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Resultados de Medies Indiretas1MotivaoComo estimar a incerteza do valor de uma grandeza que calculada a partir de operaes matemticas com os resultados de outras grandezas medidas?bc A = b . cu(A) = ? u(b) u(c)2Medies indiretasO valor do mensurando determinado a partir de operaes matemticas envolvendo resultados de duas ou mais grandezas de entrada medidas separadamente.Exemplos:A rea de um terreno calculada atravs do produto entre sua largura pelo seu comprimento.Determinao da corrente eltrica multiplicando a queda de tenso sobre um resistor pelo valor da sua resistncia.Consideraes Preliminares:O Modelo Matemtico necessrio um modelo matemtico que relacione as grandezas de entrada com o valor do mensurando.

Exemplos:A = l . hV = d / t

Dependncia estatstica e correlaoDuas variveis aleatrias so consideradas estatisticamente independentes ou no correlacionadas se as variaes aleatrias da primeira no guardam nenhum tipo de sincronismo com as da segunda.Exemplo:a temperatura da gua do mar na praia da Joaquina e a cotao do Dlar.Dependncia estatsticaDuas variveis aleatrias so consideradas estatisticamente dependentes ou correlacionadas se as variaes aleatrias da primeira ocorrem de forma sincronizada com as variaes aleatrias da segunda.Exemplos:

Os valores em Real da cotao do Euro e do Dlar.

A temperatura da gua do mar em duas praias prximas.Correlao diretaNa correlao direta as variaes esto sincronizadas de tal forma que:(a) o aumento aleatrio do valor da primeira varivel aleatria acompanhado de um aumento proporcional da segunda varivel.(b) a reduo aleatria do valor da primeira varivel aleatria acompanhado de uma reduo proporcional da segunda varivel. Correlao inversaNa correlao inversa as variaes esto sincronizadas de tal forma que:(a) o aumento aleatrio do valor da primeira varivel aleatria acompanhado de uma reduo proporcional da segunda varivel.(b) a reduo aleatria do valor da primeira varivel aleatria acompanhado de um aumento proporcional da segunda varivel. Analogia da Gangorra ...ABCABCA e B possuem correlao diretaA e C possuem correlao inversaB e C possuem correlao inversaCoeficiente de Correlao

sendo(X,Y)o coeficiente de correlao entre X e Ycov(X, Y)a covarincia entre X e YXo desvio padro da varivel aleatria XYo desvio padro da varivel aleatria YEstimativa do Coeficiente de Correlao

valores mdios das variveis X e Y nnmero total de pares de pontos das variveis X e Ysendor(X, Y)estimativa do coeficiente de correlao para X e Yxi e yii-simo par de valores das variveis X e Y

12Correlao direta e inversaCorrelao direta perfeita: (X, Y) = +1,00Correlao inversa perfeita: (X, Y) = -1,00Ausncia total de correlao (X, Y) = 0,00Correlao entre mltiplas variveis aleatriasABCDABCDABCDA+1+1-1-1B+1+1-1-1C-1-1+1+1D-1-1+1+114Nas medies indiretas h boas chances de correlao quando:H erros sistemticos considerveis e no compensados nas medies de ambas grandezas;Uma mesma grandeza de influncia age fortemente em ambos processos de medio;Ambas grandezas so medidas pelo mesmo SM em condies distintas das de calibrao ou muito tempo aps a calibrao ter sido realizada.Nas medies indiretas h boas chances de no haver correlao se:Ambos os sistemas de medio foram recentemente calibrados e esto operando em condies prximas das condies de calibrao e as respectivas correes esto sendo aplicadas;Distintos sistemas de medio so utilizados em condies em que no h uma mesma grandeza de influncia presente que possa afetar significativamente ambos os processos de medio.16Estimativa da Incerteza Combinada em Medies no Correlacionadas (MNC)

17Caso Geral de MNC

= coeficiente de sensibilidadePodem ser calculados analtica ou numericamente18Exemplo: Adio de MNC12mT = m1 + m2m1 = (1000 6) gm2 = (2000 8) gu(mT) = 5 gMNCmT = (3000 10) gu(m1) = 6/2,0 = 3 gu(m2) = 8/2,0 = 4 gU = t . u = 2,0 . 5 = 10 g

19Exemplo: Subtrao de MNCmC = m2 m1m1 = (1000 6) gm2 = (2000 8) gu(mC) = 5 gMNCmC = (1000 10) g12mC + m1 = m2U = t . u = 2,0 . 5 = 10 g

20Exemplo: Diviso de MNCVRIDetermine a corrente eltrica que passa por um resistor de (500,0 1,0) sobre o qual foi medida uma queda de tenso de (150,0 3,0) V.

u(R) = 1,0/2,0 = 0,5 u(V) = 3,0/2,0 = 1,5 V21

Clculo do nmero de graus de liberdade efetivos

Valor da corrente eltrica:U(I) = 2,000 . u(I)U(I) = 2,000 . 0,003014963 = 0,006029925 AI = (0,300 0,006) A

I = (300 6) mA24Na determinao da massa especfica () de um material usou-se um processo indireto, medindo-se em um laboratrio, com uma balana, a massa (m) de um cilindro cujo dimetro (D) e altura (h) foram determinados por um micrmetro e um paqumetro respectivamente. Aps a compensao dos erros sistemticos, foram encontrados os seguintes resultados e os respectivos nmeros de graus de liberdade para cada grandeza de entrada:Exemplo: Caso Geral de MNC25Medies RealizadasDhPara a massa: m = (1580 22) gm = 14

Para o dimetro:D = (25,423 0,006) mmD =

Para a altura:h = (77,35 0,11) mmh = 1426Massa EspecficaDh

27Considerando que as medies foram efetuadas em condies de laboratrio e as componentes sistemticas foram compensadas, muito provvel que as medidas das trs grandezas sejam no correlacionadas.

A incerteza padro associada a cada grandeza envolvida ser calculada dividindo-se a incerteza expandida pelo coeficiente t de Student:

u(m) = U(m)/t14 = 22/2,195 = 10,023 gu(D) = U(D)/t = 0,006/2,00 = 0,0030 mmu(h) = U(h)/t14 = 0,11/2,195 = 0,0501 mm28Clculo da incerteza combinada

29Clculo do nmero de graus de liberdade efetivos

30Valor da massa especfica:U() = 2,195 . u()U() = 2,195 . 0,000256765 = 0,000563598 g/mm3 = (0,04024 0,00056) g/mm3

31Estimativa da Incerteza Combinada de Medies Correlacionadas (MC)

32Caso Geral

= coeficiente de sensibilidadePode ser calculado analtica ou numericamente

33Medies correlacionadas e no correlacionadasPara mltiplos termos:ABCDG = A + B + C + DrABCDA+1-10B+1-10C-1-10D00034Medies correlacionadas e no correlacionadas

35Medies correlacionadas e no correlacionadas

36Correlao parcial

com r(h, ) = -0,5

37Bibliografia Albertazzi, A., Souza, A. R. Fundamentos Metrologia Cientifica e industrial. 407p., Editora Manole, 2008.

Guia para Expresso da Incerteza de Medio (Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement - ISO GUM) Inmetro, 2003

SI - SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADEShttp://www.inmetro.gov.br/infotec/publicacoes/Si.pdf

VIM 2008 -VOCABULRIO INTERNACIONAL DE METROLOGIAhttp://www.inmetro.gov.br/infotec/publicacoes/VIM_2310.pdf