor constante nas

condições de estudo adoptadas,

fl La = Laa + Lsσ = Lsm + Lsσ (3)

Os coeficientes de auto-indução das outras bobinas podem obter-se da mesma forma:Lb = Lbb + Lsσ = Lsm + Lsσ, e Lc = Lcc + Lsσ = Lsm + Lsσ. Devido à simetria dos diversos percursos

magnéticos e ao equilíbrio do estator ,

fl La = Lb = Lc = Lss (4)

ib

ψab

a

b

i1

ψa1

a

1

ia

ψs

ψa

a

α r

Fig. 7 – Distribuição do fluxo magnético totalizado

Considerando que apenas circula corrente eléctrica na bobina estatórica b, e que nas restantesbobinas a corrente é nula, a relação entre o fluxo totalizado que atravessa a bobina a, ψab, e a

corrente eléctrica que circula na bobina b, ib, é o coeficiente de indução mútua Mab.

A força magnetomotriz criada pela bobina b e que atravessa a bobina a, é: fab(θ) =

= Fb·cos(2π/3) = Ne·ib·cos(2π/3).

O fluxo totalizado ψab, devido à corrente eléctrica ib, que percorre o eixo magnético a, é

ψab = Ne·φab = Ne·(Ne·ib/R)·cos(2π/3) = (–1/2)·(Ne2/R)·ib.

A relação entre o fluxo totalizado ψab e a corrente eléctrica que a cria ib, é o coeficiente de

indução mútua Mab = (–1/2)·(Ne2/R). Trata-se, também, de um valor constante nas condições de

estudo adoptadas.

Devido à simetria do circuito magnético da máquina e das bobinas é:

fl Mab = Mbc = Mca = Mba = Mcb = Mac = (–1/2)·Laa = (–1/2)·Lbb = (–1/2)·Lcc (5)

e,

fl Mab = Mbc = Mca = Mba = Mcb = Mac = Ms



Por um raciocínio análogo pode-se determinar o valor dos coeficientes de auto-indução e de

indução mútua do rotor.

A relação entre o fluxo totalizado ψ1 e a corrente eléctrica que a cria i1 , é o coeficiente de

auto–indução da bobina 1: Fazendo L11 = (Ner2/R) e Lrσ = ψσ/i1, obtém-se um valor constante nas

condições de estudo adoptadas,

fl L1 = L11 + Lrσ = Lrm + Lrσ (5)

Os coeficientes de auto-indução das outras bobinas rotóricas podem obter-se da mesma forma: Lb= Lbb + Lrσ = Lrm + Lrσ, e Lc = Lcc + Lrσ = Lrm + Lrσ. Devido à simetria dos diversos percursos

magnéticos e ao equilíbrio do estator ,

fl L1 = L2 = L3 = Lrr (6)

A relação entre o fluxo totalizado ψ12 e a corrente eléctrica que a cria i2 , é o coeficiente de

indução mútua M12 = (–1/2)·(Ner2/R). Trata-se, também, de um valor constante nas condições de

estudo adoptadas.

Devido à simetria do circuito magnético da máquina e do enrolamento rotórico é:

fl M12 = M23 = M31 = M21 = M32 = M13 = (–1/2)·L11 = (–1/2)·L22 = (–1/2)·L33 (7)

e,

fl M12 = M23 = M31 = M21 = M32 = M13 = Mr

Os coeficientes de indução mútua entre uma bobina de fase do rotor e uma bobina de fase doestator têm uma variação sinusoidal com o ângulo θr entre as bobinas:

fl Msr·cos(αr) = Mrs·cos(θr) (8)

Os restantes coeficientes são obtidos atendendo à posição relativa das bobinas, afastadas de 2π/3rad elect.: Msr·cos(θr), Msr·cos(θr + 2π/3), Msr·cos(θr + 4π/3)

Os parâmetros eléctricos do motor de indução trifásico são:

estator

Ra = Rb = Rc = Rs

La = Lb = Lc = Lss

Mab = Mbc = Mca = Mba = Mcb = Mac = Ms

Lss = Lsm + Lsσ Ms = – Lsm/2

rotor

R1 = R2 = R3 = Rr

L1 = L2 = L3 = Lrr

M12 = M23 = M31 = M21 = M32 = M13 = Mr

Lrr = Lrm + Lrσ Mr = – Lrm/2

estator–rotor

Msr·cos(θr), Msr·cos(θr + 2π/3), Msr·cos(θr + 4π/3) (9)

2. 2. 2 P arâmet ros Mecân icos

Os parâmetros mecânicos característicos do motor de indução trifásico são o coeficiente de atrito



D, e o momento de inércia J. Estes parâmetros são responsáveis, respectivamente, pelos bináriode atrito Ta, e pelo binário de inércia TJ.

Ta = D·(d(θr/p)/dt) = D·(ωr/p) TJ = J·(d2(θr/p)/dt2) = J·((1/p)·(dωr/dt))

Em alguns estudos pode considerar-se que o coeficiente de atrito tem um valor que torna obinário de atrito desprezável face ao binário de inércia da máquina (Ta « TJ), ou ao binário de

inércia da máquina adicionado do binário de inércia da carga reduzido ao veio da máquina.

3. Modelização

Considerando a complexidade de todos os aspectos construtivos, já apresentados em (1.) , é

extremamente difícil efectuar o estudo do motor de indução trifásico. Por isso, recorre-se a uma

representação do motor através da abstracção da realidade complexa que é um motor de indução

trifásico; isto é, constroi-se um modelo que representa essa realidade com uma aproximação

aceitável.

Atendendo à utilização a dar ao modelo do motor de indução trifásico, procura-se construir um

modelo descritivo, quantitativo e esquemático. O que se traduz pela construção de um modelo

matemático contínuo, que terá um domínio de validade bem definido.

A modelização do motor de indução trifásico é feita recorrendo a um Método Simbólico, como o

Método dos Fasores Espaciais, que é, actualmente, o mais indicado para a modelização de uma

máquina eléctrica alimentada por conversores electrónicos de potência.

3.1 O M é to do do s Fas o re s Es pac ia is

A utilização de um Método Simbólico na modelização das máquinas eléctricas de corrente

alternada, [MCB–1], tem grandes vantagens. Por isso, foi um método de modelização que,

considerando a variação sinusoidal no tempo das grandezas eléctricas e magnéticas

fundamentais, teve grande aplicação na representação do motor de indução trifásico por um

circuito eléctrico equivalente por fase. No entanto, esse modelo permitiu, apenas, o estudo do

funcionamento do motor de indução trifásico em regime permanente.

Na actualidade, o motor

de indução trifásico é

alimentado por um

conversor electrónico

de potência, o que

implica que o seu

regime de

funcionamento é uma

sucessão permanente de

estados transitórios. Para efectuar o estudo do funcionamento do motor de indução trifásico

nesse regime peculiar, utiliza-se o Método dos Fasores Espaciais — representação por uma

quantidade complexa de uma grandeza física com variação sinusoidal no espaço, [STE–1].

R

S

T

Rectificador Inversor

L f

Motor de Indução

M

√

3



Método dos Fasores Espaciais

No entreferro das máquinas eléctricas distribuem-se ondas degrandezas eléctricas e magnéticas com desenvolvimentosinusoidal no espaço. Quando o desenvolvimento dessas ondasnão é sinusoidal, é periódico, e pode ser representado por umasérie de termos harmónicos, [STE–1].

Uma grandeza física, qualquer, f terá uma representação local noespaço dada pela expressão f(α)= F·cos(α – αo), em que

• F é o valor da medida da grandeza

• (α – αo) é o ângulo de direcção ou, simplesmente, direcção.

Considerando que o entreferro da máquina eléctrica se encontranum plano complexo de Gauss, em que o centro do referencialRe–Im coincide com o eixo do veio da máquina, e os ângulossão medidos em radianos (eléctricos), no sentido trigonométrico,a expressão do valor local da grandeza em estudo pode serrepresentada, recorrendo ao método simbólico, [MCB–1], por:

f(α) = Re[F cos(α – αo) + jF sen(α – αo)] =

= Re[F exp(j (α – αo)]

= Re[F exp(j (αo)·exp(–jα )] = Re[ f r*(α)]

Desta forma, a grandeza f(α) é expressa pelo fasor espacial f ,

definido como: f = F·exp(jαo).

Trata-se da representação, sob a forma de um número complexo,de uma grandeza física que tem um variação sinusoidal noespaço.

A medida do fasor f é proporcional à amplitude da grandeza localf(α) e a sua posição no plano complexo coincide com a posiçãoespacial de qualquer máximo da grandeza.

0

α αoR e

Im

f = F·exp(jαo)

r = 1·exp(jα )

Re

Imf

rαf ( )

Num motor de indução trifásico as diferentes bobinas (a, b, c) estatóricas são percorridas,respectivamente, por correntes eléctricas de valor instantâneo: ia, ib, ic.

Como a bobina de cada fase tem um distribuição

sinusoidal no espaço, a distribuição (linear) da

corrente eléctrica, que circula em cada bobina,

tem uma distribuição sinusoidal (suposta

contínua ≡ banda de corrente) ao longo do espaço

do entreferro. Por isso, a corrente eléctrica de

cada bobina pode ser representada por um fasor

espacial num referencial ligado ao estator (s),

I sa = ia·exp(j 0) = 1·ia

I sb = ib·exp(j 2π/3) = a·ib

I sc = ic·exp(j 4π/3) = a2·ic

em que o operador a = exp(j 2π/3).

Num determinado instante, e qualquer que seja

a variação no tempo da corrente eléctrica i(t), o

valor máximo positivo de uma dada corrente

a

b

c

0

2π/3

4π/3



eléctrica encontrar-se-á numa direcção do espaço complexo que coincide com a do respectivofasor espacial ( I a ou I b ou I c).

A acção simultânea das três correntes eléctricas no circuito estatórico da máquina, sobrepõe-se,atendendo a que não existe neutro acessível pelo que se verifica que ia + ib + ic = 0. O resultado

da acção das tês correntes é representado por um fasor espacial trifásico, ou simplesmente fasor

espacial, que se define como:

→ i = (2/3)·( I sa + I sb + I sc) = (2/3)·(ia + a·ib + a2·ic) (10)

em que o factor (2/3) resulta da escolha do tipo de transformação linear entre o espaço real e o

espaço complexo, [MVG–5].

O fasor espacial da corrente eléctrica i representa a direcção do eixo da distribuição sinusoidal

de corrente eléctrica no entreferro da máquina, [NAU–1].

Na definição do fasor espacial das correntes

eléctricas está-se, simultaneamente, a construir uma

quantidade complexa — o fasor espacial — que é um

vector bidimensional num domínio complexo:

→ i = iD + j iQ ≡ iD, iQT

Trata-se de uma transformação linear que permite

passar de um circuito com três bobinas afastadas no

espaço de 2π/3 rad elect para um circuito equivalente

com duas bobinas afastadas no espaço de π/2 rad

elect.

O Método dos Fasores Espaciais também pode ser

aplicado, quando o referencial, ou sistema de eixos, está em movimento, ou solidário com orotor. Nesse caso, o fasor espacial trifásico desloca-se à velocidade do rotor ωr relativamente a

um sistema de eixos fixo, ou solidário com o estator, e ao qual os fasores das grandezas podem ser

referidos.

Considerando um sistema de eixos móvel ωm = dγ/dt, que faz, em cada instante, um ângulo γ(t)

com um sistema de eixos fixo, em que γ é um ângulo em avanço, o factor de transformação doreferencial fixo (f) para o referencial móvel (m) , é exp(–j γ), porque:

i f = i·exp(j α)

i m = i·exp(j (α– γ)) = i f·exp(–j γ )

→ i m = i f·exp(–jγ) (11)

Note-se que a expressão (11) traduz, também, o factor de transformação entre dois quaisquer

referenciais animados de uma velocidade relativa, que é responsável pela existência de uma

ângulo γ, medido em avanço, entre os dois referenciais.

O tratamento desta expressão (11) terá de ser feito por um sistema digital, quando o seu valor é

necessário para a aplicação de uma estratégia de controlo ao motor de indução trifásico. Nessa

altura, atende-se a que:

i m = (iα + j iβ) = (ix + jiy)·exp(–j γ) = (ix + jiy)·(cos(γ) – jsen(γ))

iα = ix·cos(γ) + iy·sen(γ)

iβ = ix·(–sen(γ)) + iy·cos(γ) ou iα, iβT = [C2]·ix, iyT

em que [C2] é a transformada eixos fixos–eixos móveis, quando se considera que o ângulo γ

a ≡≡≡≡ Re

b

c

ia

iba

ica2

Im

i

iD

iQ



entre os dois referenciais é medido em avanço, (ver Apêndice B ).

Este proceso computacional pode ser implementado em dois circuitos digitais correspondentes

aos blocos:

sen γγγγ

cos γγγγ

γγγγ ωωωωm1/pTri

sen γγγγ cos γγγγ

i x

i y

iαααα

i ββββ

m÷f

Fig. 8 – Blocos para a transformação entre referenciais

No estudo do motor de indução trifásico tem especial importância a utilização de um referencialgeral (g; x, y) , que roda a uma velocidade angular ωg, para além do referencial do estator (s; D, Q) e

o referencial do rotor (r; α, β) que roda a uma velocidade angular ωr. Desta forma, as grandezas da

máquina podem ser referidas a um único referencial solidário com o movimento de qualquer

parte da máquina, ou solidário com qualquer grandeza física.

s, D

s, Q

r, α

r, βg, y

g, x

iris

θgθrαs

α r

ωg

ωr

Fig. 9 – Transformação para um referencial geral

Um fasor espacial referido a um referencial natural da máquina pode ser referido ao referencial

geral (g) através das expressões:

estator (s) ∅ geral (g)

i s = i·exp(j αs)

i sg= i·exp(j (αs– θg)) = i s·exp(–j θg)

→ i sg = i s·exp(–jθg) (12)

rotor (r) ∅ geral (g)

i r = i·exp(j αr)

i rg = i·exp(j (αr– (θg–θr)) = i r·exp(–j (θg–θr))

→ i rg = i r·exp(–j ( θg–θr)) (13)

Quando um fasor espacial está referido a um sistema de eixos de referência, ou referencial geral

(g), pode concretizar-se esse referencial através da escolha da velocidade angular de rotação doreferencial ωg = dθg/dt



Se ωg = 0, o referencial geral coincide com o referencial do estator;

se ωg = ωr, o referencial geral coincide com o referencial do rotor, e

se ωg = ωs, o referencial geral acompanha o campo girante (à velocidade angular de sincronismo).

A aplicação do Método dos Fasores Espaciais, e em particular o conceito de fasor espacial

trifásico, na modelização das máquinas eléctricas tem vantagens, que podem ser resumidas em

simplicidade de aplicação e na forma compacta que assumem as equações fundamentais para a

máquina eléctrica. Com o auxílio dos conceitos apresentados é possível caracterizar o motor de

indução trifásico por um conjunto de equações fasoriais, referidas a um referencial geral.

i s = (2/3)·(ia + a·ib + a2·ic) (14)

i r = (2/3)·(i1 + a·i2 + a2·i3) (15)

3.2 Equaç õ e s Fundam e nta is

A aplicação do Método dos Fasores Espaciais ao motor de indução trifásico, dentro das condições

de estudo estabelecidas em (2.), permite obter um conjunto de equações fasoriais que regem o

funcionamento da máquina: equações magnéticas; equações eléctricas; equação

electromecânica; e equação mecânica.

Atendendo à definição de fasor espacial trifásico adoptada (10) para as correntes eléctricas é

possível definir o fasor espacial das correntes eléctricas estatóricas e o fasor espacial das

correntes eléctricas rotóricas.

3. 2. 1 E qu ações Magn ét icas

As equações magnéticas do modelo do motor de indução trifásico estabelecem a relação entre os

fluxos totalizados que atravessam as diferentes bobinas e as correntes eléctricas que os criam.

No estabelecimento destas equações atende-se às propriedades magnéticas lineares do circuitomagnético e ao critério estabelecido para o sentido do fluxo criado por uma corrente eléctrica

que circula numa bobina. Também se continua a considerar que a ligação das diferentes bobinas(em estrela ou em triângulo) não possui neutro acessível, pelo que se verifica que: ia + ib + ic = 0.

Para o fluxo totalizado criado pela bobina a, contribui o fluxo totalizado de auto-indução dabobina a, Lsa·ia, mais o fluxo de indução mútua das bobina b e c.

ψsa = La·ia + Mab·ib + Mac·ic

• ψsa = Lss·ia + Ms·ib + Ms·ic = Lss·ia + Ms·(ib + ic)

e da mesma forma para as outras bobinas estatóricas

• ψsb = Lss·ib + Ms·ia + Ms·ic = Lss·ib + Ms·(ia+ ic)

• ψsc = Lss·ic + Ms·ia + Ms·ib = Lss·ic + Ms·(ia+ ib)

Sabe-se (3) que o coeficiente de auto indução de uma bobina , La = Laa + Lsσ = Lsm + Lsσ, tem uma

componente devida ao fluxo magnético comum (ou de magnetização) e uma outra componentedevida ao fluxo de fugas ψσ. Por isso;

ψsa = Lss·ia + Ms·(ib + ic) = (Lsm + Lsσ)·ia + Ms·(–ia) = (Lsm + Lsσ – Ms)·ia

ψsb = Lss·ib + Ms·(ia+ ic) = (Lsm + Lsσ)·ib + Ms·(–ib) = (Lsm + Lsσ – Ms)·ib

ψsc = Lss·ic + Ms·(ia+ ib) = (Lsm + Lsσ)·ic + Ms·(–ic) = (Lsm + Lsσ – Ms)·ic

como a distribuição da força magnetomotriz é sinusoidal , sabe-se que: Ms = – Lsm/2.



Substituindo na expressão anterior e fazendo Ls = Lsm + Lsσ + Lsm/2 = Lsσ + (3/2)·Lsm; em que Ls

é o coeficiente de auto-indução total do enrolamento estatórico; que também contém o efeito daindução mútua das diferentes bobinas estatóricas (o que é representado por (3/2)·Lsm).

ψsa = Ls·ia ψsb = Ls·ib ψsc = Ls·ic

O fasor espacial trifásico do fluxo totalizado estatórico ψ s obtém-se por sobreposição dos fluxos

magnéticos de cada bobina de acordo com a definição de fasor espacial trifásico (10).

ψ ss = (2/3)·(1·ψsa + a·ψsb + a2·ψsc) (16)

e, tendendo à definição (14), i s = (2/3)·(1·ia + a·ib + a2·ic), de fasor espacial da corrente eléctrica

estatórica, é:

ψss = Ls· i s

Mas para o fluxo magnético que atravessa as bobinas estatóricas (a,b,c) também contribui o fluxo

de indução mútua criado pela corrente eléctrica que atravessa cada uma das bobinas rotóricas

(1,2,3):

• ψsar = Msrcos (θr)·i1 + Msrcos (θr + 2π/3)·i2 + Msrcos (θr + 4π/3)·i3

• ψsbr = Msrcos (θr + 4π/3)·i1 + Msrcos (θr)·i2 + Msrcos (θr + 2π/3)·i3

• ψscr = Msrcos (θr + 2π/3)·i1 + Msrcos (θr + 4π/3)·i2 + Msrcos (θr)·i3

A sobreposição destes três fluxos totalizados no entreferro da máquina eléctrica, permite

estabelecer o fasor espacial trifásico dos fluxos totalizados de indução que envolve as bobinasestatóricas e é criado pelas correntes eléctricas rotóricas ψ sr,

ψ sr = (2/3)·(ψsar + a·ψsbr + a2·ψscr ) (17)

Substituindo as expressões para os fluxos totalizados de indução mútua de cada uma das bobinas

do estator, atendendo à definição do operador a = exp(j 2π/3), atendendo às operações de

potenciação do operador a (a–2 = a; a–1= a2; a0 = 1), obtém-se:

ψ sr = (2/3)·Msr· (i1 + a·i2 + a2·i3)[cos (θr) + a·cos (θr + 2π/3) + a2·cos (θr + 4π/3)]

Atendendo à definição de fasor espacial trifásico das correntes rotóricas, obtém-se:

ψ sr = Msr· i r·[cos (θr) + a·cos (θr + 2π/3) + a2·cos (θr + 4π/3)]

Procedendo a algumas simplificações envolvendo expressões trigonométricas, obtém-se:

ψsr = Msr· i r·[cos (θr) + (1/2)·cos (θr) + j(3/2)·sen(θr )] = (3/2)·Msr· i r·exp(j θr)(18)

Devido à simetria do circuito magnético , e considerando que o número de espiras efectivas doestator Nes é igual ao numero de espiras efectivas do rotor Ner, o fluxo magnético que atravessa

uma bobina e é criado pelas outras, quer sejam do estator quer sejam do rotor, constitui o fluxo

comum de magnetização, que terá uma constante de proporcionalidade comum relativamente àscorrentes eléctricas que o criam — a indutância trifásica de magnetização M (= (3/2)·Msr). Como

a constante de proporcionalidade dos fluxos de indução mútua com as correntes que os criam é a

mesma em toda a máquina, ainda devido á simetria do circuito magnético e ao igual númerode espiras efectivo nsr = Nes/Nrs = 1, é: Msr = Lsm = Lrm. Senão, é Msr = Lsm/nsr = nsr·Lrm.

Na expressão fasorial do fluxo de indução mútua nas bobinas do estator (18) o termo i r·exp(j αr)

representa o fasor espacial trifásico da corrente eléctrica rotórica reduzido ao referencial do

estator (m ∅ f).

O fasor espacial trifásico do fluxo magnético estatórico ψ s é:

ψs = ψ ss + ψ sr = Ls· i s + M·ir·exp(j θr) (19)



Continuando a considerar que as bobinas rotóricas não têm neutro acessível, e que i1 + i2 + i3 =

= 0, e que a distribuição da força magnetomotriz no espaço do entreferro é sinusoidal , a

determinação do fasor espacial do fluxo magnético rotórico segue um raciocínio análogo ao

utilizado na determinação do fasor espacial do fluxo estatórico.

ψ rr = (2/3)·(1·ψr1 + a·ψr2 + a2·ψr3) = Lrr· i r (20)

ψ rs = (2/3)·(ψr1s+ a·ψr2s + a2·ψr3s ) = (3/2)·Msr· i sexp(–j θr) (21)

O fasor espacial trifásico do fluxo magnético rotórico ψ r é:

ψr = ψ rr + ψ rs = Lr· i r + M· i s·exp(– j θr) (22)

Neste fasor está representado o contributo para o fluxo rotórico das bobinas rotóricas e o

contributo, reduzido ao referencial do rotor, das correntes eléctricas que passam nas bobinas

estatóricas.

Apesar de se pretender caracterizar o motor de indução trifásico pelas respectivas equações

fundamentais, as equações magnéticas obtidas (19) (22) não se encontram referidas a um mesmo

referencial o que não permite efectuar um estudo da máquina. Por isso serão reduzidas a umreferencial geral (g; x, y), que roda a uma velocidade instantânea ωg = dθg /dt (ver Fig. 9).

Recorrendo à fórmulas (12) e (13), pode-se efectuar a redução ao referencial geral:

ψsg = ψ s·exp(–j θg) = Ls· i s·exp(–j θg) + M· i r·exp(j θr)·exp(–j θg)

como i s·exp(–j θg) = i sg, e i r·exp(j θr)·exp(–j θg) = i r·exp(–j (θg–θr)) = i rg, é:

ψsg = Ls· i sg + M· i rg (23)

A equação do fasor espacial trifásico do fluxo magnético rotórico ψ r (22) também pode ser

reduzida ao mesmo referencial geral (g; x, y); de um forma análoga:

ψrg = ψ s·exp(–j (θg–θr)) = Lr· i r·exp(–j (θg–θr)) + M· i s·exp(–j θr)·exp(–j (θg–θr))

como i r·exp(–j (θg–θr)) = i rg, e i s·exp(–j θr)·exp(–j (θg–θr)) = i s·exp(–j θg) = i sg, é:

ψrg = Lr· i rg + M· i sg (24)

Desta forma, as equações magnéticas do motor reduzidas a um referencial geral são:

equações magnéticas

ψsg = Ls· i sg + M· i rg ou ψs = Ls· i s + M· i rψrg = Lr· i rg + M· i sg ou ψr = M· i s + Lr·ir (25)

Como todas as equações fundamentais serão reduzidas ao referencial geral, pode-se suprimir o

índice g.

3. 2. 2 E qu ações E léc t r icas

Recorrendo a um conjunto de hipóteses simplificativas (2.1) foi possível representar o motor de

indução trifásico por um conjunto de circuitos eléctricos (bobinas) ligados pelo campo

magnético. Para esses circuitos eléctricos adoptaram-se critérios para os sinais das grandezas

eléctricas e magnéticas. Para cada circuito eléctrico, que representa uma bobina do motor de

indução trifásico, é possível escrever uma equação que traduz a aplicação da Lei de Kirchoff para

as tensões e a aplicação da Lei de Faraday da indução.

ua = Rs· ia – ea = Rs· ia + dψa/dt



ub = Rs· ib – eb = Rs· ib + dψb/dt

uc = Rs· ic – ec = Rs· ic + dψc/dt

Considerando que o fasor espacial trifásico da tensão aplicada ao enrolamento estatórico é, us =

= (2/3)·(ua + a·ub + a2·uc), resulta que:

(2/3)·(ua + a·ub + a2·uc) = (2/3)·(ia + a·ib + a2·ic) ·Rs + d((2/3)·(ψa + a·ψb + a2·ψc) )/dt

o que corresponde à expressão fasorial,

u s = Rs· i s + dψs/dt (25)

Obtém-se, assim, a equação fasorial das tensões (equação eléctrica fasorial) para o enrolamento

trifásico estatórico referida ao sistema de eixos (referencial) do estator (s; D,Q), que constitui o

referencial natural do estator.

Considerando a representação do enrolamento rotórico por três bobinas afastadas no espaço de

2π/3 rad. elect., a equação eléctrica fasorial rotórica pode ser obtida de uma forma análoga:

u r = Rr· i r + dψr/dt (26)

Esta equação fasorial tem as suas grandezas referidas a um sistema de eixos (referencial), que rodaa uma velocidade ωr = dθr/dt solidário com o rotor, (r; a,b); constitui o referencial natural das

grandezas rotóricas.

As equações (25) e (26) são as equações eléctricas do motor, expressas nos seus referenciais

naturais. Mas torna-se necessário reduzir todas as equações fundamentais do motor a um

mesmo referencial, para o que se escolheu um referencial geral (g; x,y).

Recorrendo às expressões (12) e (13) pode-se reduzir as equações (25) e (26) ao referencial geral.

u s = Rs· i s + d ψ s/dt

u sg·exp(jθg) = Rs· i s·exp(jθg) + d( ψ sg·exp(jθg))/dt

Atendendo às regras da derivação de um produto de funções e à regra de derivação de um função

exponencial complexa ∅ d(exp(j α))/dt = j exp(j α)·(dα/dt), resulta:

u sg·exp(jθg) = Rs· i sg·exp(jθg) + (d ψ sg/dt)·exp(jθg) + j exp(jθg)·(dθg/dt)· ψ sg

u sg = Rs· i sg + dψsg/dt + j ωg·ψsg (27)

Nesta expressão (27) surgem, nitidamente, as duas componentes da força electromotriz:

• a força electromotriz estática ∅ d ψ sg/dt, que resulta da variação no tempo do

fluxo magnético ( ψ sg) que envolve os condutores eléctricos das bobinas

fictícias do referencial g;

• a força electromotriz dinâmica ∅ j ωg· ψ sg, que resulta do movimento relativo

(ωg) entre os condutores das bobinas fictícias no referencial g e o fluxo

magnético totalizado estatórico reduzido a esse referencial ψ sg.

Para a equação rotórica das tensões é:

u rg·exp(j (θg–θr)) = Rr· i rg·exp(j (θg–θr)) + d( ψ rg·exp(j (θg–θr)) )/dt

u rg·exp(j (θg–θr)) = Rr· i rg·exp(j (θg–θr)) + (d ψ rg/dt)·exp(j (θg–θr)) )/dt + j exp(j (θg–θr))·(ωg–ωr)· ψ rg

ou,

u rg = Rr· i rg + dψrg/dt + j (ωg–ωr)·ψrg (28)

Nesta expressão (28) também são nítidas as duas componentes da força electromotriz:



• a força electromotriz estática ∅ d ψ rg/dt, que resulta da variação no tempo do

fluxo magnético ( ψ rg) que envolve os condutores eléctricos das bobinas

fictícias do referencial g;

• a força electromotriz dinâmica ∅ j (ωg–ωr)· ψ rg que resulta do movimento

relativo (ωg–ωr) entre os condutores das bobinas fictícias no referencial g e o

fluxo magnético totalizado rotórico reduzido a esse referencial ψ rg.

As equações eléctricas do motor de indução trifásico reduzidas a um referencial geral são:

equações eléctricas

u sg = Rs· i sg + d ψ sg/dt + j ωg· ψ sg ou u s = Rs· i s + d ψ s/dt + j ωg· ψ s

u rg = Rr· i rg + d ψ rg/dt + j (ωg–ωr)· ψ rg ou u r = 0 = Rr· i r + d ψ r/dt + j (ωg–ωr)· ψ r (29)


índice g.

3. 2. 3 E qu ação E lec t romecân ica

Na obtenção de uma expressão para o binário electromagnético que se desenvolve no motor de

indução trifásico utiliza-se o método, baseado no Princípio de Conservação da Energia, habitual

na dedução dessa expressão nos sistemas electromecânicos de conversão de energia, [MVG–3].

Considerando a energia eléctrica absorvida pelo motor, retira-se a energia de perdas eléctricas e

das perdas magnéticas expressas sob a forma de perdas eléctricas, assim como a energia eléctrica

correspondente à energia armazenada no campo magnético. A energia eléctrica sobrante é

integralmente convertida em energia mecânica. Dessa energia uma pequena parte irá alimentar

as perdas mecânicas e a outra ficará disponível no veio da máquina.

Como todos estes fenómenos ocorrem no mesmo intervalo de tempo, substitui-se a representação

da energia pela potência respectiva.

A potência correspondente à energia eléctrica integralmente transformada permite determinar aexpressão do binário, em função de grandezas eléctricas e magnéticas: Ptr = ω·Tel. (Atendendo a que

a velocidade angular do rotor ω é a velocidade real expressa em radianos (geométricos) por segundo !…)

No funcionamento do motor de indução trifásico em regime permanente e alimentado por umsistema trifásico simétrico, (1/3)·(ua + ub + uc ) = 0 e (1/3)·(ia + ib + ic ) = 0, a potência aparente

complexa absorvida pelo motor, exprime-se, em função dos fasores espaciais trifásicos da tensão

e da corrente, como

S = (3/2)·( u s· i *s) = (3/2)·(Re( S ) + j Im( S )) = P + j Q

Nesta expressão da potência aparenta o factor (3/2) resulta da definição (10) adoptada para o

fasor espacial trifásico — trata-se de uma forma assimétrica e variante da potência.

A potência activa consumida pelo motor para alimentar as perdas e a transformação de energia

é:

P = (3/2)·Re( u s· i *s) (30)

A potência reactiva consumida pelo motor e necessária para criar o campo magnético é:

Q = (3/2)·Im( u s· i *s) (31)

Durante o funcionamento do motor num mesmo intervalo de tempo, o princípio da conservação



da energia traduz-se por:

P = PJoule + Pmag + Ptr ou Ptr = P – PJoule – Pmag

Considera-se o modelo do motor de indução trifásico no referencial do estator s, porque é o

referencial natural para as grandezas de entrada. O modelo matemático para o motor resulta dasequações (29) fazendo ωg = 0.

equações eléctricas no referencial do estator (s; D,Q)

u s = Rs· i s + d ψ s/dt

u ’r = Rr· i ’r + d ψ ’r/dt – j ωr· ψ ’r

A potência activa consumida na máquina é:

P = (3/2)·Re( u s· i *s + u ’r· i ’*r) =

P = (3/2)·Re[Rs· i s· i *s + (d ψ s/dt )· i *s + Rr· i ’r· i ’*r + (d ψ ’r/dt )· i ’*r – j ωr· ψ ’r· i ’*r] (32)

nesta expressão,

• a potência de perdas PJoule no estator é representada por (3/2)·Re[Rs· i s· i *s] =

= (3/2)·(Rs·| i s|2) e no rotor (3/2)·Re[Rr· i ’r· i ’*r] = (3/2)·(Rr·| i ’r|2); nesta expressão

consideram-se representadas todas as perdas de energia eléctrica da

máquina;

• a potência correspondente à energia armazenada no campo magnético

obtém-se considerando que a máquina quando tem o rotor travado,ωr = 0, apenas absorve energia para alimentar as perdas Joule e para ser

armazenada no campo magnético (≡ ensaio em vazio), por isso

Pmag = (3/2)·Re([d ψ s/dt )· i *s + (d ψ ’r/dt )· i ’*r ];

• resta para a potência transformada

Ptr = (3/2)·Re[(– j ωr· ψ ’r· i ’*r ] = (3/2)·ωr·Re[– j ψ ’r· i ’*r ] (33)

A potência eléctrica integralmente transformada em potência mecânica é dada por

Ptr = ωrm·Tel = (ωr/p)·Tel

em que p é o número de pares de pólos da máquina; por isso

Tel = – p·(3/2)·Re[j ψ ’r· i ’*r ] = – k·Re[j ψ ’r· i ’*r ] = – k·( ψ ’r x i ’r) (34)

Como se verifica que ψ ’r· i ’*r = ψ r· i *r , resulta que

Tel = – k·Re[j ψ ’r· i ’*r ] = – k·Re[j ψr·i*r ] = – k·(ψr x ir) (35)

Na expressão (35) o produto vectorial de dois fasores espaciais é tomado

no sentido definido em [MCB–1], onde o produto vectorial simbólico é

um complexo cuja parte real é: |a|·|b|·sen( /a,b ).

Verifica-se aqui uma das vantagens do Método dos Fasores Espaciais,

que permite uma representação gráfica do binário. Atendendo àexpressão (35) o binário é proporcional ao módulo do fasor do fluxo | ψ r|

e ao módulo do fasor da corrente eléctrica | i r| e ao seno do ângulo (ß) que no espaço formam entre

eles: T ∝ –k·| ψ r|·| i r|·sen(ß). O módulo do binário é proporcional à área do paralelogramo

representado a sombreado na figura.

ß

Tel

ψψψψr

ir



O sinal menos que afecta o binário indica que o sentido do binário electromagnético, observadodo referencial do estator, é contrário ao sentido da velocidade de rotação do rotor ωrm·. Se em

lugar de se adoptar o referencial do estator tivesse sido adoptado o referencial do rotor na

dedução da expressão do binário electromagnético, verificava-se que o sentido do binário,observado do referencial do rotor, era o mesmo que o sentido da velocidade de rotação ωrm·

Partindo das equações (29) com ωg = ωr,

equações eléctricas no referencial do rotor (r; α,β)

u ’s = Rs· i ’s + d ψ ’s/dt + j ωr· ψ ’s

u r = Rr· i r + d ψ r/dt

A potência activa consumida na máquina é:

P = (3/2)·Re( u ’s· i ’*s + u r· i *r) =

P = (3/2)·Re[Rs· i ’s· i ’*s + (d ψ ’s/dt )· i ’*s + Rr· i r· i *r + (d ψ r/dt )· i *r + j ωr· ψ ’s· i ’*s]

• a expressão para a potência transformada é:

Ptr = (3/2)·Re[(j ωr· ψ ’rs i ’*s] = (3/2)·ωr·Re[j ψ ’s· i ’*s]

Como a potência eléctrica integralmente transformada em potência mecânica é dada por

Ptr = ωrm·Tel = (ωr/p)·Tel

em que p é o número de pares de pólos da máquina; por isso

Tel = p·(3/2)·Re[j ψ ’s· i ’*s] = k·Re[j ψ ’s· i ’*s ] = k·( ψ ’s x i ’s)

Como se verifica que ψ ’s· i ’*s = ψ s· i *s , resulta que

Tel = k·Re[j ψ ’s· i ’*s ] = k·Re[j ψ s· i *s] = k·( ψ s x i s) (36)

Neste caso, em que o referencial adoptado é o referencial natural do

rotor, o sentido do binário electromagnético, observado do

referencial do rotor, é o mesmo que o sentido da velocidade derotação do rotor ωrm·

Esta convenção está de acordo com a convenção de sinal adoptada

para o binário (2.1) nas condições de estudo, [ADK–1].

ESTATOR ROTOR

Pmec

Vista do estator a potência transformada em mecânica SAI ∅ é negativa

Vista do rotor a potência transformada em mecânica ENTRA ∅ é positiva

Num referencial geral (g; x,y) a expressão do binário electromagnético mantém-se

Tel = – k·Re[j ψ r· i *r ] = – k·Re[j ψ rg·exp(j θg)· i *rg·exp(j θg)]

Tel = – k·( ψ rg·exp(j θg) x i rg·exp(j θg)) = – k·( ψ rg x i rg) (37)

o que confirma a expressão do binário como o produto vectorial dos dois fasores espaciais, que

depende do ângulo entre esses fasores e não da posição deles nos espaço. Neste caso (g) estarãoambos apenas afastados de um ângulo θg da posição inicial (r) mantendo a sua posição relativa.

ß

Tel

ψψψψs

is



Também a expressão do binário referida ao sistema de eixos do rotor (r; α,β) pode ser reduzida ao

referencial geral (g; x,y)

Tel = k·Re[j ψ s· i *s] = k·Re[j ψ sg·exp(–j (θg–θr))· i *sg·exp(–j (θg–θr))] = k·( ψ sg x i sg) (38)

Desta forma verifica-se que:

o binário é invariante numa mudança de referencial.

No estabelecimento de um modelo matemático para o motor de indução trifásico a equação

electromecânica que representa o binário electromagnético que actua sobre o rotor é:

equação electromagnética

Tel = k·( ψ sg x i sg) ou Tel = k·( ψ s x i s) (39)


índice g.

3. 2. 4 E qu ação Mecân ica

O motor de indução trifásico tem uma parte móvel — o rotor — que é caracterizado por dois

parâmetros mecânicos concentrados (2.2.2): o coeficiente de atrito D e o momento de inércia J.

No funcionamento do motor associado a uma carga mecânica, a equação dinâmica que rege osistema mecânico assim formado, que se desloca à velocidade do motor ωrm, é estabelecida em

obediência ao princípio de D’ Alembert —

para um corpo rígido animado de movimento de rotação em torno de um eixo, é

nula a soma algébrica dos binários aplicados e dos binários resistentes ao

movimento.

equação mecânica

Tel = Tcm + J·(dωrm/dt) + D·ωrm (40)

em que Tcm é o binário requerido pela carga mecânica N·m, J é o momento de inércia kg·m2 ,

D é o coeficiente de atrito N·m·s/rad e ωrm é a velocidade angular (geométrica ≡ ωr/p) rad/s.

Nesta expressão o momento de inércia e o coeficiente de atrito podem resultar da redução de um

sistema mecânico complicado ao veio do rotor, [MVG–3].

DTel

TJ TD Tcm

J

Fig. 10 – Carga mecânica de um sistema electromecânico de indução

No estudo do funcionamento do motor de indução trifásico pode ser importante analisar ocomportamento do binário dinâmico: Td = Tel – Tcm.

Conforme as características do binário dinâmico, Td = Tel – Tcm, assim,



· Td > 0 ∅ a carga mecânica acelera

· Td = 0 ∅ a carga mecânica mantém uma velocidade constante

· Td < 0 ∅ a carga mecânica desacelera

3. 2. 5 S ín t ese

O Método dos Fasores Espaciais permitiu obter para o motor de indução trifásico um modelo

matemático, no referencial geral (g, x,y), constituído pelas equações:


us = Rs·is + dψs

dt + jωg ·ψs



T = k·Re(j ψs·i*s) = k·(ψs × is) (41)

4. Um Modelo com Valores Reduzidos

No estudo dos motores eléctricos de indução os valores reduzidos das grandezas facilitam o

cálculo e o controlo dos resultados. A importância desta forma de representação das grandezas

do motor de indução trifásico traduz-se pela utilização frequente deste modo de representação

das grandezas nos estudos sobre este motor eléctrico e na normalização que já esteve estabelecida

sobre este assunto, [IEEE–86].

Considera-se que uma grandeza está representada em valores reduzidos “por unidade” (p.u.)

quando é representada por um número resultante da divisão do seu valor actual pelo valor da

grandeza de base, quando as duas quantidades estão expressas na mesma unidade.

Como uma máquina eléctrica é uma unidade que promove uma transformação de energia que

envolve grandezas eléctricas e mecânicas, é necessário que os dois sistemas de unidades estejam

ligados de uma forma coerente para que os valores reduzidos das grandezas sejam significativos,

[BAR–1].

Para uma máquina assíncrona, como o motor de indução trifásico definem-se, quando expressas

num sistema de unidades coerente, as seguintes grandezas de referência ou de base,

• potência aparente de base — é a potência aparente total nominal à tensão e à

corrente nominal.

quando se está a estabelecer um modelo do motor de indução trifásico com as grandezas

reduzidas, mas com os valores base retirados de um catálogo, convém atender que a

informação da potência do motor se refere à potência mecânica nominal, e que em

regime nominal o motor tem um determinado rendimento e um determinado factor depotência; Pe = Pmec·(1/η)·(1/cos ϕ) = Pb = (3/2)·Uns·In.

• tensão de base — é a amplitude da tensão nominal por fase (tensão simples);

• corrente de base — é a amplitude da corrente nos condutores da fase

correspondente à potência de base e à tensão de base com o factor de potência



unitário: O valor da corrente de base é igual ao valor da potência base por fase

a dividir pelo valor da tensão de base;

• impedância base — é o valor da divisão da tensão base pela corrente base;

• a pulsação base — é a pulsação de sincronismo ω = 2·π·f;

• velocidade angular base — é a velocidade angular mecânica de sincronismo,ωb = ωs = ω/p;

• fluxo totalizado de base — é dado por ψb = Ub/ω.

• binário base — é dado pelo cociente da potência de base pela velocidadeangular de base Tb = Pb/ωb = Pb·p/ω;

• tempo base — é dado por tb = 1/ω (segundo).

Frequentemente utilizam-se na definição dos valores de base das grandezas alternadas

sinusoidais os valores máximos das grandezas, para uma ligação dos enrolamentos em estrela,

(essas grandezas, normalmente, são expressas em valores eficazes), Ub = 2 ·Uns, Ib = 2 ·In.

Atendendo a que a tensão de base e a corrente de base estão expressas em valores máximos a

expressão da potência de base Pb = 3·Uns·In = 3·(Ub/ 2 )·(Ib/ 2 ) = (3/2)·Ub·Ib.

Desta forma existem vários valores de base que são derivados dos valores de base estabelecidos

para a máquina.

as correntes eléctricas são: ix (p.u.) = ix/( 2 ·In), iy (p.u.) = iy/( 2 ·In)

as tensões eléctricas são: ux (p.u.) = ux/( 2 ·Uns), uy (p.u.) = uy/( 2 ·Uns)

as resistências eléctricas são: rs (p.u.) = Rs/Zn = Rs·In/Uns

a potência eléctrica (activa, reactiva, ou aparente): pe (p.u.) = Pe/Pb = Pe/((3/2)·Ub·Ib);

O binário em valores reduzidos é dado por te (p.u.) = Te/Tb.

Atendendo à redução do valor do tempo, τ = t/tb = ω·tb.

As reduções apresentadas referem-se aos circuitos eléctricos do estator. Para os circuitos

eléctricos rotóricos atende-se a outras considerações.

Se a razão das forças electromotrizes estatórica e rotórica é m = E s/ E r, então a tensão base do

rotor é Usb/m, e a corrente base do rotor é Irb = m·Ib.

Estabelecida a forma de proceder à redução das grandezas eléctricas e magnéticas, é necessário

analisar o modo como se procede para efectuar a redução das grandezas mecânicas.

Neste tipo de estudo é costume introduzir-se a constante de energia cinética H, que representa a

razão entre a energia mecânica armazenada à velocidade nominal e a potência aparente da

máquina, isto é: H = ((1/2)·J·(ω2/p2))/Pb = ((1/2)·J·(ωrm2))/Pb = ((1/2)·J·(ωrm))/Tb, segundo .

Existem outros sistemas reduzidos que partem de outras grandezas base. No entanto este tipo de

modelo para o motor de indução trifásico só tem utilização em estudos de estabilidade do

funcionamento do motor, ou para facilitar a apresentação dos resultados de um trabalho de

investigação envolvendo várias máquinas eléctricas, [CAS–1].

5. Funcionamento em Regime Permanente Sinusoidal Simétrico



O desenvolvimento da Electrotecnia provocou a utilização de sistemas que alteram

completamente as características de funcionamento previstas para as redes eléctricas.

Actualmente, são pouco frequentes as situações em que um motor de indução trifásico é

alimentado por um sistema trifásico simétrico de tensões sinusoidais.

A existência de vastas redes de distribuição e a sua deficiente exploração contribuem para que o

sistema da tensão de alimentação seja, frequentemente, desequilibrado. A utilização de

conversores electrónicos de potência, com o seu funcionamento baseado em elementos

semicondutores em comutação, contribui para que as tensões de alimentação sejam não

sinusoidais.

Apesar desta realidade, ainda hoje o estudo do motor de indução trifásico se limita à análise do

comportamento do motor em regime permanente sinusoidal simétrico, [CCC–2] [SAY–1] [LAN–1].

Com a aplicação do Método dos Fasores Espaciais obteve-se um modelo matemático para o motor

de indução trifásico que permite o estudo desta máquina eléctrica em qualquer regime de

funcionamento. Torna-se, portanto, necessário verificar a possibilidade de utilização do modelo

matemático obtido, equação (41), no estudo do funcionamento do motor de indução trifásico em

regime permanente sinusoidal simétrico.

5.1 Co m po rtam e nto das Grande zas

No estudo das grandezas alternadas com variação sinusoidal no tempo [MVG–1] verificou-se que

uma grandeza cujo valor instantâneo é um função sinusoidal do tempo g(t) = 2 ·G·cos(ωt+ϕ) podia

ser representada por um fasor temporal, ou simplesmente fasor, G = 2 ·G·exp(j ϕ).

Desta forma,

g(t) = 2 ·G·cos(ωt+ϕ) g(t) = Re[ G ·exp(jωt)] = Re[ g ]

mas a parte real de uma grandeza complexa pode ser expressa por Re[ A ] = (1/2)·( A + A *),

g(t) = 2 ·G·cos(ωt+ϕ) = Re[ 2 ·G·exp(j ϕ)·exp(jωt)] = (1/2)·( g + g *)

Aplicando estas expressões a um sistema trifásico simétrico directo de correntes eléctricas, e

considerando a = exp(2π/3), (a2)* = a e a* = a2, e i = 2 ·I·exp(j ϕ)·exp(jωt) = I ·exp(jωt)

fase a ia (t) = 2 ·I·cos(ωt+ϕ) = (1/2)·( i + i *)

fase b ib(t) = 2 ·I·cos(ωt+ϕ–(2π/3)) = (1/2)·(a2· i + a· i *)

fase c ic(t) = 2 ·I·cos(ωt+ϕ–(4π/3)) = (1/2)·(a· i + a2· i *)

O fasor espacial trifásico das correntes eléctricas (10) para este sistema é:

i s = (2/3)·(ia + a·ib + a2·ic) = (2/3)·(1/2)·[( i + i *) + a·(a2· i + a· i *) + a·2(a· i + a2· i *)

atendendo a que a3= 1, e a4 = a,

i s = (2/3)·(1/2)·[( i + i *) + a·(a2· i + a· i *) + a·2(a· i + a2· i *)]

i s = (2/3)·(1/2)·[(3· i + ( i *·(1 + a + a2))]

como 1 + a + a2 = 0,

i s = i = 2 ·I·exp(j ϕ)·exp(jωt) = I ·exp(jωt) (42)

O fasor espacial trifásico de um sistema trifásico simétrico directo de correntes eléctricas



sinusoidais colocadas no espaço segundo um sistema de eixos complanos e afastados de 2π/3

radianos, é igual ao fasor temporal instantâneo da corrente eléctrica i na fase de referência (a).

Também se confirma o teorema de Ferraris, [MVG–1], para os

campos girantes porque, o fasor espacial trifásico é igual ao

fasor temporal quando este está animado de um movimento

de rotação no espaço com uma velocidade angular igual à

pulsação das correntes eléctricas ω (velocidade de sincronismo)

deslocando-se no sentido positivo dos ângulos;

i s = i = I ·exp(jωt).

Nesta situação o lugar geométrico das posições ocupados no

tempo pelo fasor espacial trifásico é uma circunferência de

raio igual a 2 ·I·exp(j ϕ).

Nesta situação particular — sistema trifásico simétrico de grandezas sinusoidais — as grandezas

têm simultaneamente um variação sinusoidal no espaço e no tempo, e são representadas por uma

quantidade complexa que é simultaneamente um fasor espacial e um fasor temporal: é um

bicomplexo [MCB–1; p. 17] bifasor.

Bicomplexos

Em 1947 o Professor Manuel Corrêa de Barros no seu trabalho “Método Simbólico para Estudo dasMáquinas de Corrente Alternada” apresentava a noção de grandeza com variação sinusoidal no espaçorepresentada por um vector fasor espacial, de grandeza com variação sinusoidal no tempo representada porum complexo fasor, e a reunião destas duas noções numa só, capaz de representar um vector plano, queroda ao mesmo tempo que a sua medida algébrica medida varia entre os limites +A e –A, [MCB–1].

a = A·exp(j ϕi)·exp(j θj)

O bicomplexo fica caracterizado pela amplitude (A), pela fase (ϕi) e pela direcção (θj). A representação dosbicomplexos é feita por letras com um traço superior e outro inferior; a letra será maiúscula se foremconstantes a direcção e a fase e será minúscula se uma destas grandezas, pelo menos, for variável.

Tanto a fase como a direcção são, normalmente, funções lineares do tempo,

a = A·exp(j (ωt + ϕi))·exp(j (ωrt + θj)) = A ·exp(j (ω + ωr)·t)

plano real

plano complexo

a

t = t1

θθθθ i

ϕϕϕϕ j

Para estas novas entidades matemáticas — os bicomplexos — existe um conjunto de propriedades(conjugados; igualdade; equivalência) e de operações (algébricas e vectoriais) e de operadores. Neste trabalho

Re

Im

√2·I·e

xp(jϕ)



foram aplicadas todas essas novas noções ao estudo do motor de indução trifásico em regime permanente.

No estudo dos sistemas trifásicos os enrolamentos das diferentes fases podem estar ligados em

estrela ou em triângulo.

Quando os enrolamentos estão ligados em estrela pode estabelecer-se um relação entre o fasorespacial trifásico das tensões simples u s e o fasor espacial trifásico das tensões compostas u c.

O fasor espacial das tensões simples define-se como:u s = (2/3)·(u1 + a·u2 + a2·u3). A expressão da tensão composta

resulta da diferença entre duas tensões simples: u12 = u1– u2,

u23 = u2– u3, u31 = u3– u1. O fasor espacial trifásico das tensões

compostas tem por expressão, atendendo à posição relativa no

espaço do fasores das tensões compostas,

u c = (2/3)·(u23 + a·u31 + a2·u12)

u c = (2/3)·((u2+ a·u3+ a2·u1) – (u3+ a·u1+ a2·u2)

u c = (2/3)·(a2·(u1+ a·u2 + a2·u3) – a·(u1+ a·u2+ a2·u3) = (2/3)·(u1+ a·u2 + a2·u3) ·(a2 – a)

u c = (a2 – a)· u s

Como (a2 – a) = ((–1/2)–(j 3 /2) –( (–1/2)+(j 3 /2) ) = –j 3

u c = (–j 3 )· u s (43)

Verifica-se, assim, que o fasor espacial trifásico das tensões compostas tem uma medida 3

maior do que o fasor espacial trifásico das tensões simples, e que o fasor espacial trifásico das

tensões compostas está afastado de π/2 radianos em atraso do fasor espacial trifásico das tensões

simples.

Nesta ligação em triângulo o fasor espacial das correntes eléctricas nas linhas i L coincide com o

fasor espacial das correntes eléctricas nas fases i F.

Quando os enrolamentos estão ligados em triângulo pode estabelecer-se um relação entre o fasorespacial trifásico das correntes nas linhas i L e o fasor espacial trifásico das correntes nas fases

i F.

O fasor espacial das correntes nas linhas define-se como:i L = (2/3)·(i1 + a·i2 + a2·i3). A expressão das correntes nas linhas resulta da

diferença entre duas correntes nas fases que convergem no nó de entradai1 = i12 – i31, i2 = i23 – i12, i3 = i31 – i23. O fasor espacial trifásico das

correntes nas linhas tem por expressão, atendendo a esta definição,

i F = (2/3)·(i23 + a·i31 + a2·i12)

i L = (2/3)·((i12+ a·i23+ a2·i31) – (i31+ a·i12+ a2·i23)

i L = (2/3)·(a·((i23 + a·i31 + a2·i12) – a2·((i23 + a·i31 + a2·i12)

i L = (2/3)·(i23 + a·i31 + a2·i12) (a – a2) = (a – a2)· i F

Como (a – a2) = ((–1/2)+(j 3 /2) –( (–1/2)–(j 3 /2) ) = j 3

i L = (j 3 )· i F (44)

Verifica-se, assim, que o fasor espacial trifásico das correntes eléctricas nas linhas tem uma

1

2

3

U12U1

1

2

3



medida 3 maior do que o fasor espacial trifásico das correntes eléctricas nas fases, e que o fasor

espacial trifásico das correntes eléctricas nas linhas está afastado de π/2 radianos em avanço do

fasor espacial trifásico das das correntes eléctricas nas fases.

Considerando um sistema trifásico simétrico de tensões e correntes sinusoidais, a potência

activa instantânea do sistema é a soma das potências instantâneas de cada fase,

p = ua·ia + ub·ib + uc·ic

em que ua, ub, uc, e ia, ib, ic, são as tensões simples e as correntes nas fases do sistema.

Como o fasor espacial trifásico das tensões é u = (2/3)·(ua+ a·ub+ a2·uc) e o fasor espacial trifásico

das correntes eléctricas é i = (2/3)·(ia+ a·ib+ a2·ic), e se considera o sistema simétrico,

ua+ ub + uc = 0, ia + ib + ic = 0, resulta que a expressão da potência instantânea é

p = (3/2)·Re( u · i *) (45)

Trata-se da expressão simbólica para a potência activa de um sistema trifásico de tensões e

correntes eléctricas sinusoidais e simétricas,

P = (3/2)·Re( U · I *)

a expressão da potência reactiva é,

Q = (3/2)·Im( U · I *)

e a expressão da potência aparente é

S = (3/2)·( U · I *)

em que U e I são os valores máximos das grandezas alternadas sinusoidais, representadas pelos

seus respectivos fasores.

5.2 Equaç õ e s Fundam e nta is

As equações fundamentais do motor de indução trifásico em regime permanente sinusoidal

podem ser derivadas das equações fundamentais (41) no referencial geral (g; x,y). Para isso há quedefinir esse referencial, dando um valor a ωg.

a

b

1

2

3

Re

Im

x

y

ωωωωg = ωωωωsωωωω

g =

ωωωω

r

ωωωωg

= 0000

ωωωωs

c √√√√

ωωωωs

Fig. 11 – Referencial rotativo síncrono, solidário com o campo girante



O referencial adoptado é o referencial rotativo síncrono, que roda à velocidade de sincronismoda máquina ωg = ωs = 2πf/p que, quando é expressa em radianos eléctricos p·(2πf/p), é

numericamente igual à pulsação das grandezas alternadas ω = 2πf, e que em regime permanenteestá solidário com a onda girante de campo magnético. Assim θg = ω·t.

Neste referencial o fasor espacial das grandezas trifásicas sinusoidais e simétricas de um motor

de indução trifásico com construção simétrica e equilibrada tem um comportamento especial: é

uma quantidade constante.

Considerando que o motor de indução trifásico tem o circuito estatórico alimentado por um

sistema trifásico de tensões simétricas, um sistema directo, o respectivo fasor espacial trifásico

coincide com o fasor temporal instantâneo da tensão (42).

ua(t) = 2 ·Us·cos(ωt+ϕ) ub(t) = 2 ·Us·cos(ωt+ϕ–(2π/3)) uc(t) = 2 ·Us·cos(ωt+ϕ–(4π/3))

e

u s = u = 2 ·Us·exp(j ϕ)·exp(jωt) = U s·exp(jωt) (46)

O fasor espacial trifásico das tensões estatóricas representado no referencial rotativo síncrono,ou referencial do campo, é, através de (11), u sg, e é igual ao fasor temporal da tensão de

alimentação, U s = 2 ·Us·exp(j ϕ),

u sg = u ·exp(–jωt) = 2 ·Us·exp(j ϕ)·exp(jωt))·exp(–jωt) = U s (47)

É uma quantidade constante no tempo, porque sendo (46) um fasor temporal U s que roda com

uma velocidade angular igual a ω, o que está expresso na actuação como operador do fasor

unitário exp(jωt), é visto no referencial rotativo síncrono como um fasor estacionário.

No motor de indução trifásico não existe uma relação constante entre a frequência das grandezas

eléctricas de alimentação e a velocidade de rotação do rotor da máquina — é uma máquina

eléctrica assíncrona. Tal é caracterizado pelo deslizamento s; grandeza que dá uma informação

sobre a razão entre a diferença de velocidade de sincronismo e a velocidade do rotorrelativamente à velocidade de sincronismo: s = (ωs – ωr)/ωs.

Como a velocidade relativa entre o campo magnético girante e os condutores do rotor é

responsável pela indução de forças electromotrizes nos condutores do rotor, a frequência dessas

forças electromotrizes induzidas e das grandezas que dela resultam (correntes, força magnetomotriz,campo de reacção do induzido) têm uma pulsação igual a s·ωs, como resulta de

(ωs – ωr) = s·ωs; ou (ωs – ωr) = s·ω, porque ωs ≡ ω.

As tensões aplicadas ao circuito rotórico, que no caso do motor de rotor em curto-circuito são

todas nulas são:

u1(t) = 2 ·Ur·cos(sωt+φ) u2(t) = 2 ·Ur·cos(sωt+φ–(2π/3)) u3(t) = 2 ·Ur·cos(sωt+φ–(4π/3))

e

u r = u ’ = 2 ·Ur·exp(j φ)·exp(j sωt) = U r·exp(j sωt) (48)

O fasor espacial trifásico das tensões rotóricas representado no referencial rotativo síncrono, oureferencial do campo, é, através de (13), u rg, e é igual ao fasor temporal da tensão rotórica,

U r = 2 ·Ur·exp(j φ),

u rg = u ’·exp(–j (ωs – ωr)t) = 2 ·Ur·exp(j φ)·exp(j sωt))·exp(–j sωt) = U r (49)

O estudo feito para o fasor espacial da tensão, reduzido ao referencial rotativo síncrono, pode ser



repetido para correntes eléctricas, estatóricas i sg = I s e rotóricas i rg = I r e para os fluxos

totalizados, estatóricos ψ sg = Ψ s e rotóricos ψ rg = Ψ r.

Assim todas as grandezas trifásicas sinusoidais simétricas são constantes quando estão

reduzidas ao referencial rotativo síncrono.

Como o fluxo totalizado estatórico e rotórico, expresso no referencial rotativo síncrono, não

varia com o tempo ( Ψ s = 2 ·Ψs·exp(j λ) ; Ψ r = 2 ·Ψr·exp(j λ’)), a sua derivada total em ordem ao

tempo é nula.

As equações eléctricas do motor de indução trifásico em regime permanente sinusoidal simétrico

são:

equações eléctricas

~ u sg = Rs· i sg + j ωg· ψ sg ou U s = Rs· I s + j ω·Ψs

~ u rg = Rr· i rg + j (ωg–ωr)· ψ rg ou U r = 0 = Rr· I r + j (sω)·Ψr (50)

A relação linear entre os fluxos magnéticos totalizados e as correntes eléctricas que os criam é

estabelecida através das equações magnéticas (25).

ψsg = Ls· i sg + M· i rg ou ψ s = Ls· i s + M· i r

ψrg = Lr· i rg + M· i sg ou ψ r = M· i s + Lr· i r

No regime de funcionamento permanente sinusoidal simétrico, em que o fasor espacial trifásico

de uma grandeza coincide com o fasor temporal instantâneo, as equações magnéticas assumem a

forma seguinte:

equações magnéticas

~ ψsg = Ls· i sg + M· i rg ou Ψ s = Ls· I s + M· I r

~ ψrg = Lr· i rg + M· i sg ou Ψ r = M· I s + Lr· I r (51)

A equação electromecânica pode ser obtida directamente da equação electromecânica expressa

em fasores espaciais num referencial geral (39), que agora está concretizado, ou pode ser obtida

por uma análise energética que forneça o valor o binário em termos da amplitude dos fasores

temporais instantâneos. Na primeira situação,

equação electromagnética

~ Tel = k·( ψ sg x i sg) ou Tel = k·( Ψ s x I s) (52)

No regime permanente o sistema está em equilíbrio, por isso não há armazenamentos ou

libertações de energia contida na máquina, [MVG–3]. Assim, quando o motor está a funcionar em

regime permanente sinusoidal simétrico não existe variação da energia mecânica armazenada

nas massas em movimento de rotação ((1/2)·J·(dθ/dt)2 = 0). A equação mecânica é:

equação mecânica

~ Tel = Tcm (53)



Em síntese, as equações características do funcionamento do motor de indução trifásico em

regime permanente sinusoidal simétrico, estabelecidas num referencial que roda com a

velocidade de sincronismo, são:

~

Ψs = Ls·Is + M·IrΨr = M·Is + Lr·Ir

Us = Rs·Is + jω·Ψs

Ur = 0 = Rr·Ir + j(sω)·Ψr

T = k·Re(j Ψs·I*s) = k·(Ψs × Is) (54)

Deste conjunto de equações simbólicas pode-se retirar as equações de funcionamento do motor

de indução trifásico em regime permanente sinusoidal simétrico.

~ Us = Rs·Is + jω·Ls·Is + jω·M·IrUr = 0 = Rr·Ir + j(sω)·M·Is + j(sω)·Lr·Ir (55)

5.3 M o de lo R e duz ido ao Es ta to r

Frequentemente o estudo em regime permanente do motor de indução trifásico tem de ser feito

considerando que todos os elementos da máquina estão referidos a uma das suas partes

constituintes: — ao estator, porque é a parte que está em contacto directo com o sistema de

alimentação em energia eléctrica do motor.

Na situação de funcionamento em regime permanente sinusoidal simétrico o motor de indução

trifásico, devido ao seu princípio de funcionamento, o fluxo magnético comum aos doisenrolamentos induz uma força electromotriz nas Nes espiras efectivas do enrolamento

estatórico que é dada por | E s| = ke·Nes·f·ψm; e nas Ner espiras efectivas do enrolamento rotórico o

fluxo magnético comum induz uma força electromotriz com o valor s·| E r| = ke·Ner·sf·ψm. Entre

as duas forças electromotrizes induzidas existe uma relação dada pela razão entre o númeroefectivo de espiras: | E s|/| E r| = ke·Nes·f·ψm/ke·Ner·f·ψm = Nes/Ner = nsr.

O valor desta razão | E s|/| E r| = nsr pode ser obtido laboratorialmente nos motores de indução

trifásicos com o rotor bobinado através do ensaio com o rotor travado e em circuito aberto,

[CCC–2].

A transformação dos elementos e grandezas características do circuito eléctrico rotórico para o

estator da máquina tem de ser feita de uma forma em que não exista variação das consequências

no funcionamento da máquina eléctrica da existência daquelas quantidades:

¨ têm de se manter os feitos magnéticos do enrolamento rotórico — esta

condição impõe que a força magnetomotriz criada pela corrente eléctricarotórica reduzida ao estator Nes·I’s seja a mesma que a força magnetomotriz

resultante da passagem da corrente rotórica nas espiras rotóricas Ner·Ir;

Nes·I’s = Ner·Ir ⇒ I’s = (Ner/Nes)·Ir = (1/nsr)·Ir (56)

≠ não podem provocar alteração das potências em jogo — por isso a potência

dissipada em perdas Joule, ou a potência correspondente à energia

armazenada no campo magnético nos dois circuitos, têm de ser as mesmas;



PJ ⇒ Rr· Ir2 = R’r· I’r2 R’r = Rr· (Ir2/I’r2) = Rr ·nsr2 (57)

Pmag ⇒ Lr· Ir2 = Lr· I’r2 L’r = Lr ·(Ir2/I’r2) = Lr ·nsr2 (58)

Ficam, assim, deduzidas as regras de equivalência dos elementos e das grandezas do circuito

rotórico para o circuito estatórico do motor de indução trifásico.

GRANDEZA Tensão Corrente Resistência Indutância

rotor ∅ estator nsr· (1/nsr)· nsr2· nsr2·

Os diferentes parâmetros eléctricos do circuito rotórico são a resistência Rr e indutância Lr e a

componente da indutância mútua M. As grandezas eléctricas são a tensão rotórica U r e a corrente

eléctrica rotórica I r, e a grandeza magnética é o fluxo magnético totalizado Ψ r.

A indutância rotórica, que é responsável pela criação de um fluxo magnético totalizado em cada

fase, tem uma componente correspondente ao fluxo de fugas e outra correspondente ao fluxo

magnético comum às duas partes das máquina. Como se considerou que é linear o circuitomagnético , os coeficientes de auto-indução são proporcionais ao quadrado do númeroefectivo de espiras Lsσ ∝ Nes2; Lrσ ∝ Ner2, e os coeficientes de indução mútua são proporcionais

ao produto do número efectivo de espiras de cada enrolamento Lrm ∝ (Nes·Ner); Msr ∝ (Nes·Ner).

Lr = Lrσ + (3/2)·Lrm ⇒ L’r = nsr2·Lrσ + nsr2·(3/2)·Lrm = L’rσ + nsr2·(3/2)·(Lsm /nrs2)

L’r = L’rσ + Mm (59)

como M = (3/2)·Msr, é Mm = nsr2·(3/2)·Lrm = (3/2)·Lsm = nsr·(3/2)·Msr = nsr·M.

A indutância estatórica também tem a parte correspondente ao fluxo magnético totalizado

comum reduzida.

Ls = Lsσ + (3/2)·Lsm ⇒ Ls = Lsσ + Mm (60)

A resistência rotórica reduzida é:

R’r = nsr2·Rr (61)

As grandezas eléctricas reduzidas ao enrolamento estatórico são:

U ’r = nsr· U r ; I ’r = (1/nsr)· I r ; Ψ ’r = nsr· Ψ r (62)

O modelo matemático (fasorial) do motor de indução trifásico reduzido ao estator, em regime

permanente sinusoidal simétrico, é constituído pelas equações magnéticas, eléctricas e

electromecânica:

~sr

Ψs = Lσs·Is + Mm·(Is + I’r)

Ψ ’r = Mm·(Is + I’r) + L’σr·I’r

Us = Rs·Is + jω·Ψs

U’r = 0 = Rr·I’r + j(sω)·Ψ’r

T = k·Re(j Ψs·I*s) = k·(Ψs × Is) (63)

Considerando apenas a expressão geral das equações eléctricas,

~sr Us = Rs·Is + jω·Lσs·Is + jω·Mm·(Is + I’r)

U’r = 0 = Rr·I’r + j(sω)·L’σr·I’r + j(sω)·Mm·(Is + I’r)



ou, considerando a reactância de fugas estatórica Xσs e a reactância de fugas rotórica reduzida ao

estator X’σr, assim como a reactância de magnetização reduzida ao estator Xm = ω·Mm,

~sr Us = Rs·Is + jXσs·Is + jXm·(Is + I’r)U’r = 0 = Rr·I’r + js·X’σr·I’r + js·Xm·(Is + I’r) (64)

A forma da equação eléctrica rotórica pode ser alterada por uma simples operação algébrica,

(multiplicação por 1/s) quando se considera que o circuito rotórico está em curto-circuito,

~sr Us = Rs·Is + jXσs·Is + jXm·(Is + I’r)0 = (Rr/s)·I’r + jX’σr·I’r + jXm·(Is + I’r) (65)

Estas equações (65) correspondem às equações obtidas através da aplicação da Teoria Clássica ao

estudo do motor de indução trifásico [CCC–2; (2.29)], mas, na realidade, são apenas um caso

particular de um sistema de equações (41) que rege o funcionamento do motor de indução

trifásico em qualquer regime de funcionamento.

5.4 Es que m a Elé c tric o Equiva le nte

No estudo efectuado considerou-se, sempre, que o motor de indução trifásico era uma máquina

simétrica e perfeitamente equilibrada pelo que os circuitos das três fases eram iguais . Assim,

as equações (65) traduzem o que se passa no circuito eléctrico de uma fase.

Às equações (65) pode, também, associar-se um circuito eléctrico. As equações eléctricas do motor

de indução resultariam, assim, da aplicação das Leis de Kirchoff a esse circuito. Surge, desta

forma, associado às equações eléctricas um circuito eléctrico equivalente por fase do

motor de indução trifásico.

Cada um das equações eléctricas representa uma malha desse circuito. Na malha correspondenteà equação eléctrica estatórica existe uma tensão aplicada U s que provoca a circulação de uma

corrente eléctrica I s, que irá provocar uma queda de tensão na impedância de fugas do estator,

Z σs = Rs + j Xσs. A corrente I s conjuntamente com a corrente rotórica reduzida ao estator I ’r é

responsável pela criação de um fluxo magnético girante que induz no enrolamento do estatoruma força electromotriz E s = j Xm·( I s + I ’r).

O fluxo magnético do campo girante induz no enrolamento estatórico dessa fase uma forçaelectromotriz E ’r ≡ E s = j Xm·( I s + I ’r), que vai provocar a circulação nesta segunda malha de uma

corrente rotórica reduzida ao estator I ’r, que provoca quedas de tensão na impedância de fugas do

rotor reduzida ao estator Z ’σr = R’r + j X’σr e na resistência variável com o deslizamento R’r/s.

Rs Xσσσσs

Xm R’r/

s

X’σσσσr

Us

Is I’r

Is

+

I’r



Rs Xσσσσs

Xm R’r/

s

X’σσσσr

Us

Is I’r

Is

+

I’r

Fig. 12 – Esquema eléctrico equivalente por fase reduzido ao estator

Este esquema eléctrico equivalente pode assumir outras formas [CCC–2; f 2.9]. Uma delas resultade se considerar que a resistência variável (R’ r/s) é a soma de uma resistência fixa R’ r e de umaresistência variável ((1 – s )/s)·R’ r: (R’r/s) = R’r + ((1 – s )/s)·R’r.

As equações eléctricas assumem agora a forma,

~sr Us = Rs·Is + jXσs·Is + jXm·(Is + I’r)0 = Rr·I’r + jX’σr·I’r + jXm·(Is + I’r) + ((1 – s)·Rr/s)·I’r (66)

e o circuito eléctrico equivalente por fase correspondente é:

Rs Xσσσσs

Xm

X’σσσσr

Us

Is I’r

Is

+

I’r

(1 –

s)·R

’r/s

R’r

Fig. 13 – Outra forma do esquema eléctrico equivalente por fase reduzido ao estator

Nestes esquemas eléctricos equivalentes não está representada a perda de energia no circuitomagnético: as perdas magnéticas. Habitualmente [CCC–2] tal é feito por uma resistência (Rm) em

paralelo com a reactância de magnetização (Xm). De acordo com a consideração de estudo o

ciclo histerético do material tem área nula, e como a sua superfície é proporcional à densidade de

perdas magnéticas do material ferromagnético do núcleo, as perdas magnéticas “são” nulas e não

podem aparecer representadas. Na realidade, como existem sempre perdas magnéticas elas são

consideradas apenas na análise energética do motor de indução trifásico.

Outras considerações de natureza física permitem estabelecer uma condição de estudo queassegura que o fluxo magnético permanece constante para todo o regime de carga da máquina I ’r.

Tal condição de estudo restringe o domínio de validade do modelo construído para o motor de

indução trifásico, mas permite obter um esquema equivalente simplificado por fase [CCC–2; f.

2.11].

Actualmente, a possibilidade de utilização de meios de cálculo poderosos, mas extremamente

acessíveis, retirou o interesse a estes métodos aproximados de estudo do motor de indução

trifásico em regime permanente sinusoidal simétrico; assim como a outros métodos gráficos



baseados nas mesmas aproximações — diagrama fasorial e diagrama circular.

5.5 A ná lis e Ene rgé tic a

No caso de um sistema electromecânico de conversão de energia que funciona como motor, isto é

que promove a conversão de energia eléctrica em energia mecânica com perdas de energia, a

aplicação do princípio da conservação de energia leva ao seguinte balanço energético [MVG–3]:

(a energia eléctrica consumida – a energia de perdas eléctricas) == (energia mecânica fornecida + a energia de perdas mecânicas) ++ (aumento de energia armazenada no campo magnético + a energia

dissipada em perdas magnéticas)

O diagrama energético para um motor está representado na figura seguinte:

Potnciatil

perdas Joule(estator)

perdasmecânicas

ENERGIA ELÉCTRICA ENERGIA MECÂNICA

PotênciaTotal

PotênciaTransformada

perdas Joule(rotor)

Fig. 14 – Diagrama energético para um motor eléctrico

Ao efectuar-se a análise energética do motor de indução trifásico em regime permanente

sinusoidal simétrico, tem de se atender a que se trata de uma análise global do comportamento

energético do motor, apesar de efectuada com auxílio do esquema eléctrico equivalente por fase.

Rs Xσσσσs

Xm

X’σσσσr

Us

Is I’r

Is

+

I’r

(1 –

s)·R

’r/s

R’r

EE ss tt aa tt oo rr RR oo tt oo rr

eenn

tt rree

ff eerrrroo

Fig. 15 – Esquema eléctr ico equivalente por fase do motor de indução trifásico

Nesta análise energética quando se considera que as grandezas eléctricas de alimentação estãorepresentadas pelos seus valores eficazes Us e Is, verifica-se que a potência total consumida pelo

motor de indução trifásico é dada pela potência activa eléctrica Pt = 3·Re( U s· I s*) = 3·Us·Is· cos ϕs.

Esta potência eléctrica destina-se a alimentar as perdas Joule no circuito estatóricoPJs = 3·Rs·Is2 mais a potência eléctrica activa que vai ser transferida para o rotor

Psr = 3·Es·Is·cos ϕs = 3·E’r·I’r·cos ϕr = 3·(R’r/s)·I’r2.

Como se considerou que no motor não existiam perdas magnéticas, , a potência eléctrica total

não alimenta essas perdas. E surge, assim, uma forma de considerar as perdas magnéticas



realmente existentes na dedução adoptada para obtenção das equações de funcionamento do

motor: considera-se que a potência total do motor é o valor da potência eléctrica absorvida pelo

motor menos o valor das perdas magnéticas da máquina.

Parte da potência eléctrica activa que foi transferida para o rotor é dissipada em calor, poeperdas Joule, no enrolamento rotórico PJr = 3·R’r·I’r2 = s·Psr, e a restante parte é convertida,

integralmente, em potência mecânica Pel = 3·(R’r/s)·I’r2 – 3·R’r·I’r2= 3·((1–s)/s)·R’r·I’r2= (1 – s) ·Psr =

= ωrm·Tel.

Parte daquela potência mecânica alimenta as perdas mecânicas da máquina Pmec (perdas por

atrito e de ventilação), enquanto que a parte restante fica disponível no veio da máquina comopotência útil, Pu = ωrm·Tm.

O rendimento em potência da máquina é dado por: η = Pu/Pt = (Pt – Pp)/Pt.

No circuito eléctrico rotórico existe uma parte da energia eléctrica — a energia de deslizamento —que pode ser alterada mediante a variação da resistência rotórica R”r = R’r + R’ext. Esta variação é

efectuada apenas no motor de indução trifásico com rotor bobinado, mediante a introdução deuma resistência variável Rext no circuito rotórico. O valor da energia de deslizamento pode ser

controlado, o que permite alterar a velocidade de rotação da máquina — controlo de velocidade —

ou pode ser recuperado para a rede eléctrica de alimentação do motor — recuperação da energia de

deslizamento.

Para o motor de indução trifásico funcionar necessita que lhe seja fornecida um energia eléctricareactiva para criar e manter o campo magnético da máquina. A potência reactiva total Qt =

3·Us·Is· sen ϕs vai alimentar o consumo de potência reactiva nas diferentes indutâncias

representativas da criação dos diferentes fluxos magnéticos (de fugas e comum) da máquina,

Qt = 3·Us·Is· sen ϕs = 3·Xs·Is2 + 3·Xm·(Is + I’r)2 + 3·X’r·I’r2 (67)

Como o motor de indução apresenta sempre um factor de potência indutivo menor do que a

unidade é importante a análise do seu comportamento como consumidor de energia reactiva.

5.6 Carac te rís t ic as de Func io nam e nto

A análise do funcionamento de um motor de indução trifásico em regime permanente sinusoidal

simétrico é constituída, essencialmente, pela determinação de uma série de valores das

grandezas características de funcionamento para diferentes valores da situação de carga do

motor, quando a tensão de alimentação é constante.

As grandezas físicas normalmente caracterizadas são a velocidade, a corrente eléctrica

absorvida da rede, o factor de potência do motor, o rendimento e o binário motor. Com conjuntos

desses valores são traçadas curvas características de funcionamento, relacionando duas ou três

grandezas físicas.

Para determinação dos valores das grandezas físicas características utiliza-se o modelo

desenvolvido, definido pelas equações (63), ou outras delas derivadas, ilustrado pelo esquema

eléctrico equivalente por fase (fig. 13) respeitando a análise energética feita para esta máquina.

Para esta determinação utilizam-se os valores dos parâmetros obtidos por ensaio experimental

ou por estimação na fase de projecto.

Os parâmetros característicos necessários à utilização do modelo reduzido ao estator do motor de

indução trifásico (eq. 66 e fig. 13) são:

Rs — resistência do estator Xσs — reactância de fugas do estator



Z s = Rs + j Xσs

R’r — resistência rotórica reduzida ao estator X’σr — reactância de fugas do rotor reduzida ao estator

Z ’ r = R’r + j X’σr

Xm — reactância de magnetização

Para facilitar a determinação das diversas grandezas físicas características do funcionamentodo motor de indução, considerando o efeito da impedância de magnetização Z m = jXm, pode-se

simplificar o circuito eléctrico equivalente com a utilização do teorema de Thévenin, ver

apêndice D.

5. 6. 1 D e t e rmin ação das G ran dez as Carac t e r ís t icas

Numa situação de carga da máquina em que se conhece a tensão de alimentação (valor eficaz) Us,

que se toma para origem das fases / 0° , e a velocidade de rotação do motor ωrm, podem

determinar-se as restantes grandezas características, quando se conhecem os parâmetros docircuito eléctrico equivalente da máquina e a respectiva velocidade de sincronismo ωs.

A partir da velocidade de rotação da máquina e da velocidade de sincronismo pode-se

determinar o valor do deslizamento,

s = (ωs– ωrm)/ωs

O que permite calcular o valor da resistência eléctrica rotórica reduzida,

R’r /s ou R’r e ((1 – s)/s)·R’r

Com utilização do teorema de Thévenin pode determinar-se a impedância série equivalente ao

conjunto das impedâncias rotórica reduzida e de magnetização,

Z Tr = (jXm·((R’r/s) + jX’σr))/((R’r/s) + j (Xm + X’σr))

e com este valor pode-se determinar a impedância equivalente ao circuito eléctrico,

Z cr = Z Tr + Z s = [(jXm·((R’r/s) + jX’σr))/((R’r/s) + j (Xm + X’σr))] + (Rs + jXσs)

Pode-se determinar o valor da corrente eléctrica absorvida pelo

motor,

4 I s = U s/ Z cr = | I s| / ϕ s

Como o motor de indução trifásico está a funcionar em regime

permanente sinusoidal simétrico o factor de potência do motor é:

4 λ ≡ cos ϕs

Considerando, agora o divisor de corrente formado pelo paralelo do circuito de magnetização e

pelo circuito rotórico reduzido, pode -se determinar o valor da corrente eléctrica rotóricareduzida ao estator I ’r,

4 I ’r = ( Z m/( Z ’r + Z m))· I s ou I ’r = [(jXm)/((R’r/s) + j(Xm + X’σr))]· I s

Pode-se agora seguir a análise energética para determinar as restantes grandezas características.

A potência total Pt absorvida pelo motor é:

4 Pt = 3·| U s|·| I s|·cos ϕs

A potência de perdas Joule no estator é:

PJs = 3·Rs·| I s|2

A potência transferida do estator para o rotor é:

Is

Us

RTr XTr

ZTr

Rs Xσσσσs



Psr = 3·(R’r/s)·| I ’r|2

A potência eléctrica transferida para o rotor alimenta as perdas Joule no rotor,

PJr = 3·R’r·| I ’r|2 = s·Psr

e a parte restante é integralmente convertida em potência mecânica no interior da máquina,

4 Pel = 3·[((1 – s)/s)·R’r]·| I ’r|2 = (1 – s)·Psr = ωrm ·Tel

O binário electromagnético tem por expressão:

4 Tel = (1/ωrm)·Pel = (1/ωrm)·3·[((1 – s)/s)·R’r]·| I ’r|2

Conhecendo-se o valor das perdas mecânicas Pmec, é possível determinar a potência útil Pu da

máquina,

Pu = Pel – Pmec

O binário motor Tm apresentado pela máquina no veio é:

4 Tm = Pu /ωrm

O rendimento em potência da máquina é:

4 η = Pu/Pt

Através deste conjunto de expressões pode-se determinar facilmente as características de

funcionamento do motor de indução trifásico para qualquer regime de carga. É de notar que se

torna muito fácil programar estas expressões, ou utilizar uma folha de cálculo electrónica

(spreadsheet) na determinação das características de funcionamento da máquina.

5. 6. 2 Carac t e r ís t ica Mecân ica T ( s )

Na caracterização do funcionamento das máquinas eléctricas utilizam-se curva características

de funcionamento. São representações gráficas da relação entre duas grandezas características

do funcionamento da máquina; os valores numéricos para o traçado dessas curvas

características podem ser determinados pela aplicação sucessiva das expressões anteriormente

apresentadas (5.6.1).

I

T

Pt

ωrm

= 0

1 0,8

ωs

0,6 0,4 0,2 0s

Fig. 16 – Curvas características do funcionamento do motor de indução trifásico



No entanto o andamento dessas curvas e o valor dos seus pontos importantes podem ser previstos

mediante a análise das respectivas expressões analíticas.

Como o motor de indução trifásico é uma máquina eléctrica assíncrona utiliza-se o

deslizamento s como parâmetro característico para prever o andamento da característica de

funcionamento mecânica T(s), que relaciona o valor do binário electromagnético com o

deslizamento.

Atendendo a que a potência eléctrica integralmente convertida em potência mecânica,

Pel = 3·[((1 – s)/s)·R’r]·| I ’r|2 = ωrm ·Tel

é uma função da corrente eléctrica rotórica reduzida ao estator, é necessário encontrar uma

expressão para o valor dessa corrente eléctrica. A aplicação do teorema de Thévenin ver apêndice

D permite determinar a impedância equivalente ao conjunto do circuito eléctrico estatórico e do

circuito de magnetização, assim como a tensão equivalente aplicada a esse circuito.

As respectivas expressões são (D.5 e D.6):

Z T = (jXm·(Rs+ jXσs))/(Rs+ j (Xm + Xσs)) = RT + j XT

U T = (jXm/(Rs+ j (Xm + Xσs))· U s = (A + j B)· U s

A impedância total do circuito vista dos terminais de entrada é:

Z cs = Z T + Z ’r = [(jXm·(Rs+ jXσs))/(Rs+ j (Xm + Xσs))] + (R’r/s) + jX’σr)

Z cs = (RT+ (R’r/s)) + j( XT + X’σr)

A corrente eléctrica rotórica reduzida ao estator tem por expressão:

I ’r = U T/ Z cs = ((A + j B)· U s)/((RT+ (R’r/s)) + j( XT + X’σr))

Como,

Pel = ωrm ·Tel = 3·[((1 – s)/s)·R’r]·| I ’r|2

e (1 – s) /ωrm = 1/ωs

Tel = 3ωs

· R'rs

· A2 + B2

RT + R'r s2 + XT + X'σr 2

· Us2

(68)

T

Ta Binário de

arranque

Binário Tmaxmáximo

Binário Tnnominal

1 0,8 0,6 0,4 0,2 0s



Uma análise dos principais pontos de funcionamento do motor de indução trifásico pode ser

feita com auxílio da expressão do binário electromagnético e com o andamento típico da

característica mecânica.

Arranque (s = 1)

No arranque do motor a velocidade angular do veio é nula ωrm= 0 e o deslizamento é unitário s =

1. Para esse valor do deslizamento a expressão (68) tem um valor não nulo T(s)|s=1 ≠ 0. Existe,por isso, um binário de arranque directo Tad que tem por expressão:

Tad = 3ωs

· R'r · A2 + B2

RT + R'r 2 + XT + X'σr 2 · Us2

Verifica-se que o motor de indução trifásico tem um binário de arranque intrínseco, por isso

tenderá a rodar quando lhe é plicada uma tensão nos terminais. O valor desse binário de

arranque pode ser alterado por alteração, na fase de projecto, dos valores das reactâncias de

fugas. Por construção o binário de arranque directo é superior ao binário nominal da máquina.

Sincronismo (s = 0)

Atendendo ao princípio de funcionamento do motor de indução trifásico verifica-se que esta

situação nunca chega a ser atingida quando a máquina funciona como motor. Teria de ser

accionada por uma outra máquina primária para funcionar com uma velocidade igual àvelocidade de sincronismo ωrm = ωs. Nesta situação binário electromagnético desenvolvido é

nulo Ts = 0.

Funcionamento em vazio (s ≈≈≈≈ 0)

Nesta região de funcionamento o binário desenvolvido pela máquina é muito pequeno e destina-

-se somente a alimentar o binário correspondente às perdas mecânicas da máquina. Porque essa

perdas mecânicas, apesar de pequenas, existem sempre a máquina nunca atinge a velocidade de

sincronismo.

Regime nominal (0,03 ≤≤≤≤ sn ≤≤≤≤ 0,05)

O ponto de funcionamento à plena carga encontra-se numa parte quase–rectilínea da

característica mecânica do motor (entre o binário nulo e o binário máximo). Nessa parte da

característica o funcionamento da máquina como motor é estaticamente estável: uma pequena

variação da velocidade não afasta a máquina do seu ponto de funcionamento [CCC–2].

Binário Máximo

No funcionamento do motor de indução entre o arranque e a plena carga existe um ponto em queo binário electromagnético desenvolvido atinge um valor máximo (Tmax, smax).

Conhecida a expressão do binário electromagnético desenvolvido num motor de indução

trifásico é possível determinar o valor do deslizamento que a torna máxima assim como o valor

desse máximo. Basta diferenciar a expressão (68), ou recorrer a um programa de cálculo

simbólico.

dT(s)/ds = 0 ⇒

smax = R'r

RT2 + (XT + X'σr)2

e o valor do binário máximo é:



Tmax = 32·ωs

· A2 + B2

RT + RT2 + (XT + X'σr)2

· Us2

O binário máximo não depende da resistência rotórica, mas o deslizamento para o qual ocorre o

binário máximo depende dessa resistência. O binário máximo é proporcional ao quadrado da

tensão de alimentação e inversamente proporcional ao valor das impedâncias rotóricas.

Outras regiões de funcionamento

Para além da região de funcionamento como motor (0 ≤ s ≤ 1) existem outras regiões de

funcionamento da máquina de indução trifásica.

Para um deslizamento maior do que a unidade (1< s < 2) a máquina funciona como freio porque o

rotor está a ser accionado numa direcção contrária à da direcção de rotação do campo magnético

girante por uma carga mecânica.

Para um deslizamento negativo (– ∞ < s < 0) a máquina é accionada com uma velocidade superiorà velocidade de sincronismo na direcção de rotação do campo magnético girante (ωrm> ωs). Nesta

situação de funcionamento tem de existir uma fonte de energia reactiva, para criação e

manutenção do campo magnético comum e do campo magnético de fugas, que poderá ser a rede

eléctrica a que máquina está ligada ou um banco de condensadores.

Energia de deslizamento

No circuito eléctrico rotórico existe uma parte da energia eléctrica que pode ser alteradamediante a alteração da resistência rotórica através de um reóstato Rext. Esta variação apenas

se pode efectuar no motor de indução trifásico de rotor bobinado. Com a variação da resistência

rotórica, por introdução de uma resistência variável em série nesse circuito, obtêm-se uma

alteração da característica mecânica do motor.

T

s Rext

Fig. 17 – Variação da característica mecânica do motor de indução trifásico de rotor bobinado

Dentro ds condições de estudo adoptadas foi possível caracterizar o funcionamento do motor de

indução trifásico em regime permanente sinusoidal simétrico. Eventualmente, podiam-se

efectuar outras aproximações atendendo à situação de funcionamento momentânea do motor.

5.7 Es t im aç ão do s Pa râm e tro s

A determinação do valor dos parâmetros que entram nas equações que regem o funcionamento

do motor de indução trifásico em regime permanente sinusoidal simétrico, e que são utilizados

no esquema eléctrico equivalente reduzido, pode ser feita através de um conjunto de ensaios, que

têm a particularidade da máquina nunca consumir a sua potência nominal; são, por isso,



ensaios económicos.

Estes ensaios são efectuados de acordo com o estipulado em Normas internacionais [IEEE–112].

Determinação da Resistência Estatórica por Fase

A medida da resistência estatórica Rs por fase é feita pelo método do voltímetro–amperímetro.

Efectua-se uma correcção para a temperatura de funcionamento da máquina (75 °C).

O valor da resistência é determinado medindo-se a tensão aplicada a dois terminais da máquina

e a corrente eléctrica que circula no circuito; como o circuito estatórico se encontra ligado em

triângulo há que efectuar a determinação do valor da resistência por fase.

A

V

A correcção da resistência Rsa medida à temperatura ambiente ta °C para o valor Rsc à

temperatura tc °C é feita através da fórmula:

Rsc = ((234,5 + tc)/(234,5 + ta))·Rsa

Com este ensaio determina-se o valor da resistência estatórica Rs.

Ensaio em Curto-Circuito com o Rotor Travado

Encontrando-se o rotor travado o deslizamento da máquina

durante este ensaio é unitário (s = 1). Como o rotor está

travado e o circuito rotórico está em curto-circuito é

necessário um valor de tensão reduzido (quando comparado

com a tensão nominal) para obter a circulação da corrente

eléctrica nominal no circuito estatórico. Como a tensão é reduzida, também são reduzidas as

perdas magnéticas, a indução magnética e a corrente de magnetização.

O circuito eléctrico equivalente por fase para esta situação é o representado na figura, onde se

despreza o circuito de magnetização.

Rs Xσσσσs

Xm

X’σσσσr

Ucc

Icc

R’r

Este ensaio envolve um esforço mecânico e térmico grande para a máquina: deve ser realizado

com brevidade e segurança.

Durante o ensaio mede-se o valor da corrente eléctrica estatórica Icc (igual à corrente nominal) , o

valor da tensão aplicada Ucc (com a frequência nominal fn), e a potência absorvida pela máquina



Pcc. Utiliza-se uma montagem de medida como a representada (em que se considerou a necessidade

de utilização de transformadores de medida de intensidade de corrente eléctrica).

W 1

W 2

ATI

TI

V√

M

3 ~

Com os valores lidos — Ucc ; Icc ; Pcc — determina-se o valor da impedância total do circuito

equivalente Zcc = Ucc/Icc, o valor da resistência total do circuito equivalente Rcc = Rs + R’r =

= Pcc/Icc2, e o valor da reactância total equivalente Xcc = Zcc2 – Rcc2 .

Como através da medida em corrente contínua da resistência do circuito estatórico já se conheceo valor da resistência Rs, é possível determinar o valor da resistência do rotor reduzida ao

estator: R’r = Rcc– Rs.

A separação da reactância estatórica de fugas Xσs e da reactância rotórica de fugas reduzida ao

estator X’σr pode-se fazer recorrendo às normas que estabelecem critérios empíricos para a

separação dessas reactâncias. A Norma IEEE–112 estabelece a seguinte relação entre as duasreactâncias (Xσs/X’σr).

Xσσσσs/X’σσσσr Xσσσσs X’σσσσr Tipo de Motor (descrição)

1 0,5·Xcc 0,5·Xcc classe A;rotor bobinado

motores com binário de arranque normal, simples gaiolade baixa resistência (geral)

0,67 0,4·Xcc 0,6·Xcc classe B * motores de dupla gaiola com baixa corrente de arranque

0,43 0,3·Xcc 0,7·Xcc classe C * motores com binário de arranque elevado e corrente dearranque baixa para potência superiores a 2,2 kW

* ensaio feito a uma frequência reduzida fr = sn·fn

Através do ensaio com o rotor travado e em curto-circuito é possível determinar os seguintes

parâmetros do esquema eléctrico equivalente por fase reduzido ao estator: reactância de fugas doestator Xσs; resistência rotórica reduzida ao estator R’r, e a reactância de fugas do rotor reduzida

ao estator X’σr.

Ensaio em Vazio

O ensaio em vazio do motor de indução trifásico permite determinar apotência das perdas mecânicas da máquina Pmec e fornece informação

sobre os parâmetros do circuito de magnetização Rm e Xm.

Este ensaio realiza-se fazendo rodar a máquina à tensão e frequência

nominal, sem carga mecânica.

Como o motor não possui carga mecânica a energia absorvida durante este ensaio destina-se

somente a alimentar as perdas existentes na máquina nesta situação de funcionamento.

Atendendo ao circuito eléctrico equivalente por fase reduzido ao estator para esta situação, em

que o valor do deslizamento é praticamente nulo (s ≈ 0), verifica-se que durante este ensaioexistem perdas eléctricas no circuito estatórico e perdas magnéticas Pmag representadas no

circuito de magnetização pela resistência Rm, e as perdas mecânicas Pmec devidas ao movimento



da máquina (atrito e ventilação).

Rs Xσσσσs X’σσσσr

Xm

Iso

(1 –

s)·R

’r/s

→→→→

∞∞∞∞

R’r

Assim, numa primeira fase há que separar as perdas eléctricas,

magnéticas e mecânicas; o que se faz determinando a variação dapotência de perdas magnéticas Pmag = Pto – (Rs·Iso2), com a tensão

Pmag(Uso) ou com o quadrado da tensão Pmag(Uso2) (apartir de uma

valor de Uso= 1,25·Un) O valor dessa potência estimado para a tensão

nula é o valor da potência de perdas mecânicas.

Durante o ensaio mede-se o valor da corrente eléctrica estatórica Iso

(reduzido relativamente à corrente nominal) , o valor da tensão aplicadaUso (tensão nominal com a frequência nominal fn, ou com frequência reduzida), e a potência total

absorvida pela máquina Pto. Utiliza-se uma montagem de medida como a representada.

W 1

W 2

A

V√

M

3 ~

Subtraindo à potência absorvida Pto as perdas Joule no enrolamento do estator (à temperatura de

ensaio) obtém-se a potência de perdas mecânicas e de perdas magnéticas. Subtraindo a essa

potência o valor das perdas mecânicas (atrás estimado) obtém-se o valor da potência de perdasmagnéticas: Pmag = Pto – (3·Rs·Iso2) – Pmec.

A corrente eléctrica absorvida neste ensaio I so está esfasada da tensão de alimentação U so, de um

ângulo ϕo, tal que cos ϕo = Pmag/(3·Uso·Iso). Pode-se, assim determinar a componente óhmica Ia =

Iso·cos ϕo, e a componente reactiva dessa corrente Im= Iso·sen ϕo Com estas duas correntes

eléctricas é possível determinar o valor dos parâmetros: Rm = Uso/Ia, e (Xσs+ Xm) = Uso/Im. A

prévia determinação do valor da reactância de fugas do estator Xσs permite determinar o valor da

reactância de magnetização Xm.

Uma análise crítica do valor da resistência Rm relativamente ao valor dos outros parâmetros

pode justificar a sua não consideração no esquema eléctrico equivalente simplificado reduzido

ao estator.

Através do ensaio em vazio é possível determinar os seguintes parâmetros do esquema eléctricoequivalente por fase reduzido ao estator: reactância de magnetização Xm; resistência de

magnetização Rm; potência de perdas mecânicas Pmec, e potência de perdas magnéticas Pmag.

Pmag

UsoUso

2Pmec



6. Notas de Modelização

Ao estabelecer-se um modelo matemático para o motor de indução trifásico com o auxílio do

Método dos Fasores Espaciais surgiram alguns aspectos importantes que, agora, são

apresentados nestas notas.

¿ Vantagens

A utilização do Método dos Fasores Espaciais tem vantagens:

a) O fasor espacial de uma grandeza tem um significado físico: como as suas

componentes estão definidas nos eixos de referência de cada fase da grandeza, o

fasor espacial dessa grandeza representa a direcção do eixo da distribuição da

grandeza no entreferro da máquina; a medida do fasor espacial é proporcional à

amplitude da grandeza e a sua posição no plano complexo coincide com todos os

máximos da forma de onda da grandeza.

O fasor espacial trifásico da tensão, da corrente eléctrica, ou do fluxo magnético

pode ser visualizado num osciloscópio, mediante a utilização de uma aparelho

auxiliar (“visualizador do vector de Park”); com tal aparelho é possível estudar o

comportamento destas grandezas, ou detectar avarias, [ESS–1].

b) A definição de fasor espacial trifásico não é restritiva f = C·(fa + a·fb + a2·fc). Como

é uma combinação ponderada dos fasores espaciais das fases pode assumir

diferentes aspectos. Assim, a constante C pode assumir outros valores para além de

C = 2/3. Atendendo à relação do fasor espacial trifásico de uma grandeza trifásica

com a transformação da grandeza trifásica pela transformada das componentes

simétricas trifásicas [MVG–5], verifica-se que ao escolher C = 2/3 se está a escolher

uma forma não ortogonal da transformada, o que implica que a potência não seja

invariante nesta transformação [CCC–3], ou na aplicação do fasor espacial

trifásico. Tal não sucederia com C = 3/2 .

No sistema trifásico uma carga absorve uma potência eléctrica com valorinstantâneo p = ua·ia + ub·ib + uc·ic; o valor dessa potência expresso em função dos

fasores espaciais das tensões e das correntes eléctricas é p = (3/2)·Re( u · i *) + 3·uo·io.

Verifica-se, assim, porque o sistema trifásico de grandezas em que se utiliza o fasorespacial trifásico não pode conter componente homopolar (uo = (1/3)·(ua+ ub+ uc) = =

0; io = (1/3)·(ia+ ib+ ic) = 0), o que se verifica em muitas das situações estudadas.

Com a definição adoptada o valor instantâneo de qualquer uma das fases da

grandeza resulta da determinação da parte real dos seguintes fasores espaciais:

fa (t) = Re( f ) fb(t) = Re(a· f ) fc(t) = Re(a2· f )

c) A variação de uma grandeza física que se pretende representar por um fasor

espacial trifásico no tempo pode ser uma qualquer; a variação da grandeza física

no espaço, desde que periódica, também pode ter um andamento qualquer.

A variação da grandeza no tempo pode ser de diversas tipo: variação contínua ou

variação por saltos. A variação no tempo não tem de ser sinusoidal nem tem de ter

uma frequência constante, o que aconselha a utilização do fasor espacial trifásico

na modelização de conversores electrónicos associados a máquinas eléctricas.



A variação da grandeza no espaço não necessita de ser sinusoidal, basta que seja

periódica. Sendo periódica, é decomponível em série de Fourier de termos

harmónicos [MVG–2], e cada um dos termos harmónicos pode ser representado por

um fasor espacial [STE–1],

f(θ) = ∑h Fmh· cos (h·(θ – θh)) F h = Fmh·exp(j θh)

o teorema da sobreposição garante que o resultado da actuação da grandeza com

uma forma de onda distorcida é uma combinação da resultante da actuação de cada

harmónico.

No entanto, carece de especial cuidado a combinação dos fasores espaciais

harmónicos das diferentes fases devido à variação do tipo de sistema trifásico com

a ordem do harmónico, (sistema directo h = 1, 7, 13, …; sistema inverso h = 5, 11, …).

d) As representações gráficas associadas

ao método dos fasores espaciais

permitem uma mais fácil percepção do

comportamento das grandezas físicas;

essencialmente nos casos em que esse

comportamento traduz variações

bruscas da amplitude ou da frequência

da grandeza, o que se traduz por uma

variação da amplitude e da velocidade

de rotação do fasor no plano complexo. O diagrama do lugar geométrico da

extremidade do fasor traduzirá bem essas variações.

e) É possível estabelecer uma representação gráfica para o binário electromagnético

da máquina porque ele é proporcional ao módulo do fasor do fluxo totalizado e ao

módulo do fasor da corrente eléctrica e é proporcional ao seno do ângulo espacialentre os dois fasores: Tel = k·| ψ s|·| i s|·sen ß.

Esta relação pode ser representada graficamente pela área do paralelogramo

formado pelos dois fasores espaciais.

ß

Tel

ψψψψs

is

ßTel

ψψψψs

is

¡ Outros Modelos para o Motor de Indução Trifásico

A modelização do motor de indução trifásico foi feita com a aplicação do Método dos

Fasores Espaciais, mas tradicionalmente nos estudos do comportamento deste

motor utilizava-se a Teoria Generalizada das Máquinas Eléctricas, [CCC–3] [JON–1]

[KRA–2]. Embora seja possível, e fácil, estabelecer uma relação entre os dois

métodos (“notações”) de modelização, a modelização através do Método dos Fasores

espaciais leva a uma formulação mais expedita das equações da máquina segundo

dois eixos ortogonais [CAS–2], e à consequente ligação a um universo vasto de

estudos já realizados sobre o motor de indução trifásico, [NOT–1] [KRA–2].

Re

Im

t = 0,01 0,02

0,03

0,04

t (s)

f



A modelização do motor de indução trifásico pela Teoria Generalizada das

Máquina Eléctricas permitia a formulação das equações da máquina segundo dois

eixos referenciais complanos e perpendiculares entre si, rodando a uma velocidadequalquer ωg, considerando-se essa formulação feita num referencial geral (G; d,q)≡

≡(g; x,y) mediante a aplicação sucessiva de transformações às equações em

coordenadas de fase da máquina. Atendendo a que o número de equações e de

parâmetros é elevado utiliza-se a notação matricial.

Considerando os parâmetros característicos do motor de indução trifásico,

definidos em 2.2, podem estabelecer-se as equações fundamentais da máquina

eléctrica no referencial natural do estator e no referencial natural do rotor;

trata-se da formulação das equações fundamentais em coordenadas de fase.

ψψψψa,b,c,1,2,3T = [L]·ia,b,c,1,2,3T Ua,b,c,1,2,3T = [R]·ia,b,c,1,2,3T + pψψψψa,b,c,1,2,3T

A este conjunto de equações fudamentais — magnéticas e eléctricas — pode-se

aplicar a transformada de Park, ou aplicar em cascata a transformada do número

de fases (3 ∅ 2) seguida da transformada entre eixos animados de velocidade

relativa.

a

bω r

c

1

2

3

x

y

α

ß

D

Q

[C ]1

p[C ]

2[C ]

ω r

ω r

ω gω g

dq



O resultado da aplicação da transformada de Park [Cp] ás equações fundamentais

em coordenadas de fase é um conjunto de equações num referencial geral (G; d,q):

equações no referencial d-q.

Considerando que os enrolamentos rotóricos do motor de indução trifásico estãocurto-circuitados, u1 = u2 = u3 = 0, é possível escrever as seguintes equações, [CCC–3]

equações magnéticas ψ = L · i

ψds = Ls·ids + M·idrψqs = Ls·iqs + M·iqrψdr = M·ids + Lr·idrψqr = M·iqs + Lr·iqr

equações eléctricas u = R · i + p ψ

uds = Rs·ids + pψds – ψqs·pθguqs = Rs·iqs + ψds·pθg + pψqsudr = 0 = Rr·idr + pψdr – ψqs·p θg – θruqr = 0 = Rr·iqr + ψds·p θg – θr + pψqr (69)

No referencial (G; d,q) a equação do binário electromagnético tem por expressão,

T = (3/2)· ψds·iqs – ψqs·ids (70)

x

yω g

ω gdq

Estas equações fundamentais do motor de indução trifásico encontram-se

implícitas na notação do fasor espacial trifásico. Como o fasor espacial trifásico éuma grandeza plana definida por duas quantidades (as suas componentes f = fx+ jfy , ou

(| f |, / f )) pode-se decompor as suas equações fundamentais (41),

ψs = ψsx+jψsy = Ls·(isx+jisy) + M·(irx+jiry)ψr = ψrx+jψry = M·(isx+jisy) + Lr·(irx+jiry)

us = usx+jusy = Rs·(isx+jisy) + d(ψsx+jψsy)

dt + jωg ·(ψsx+jψsy)

ur = urx+jury = 0 = Rr·(irx+jiry) + d(ψrx+jψry)

dt + j(ωg – ωr)·(ψrx+jψry)

(71)

obtendo-se um conjunto de equações fundamentais análogo ao anterior. Também

para a equação do binário electromagnético se verifica que:



T = k·Re(j ψs·i*s) = k·(ψs × is) = k· (ψsx+jψsy) × isx+jisy)

= k·(ψsx·isy – ψsy·isx) (72)

Mostra-se, assim, que a notação complexa das equações (41) apresenta vantagens

de escrita sobre a notação das equações (69-70).

Com a aplicação do Método dos Fasores Espaciais conseguiu-se uma forma fácil, e

com uma escrita simples, de obtenção de um modelo matemático para o motor de

indução trifásico. O modelo obtido pode ser utilizado no estudo do regime

permanente sinusoidal (5.) ou no estudo do regime transitório de funcionamento

daquele motor, [JON–1] [KRA–1].

¬ Regime Permanente Sinusoidal Simétrico

A utilização do Método

dos Fasores Espaciais

permitiu obter um

modelo matemático

(50-53) para o estudo do

funcionamento do

motor de indução

trifásico em regime

permanente sinusoidal

simétrico. Pode--se efectuar esse estudo para uma máquina real.

Este motor foi submetido aos ensaios económicos e depois foram tratados os dados obtidos.

A ligação do estator é em triângulo

Ensaio em corrente contínua — Resistência medida RUV = 2,868 Ω ; temperatura ambiente 22 °C.

Como a ligação dos enrolamentos de cada fase é em triângulo e se consideramiguais, a resistência lida é o valor da resistência, em corrente contínua, doagrupamento de resistências de fase RUV = Ra // (Rb + Rc) o que implica que aresistência de qualquer fase seja igual a 3/2 do valor lido: RUV = (3/2)·Rlido. Aresistência da estrela equivalente é Rs= RUV/2.

A correcção do valor da resistência para atemperatura de serviço (75 °C) dá:

Rs75= ((234,5+75)/(234,5+22))·2,868 = 1,21·2,868 = 3,46 Ω

A resistência eléctrica por fase do enrolamento equivalente em estrela(monofásico) é :

Rs = 3,46/2 = 1,78 Ω

No circuito equivalente em estrela a tensão aplicada a cada fase é a tensão simples (Ulido/ 3 ), e a

intensidade da corrente eléctrica é o valor lido nos ensaios efectuados com as montagens de medidaapresentadas (5.7).

Ensaio em Vazio — Uo = 380 V; Io = 5,21 A; Po = 354,5 W ( 1428 rot/min; R = 3,05 Ω)

Para separação das perdas magnéticas e das perdas mecânicas efectuou-se um ensaio de diminuição

TIPO

ISOL.CL. B V A kW

rot/min H z cos ϕϕϕϕ

AVROTOR

380 9,2 4

~~~~ ~~~~

0,81501430

M #4

a

b

c

Rs

U

V

RsUs

Is



gradual da tensão de alimentação,

Uo (V) 40 280 320 360 380 400 420

Io (A) 1,1 2,73 3,38 4,43 5,21 6,23 7,48

Po (W) 51,25 167,5 211,0 288,0 354,5 418,5 552,5

Constata-se, imediatamente, que este ensaio foi mal executado e que existe uma falta de valores entre Uo= 40 V e Uo = 280 V.

Apesar disso procurou-se obter, graficamente, a separação das perdas mecânicas e das perdasmagnéticas.

0

100

200

300

400

500

600 P (W)

0 105 210 315 420

U (V)

Y = M0 + M1*x + M2*x2

56,865M0-0,343M10,002M20,993R

0

50

100

150

200

250

300 P (W)

0 5,0 104 1,0 105 1,5 105 2 105

U2y = 31,884 + 0,0014x

Do traçado das curvas Po(Uo) e P(Uo2) estima-se que o valor das perdas mecânicas da máquina é um valor

obtido pela média das duas determinações,

Pmec = (56,865 + 31,884)/2 = 44,37 W

O valor das perdas magnéticas à tensão nominal é Pmag = Po – 3·Rs·Io2 – Pmec :

Pmag = 354,5 – (3·1,78·(5,27)2 – 44,37 = 282,3 W

A potência eléctrica que, em vazio, alimenta o circuito de magnetização à tensão e frequência nominal

é: Pmag = 282,3 W. Nesta situação cos ϕo = Pmag/( 3 ·Uo·Io), ou cos ϕo = 282,3( 3 ·380·5,21) = 0,082

O valor do sen ϕo ≈ 1, o que permite, desde já, justificar o desprezo do ramo óhmico do circuito de

magnetização face ao ramo indutivo.

Assim (Xσs + Xm) = Uo/(Ios·sen ϕo ) ou ( X σ s + X m ) = (380/ 3 ) /((5,21·0,997) = 42,23 Ω

Ensaio em Curto-circuito — Ucc = 91 V; Icc = 9,18 A; Pcc = 815 W

Considerando que neste ensaio toda a energia é consumida em perdas Joule é,

Pcc = 3·Rcc·Is2 ou Rcc = (Rs + R’r ) = Pcc/ (3·(Icc)2)

Rcc = (Rs + R’r ) = 815/(3·(9,18)2) = 3,22 Ω

Zcc = Ucc/(Icc/ 3 ) ou Zcc = (91/ 3 )/(9,18) = 5,72 Ω



Xcc = (Xσs + X’σr) = Zcc2 – Rcc2 ou Xcc = (Xσs + X’σr) = 5,722 – 3,222 = 4,73 Ω

Considerando que o motor é da classe de dimensionamento A, e que Xσs = X’σr = Xcc /2, resulta

X σ s = X ’ σ r = 4,73/2 = 2,36 Ω

Como Rcc = (Rs + R’r ) , é R’r = Rcc – Rs ou R’ r = 3,22– 1,78= 1,44 Ω

O valor da reactância de magnetização resulta de: (Xσs + Xm) = 42,23 Ω, ou X m = 42,23– 2,36 = 39,87

Ω

Pode-se, agora, representar o circuito eléctrico equivalente por fase reduzido ao estator,

Rs Xσσσσs

Xm

X’σσσσr

Us

Is I’r

Is

+

I’r

(1 –

s)·R

’r/s

R’r

1,78 Ω 2,36 Ω2,36 Ω 1,44 Ω

39,8

7 Ω

Com a utilização do circuito eléctrico equivalente reduzido ao estator é possível

determinar as características de funcionamento quando a velocidade de rotação é

de 1430 rot/min.

Conhecida a velocidade de funcionamento da máquina é possível determinar o deslizamento. Atendendo aque a máquina tem 4 polos (dado pela designação do tipo: M #4) e a frequência nominal é 50 Hz, a velocidadede sincronismo é de 1500 rot/min. O deslizamento é dado por

s = (ns– nr)/ns, ou s = (1500–1430)/1500 = 0,047 ou 4,7 %

O valor da resistência rotórica para aquela velocidade é de R’ r /s ou 1,44/0,047 = 30,64 Ω

A impedância de Thévenin é:

Z Tr = ((j39,87)·(30,64 + j2,36))/(30,64 + j(39,87+2,36)) = 17,89 + j15,21 Ω

A impedância do circuito é Z cr = Z Tr + Z s ou Z cr = (17,89 + j15,21)+(1,78 + j2,36) = 19,67 + j17,57 Ω

A corrente eléctrica absorvida pelo circuito eléctrico é:

I s = U s/ Z cr ou I s = ((380/ 3 ) / 0 ° ) /(19,67 + j17,57) = 8,32 / – 41 ,77° A

Na linha de alimentação do estator passará uma corrente eléctrica Isl = 8,32 A

O factor de potência do motor, nesta situação de carga, é:

λ = cos ϕs λ = cos (–41,77 °) = 0,746 i

A potência total fornecida à máquina, nesta condição de carga, é:

Pt = 3 ·Us·Isl ·cos ϕs ou Pt = 3 ·380·8,32·0,746 = 4 085,14W

A corrente eléctrica rotórica reduzida ao estator I ’r pode ser determinada atendendo ao divisor de corrente

formado, assim

I ’r = (jXm/((R’r/s) + j(Xm+ X’σr)) · I s ou Ι ’r =((j39,87/(30,64 + j(39,87 + 2,36) ·(8,32 / –41,77 ° ) A

então I ’r = 6,36 / –5, 81 ° A

A potência eléctrica transferida para o rotor é Psr = 3·(R’r /s)·I’r2

Psr = 3·30,64·(6,36)2 = 3718,13 W

A potência integralmente convertida de eléctrica em mecânica é Pel = (1 – s)·Psr,



Pel = (1 – 0,047)·3718,13 = 3543,38 W

Esta potência alimenta as perdas mecânicas (constantes) da máquina e dispõe no veio a potência útilPu = Pel – Pmec ou P u = 3543,38 – 44,37 = 3 499,0 W

O binário útil da máquina é Tu = Pu/ωrm, e como ωrm = 2π·nr ou ωrm = 2·π·(1430/60)= 149,7 rad/s

T u = 3 499,0/149,7 = 23,4 Nm

O rendimento da máquina, nesta situação de carga, é η = Pu/Pt,

η = 3 499,0/4 085,14 = 0,857 η = 85,7 %

A repetição dos cálculos efectuados para outros valores do deslizamento permitiriaa determinação das características de funcionamento: electromecânicas Pt(s) e Is(s)

e mecânica T(s).

√ Modelização de Conversores Electrónicos de Potência

Na actualidade o motor de indução trifásico funciona alimentado por um conversor

electrónico de potência, que permite o controlo do motor numa ampla gama de

velocidade.

O conversor electrónico de potência habitualmente utilizado a alimentação do

motor de indução trifásico é o inversor: inversor fonte de corrente eléctrica ou

inversor fonte de tensão [DEW–1].

O circuito de potência de um inversor em ponte trifásica está representado na

figura, tendo-se omitido o circuito de disparo dos tirístores.

O nome de inversor designa um conjunto

variado de conversores electrónicos que

promovem uma conversão de energia

eléctrica com as características de

corrente contínua numa forma com

características de corrente alternada. A

alimentação do inversor em corrente

contínua é feita a partir de uma fonte de

corrente contínua — rectificador

associado a um circuito de filtragem ou bateria. A saída do inversor pode ser

monofásica ou polifásica (trifásica) e a tensão e a frequência da saída podem ser

constantes ou variáveis.

O funcionamento do circuito de disparo dos tirístores desempenha um importante

papel na definição das características do inversor, em particular da forma de onda

das suas grandezas eléctricas de saída.

Como circuito electrónico o inversor pode ser

visto como um sistema formado por três

unidades em semi-ponte, em que os tirístores

superior e inferior de cada unidade,

alternadamente, entram e saem de condução.

Para se estudar o funcionamento do inversor, e

Inversor

Motor de

Indução

M

√

3

+

–

0 1



se estabelecer a respectiva forma de onda das grandezas de saída, consideram-se os

tiristores como comutadores ideais, com uma alteração instantânea do seu estado

de condução (!…).

ab

c

1

2

3

4

5

6

+

–

0 TT/6

T/3T/2

2T/35T/6

14

3

1

66

52

5

2

ua

ub

uc

uab

ubc

uca

t

a b c

1 0 1

1 0 0

1 1 0

0 1 0

0 1 1

0 0 1

0

T

T/6

T/3

5T/6

2T/3

T/2

√

Para cada intervalo de tempo correspondente a T/6 (≡ π/6 rad), a tensãoinstantânea em cada fase — ua, ub, uc — do inversor (idealizado) pode ser

determinada atendendo ao estado de condução dos elementos semicondutores.

O funcionamento do inversor em cada intervalo de tempo do período pode ser

caracterizado pelo respectivo fasor espacial trifásico. Recorre-se, para isso, àdefinição de fasor espacial trifásico da tensão u = (2/3)·(ua + a ·ub+ a2·uc), à

propriedade 1 + a + a2 = 0, e atribui-se um de dois estados à tensão em cada ramo —

+U × 1 ; –U × 0.

1º Intervalo: 0 < t < T/6 (1, 0, 1)

ua = U ub = –U uc = U

u (101) = (2/3)·(1 – a + a2)·U = (4/3)·a·U

2º Intervalo: T/6 < t < T/3 (1, 0, 0)

ua = U ub = –U uc = –U

u (100) = (2/3)·(1 – a – a2)·U = (4/3)·U

0 rada

u(101)

0 radu(100)



3º Intervalo: T/3 < t < T/2 (1, 1, 0)

ua = U ub = U uc = –U

u (110) = (2/3)·(1 + a – a2)·U = (4/3)·(–a2)·U

Os restantes intervalos do período podem ser representadospelos vértices de um hexágono com centro na origem u (000)ou u (111) conforme está representado na figura.

Verifica-se que ao fim de cada intervalo de tempo, ∆t = T/6, o fasor espacial

trifásico salta de π/3 rad, enquanto que durante o período mantém um valor e uma

posição constante.

Reu(100)

u(110)

Re

Imu(010)

u(100)

u(101)

u(110)

u(011)

u(001)

√

Em regime permanente, devido à cíclica comutação dos elementos semicondutores,

estabelece-se um regime periódico em que o fasor espacial trifásico da tensão passa

por seis diferentes posições fixas, com medida constante, durante um sexto do

período, efectuando um salto quando muda de posição. Note-se que o lugar geométrico da

extremidade do fasor espacial da tensão estatórica num regime permanente sinusoidal simétrico é uma circunferência (5.1),

que o fasor descreve com uma velocidade angular constante.

Quando se considera o comportamento real dos elementos semicondutores que não

passam instantaneamente do estado de não condução ao estado de condução, que

têm um tempo de atraso na comutação, verifica-se que o fasor espacial da tensão

não “salta” de π/3 rad ao fim de cada intervalo de tempo, mas o seu extremo

desloca-se ao longo de uma linha, como resultado da soma do fasor de uma tensão

que está a diminuir na fase que sai de condução e do fasor de uma outra tensão cujo

valor está a aumentar na fase que entra em condução.

˝ Este estudo é representativo das modernas condições de funcionamento de um

motor de indução trifásico alimentado por um conversor electrónico de potência

em que o regime de funcionamento

é uma sucessão permanente de estados transitórios.

Este regime de funcionamento provoca um aumento das perdas de energia no motor

de indução trifásico, provoca o aparecimento de oscilações no binário

electromagnético quando ocorre a comutação dos semicondutores e cria problemas

de ruído (audível) e de vibrações em regime contínuo de funcionamento do motor.

0 rad

u(110)

a2

–a2



Por isso um motor de indução trifásico projectado para funcionar em regime

permanente sinusoidal simétrico tem de ser desclassificado (diminuição criteriosa da

potência nominal) quando funciona alimentado por um inversor.

O mesmo tipo de estudo poderia ser efectuado para uma situação de alimentação do

motor de indução trifásico por um conversor electrónico de potência do tipo:

inversor alimentado em corrente eléctrica, [SUB–1].

ƒ Estratégias de Controlo

Quando o motor de indução trifásico funciona alimentado por um conversor electrónico

de potência o binário electromagnético do motor pode variar de formas diversas,

conforme a estratégia de controlo que está aplicada ao motor. Num passado recente

essas estratégias eram poucas porque eram muito caros os elementos analógicos

necessários para controlar o comportamento do motor. Actualmente, com a

utilização de elementos electrónicos digitais, com a utilização de métodos típicos

do Processamento Digital de Sinal, e com a utilização de métodos de modelização

dos sistemas de accionamento electromecânicos, como o Método dos Fasores

Espaciais, foi possível desenvolver estratégias de controlo que permitiram obter

elevadas características de funcionamento para o motor de indução trifásico.

Uma das estratégias de controlo adoptadas consiste no Controlo por Orientação do

Campo, [BLA–1]. Este método de controlo, que garante uma resposta rápida e estável

do binário, provoca um desacoplamento entre as duas componentes da corrente

eléctrica estatórica; a componente em quadratura com o fluxo totalizado é regulada

de forma a produzir o binário desejado, a componente responsável pela criação do

fluxo estatórico totalizado é regulada para alterar apenas o valor desse fluxo.

Existe, assim, um controlo independente da corrente eléctrica e do fluxo

magnético, análogo ao que se passa no motor de corrente contínua de excitação

separada T = k·φ·I.

O Controlo por Orientação do Campo do motor de indução trifásico só é possível se

for conhecida a posição do fasor espacial do fluxo. Tal conhecimento pode ser

obtido por dois métodos: método directo em que a posição do fluxo magnético é

detectada por sensores (efeito Hall) ou por bobinas de pesquisa; método indirecto em

que um modelo matemático do motor é utilizado para calcular a posição do fasor

do fluxo magnético e do fasor da corrente eléctrica estatórica.

Na modelização do motor de

indução trifásico com o Método dos

Fasores Espaciais obteve-se um

modelo para um sistema de eixos de

referência ou referência geral

(g, x,y), que ficou expresso pelo

conjunto de equações (41). Não

utilizando o índice g para qualificar

as grandezas e considerando as componentes ortogonais de algumas das grandezas

será:


us = Rs·is + dψs

dt + jωg ·ψs



T = k·Re(j ψs·i*s) = k·(ψs × is)



ψ s = ψsx + jψsy, i s = isx + j isy

T = k·( ψ s x i s) = k·(ψsx ·isy– ψsy·isx)

Como o referencial geral está

solidário com o fasor do fluxo

totalizado, então aquele fasor

tem somente uma componentesegundo o eixo directo, ψ s =

ψsx + j 0, ou | ψ s| = ψsx. Como o fluxo magnético totalizado do estator ψ s é composto

pelo fluxo de fugas desse enrolamento e pelo fluxo comum de magnetização,é ψ s = ψ σs + ψ m, em que ψ σs = Lσs· i s, e quando as bobinas do estator e do rotor têm o

mesmo número efectivo de espiras (3.2.1) ψ m = M· i m = M·( i s+ i r).

Assim, no referencial geral solidário com o fluxo magnético totalizado estatórico,e naquelas condições, é (porque i s x i s = 0):

T = k·( ψ s x i s) = k·[(Lσs· i s + M· i m) x i s] = k·M·( i m x i s] = k·( ψ m x i s)

T = k·( ψ m x i s) = k·(ψmx ·isy – ψmy·isx)

Devido à escolha da posição do referencial — coincidente com o fluxo magnéticototalizado estatórico — é ψ s = ψsx + j 0 e como ψ s = ψ σs + ψ m, é:

T = k·ψmx·isy = k·M·imx·isy

Desta forma, neste referencial geral, o binário electromagnético é proporcional aoproduto do módulo do fluxo totalizado de magnetização (| ψ s| = ψsx) e à componente

em quadratura do fasor espacial da corrente eléctrica estatórica (isy). Tal como na

máquina de corrente contínua com excitação separada, T = k·φ·I, pode-se controlar

separadamente a corrente de excitação (i ∅ φ) e a corrente de carga da máquina (I).

A implementação de um sistema de controlo do circuito de disparo dos tiristores do

inversor que obedeça a esta estratégia de controlo é complexa, exigindo que o

sistema tenha possibilidade de calcular (em tempo real) os valores de referência

característicos da situação de funcionamento da máquina. Tais valores terão de

ser comparados com os valores reais, e o erro irá actuar obre o circuito de controlo

de disparo dos tirístores.

ψm ≡ ψmx

x

y

sD

sQ

θg

ωg ≡ ωs

is

isx

isy



Inversor

Motor de Indução

M

√

3

Circuitode

Comandodos

Tir ístores

––

–

2

3

θr

isxref

isyref

exp(j θθθθ g)isDref

isQref

iscref

isaref

isbref

+

–

θsrefθg

Mod

elo

M

ate

máti

codo

Mot

or d

e In

du

ção

Tri

fási

co

imref

ωrmref

–MVG.93 –



Referências B ib lio g rá f ic as

[ADK–1] B. Adkins R. G. Harley; “The General Theory of Alternating Current Machines”, Chapman & Hall, 1975[ALG-1] P. L. Alger; “Induction Machines — their behavior and uses”, Gordon & Breach, 1970[BAR–1] Ph. Barret; “Régimes Transitoires des Machines Tournantes Électriques”, Eyrolles, 1982[BLA–1] Felix Blaschke; ”The Principle of Field Orientation as Applied to the New TRANSVEKTOR Closed-Loop

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de Instalações Industriais”, FEUP, 1988[CAS–2] Carlos Araújo Sá; “Método dos Fasores Espaciais na Modelização de Máquinas Eléctricas Rotativas”,

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McGraw-Hill, 1987_____



APÊNDICE A

O Enrolamento em Gaiola

O circuito eléctrico rotórico de um motor de indução trifásico é um circuito eléctrico em curto-circuito, dotipo “gaiola de esquilo”. A forma do circuito eléctrico rotórico é a de um conjunto de condutores comdesenvolvimento axial, dispostos ao longo do comprimento útil da máquina, e curtocircuitados nasextremidades pelos anéis de topo maciços.

Os condutores do rotor não estão isolados, mas sendo constituídos, essencialmente, por alumínio(eventualmente, por cobre), têm uma resistividade, ρAl = 2,8 x 10–8 Ω·m (ou, em cobre ρCu = 1,72 x 10–8 Ω·m), que

é muito menor do que a resistividade do material ferromagnético ρFe = 100 x 10–8 Ω·m, que se apresenta

laminado e, eventualmente, com isolamento entre as chapas. Por isso, o percurso das correntes eléctricasestá razoavelmente definido, e o circuito eléctrico está delimitado.

O formato das ranhuras rotóricas, e, portanto, doscondutores eléctricos rotóricos é variado. No caso docircuito rotórico ser em alumínio com algumasimpurezas, este é vazado por injecção ou por gravidade,num molde formado pelo circuito magnético e por moldesterminais devidamente adaptados. O circuito eléctrico é criado todo de uma vez, podendo ser logo moldadasaletas de ventilação nos anéis rotóricos.

Quando o circuito eléctrico rotórico é em cobre, as barras de cobre são colocadas manualmente nasranhuras e os anéis de topo são ligados às barras por soldadura a alta frequência. Procura-se que as barrasfiquem bem adaptadas às ranhuras (travadas), de forma a evitar vibrações durante o funcionamento domotor de indução trifásico. Alguns fabricantes, como fase final do fabrico do rotor de um motor de induçãotrifásico, mergulham-no numa resina epoxy, que depois é endurecida a temperatura elevada (curada) emestufa.

São vários os tipos de ligação entre asbarras rotóricas e os anéis de topo,como esquematicamente estárepresentado na figura.

A gaiola rotórica de motor de induçãotrifásico constitui um enrolamentopara máquina eléctrica de correntealternada com particularidades interessantes.

a É um enrolamento com o número de pólos igual ao do enrolamento estatórico (2p) — como ocampo magnético indutor tem uma distribuição espacial com 2p pólos, o sentido das forçaselectromotrizes induzidas nas barras do enrolamento rotórico variará com a polaridade docampo magnético indutor.

⊗ ⊗ ⊗ ⊗ ⊗ ⊗ ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ ⊕

Fs

erir

1;

16

As correntes eléctricas que circulam nas barras, também, terão um sentido que acompanhará

√



a variação do campo magnético indutor. Por isso, o campo magnético criado por essascorrentes eléctricas, o campo magnético de reacção do induzido, terá tantas alternâncias (2p)quantos os pólos do campo magnético indutor.

a É um enrolamento polifásico — como a variação do campo magnético indutor é sinusoidal noespaço do entreferro da máquina, também as forças electromotrizes induzidas nas barras doenrolamento rotórico têm uma variação sinusoidal no tempo. O ângulo de esfasamentotemporal entre as forças electromotrizes induzidas em duas barras consecutivas é igual aoângulo de ranhura rotórico γr ( = p·2π/br rad elect ). Repetindo-se tudo para os pólos seguintes.

Assim, o número de fases do enrolamento rotórico é igual ao número de ranhuras por pares depólos: mr = br/p.

a É um enrolamento com um número de espiras por fase igual a 1/2 — porque cada fase éconstituída somente por uma barra (lado de ida). Um dos anéis funciona como união daligação em estrela das diferentes fases, enquanto que o outro anel cria o curtocircuito entrefases.

a É um enrolamento com um factor de distribuição igual a 1 — porque tem um número deranhuras por polo e por fase igual à unidade, b´ = 1.

a É um enrolamento com um factor de encurtamento igual a 1 — porque tendo um número deranhuras por polo e por fase igual à unidade não existe o ângulo de encurtamento doenrolamento, ρ = 0.

O factor de enrolamento é igual à unidade, Ke = Kd·Kc = 1. De facto, verifica-se que a força electromotriz

resultante por fase no enrolamento é igual ao módulo da força electromotriz induzida na ranhuracorrespondente do polo e da fase; 1= Er/b´·Ec.

Esta análise clássica do enrolamento rotórico em gaiola assenta na hipótese de que o valor instantâneodas correntes eléctricas rotóricas tem uma distribuição espacial sinusoidal. Trata-se de uma hipóteseplausível para estudo do funcionamento em regime permanente do motor de indução trifásico. Existemoutras hipóteses de análise deste tipo de enrolamento, como a que considera que o enrolamento em gaiolaé uma série de vários circuitos eléctricos em malha interligados.

Frequentemente os condutores rotóricos (barras) do motor de indução trifásico apresentam-se inclinados

relativamente ao eixo da máquina. Uma forma de considerar a inclinação dos condutores da gaiola, devido àinclinação das ranhuras rotóricas, é através do factor de inclinação . Este factor traduz a razão entre a forçaelectromotriz induzida numa barra com um ângulo de inclinação α, e a força electromotriz induzida namesma barra sem inclinação.

Na hipótese de estudo de o campo magnético ter uma distribuição sinusoidal no espaço, e de a variação darelutância do circuito magnético no espaço, devido às ranhuras estatóricas (semifechadas), ser tambémsinusoidal, a inclinação das ranhuras rotóricas provoca uma atenuação dos harmónicos de ranhura doestator, [CCC–2].

√



APÊNDICE B

Transformação entre Referenciais Animados de Velocidade Relativa

No estudo das máquinas eléctricas pela Teoria Generalizada há necessidade de fazer a transformaçãoentre grandezas referidas a eixos de referência, ou referenciais, diferentes. No caso em que os dois eixos dereferência estão animados de uma velocidade relativa ωr = dαr/dt, por exemplo quando um referencial está

solidário com o estator e o outro referencial está solidário com o rotor, é necessário fazer a respectivatransformação para um referencial único, [CCC-3].

Considerando, como na figura B1, que o referencial solidário com o rotor (r; α,ß) está avançado de αrradianos eléctricos sobre o referencial solidário com o estator (s; D,Q], que as bobinas têm um mesmonúmero efectivo de espiras N, e que a força magnetomotriz criada pelas correntes eléctricas queatravessam as bobinas têm de ser iguais, resulta que a igualdade de efeitos magnéticos nos dois sistemas éobtida quando:

D

Q

αααα

ββββω r

rα

D

Q

αααα

ββββω r

rα

N·i

N·iD

N·iQ

Fig. B1 - Referenciais animados de velocidade relativa ωr

N iD = N iD cos αr + N iQ cos (90° - αr) = N iDcos αr + N iQ sen αr

N iQ = –N iD cos (90° - αr) + N iQ cos αr = –N iDsen αr + N iQ cos αr

Desta expressão resulta, após simplificação, a equação matricial que liga as variáveis nos dois referenciaisatravés da matriz de transformação [C2], [JON–1].

iα

iβ

= cos αr sen αr

– sen αr cos αr·

iD

iQ (B.1)

iα,ß = [C2]·iD,Q (B.2)

Verifica-se que [C2]T = [C2]–1, pelo que a transformada é ortogonal.

O índice dois da transformada indica apenas que na Teoria Generalizada das Máquinas Eléctricas esta é asegunda transformada que, antes de ser aplicada, é precedida por uma transformação do número de fases[C1].



APÊNDICE C

A Expressão do Binário Electromagnético como Resultado da Lei de Ampère

A expressão do binário electromagnético, escrita como função dos fasores espaciais das grandezasreferidos ao referencial do estator, (s; D,Q) também pode ser obtida como resultado da aplicação directa daLei de Ampère, [MCB–1 ; D.25].

Considera-se o circuito estatórico formado por três bobinas afastadas de 2π/3 rad elect. e percorridas porum sistema trifásico de correntes eléctricas, com uma variação no tempo qualquer mas esfasadas de 2π/3rad elect. , e de valor instantâneo ia, ib, ic. Este sistema de correntes estatóricas pode ser representado peloseu fasor espacial trifásico i s, porque não existe componente homopolar (ia,+ ib, + ic = 0).

Cada uma das bobinas possui um número igual de espiras eficazes Nes. A força magnetomotriz total criadapelo circuito estatórico tem o valor Nes ·| i s|. Esta força magnetomotriz distribui-se pelo espaço de

entreferro correspondente a cada fase (γ = r·π/3) com uma densidade periférica com um valor máximo iguala Jm= Nes·| i s|./γ = 3·Nes·| i s|./(r·π).

A variação desta densidade periférica de corrente eléctrica ao longo do entreferro é, por construção,sinusoidal: J(θ) = Jm·cos (θ).

b

a

b'

c

a'

c'α

θ

γ

r di

A presença de uma onda girante de força magnetomotriz, neste caso em que se considera que o circuitomagnético tem propriedades lineares origina a existência de um campo magnético caracterizado por

um fluxo médio por polo φ s. Na área correspondente a um polo existe uma indução magnética com uma

distribuição sinusoidal B(θ) = Bm·cos (θ + α) cujo valor médio aritmético é Ba = (2/π)·Bm.

O fluxo magnético totalizado estatórico ψ s= Nes· φ s tem uma medida dada por | ψ s| = Nes · | φ s|, por isso o

valor máximo da indução magnética estatórica é: Bm = | ψ s|/(2·Nes·l·r).

A força mecânica elementar df que se exerce sobre uma porçãoelementar da banda de corrente eléctrica estatórica di tem um valor que

resulta da aplicação da Lei de Ampère ( f = i ·l x B ), numa situação

em que as grandezas, por construção, têm uma posição perpendicularno espaço: df = l·B·di.

Com o esta força elementar se exerce a uma distância r do eixo derotação desenvolve-se um binário electromagnético elementar queactua sobre esta porção elementar da bobina estatórica: dTss = r·df =

= r·l·B·di.

Como a porção elementar da banda de corrente tem um valor di == J(θ)·r·dθ, o valor do binário electromagnético elementar produzido aquela banda elementar de corrente é:

dTss = r·l·B(θ)·J(θ)·r·dθ = r2·l·Bm·Jm·cos(θ)·cos(θ + α) dθ

dfr

Tss = – Tel



O valor do binário electromagnético total, que é produzido pela máquina ao longo da periferia do entreferro(0 – 2π rad elect.).

Tss = r2·l·Bm·Jm·⌡⌠0

2πcos(θ)·cos(θ + α) dθ = r2 ·l·Bm·Jm·cos (α)

Substituindo os valores de Jme Bm encontrados,

Jm = 3·Nes·| i s|./(r·π) e Bm = | ψ s|/(2·Nes·l·r).

obtém-se:

Tss = (3/2)·| ψ s|·| i s|·cos (α)

Como o ângulo espacial entre o fasor das correntes eléctrica estatóricas e o fasor do fluxo magnéticototalizado estatórico deve ser π/2 rad elect. , resulta que α = π/2 – ß, e atendendo á definição de produtovectorial simbólico, [MCB–1], e determinando o binário electromagnético que actua no rotor (Tel = – Tss),

Tel = – Tss = (3/2)·| ψ s|·| i s|·sen(ß) = (3/2)· ψ s x i s

Verifica-se, assim, que o binário electromagnético é uma grandezadireccional.

Verifica-se que o valor do binário electromagnético é máximo quando secosegue que o ângulo espacial ß entre o fasor espacial das correnteseléctrics estatóricas i s e o fasor espacial do fluxo totalizado estatórico ψ sé de π/2 radianos eléctricos.

D

b

Tel

— .C —

ß

Tel

ψψψψs

is



APÊNDICE D

O Teorema de Thévenin na Simplificação do Circuito Eléctrico EquivalenteReduzido ao Estator

Num esforço de simplificação das expressões utilizadas para determinar as características defuncionamento do motor de indução trifásico em regime permanente sinusoidal simétrico a partir docircuito eléctrico equivalente por fase reduzido ao estator podem estabelecer-se um conjunto de hipótesessimplificativas relativas ao valor dos parâmetros do circuito de magnetização:

— “o valor da resistência representativa das perdas no circuito magnético Rm é muito grandequando comparado com o valor da reactância de magnetização Xm, (na realidade é

Rm ≅ 10·Xm). Por isso despreza-se a corrente eléctrica Ia = |( I s+ I ’r )|·cos ϕo face à corrente

eléctrica Im = |( I s+ I ’r )|·sen ϕo”;

— “considerando-se que a reactância de magnetização Xm e a resistência de magnetização Rm

são muito grandes despreza-se a influência da impedância de magnetização no circuito”.

Estas hipóteses restritivas são desnecessárias porque com a aplicação do teorema de Thévenin se podesimplificar o circuito eléctrico equivalente por fase reduzido ao estator.

Rs Xσσσσs

Xm

Us

IsI s + I’ r

Rm

RT XT

UT

ZT

R’r/s X’σσσσr

I’r

RT XT

UT

ZT

Fig. D.1 – Aplicação do Teorema de Thévenin

O teorema de Thévenin estabelece que [MIT–2]:

• um circuito eléctrico formado por elementos passivos e por fontes de tensão, quando visto dedois pares de terminais, pode ser reduzido a uma fonte de tensão U T em série com umaimpedância de valor constante Z T;

• a tensão da fonte U T é igual à tensão entre os dois terminais, quando o circuito está em

aberto;

• a impedância em série U T é igual à impedância do circuito eléctrico visto dos mesmos

terminais, quando todas as fontes de tensão são substituídas por ligações directas comimpedância nula.

Num esforço de simplificação da notação faz-se:

Z m = 1/ Y m = 1/(Gm– jBm), com Gm= 1/Rm e Bm= 1/Xm



A impedância do estator é Z s = Rs+ jXσs.

* U T = Z m· I s= ( Z m/( Z m+ Z s))· U s (D.1)

* Z T = Z s // Z m = ( Z m· Z s)/( Z m+ Z s) (D.2)

Para o esquema eléctrico equivalente por fase do motor de indução trifásico reduzido ao estator é:

UT = Zm

Zm + Zs ·Us

UT = 1 (Gm – j Bm)

1 (Gm – j Bm) + (Rs + j Xσs) · Us = 1

(1 + Rs·Gm + Xσs·Bm) + j (Xσs·Gm – Rs·Bm) · Us

(D.3)

ZT = Zm · Zs

Zm + Zs

ZT = 1 (Gm – j Bm) · (Rs + j Xσs)

1 (Gm – j Bm) + (Rs + j Xσs) =

(Rs + j Xσs)

(1 + Rs·Gm + Xσs·Bm) + j (Xσs·Gm – Rs·Bm)(D.4)

Como em alguns estudos de modelização não se considera a resistência de magnetização (Rm = ∞), é:

UT = 1(1 + Xσs·Bm) – j Rs·Bm

· Us = Xm

(Xm + Xσs) – j Rs · Us =

j Xm

Rs + j (Xm + Xσs) · Us

(D.5)

ZT = (Rs + j Xσs)

(1 + Xσs·Bm) – j Rs·Bm =

Xm·(Rs + j Xσs)

(Xm + Xσs) – j Rs =

j Xm·(Rs + j Xσs)

Rs + j (Xm + Xσs) (D.6)

Eventualmente, pode existir a necessidade de aplicar o teorema de Thévenin à malha representativa docircuito rotórico reduzido ao estator .

ZTr = Zm · Z’r

Zm + Z’r

ZTr = ((R’r/s) + j X’σr)

(1 + X’σr·Bm) – j (R’r/s)·Bm =

Xm·((R’r/s) + j X’σr)

(Xm + X’σr) – j (R’r/s) =

j Xm·((R’r/s) + j X’σr)

(R’r/s) + j (Xm + X’σr) (D.7)

Is

Xm

Us

I s + I’ r

RTr XTr

ZTr

R’r/s X’σσσσr

I’r

RTr XTr

ZTr

Rs Xσσσσs



APÊNDICE E

Símbolos para Grandezas e Unidades

G R A ND E ZA U NI DA D E

comprimento l metro mmassa m quilograma kgtempo t segundo s

ângulo (plano) α, β, γ radiano radângulo de rotação θ radiano radvelocidade angular ω, Ω radiano por segundo rad/s

força F newton Nbinário T newton metro N·m

momento de inércia J quilograma metro quadrado kg·m2

coeficiente de atrito D newton metro segundo por radianonewton por metro por segundo

N·m·s/radN/m/s

energia E, W joule Jpotência P watt W

campo eléctrico E volt por metro V/mpotencial (eléctrico) V volt V

tensão u, U volt Vforça electromotriz e, E volt V

capacidade C farad F

intensidade da corrente eléctrica i, I ampere Acampo magnético H ampere por metro A/m

força magnetomotriz F, Fm ampere Aindução magnética B tesla T

fluxo magnético ψ, φ; Ψ, Φ weber Wb

potencial vector magnético A weber por metro Wb/mcoef. auto-indução L henry H

coef. indução mútua M henry Hresistência R ohm Ω

relutância R, Rm 1 por henry H–1

potência aparente S volt–ampere VApotência activa P watt W

potência reactiva Q volt–ampere reactivo varfactor de potência λ - -

frequência f hertz H zpulsação ω radianos por segundo rad/s

diferença de fase ϕ, φ radiano raddeslizamento s - -

número de espiras N - -número de fases m - -

número de pares de pólos p - -número de rotações por

unidade de tempon rotações por segundo rot/s

temperatura absoluta T kelvin Ktemperatura Celsius t grau Celsius º C

– M V G . 9 3 –

© Manuel Vaz Guedes Rascunho_1993


modelização

Manuel Vaz Guedes(Prof. Associado Agre gado)

F a c u l d a d e d e E n g e n h a r i a

U n i v e r s i d a d e d o P o r t o

ÍN DICE

1. Aspectos Construtivos do Motor de Indução Trifásico(Estator, Rotor , Estrutura Mecânica)

2. Condições de Estudo2.1 Hipóteses de estudo2.2 Parâmetros2.2.1 Parâmetros Eléctricos2.2.2 Parâmetros Mecânicos3. Modelização3.1 O Método dos Fasores Espaciais3.2 Equações Fundamentais3.2.1 Equações Magnéticas3.2.2 Equações Eléctricas3.2.3 Equação Electromecânica3.2.4 Equação Mecânica3.2.5 Síntese4. Um Modelo com Valores Reduzidos5. Funcionamento em Regime Permanente Sinusoidal Simétrico5.1 Comportamento das Grandezas5.2 Equações Fundamentais5.3 Modelo Reduzido ao Estator5.4 Esquema Eléctrico Equivalente5.5 Análise Energética5.6 Características de Funcionamento5.6.1 Determinação das Grandezas Características5.6.2 Característica Mecânica T(s)5.7 Estimação dos Parãmetros6. Notas de Modelização

(Vantagens; Outros Modelos para o Motor de Indução Trifásico;Regime Permanente Sinusoidal Simétrico; Modelização de Conversores Electrónicos;Estratégias de Controlo)

Referências BibliográficasApêndicesA O Enrolamento em GaiolaB Transformação entre referenciais animados de velocidade relativaC A Expressão do Binário Electromagnético como Resultado da Lei de AmpèreD O Teorema de Thévenin na Simplificação do Circuito Eléctrico Equivalente Reduzido ao EstatorE Símbolos para Grandezas e Unidades

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motor de indução trifásico modelização - paginas.fe.up.pt · fig. 4 – motor de indução...

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