motivação /modelagem /simulação /controle /otimização ... · coneeq - bh - 2011 12 13/1/2011...

Jorge Otávio [email protected]

Luciane Ferreira [email protected]

Departamento de Engenharia QuímicaUniversidade Federal do Rio Grande do Sul

http://www.enq.ufrgs.br

Modelagem, Simulação, Controle e Otimização de

Colunas de Destilação:Vinculando o

Mundo Real ao Virtual

Motivação / Modelagem / Simulação / Controle /Otimização / Ferramentas / ++

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Modelagem, Simulação, Controle e Otimização de Colunas de Destilação -- Jorge & Luciane Trierweiler

Colunas de Destilação são o principal processo de separação usado industrialmente. Apresentam um considerável consumo energético, desta forma, qualquer melhoria operacional tem um impacto significativo na demanda energética e ambiental.


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Perguntas: • Quais são os objetivos operacionais da coluna?▫ Composição de topo e fundo▫ Operação sem inundação▫ Operação sem esvaziamento ou transbordo dos vasos de topo e fundo

▫ Pressão ▫ Aumento e diminuição da carga da unidade

▫ Segurança ▫ ...


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Unidade de Separação de Gás Natural – UPGN

Museu de História Natural de Houston (USA)


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Desbutanizadora


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Fracionadora de Propeno

•228 Pratos •Temperatura de topo 29ºC•Temperatura de fundo 31°C•Bomba de calor: Delta P = 7,5 kgf/cm²


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Condensador


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Vaso de “Topo”Motivação / Modelagem / Simulação / Controle /Otimização / Ferramentas / ++

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Válvula de Controle


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Válvulas de Três Vias


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Medidor de Temperatura


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• Separa o benzeno do tolueno e componentes aromáticos de maior ponto de ebulição;

• 55 pratos;• Azeótropo água/benzeno;• Benzeno: retirada lateral;• Temperatura topo = 80°C;• Temperatura fundo = 135°C;

FRACIONADORA DE BENZENOMotivação / Modelagem / Simulação / Controle /Otimização / Ferramentas / ++

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FRACIONADORA DE BENZENO: INSTRUMENTAÇÃO

MEDIDORES DE VAZÃO, baseados em placa de orifício.


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MEDIDORES DE NÍVEL: 3 transmissores de nível do tipo capacitivo• Fundo da torre;• Nível de condensado no reboiler;• Nível do vaso de topo;• Um medidor de diferencial de nível (empuxo). • A coluna também conta com 3 visores de nível.


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MEDIDORES DE PRESSÃO: 2 transmissores de pressão do tipo capacitivo e 5 medidores locais (manômetros)Segurança: PSHCO08 → fecha a válvula de vapor quando P = 1,6 kgf/cm²


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VÁLVULAS DE CONTROLE: • 5 válvulas do tipo “globo” • 3 válvulas do tipo “camflex”


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Internos – Tipos de Pratos


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Comparação entre os tipos de pratos

Fonte: Williane Lopes Carneiro – Apostila Braskem (2010)


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Curvas de Operação de uma Coluna


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Coluna Recheada


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Tipos de Graus de Liberdade

Graus de Liberdade OperacionaisGraus de Liberdade de Projeto


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Perguntas (cont.): • Quais são os graus de liberdade operacionais? Variáveis manipuladas (manipulatedvariables, MVs)? ▫ Válvula (vazão) de topo (D) ▫ Válvula (vazão) de fundo (B)▫ Válvula (vazão) do fluido de refrigeração (AR)

▫ Válvula (vazão) do fluido de aquecimento (V)

▫ Válvula (Vazão) de refluxo (L)


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• Qual é a instrumentação necessária? Quais são os medidores?▫ Nível do vaso de topo (LI)▫ Medidor do nível do vaso de fundo (LI)

▫ Pressão Total (PI) ▫ Diferença de Pressão (PDI)▫ Vazão (FI)▫ Temperaturas (TI)▫ Composição (AI)

Perguntas (cont.):


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• Quais são os principais distúrbios ?

▫ Vazão de alimentação

▫ Temperatura / Entalpia da alimentação

▫ Composição da alimentação

▫ Características do fluido de aquecimento

▫ Características do fluindo de refrigeração

▫ ...

Perguntas (cont.):Motivação / Modelagem / Simulação / Controle /Otimização / Ferramentas / ++

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Variáveis Manipuladas

Variáveis controladas

Distúrbios

MV’s, CV’s e Distúrbios


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Uma figura vale mais que mil palavras. Uma equação pode gerar mil figuras. Logo uma equação é igual a um milhão de palavras. É a linguagem universal.


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Modelagem

Equilíbrio Líquido Vapor


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Funcionamento• Animações:

Correnteshttp://www.hyper‐tvt.ethz.ch/distillation‐streams.php

TDhttp://www.hyper‐tvt.ethz.ch/distillation‐thermo.php


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Equilíbrio Líquido Vapor• Sumarizando a definição de ELV:

Térmico:

Mecânico:

Químico:


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Equilíbrio Líquido Vapor• Mecanismo: Equilíbrio líquido‐vapor.

Mistura LíquidaCalor

Vaporização Parcial

Fase Líquida

Fase Vapor

, x

, y

z

Distribuição entre as fases

Volatilidade dos

componentesiKi & αi

f(T,P,xi)


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Equilíbrio Líquido Vapor• Destilação: separação de componentes de acordo com a volatilidade relativa.

Alto 1 componente tem maior tendência a vaporizar fácil separação por destilação

~ 1 separação por destilação é mais difícil

=,volátilmenos

volátilmaisji K

Kα ≥ 1


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• Destilação: separação de componentes de acordo com a volatilidade relativa.

Para sistema binário (1, mais volátil):


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Diagrama de equilíbrio L‐V:

Kister, H. Z. (1992). Distillation design. New York, McGraw-Hill.0,45

0,71

Mistura líquida (x1=0,45) em equilíbrio c/ vapor (y1=0,71) :

coletado e condensado enriquecimento do

componente mais volátil de 0,45 p/ 0,71

ExperimentalouModelo


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Para sistema binário (1, mais volátil):


Kister, H. Z. (1992). Distillation design. New York, McGraw-Hill.

0,47

0,45

0,88


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Equilíbrio Líquido Vapor• Como calcular o equilíbrio L‐V?


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Sistemas Ideais: vapor (Lei dos gases ideais) e líquido (Lei de Raoult)

Gás ideal, Lei de Dalton: Lei de Raoult:


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Sistemas não‐ideais:

iγiψ, coeficiente de atividade do líquido; efeito da composição na fugacidade

, fator de correção de Poynting; efeito da pressão na fugacidade do líquido (~1, para baixas pressões)

Viφ , efeito da não idealidade do vaporLiφ , efeito da não idealidade do vapor na fugacidade do líquido f(T, )0

ip

Reid, Praunitz and Poling. The properties of gases and liquids, 4th ed., 1987.


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Sistemas não‐ideais: ex. etanol/água

http://www.hyper-tvt.ethz.ch/fundamentals-thermo-azeotropes.php


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P baixa a moderada: considera apenas a não idealidade do líquido.


1

Lei de Raoult

modificada

=


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Equilíbrio Líquido Vapor• Cálculo dos coeficientes de atividade da fase líquida:

γi = γi(P,T,xi) P<<Pcrit: pode desconsiderar o efeito da pressão;Faixas de temperatura mais comuns em destilação: pode desconsiderar o efeito da temperatura.

Eq. Wilson:

≈ γi(xi)


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• Cálculo dos coeficientes de atividade da fase líquida:Baseado na eq. de Gibbs‐Duhem e na energia de excesso de Gibbs;



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• Principio de contribuição de grupos:


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Equilíbrio Líquido Vapor• Coeficientes de atividade: modelo UNIFAC


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P/misturas binárias moderadamente não ideais equações com 2 ou + parâmetros dão bons resultados;As mais antigas (Margules, van Laar) são mais fácil de lidar matematicamente;Margules aplicável apenas para misturas cujos componentes são similares (natureza química e tamanho)Misturas fortemente não ideais (p.ex., álcool e HCs): eq. Wilson (mais simples) ou NRTLNRTL e UNIQUAC aplicáveis para ELV e ELL.



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UNIQUAC: pode ser usado para sistemas miscíveis e imiscíveis;Vantagens UNIQUAC:Apenas 2 parâmetros ajustáveis;Os parâmetros tem menor dependência da temperatura;A variável concentração é dada pela fração de superfície (e não pela fração molar). Por isso é aplicável a soluções poliméricas.

Na ausência de dados experimentais para os pares binários, os coeficientes podem ser preditos por método de contribuição de grupos, UNIFAC.



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Equilíbrio Líquido Vapor• Cálculo do coeficiente de fugacidade:

P.ex., Redlich‐Kwong: Equação de Estado


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Reid, Praunitz and Poling. The properties ofgases and liquids, 4th ed., 1987.


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Equilíbrio Líquido Vapor• Escolha do método de equilíbrio de fases:

Composição da mistura;P e T;Disponibilidade dos parâmetros.

Carlson, E. C. (1996). "Don’t Gamble With Physical Properties For Simulations." Chemical Engineering Progress: 35-46.


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Equilíbrio Líquido Vapor• Cálculo do Ponto de Bolha (Temperatura)


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http://labvirtual.eq.uc.pt/siteJoomla/index.php?Itemid=364&id=199&option=com_content&task=view

• Exemplo 1: Benzeno/Tolueno

Predição do equilíbrio:

liquido e vapor ideais

Equilíbrio Líquido VaporMotivação / Modelagem / Simulação / Controle /Otimização / Ferramentas / ++

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• Exemplo 1: Benzeno/Tolueno





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• Exemplo 2: Etanol/Água




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UNIFAC e vapor ideal



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UNIFAC e vapor ideal


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Predição do equilíbrio junto ao ponto

azeotrópico: UNIFAC e vapor ideal


http://labvirtual.eq.uc.pt/siteJoomla/index.php?Itemid=364&id=199&option=com_content&t

ask=view


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• Exemplo 2: Etanol/ÁguaTabela 1. Resultados de cálculos bubble T para uma mistura etanol/água com 20% molar de etanol, e para diferentes modelos de equilíbrio.

P = 1.013 bar P = 6.895 bar

Modelo T (K) y1 T (K) y1

A. Líquido e vapor ideais 367.0 0.3598 429.5 0.3473

B. UNIFAC e vapor ideal 356.2 0.5284 414.6 0.5161

C. UNIFAC e eq. de virial 356.2 0.5255 414.6 0.5058

Valores experimentais (a) 356.85 0.515 416.95 0.481a Ohe, S., Vapor-liquid Equilibrium Data, Elsevier, Tokyo (1989)


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Modelagem

• Modelos Rigorosos:predição de composi‐ção, T e vazões paracada prato;

• Modelos Simplificados:descrição global usando menor número de variáveis , baseado em algum tipo de interpolação.


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Modelagem

• Pratos:Balanço de Massa

Balanço de Energia


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Modelagem

• Pratos:Acúmulo

Em alguns casos (pressões baixas) pode desprezar o acúmulo de vapor

E = U + Ec + Ep ≈ U = H + PV


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Modelagem

• Pratos:Restrições nas frações molares

Equilíbrio Químico, Mecânico e Térmico


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Modelagem

• Pratos:Vapor que sai de cada prato está em equilíbrio c/ líquido que sai do mesmo prato Mundo ideal: pratos operam c/efic. de 100%;Mundo real: eficiência < 100%Tempo insuficiente de contatoMistura deficiente

P/obter grau de separação desejada: ↑ nº de pratos


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Modelagem• Pratos:

Efic. De um prato (ou de Murphree) : com base na separação que se obtém em cada pratoFase vapor p/o prato superior (EMV)Fase líquida p/o prato inferior (EML)

Para um dado componente é a razão entre a variação na composição real da fase e a variação da composição da fase dada pela condição de equilíbrio


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Modelagem

http://web.ist.utl.pt/~ist10738/ExtDoc/


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Modelagem• Refervedor parcial:

Balanço molar por componente:

Balanço de energia:

Acúmulos


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Modelagem• Refervedor Parcial:


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Modelagem

• Refervedor Parcial:


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Modelagem• Condensador Parcial:


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Modelagem• Hidráulica de pratos

• Vazão de vapor

Staudt, P. B. (2007). MODELAGEM E SIMULAÇÃO DINÂMICA DE COLUNAS DE DESTILAÇÃO. Engenharia Química. Porto Alegre, UFRGS. mestrado: 156


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Modelagem• Hidráulica de pratos

• Vazão de líquido

Staudt, P. B. (2007). MODELAGEM E SIMULAÇÃO DINÂMICA DE COLUNAS DE DESTILAÇÃO. Engenharia Química. Porto Alegre, UFRGS. mestrado: 156


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Modelagem

• Simplificações e tipos de modelos:Modelo 1:-vazões equimolaresde L e V- Acúmulo de vapor pode ser desprezado- P cte

Modelo 2a:-Acúmulo de vapor pode ser desprezado- Variação da entalpia específica negligível- P cte ou queda de pressão fixa nos pratos

Modelo 2b:-Acúmulo de vapor significativo, mas constante- Variação da entalpia específica negligível- P cte ou queda de pressão fixa nos pratos

Modelo 3:-Acúmulo de vapor negligível- Variação da entalpia específica significativa-queda de pressão variável nos pratos

Modelo 4:-Acúmulo de vapor significativo-queda de pressão variável nos pratos

•Mais simples;•Fases L e V ideais;•Integra apenas os BM.


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Modelagem



Modelo 2b:-Acúmulo de vapor significativo, mas constante- Variação da entalpia específica negligível- P cte (>10 bar) ou queda de pressão fixa nos pratos


Modelo 4:-Acúmulo de vapor significativo-queda de pressão variável nos pratos-P>10 bar

• Mais aplicados industrialmente;•Modelo 2a 95%;•5% Modelos 2b e 3;• Modelo 2b P>10 bar e hold-up de vapor cte;


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Modelagem



Modelo 2b:-Acúmulo de vapor significativo, mas constante- Variação da entalpia específica negligível- P cte (>10 bar) ou queda de pressão fixa nos pratos


Modelo 4:-Acúmulo de vapor significativo-queda de pressão variável nos pratos-P>10 bar

• ΔP variável colunas a vácuo (não tem acúmulo de vapor significativo modelo 3);•Raramente utilizado.


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Simulação é uma das formas de se visualizar o significado das equações usadas na modelagem. Através da simulação conseguimos traduzir as equações em imagens, tabelas e números. Cabe salientar que modelagem e simulação são conceitos distintos, embora sejam apresentados em conjunto. Assim como Propaganda & Marketing são conceitos distintos que andam sempre juntos, Modelagem & Simulação é outra dobradinha que muitas vezes são tomadas como sinônimo, embora não o sejam.


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Escolha do Método

Fonte: Kister (1992)


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Solução do Modelo Estacionário


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Solução do Modelo Estacionário (cont...)



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Solução do Modelo Estacionário (cont...)



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Soluções de EDO - PVI• Métodos de solução:

Euler explícito:

Euler implícito:

Euler modificado (ou trapézios, ou Crank‐Nicolson):

)(O)]([)()( 21 htyfhtyty nnn ++=+

)(O)]([)()( 211 htyfhtyty nnn ++= ++

{ } )(O)]([)]([2

)()( 311 htyftyfhtyty nnnn +++= ++


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Soluções de EDO - PVIRunge‐Kutta explícito:

(não‐autônomo: , com c1 = 0)

Runge‐Kutta semi‐implícito:

)(O)()(1

1m

s

iiinn hkbhtyty ++= ∑

=+

k f y t a ki n ij jj

i= +

=

−

∑[ ( ) ]1

1

k f t c h y t a ki n i n ij jj

i= + +

=

−

∑[ , ( ) ]1

1

)(O)()(1

1m

s

iiinn hkbhtyty ++= ∑

=+ k f y t a ki n ij j

j

i= +

=∑[ ( ) ]

1


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Rigidez• Garantia de estabilidade para métodos explícitos:

onde p é uma constante que depende do método e máx é o maior valor característico em módulo do sistema.

h p≤λmáx

Razão de rigidez• Uma forma de medir está limitação é através da razão de rigidez:

SR i i

i i=

máx Re( )

min Re( )

λ

λ

⎪⎩

⎪⎨

⎧≈

rígido muito10rígido10

rígido não20SR

6

3


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Robustez• Juntando tudo:

• Quem controla o passo?

T]12[)0(y,y5,5005,499

5,4995,500dtdy

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

=λ→−=+=

−−

−−

10001

e5,0e5,1ye5,0e5,1y

t1000t2

t1000t1

h ≤ =2

10000 002,


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Rigidez – Exemplo (reatores CSTR)


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Índice de EAD - Índice diferencial • Definição 1 – Índice diferencial (ν):Seja a seguinte forma geral de EADs:o índice diferencial, ν, deste sistema é o número mínimo de vezes que todo ou parte do sistema deve ser diferenciado com respeito a t de modo a determinar como uma função contínua de y e t.

• Definição 1 – Índice diferencial (μ):Número de vezes que todo ou parte do sistema deve ser diferenciado com respeito a t para que a matriz Jacobianacom respeito a y’ e x do sistema resultante seja não‐singular.

( )uyytF ,,, &


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Índice diferencial - Exemplo

( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

===

tgyyyyy

1

3'2

2'1

( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

====

2''

1

3'2

2'1

ytgyyyyy

( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

====

3'''

2

3'2

2'1

ytgyyyyy

( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

===

tgyyyyy

''''3

3'2

2'1

ν=3


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Índice de EAD - Exemplo• Tanque alimentado pela parte inferior:

( )

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=−+−=−−−

=+−

=00

0

,,',,

02

01

SvS

eve

se

PghPCFghPPCF

FFdtdhA

uxyytFρ

ρ

h

P0

V

PT

CV1Fe Pe CV2 Fs Ps


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Índice de EAD - ExemploFM: Pe e PS• x =[Fe e FS]T

• u =[Pe e PS]T

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −=

10001011

'

3

2

1 A

FFF

J

FFh SE


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Índice de EAD - ExemploFM: Pe e Fe• x =[PS e FS]T

• u =[Pe e Fe]T

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

1000010

'

13

2

1

k

A

FFF

J

FPh SS


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100CONEEQ - BH - 201113/1/2011 00:11


Variáveis Manipuladas

Variáveis controladas

Distúrbios

Recordando: MV’s, CV’s e Distúrbios


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Proponha uma estrutura de controle que venha a responder as perguntas anteriores


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Estrutura de Controle – (L, V)

Composição

Inventário


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EstruturaLV


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Composição

Inventário

Estrutura de Controle – (D,V)Motivação / Modelagem / Simulação / Controle /Otimização / Ferramentas / ++

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Estrutura DV


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L,B

Composição

Inventário

Estrutura de Controle – (L,B)Motivação / Modelagem / Simulação / Controle /Otimização / Ferramentas / ++

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Medidores de Vazão


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Estrutura (L/D, V/B)


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111CONEEQ - BH - 201113/1/2011 00:12


IntroduçãoMotivação / Modelagem / Simulação / Controle /Otimização / Ferramentas / ++

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Introdução


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Uma das alternativas possíveis é aestratégia de Hot Bypass


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Hot Bypass – Configuração 1 Motivação / Modelagem / Simulação / Controle /Otimização / Ferramentas / ++

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Hot Bypass – Configuração 2


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SVD é uma das principais ferramentas que permitem a generalização dos conceitos (tais como: ganho, direções de pólos, zeros, etc) apresentados para sistemas SISO para o caso MIMO.SVD é o elo de ligação ente o sistemas SISO e MIMO.


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IntroduçãoColuna de Destilação• 5 válvulas de controle = 5 graus de liberdade operacionais =5 variáveis controladas

• 3 inventários (MD, MB e P)• Sobram duas variáveis para controlar a composição (ou T)

• Grupos de Estruturas:(L,V)(D,V)(L/D,V) ou (L, V/B)(L/D, V/B)(D,B)


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( ) ( ) DBAsICsG +−= −1 ( ) ( ) ( )( ) ( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

sgsgsgsg

sG2221

1211

( ) ( ) ( )( )( )

( )

( ) ( )( ) ( )

( )

( )( )( )4342144 344 2143421sUsGsY

B

D

sVsL

sgsgsgsg

sxsy

sUsGsY

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ΔΔ

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ΔΔ

=

2221

1211

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )sVsgsLsgsx

sVsgsLsgsy

B

D

Δ×+Δ×=ΔΔ×+Δ×=Δ

2221

1211

Exemplo – Estrutura de Controle (L,V)


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Singular Value Decomposition

( )32144 344 21321

dVL

yx

LV

B⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ΔΔ

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ΔΔ

1.096-1.0820.864-0.878

=y

0

D

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

8.06.0

,707.0

707.0,

707.0707.0

,10

,01

54321 ddddd

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

53.122.1

,54.123.1

,01.0

01.0,

10.186.0

,08.188.0

54321 yyyyy

( ) Hn

i

Hiii VUvuMM Σ==∑

=1

σ

[ ][ ]vvvvvV

uuuuuU

ni

no

======

...,,,

...,,,

21

21

σσσσσ =≥≥≥= n...21

( ){ }ninon

diag nn

,min;...,,, 21

==Σ σσσ

[SVD_transparencia.pdf]


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Normas de Vetores:

in

n

n

p pn

pp

aaaa

aaa

aaa

aaa

max...

...

...

...

1

11

2212

1

=++=

++=

++=

++=

∞ ∞∞∞


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Singular Value Decomposition

( )32144 344 21321

dVL

yx

LV

B⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ΔΔ

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ΔΔ

1.096-1.0820.864-0.878

=y

0

D

( )H

VU

LV

444 3444 21444 3444 2144 344 21

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−−

Σ

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=707.0708.0708.0707.0

01391.0001.972

0.6250.7810.781-0.6250

( )

( )2

20

2

20

min

max

uMu

M

eu

MuM

u

u

≠

≠

=

=

σ

σCondition Number (γ)

( ) ( )( )MMM

σσγ

Δ= ( ) 76.141

01391.0972.1)0( ==LVγ

Output direction

Input direction


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Minimal Condition Number

( ) ( )RMLMRLγγ

,min* Δ

=

( ) ( ) ( ) ( )MLMRMMLORI γγγγ minandmin ** ΔΔ

==[FARINA2000, Cap 3, pág.35]

[InteractionMeasure&Directionality]

Minimized ( Euclidean ) Condition Number (γ∗). The minimizedcondition number is obtained by minimizing the condition numberover all possible scalings and is defined by

where L and R are real, diagonal, and nonsingular scalingmatrices. If only one side is scaled then we get the input andoutput minimized condition numbers:


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Uma importante medida, não só para medir o grau de interação.


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RGA- Relative Gain ArrayMotivação / Modelagem / Simulação / Controle /Otimização / Ferramentas / ++

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RGA(0) -Definition

cteyj

i

cteuj

i

ij

ik

jk

uy

uy

=

=

≠

≠

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

=λOpen loop gain = Gij(0)

Closed loop gain

( )32144 344 21321

dVL

yx

LV

B⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ΔΔ

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡Δ

1.096-1.0820.864-0.878

=0

0

096.1878.0864.0082.1

878.0864.0

−=ΔΔ

∴Δ=ΔVxVL B

0

0,

=Δ

=ΔΔΔ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

Δ∂Δ∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

Δ∂Δ∂

=

D

B

y

B

L

B

Vx

VxVx

λ

096.1878.0864.0082.1

096.1,

−

−=ΔΔ VxB

λ


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RGA Calculation

( ) ( )( )M

Mm ijijji

ij detdet

1 +−=λ

( )TMMMRGA 1)( −×=× denotes element by element

multiplication (in MATLAB .* and Transpose .’)

( )

2211

211211

1111

1111

1

1 and1

1RGA

mmmmM

−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−= λ

λλλλ

For 2 x 2 matrices

The Dynamic RGA is defined in the same way considering M=G(jω) instead M=G(0).

( ) 31.99-31.48-39.4339.94

*.1.096-1.0820.864-0.878

)0( ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=LVRGA

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

35.0734.07-34.07-35.07

)0(LVRGA

[InteractionMeasure&Directionality]

[FARINA2000, Cap 3, pág.35]


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Properties of the RGA for control purposes1. The RGA is an interaction measure. The RGA is a measure ofdiagonal dominance. For decentralized control, RGA at the crossoverfrequency must be close to 1.

2. The RGA is scaling invariant.More precisely, RGA( LMR ) = RGA(M)where L and R are diagonal matrices.

3. The RGA is a measure of sensitivity to relative element‐by‐elementuncertainty in the matrix. The matrix M becomes singular if we makea relative change ‐1/λij in its ij'th element, that is, if a single elementinM is perturbed frommij tomij'= mij (1‐1/λij).

4. The norm of the RGA is closely related to γ*(M).

5. RGA and DIC. RGA can be used as criterion for DecentralizedIntegral Controllability (DIC) (see the next section for details).


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DIC and RGA• Decentralized Integral Controllability (DIC). A system G (corresponding to a given input‐output pairing) is DIC if there exists a decentralized controller Ksuch that the standard closed loop system of Figure with MK = I and A= I is stable and such that each individual loop may be detuned independently by a factor εi , i.e., 0 ≤ εi ≤ 1, without introducing instability.


130CONEEQ - BH - 201113/1/2011 00:12


DIC and RGA• Implications of negative RGA. Consider a stable square plant G and adiagonal controller K with integral action in all elements, and assume thatthe loop transfer function GK is strictly proper. If a pairing of outputs andmanipulated inputs corresponding to a negative steady state relative gain isused, then the closed loop system has at least one of the followingproperties:

The overall closed loop system is unstable.The loop with the negative relative gain is unstable by itself.The closed loop system is unstable if the loop with the negative relativegain is opened.

130


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DIC and RGA• The plant G is DIC if and only if:

• 2 × 2 systems: λ11(0) > 0. Note that for 2 × 2 plants there is always a pairingsuch that the system is DIC.

• 3 × 3 systems: (i) NI{G(0)} = det(G(0))/Πi gii(0) > 0, (ii) λii > 0, i=1,2,3, and , where λii is the diagonal element i of the RGA(G(0)).

• For n x n systems, the following condition is necessary for DIC (see [SP96, chapter10] for details):

• n × n systems. Assume that all diagonal elements of G are positive. Then onemay compute the determinant of G(0) and all its principal submatrices(obtained by deleting rows and corresponding columns in G(0)), which mustall have the same sign to have DIC.

Observe that the DIC-pairing rule is related to the low frequency range whereas the interaction degree is related to the RGA elements at the crossover frequency.


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RGA and γ*

• Minimized condition number for 2 x 2 matrices

• Grosdidier et al. [GMH85] present the following analytical solution for γ*

based on RGA for 2 x 2 matrices

( )( ) 1RGARGA1RGARGA 2211

* −+=−+=∞∞

ωγ jG

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ∑∑

Δ

∞

Δ

jij

iij m

iMm

jM max andmax1

For 2 x 2 matrices, it is easy to see that ||RGA||1 = ||RGA||∞ = |λ11| + |1-λ11|.

( )( )( )( ) ∞

==+ RGA2RGA211*

*

ωγωγ

jGjG


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RGA and γ*

• Minimized condition number for n x n matrices

• For n x n systems, we have the following lower bound [NM87]

For 2 x 2 matrices, it is easy to see that ||RGA||1 = ||RGA||∞ = |λ11| + |1-λ11|.

( )( )( )( ) ∞

==+ RGA2RGA211*

*

ωγωγ

jGjG

{ }( )( )

( )( )( )( ) 1RGARGARGA21

RGA,RGAmaxRGA

2**

*

1

−+≥⇔≥+

=∞

Δ

ωγωγ

ωγ jGjG

jG


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Utilizando os graus de liberdade disponíveis para aumentar a rentabilidade do processo, diminuindo o gasto energético e o impacto ambiental.


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Refluxo Ótimo Motivação / Modelagem / Simulação / Controle /Otimização / Ferramentas / ++

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Região Viável de Separação


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Hoje em dia existe uma gama muito grande de programas computacionais capazes de simular modelos matemáticos. Existem vantagens e desvantagens em cada um deles e naturalmente uma grande região de intersecção. Aqui vamos apenas apresentar algumas dessas ferramentas disponíveis. Algumas são livres, tais como: Python, EMSO, Scilab, OpenModelica, enquanto outras são bem caras.


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Ferramentas:• Linguagens “interpretadas” tipo MatlabMatlabScilabOctavePython

• Pacotes Analítico‐NuméricosMapleMathematica

• C ou FortranSundials

• Simuladores Estacionários de ProcessosAspenProcess – Pro IIHysysCoco – (software livre)

• Simuladores Dinâmicos –Orientados a EquaçõesgPROMSEMSO

• Modelica(veja próximo slide)


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Modeling tools (not exhaustive)• Modelica‐based tools

DymolaSimulationX, Mosilab, MathModelica, OpenModelicaMapleSim

• Other major toolsgPROMSAspen Custom ModelerEcoSimPro(Matlab, Simulink)

• Other tools (mostly academic projects):Ascend IVCapeML + ADiCapeDiva/Diana/PromotEMSOJacobian (commercial continuation of ABACUSS II– Barton, MIT)..Several tools aimed at specific applications

power systems, hydraulics, electronics, education, ...


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Dymola• Standardized modeling language

Convenient, modular, graphical, reuseCan use models developed in Dymola with other Modelica‐software(at least in principle)

• C‐code model exportCan compile models together with any other software

Efficiency, control

Also on targets that does not support COM, CORBA, etc.• Modelica Standard Library

Especially: Modelica.Media, Modelica.Fluid• Mature vendor, mature language• Export of analytical Jacobians

Faster simulations, optimizations

140


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Use of system Jacobians• Dymola offers analytical system Jacobians

• These can be used for:Solving ODEs (discretizing continuous time ODEs) Calculating NMPC sensitivities Calculating MHE sensitivitiesCalculating EKF linearizations

141


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EMSO – Key Features• Opens Source Library of Models• Object‐Oriented Modeling• Built‐in automatic and symbolic differentiation• Integrated Graphical Interface• Discrete Event Handling

• Entirely written in C++• Multiplatform: Windows and Linux• Multitask for concurrent and Real Time Simulations• Very modular architecture • Can interface with user code written in C/C++ or Fortran

• Entirely written in C++• Multiplatform: Windows and Linux• Multitask for concurrent and Real Time Simulations• Very modular architecture • Can interface with user code written in C/C++ or Fortran


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EMSO – Integrated GUIMotivação / Modelagem / Simulação / Controle /Otimização / Ferramentas / ++

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EMSO – Graphical Flowsheets


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For more information, please visit the project home page: http://www.enq.ufrgs.br/trac/alsoc


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O que vimos neste curso é como a ponta de um Iceberg, que corresponde a cerca de 10% do todo. A seguir apresentamos apenas alguns pontos que não foram apresentados, mas que também são importantes.


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O que faltou abordar ...• Colunas de Destilação

ExtrativaAzeotrópicaBateladaMultiefeito

• ModelagemMétodos baseados em estágio de não equilíbrioModelagem CFD de pratos

• ControleAnalisadores virtuaisControladores preditivosAjuste de controladoresDetecção de falhas Auditoria de desempenho

• Projeto e OtimizaçãoSequência de separaçãoProjeto de colunas levando em conta a controlabilidade


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Referências• Carlson, E. C. (1996). "Don’t Gamble With Physical Properties For Simulations." Chemical Engineering Progress: 35‐46.

• Coulson, J. M., J. F. Richardson, et al. (1999). Coulson & Richardson's chemicalengineering. Oxford ; Boston, Butterworth‐Heinemann.

• Kister, H. Z. (1992). Distillation design. New York, McGraw‐Hill.• Reid, R. C., J. M. Prausnitz, et al. (1987). The properties of gases and liquids. NewYork, McGraw‐Hill.

• Staudt, P. B. (2007). MODELAGEM E SIMULAÇÃO DINÂMICA DE COLUNAS DE DESTILAÇÃO. Engenharia Química. Porto Alegre, UFRGS. mestrado: 156.

• Williane Lopes Carneiro – Apostila Braskem (2010)• http://www.hyper‐tvt.ethz.ch/fundamentals‐thermo‐azeotropes.php• http://labvirtual.eq.uc.pt/siteJoomla/index.php?Itemid=364&id=199&option=com_content&task=view

• http://web.ist.utl.pt/~ist10738/ExtDoc/

motivação /modelagem /simulação /controle /otimização ... · coneeq - bh - 2011 12 13/1/2011...

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