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Motivao Como estimar a incerteza do valor de uma grandeza que calculada a partir de operaes matemticas com os resultados de outras grandezas medidas?b c A = b. c u(A) = ? u(b) u(c) u(c)

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Medies indiretas O valor do mensurando determinado a partir de operaes matemticas envolvendo resultados de duas ou mais grandezas de entrada medidas separadamente. Exemplos: A rea de um terreno calculada atravs do produto entre sua largura pelo seu comprimento. Determinao da corrente eltrica multiplicando a queda de tenso sobre um resistor pelo valor da sua resistncia. Consideraes Preliminares:

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O Modelo Matemtico necessrio um modelo matemtico que relacione as grandezas de entrada com o valor do mensurando. Exemplos: A = l. h V = d / t

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Dependncia estatstica e correlao Duas variveis aleatrias so consideradas estatisticamente independentes ou no correlacionadas se as variaes aleatrias da primeira no guardam nenhum tipo de sincronismo com as da segunda. Exemplo: a temperatura da gua do mar na praia da Joaquina e a cotao do Dlar.

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Dependncia estatstica Duas variveis aleatrias so consideradas estatisticamente dependentes ou correlacionadas se as variaes aleatrias da primeira ocorrem de forma sincronizada com as variaes aleatrias da segunda. Exemplos: Os valores em Real da cotao do Euro e do Dlar. A temperatura da gua do mar em duas praias prximas.

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Correlao direta Na correlao direta as variaes esto sincronizadas de tal forma que: (a) o aumento aleatrio do valor da primeira varivel aleatria acompanhado de um aumento proporcional da segunda varivel. (b) a reduo aleatria do valor da primeira varivel aleatria acompanhado de uma reduo proporcional da segunda varivel.

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Correlao inversa Na correlao inversa as variaes esto sincronizadas de tal forma que: (a) o aumento aleatrio do valor da primeira varivel aleatria acompanhado de uma reduo proporcional da segunda varivel. (b) a reduo aleatria do valor da primeira varivel aleatria acompanhado de um aumento proporcional da segunda varivel.

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Analogia da Gangorra... A B C A B C A e B possuem correlao direta A e C possuem correlao inversa B e C possuem correlao inversa

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Coeficiente de Correlao sendo (X,Y)o coeficiente de correlao entre X e Y cov(X, Y)a covarincia entre X e Y X o desvio padro da varivel aleatria X Y o desvio padro da varivel aleatria Y

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Estimativa do Coeficiente de Correlao valores mdios das variveis X e Y nnmero total de pares de pontos das variveis X e Y sendo r(X, Y)estimativa do coeficiente de correlao para X e Y x i e y i i-simo par de valores das variveis X e Y

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Correlao direta e inversa Correlao direta perfeita: (X, Y) = +1,00 Correlao inversa perfeita: (X, Y) = -1,00 Ausncia total de correlao (X, Y) = 0,00

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Correlao entre mltiplas variveis aleatrias A B C DABCD ABCD A+1 B+1 C +1 D +1

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Nas medies indiretas h boas chances de correlao quando: H erros sistemticos considerveis e no compensados nas medies de ambas grandezas; Uma mesma grandeza de influncia age fortemente em ambos processos de medio; Ambas grandezas so medidas pelo mesmo SM em condies distintas das de calibrao ou muito tempo aps a calibrao ter sido realizada.

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Nas medies indiretas h boas chances de no haver correlao se: Ambos os sistemas de medio foram recentemente calibrados e esto operando em condies prximas das condies de calibrao e as respectivas correes esto sendo aplicadas; Distintos sistemas de medio so utilizados em condies em que no h uma mesma grandeza de influncia presente que possa afetar significativamente ambos os processos de medio.

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Caso Geral de MNC = coeficiente de sensibilidade Podem ser calculados analtica ou numericamente

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Exemplo: Adio de MNC 1 2 m T = m 1 + m 2 m 1 = (1000 6) g m 2 = (2000 8) g u(m T ) = 5 g MNC m T = (3000 10) g u(m 1 ) = 6/2,0 = 3 g u(m 2 ) = 8/2,0 = 4 g U = t. u = 2,0. 5 = 10 g

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Exemplo: Subtrao de MNC m C = m 2 m 1 m 1 = (1000 6) g m 2 = (2000 8) g u(m C ) = 5 g MNC m C = (1000 10) g 1 2 m C + m 1 = m 2 U = t. u = 2,0. 5 = 10 g

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Exemplo: Diviso de MNC V R I Determine a corrente eltrica que passa por um resistor de (500,0 1,0) sobre o qual foi medida uma queda de tenso de (150,0 3,0) V. u(R) = 1,0/2,0 = 0,5 u(V) = 3,0/2,0 = 1,5 V

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Clculo do nmero de graus de liberdade efetivos

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Valor da corrente eltrica: U(I) = 2,000. u(I) U(I) = 2,000. 0,003014963 = 0,006029925 A I = (0,300 0,006) A I = (300 6) mA

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Na determinao da massa especfica () de um material usou-se um processo indireto, medindo-se em um laboratrio, com uma balana, a massa (m) de um cilindro cujo dimetro (D) e altura (h) foram determinados por um micrmetro e um paqumetro respectivamente. Aps a compensao dos erros sistemticos, foram encontrados os seguintes resultados e os respectivos nmeros de graus de liberdade para cada grandeza de entrada: Exemplo: Caso Geral de MNC

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Medies Realizadas D h Para a massa: m = (1580 22) g m = 14 Para o dimetro: D = (25,423 0,006) mm D = Para a altura: h = (77,35 0,11) mm h = 14

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Massa Especfica D h

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Considerando que as medies foram efetuadas em condies de laboratrio e as componentes sistemticas foram compensadas, muito provvel que as medidas das trs grandezas sejam no correlacionadas. A incerteza padro associada a cada grandeza envolvida ser calculada dividindo-se a incerteza expandida pelo coeficiente t de Student: u(m) = U(m)/t 14 = 22/2,195 = 10,023 g u(D) = U(D)/t = 0,006/2,00 = 0,0030 mm u(h) = U(h)/t 14 = 0,11/2,195 = 0,0501 mm

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Clculo da incerteza combinada

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Clculo do nmero de graus de liberdade efetivos

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Valor da massa especfica: U( ) = 2,195. u( ) U( ) = 2,195. 0,000256765 = 0,000563598 g/mm 3 = (0,04024 0,00056) g/mm 3

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Caso Geral = coeficiente de sensibilidade Pode ser calculado analtica ou numericamente

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Medies correlacionadas e no correlacionadas Para mltiplos termos: AB C D G = A + B + C + D rABCD A+10 B+10 C 0 D000

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Medies correlacionadas e no correlacionadas

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Correlao parcial com r(h, ) = -0,5

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Bibliografia Albertazzi, A., Souza, A. R. FUNDAMENTOS METROLOGIA CIENTIFICA E INDUSTRIAL. 407p., Editora Manole, 2008. Guia para Expresso da Incerteza de Medio (Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement - ISO GUM) Inmetro, 2003 SI - SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES http://www.inmetro.gov.br/infotec/publicacoes/Si.pdf VIM 2008 - VOCABULRIO INTERNACIONAL DE METROLOGIA http://www.inmetro.gov.br/infotec/publicacoes/VIM_2310.pdf